sociedad mexicana de ingeniería estructural, a.c. 090 · de vibrar en estructuras de cortante. ......

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

ALGORITMOS PARA LA OBTENCIÓN DEL MODO FUNDAMENTAL Y MODOS NATURALES DE VIBRAR EN ESTRUCTURAS DE CORTANTE.

Ramón Morales Ross1

RESUMEN Los algoritmos de análisis modal aquí expuestos pueden aplicarse manualmente con calculadora de escritorio sencilla, con calculadora de escritorio programable en lenguaje Basic y en computadoras personales. En este artículo se presentan brevemente cuatro procedimientos de análisis: con el primero se obtiene el modo fundamental aproximado, el segundo nos proporciona la frecuencia aproximada del primer modo y con los dos restantes obtenemos los modos naturales de vibrar. Los tres primeros algoritmos son propuestas de solución diferente a las ya conocidas y el último es el método de Holzer programado para calculadoras de escritorio.

SUMMARY

The modal analysis algorithm here are exposed can apply manually with desk easy calculator, with programmable desk calculator in Basic language and in personal computers. In this article, we present briefly four analysis procedure: with the first one, obtain us the approximate fundamental way, the second provides us the frequency of the first way and with the others two remaining we obtain naturals way of vibrate. The three firsts algorithms are proposal of different solutions for those already known and the last one is the Holzer method was programmed for desk calculators.

INTRODUCCIÓN Escribir en la actualidad sobre la obtención de la respuesta dinámica de la vibración libre en estructuras de cortante, mediante la aplicación de cualquier método de análisis conocido, podría resultar una labor estéril desde el punto de vista académico y más aún en la práctica profesional, debido a la excelente calidad de los múltiples tratados que existen sobre el tema y, a la disponibilidad de diversos programas de análisis y diseño estructural que resuelven el problema mediante técnicas numéricas incluidas en los mismos. Por lo que la publicación de este trabajo puede ser justificada académicamente en función de las propuestas de solución diferentes a las ya conocidas.

OBTENCIÓN DEL MODO FUNDAMENTAL APROXIMADO EN ESTRUCTURAS DE CORTANTE

(ALGORITMO I) El procedimiento propuesto, puede emplearse en marcos rígidos en su modelo dinámico mas simplificado conocido como viga de cortante equivalente, en el cual cada grado de libertad se asocia con el centroide de las masas de cada nivel o piso. La matriz diagonal de estas masas se tabulan en el mismo orden que los desplazamientos, al igual que la matriz de rigidez, la cual resulta tridiagonal. La estructura o marco rígido por resolver, lo llamaremos sistema original y lo sustituimos por un número finito de estructuras de dos y tres niveles (incluso un nivel) a los que llamaremos subsistemas, cada uno de estos subsistemas supondremos que se deforman en la configuración del modo fundamental del sistema dado.

1 Miembro del Colegio de Ingenieros Civiles de Tabasco A. C., Calle del Trabajo No. 103 Col. Rovirosa; C.P. 86000, Villahermosa Tabasco, Tels.: (01 99 3) 3 52 24 28 y 3 52 24 29, e-mail: [email protected]

167

090

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

La configuración y frecuencia circular del modo fundamental de cada subsistema, se obtiene de la ecuación matricial del movimiento de un cuerpo en vibración libre “ecuación 1”. El valor de la W en cada subsistema se obtiene de la programación de las fórmulas “ecuaciones 2 y 3” que son las expresiones para subsistemas de dos y tres niveles respectivamente y la frecuencia circular al cuadrado del sistema original se calcula con la expresión de Dunkerley “ecuación 4”:

21 j

[ ]{ } 02 =− nnnn aMWK (1)

21

1212 aMaM

aKWmi

i+

= (2)

( )3

23213 aM

aaKWs

s −= (3)

21

1

21

1

−=

=∑

=

jkj

jW

W (4)

Para aplicar el método, es necesario utilizar como herramienta de trabajo una calculadora de escritorio programable en lenguaje Basic alimentada con dos microprogramas con los cuales obtenemos la frecuencia circular al cuadrado y forma (configuración) del modo fundamental para los subsistemas propuestos de dos o tres niveles.

El número de subsistemas debe ser tal que la suma de sus niveles sea igual al número de niveles del sistema original. El primer subsistema debe representar el movimiento en vibración libre de un sistema masa-resorte de dos o tres pisos, teniendo como base el nivel cero de la estructura y el resto de la misma, se representa con elementos de rigidez infinita con la masa aplicada en su nivel respectivo, el efecto que estas masas producen en el subsistema analizado, se toma en cuenta al hacer la sumatoria de cada una de ellas, incluyendo la del último piso del subsistema en estudio, la cual representara la masa total (equivalente) aplicada en este nivel. En el segundo subsistema los entrepisos del subsistema anterior los resortes son reemplazados por elementos de rigidez infinita donde la masa por nivel en esta zona no tienen significado, a continuación se colocan los resortes que representan la rigidez de entrepiso con el mismo valor numérico del sistema original y por último se colocan los elementos con rigidez infinita con la masa de cada nivel, el proceso se repite para cada subsistema hasta el último piso del sistema original.

La sumatoria de las amplitudes por nivel, obtenidas en cada subsistema nos da la forma del modo fundamental de la estructura original, y la frecuencia circular al cuadrado, se obtiene de sustituir las frecuencias circulares calculadas para cada subsistema en la expresión de Dunkerley.

Dado un edificio de cortante de “n” pisos, necesitamos primero determinar los dos parámetros estructurales básicos: masa por nivel y rigidez lateral para cada entrepiso, con estos datos se procede de la siguiente manera:

E R I =

E R I = E le m e n to s c o n R ig id e z In f in ita

M

S IS T E M A O R IG IN A L

1K 1

K 2

2W 1 1

1

M 1

1K

K 2

S U B S IS T E M A S

2

1

3

M

M

M

M

M

M

5

2

33K

4K 4

K 5

M

M 2

3

K 3

E R I = M 4

nK n

N IV E L(F /L )

K

MM 5

M n

M(F - t / L )2

E R I =

2

3

45K M

K = E R I5

n

n

MM 5

M n n

K n

M

W 1 2 2 2W 1 3

4K

4

= + +

Figura 1 Edificio de Cortante de “n” pisos

168

090


El modelo matemático masa-resorte de cada subsistema anterior por resolver quedaría, tal como se indica a continuación:

W11(1)

3a

M

M

M

2

i

m

K1

K

K1

2

s

3K

4

3K

1Mi a1

s

2MMm

a3

a2

NIVEL

5

n

a3

a3

(2) (3)MODO FUNDAMENTAL

FORMA DEL

K5mK4MMi

4KiK

Σ MMMMm r

aMM

a2

a1

n

a1

a1

a3

a2

1

a2

a1a2

r=n

r=5

Σ MMrr=3

r=n

KKi n

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2W12

2W13

2

m=3

m=5

3a

3a

3a a2

K

+ =+

Figura 2 Subsistemas Masa-Resorte

nr

nr

rs MMMMMM +++===∑

=

=543

3 (5)

(6) n

nr

rrs MMMM +===∑

=

=5

5

Aplicando Dunkerley “ecuación 4”: 2)/(

213

212

211

21 111

1 segrad

WWW

=++

=W (7)

donde:

=21W Frecuencia circular del modo fundamental del sistema original ( . 2)/ segrad

=21 jW Frecuencia circular de los subsistemas 2)/(3,2,1 segradj =

=ia Amplitudes arbitrarias del modo i para subsistemas de tres niveles, i3,2,1= 2,1= para subsistemas de dos niveles.

