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Geometria e seus axiomas

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  • Geometria Euclidiana Plana

    Por

    Almir Rogrio Silva Santos

    e

    Humberto Henrique de Barros Viglioni

    UFS - 2011.1

  • Sumrio

    Captulo 1: Geometria Euclidiana 13

    1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Um Pouco de Histria . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.2.1 O Quinto Postulado de Euclides . . . . . . . 171.3 Geometria de Incidncia . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.3.1 Axiomas de Incidncia . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Modelos para a geometria de incidncia . . . 22

    1.4 Axiomas de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 31

    Captulo 2: Axiomas de Medio 33

    2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 Axiomas de Medio de Segmentos . . . . . . . . . 342.3 Axiomas de Medio de ngulos . . . . . . . . . . . 38RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 46

    Captulo 3: Congruncia 47

    3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Congruncia de Segmentos . . . . . . . . . . . . . 48

  • 3.3 Congruncia de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . 49

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 58

    Captulo 4: Geometria sem o Postulado das Paralelas59

    4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    4.2 Teorema do ngulo Interior Alternado . . . . . . . . 60

    4.3 Teorema do ngulo Exterior . . . . . . . . . . . . . 64

    4.4 Congruncia de Tringulos Retngulos . . . . . . . . 67

    4.5 Desigualdades no tringulo . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.6 Teorema de Saccheri-Legendre . . . . . . . . . . . 72

    4.7 Soma dos ngulos de um Tringulo . . . . . . . . . 75

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 82

    Captulo 5: O Axioma das Paralelas 85

    5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    5.2 Axioma das Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    5.3 Tringulos e Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . 88

    5.4 Semelhana de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . 95

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 105

    Captulo 6: O Crculo 107

    6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    6.2 O Crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    6.3 ngulos Inscritos em um Crculo . . . . . . . . . . . 112

  • 6.4 Polgonos Inscritos em um Crculo . . . . . . . . . . 117

    6.5 Como calcular o comprimento de um crculo? . . . . 124

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 131

    Captulo 7: Funes Trigonomtricas 133

    7.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    7.2 Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . 134

    7.3 Frmulas de Reduo . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    7.4 Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    7.5 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 150

    Captulo 8: rea 151

    8.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    8.2 rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    8.3 rea do Crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 163

    Captulo 9: Teorema de Ceva 165

    9.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    9.2 O Teorema de Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    9.3 Pontos Notveis de um Tringulo . . . . . . . . . . . 170

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

    PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

    ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

  • LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 175

    Captulo 10: Construes Elementares 177

    10.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    10.2 Construes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . 179

    10.2.1 Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    10.2.2 Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    10.2.3 Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    10.2.4 Bissetriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

    10.2.5 O arco capaz . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    10.2.6 Diviso de um segmento em partes iguais . . 187

    10.2.7 Tangentes a um crculo . . . . . . . . . . . . 188

    10.3 Problemas Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 201

    Captulo 11: Expresses Algbricas 203

    11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

    11.2 A 4a proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

    11.3 Expresses com razes quadradas . . . . . . . . . . 207

    11.4 O segmento ureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

    11.5 Expresses construtveis . . . . . . . . . . . . . . . 216

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

    PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 220

    Captulo 12: Construes Possveis 221

    12.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

    12.2 Diviso do crculo em n parte iguais . . . . . . . . . 222

    12.3 Construes Possveis Utilizando Rgua e Compasso 225

    12.3.1 O Princpio da Soluo . . . . . . . . . . . . 229

  • 12.3.2 Um critrio de no-construtibilidade . . . . . 23112.3.3 O critrio geral de no-construtibilidade . . . 23212.3.4 Polgonos regulares construtveis . . . . . . . 234

    RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 237

  • AULA

    1Geometria EuclidianaMETAIntroduzir o mtodo axiomtico na geometria.

    OBJETIVOSIdentificar e entender os axiomas de Euclides para a GeometriaPlana.Entender do porqu modificar os Axiomas de Euclides para o es-tudo axiomatizado da Geometria Euclidiana Plana.Introduzir os Axiomas de Incidncia e de ordem.

