ova factorizacion 1

Introducción

ÍNDICE

Objetivos

Nociones básicas

FactorizaciónNumérica

Factorización dePolinomios

Profundización

FACTORIZACIÓN

EL PODER DE LA LEY DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA DE NÚMEROS

REALES

Combinación deformas de factorizarpolinomios

INTRODUCCIÓN.

La factorización es un procedimiento fundamental para la simplificación de expresiones algebraicas y

para la solución de ecuaciones. Se basa en un uso adecuado de la propiedad distributiva del producto

respecto de la suma de números reales.

Se propone el estudio de la factorización de números enteros y de polinomios

OBJETIVOS.

• Identificar diversas formas de uso de la ley distributiva del producto respecto de la suma en números

reales

• Utilizar adecuadamente la factorización de un número entero

• Reconocer la propiedad distributiva como fundamento de la factorización de polinomios.

• Establecer una secuencia que posibilite factorizar completamente un polinomio.

• Adquirir habilidad para aplicar en diversos contextos, las formas de factorizar polinomios

Introducción

ÍNDICE

Objetivos

Nociones básicas



Profundización


Conceptos necesarios Mapa conceptual

Introducción

ÍNDICE

Objetivos

Nociones básicas



Profundización



33 77

278 3

32

278

FACTOR. Cada uno de los elementos de un producto. En 2 (-5) los factores son 2 y -5.

FACTOR O DIVISOR DE UN NÚMERO ENTERO. Si a, b y c son números enteros, a es un divisor o

factor de c si existe un número entero b, tal que c=ab. 4 es un divisor o factor de 28, pues 28=4(7)

FACTOR PRIMO DE UN NÚMERO ENTERO. a es un factor primo de un número entero c, si a es un

número primo y es factor de c. 5 es factor primo de 20, pues 5 es un número primo y 20=4(5)

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA DE REALES. Si a, b, c son reales entonces a+(b+c)

= (a+b)+c. Note que la ley permite sumar más de dos números naturales. Al aplicar la ley en 2r-4b -5c

+ 15x se puede hacerlo de formas como: (2r-4b) + ( -5c + 15x) , o, 2r +(-4b -5c )+ 15x, etc.

MONOMIO. Producto de un número real y potencias de variables que representan números reales. Los

exponentes de las variables son enteros no negativos. Son monomios: -5x2y ; mn4 ;

NUMERO CUADRADO. Un número real a es un cuadrado, si existe un real b, tal que a = b2. 36 es un

cubo pues 36 = 62. 11 es un cuadrado pues

NUMERO CUADRADO PERFECTO. Para algunos textos o autores: Un número racional a es un

cuadrado perfecto, si existe un racional b, tal que a = b2. es un cuadrado perfecto,

NUMERO CUBO. Un número real a es un cubo, si existe un real b, tal que a = b3. 27 es un cubo pues

27 = 33. 7 es un cubo pues

NUMERO CUBO PERFECTO. Para algunos textos o autores: Un número racional a es un cubo

perfecto, si existe un racional b, tal que a = b3. es un cubo perfecto, pues

NÚMERO PRIMO. Un número natural a es primo si tiene únicamente dos divisores que sean números

naturales. 17 es número primo pues es natural y sus únicos divisores naturales son 1 y 17.

21111

254 2

52

254

7733

27

8

3

2

27

83

Introducción

ÍNDICE

Objetivos

Nociones básicas



Profundización



NOCIONES BÁSICAS

ÍNDICE

DEFINICIÓN.

FACTORIZAR es expresar en forma de producto un número entero o un polinomio.

Una factorización de –35 es 7(–5) pues 35=7(-5) . La factorización de 3x2–6x es 3x (x–2) pues 3x2–6x = 3x (x–2)

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA DE NÚMEROS REALES.

Si a,b,c son números reales, entonces a(b+c)=ab+ac Es importante identificar las formas de uso de esta propiedad, en diversas

situaciones. De acuerdo a la igualdad arriba escrita se nota que esta propiedad permite expresar un producto en forma de

suma (igualdad aplicada de izquierda a derecha), o una suma en forma de producto. (Igualdad aplicada de derecha a

izquierda). Para las situaciones de factorización se usa la segunda posibilidad.

A continuación se muestran aplicaciones de la propiedad en la segunda situación.

Identifique la manera como se aplica la propiedad distributiva y verifique que cada suma es equivalente con el producto

especificado.

1. 3a+3b–3c = 3(a+b–c)

2. xy–2y = y(x–2)

3. 7m–7 = 7m–7•1 = 7(m–1)

4. 5a2–7a = 5a•a–7a = a(5a–7)

5. 2m3q2–m3q3r2–m2q2r2 = 2m•m•m•q•q–m•m•m•q•q•q•r•r–m•m•q•q•r•r = m•m•q•q(2m–m•q•r•r–r•r) = m2q2(2m–mqr2–r2). Justifique

este procedimiento.

