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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

MODELADO ELÁSTICO DE TRABES ACARTELADAS DE SECCIÓN T

Arturo Tena Colunga 1

RESUMEN El artículo hace una comparación de los resultados que se obtienen al modelar a las trabes acarteladas de sección T como vigas que cumplen con la teoría de Bernoulli-Euler, con respecto a soluciones obtenidas con elementos finitos presentadas recientemente en la literatura especializada. Se comparan los coeficientes de rigidez (incluyendo el factor de transporte) y momentos de empotramiento determinados con uno y otro procedimiento, para una familia de trabes acarteladas simétricas de sección T. Se comparan los elementos mecánicos de un marco con trabe acartelada sujeto a carga uniformemente distribuida obtenidos mediante un análisis con elementos finitos, con respecto al que se obtiene modelando a todos los elementos conforme a la teoría de Bernoulli-Euler. El estudio demuestra que la teoría de Bernoulli-Euler para modelar trabes acarteladas es robusta y permite llegar a resultados muy confiables cuando se compara con formulaciones de elementos finitos.

SUMMARY This paper presents a comparison between the results obtained for the elastic modeling of haunched beams having T sections using finite elements, as recently published in the literature, with respect to those obtained from Bernoulli-Euler beam theory for nonsprimatic members. Stiffness coefficients, carryover factors and fixed-end moments are the parameters that are compared for a family of symmetric haunched beams having T sections. In addition, beam and column design forces computed for a frame example using Bernoulli-Euler theory are also compared to those reported in the literature using 3D finite elements. It is concluded in this study that Bernoulli-Euler beam theory for nonprismatic member is robust and correlates well when compared to 3D finite element results.

INTRODUCCIÓN Una de las grandes inquietudes de la ingeniería estructural durante los últimos 50 años es proponer métodos de análisis elástico confiables que permitan modelar satisfactoriamente a los elementos de sección variable, de manera que se tenga certidumbre en la determinación de elementos mecánicos, deformaciones y desplazamientos que permitan diseñar adecuadamente a este tipo de elementos. Durante el siglo pasado, entre 1950 y 1960 se desarrollaron varias ayudas de diseño, como las presentadas por Guldan (1956), y las más conocidas tablas publicadas por la Portland Cement Association (PCA) en 1958, donde se presentan constantes de rigideces y momentos de empotramiento de elementos de sección variable (“Handbook”, 1958). Como se ha discutido y demostrado anteriormente (Tena-Colunga, 1996), dadas las limitaciones para hacer cálculos extensivos en esa época, en las tablas de la PCA se utilizaron varias hipótesis para simplificar el problema, entre las más importantes, considerar la variación de la rigidez de las cartelas (lineal o parabólica, según sea el caso de la geometría de acartelamiento) en función del momento de inercia principal en flexión, considerándolo independiente de la sección transversal, lo que se demostró que no es así (Tena-Colunga, 1996). Además, se despreciaron las deformaciones por cortante, así como la relación claro-peralte de la viga en la definición de los diversos factores de rigidez, simplificaciones que pueden llevar a errores significativos en la determinación de los factores de rigidez (Tena-Colunga, 1996). La formulación elástica de la rigidez de elementos de sección variable fue evolucionado con el tiempo, y posterior a la publicación de las tablas de la PCA, merecen mención especial los siguientes trabajos que se basan en la teoría de vigas. Just (1977) fue el primero en proponer una formulación rigurosa para elementos

1 Profesor, Departamento de Materiales, Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco, Av. San Pablo

# 180, Col. Reynosa Tamaulipas, 02200 México, D.F., e-mail: [email protected]

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mailto:[email protected]

