sociedad mexicana d e ing niería estructural, a.c. 048 · 2017-10-09 · el caso de vigas...

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

ACOPLAMIENTO Y EFECTOS DE TORSIÓN EN ESTRUCTURAS FORMADAS POR SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA

Oscar Bonilla Manterola1

RESUMEN El presente trabajo estudia los efectos del bimomento y el alabeo en estructuras ensambaldas con vigas de pared delgada, proponiendo una metodología (método de las rigideces) que se facilite el análisis. Se recurre a la teoría de la torsión restringida y la aplicación de la matriz de rigidez para vigas de pared delgada en la cual se incluye el efecto del bimomento y alabeo, surgida de investigaciones anteriores y basada en la teoría de la torsión introducida por V. Vlasov y posteriormente se comparan los resultados obtenidos con otros tipos de análisis entre los cuales esta el Método de los Elementos Finitos (M.E.F.) con el fin de presentar ejemplos numéricos.

ABSTRACT The present paper studies the effects of bimoment and warping in the structures connected with thin walled beams, it proposed a methodology (stifness method ) for to get the analysis easier. In this is used the theory of torsion with restriction and the application of the stiffness matrix for thin walled beams in which is included the effect of bimoment and warpin and was obtained before by reseachers and with the consideration of the theory introduced by V. Vlasov. After the results are compared with Finite Element Method in order to show numerical examples.

INTRODUCCIÓN Los fundamentos básicos para el análisis de vigas de pared delgada fueron desarrollados por S. P. Timoshenko y posteriormente otros autores presentaron otros estudios más generales. Sin embargo entre dichos estudios diferían en la solución, principalmente en los esfuerzos y los desplazamientos longitudinales de la sección conocido como alabeo. El desarrollo general y completo de esta teoría pertenece a V. Z. Vlasov y se denomina teoría de la torsión restringida, que incorpora el término de alabeo como desplazamiento y bimomento como elemento mecánico. Sin embargo no concluye con coeficientes de rigidez necesarios para poder acoplar matrices de rigidez de los elementos estructurales. Las investigaciones posteriores a la teoría de Vigas de Pared Delgada buscan proporcionar métodos que determinen los efectos del alabeo y bimomento introducido por V. Vlazov. Así por ejemplo el AISC propone por medio de gráficas obtener los elementos mecánicos y desplazamientos. Esta metodología como otras en muchos casos resulta inoperante, tediosa, inexacta y con muchas limitaciones.

ACOPLAMIENTO La matriz de rigidez definida en la ec. 1, a continuación es resultado de anteriores investigaciones y satisface el caso de vigas continuas, sin embargo debe existir una matriz de rotación para el ensamble de elementos. Para tal efecto se considera al alabeo y al bimomento como vectores independientes por lo que no existe una relación con cortantes y momentos.

1 Profesor, Instituto Politécnico Nacional ESIA-U.T., Av. Fuente de los Leones No. 28 Edo. Méx. CP. 56500 Tel. 55897915, Fax. 57 29 6300 Ext-68028, E-mail: [email protected].

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XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

[ ] [ ] [[ ] [

=

jjkmijkmjikmiikm

Km,,,, ]

] (1)

Donde :

[ ] ( )

( ) ( )

−−−

−

−−

−

=

KKKsenhFL

GIzKFL

GIzLEIx

LEIy

LEIy

LEIy

KFL

GIzKKFL

GIzLEIy

LEIx

LEIx

LEIx

LEA

iiKm

cosh2

001cosh2

000

0400060

0040600

1cosh2

00sinh2

000

00601200

06000120

000000

,

22

22

23

23

(2)

[ ] ( )

( ) ( )

−−−

−

−−

−−

−

−

=

KKFL

GIzKFL

GIzLEIx

LEIy

LEIy

LEIy

KFL

GIzKKFL

GIzLEIy

LEIx

LEIx

LEIx

LEA

jiKm

sinh2

001cosh2

000

0200060

0020600

1cosh2

00sinh2

000

00601200

06000120

000000

,

22

22

23

23

(3)