6. 6h2–15hw = 3•2•h•h–3•5•h•w = 3•h(2h–5w)

Definición Propiedad Distributiva Actividad Soluciones y comentarios

NOCIONES BÁSICAS

ÍNDICE

INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.1. Son factorizaciones de 48:

a. 3 (2) 8

b. 2 (8) + 32

c. 3(24)

d. 6 (4) 3

e. 6 (22)2

2. Muestre que 3x ( 2x – 5) es factorización de 6x2 – 15x.

3. Es (7a – 3) (2 – 4b) factorización de 12b –28ab – 6+14a?

4. Escriba dos factorizaciones de 120. Justifique con precisión su respuesta.

5. Aplique la propiedad distributiva para determinar la factorización de 5ab –17ac+11abc.

6. De las formas dadas para expresar el polinomio 12a2 –4a3b como producto, la que se debe considerar como la factorización del polinomio es:

a. 2(6a2 – 2a2b)

b. 4a(3a – a2b)

c. 4a2(3 – ab)

d. a2(12 – 4b)

e. 2a(6a-ab)

Definición Ley Distributiva Actividad Soluciones y comentarios

UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN LOS ITEMS: DEFINICIÓN Y PROPIEDAD DISTRIBUTIVA, PARA CONTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS

USE SU CUADERNO PARA EL DESARROLLO, EFECTÚE ANOTACIONES Y CONSULTE POSTERIORMENTE LAS SOLUCIONES Y COMENTARIOS.

NOCIONES BÁSICAS

ÍNDICE

INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.

1. Son factorizaciones de 48:

a. 3 (2) 8

b. 2 (8) + 32

c. 3(24)

d. 6 (4) 3

e. 6 (22)2

2. Muestre que 3x ( 2x – 5) es factorización de 6x2 –15x.

3. Es (7a – 3) (2 – 4b) factorización de 12b –28ab – 6+14a?

4. Escriba dos factorizaciones de 120. Justifique con precisión su respuesta.

5. Aplique la propiedad distributiva para determinar la factorización de 5ab –17ac+11abc.

6. De las formas dadas para expresar el polinomio 12a2 –4a3b como producto, la que se debe considerar como la factorización del polinomio es:

a. 2(6a2 – 2a2b)

b. 4a(3a – a2b)

c. 4a2(3 – ab)

d. a2(12 – 4b)

e. 2a(6a-ab)

Definición Ley Distributiva Actividad Soluciones y comentarios

SOLUCIONES Y COMENTARIOS.

1. De acuerdo con la definición las posibles factorizaciones

son las expresiones a,c,d,e. Note que la expresión d es

una suma.

Explique por qué razón a,c,e son factorizaciones de 48,

pero la expresión d no lo es

2. Verifique que al efectuar el producto indicado se obtiene

6x2 –15x

3. Proceda de igual forma que en el ítem anterior

4. Una factorización posible es 120 = 60 (2 ). Considera ud

que 120 (1) es una factorización de 120?

5. 5ab –17ac+11abc = a(5b – 17c + 11bc). Justifique por qué

se puede afirmar que 5ab –17ac+11abc tiene dos factores.

Cuáles son dichos factores?

6. Si procede siguiendo los ejemplos 5 y 6 del aparte

denominado propiedad distributiva, debe obtener como

respuesta el ítem c

FACTORIZACIÓN NUMÉRICA

Introducción

ÍNDICE

Objetivos

Nociones básicas



Profundización


La FACTORIZACION PRIMA de un natural es la expresión del número mediante factores primos.

La factorización prima de 36 es 2•2•3•3 pues 36 = 2•2•3•3 y los factores 2 y 3 son números primos.

En forma simplificada la factorización dada se escribe 22 •32.. Hay técnicas que permiten determinar la

factorización de un número natural. Consulte acerca de ellas.

Al hallar la factorización prima de dos o más naturales es posible determinar factores comunes a ellos.

Por ejemplo, es correcto afirmar que factores comunes de 24 y 90 son 2 y 3 pues sus

factorizaciones primas son respectivamente 23 •3 y 2 •5 •32.. ¿ 6 es factor común de 24 y 90?

El uso de la factorización prima de un natural en los procedimientos de factorización de polinomios, se

basa en la identificación del MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR de dos o más números naturales.

Esto significa que dos o más números naturales pueden tener varios factores comunes. Muestre

que los factores comunes de 72 y 120 son 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12.

De acuerdo a la última afirmación el mayor factor común de 72 y 120 es 12. Una técnica que permite

identificar el mayor factor común de dos o más naturales se basa en escribir cada natural en forma

factorizada prima y determinar sus factores comunes. En el ejemplo 72 = 2•2•2•3•3 y

120 = 2 •2 •2 •3 •5. Note que los factores comunes son 2, 2 y 3. Luego, se afirma que el mayor

factor común es 2 •2 •3 =12.

En resumen, el MAYOR FACTOR COMUN O MÁXIMO COMÚN DIVISOR de un grupo de números

naturales es el mayor número natural que sea factor o divisor de cada uno de los números del

grupo.

Una extensión de la factorización numérica

Actividad Soluciones y comentariosNociones


Introducción

ÍNDICE

Objetivos

Nociones básicas



Profundización


La noción de MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR se puede extender a los monomios. Es decir se puede

determinar el MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR de un grupo de monomios, el cual es el producto

entre el mayor factor común de los coeficientes numéricos y el mayor factor común de las variables.

Una forma de proceder es la que se muestra.