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

de sección variable de secciones transversales cajón e I, basado en la teoría clásica de vigas de Bernoulli-Euler para elementos bidimensionales sin incluir deformaciones axiales. Schreyer (1978) propuso una teoría más rigurosa de vigas para elementos de variación lineal, en la cual se introducen las hipótesis generalizadas de Kirchhoff para tomar en cuenta las deformaciones por cortante transversales. Medwadowski (1984) resolvió el problema de flexión en vigas de cortante no prismática utilizando la teoría del cálculo de variaciones. Brown (1984) presenta un procedimiento donde se utilizan funciones de interpolación aproximadas consistentes con la teoría clásicas de vigas y el principio del trabajo virtual para definir las matrices de rigidez de elementos de sección variable. Tena-Colunga (1996) definió las matrices elásticas de rigidez bidimensionales y tridimensionales de elementos de sección variable basado en la teoría clásica de vigas de Bernoulli-Euler y el método de las flexibilidades, tomando en cuenta las deformaciones axiales y por cortante, así como la forma de la sección transversal y, con base en ello, propuso unas nuevas ayudas de diseño para substituir a las antiguas tablas de la PCA, mismas que se encuentran en Tena y Zaldo (1994) y Zaldo (1995). Tena-Colunga (1996) presentó el método en un formato simple que permite que su aplicación directa y/o su programación en programas de análisis estructural sea sencilla, lo que ha permitido su incorporación en programas comerciales como RC-Buildings (Barbosa, 2000), y educativos como SECVAR5 (Monroy, 2002). La formulación elástica de elementos de sección variable con base en el método del elemento finito también ha sido propuesta, y aquí caben destacar los siguientes trabajos. Yang y Yau (1987) presentaron una formulación para elementos finitos para vigas I de sección variable en la que se incluyen los efectos de alabeo por torsión. Takabatake (1990) presentó las ecuaciones de estado para elementos de sección variable de pared delgada y con dos ejes de simetría utilizando el principio de Hamilton para problemas dinámicos, llegando a soluciones cerradas para el caso estático. Además, Takabatake fue el primero en demostrar que la torsión por alabeo es un efecto muy secundario que puede despreciarse, aún para torres de sección variable en voladizo de sección transversal rectangular. El Mezaini et al. (1991) fueron los primeros en demostrar mediante análisis con elementos finitos que se podían llegar a soluciones erróneas si se utilizaban los factores de rigidez y transportes propuestos en las tablas de la PCA. Rajasekaran (1994) presentó una formulación de elementos finitos, limitada a deformaciones y rotaciones pequeñas, para el estudio de estabilidad dinámica y por pandeo de vigas de sección variable de sección transversal abierta genérica y de pared delgada. Recientemente, Balkaya (2001) presentó un estudio paramétrico que se concentra en el comportamiento de trabes acarteladas de sección T utilizando elementos finitos tridimensionales, con base en el uso del programa SAP90. El interesante estudio presentado por Balkaya (2001) ha motivado el presente artículo, ya que en él Balkaya establece tácitamente que sólo se pueden modelar razonablemente a los elementos de sección variable con el método del elemento finito, con base en argumentaciones que no están sustentadas en razonamientos firmes, o en comparaciones de los resultados obtenidos con elementos finitos con respecto a los resultados obtenidos utilizando otros métodos que han sido propuestos, como la teoría de Bernoulli-Euler propuesta por Tena-Colunga (1996). Por lo tanto, el presente trabajo hace la comparación de los resultados que se obtienen al modelar a las trabes acarteladas de sección T como vigas que cumplen con la teoría de Bernoulli-Euler según Tena-Colunga (1996), con respecto a las soluciones obtenidas con elementos finitos presentadas recientemente por Balkaya (2001). En las siguientes secciones se demostrará que la teoría de Bernoulli-Euler presentada en Tena-Colunga (1996) para modelar trabes acarteladas es robusta y permite llegar a resultados muy confiables cuando se compara con los resultados obtenidos por Balkaya (2001) con formulaciones de elementos finitos, además que se ilustrarán varios errores de concepto en los que lamentablemente incurrió Balkaya (2001) a la hora de procesar su información.