=∑=

=r

nr

mrM Suma de las masas, a partir del último nivel, para el subsistema en estudio.

=m Nivel superior del subsistema en estudio. =n Número de niveles de la estructura original. =j Número del subsistema en estudio. =k Número de subsistemas.

MICROPROGRAMA “A” (CALCULADORA CON LENGUAJE DE PROGRAMACION BASIC)

10 REM Obtención de la frecuencia y forma del primer modo de vibrar en estructuras de cortante de dos niveles. 15 INPUT “Ki[ton/m]=”;Ki,"Km=";Km;"Ks="; Ks, “Mi[ton- seg^2/m]=” ; Mi, "Mm=";Mm, “Ms=”;Ms 20 IF Ks>0 THEN GOTO 55 25 K1=Ki+Km:K2=Km:A=Mi*Mm:B=-(K2*Mi+K1*Mm): C=K2*K1- (K2)^2:D=-B-(B^2-4*A*C)^0.5:D1=D/(2*A): w=D1^0.5: a1=1: a2=(K1-K2-D1*Mi)*a1/(D1*Mm):W=D1:SET F3 30 PRINT "a1=";a1,"a2=";a2 35 PRINT "w";"=";w;"(rad/seg)"

169

090


40 PRINT "W";CHR$(146);"=";W;"(rad/seg)"; CHR$(146) 45 END 50 REM Obtención de la forma del primer modo de vibrar en estructuras de cortante de tres niveles. 55 INPUT “W [(rad/seg)^2]=”;W 60 K1=Km+Ki:K2=Ks+Km:K3=Ks:w=W^0.5:a1=1:a2=(K1-W*Mi)/Km:

a3=K3*a2/(K3-W*Ms):SET F3 65 PRINT "a1=";a1,"a2=";a2,"a3=";a3 70 PRINT "w";"=";w;"(rad/seg)" 75 PRINT "W";CHR$(146);"=";W;"(rad/seg)";CHR$(146) 80 END

MICROPROGRAMA “B” (CALCULADORA CON LENGUAJE DE PROGRAMACION BASIC)

MODO CAL (seleccionado al encender la unidad) K1=Km+Ki:K2=Ks+Km:K3=Ks:A1=(K1*Ms*Mm+K3*Mm*Mi+K2*Ms*Mi)*X^2

: A2=((Km)^2*Ms+(K3)^2*Mi-K3*K1*Mm-K2*K1*Ms-K3*K2*Mi)*X :A3=(K3*K2*K2-(Km)^2*K3-(K3)^2*K1) :A4=(A1+A2+A3)/(Ms*Mm*Mi):W=(A4)^(1/3) IN

OBTENCIÓN APROXIMADA DE LA FRECUENCIA CIRCULAR DEL MODO FUNDAMENTAL EN ESTRUCTURAS DE CORTANTE (ALGORTIMO II)

La estructura o sistema original se divide en un número finito de estructuras de dos y tres niveles llamados subsistemas, se emplea el método energético de Southwell–Dunkerley, suponiendo una configuración o forma arbitraria del primer modo, obtenemos la frecuencia circular al cuadrado de cada subsistema por la aplicación de dos expresiones escogidas y deducidas de la expresión general de piso de las frecuencias modales según algoritmo III, que serían para el subsistema de dos niveles la “ecuación 2” y para el subsistema de tres niveles la “ecuación 3”, para el caso de un subsistema de un nivel se emplea la “ecuación 8”. La frecuencia circular al cuadrado que se aproxima a la del primer modo se determina mediante la aplicación de la ecuación de Dunkerley “ecuación 4”:

MKW j =2

11 (8)

Con la frecuencia circular calculada y el apoyo de una calculadora de escritorio programable alimentada con un microprograma “C”, obtenemos la forma y frecuencia exacta del primer modo empleando la técnica de Holzer y la ecuación de convergencia de Crandall – Strang modificándose la tabla conocida de Holzer.Cabe aclarar que los subsistemas escogidos pueden ser de varios niveles, auxiliándose para la obtención de la i de cualquier expresión de las múltiples posibles, del algoritmo III.

21 jW

Este método es otra herramienta de análisis matemático que nos permite calcular fácilmente un valor cercano a la frecuencia circular del modo fundamental de vibrar en estructuras de cortante.

Para cualquier sistema vigas – columnas o marcos rígidos de “n” pisos, con valores estimados de masa por nivel y rigidez lateral o de entrepiso, procedemos para encontrar la forma y frecuencia circular del primer modo de vibrar de la siguiente manera. La estructura o sistema original lo dividimos en un número finito de subsistemas (ver algoritmo I ó método I), de cualquier número de pisos, para nuestra disertación lo consideraremos de dos y tres niveles (incluso un nivel), indicando, número de niveles, número de subsistemas, rigidez lateral, masa por nivel de la estructura original y masa por nivel de cada subsistema tal como se muestra en la figura adjunta.

170

090


Σ Σ

Figura 3 Estructura de Tres Subsistemas

Donde:

K1 = Ki K4 = KI K7 = KI

K2 = Km K5 = Km K8 = Km

K3 = KS K6 = Ks 0 = Ks

M1 = Mi M4 = Mi M7 = Mi

M2 = Mm M5 = Mm M8 = Mm

∑=

=

==8

33

r

rrS MMM ∑

=

=

==8

66

r

rrS MMM

0 = Ms

Suponemos en la estructura original una configuración o forma del primer modo de vibrar, es usual asignar valores arbitrarios a las amplitudes de los desplazamientos en cada nivel, cuyos valores propuestos por nivel corresponden al número de nivel de cada masa.