Determinar el MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR de 24a3b2c ; 40ab3c2 ; 36a2b2

El MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR de los coeficientes numéricos: 24, 40 y 36 es 4 (Verifíquelo)

Para hallar el mayor factor común de las variables:

a3b2c =a•a•a•b•c ab3c2 = a•b•b•b•c•c a2b2 = a•a•b•b

Es decir el mayor factor común de las variables es ab2 y por tanto el MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR

de los monomios dados es 4ab2

Puede usted sugerir una técnica para hallar el mayor factor común de variables de monomios sin

efectuar la descomposición que se muestra en el ejemplo?

NOTA: Observe que cada uno de los monomios de un grupo de ellos, se puede escribir como el

producto del MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR y otro monomio. En el ejemplo se tiene:

24a3b2c = 4ab2 (6a2c)

40ab3c2 = 4ab2 (10bc2)

36a2b2 = 4ab2 (9a)

Puede usted sugerir una forma de hallar cada monomio (escrito en rojo) a partir del MÁXIMO COMÚN

DENOMINADOR de un grupo de monomios.




Introducción

ÍNDICE

Objetivos

Nociones básicas



Profundización



1. El mayor factor común de 60, 80 y 100 es:

a. 2

b. 5

c. 10

d. 20

e. 100

2. Es 5x2y3 el mayor factor común de 100x4y2z ; 160x3y2z2 ;

180x2y2? Si es así escriba cada monomio como el producto

del mayor factor común y otro monomio. De lo contrario

halle el mayor factor común de los monomios y realice la

misma aplicación que se pide en el párrafo anterior.

3. Dos monomios se denominan primos si el mayor factor

común de ellos es 1. Construya tres monomios que sean

primos entre sí.

UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN LOS ITEMS: FACTORIZACION NUMERICA Y UNA EXTENSION DE LA FACTORIZACION NUMERICA, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS


Consulte acerca de técnicas de factorización y ejercicios en:

Aula VIRTUAL de Algebra.



http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm


Introducción

ÍNDICE

Objetivos

Nociones básicas



Profundización



1. El mayor factor común de 60, 80 y 100 es:

a. 2

b. 5

c. 10

d. 20

e. 100

2. Es 5x2y3 el mayor factor común de 100x4y2z ; 160x3y2z2 ;

180x2y2? Si es así escriba cada monomio como el producto

del mayor factor común y otro monomio. De lo contrario

halle el mayor factor común de los monomios y realice la

misma aplicación que se pide en el párrafo anterior.

3. Dos monomios se denominan primos si el mayor factor

común de ellos es 1. Construya tres monomios que sean

primos entre sí.


1. El mayor factor común de 60, 80 y 100 es 20. Una forma

de hallarlo es escribiendo los factores de cada número

así:

Factores de 60 = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Factores de 80 = { 1 , 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 80}

Factores de 100 = { 1 , 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50,100}

Se observa que el mayor factor común es 20.

2. No, el mayor factor común de los tres monomios es

20x2y2. El monomio 100x4y2z se expresa como el

producto 20x2y2 (5x2z)

3. – 5a2 ; b ; – 17 son monomios primos



FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

ÍNDICE

EL FACTOR COMÚN COMO FORMA GENERAL DE FACTORIZAR POLINOMIOS

El FACTOR COMÚN de un polinomio es el MAYOR FACTOR COMÚN de cada uno de los términos que lo constituyen. Para

factorizar un polinomio mediante el factor común se hace uso de la ley distributiva y el siguiente razonamiento.

Si 2x3y (3a – 2x) = 2x3y•3a – 2x3y•2x = 6ax3y – 4x4y, es correcto afirmar que 6ax3y – 4x4y = 2x3y•3a – 2x3y•2x = 2x3y (3a – 2x).

Observe que 2x3y es el MAYOR FACTOR COMÚN de los términos 6ax3y ; 4x4y

Por lo tanto, para factorizar 60b3c4z3 – 36b3c2z + 12b2c2 mediante esta forma, se determina el mayor factor común de los tres

términos, el cual es 12b2c2 (Verificarlo!) y se escribe el polinomio de tal manera que cada término sea el producto del mayor

factor común y otro monomio así: 12b2c2•5bc2z3 – 12b2c2•3bz + 12b2c2 •1, para aplicar a continuación la propiedad distributiva

así: 12b2c2(5bc2z3 – 3bz + 1)

NOTA IMPORTANTE: La factorización de un polinomio se soporta en el uso de las propiedades asociativa de la suma y

distributiva del producto respecto de la suma. Con objeto de agilizar los procedimientos se han construido técnicas, las

cuales hay que conocer y manejar, a la vez que se tiene como referente el fundamento anotado.

De acuerdo con la nota, consulte sobre una técnica que asegure que 14bm – 35abn + 63mn = 7(2bm – 5abn + 9mn)

Situaciones de uso del factor común:

1. Factorizar el opuesto del factor común de –72bx2 + 54ax – 90cx3 El opuesto del factor común es –18x, luego es correcto

afirmar que – 72bx2 + 54ax – 90cx3 = – 18x (4bx – 3a + 5cx2) . Explique el procedimiento que permite hallar la factorización

dada.

2. Determinar el factor común de 15k(2b – c) + 10m(2b – c) y factorizar.

3(2b – c) es el factor común. Por qué? 3(2b – c) (5k + 2m) es la factorización del polinomio dado.