    PR-REQUISITOSFundamentos de Matemtica

  • Geometria Euclidiana

    1.1 Introduo

    Seja bem vindo caro aluno, daremos incio aqui ao estudo axioma-tizado daquela geometria estudada no ensino fundamental e mdio,a Geometria Euclideana Plana, porm com um enfoque diferente.Faremos uso do mtodo utilizado por Euclides em seu livro OsElementos, o mtodo axiomtico.A palavra geometria vem do grego geometrein (geo, terra, e me-trein, medida); originalmente geometria era a cincia de medioda terra. O historiador Herodotus (sculo 5 a.C.), credita ao povoegpcio pelo incio do estudo da geometria, porm outras civiliza-es antigas (babilnios, hindu e chineses) tambm possuiam muitoconhecimento da geometria.Os Elementos de Euclides um tratado matemtico e geomtricoconsistindo de 13 livros escrito pelo matemtico grego Euclides emAlexandria por volta de 300 a.C. Os 4 primeiros livros, que hojepode ser pensando como captulos, tratam da Geometria Planaconhecida da poca, enquanto os demais tratam da teoria dosnmeros, dos incomensurveis e da geometria espacial.Esta aula est segmentada em duas partes. Na primeira partevamos apresentar para voc, caro aluno, os postulados de Euclidese veremos porqu se faz necessrio introduzir outros postulados afim de que se obtenha uma geometria slida, sem lacunas nosresultados.

    1.2 Um Pouco de Histria

    No livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo da ge-ometria plana, hoje conhecida como Geometria Euclidiana Planaem sua homenagem. Inicialmente ele define os objetos geomtricoscujas propriedades deseja-se estudar. So 23 definies, entre asquais encontramos as definies de ponto, reta, crculo, tringulo,retas paralelas, etc. Em seguida ele enuncia 5 noes comuns, queso afirmaes admitidas como verdades bvias. So elas:

    14

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    11 - Coisas iguais a uma mesma coisa so tambm iguais.2 - Se iguais so adicionados a iguais, os totais obtidos so iguais

    3 - Se iguais so subtrados de iguais, os totais obtidos so iguais

    4 - Coisas que coincidem uma com a outra so iguais

    5 - O todo maior do que qualquer uma de suas partes

    O que Euclides faz construir axiomaticamente a geometria plana,atravs do mtodo axiomtico. Mas o que o mtodo axiomtico?Se eu desejo convenc-lo que uma afirmao A1 verdadeira, euposso mostrar como esta afirmao segue logicamente de algumaoutra afirmao A2, a qual voc acredita ser verdadeira. No en-tanto, se voc no acredita em A2, eu terei que repetir o processoutilizando uma outra afirmao A3. Eu devo repetir este processovrias vezes at atingir alguma afirmao que voc acredite serverdadeira, um que eu no precise justificar. Esta afirmao temo papel de um axioma (ou postulado). Caso essa afirmao noexista, o processo no ter fim, resultando numa sequncia suces-siva de demonstraes.Assim, existem dois requisitos que devem ser cumpridos para queuma prova esteja correta:

    Requisito 1: Aceitar como verdadeiras certas afirmaeschamadas axiomas ou postulados, sem a necessidade deprova.

    Requisito 2: Saber como e quando uma afirmao seguelogicamente de outra.

    O trabalho de Euclides destaca-se pelo fato de que com apenas 5postulados ele foi capaz de deduzir 465 proposies, muitas com-plicadas e no intuitivas.A seguir apresentamos os 5 postulados de Euclides.

    Postulado 1. Pode-se traar uma (nica) reta ligando quaisquerdois pontos.

    15

  • Geometria Euclidiana

    Postulado 2. Pode-se continuar (de uma nica maneira) qualquerreta finita continuamente em uma reta.

    Postulado 3. Pode-se traar um crculo com qualquer centro ecom qualquer raio.

    Postulado 4. Todos os ngulos retos so iguais.

    Algumas observaes antes do Postulado 5 merecem ateno.

    Com apenas estes 4 postulados Euclides provou 28 proposies

    Nos Postulados 1 e 2 os termos entre parnteses no foramempregados por Euclides; porm, pela forma como ele osaplicam, deduz-se que estes termos foram implicitamente as-sumidos.

    Euclides define ngulos sem falar em medida e ngulo retocomo um ngulo que igual ao seu suplementar. Da, anecessidade do Postulado 4.

    A primeira proposio do Livro I segue abaixo:

    Proposio 1. Existe um tringulo equiltero com um lado iguala um segmento de reta dado.