Figura 4 Estructura de Ocho Niveles

Las amplitudes arbitrarias en el sistema original serían:

a1=1.00 a4=4.00 a7=7.00

a2=2.00 a5=5.00 a8=8.00

a3=3.00 a6=6.00

En el subsistema 1: En el subsistema 2: En el subsistema 3:

a1 = 1.00 a4 = a1 =1.00 a7 = a1 =1.00

a2 = 2.00 a5 = a2 =2.00 a8 = a2 =2.00

a3 = 3.00 a6 = a3 =3.00

171

090


Obtención de la frecuencia circular al cuadrado de cada subsistema, a los que llamaremos tipo Southwell – Dunkerley por la aplicación de las ecuaciones al inicio mencionadas y ordenadas tal como se muestra en la siguiente tabla:

Tabla 1 Ecuaciones Propuestas

Subsistema a1 a2 a3 Ki Ks Mi Ms Ecuaciones Propuestas 21 jW

1 1 2 3 - K3 M1 ∑=

=

8

3

r

rrM

( )( )3

232113 aM

aaKW

s

s −= 2

113W

2 1 2 3 - K6 M4 ∑=

=

8

6

r

rrM

( )( )3

232123 aM

aaKW

s

s −= 2

123W

3 1 2 - K7 - M7 M8

( )( ) ( )21

12132 aMaM

aKW

mi

i+

=

2132W

Las ecuaciones propuestas, pueden reducirse a una mínima expresión algebraica, quedando de la siguiente manera:

• Subsistema de dos niveles: a1=1.00 y a2=2.00

)(22

12mi

in MM

KW

+= =

m

mMK*2

(9)

• Subsistema de tres niveles: a2=2.00 y a3=3.00

)(32

13s

sn M

KW = (10)

Obtención de la frecuencia circular al cuadrado (aproximada) del modo fundamental en el sistema original:

1132

2123

2112

21 111

1

WWW

W++

= (11)

MICROPROGRAMA “C”

10 REM Obtención de los modos de vibrar en estructuras de cortante 15 INPUT"Ki[ton/m]=";Ki,"Km=";Km,"Ks=";Ks,"Mi[ton-seg^2/m]"=;Mi, "Mm=";Mm,"Ms=";Ms 20 INPUT "W (rad/seg)^2=";W 25 INPUT "Qn[ton]=";Qn,"an[m]=";an 30 X=W 35 IF Ks=0 THEN GOTO 70 40 ri=Qn/Ki:Q1=Qn*ri:a1=an+ri:Fi=-(X*a1*Mi):F1=ABS(Fi*a1):Qm=Qn+Fi:

rm=Qm/Km:Q2=Qm*rm:a2=a1+rm:Fm=-(X*a2*Mm): :F2=ABS(Fm*a2): Qs=Qm+Fm

45

rs=Qs/Ks:Q3=Qs*rs:a3=a2+rs:Fs=-(X*a3* Ms ):F3=ABS(Fs*a3): Fr=Q1+Q2+Q3: Fd=F1+F2+F3:Qn=Qs+Fs:SET F3

50 PRINT "a1=";a1,"a2=";a2,"a3";a3 55 an=a3 60 PRINT "an=";an,"Qn=";Qn,"Fr=";Fr,"Fd=";Fd 65 END 70

X=W:ri=Qn/Ki:Q1=Qn*ri:a1=an+ri:Fi=-(X*a1*Mi): F1=ABS(Fi*a1):Qm= Qn+Fi:rm=Qm/Km:Q2=Qm*rm:a2=a1+rm:Fm=-(X*a2*Mm): F2=ABS

172

090


(Fm*a2):Fr=Q1+Q2:Fd=F1+F2: Qn=Qm+Fm:SET F3 75 PRINT "a1=";a1,"a2=";a2 80 an=a2 85 PRINT "an=";an,"Qn=";Qn, "Fr=";Fr,"Fd=";Fd 90 END

OBTENCIÓN DE LOS MODOS DE VIBRAR EN ESTRUCTURAS DE CORTANTE

(ALGORITMO III) En un sistema conservador, en particular en vigas de cortante equivalente la respuesta dinámica que nos interesa encontrar son los modos naturales de vibrar del sistema, los cuáles quedan definidos por sus frecuencias y formas naturales de vibrar. El procedimiento consiste en plantearse las ecuaciones dinámicas en cada piso con cuerpos libres de los mismos en cadena, lo cuál nos permite encontrar la respuesta dinámica en este tipo de modelo, proporcionándonos en forma directa una ecuación a la que llamamos expresión general de piso de las frecuencias modales, de la cuál emana la ecuación del último piso, la ecuación de pisos intermedios y la ecuación del primer piso.

El método puede emplearse manualmente para encontrar el modo fundamental de vibrar, aplicarlo de esta manera nos conduce a auxiliarnos de Holzer, por lo que un nombre apropiado podría ser el de Holzer modificado para modos superiores no se recomienda proceder de esta manera, sin embargo puede fácilmente programarse en lenguaje MATLAB para una aplicación general. En estos tipos de sistemas masa-resorte llamados también sencillamente acoplados es fácil demostrar, que el cortante dinámico en cualquier entrepiso, es igual a la suma de las fuerzas de inercia de todos los niveles arriba del mismo, conforme a esta aseveración, y haciendo cuerpo libre en cualquier entrepiso intermedio, según como se observa en la figura 5, la ecuación de equilibrio dinámico será:

Figura 5 Sistema Masa-Resorte

∑=

=

=ni

yiziiix WaMV 2 (12)

Siendo: )( )1( −−= xxxx aaKV (13)

173

090


La expresión de la frecuencia circular al cuadrado del piso en estudio queda:

∴ ( )( )

∑=

=

−−=

ni

xiii

xxxzx

aM

aaK 12W (14)

Donde:

xK = Rigidez del entrepiso intermedio en estudio.

xa = Amplitud arbitraria del piso intermedio en estudio.

( 1−xa ) = Amplitud anterior del piso intermedio en estudio. La expresión general en cualquier piso de las frecuencias modales quedaría:

∑=

=

−−= ni

yiii

yyyzy

aM

aaKW

)( )1(2 (15)

Donde:

W 2zy

= Frecuencia circular al cuadrado de cualquier modo en el piso “y” en estudio.

yV = Cortante dinámico de cualquier modo en el entrepiso en estudio.

yK = Rigidez del entrepiso en estudio

ya = Amplitud arbitraria del nivel “y” en estudio, para cualquier modo “z”.

)1( −ya = Amplitud anterior a la del nivel en estudio, para cualquier modo “z”.

iM = Masa del nivel i.

ia = Amplitud arbitraria del nivel "i", para cualquier modo “z”.

g = Aceleración debida a la gravedad

n = Número de niveles y de entrepisos

z = Modo de vibrar en estudio

En función del peso " " nP

−=

∑=

=

−ni

yiii

yyyzy

aP

aaKg

)( )1(2W (16)

Recordando que: zy

zy TW π2= (17)

Expresión General de Piso de los Períodos Modales:

( )( )

2/1

1)(2

−=

−

=

=∑

yyy

ni

yiii

zy aaKg

aP

T π (18)

174

090


En la expresión general de las frecuencias modales propuestas los únicos valores conocidos son el número de niveles del edificio, la rigidez de cada entrepiso ( )yK y la masa ( )yM por nivel, las respuestas dinámicas

buscadas son los modos naturales de vibrar definidos por sus frecuencias ( , períodos )zW

zWπ2

y

configuraciones modales . ( )za En páginas posteriores se explica como proceder manualmente para la obtención del modo fundamental, además se desarrolla un programa en lenguaje MATLAB para encontrar los modos naturales de vibrar en este tipo de modelo estructural (viga de cortante equivalente), utilizando hibridez analítica: las frecuencias circulares, al cuadrado se obtienen de la solución del polinomio ( )0........ )1(

110 =+++ −

−nn

nn bbbb λλλ , por

expandir el [ ] [ ] 021 =−−nz aIWKMdet con los valores obtenidos, aplicamos el algoritmo de la

expresión general, con el cuál se determina la forma de los modos naturales de vibrar.