Forma general de Factorizar polinomios

Actividad Soluciones y comentariosFormas particulares de Factorizar polinomios


ÍNDICE Forma general de Factorizar polinomios



1. Justifique cada paso para factorizar 6h(r – y) + r – y

6h(r – y) + r – y =

6h(r – y) + (r – y) =

(r – y) (6h + 1)

2. Justifique el procedimiento para factorizar

2k (5b – 3c) – 5b + 3c.

2k (5b – 3c) – 5b + 3c =

2k (5b – 3c) + (– 5b + 3c) =

Como 5b – 3c y –5b+3c únicamente difieren en los

signos se factoriza – 1 en la segunda agrupación. Por qué?

2k (5b – 3c) – 1(5b – 3c) =

(5b – 3c) (2k – 1)

3. Por qué se puede afirmar que en el binomio

a ( x – 3 )2 – 2 ( x – 3 ) el factor común es ( x – 3 ) ?

Escriba la factorización del binomio dado.

4. Construya un trinomio cuyo factor común sea 5ax2

5. Construya un polinomio de cuatro términos cuyo factor

común sea ( x – 1 )

UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: FORMA GENERAL DE FACTORIZAR POLINOMIOS, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS



Página DESCARTES. Programa del Ministerio de Educación Español

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm


ÍNDICE Forma general de Factorizar polinomios



1. Justifique cada paso para factorizar 6h(r – y) + r – y

6h(r – y) + r – y =

6h(r – y) + (r – y) =

(r – y) (6h + 1)

2. Justifique el procedimiento para factorizar

2k (5b – 3c) – 5b + 3c.

2k (5b – 3c) – 5b + 3c =

2k (5b – 3c) + (– 5b + 3c) =

Como 5b – 3c y –5b+3c únicamente difieren en los

signos se factoriza – 1 en la segunda agrupación. Por qué?

2k (5b – 3c) – 1(5b – 3c) =

(5b – 3c) (2k – 1)

3. Por qué se puede afirmar que en el binomio

a ( x – 3 )2 – 2 ( x – 3 ) el factor común es ( x – 3 ) ?

Escriba la factorización del binomio dado.

4. Construya un trinomio cuyo factor común sea 5ax2

5. Construya un polinomio de cuatro términos cuyo factor

común sea ( x – 1 )


1. En 6h(r – y) + (r – y) se hace uso de la propiedad

asociativa de la suma para obtener un factor común:

(r – y)

2. En 2k (5b – 3c) + (– 5b + 3c) se aplica la propiedad

asociativa para tratar de obtener un factor común. Note

que la aplicación de la propiedad asociativa tiene la forma

( ) + ( )

El factor común en – 5b + 3c es 1, pero al factorizar el

opuesto de este factor común, se obtiene un factor común

en los dos términos

3. Recuerde que ( x – 3 )2 = ( x – 3 ) ( x – 3 ). Reescriba el

polinomio a factorizar teniendo en cuenta esta afirmación,

e identifique el factor común.


ÍNDICE Factorización por agrupación de términos

ActividadSoluciones y comentarios

Formas particulares de factorizar polinomios

Factorización de trinomios

Factorización de binomios

LA FACTORIZACION POR AGRUPACION DE TERMINOS: UNA FORMA ESENCIAL

Las formas particulares de factorización se intentan aplicar una vez que se ha verificado que el polinomio dado tiene como factor

común 1.

Factorizar 15ax – 3ay + 10bx –2by . Nótese que el

factor común del polinomio es 1.

Se usa la ley asociativa de la suma para agrupar

términos de tal forma que en alguna de las

agrupaciones se identifique un factor común distinto

de 1.

= (15ax – 3ay ) + (10bx –2by)

= 3a (5x – y ) + 2b (5x – y ) Factorización por factor

común (en cada agrupación en este caso)

= (5x – y ) (3a + 2b ) Factorización por factor común.

• Factorizar 4hr –20hs – 3r + 15s. Observe que el

factor común del polinomio es 1. De acuerdo con el

ejemplo anterior, una forma de proceder es:

(4hr –20hs) + ( – 3r + 15s) Ley asociativa de la suma

= 4h ( r – 5s) + 3 (– r + 5s )

No es posible aplicar de nuevo la forma general de

factorización: factor común y que r – 5s y – r +5s

únicamente difieren en los signos. De acuerdo a esto

en alguna agrupación se factoriza el opuesto del

factor común así: 4h ( r – 5s) – 3 ( r – 5s ) y se

continua con el procedimiento antes expuesto.

= ( r – 5s ) (4h – 3 )

NOTA: Si se aplica la ley asociativa con un agrupamiento

diferente y se puede seguir el procedimiento

expuesto, se obtiene la factorización del polinomio.

Muestre que al aplicar la ley asociativa de la suma (como

se ve abajo) en 4hr –20hs – 3r + 15s, se obtiene la

factorización anterior.

4hr –20hs – 3r + 15s = ( 4hr – 3r ) + ( -20hs + 15s )


ÍNDICE


Factorización por agrupación de términos




Como ( 2ab – 5x ) ( 2ab + 5x ) = 4a2b2 + 10abx –10abx + 25x2 = 4a2b2–25x2, es correcto afirmar que:

4a2b2 – 25x2 = ( 2ab – 5x ) ( 2ab + 5x ).