    Demonstrao

    Passo 1: Pelo Postulado 3, podemos traar um crculo comcentro em uma extremidade do segmento de reta e raio iguala este segmento.

    Passo 2: Como no passo 1, podemos traar um outro crculocom centro na outra extremidade e mesmo raio.

    Passo 3: Tome um dos pontos de interseo dos dois crculoscomo o terceiro vrtice do tringulo procurado.

    16

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    1

    Figura 1.1: Um tringulo equiltero.

    Existe uma falha nesta demonstrao. Se queremos construir a ge-ometria a partir dos axiomas, precisamos justificar toda afirmaoa partir deles. Note que justificamos os passos 1 e 2 utilizando oPostulado 3. Porm, no existe nenhum postulado para sustentara veracidade do passo 3, ou seja, nenhum dos postulados garanteque o ponto de interseo entre os dois crculos existe.

    De fato, em muitas passagens dos Elementos Euclides faz uso deafirmaes que no esto explcitas. Apesar disso, Euclides foiaudacioso em escrever os Elementos, um belssimo trabalho que deto pouco deduziu-se centenas de afirmaes.

    1.2.1 O Quinto Postulado de Euclides

    Analisemos a proposio 28 do Livro I.

    Proposio 28. Sejam duas retas m e n cortadas por uma terceirareta r. Se a soma dos ngulos formados (ver figura 1.2) 180 graus,ento m e n so retas paralelas.

    Na simbologia atual podemos representar a Proposio 28 da seguinteforma

    + = 180 m n = .

    17

  • Geometria Euclidiana

    Figura 1.2: + = 180.

    E a recproca, verdadeira? Ou seja, verdade que

    m n = + = 180?

    A resposta a essa pergunta complexa e levou mais de dois milanos para ser entendida completamente. De fato, esta recproca exatamente o contedo do Postulado 5.

    Postulado 5. Sejam duas retas m e n cortadas por uma terceirareta r. Se a soma dos ngulos formados (ver figura) menor doque 180 graus, ento m e n no so paralelas. Alm disso, elasse intersectam do lado dos ngulos cuja soma menor do que 180graus.

    Figura 1.3: + < 180.

    18

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    1Esta foi a forma como Euclides enunciou o Postulado 5. Na sim-bologia atual podemos representar a Proposio 28 da seguinteforma

    + < 180 m n 6= (1.1)Note que a afirmao 1.1 equivalente a

    m n = + 180.

    Porm, se + > 180 teramos que a soma dos suplementares de e seria < 180, implicando, pelo Postulado 5, que m n 6= ;contradio!Logo, o Postulado 5 equivalente a afirmao

    m n = + = 180,

    que exatamente a recproca da Proposio 28.Muitos acreditavam que quando Euclides chegou no Postulado 5no soube como demonstr-lo e ento resolveu deix-lo como pos-tulado. Com certeza Euclides deve ter pensado muito at aceitarque teria que acrescentar este postulado, visto que diferentementedos demais, este parece muito mais com um teorema que com umasimples afirmao que podemos aceit-la sem demonstrao.

    1.3 Geometria de Incidncia

    A partir desta seo, caro aluno, iremos iniciar nosso estudo axio-mtico da Geometria Euclidiana Plana. Nas sees anteriores, vi-mos que os postulados de Euclides no so suficientes para demon-strar todos os resultados da geometria plana. De fato, vimos quenos Elementos de Euclides existem lacunas que no so possveispreench-las somente com o contedo dos Elementos.O que iremos fazer neste curso axiomatizar a geometria de talforma que no deixemos lacunas. Iremos usar um conjunto deaxiomas que sero suficientes para demonstrar todos os resultadosconhecidos desde o ensino fundamental.

    19

  • Geometria Euclidiana

    No podemos definir todos os termos que iremos usar. De fato,para definir um termo devemos usar um outro termo, e para definiresses termos devemos usar outros termos, e assim por diante. Seno fosse permitido deixar alguns termos indefinidos, estaramosenvolvidos em um processo infinito.Euclides definiu linha como aquilo que tem comprimento sem largurae ponto como aquilo que no tem parte. Duas definies no muitoteis. Para entend-las necessrio ter em mente uma linha e umponto. Consideraremos alguns termos, chamados de primitivos ouelementares, sem precisar defini-los. So eles:

    1. ponto;

    2. reta;

    3. pertencer a (dois pontos pertencem a uma nica reta);

    4. est entre (o ponto C est entre A e B);

    O principal objeto de estudo da Geometria Euclidiana Plana oplano.