ALGUNOS COMENTARIOS SOBRE EL ESTUDIO DE BALKAYA (2001) Como se comentó anteriormente, Balkaya (2001) presentó un estudio paramétrico que se concentra en el comportamiento de trabes acarteladas de sección T utilizando elementos finitos tridimensionales, con base en el uso del programa SAP90. Balkaya definió coeficientes de rigidez y momentos de empotramiento a partir de elementos finitos, incluyendo implícitamente en ellos los efectos de acoplamiento por carga axial. Como resultado de su estudio paramétrico, y reconociendo que los elementos finitos tridimensionales no son prácticos para el análisis de trabes acarteladas en edificios, Balkaya propuso un “modelo práctico” de trabes acarteladas para el análisis en marcos, utilizando un elemento finito tipo viga de dos nodos, con base en un

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concepto de longitud efectiva definida a partir de pruebas de intento-error. La longitud efectiva de este elemento finito en 2D que representa a la trabe acartelada es 75% su longitud actual. El autor considera que el “modelado práctico” de trabes acarteladas propuesto por Balkaya utilizando otro elemento finito tipo viga con “longitudes equivalentes” es poco afortunado, y se puede demostrar que al final no está haciendo que plantear, de una manera burda, la solución que elegantemente presentó Medwadowski (1984) con base en el cálculo de variaciones o Brown (1984) utilizando métodos energéticos, que además son formalmente, mucho más adecuadas. Es opinión del que escribe que el “modelado práctico” de Balkaya es fruto de su conocida terquedad en promover al método de los elementos finitos como la única solución analítica confiable para elementos de sección variable, y de no tomar en cuenta la opinión de ingenieros de la práctica, lo que lamentablemente lo conduce a formular conclusiones miopes y proponer métodos poco prácticos. Por otra parte, el trabajo de Balkaya (2001) ofrece también información muy valiosa que vale la pena presentar. En particular, Balkaya presenta una discusión muy ilustrativa acerca del comportamiento general de elementos de sección variable, donde demuestra que la discontinuidad o variación de la ubicación de su eje neutro elástico a través de su longitud favorece una distribución no lineal de esfuerzos a través de su sección transversal y el acoplamiento de esfuerzos de flexión y carga axial (figura 1) por el efecto que se conoce como acción de arco, es decir, a medida que se aumenta el ángulo de acartelamiento, el trazado del eje neuto de elástico de la sección tiende a asemejar al de un arco (figura 2), principalmente si la variación de la sección es parabólica, por lo que en un caso extremo, la trabe acartelada tiende a comportarse como un arco (figura 2). Balkaya muestra que para el caso de trabes acarteladas de sección T, la variación en la ubicación del eje centroidal produce una “profundidad de arco” pequeña que resulta en un acoplamiento menor en cargas axiales que en la sección rectangular.

Figura 1. Distribución típica de esfuerzos normales en la unión viga-columna de cartelas de sección T. Nótese la diferencia con la distribución típica por flexión en el centro del claro (Balkaya, 2001)

"arco""arco"

ausencia de arco

Figura 2. Acción de arco en trabes acarteladas como consecuencia de la variación del eje neuto a través de su longitud, en contraste de lo que ocurre con las trabes prismáticas.

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COMPARACIÓN DE SOLUCIONES CON ELEMENTOS FINITOS VS TEORÍA CLÁSICA DE VIGAS