4a2b2 – 25x2 es una diferencia de cuadrados pues 4a2b2 = (2ab)2 y 25x2=(5x)2. Un uso adecuado de la factorización por agrupación

de términos permite factorizar una diferencia de cuadrados.

Factorizar 36x6-25y4z10. Verificar que el binomio es diferencia de cuadrados. 36x6=(6x3)2 y 25y4z10=(5y2z5)2. Entonces:

36x6 – 25y4z10 = 36x6 +30x3y2z5 – 30x3y2z5 – 25y4z10 (Se sumó y restó el producto de los monomios cuyos cuadrados son los términos

de la diferencia que se está factorizando. Cómo justificar esta acción?). A continuación se factoriza por agrupación de términos

(36x6 +30x3y2z5) + (– 30x3y2z5–25y4z10) =

6x3 (6x3+5y2z5) – 5y2z5 (6x3+5y2z5)=

(6x3+5y2z5) (6x3 –5y2z5)

DIFERENCIA DE CUADRADOS

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS


ÍNDICE







1. Muestre que el binomio 64x6 – y12 es factorizable mediante

dos formas diferentes de factorizar binomios.

2. Si 11 es un cuadrado, entonces es correcto afirmar que

11 – 4p6 es una diferencia de cuadrados? Justifique su

respuesta y en caso afirmativo, factorice el binomio.

3. Construya un binomio que sea una suma de cuadrados.

Será posible factorizarlo con un procedimiento similar al de

la factorización de una diferencia de cuadrados? Justifique

su respuesta con un razonamiento adecuado.

4. Consulte acerca de las técnicas existentes para agilizar la

factorización de una diferencia de cuadrados, una suma de

cubos o una diferencia de cubos y trate de explicar el

fundamento de dichas técnicas. Muestre un ejemplo del

funcionamiento de las técnicas.

UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS



Tutoriales de ÁLGEBRA de W. T. A&M University

http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/index.htm


ÍNDICE







1. Muestre que el binomio 64x6 – y12 es factorizable mediante

dos formas diferentes de factorizar binomios.

2. Si 11 es un cuadrado, entonces es correcto afirmar que

11 – 4p6 es una diferencia de cuadrados? Justifique su

respuesta y en caso afirmativo, factorice el binomio.

3. Construya un binomio que sea una suma de cuadrados.

Será posible factorizarlo con un procedimiento similar al de

la factorización de una diferencia de cuadrados? Justifique

su respuesta con un razonamiento adecuado.

4. Consulte acerca de las técnicas existentes para agilizar la

factorización de una diferencia de cuadrados, una suma de

cubos o una diferencia de cubos y trate de explicar el

fundamento de dichas técnicas. Muestre un ejemplo del

funcionamiento de las técnicas.


1. 64x6–y12 es una diferencia de cuadrados pues

64x6 = (8x3)2 ; y12 = (y6)2

64x6–y12 es una diferencia de cubos pues 64x6 = (4x2)3 ;

y12 = (y4)3

2. 11 es un cuadrado pues 4p6 es un cuadrado

pues 4p6 = ( 2p3)2. Luego 11 – 4p6 es una diferencia de

cuadrados.

21111


ÍNDICE






SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

Como (b–2c)(b2+2bc+4c2) = b3+2b2c+4bc2 – 2b2c – 4bc2 – 8c3 = b3 – 8c3, entonces b3 – 8c3 = (b–2c)(b2+2bc+4c2)

Como (b+2c)(b2–2bc+4c2) = b3 –2b2c+4bc2+ 2b2c– 4bc2 +8c3 = b3 + 8c3, entonces b3 + 8c3 = (b+2c)(b2–2bc+4c2)

Muestre que b3 + 8c3 y b3 – 8c3 son respectivamente una suma de cubos y una diferencia de cubos. Un uso adecuado de la

factorización por agrupación de términos permite factorizar una suma de cubos o una diferencia de cubos.

Factorizar 27c6+125m9. El binomio es una suma de cubos, pues 27c6 =(3c2)3 y 125m9 = (5m3)3. Entonces:

27c6+125m9=27c6 – 45c4m3+75c2m6 +45c4m3 –75c2m6+125m9

Se suman y restan dos cantidades así:

• El producto entre el monomio (cuyo cubo es el primero de los términos dados) y el cuadrado del monomio (cuyo cubo es el

segundo de los términos dados). Verificarlo

• El producto entre el monomio (cuyo cubo es el segundo de los términos dados) y el cuadrado del monomio (cuyo cubo es el

primero de los términos dados). Verificarlo.

Nota: Justifique las acciones de sumar y restar las dos cantidades antes indicadas.

A continuación se factoriza por agrupación de términos, así:

(27c6 – 45c4m3+75c2m6 )+(45c4m3 –75c2m6+125m9 ) =

3c2(9c4-15c2m3+25m6)+5m3(9c4 – 15c2m3+25m6) =

(9c4 – 15c2m3+25m6) (3c2+5m3) que usualmente se escribe

(3c2+5m3)(9c4 – 15c2m3+25m6)

• Muestre que este mismo procedimiento pemite factorizar una diferencia de cubos.