[ ] ( )

( ) ( )

−−

−=

KKKsenhFL

GIzKFL

GIzLEIx

LEIy

LEIy

LEIy

KFL

GIzKKFL

GIzLEIy

LEIy

LEIx

LEIx

LEA

jjKm

cosh2

001cosh2

000

0400060

0040600

1cosh2

00sinh2

000

00601200

06000120

000000

,

22

22

23

23

(4)

La submatriz no es necesario describirla ya que la matriz de miembro [ es simétrica. [ ijKm , ] ]Km

496

048


( ) ( )

−+−= 1coshsinh

222 KKKF

(5)

β=

IEIzGK 2

(6)

Un vector {as} en el espacio se representa por componentes respecto a los ejes de la estructura, pero también puede ser representado por las componentes respecto a los ejes de un miembro {am}. Para transformar de un sistema a otro se utiliza la matriz de rotación [R]

{ } [ ]{ }AsRAm = (7)

[ ]

=

CwCxxCxyCxzCyxCyyCyzCzxCzyCzz

CxxCxyCxzCyxCyyCyzCzxCzyCzz

R

000000000000000000000000000000

(8)

Así la matriz de rotación transformada para acciones y desplazamientos de miembro :

[ ]

=

RR

RT0

0

(9)

Una sección que es sometida a una torsión provocando un alabeo, referido al sistema global Xs, Ys, Zs, de la estructura. Se denota con un cuadrante de la sección sombreado y representa por definición el cuadrante donde la coordenada sectorial es positiva y asociado a esta área se representa un vector. Sin embargo ese mismo efecto (bimomento) en la sección puede ser representado por dos momentos respecto al eje Ys.

Fig. 1 Alabeo positivo respecto sistema global

Fig. 2 Alabeo negativo, respecto al sistema local El mismo efecto de bimomento respecto a un sistema de coordenadas local de un miembro Xm, Ym, Zm aplicado a una sección paralela al plano Xm, Ym, produce un alabeo negativo respecto al los ejes del miembro,

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lo cual se representa por un vector negativo en el cuadrante sombreado del plano positivo Xm Ym. Con lo cual se puede definir que el bimomento y alabeo referido al sistema global de la estructura para este sistema local tiene sentido contrario.

METODOLOGÍA PROPUESTA Se analizan tres marcos formados por perfiles en canal cuyos datos, puntos de estudio y propiedades geométricas particulares se definen en la tabla 1 y Fig. 21. MARCO PLANO 1 Se analiza un marco compuesto por dos vigas y una columna, con la misma sección. El marco está sometido a un momento torsional uniforme aplicado a lo largo de las trabes y restringido a todos desplazamientos posibles en los nodos 1,3 y 4 (Fig. 3).

Fig. 3 Marco plano 1 Al resolver la estructura fija en todos los nodos, el bimomento en el nodo 2 resultado del momento uniforme del miembro 1 y 2 se anula por tener signo diferente, así el momento uniforme aplicado se transforma resultando exclusivamente en un momento equivalente Mz en el nodo 2. Este equilibrio no se daría de existir diferentes longitudes de los miembro 1 y 2.

Fig. 4 Deformación del marco plano 1 El marco se define con 7 grados de libertad, pero dadas las condiciones de apoyo y carga resultan ser sólo 2 los desplazamientos originados en el nodo 2, estos son: lineal en dirección X y angular alrededor de Z. La simetría de la estructura se refleja y se comprueba al encontrar que en el nodo 2 no existen desplazamientos lineales en Z, Y, ni desplazamientos angulares en X, Y, y un alabeo nulo como se representa en la Fig. 4. Al igual que en las vigas se observa que en los nodos empotrados se presenta una mayor concentración de esfuerzos. Los efectos del momento y bimomento provocados por el momento uniforme no se reflejan en el

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miembro 3, debido a que los esfuerzos normales del miembro 3 corresponden al de una columna sujeta a flexión.