Un aspecto interesante del trabajo de Balkaya (2001) es que estudia con elementos finitos cómo afecta el incremento de la profundidad de acartelamiento en trabes acarteladas simétricas de sección T a los factores de rigidez y momentos de empotramiento. Además, presenta los resultados del análisis de un marco de una crujía con trabe acartelada de sección T utilizando elementos finitos en 3D, los cuales son muy valiosos para poder hacer comparaciones utilizando métodos que se basan en la teoría clásica de vigas, métodos energéticos y/o el cálculo de variaciones. Por lo tanto, en las siguientes secciones se compararán los resultados del estudio de Balkaya con respecto a los resultados que se obtiene a partir de teoría de Bernoulli-Euler para trabes acarteladas presentada en Tena-Colunga (1996). TRABE ACARTELADA SIMÉTRICA Balkaya (2001) presenta y discute con cierto detalle los resultados que obtiene a partir de análisis con elementos finitos elásticos tridimensionales (utilizando SAP90) para la familia de trabes acarteladas simétricas de sección T y variación lineal del acartelamiento que se ilustra en la figura 3. Balkaya consideró distintas profundidades de acartelamiento (en función del factor R, figura 3, que establece el cociente existente entre la profundidad adicional en el extremo con respecto al peralte de la sección media de la viga) y longitudes de acartelamiento (en función del factor α, fig 3). Las profundidades de acartelamiento consideradas fueron R=0.0 (simétrica), R=0.4, R=0.6, R=1.0, R =1.5 y R=2.0. Las longitudes relativas de acartelamiento consideradas fueron α=0.1, α=0.2, α=0.3 y α=0.4. Cabe destacar que la relación de aspecto (claro-peralte medio) de las trabes acarteladas bajo estudio es L/H=12.5, por lo que se puede considerar que se tratan de trabes acarteladas bien proporcionadas, donde las deformaciones por cortante deben tener un impacto de reducido a moderado en los coeficientes de rigidez, en función de la profundidad (R) y longitud de acartelamiento (α).

Lα L

H

bt

t

H+RHRH

w

f

ω

α L

Figura 3. Geometría de las trabes acarteladas símetricas de sección T estudiadas por Balkaya (2001) En las siguientes secciones se comparan los resultados obtenidos por Balkaya con elementos finitos tridimensionales (identificados con la sigla 3DFEM) con respecto a los que se obtienen a partir de teoría de Bernoulli-Euler para trabes acarteladas presentada por Tena-Colunga, identificados por la sigla TABE (trabe acartelada-Bernoulli Euler). Cabe señalar que Balkaya (2001) no especificó en su artículo la metodología para calcular momentos de empotramiento y factores de rigidez a partir de elementos finitos, por lo que uno debe interpretar con cautela los resultados que presenta. Momentos de empotramiento En la figura 4 se comparan los momentos de empotramiento ante carga uniformemente distribuida, y de su observación se concluye lo siguiente:

1. Bajo ambos modelados (3DFEM y TABE), los momentos de empotramiento se incrementan a medida que la longitud relativa de acartelamiento (α) aumenta, por lo que en ese aspecto ambos procedimientos coinciden.

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2. Los momentos de empotramiento se incrementan a medida que se aumenta la profundidad de acartelamiento (R) bajo el modelado TABE; sin embargo, en el modelado 3DFEM, los momentos de empotramiento se incrementan cuando R≤1.0 y, alcanzado su valor máximo, descienden a medida que aumenta la profundidad de acartelamiento R. Quizá Balkaya podría atribuir esta diferencia a la acción de arco, ya que, en teoría, ésta se hace más importante a medida que aumenta la profundidad de acartelamiento R. Sin embargo, resulta difícil explicar entonces cómo una trabe acartelada de gran profundidad (R=2.0) absorbe un momento de empotramiento menor que una de profundidad menor (R=1.0) para una longitud relativa de acartelamiento dada (α), siendo que la trabe acartelada con R=2.0 es más rígida que aquella con R=1.0, por lo que la teoría clásica de vigas y el sentido común sugerirían lo opuesto.

