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José Rodolfo Londoño Santamaría

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Segunda edición, mayo de 2006.

Todos los derechos reservados. No se permite la reproducción, archivo o transmisión total o parcial de estetexto mediante ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, de fotorreproducción, memoria o cualquierotro sin permiso de los editores Ude@.

Impreso en Medellín, Colombia.

Imagen de la portada

Fotografía del mural El hombre ante los grandes descubrimientos de la física (1968-1969). Obra del artistaPedro Nel Gómez ubicada en la Biblioteca Central de la Universidad de Antioquia.

Pedro Nel Gómez nació el 4 de julio de 1899 en Anorí, municipio del nordeste antioqueño, tierra de selvas ymontañas, recorrida por caudalosos ríos auríferos. Hace parte de la galería de los principales artistascolombianos del siglo XX y fue el más importante artista antioqueño hasta las décadas del 60 y el 70,cuando las vanguardias artísticas locales y nacionales se consolidaron, alcanzando una obra consistente,de trascendencia para el arte nacional y de aceptación internacional.

La importancia del maestro se puede definir tanto por sus aportes al desarrollo de la cultura, como por sucontribución al desarrollo del arte nacional. Ambas facetas derivan de una personalidad forjada en ladisciplina del trabajo y el estudio, en medio de las limitaciones propias de su época. Logró conquistar unavisión propia del país y de la cultura, que encuentra en el arte el medio más idóneo para su expresión.

http://www.pedronelgomez.org/maestro.htm

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Quiero agradecer a mi señora Ángela María y a mis hijos Santiago y Juan Davidpor el tiempo que me han permitido quitarles y por su apoyo constante.

Igualmente quiero agradecer al personal integrante del Proyecto Ude@ y a losestudiantes monitores, pues sin su esfuerzo y profesionalismo no hubiera sido

posible este trabajo.

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AutorAcerca delautor

José Rodolfo Londoño Santamaría

El profesor José Rodolfo Londoño es Ingeniero Mecánico de la Universi-dad de Antioquia. Ha realizado diplomaturas, entre ellas «Docencia Univer-sitaria» y «Metodología de la Enseñanza de las Matemáticas», en la Uni-versidad de Medellín. Actualmente es profesor titular de la Universidad deAntioquia y profesor de cátedra en la Universidad de Medellín y en laEscuela de Ingeniería de Antioquia.

e-mail: jrls@epm.net.co

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Cómo usar este libroComo estudiante del programa Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendizajemediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo enequipo son características que le ayudarán en su formación, para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo almétodo de la ingeniería.

La Universidad de Antioquia, a tra-vés del programa Ude@, ha puestoa su disposición contenidos acadé-micos en diferentes medios con elfin de facilitarle el aprendizaje me-diante las tecnologías de informáti-ca y telecomunicaciones clásicas ymodernas:

Radio Televisión Impresos Web Multimedia Videoconferencias

En el modelo Ude@ los conocimientos son aportados por cada medio en igualdad de importancia y con lasfortalezas propias de cada uno de ellos, pero el texto desempeña un papel fundamental en el aprendizaje yaque es el que más diversidad ofrece en términos de funcionalidad y cantidad de contenidos. El texto Ude@no sólo permite analizar con más detalle y profundidad los contenidos de cada curso, sino que facilita enmayor medida la realización de ejercicios, tareas y autoevaluaciones.

La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenidode una manera lógica.

La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos (sesiones de clase). Al empezar cada capítulose encuentra un “Contenido breve” en la columna externa, que incluye una lista del número y el título de los módulos quecomponen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, un índice temático del contenido, objetivosespecíficos, preguntas básicas y una introducción, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particularde cada sesión de clase.

El texto Ude@

Estructura del texto Ude@

Cómo usar este libro

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El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, laproducción de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (radio, televisión, web, multimedia, videoconferencias),con enlaces entre los mismos. La esencia de este enlace está dada por los iconos Ude@.

Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráficos que leayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios. El espacio gráfico de cada páginadel texto está dividido en dos columnas: en la interior, más ancha, podrá observar todo lo relaciona-do con el desarrollo del contenido y las correspondientes figuras (gráficas, fotos, etc.), mientras queen la exterior encontrará las llamadas a otros medios. Estas llamadas permiten que haya interrelacióny retroalimentación entre los mismos.

Los iconos de radio, televisión, multimedia, mapa conceptual,videoconferencia o web le indicarán la ruta a seguir. Por ello es importante que sepa que sobre eltema que está estudiando en el módulo impreso, también hay material disponible en otros medios,y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos nose repite sino que se complementa.

Los iconos y la interrelación de medios

El mapa conceptual

Es importante que durante su proceso de aprendizaje se pregunte cons-tantemente si de verdad comprendió el significado de los términos y suuso. Una buena manera de comprobarlo es explicándole el concepto a otra persona. No dude ensolicitar ayuda a su tutor.

Antes de iniciar el estudio de un capítulo lea el contenido breve y la presentación.

Las preguntas básicas de cada módulo le ayudarán a valorar la comprensión de los nuevosconceptos presentados y de la temática tratada a lo largo del mismo.

El estudio de los ejemplos intercalados en los bloques de texto y la solución de los ejerciciosincrementarán sus habilidades en la solución de problemas reales.

Tome apuntes, plantéese preguntas y trate de resolverlas.