Fig. 5 Diagrama de bimomentos (kg-cm2) MARCO PLANO 2 Ahora se presenta un marco no simétrico, la trabe está sometida a momento torsional uniforme como lo muestra la Fig.6, se centra el interés en estudiar el efecto del alabeo de la sección y el efecto que produce en la columna la cual tiene la misma sección.

Fig. 6 Marco plano 2 con momento uniforme

Fig.7 Deformación del marco plano 2 El momento uniforme al considerar la estructura fija se transforma en un vector de cargas resultando en un momento y bimomento en el nodo 2. Dadas las condiciones de apoyo, los desplazamientos originados en el nodo 2 son: lineal en dirección Z, angular alrededor de X y alabeo como se describe en la Fig. 7.

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El comportamiento de la trabe corresponde al de una viga empotrada, pero llama la atención la variación de esfuerzos normales de puntos diferentes en una misma sección de la columna, este comportamiento presenta a todo lo largo de la columna como lo demuestra la Fig. 8 y coincide al obtenido con el método del elemento finito.

Fig. 8 Esfuerzo normal en columna de marco 2 y marco 3 MARCO EN 3 DIMENSIONES En este marco el miembro 2 está sometido a momento torsional uniforme y considerando los nodos 1 y 4 totalmente restringidos.

Fig. 9 Marco en 3 dimensiones Aquí los efectos del alabeo y bimomento en los miembros 1 y 3, varía en forma lineal en los miembros que no presentan momento torsionante uniforme como se muestra en la Fig. 10. Este caso corresponde a un sistema de 14 grados de libertad de los nodos 2 y 3. En el miembro 2 la variación del momento torsional y bimomento presenta la configuración típica de una viga con empotramiento, sin embargo a pesar de tener una sección igual la rigidez a un momento Mx del miembro 1y 3 es diferente por su disposión.

500

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Fig. 10 Variación del bimomento. En cuanto a la columna o miembro 1 los esfuerzos normales tienden a ser mayores a medida que se aproximan a miembro 2 como lo muestra la Fig. 8b, en la Fig. 11 se muestra el comportamiento típico de una viga empotrada-empotrada con momento uniforme aunque los valores esfuerzos máximo y mínimo se encuentran en el centro del miembro 2 y no en los extremos debido a que los extremos no son totalmente rígidos. Finalmente los esfuerzos normales del miembro 3 representados en la figura 12, tienden a ser máximos en la cercanía del miembro 2 y cambian de signo gradualmente al acercare al empotramiento o nodo 4.

Fig. 11 Esfuerzos normales en miembro 2


En todas las gráficas anteriores el patrón que se repite en la sección transversal la distribución conserva la configuración del diagrama de la coordenada sectorial, mientras que este comportamiento varía a lo largo de cada miembro al igual congruente al diagrama de bimomentos representado en la Fig. 10.

ANÁLISIS COMPARATIVO

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MARCO PLANO 1 Los esfuerzos en los extremos empotrados tienen valores muy parecidos pero esta semejanza se disminuye a medida que se acerca al nodo 2 donde concurren todos los miembros, el efecto se atribuye a la dificultad de modelar en elemento finito una articulación con rigidez equivalente a la que considera la matriz propuesta. En el caso del miembro 1, los valores tienden a ser diferentes en el extremo final figuras 13 y 14.

s A

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270Z (cm)

kg/c

m2

ANSYS

MATRIZ


s C

-800-600-400-200

0200400600800

10001200

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270Z (cm)

kg/c

m2

ANSYS

MATRIZ

Fig. 14 Esfuerzos en el punto C miembro 1

Se puede apreciar que los esfuerzos normales en el punto A y el punto C son completamente diferentes a pesar de estar en la misma cordenada longitudinal Z. MARCO PLANO 2 En el caso de este marco se centra la atención en la influencia del momento uniforme de la trabe a la columna o miembro 1, desde el punto de vista de los esfuerzos. En este caso la coordenada z=0 del miembro 1 corresponde a la base de la columna.