3. Por otra parte, se observa que los resultados presentados para ambos modelados concuerdan cuando R≤0.6.

α L

HRH

α L

Figura 4. Comparación de momentos de empotramiento para el ejemplo 15 de Balkaya (2001)

Factor principal de rigidez a flexión (r11x) En la figura 5 se compara el factor de rigidez principal a flexión, denominado r11x en Tena-Colunga 1996 (r11x=4EI/L para vigas prismáticas donde se desprecian las deformaciones por cortante). Para ambos modelados, el coeficiente de rigidez r11x se incrementa a medida que aumentan tanto la longitud relativa (α) como la profundidad (R) de acartelamiento; sin embargo, este coeficiente es bastante mayor para el modelado 3DFEM cuando la profundidad de acartelamiento R es mayor a 0.6 (R>0.6) para cualquier longitud relativa de acartelamiento (α) dada. Esto invita a hacer la siguiente reflexión: si la acción de arco es también responsable de este fenómeno, entonces ¿cómo puede explicarse que los momentos de empotramiento para trabes acarteladas con mayores profundidades de acartelamiento bajo el modelado

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3DFEM se reducen a medida que aumenta R y comparativamente son menores que los calculados con TABE (fig 4), si r11x se incrementa notablemente bajo el modelado 3DFEM a medida que la profundidad de acartelamiento R aumenta? Es opinión del autor que existe una notable inconsistencia en los resultados presentados por Balkaya (2001), quizá debido a un procedimiento erróneo para calcular estas cantidades a partir de elementos finitos.

α L

HRH

α L

Figura 5. Comparación del coeficiente de rigidez r11x para el ejemplo 15 de Balkaya (2001)

Factor de transporte de rigidez a flexión En la figura 6 se compara el factor de transporte de rigidez principal a flexión entre ambos modelos. De acuerdo con la notación propuesta en Tena-Colunga (1996), este se calcula para el modelo TABE como:

x

x

rrcof22

12= (1)

donde r12x es la rigidez a flexión del extremo no restringido cuando se fija el extremo opuesto (r12x=2EI/L para vigas prismáticas donde se desprecian las deformaciones por cortante). Se aprecia una notoria discrepancia en el cálculo de los factores de transporte entre ambos modelados para profundidades de acartelamiento R>0.6, ya que bajo el modelado TABE, los factores de transporte aumentan siempre a medida que α y R aumentan, mientras que con el modelado 3DFEM, los factores de transporte inicialmente aumentan para después descender abruptamente a medida que las profundidades de acartelamiento R aumentan. Además, se obtienen factores de transporte negativos para R≥1.5 bajo el modelado 3DFEM para longitudes efectivas de acartelamiento α≤0.2. El autor considera que los resultados presentados por Balkaya (2001) para el modelo 3DFEM son erróneos y seguramente están asociados al

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procedimiento seleccionado por Balkaya (no especificado) para calcularlos a partir de elementos finitos, por las siguientes razones.

α L

HRH

α L

Figura 6. Comparación del factor de transporte para el ejemplo 15 de Balkaya (2001)

Primero, los resultados que presenta Balkaya (2001) son para trabes acarteladas simétricas con relaciones claro-peralte menor L/H=12.5 (fig 3), por lo que los factores de transporte que debiera presentar Balkaya deben considerar la geometría completa de la trabe acartelada en estudio. Si esto es cierto, entonces uno no puede aceptar que los factores de transporte se reduzcan, e incluso se vuelvan negativos, para trabes bien proporcionadas, ya que las deformaciones por cortante no son importantes para tales vigas. Los factores de transporte negativos sí pueden obtenerse, pero únicamente para vigas muy cortas (por ejemplo, L/H<2) o muros, ya que para esas relaciones de aspecto, las deformaciones por cortante si son importantes. Lo anterior se puede ilustrar de manera sencilla para una viga prismática común. Se puede demostrar que para una viga prismática donde se incluyen las deformaciones por cortante, el factor de transporte se calcula como:

( )( )

( )( )

y

y

Y

xy

Y

xy

x

x

LEI

LEI

rrcof

Φ+Φ−

=

Φ+Φ+

Φ+Φ−

==42

14

12

22

12 (2)

donde:

( )2

2 12412

+==ΦLr

AA

LGAEI x

cycy

xy ν (3)

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Por lo tanto, es claro a partir de la ecuación 2 que la única manera de obtener un factor de transporte negativo es cuando Φy>2, y a partir de la ecuación 3 se observa que Φy aumenta a medida que aumenta el cociente entre el radio de giro de la sección y la longitud del elemento (rx/L), es decir, a medida que las dimensiones de la sección transversal del elemento se aproximan a su longitud, lo que se sabe desde hace mucho tiempo. Balkaya consideró una profundidad de acartelamiento máxima R=2, por lo que la relación de aspecto mínimo de su trabe acartelada más profunda sería L/(H+RH)=4.17 si fuera prismática (que no lo es), por lo que uno sabe que L/(H+RH)>4.17. En todo caso, las trabes acarteladas con α=0.4 serían las más cercanas a ser consideradas vigas cortas que aquellas donde α=0.1; sin embargo, Balkaya (2001) calcula factores de transporte negativos para estas últimas (α=0.1). Entonces, ¿cómo puede explicarse esta inconsistencia en los resultados presentados por Balkaya?

HRH

α L

TABE

α L

HRH

α L

3DFEM

Figura 7. Comparación del factor de transporte para el ejemplo 15 de Balkaya (2001), considerando

únicamente la sección variable para el modelo TABE

Aunque el autor ignora todo acerca de cómo calculó Balkaya los factores de transporte a partir de elementos finitos tridimensionales, su intuición y conocimiento sobre el método del elemento finito le sugieren que quizá Balkaya haya obtenido factores de transporte (y de rigidez) locales, principalmente relacionados con uno de los extremos variables de la trabe acartelada , en vez de calcularlos para toda la trabe acartelada, como debe ser. Esto se ilustra con ayuda de la figura 7, donde los factores de transporte mostrados para el modelado TABE corresponden exclusivamente para uno de los extremos de sección variable de la trabe acartelada. Se observa que si únicamente se modela uno de los extremos de sección variable de la trabe acartelada, los factores de transporte obtenidos para TABE para valores de α≤0.2 son en verdad negativos, ya que la relación de aspecto (L/H) de la sección variable es, en efecto, corta. Sin embargo, cabe señalar que las curvas para TABE son distintas a las presentadas para 3DFEM por Balkaya, como se aprecia de la misma figura 7.

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MARCO DE UNA CRUJÍA CON TRABE ACARTELADA La comparación con el trabajo de Balkaya (2001) sería incompleta si no se compararan los elementos mecánicos que presenta para el marco de una crujía con trabe acartelada simétrica que se ilustra en la figura 8, utilizando elementos finitos tridimensionales con el SAP90, con los que se obtienen a partir de un análisis de marco plano modelando a la trabe acartelada conforme lo propone Tena-Colunga (1996). Con la finalidad de comparar la aproximación que cualquier persona pudiera obtener a partir de las ayudas de diseño que se presentan en Tena y Zaldo (1994), se calcularon los coeficientes de rigidez y momentos de empotramiento para la trabe en cuestión y se utilizó un programa conocido de marcos planos que permitiera introducir estos coeficientes, para lo que se seleccionó el programa DRAIN-2DX (Prakash et al. 1992), cuya disponibilidad de uso es amplia hoy en día. Se consideraron tres modelos diferentes para representar a la trabe acartelada del marco de la figura 8, como se ilustra en la figura 9: (1) modelando a la trabe acartelada con un solo elemento (modelo TA1), (2) modelando a la trabe acartelada con tres elementos, uno prismático en la sección media y dos de sección variable en los extremos (modelo TA3) y, (3) modelando a la trabe acartelada con cinco elementos, utilizando un par de elementos prismáticos adicionales para modelar los extremos de la trabe en la conexión viga-columna (TA5).