    O plano constitudo de pontos e retas.

    1.3.1 Axiomas de Incidncia

    Pontos e retas do plano satisfazem a cinco grupos de axiomas. Oprimeiro grupo constitudo pelos axiomas de incidncia.

    Axioma de Incidncia 1: Dados dois pontos distintos, existeuma nica reta que os contm.

    Axioma de Incidncia 2: Em toda reta existem pelo menos doispontos distintos.

    Axioma de Incidncia 3: Existem trs pontos distintos com apropriedade que nenhuma reta passa pelos trs pontos.

    20

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    1Figura 1.4:

    Figura 1.5:

    Observao Destes trs axiomas deduzimos alguns fatos simples,porm importantes:

    Toda reta possui pelo menos dois pontos.

    No existe uma reta contendo todos os pontos.

    Existem pelo menos trs pontos no plano.

    Definio 1.1. Duas retas intersectam-se quando elas possuemum ponto em comum. Se elas no possuem nenhum ponto emcomum, elas so ditas paralelas.

    Figura 1.6: r e s se intersectam no ponto P e m e n so paralelas.

    21

  • Geometria Euclidiana

    Proposio 1.1. Duas retas distintas ou no intersectam-se ouintersectam-se em um nico ponto.

    Demonstrao Sejam m e n duas retas distintas. Se m e n pos-suem pelo menos dois pontos distintos em comum ento, pelo Axi-oma de Incidncia 1, m e n coincidem, que uma contradio como fato que m e n so retas distintas.Logo, m e n ou possuem um ponto em comum ou nenhum.

    Portanto a Proposio 1.1 diz que se duas retas no so paralelas,ento elas tm um ponto em comum.

    Proposio 1.2. Para todo ponto P, existem pelo menos duasretas distintas passando por P.

    Demonstrao Pelo Axioma de Incidncia 3, existe um ponto Qdistinto de P. Pelo Axioma de Incidncia 1 existe uma nica reta lque passa por P e Q. Pelo Axioma de Incidncia 3 existe um pontoR que no pertence a l. Novamente pelo Axioma de Incidncia 1,existe uma reta r distinta de l que contm os pontos P e R.

    Proposio 1.3. Para todo ponto P existe pelo menos uma retal que no passa por P.

    Exerccio 1.1. Prove a Proposio 1.3.

    1.3.2 Modelos para a geometria de incidncia

    Um plano de incidncia um par (P,R) onde P um conjuntode pontos e R uma coleo de subconjuntos de P, chamados deretas, satisfazendo os trs axiomas de incidncia.

    Exemplo 1.1. Sejam P = {A,B,C} e R = {{A,B}, {A,C},{B,C}}. O par (P,R) plano de incidncia, j que satisfaz os trsaxiomas de incidncia (Verifique!). Observe que dois subconjuntosquaisquer de R tm interseo vazia. Portanto, no existem retasparalelas.

    22

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    1Exemplo 1.2. Sejam P = S2 := {(x, y, z) R3;x2 + y2 + z2 = 1}e R = conjunto de todos os grandes crculos em S2. No planode incidncia. J que a interseo de dois grandes crculos em S2

    so dois pontos. (ver figura 1.7.)

    Figura 1.7: Esfera unitria no espao euclidiano.

    Exemplo 1.3. Sejam P = {A,B,C,D,E} e R = {todos os sub-conjuntos de P com dois elementos}. plano de incidncia (Veri-fique!). Dada uma reta l e um ponto fora dela, existem pelo menosduas retas paralelas a l.

    Exemplo 1.4. Sejam P = {A,B,C,D} e R = {{A,B}, {A,C},{A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}}. plano de incidncia (Verifique!).Dada uma reta l e um ponto P fora dela, existe uma nica reta rparalela a l passando por P.

    Nos exemplos acima, as retas so subconjuntos de P e no umareta como ns a conhecemos.

    1.4 Axiomas de ordem

    Dissemos anteriormente que a noo de est entre uma nooprimitiva. Nesta seo iremos apresentar o segundo grupo de axi-omas que rege as leis para esta noo, os axiomas de ordem.