2zW=λ

En general, la ecuación del último piso sería la “ecuación 19”, para pisos intermedios la ecuación 20 y para el primer piso quedaría la ecuación 21.

( )( )nn

nnnZn aM

aaKW 12 −−

= (19)

( )( )

∑=

=

−−=

ni

xiii

xxxzx

aM

aaKW 12 (20)

∑=

=

=ni

iii

z

aM

aKW

1

1121 (21)

X = número del piso intermedio en el cuál queremos encontrar la frecuencia, donde: 2 , siendo aquí “n” igual al número de niveles.

1−≤≤ nx

NOTACIÓN MATRICIAL, PARA OBTENER LA CONFIGURACIÓN O FORMA MODAL

K - W M

0 0 0

K - W M

0

0

-Ki=2

i=1 1

K - W M22

Z

0

2

(i-1)

2

-K

12

Z12

Z -W M

(1) (2)

2K - W M-K i iZi (i)

(i-1) (i-1)Z2

2Z-W M(i-1)

(i-1)-W MZ2

Z2

i

i2

Z

iZ2

-W M

-W M

-W M

2Z-W M(i-1)

(i-1)

iZ2-W M

(i)

(2)

(i-1)

= 0

(1)

i=n

i-1= n-1

a a a a

a

a

a

a

ALGORITMO DE LA EXPRESIÓN GENERAL EN LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN MATLAB, DEFINIDOS LOS VECTORES [K], [M] Y [W] r=n+1; R=zeros(r,1); Z=zeros (n,n) for j=1:n

175

090


Z(n,j)=n; Z(n-1,j)=[[K(n,1)-(W(j,1)*M(n,1))]*Z(n,1)]/K(n,1); for i=n:-1:3 R(i,1)=W(j,i)*M(i,1)*Z(i,j); R(i,1)=R(i,1)+R(i+1,1); Z(i-2,j)=[[K(i-1,1)-W(j,1)*M(i-1,1)]*Z(i-1,j)-R(i,1)]/K(i-1,1); end end modal=zeros(n,n), Z1=zeros(n,n); for a=1:n m=1; for b=n:-1:1

Z1(m,a)=Z(b,a); m=m+1; end end for c=1:n

for d=1:n modal (d,c)=Z1(d,c)/abs(Z1(n,c));

end end modal Donde:

n = Número de pisos K = Vector de rigideces de entrepiso Kn, Kn-1 ...... etc. M = Vector de masas Mn, Mn-1 ..... etc. W= Frecuencias circulares al cuadrado

Otras expresiones algebraicas alternativas propuestas para obtener las frecuencias modales de piso son:

nn

nnnz aM

aaKW

)( 12 −−= Último Piso (22)

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )11

211122

)(

−−

−−−−

+−+−

=nnnn

nnnnnnz aMaM

aaKaaKW Penúltimo Piso (23)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )11

32221112)2()1(

)(

−−

−−−−−−−

−+−+

−+−+−=

nnnnnn

nnnnnnnnnz aMXaMXaXM

aaKaaKaaKW Antepenúltimo

Piso (24)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

( ) ( ) ( ) ( )( )1122)1()1(

11122211122...............)1(

)(...............)(aMaMaMXaXM

aKaaKaaKaaKW

nnnn

nnnnnnz +++−+

+−++−+−=

−−

−−−− Primer Piso (25)

X= Número de pisos (términos) que intervienen en la obtención de la frecuencia circular al cuadrado en el nivel en estudio.

176

090


Tabla 2 Ecuaciones de Piso

Nivel Algoritmo III Procedimiento Tradicional

Último ( )( )nn

nnnZn aM

aaKW 12 −−

= ( )( )nn

nnnZn aM

aaKW 12 −−

=

Intermedios

( )( )

∑=

=

−−=

ni

xiii

xxxzn

aM

aaKW 12

yy

yyyyyyzn aM

aaKaaKW

)()( )1()1()1(2 −++ −+−−=

Primer ∑=

=

=ni

iii

zn

aM

aKW

1

112

11

111222 )(aM

aKaaKWzn

+−−=

y= nivel o entrepiso en estudio APLICACIÓN DEL ALGORITMO III EN EL CÁLCULO MANUAL DEL PRIMER MODO DE VIBRAR EN SISTEMAS SENCILLAMENTE ACOPLADOS. En la obtención del modo fundamental de vibrar, conocidos los valores de rigideces de entrepiso y las

masas por nivel, se procede de la siguiente manera:

)( nK

)( nM

1. Se parte de una configuración de primer modo conocida, la cuál puede determinarse de varias maneras:

a).- Se proponen valores arbitrarios, usualmente se asignan valores que corresponden al número de nivel de la estructura.

b).- Configuración modal obtenida con la aplicación del algoritmo I. c).- Configuración modal obtenida con la aplicación del método de estático. d).- Configuración modal obtenida con la aplicación de a ( )φsen=n

Donde: Altura del piso en estudio =hn

=H Altura del edificio

Hhn

214.3=φ en radianes

2. Se calcula ∆ donde es la amplitud modal del nivel en estudio y a es la

amplitud modal del nivel anterior, se comienza de arriba hacia abajo. En el primer nivel ∆ porque .

)( 1−−= nnn aaa

0)1 =−

na )( 1−n

na na=

(na

3. Se obtiene el cortante en cada entrepiso con la aplicación de V . nnn aK ∆⋅=4. Se calcula el producto de la masa del nivel en estudio, por la amplitud del mismo, obtenida del paso

(1) . nnaM

5. Se obtiene de arriba hacia abajo, anotando dicha cantidad en el nivel correspondiente, de

la tabla diseñada ex profeso. ∑ nnaM

6. Se calcula la frecuencia circular al cuadrado en cada piso mediante la aplicación de la expresión

general de las frecuencias modales,

= )5(

)3(21n

21

W , la configuración obtenida del paso (1) es

aproximada por lo que los valores de W en cada piso serán diferentes, esto será siempre así por muy cercanos a los exactos que sean los valores de la configuración ( supuestos, por lo tanto para continuar es necesario conocer la nueva configuración resultante de las frecuencias de piso, la cuál obtenemos aplicando el método de H. Holzer que sería el paso (7).

)na

177

090


7. Aplicación del método de Holzer con los diferentes valores de W en cada piso. 21n

7.1. Se propone la amplitud a de la primera masa a partir del empotramiento, este valor supuesto conviene que sea la unidad. En este nivel .