ÍNDICE






Si ( 3x – 5) (2x+3) = 6x2+9x – 10x – 15 = 6x2 – x – 15, entonces es correcto afirmar que 6x2 – 4x – 15 = ( 3x – 5) (2x+3).

Se considera un trinomio de la forma ax2+bx+c, con a, b, c números enteros. La factorización se basa en el siguiente razonamiento:

Si ax2+bx+c es expresable como ( px + r) (qx+s) con p,q,r,s, enteros , entonces ax2+bx+c = ( px + r) (qx+s), luego

ax2+bx+c = pqx2+psx+rqx+rs. Ley distributiva

ax2+bx+c = pqx2+(ps+rq)x+rs Ley asociativa y factor común

a=pq ; b=ps+rq ; c=rs Igualdad de polinomios.

Se tiene que ac=(ps)(rq) y b=ps+rq. Si se nombra ps=m ; rq=n, entonces ac = mn y b=m+n.

Factorizar 10x2 – 17x+3. En este trinomio a=10, b= –17 , c=3

10x2 – 17x+3 = 10x2+mx+nx+3 m, n números enteros tales que m+n= – 17 y mn=30 (Explique la razón de esta afirmación)

m= –15 , n= –2. (Cómo hallar estos enteros?)

10x2 – 17x+3 = 10x2 – 15x – 2x+3. Expresión del trinomio como polinomio de cuatro términos. Se procede a factorizar por agrupación

de términos.

10x2 – 15x – 2x+3 =

(10x2 – 15x) – ( 2x–3) =

5x ( 2x–3) –( 2x–3) =

( 2x – 3) ( 5x – 1) (Verificar el producto obtenido)

FACTORIZACION DEL TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c


ÍNDICE







1. Dados los trinomios:

a. –h2 + 3h + 18

b. 6q10 –13q5 –5

c. 5t3 + 6t – 8

d. w2 –6w + 9

e. b2 + 11b +30

f. 2z2 + 3z + 20

Determine cuáles de ellos son trinomios de la forma ax2+bx+c y

cuáles de ellos son factorizables. Muestre la factorización

de estos últimos

2. Algunos autores de textos clasifican los trinomios así:

trinomios cuadrados perfectos, trinomios de la forma

x2+bx+c y trinomios de la forma ax2+bx+c con a diferente

de 1. Además desarrollan técnicas para factorizar estos

trinomios. Consulte sobre esta clasificación y estas

técnicas.

3. Contraste la forma como se asume en esta presentación la

factorización de trinomios de la forma ax2+bx+c y la forma

como se describe en el ítem 2. Describa ventajas y

desventajas

UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS



CURSO VIRTUAL de la Universidad Nacional de Colombia


ÍNDICE







1. Dados los trinomios:

a. –h2 + 3h + 18

b. 6q10 –13q5 –5

c. 5t3 + 6t – 8

d. w2 –6w + 9

e. b2 + 11b +30

f. 2z2 + 3z + 20

Determine cuáles de ellos son trinomios de la forma ax2+bx+c y

cuáles de ellos son factorizables. Muestre la factorización

de estos últimos

2. Algunos autores de textos clasifican los trinomios así:

trinomios cuadrados perfectos, trinomios de la forma

x2+bx+c y trinomios de la forma ax2+bx+c con a diferente

de 1. Además desarrollan técnicas para factorizar estos

trinomios. Consulte sobre esta clasificación y estas

técnicas.

3. Contraste la forma como se asume en esta presentación la

factorización de trinomios de la forma ax2+bx+c y la forma

como se describe en el ítem 2. Describa ventajas y

desventajas


1. El trinomio del ítem c no es de la forma ax2+bx+c, pues t3

no es el cuadrado de t.

De los demás trinomios el trinomio del ítem c no es

factorizable.

El trinomio del ítem d se factoriza así:

w2 –6w + 9 = w2 +mw+nw+ 9, m, n números enteros tales

que m+n = – 6 y mn = 9

Los números que cumplen la condición son m = – 3,

n = – 3, por lo tanto:

w2 –6w + 9 = w2 – 3w – 3w+ 9

= ( w2 – 3w ) + ( – 3w+ 9 )

= w ( w – 3 ) – 3 ( w – 3 )

= ( w – 3 ) ( w – 3 )

= ( w – 3 )2

NOTA: Es importante escribir la factorización como se hizo en

el último renglón, pues esta forma es imprescindible en

varios procedimientos donde se usa la factorización.


ÍNDICE







1. Establecer dos términos que deben escribirse en el espacio

para que uno de los factores de la factorización del

polinomio dado sea (2 – d )

Polinomio: 2c + 2d + ____ + _____

2. Dado el polinomio bk – 3b – kc + 3c – dk + 3d, muestre dos

agrupaciones diferentes (una de ellas haciendo grupos de

a dos términos y la otra tomando grupos de a tres

términos ) que permitan factorizar el polinomio.