502

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s C

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216

Z (cm)

kg/c

m2

ANSYS

MATRIZ

Figura 15 Esfuerzos normal en columna en el punto A

s C

-150

-100

-50

0

50

100

150

10 34 58 82 106 130 154 178 202 226Z (cm)

kg/c

m2

ANSYS

MATRIZ

Figura 16 Esfuerzos tangencial en trabe en el punto A

MARCO EN 3 DIMENSIONES

s A

-500

-400

-300

-200-100

0

100

200

300

400

500

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216Z (cm)

kg/c

m2

ANSYS

MATRIZ

Figura 17 Esfuerzos normales punto A miembro 1

Aunque los resultados son semejantes es constante la tendencia a existir mayor diferencia al acercarse a la intersección de miembros o nodo interior, como se refleja en las figuras 17 18 y 19.

503

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s A

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

22 46 70 94 118 142 166 190 214 238Z (cm)

kg/c

m2

ANSYS

MATRIZ

Figura 18 Esfuerzos normal en A miembro 2

s A

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

8 32 56 80 104 128 152 176 200 224Z (cm)

kg/c

m2

ANSYS

MATRIZ

Figura. 19 Esfuerzos normal en G miembro 3

CONCLUSIONES

Se puede concluir que no sólo se validaron las ecuaciones de Vlasov, el cual difiere totalmente de la teoría de Saint-Venant al considerar un nuevo elemento mecánico, nuevas propiedades geométricas y un nuevo grado de libertad. Los resultados llevan a desechar en ciertos casos los métodos tradicionales de análisis. Debido a que no se consideraban esfuerzos normales debido a efectos de torsión. En cuanto a la aplicación de la matriz de rigidez propuesta simplifica mucho el procedimiento propuesto por Vlasov para analizar este tipo de problemas, al no tener que resolver diferentes ecuaciones diferenciales, ni la enorme complicación que aparecía al querer resolver una viga continua con diferentes apoyos, analizar a base de graficas, o de considerar muchos términos con funciones hiperbólicas en las ecuaciones, inconvenientes que en el método propuesto no existen debido al hecho de que es fácilmente programable. En el análisis con la teoría de Saint-Venant propicia esfuerzos tangenciales mayores que los normales, lo cual implica que el diseño con este método está sujeto a tales efectos. Mientras que con Ansys y la metodología propuesta los esfuerzos que rigen el diseño son los esfuerzos normales.

Figura. 20 Aplicación a muros de cortante

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Aunque el fin y objetivo no era el análisis torsional de edificios, es inevitable su posible aplicación en el tratamiento de estructuras torsionalmente acopladas, resultando así ser posiblemente la mayor aportación que aquí se presentan sean los efectos bajo carga axial, esto debido a la semejanza entre una viga de pared delgada y los edificios que cuentan con muros de cortante los cuales actúan como vigas bajo carga axial y momento torsionante.

Tabla 1 Resumen de las propiedades geométricas

Marco 1 Marco 2 Marco 3 h1 cm. 20.00 20.00 20.00 b. cm 8.75 8.00 8.75 δ1 cm 0.40 0.30 0.40 δ2 cm 0.40 0.30 0.40 A cm2 15.00 10.80 15.00 Ix cm4 966.71 680.01 966.71 Iy cm4 116.16 68.285 116.16 Iz cm4 0.800 0.324 0.800 Iβ cm6 8162.267 5320.70 8162.267 L cm 285 216 236 m kg-cm 30 40 30

Figura 21 Puntos de estudio en la sección

NOTACIÓN { } =Am Acciones de miembro A = Área de la sección B = Bimomento Ci,j = Coseno director del eje local al eje global Cw = Coseno director de alabeo D = desplazamiento E = Módulo de elasticidad G = Módulo de elasticidad al cortante Ix = Momento de inercia respecto al eje x Iy = Momento de inercia respecto al eje y Iz = Constante de trosión pura Saint-Venant.

βI = Momento sectorial de inercia

[Km] = Matriz de rigidez de miembro L = Longitud m = Momento de torsión por unidad de longitud M = Momento [ ] =R Matriz de rotación. [ ] =RT Matriz de rotación transformada σ = Esfuerzo normal τ = Esfuerzo tangencial

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