1

00.111 =∆== aaan7.2. Se calculan la fuerza del primer resorte o entrepiso, V , y la fuerza de inercia en la

primer masa o nivel, . 1111 KaK =∆=

21111

21111 WMaWMF ==

7.3. Por equilibrio se determina la fuerza cortante en el entrepiso superior V . 112 FV −=

7.4. Se obtiene la deformación del entrepiso en estudio 2

22 KVa =∆ y la amplitud en la siguiente

masa . Se continua el proceso hasta llegar a la última, obteniéndose las fuerzas de

inercia con donde “ ” es el nivel en estudio. 212 aaa ∆+=

nn MF = nnaW 21 n

8. Se repite el proceso, iniciando en el paso (4) con la configuración obtenida del paso (7). 9. Se repite el paso (5) y se obtiene una nueva ∑ nnaM

10. Se calculan los nuevos valores de W en cada piso por aplicar (paso 6) 21n )9(

nV , V se obtuvo con

Holzer (primer ciclo). n

11. Se repite el proceso, hasta encontrar valores de W en cada piso que no difieran en más del 2%,

entonces el promedio de estos valores lo consideramos como la W buscada.

21n

21

Este procedimiento no se recomienda aplicarlo manualmente para encontrar los modos de vibrar

superiores al modo fundamental.

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE HOLZER, CRANDALL-STRANG MEDIANTE EL EMPLEO DE UNA CALCULADORA DE ESCRITORIO PROGRAMABLE EN LENGUAJE BASIC

(ALGORITMO IV) Se desarrolla un miniprograma empleando el método de Holzer y la ecuación de convergencia de Crandall-Strang, basado en la técnica propuesta en los algoritmos I y II de encadenar subsistemas de dos y tres niveles que para este caso serían tipo Holzer, tomando como apoyo principal el microprograma “C”. Los datos de entrada o iniciales son: número de niveles, rigidez de entrepiso, masa por nivel y frecuencia circular al cuadrado, la respuesta obtenida es la amplitud del desplazamiento en cada nivel y una nueva frecuencia

circular al cuadrado, cuando ( )22sriW (entrada) es igual a ( )22

srcW (calculada) obtenemos forma y frecuencia

del modo. Es importante mencionar que una vez capturados los datos iniciales, el único valor que se va modificando es el de la frecuencia circular al cuadrado. Para la obtención del primer modo, se calcula la frecuencia circular al cuadrado por proponer, mediante el empleo del algoritmo I, II, III-a ó III-b. Este valor será el que se proporcionará como dato inicial al miniprograma, con el que se determinará la forma y frecuencia circular al cuadrado exactas. Se aplica en cualquier sistema masa-resorte o marcos rígidos de “n” pisos, con valores previamente estimados de la masa por nivel y rigidez lateral o de entrepiso. OBTENCIÓN DEL PRIMER MODO DE VIBRAR Es necesario estimar un valor cercano de W , lo cual se logra mediante la aplicación del algoritmo I, II ó III-a que será el valor inicial, el cual proporcionaremos al miniprograma.

21

Con los valores de rigidez de entrepiso y masa por nivel proporcionados al miniprograma obtenemos nueva forma y nueva frecuencia circular al cuadrado, este será el nuevo valor de W que proporcionaremos para iniciar otro ciclo de cálculo.

2i

178

090


En general el proceso de cálculo termina cuando W anterior es igual a W nueva; cuando esto se logra, hemos obtenido la configuración y frecuencia circular del modo en estudio.

2i

2c

OBTENCIÓN DE LOS MODOS SUPERIORES DE VIBRAR Para iniciar el proceso de aproximaciones sucesivas en la búsqueda de cualquier modo de vibrar, es necesario proponer un valor de la frecuencia circular al cuadrado, para lograr que esto funcione utilizaremos tres criterios, el primero de ellos es cuantitativo ya que proporcionamos el valor W de los modos superiores en

función de W del primer modo, quedando según algunos especialistas como se muestra en la tabla siguiente:

2n

21

Tabla 3 Fórmulas para obtener la Frecuencia

Modo

(n) Frecuencia Supuesta

D l ato Inicia

2 12 3WW = 21

22 9WW =

3 13 5WW = 21

23 25WW =

4 14 7WW = 21

24 49WW =

5 W 15 9W= 21

25 81WW =

2nW

Donde :

( )[ ] in WnnWii

+=−1

( )1−in .- Modo anterior al i

ni.- Modo i en estudio

Como estos valores son toscamente aproximados e incluso erráticos, puede ser frecuente que al proponer un valor de W y aplicar el miniprograma obtengamos otro modo de vibrar diferente al supuestamente buscado lo cual es aceptable, o que regresemos a algún modo ya calculado, lo cual implica trabajo en exceso.

2n

El segundo criterio es cualitativo mediante el cual podemos observar el comportamiento de lo que sucede al proponer el nuevo valor de W y la ecuación de convergencia de Crandall – Strang. 2

n

Para esto proponemos una representación gráfica lineal vertical, para Crandall-Strang y un punto que representa el valor de W medido en la misma línea, a esta representación la llamaremos frecuencias modales y zonas gravitatorias de Crandall-Strang.

2n

179

090


FIGURA 6(a) FIGURA 6(b)

Figura 6 Zona de Crandall-Strang

La línea vertical la dividimos en zonas, cuyo punto de interés es el valor de la W ; podemos observar en estas zonas que la dirección de las flechas es hacía los puntos en cuestión, indicando con ello que cuando uno de los valores de W supuestos cae en esta zona, la ecuación de Crandall-Strang converge en un punto

singular (único) que es el valor de la W dependiendo de la zona a que pertenezca (1,2,3, n modos). Para el

caso general Figura 6(b), cuando los valores de W y W son muy próximos entres sí, entonces cualquier valor propuesto que caiga dentro de estos límites será atraído cuando apliquemos la ecuación de Crandall-Strang hacia el valor de la W , sin embargo esta zona es discontinua por que si el valor

propuesto cae dentro de los valores de W y , el nuevo valor obtenido con la ecuación va hacía la zona

y W entonces iremos en la dirección correcta, saltando la zona antes mencionada, también los valores

comprendidos entre W y W van hacia la zona W y W ,saltando a la zona de W y W .

2n

2n

2

2n

2x

2xsi

2buscadax

2xsi

2xsm

2xsi

buscada

2Wxsm2xssW 2

x

xss2xsm

2xss

2x

Si en cada zona trazamos círculos cuyo centro coinciden con el de interés, podríamos por analogía con la fuerza gravitatoria figura 6(a), decir que la ecuación Crandall-Strang en dichas zonas es atraída por gravedad a los puntos singulares de interés. Cabe aclarar que los valores limites de las frecuencias circulares al cuadrado superiores e inferiores con respecto a cualquier punto singular no son simétricos ni continuos*.