    23

  • Geometria Euclidiana

    Escreveremos A B C para dizer que o ponto B est entre ospontos A e C.

    Axioma de ordem 1: Se A B C, ento A,B e C so pontosdistintos de uma mesma reta e C B A.

    Axioma de ordem 2: Dados trs pontos distintos de uma reta,um e apenas um deles est entre os outros dois.

    Figura 1.8:

    Este axioma assegura que uma reta no um crculo, onde notemos a noo bem clara de um ponto est entre outros dois. (Verfigura 1.9.)

    Figura 1.9:

    Axioma de ordem 3: Dados dois pontos distintos B e D, existempontos A,C e E pertencentes reta contendo B e D, tais queA B D,B C D e B D E.Este axioma assegura que uma reta possui infinitos pontos.

    Definio 1.2. Sejam dois pontos distintos A e B, o segmentoAB o conjunto de todos os pontos entre A e B mais os pontos

    24

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    1Figura 1.10:

    extremos A e B.

    Definio 1.3. A semi-reta com origem em A e contendo B oconjunto dos pontos C tais que A B C mais o segmento AB,sendo representada por SAB.

    Figura 1.11: esquerda o segmento AB e direita a semi-reta

    SAB.

    Proposio 1.4. Para quaisquer dois pontos A e B tem-se:

    a) SAB SBA = reta determinada por A e B.

    b) SAB SBA = AB.Demonstrao

    a) Seja m a reta determinada por A e B. Da definio de semi-reta, segue imediatamente que SAB SBA m. Se C per-tence reta m, ento o Axioma de Ordem 2 implica somenteuma das trs alternativas:

    1) A C B2) C A B3) A B C

    No caso 1, C pertence ao segmento AB; no caso 2 C pertence semi-reta SBA e no caso 3, C pertence a SAB. Em qualquercaso, C pertence a SAB SBA. Da, m SAB SBA.

    25

  • Geometria Euclidiana

    b) Deixamos a prova deste tem como exerccio.

    Definio 1.4. Seja uma reta m. Dois pontos distintos fora dem, A e B, esto em um mesmo lado da reta m se o segmentoAB no a intersecta, caso contrrio dizemos que A e B esto emlados opostos de m. O conjunto dos pontos de m e dos pontos Ctais que A e C esto em um mesmo lado da reta m chamadode semi-plano determinado por m contendo A e ser representadopor Pm,A.

    Figura 1.12: A e B esto no mesmo lado de m. B e C esto em

    lado opostos de m.

    Axioma de ordem 4: Para toda reta l e para qualquer trs pontosA,B e C fora de l, tem-se:

    i) Se A e B esto no mesmo lado de l e B e C esto no mesmolado de l, ento A e C esto no mesmo lado de l.

    ii) Se A e B esto em lados opostos de l e B e C esto em ladosopostos de l, ento A e C esto no mesmo lado de l.

    Corolrio 1.1. Se A e B esto no mesmo lado de l e B e C estoem lados opostos de l, ento A e C esto em lados opostos de l.

    Ver figura 1.12.

    Exerccio 1.2. Prove o Corolrio 1.1.

    26

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    1

    Figura 1.13:

    Figura 1.14:

    Proposio 1.5. Toda reta m determina exatamente dois semi-planos distintos cuja interseo a reta m.

    Demonstrao

    Passo 1: Existe um ponto A fora de l (Proposio 1.3).

    Passo 2: Existe um ponto O pertencente a l (Axioma deincidncia 2).

    Passo 3: Existe um ponto B tal que B O A (Axioma deordem 3).

    Passo 4: Ento A e B esto em lados opostos de l, e l possuipelo menos dois lados.

    Passo 5: Seja C um ponto fora de l diferente de A e B. SeC e B no esto no mesmo lado de l, ento A e C esto no

    27

  • Geometria Euclidiana

    mesmo lado de l (Axioma de ordem 4). Logo, o conjunto dospontos fora de l a unio dos semi-planos SmA e SmB

    Passo 6: Se C SmASmB com C 6 m, ento A e B estodo mesmo lado (Axioma de ordem 4); contradio com opasso 4. Assim, se C SmA SmB, ento C m. Portanto,SmA SmB = m.