3. Muestre que la factorización por agrupación de términos

del polinomio 27x6 – 9x4z3 + 6x2z6 – 18x4z3+ 3x2z6 – z9 es

( 3x2 – z3 )3

UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS



Página de matemáticas y ÁLGEBRA.

http://www.tpub.com/math1/


ÍNDICE







1. Establecer dos términos que deben escribirse en el espacio

para que uno de los factores de la factorización del

polinomio dado sea (2 - d )

Polinomio: 2c + 2d + ____ + _____

2. Dado el polinomio bk – 3b – kc + 3c – dk + 3d, muestre dos

agrupaciones diferentes (una de ellas haciendo grupos de

a dos términos y la otra tomando grupos de a tres

términos ) que permitan factorizar el polinomio.

3. Muestre que la factorización por agrupación de términos

del polinomio 27x6 – 9x4z3 + 6x2z6 – 18x4z3+ 3x2z6 – z9 es

( 3x2 – z3 )3


1. Note que el polinomio dado se puede escribir como

2 ( c + d ) + ____ + _____ , luego se requiere que en los

dos último términos pueda obtener como factor común

c + d y que otro factor sea –d, por tanto un polinomio es:

2 c + 2d – cd – d2 Verificar la afirmación.

Puede determinar otro polinomio que cumpla la

condición?

2. Una agrupación posible es:

( bk – kc– dk ) + (– 3b + 3d + 3c ) que conduce a la

factorización:

( b – 3 ) ( b – c – d ) Realice el procedimiento completo.

COMBINACIÓN DE FORMAS DE FACTORIZAR POLINOMIOS

ÍNDICE Noción ActividadSoluciones y comentarios

FACTORIZACION COMPLETA DE UN POLINOMIO

Se afirma que un polinomio es irreductible cuando no es factorizable por alguna de las formas conocidas.

Se considera que un polinomio esta factorizado completamente cuando cada uno de sus factores es un polinomio irreductible.

Para utilizar la factorización en forma adecuada es imprescindible factorizar completamente un polinomio dado. Veamos

algunas situaciones

Factorizar 24k2w – 76kw + 40w.

De acuerdo con las sugerencias dadas, el factor común de los

monomios es 4w. Al factorizar mediante factor común, se

obtiene:

24k2w – 76kw + 40w = 4w ( 6k2 – 19k + 10 )

El trinomio 6k2 – 19k + 10, es de la forma ax2+bx+c; por lo

tanto hay que intentar factorizarlo. Aquí a=6 , b= –19;

c=10. Por lo tanto,

6k2 – 19k + 10 = 6k2 + mk + nk + 10, con m , n enteros tales

que m + n = – 19 y mn=60. Entonces m= – 15 , n= – 4

6k2 – 19k + 10 = 6k2 – 15k – 4k + 10

=( 6k2 – 15k ) – ( 4k – 10 ) = 3k ( 2k – 5 ) – 2 ( 2k – 5 )

= ( 2k – 5 ) ( 3k – 2 )

Por lo tanto, es correcto afirmar que

24k2w – 76kw + 40w = 4w ( 2k – 5 ) ( 3k – 2 )

Factorizar b2 – 4y2 – 3b+6y

Se observa que el factor común de los monomios que

integran el polinomio es 1. Por tanto, se procede con

formas particulares de factorización. En esta situación

la agrupación de términos es útil, pues:

b2 – 4y2 – 3b+6y =

( b2 – 4y2 ) – (3b + 6y ) =

Note que b2 – 4y2 es una diferencia de cuadrados (Por qué?). Al factorizar en cada agrupación, se obtiene:

( b – 2y ) (b + 2y ) – 3 (b + 2y ) =

(b + 2y ) (( b – 2y ) – 3 ) =

(b + 2y ) ( b – 2y – 3 )

Note que cada uno de los factores hallados es un polinomio irrreductible.



UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: COMBINACIÓN DE FORMAS DE FACTORIZAR, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS



Página de MATEMÁTICAS con base en FAQ (Frequent asked questions)


1. Muestre que el trinomio 12r2 – 120r +252 es factorizable

completamente usando factor común y el trinomio de la

forma ax2+bx+c. Factorícelo de dos maneras, usando estas

formas en orden diferente. Elabore una conclusión

respecto de una secuencia óptima para factorizar un

polinomio.

2. Muestre que el binomio k6 – 729 es factorizable

completamente de dos maneras diferentes, mediante el

uso de dos formas de factorizar binomios

3. Construya un polinomio de tal manera que para factorizarlo

completamente, sea necesario el uso de tres formas de

factorización.

4. Factorice completamente k3 + 5k2 + 6k + k2r + 5kr + 6r

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.learn.factor.html




1. Muestre que el trinomio 12r2 – 120r +252 es factorizable

completamente usando factor común y el trinomio de la

forma ax2+bx+c. Factorícelo de dos maneras, usando estas

formas en orden diferente. Elabore una conclusión

respecto de una secuencia óptima para factorizar un

polinomio.

2. Muestre que el binomio k6 – 729 es factorizable

completamente de dos maneras diferentes, mediante el

uso de dos formas de factorizar binomios

3. Construya un polinomio de tal manera que para factorizarlo

completamente, sea necesario el uso de tres formas de

factorización.

4. Factorice completamente k3 + 5k2 + 6k + k2r + 5kr + 6r


1. Una forma de factorizar 12r2 – 120r +252 es así:

12r2 – 120r +252 = 12 ( r2 – 10r + 21 )

Muestre a continuación que r2 – 10r + 21 = ( r – 7 ) ( r – 3 )

2. Note que k6 – 729 , puede ser considerado de dos formas diferentes: como una diferencia de cuadrados o como una diferencia de cubos. Factorice mediante cada una de estas formas y observará que el posible volver a factorizar alguno de los factores obtenidos.