Los valores de W obtenidos con los algoritmos I y II siempre convergen al primer modo. Teniendo en mente la gráfica vertical podemos fácilmente deducir, lo que puede acontecer al obtener los valores de la configuración y W al suponer mediante la aplicación del primer criterio.

21

2c

2iW

El tercer criterio es simplemente observar el cambio de signos en la configuración o forma obtenida al suponer W , ya que cada cambio indica puntos en común del eje vertical o configuración inicial con la configuración buscada. Para un cambio de signo hablamos del segundo modo, para dos, del tercer modo, etc.

2i

CONCLUSIONES I Obtenidos los valores de la forma y frecuencia modal aproximada se puede proceder de la siguiente

manera: I.1.- Los valores de la forma modal, pueden emplearse para iniciar Newmark, Rayleigh’s o el algoritmo III (Holzer modificado) y calcular el modo fundamental. I.2.- La frecuencia circular al cuadrado puede ser el valor inicial, para emplear la técnica de H. Holzer en el cálculo del primer modo de vibrar.

180

090


II La técnica de los subsistemas y la ecuación de Dunkerley combinados, nos conducen a un valor de la frecuencia circular inferior a la del primer modo. Este valor puede ser proporcionado para iniciar H. Holzer con la ecuación de convergencia de Crandall-Strang, la cuál lo lleva al punto singular de interés o frecuencia modal buscada, obteniéndose el modo fundamental de vibrar del sistema en estudio.

III Las ecuaciones de piso de las frecuencias modales son diferentes a las obtenidas en el procedimiento tradicional a excepción de la ecuación del último piso, la misma observación aplica para las ecuaciones alternativas propuestas. En estos sistemas particulares la combinación de estas ecuaciones con el método de Holzer nos permite encontrar con calculadora de escritorio no programable el primer modo de vibrar, lo mismo podría hacerse con las ecuaciones del planteamiento tradicional, pero no sería tan ordenado. Por increíble que parezca aquí iniciamos con una configuración modal y obtenemos las W en cada piso

para empezar Holzer del cuál obtenemos una nueva configuración modal y nuevas W , repitiéndose los

ciclos hasta que las W son iguales en cada piso. La aplicación de un primer ciclo de la expresión general de piso de las frecuencias modales (algoritmo III), considerando como configuración de inicio la obtenida mediante el método estático (misma del cociente de Schwartz), nos proporciona el primer modo de vibrar aproximado, lo mismo aplica para las ecuaciones de piso del procedimiento tradicional y, de las ecuaciones alternativas.

21

21

21

La configuración modal aproximada proporciona valores diferentes de la W en el mismo piso con los tres juegos de ecuaciones, por lo que la W y T obtenidos son valores aproximados de las frecuencias y períodos al primer modo diferentes entre sí. Los tres conjuntos de ecuaciones proporcionan los mismos valores de W para cualquier modo de vibrar cuando el sistema está en equilibrio dinámico.

21

1 1

2z

IV El miniprograma es desarrollado en lenguaje Basic para calculadora de escritorio programable, es aplicable en sistemas masa-resorte sencillamente acoplados de cualquier número de niveles obteniéndose los modos de vibrar exactos.

AGRADECIMIENTOS Al Dr. Octavio A. Rascón Chávez y al Dr. Roberto Melli Piralla por sus valiosos comentarios y recomendaciones, al Ing. José del Carmen Rodríguez Magaña por el esmero en la presentación de este artículo.

REFERENCIAS

Bazán Zurita Enrique y Meli Piralla Roberto (2001), Diseño Sísmico de Edificios, Limusa, pp. 110-117 Blume J. A., Newmark N. M., and Corning L. H. (1961), Design of Multistory Reinforced Concrete Building for Earthquakes Motions, Portland Cement Association, pp. 169 y 142 Chopra Anil K. (2001), Dynamics of Structures, Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, pp. 401-422 Morales Ross Ramón, Vibraciones Libres en Marcos Rígidos, C.I.C.T., en Proceso de Publicación. Nakamura Shaichird (1997), Análisis Numérico y Visualización Gráfica con MATLAB, Person Educación. Newmark N. M. y Rosenblueth E. (1976), Fundamentos de Ingeniería Sísmica, Diana, pp. 162-166 Paz Mario (1997), Structural Dynamics, Theory and Computation, Kluwer Academic Publishers, pp. 271-309 Rascón Chávez Octavio A. (1978), Apuntes del Curso de Dinámica Estructural, IV Curso Internacional de Ingeniería Sísmica, División de Educación Continua, Facultad de Ingeniería, UNAM. Romo Organista Miguel Pedro, Bárcena Vega Armando (1994), Análisis de la Interacción Suelo-Estructura en la Ciudad de México, Instituto de Ingeniería UNAM, pp. 11-27. T. Thomson William, (1972), Theory of Vibration UIT Applications, Prentice Hall, pp. 209-213.

181

090


EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1.- Determinar el modo fundamental aproximado, mediante la aplicación del algoritmo I mostrado en la figura 7.

NIVEL

Figura 7 Edificio Bernardo Quintana Dirección NS

Aplicación del microprograma “C”.

Tabla 4 Datos y Respuestas

DATOS RESPUESTAS Subsistema iK mK sK iM mM sM 1a 2a ( )2/ segradW

1 890138 1916820 0 248 1045 0 1.000 1.397 521.216 2 1513675 859854 0 205 835 0 1.000 2.609 635.065 3 1185957 700488 0 174 515 0 1.000 2.491 814.098 4 323520 299920 0 165 143 0 1.000 1.632 812.127

Obtención de la frecuencia circular al cuadrado aproximada del sistema original, aplicando Dunkerley.

22

1 985.167

127.8121

098.8141

065.6351

216.5211

1

=

+++

= segradW seg

rad961.121 =W T seg485.01 =

{ } [ ]129.8,497.7,497.6,006.5,006.4,397.2,397.1,000.1=na

2.- Determinar la frecuencia y período aproximado del modo fundamental de la figura 7, aplicando el algoritmo II.

Aplicando la ecuación del último piso a cada subsistema: ( )( )nn

nnn

aMaaK 12

1−−

=W

Con la configuración supuesta a , se obtiene finalmente 00.11 =− −nn a ( 221 / segrad

aMK

nn

n= )W , la cuál se

resuelve con calculadora de escritorio no programable en la tabla adjunta: Tabla 5 Datos y Respuestas

Datos Respuesta

Subsistema nK nM na nn

naM

KW =2

1

1 1916820 1045 2.00 917.139 2 859854 835 2.00 514.883 3 700488 515 2.00 680.085 4 299920 143 2.00 1048.671

182

090


Aplicando la ecuación de Dunkerley, obtenemos la frecuencia circular al cuadrado aproximada:

2

21 267.183

671.10481

085.6801

883.5141

139.9171

1

=

+++

= segradW seg

rad538.131 =W T seg464.01 =

Con la se puede iniciar el método de Holzer para obtener el modo fundamental exacto. 21W

3.- Obtener el modo fundamental de vibrar del edificio Bernardo Quintana figura 7, dirección NS, aplicando el Algoritmo III, iniciando con la configuración modal calculada con el Algoritmo I.