0.40

0.40

2.50

0.50 0.50 3.00 1.00 1.00

1.25

0.25

0.12

w = 0.764 t/m

Unidades en m

3D (Sólidos)

Figura 8. Marco con trabe acartelada estudiado por Balkaya

a) Modelo TA1

w=0.764 t/m

0.5 0.51.0 1.03.0

0.40.4

2.5

b) Modelo TA3

w=0.764 t/m

0.5 0.51.0 1.03.0

c) Modelo TA5

w=0.764 t/m

0.5 0.51.0 1.03.0

Figura 9. Modelos TA1, TA3 y TA5 para el marco de la Figura 8.

De acuerdo con lo que argumenta Balkaya (2001) a-priori, el peor modelado sería el TA1, ya que una viga “recta” no puede modelar satisfactoriamente la acción de arco, salvo que, como propone Tena-Colunga (1996), se tome en cuenta la ubicación exacta del eje neutro a través de la longitud del elemento en el cálculo de los factores de rigidez y de los momentos de empotramiento. A-priori, pudiera pensarse que el modelo TA3 puede representar razonablemente la acción de arco, aunque tener dificultades modelando la rigidez en la conexión viga-columna, como la mayoría de los elementos tipo viga-columna tienen. Finalmente, el modelo TA5 debiera ser, a-priori, el que mejor modelara a la viga, incluyendo las zonas extremas.

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Con respecto al modelado de la conexión viga-columna, es bastante incierto, y difícil decidir qué proporción de la unión viga-columna debe considerarse como zona rígida para fines de análisis, problema que no es exclusivo de las trabes acarteladas. En este respecto, el modelado con elementos finitos tridimensionales (3DFEM) es más apropiado; sin embargo, no es un método de análisis que sea práctico para todas las aplicaciones, principalmente para el análisis de edificios. Con la finalidad de ganar algún conocimiento sobre qué modelado es más correcto para la unión viga-columna (nudo) utilizando elementos viga-columna, se consideraron tres hipótesis diferentes sobre la rigidez “infinita” de la unión viga-columna: 100% efectiva (nudo rígido), 50% efectiva y 0% efectiva (nudo flexible). Una recomendación común para el análisis de edificios de concreto reforzado de mediana altura o muy altos es considerar 50% de la conexión viga-columna como infinitamente rígida. Los elementos mecánicos calculados para el marco mostrado en la figura 9 bajo los modelos TA1, TA3 y TA5 se comparan con los calculados por Balkaya con el SAP90 (3DFEM, fig 8) en la tabla 1. Se puede concluir que la aproximación de todos los modelos (TA1, TA3 y TA5) cuando se considera que la unión viga-columna es 50% efectiva, con el modelo de elementos finitos (3DFEM) es más que razonable. Contrario a lo que se pudiera suponer a-priori, la mejor aproximación se obtiene para el modelo TA1 con uniones viga-columna 50% efectivas. Sin embargo, para fines de diseño sería más conservador sobre estimar los elementos mecánicos de diseño en la trabe acartelada, por lo que bajo esta óptica quizá el modelo TA3-50% sería más apropiado.

Tabla 1. Elementos mecánicos de trabe acertelada y columnas

Modelo Zona rígida Elementos mecánicos en viga Elementos mecánicos en columnas en el nudo Cara de la cartela Centro de claro Cara superior de la columna Base Momento Cortante Axial Momento Momento Cortante Axial Momento (t-m) (t) (t) (t-m) (t-m) (t) (t) (t-m)

3DFEM 1.220 1.914 0.914 1.016 1.372 0.914 -2.10 -0.913 100% 1.381 1.754 1.188 0.870 1.422 0.917 -2.10 -0.870

HB5 50% 1.255 1.761 1.141 1.003 1.310 0.870 -2.10 -0.865 0% 1.116 1.771 1.078 1.152 1.192 0.805 -2.10 -0.820 100% 1.466 1.937 1.257 0.886 1.486 0.958 -2.10 -0.909