Sugerencias para el estudiante Ude@

Al comienzo del texto Ude@ usted encontrará un mapa conceptual delcurso, que lo orientará en el universo temático de la disciplina. Esta herra-mienta pedagógica hace posible la integración conceptual, jerárquica yfuncional, en forma gráfica y espacial, de todos los contenidos.

Geometría Euclidiana

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13Geometría Euclidiana

Capítulo 1: Algunos métodos de demostración

Capítulo 2: Elementos básicos de la geometría

Capítulo 3: Triángulo

Capítulo 4: Cuadriláteros

Módulo 1Historia de la geometría 21Módulo 2La demostración 25Módulo 3Leyes 29Módulo 4Métodos de demostración 35Módulo 5Condicionales 41Módulo 6La refutación 45

Módulo 7Postulados 53Módulo 8Segmentos 63Módulo 9Ángulos 73Módulo 10Polígonos 89

Módulo 11Congruencia de triángulos 105Módulo 12Desigualdades 129Módulo 13Otras congruencias de triángulos 141

Módulo 14Paralelismo y perpendicularidad 157Módulo 15Ángulos especiales 165

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Módulo 16Propiedades de cuadriláteros 181

Módulo 17Rectas y puntos notables 197

Capítulo 5: Circunferencia

Módulo 18Generalidades de la circunferencia 225Módulo 19Arcos y ángulos 237

Capítulo 6: Relaciones métricas

Módulo 20Segmentos proporcionales 271Módulo 21Semejanza de triángulos 287Módulo 22Relaciones métricas 299Módulo 23Relaciones métricas en la circunferencia 317

Capítulo 7: Áreas

Módulo 24Áreas básicas 351Módulo 25Relaciones entre áreas 373Módulo 26Áreas sombreadas 383

Capítulo 8: Construcciones

Módulo 27Construcciones elementales 409Módulo 28Construcciones geométricas 419Módulo 29Construcción de triángulos 427Módulo 30Construcciones generales 437

15Geometría EuclidianaGeometría Euclidiana

El presente libro surgió de una invitación hecha por el inge-niero electrónico Guillermo Ospina, coordinador general delProyecto Ude@, para que sirviera como guía del curso Geo-metría Euclidiana en el programa de Ingeniería de Teleco-municaciones de la Universidad de Antioquia. Por este moti-vo, no se trata de un estudio exhaustivo de la geometría sinode la presentación de unos temas básicos y elementales acor-des con el programa oficial de un curso presencial.

Con el contenido del texto se ha intentado proporcionar alfuturo ingeniero unos conocimientos que le sean útiles ensu trabajo y que le desarrollen la habilidad de manejarlos conbuen criterio, razón por la cual el proceso demostrativo quese les da a algunos teoremas, y la solución de algunos ejer-cicios, es variada y no permite que el estudiante se sienta«encasillado» con una sola metodología. Los ejercicios plan-teados son muy racionales y están al alcance del alumnopara que pueda resolverlos y mejore su creatividad, con lateoría expuesta.

En algunos módulos se presentan, en la parte correspon-diente a los ejercicios, preguntas de falso y verdadero con elfin de que el estudiante refuerce los conceptos teóricos. Tam-bién se presentan ejercicios con figuras, en las que se pro-porcionan la hipótesis (los datos dados) y la tesis (lo que seva a demostrar) para que se familiarice con ellas y puedaidentificar fácilmente una y otra. Igualmente, se dan algunosejercicios literales para que vaya aprendiendo a construir lafigura correspondiente e identifique tanto los datos como loque se pide demostrar. Las autoevaluaciones que van al finalde cada capítulo tienen la misma metodología, pero a medidaque se avanza en ese proceso van desapareciendo las figu-ras, hasta llegar a enunciarse problemas que ni siquiera con-tienen letras. Con esto último se busca que el estudianteidee símbolos propios, construya la figura adecuada y re-suelva el problema planteado.

En el capítulo 1 se presenta en forma muy resumida unareseña histórica de la geometría y las leyes de los númerosreales, junto con las leyes de inferencia lógica que permiten

mostrar algunos métodos de demostración. En el 2 se estu-dian conceptos básicos que hacen posible establecer teore-mas y problemas que están relacionados con la medida y lacongruencia de segmentos y ángulos. En el 3 se hace unapresentación inicial de la geometría del triángulo –generali-dades, criterios de congruencia, relaciones entre sus ele-mentos (desigualdades)–. En el 4 se analizan laperpendicularidad, el paralelismo, los cuadriláteros y losángulos entre rectas y en polígonos, y se continúa con lageometría del triángulo (puntos y rectas notables). En el 5 sepresentan los elementos de la circunferencia y el círculo,junto con las posiciones relativas, se analizan las propieda-des de arcos y cuerdas y se da la forma de hallar la medida delos ángulos relacionados con la circunferencia. En el 6 secontinúa con la geometría del triángulo y se analizan la se-mejanza y las relaciones métricas en él, en la circunferencia yen los polígonos regulares. En el 7 se presentan las fórmulasde áreas de las figuras planas, se establecen relaciones en-tre las áreas de triángulos que tienen alguna propiedad y secalculan áreas sombreadas. En el último capítulo (8), que sepresenta más a nivel de consulta que de estudio, se exponennociones sobre construcciones básicas, lugares geométricossencillos, construcciones básicas de triángulos y algunasconstrucciones de triángulos dados algunos de sus elemen-tos.

Prólogo

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17Geometría EuclidianaMapa conceptual

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