∑

∆

∑

∆

∑

∆

∑

∆∆

∑

∆an=(an-a(n-1))

21

2

21 596.208

==

∑=

=seg

radn

W

W

ni

ii

= segradW 443.141 T seg435.01 =

{ } [ ]888.5,308.5,198.4,426.3,865.2,990.1,437.1,000.1=na

4.- Obtener los modos naturales de vibrar en la estructura mostrada en la figura 7 utilizando el programa en MATLAB. Entrada de datos al programa:

• Rigidez por piso: K1=890138 K2=1916820 K3=1513675 K4=859854 K5=1185957 K6=700488

183

090


K7=323520 K8=299920

• Masa por piso: M1=248 M2=5 M3=205 M4=146 M5=174 M6=207 M7=165 M8=143 Resultados del programa:

• Frecuencias naturales de vibración:

Modo Frecuencia (rad/seg) 1 14.44988 2 34.31759 3 56.76712 4 72.65569 5 87.63219 6 108.60804 7 146.93905 8 832.89749

• Períodos naturales de vibración:

Modo Período (seg) 1 0.43483 2 0.18309 3 0.11608 4 0.08648 5 0.07170 6 0.05785 7 0.04276 8 0.00754

• Matriz de las formas naturales de vibración:

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8

5.8902 3.0394 1.1353 1.5379 0.2812 0.0312 0.0208 0.0000 5.3038 1.3327 -0.6091 -2.3328 -0.7483 -0.1441 -0.1936 -0.0000 4.1954 -1.0499 -1.2252 0.3595 1.2282 0.5603 1.7398 0.0000 3.4246 -1.7850 -0.3430 1.0422 -0.6461 -1.0674 -8.4677 -0.0001 2.8644 -1.9107 0.3402 0.6382 -1.0252 -0.1815 12.3271 0.0083 1.9902 -1.7020 1.0964 -0.4910 -0.2113 1.4039 -4.1837 -0.9557 1.4374 -1.3120 1.0475 -0.7814 0.4708 0.0618 -1.3291 88.2895 1.000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000

184

090


5.- Estimar la frecuencia del cuarto modo de una estructura de cuatro niveles figura11 conocidas las rigideces, masas y configuración modal, mediante la aplicación del algoritmo III, procedimiento tradicional y las ecuaciones alternativas propuestas:

Figura 11 Estructura de cuatro niveles

• ALGORITMO III


1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nivel )/( cmtonK

−cmsegtonM

2 na ( )1−− nn aa ( )( )52 )4)(3( ( )( )∑ 43

864

2W

4 50 2.00 -0.0303 -0.2847 -14.235 -0.0606 -0.0606 234.9010

3 100 2.00 0.2544 1.0528 105.2800 0.5088 0.4482 234.8951

2 150 2.00 -0.7984 -1.7984 -269.7600 -1.5968 -1.1486 234.8598

1 200 2.00 1.0000 1.0000 200.000 2.000 0.8514 234.9072

• PROCEDIMIENTO TRADICIONAL


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nivel )/( cmtonK

−cmsegtonM

2 na ( )1−− nn aa ( )( )52 - ( )( )52 ( ) ( )76 + ( )( )43

484

2W

4 50 2.00 -0.0303 -0.2847 -14.235 - -14.235 -0.0606 234.9010

3 100 2.00 0.2544 1.0528 105.2800 14.235 119.400 0.5088 234.6698

2 150 2.00 -0.7984 -1.7984 -269.7600 -105.2800 -375.0400 -1.5968 234.8697

1 200 2.00 1.0000 1.0000 200.000 269.7600 469.7600 2.000 234.8800

185

090


• ECUACIONES ALTERNATIVAS PROPUESTAS


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nivel )/( cmtonK

−cmsegtonM

2 na x ( )1−− nn aa ( )( )62 ( )( )∑ 62 ( )( )43

4 50 2.00 -0.0303 1 -0.2847 -14.235 -14.2350 -0.0606 0606.04 −=y 234.9010

3 100 2.00 0.2544 2 1.0528 105.2800 91.0450 0.5088 3876.03 =y 234.8942

2 150 2.00 -0.7984 3 -1.7984 -269.7600 -178.7150 -1.5968 761.02 −=y 234.8423

1 200 2.00 1.0000 4 1.0000 200.000 21.2850 2.000 0904.01 =y 235.4535

( )( )∑−=

=

=1

9xi

xin iy

1084

2W

0606.04 −=y ( ) 3876.05088.00606.023 =+−=y ( ) ( ) 761.05868.15088.020606.032 −=−+−=y( ) ( ) ( )

0904.000.25968.125088.030606.041 =+−+−=y

Todos los valores encontrados en la última columna mediante la aplicación de los tres procedimientos, deberían ser iguales a 234.8768 (rad/seg)², no resultó así debido a la aproximación de cuatro cifras decimales en los valores de . { }na 6.- Determinar mediante la aplicación de la ecuación del último piso la W aproximada del primer modo de vibrar, para iniciar el método de H. Holzer en un edificio de veinticinco niveles, siendo y

21

( )inlbxK /1030.0 625 = ( )inseglbxM /1027.1 23

25 −= .

( )( )nn

nnn

aMaaK

W 121

−−=

Suponiendo que y 25=na ( ) 241 =−na

( ) ( )23

62

1 /449.9251027.12425103.0 segrad

xxxW =−=

En el ejemplo siguiente se obtiene y . 400.2625 =a 188.2524 =a

( ) ( )23

62

1 /845.10400.261027.1

188.25400.26103.0 segradxx

xW =−=

El Valor exacto es W ( )221 /827.10 segrad=

186

090

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C. 7.- Obtener la forma y frecuencia circular del primero, tercero y quinto modo de vibrar de la estructura de veinticinco niveles mostrada en la siguiente figura mediante la aplicación del algoritmo IV.