3. Use agrupación de términos. Uno de los factores obtenidos es un trinomio de la forma ax2+bx+c.

ÍNDICE

PROFUNDIZACIÓN


Las formas de factorizar que han sido estudiadas en otros apartes, son susceptibles de aplicarse a expresiones algebráicas que

tienen similitud con los polinomios. Se muestran algunas situaciones

Factorizar

Por qué esta expresión no es un polinomio ?

Se nota que x es un factor común en la expresión. En este caso se sugiere que la potencia de x que forma parte del factor común,

sea la menor potencia que se encuentre en la expresión. En consecuencia el factor común es .Por lo tanto:

Factorizar ( k – 3 )6 + 9 ( k – 3 )3 – 22

La expresión es un trinomio, luego es pertinente intentar escribirla como un trinomio de la forma ax2+bx+c. Para ello se efectúa la

sustitución w = k – 3 , con lo cual:

( k – 3 )6 + 9 ( k – 3 )3 – 22 =w6 + 9w3 – 22.

Es correcto asumir que el último trinomio tiene la forma deseada pues w6 es el cuadrado de w3. Por tanto se procede a

factorizar el trinomio, así:

w6 +9w3 – 22 = w6 +mw3 +nw3 – 22

m, n enteros tales que m+n= 9 y mn = –22. Los enteros que cumplen la condición son m = 11 y n = –2

w6 + 11w3 – 2w3 – 22 = ( w6 +11w3 ) + (– 2w3 – 22 )

w3 ( w3 + 11 ) – 2 ( w3 + 11 ) = ( w3 + 11 ) (w3 – 2 ) Como w = k – 3, se obtiene que

( k – 3 )6 + 9 ( k – 3 )3 – 22 = (( k – 3 )3 + 11 ) (( k – 3 )3 – 2 )

322232221 4323331269 cxxbxaxxcxbxax

cxbxax 1269 221

3232 4233 cxbaxx

2x3

ÍNDICE

PROFUNDIZACIÓN


UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: PROFUNDIZACIÓN, PARA CONTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS



1. El trinomio w2 – 13wz3 + 42z6 se puede considerar como un

trinomio de la forma ax2+bx+c, con a = 1, b = – 13z3 ,

c = 42z6 . En consecuencia se puede factorizar mediante el

procedimiento descrito para este tipo de trinomios, así:

w2 – 13wz3 + 42z6 = w2 +mw+nw + 42z6 , con m , n

expresiones algebráicas tales que m+n = -13z3 y mn = 42z6.

Justifique esta última afirmación y factorice el trinomio.

2. Justifique por qué el trinomio del punto 1 puede ser tomado

como un trinomio de la forma ax2+bx+c, con a = 42,

b = -13w y c= w2. y por tanto se puede factorizar mediante

esta forma.

3. Muestre que el binomio z2n – 166m es una diferencia de

cuadrados y factorícelo.

4. Factorizar 9t2 – 6t + 1 – 25y2. Agrupe el trinomio 9t2 – 6t + 1

y factorícelo. Qué forma de factorizar aplicaría a

continuación?

ÍNDICE

PROFUNDIZACIÓN



1. El trinomio w2 – 13wz3 + 42z6 se puede considerar como un

trinomio de la forma ax2+bx+c, con a = 1, b = – 13z3 ,

c = 42z6 . En consecuencia se puede factorizar mediante el

procedimiento descrito para este tipo de trinomios, así:

w2 – 13wz3 + 42z6 = w2 +mw+nw + 42z6 , con m , n

expresiones algebráicas tales que m+n = -13z3 y mn = 42z6.

Justifique esta última afirmación y factorice el trinomio.

2. Justifique por qué el trinomio del punto 1 puede ser tomado

como un trinomio de la forma ax2+bx+c, con a = 42,

b = -13w y c= w2. y por tanto se puede factorizar mediante

esta forma.

3. Muestre que el binomio z2n – 166m es una diferencia de

cuadrados y factorícelo.

4. Factorizar 9t2 – 6t + 1 – 25y2. Agrupe el trinomio 9t2 – 6t + 1

y factorícelo. Qué forma de factorizar aplicaría a

continuación?


1. Las expresiones algebráicas m, n que cumplen con las

condiciones especificadas son m = -7z3 , n = -6z3, luego

w2 – 13wz3 + 42z6 = w2 +(-7z3 )w+(-6z3) w + 42z6

= w2 – 7z3w – 6z3w + 42z6

= ( w2 – 7z3w ) – ( 6z3w + 42z6 )

= w ( w – 7z3 ) – 6z3 (w – 7z3 )

= ( w – 7z3 ) ( w –6z3 )

3. z2n – 166m es una diferencia de cuadrados porque z2n

= (zn)2 y 166m = ( 43m )2 .

4. Muestre que 9t2 – 6t + 1 = ( 3t – 1 )2 y por tanto

9t2 – 6t + 1 – 25y2 = ( 3t – 1 )2 – 25y2. Este último binomio

es factorizable mediante una diferencia de cuadrados.

ova factorizacion 1

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