HB3 50% 1.312 1.872 1.152 1.026 1.330 0.884 -2.10 -0.880 0% 1.157 1.801 1.040 1.171 1.178 0.797 -2.10 -0.815 100% 1.254 1.910 1.033 1.134 1.581 1.033 -2.10 -1.022

HB1 50% 1.178 1.910 0.894 1.210 1.338 0.894 -2.10 -0.896 0% 1.118 1.910 0.789 1.270 1.113 0.749 -2.10 -0.759

En cualquier caso, de la comparación de los resultados obtenidos para el marco de referencia, uno puede concluir que: (1) en el modelado de trabes acarteladas que forman parte de marcos sujetos ante carga vertical, parece que se requiere un máximo de tres elementos viga-columna de sección variable para modelar a las trabes acarteladas para tener una estimación razonable de los elementos mecánicos, y en la gran mayoría de los casos, un elemento acartelado propiamente definido es más que suficiente y, (2) los factores de rigidez y momentos de empotramiento para trabes acarteladas de sección T calculadas a partir del procedimiento establecido en Tena-Colunga (1996) pueden ser utilizados con confianza para fines de análisis.

COMENTARIOS FINALES El artículo presenta una comparación de los resultados que se obtienen al modelar a las trabes acarteladas de sección T como vigas que cumplen con la teoría de Bernoulli-Euler, con respecto a soluciones obtenidas con elementos finitos presentadas recientemente en la literatura especializada. Se compararon los coeficientes de rigidez (incluyendo el factor de transporte) y momentos de empotramiento determinados con uno y otro procedimiento, para una familia de trabes acarteladas simétricas de sección T y de este estudio se desprende que el trabajo de Balkaya (2001) presenta inconsistencias en su metodología para definir tales parámetros a partir de elementos finitos, por lo que los resultados que presenta son erróneos, lo que se aprecia principalmente para trabes acarteladas profunadas (R>0.6).

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Se compararon los elementos mecánicos de un marco con trabe acartelada sujeto a carga uniformemente distribuida obtenidos mediante un análisis con elementos finitos, con respecto al que se obtiene modelando a todos los elementos conforme a la teoría de Bernoulli-Euler. De la comparación de los resultados obtenidos para el marco de referencia, uno puede concluir que: (1) en el modelado de trabes acarteladas que forman parte de marcos sujetos ante carga vertical, parece que se requiere un máximo de tres elementos viga-columna de sección variable para modelar a las trabes acarteladas para tener una estimación razonable de los elementos mecánicos, y en la gran mayoría de los casos, un elemento acartelado propiamente definido es más que suficiente y, (2) los factores de rigidez y momentos de empotramiento para trabes acarteladas de sección T calculadas a partir del procedimiento establecido en Tena-Colunga (1996) pueden ser utilizados con confianza para fines de análisis. De hecho, las ayudas de diseño presentadas en Tena y Zaldo (1994) para trabes acarteladas y elementos variables de sección T pueden utilizarse con confianza, siempre y cuando no existan cambios abruptos en la forma de la sección transversal (por ejemplo, relaciones de aspecto del patín y del alma), ya que los coeficientes de rigidez en elementos de sección variable dependen de la forma de la sección transversal, como se demostró anteriormente en Tena-Colunga (1996). Finalmente, el autor considera que, afortunadamente, existen actualmente varios procedimientos analíticos muy confiables para el modelado elástico trabes acarteladas, por lo que recomienda no casarse con uno en particular. En ocasiones será más adecuado emplear el método del elemento finito, mientras que en otras, modelar a las trabes acarteladas con teoría de vigas apropiadas resulta suficientemente aproximado para fines prácticos.

REFERENCIAS Barbosa R. (2000), Comunicación personal.

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