Cálculo de cercana a la del primer modo de vibrar mediante la aplicación del algoritmo II. 2

1W

1º suponemos las amplitudes de desplazamiento en cada nivel 0 , etc. ,00.22,00.11 == aa 00.33 =a , 0.44 =a

Tabla 6 Datos y Respuestas para cada Subsistema

Subsistema

Ecuación propuesta

1 - 39500 - - 197.90s

sMK

W3

2113 = 66.53

2 - 31900 - - 166.78s

sMK

W3

2123 = 63.75

3 - 21000 - - 137.85s

sMK

W3

2133 = 50.78

4 - 19500 - - 110.84s

sMK

W3

2143 = 58.64

5 - 14100 - - 84.56s

sMK

W3

2153 = 55.58

6 - 10100 - - 59.41s

sMK

W3

2163 = 56.67

7 - 7300 - - 35.35s

sMK

W3

2173 = 68.83

8 7200 - 7.680 20.03 -mi

iMM

KW

22812 +

= 150.82

9 4400 - 7.970 1.27 -mi

iMM

KW

22

192 += 418.65

187Figura 9 Sistema Masa-Resorte 25 niveles

21 jW

∑

22

12 896.7

65.4181

82.1501

83.681

67.561

58.551

64.581

78.501

75.631

53.661

1

==

++++++++

= segradWWi

sMmMiMsKiK

090


N = 25 Primer modo de vibrar

Tabla 7 Resultados de la Estructura de veinticinco niveles

C Wi

2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 A15 a16 a17 a18 a19 a20 a21 a22 a23 a24 a25 Wc2

1 7.896 1.000 1.661 2.366 3.061 3.881 4.731 5.571 6.705 7.934 9.136 10.307 11.531 12.713 14.073 15.578 17.009 18.441 20.208 21.845 23.583 25.458 27.147 29.13 30.954 51.22 12.86

2 12.860 1.000 1.659 2.360 3.049 3.856 4.686 5.500 6.585 7.747 8.867 9.937 11.031 12.060 13.207 14.430 15.543 16.595 17.806 18.831 19.793 20.672 21.281 21.711 21.545 11.749 11.880

3 11.880 1.000 1.659 2.362 3.051 3.861 4.695 5.514 6.609 7.784 8.919 10.009 11.128 12.187 13.375 14.653 15.826 16.951 18.267 19.406 20.512 21.574 22.379 23.086 23.266 18.562 11.107

4 11.107 1.000 1.660 2.362 3.053 3.865 4.702 5.525 6.627 7.813 8.961 10.067 11.206 12.288 13.509 14.830 16.052 17.234 18.634 19.867 21.089 22.300 23.265 24.201 24.670 24.262 10.847

5 10.847 1.000 1.660 2.363 3.053 3.866 4.704 5.529 6.634 7.823 8.975 10.086 11.232 12.322 13.554 14.889 16.128 17.330 18.759 20.023 21.286 22.547 23.567 24.582 25.151 26.246 10.827

6 10.827 1.000 1.660 2.363 3.054 3.866 4.704 5.529 6.634 7.823 8.976 10.087 11.234 12.325 13.558 14.894 16.134 17.338 18.769 20.035 21.301 22.566 23.591 24.612 25.188 26.400 10.827

Tercer modo de vibrar con 2

21

23 85.27025

== segradWW

1 270.850 1.000 1.586 2.093 2.444 2.654 2.649 2.421 1.831 0.961 -0.021 -1.000 -1.930 -2.622 -3.064 -3.072 -2.584 -1.623 0.004 1.630 3.102 3.972 3.719 1.904 -1.540 -40.97 242.212

2 242.212 1.000 1.594 2.122 2.509 2.777 2.848 2.706 2.231 1.471 0.557 -0.414 -1.415 -2.259 -2.971 -3.359 -3.262 -2.658 -1.333 0.253 2.037 3.644 4.337 3.756 0.825 -47.472 240.911

Si continuamos obtenemos el cuarto modo de vibrar , nueva suposición W2 = (9 * 10.834 + 240.938)/2 = 169.222 (rad/seg)2

3 169.220 1.000 1.615 2.197 2.676 3.102 3.386 3.492 3.386 3.019 2.432 1.668 0.715 -0.292 -1.470 -2.682 -3.623 -4.232 -4.445 -4.049 -2.943 -1.101 0.964 3.533 5.161 5.840 165.948

4 165.948 1.000 1.616 2.200 2.683 3.117 3.411 3.529 3.443 3.097 2.531 1.784 0.843 -0.161 -1.348 -2.585 -3.566 -4.231 -4.529 -4.217 -3.197 -1.423 0.626 3.260 5.105 9.666 162.668

5 162.668 1.000 1.617 2.204 2.691 3.132 3.436 3.567 3.500 3.177 2.631 1.902 0.974 -0.026 -1.220 -2.480 -3.499 -4.219 -4.603 -4.380 -3.449 -1.751 0.274 2.960 5.014 13.478 161.096

6 161.096 1.000 1.617 2.205 2.694 3.140 3.448 3.585 3.527 3.215 2.680 1.959 1.038 0.040 -1.156 -2.427 -3.464 -4.211 -4.635 -4.455 -3.569 -1.909 0.100 2.807 4.958 15.289 160.895

7 160.895 1.000 1.617 2.205 2.695 3.141 3.450 3.588 3.531 3.220 2.686 1.966 1.046 0.049 -1.148 -2.420 -3.460 -4.209 -4.639 -4.464 -3.584 -1.929 0.078 2.787 4.950 15.520 160.892

8 160.892 1.000 1.617 2.205 2.695 3.141 3.450 3.588 3.531 3.220 2.686 1.966 1.046 0.049 -1.148 -2.420 -3.460 -4.209 -4.639 -4.464 -3.585 -1.930 0.078 2.787 4.950 15.523 160.892

Quinto modo de vibrar no aplica porque ≐ 2

911.240

segrad

1 320.000 1.000 1.572 2.043 2.336 2.448 2.321 1.964 1.206 0.201 -0.833 -1.752 -2.484 -2.854 -2.799 -2.195 -1.171 0.152 1.854 3.075 3.566 2.951 1.325 -1.497 -3.722 -4.710 312.618

2 340.000 1.000 1.567 2.023 2.292 2.366 2.193 1.788 0.974 -0.070 -1.104 -1.976 -2.608 -2.835 -2.582 -1.759 -0.579 0.797 2.385 3.317 3.336 2.166 0.198 -2.573 -3.765 12.753 334.142

3 334.142 1.000 1.568 2.029 2.305 2.390 2.231 1.839 1.041 0.007 -1.028 -1.915 -2.577 -2.847 -2.651 -1.890 -0.751 0.614 2.244 3.266 3.424 2.410 0.527 -2.286 -3.801 7.723 335.438

4 335.438 1.000 1.568 2.027 2.302 2.385 2.222 1.828 1.026 -0.010 -1.045 -1.929 -2.584 -2.844 -2.636 -1.861 -0.713 0.655 2.276 3.278 3.406 2.357 0.454 -2.352 -3.797 8.846 335.635

5 335.635 1.000 1.568 2.027 2.302 2.384 2.221 1.826 1.024 -0.013 -1.047 -1.931 -2.585 -2.844 -2.634 -1.857 -0.707 0.661 2.281 3.280 3.403 2.349 0.443 -2.362 -3.796 9.016 335.638

6 335.638 1.000 1.568 2.027 2.302 2.384 2.221 1.826 1.024 -0.013 -1.047 -1.931 -2.585 -2.844 -2.634 -1.857 -0.707 0.661 2.281 3.280 3.403 2.348 0.443 -2.362 -3.796 9.019 335.638

22

12

5 554.87781

== segradWW 2

4W

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090


Figura 10 Configuraciones Modales

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090

sociedad mexicana de ingeniería estructural, a.c. 090 · de vibrar en estructuras de cortante. ......

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