    Teorema 1.1 (Pasch). Se A,B,C s pontos distintos no colin-eares e m qualquer reta intersectando AB em um ponto entre Ae B, ento l tambm intersecta AC ou BC. Se C no est em mento m no intersecta ambos AC e BC.

    Figura 1.15: Teorema de Pasch

    Euclides utilizou este teorema sem prov-lo.

    Exerccio 1.3. Prove o Teorema de Pasch.

    28

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    1RESUMO

    Nesta aula voc conheceu os 5 postulados de Euclides. Voc viuque na prova da Proposio 1 dos Elementos de Euclides, ele fezuso de afirmaes que no estavam explcitas em seus 5 postulados.Voc viu tambm que o Postulado 5 dos Elementos nada mais doque a recproca da Proposio 28, o que gerou dvida entre muitosmatemticos da poca se o Postulado 5 era mesmo um postuladoou uma proposio que Euclides no sabia prov-la. Alm disso,voc viu os dois primeiros grupos de axiomas, de incidncia e or-dem, que permitir tapar os buracos deixados por Euclides nosElementos. Finalmente, voc tambm viu o Teorema de Pasch que uma consequncia dos axiomas de ordem.

    PRXIMA AULA

    Na prxima aula daremos continuidade a construo da geometriaplana axiomatizada. Introduziremos mais dois grupos de axiomas,os axiomas de medio de segmentos e de ngulos.

    ATIVIDADES

    1. Quais das afirmaes abaixo so verdadeiras?

    ( ) Por definio, uma reta m paralela"a uma reta l separa quaisquer dois pontos P e Q emm, a distncia per-pendicular de P a l a mesma distncia perpendicularde Q a l.

    ( ) Foi desnecessrio para Euclides assumir o postulado dasparalelas porque o Francs Legendre o provou.

    29

  • Geometria Euclidiana

    ( ) Axioma ou postulados so afirmaes que so as-sumidas, sem justificativas, enquanto que teoremas ouproposies so provadas usando os axiomas.

    ( ) A B C logicamente equivalente a C B A.( ) Se A, B e C so pontos colineares distintos, possvel

    que ambos A B C e A C B ocorram.

    2. Sejam dois pontos A e B e um terceiro ponto C entre eles. possvel provar que C pertecente a reta que passa por A eB utilizando somente os 5 postulados de Euclides?

    3. possvel provar a partir dos 5 postulados de Euclides quepara toda reta l existe um ponto pertencente a l e um pontoque no pertence a l?

    4. possvel provar a partir dos 5 postulados de Euclides quepontos e retas existem?

    5. Para cada par de axiomas de incidncia construa um mod-elo no qual estes dois axiomas so satisfeitos mas o terceiroaxioma no. (Isto mostra que os trs axiomas so indepen-dentes, no sentido qeu impossvel provar qualquer um delesdos outros dois.)

    6. Verifique se so planos de incidncia os pares (P,R) seguintes:

    (a) P = R2 e R = {(x, y) R2; ax+ by + c = 0, com ab 6=0}.

    (b) P = R2 e R = conjunto dos crculos em R2.(c) P = conjunto das retas em R3 e R = conjunto dos

    planos em R3.

    7. Construa exemplos distintos de plano de incidncia com omesmo nmero de pontos, ou seja, o conjunto P ser o mesmoporm R ser diferente.

    30

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    18. Mostre que no existe um exemplo de um plano de incidnciacom 6 pontos, em que todas as retas tenham exatamente 3pontos.

    9. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode terum conjunto de 3 retas no plano? E um conjunto de 4 retasdo plano? E um conjunto de n retas do plano?

    10. Dizemos quem trs ou mais pontos so colineares quando to-dos pertencem a uma mesma reta. Do contrrio, dizemos queeles so no colineares. Mostre que trs pontos no colinearesdeterminam trs retas. Quantas retas so determinadas porquatro pontos sendo que quaisquer trs deles so no colin-eares? E se forem 6 pontos? E se forem n pontos?

    11. Prove que a unio de todas as retas que passam por um pontoA o plano.

    12. Dados A B C e A C D, prove que A, B, C e D soquatro pontos colineares distintos.

    13. Dado A B C. Prove que SAB = SAC .

    LEITURA COMPLEMENTAR

    1. BARBOSA, J. L. M., Geometria Euclidiana Plana. SBM.

    2. EUCLIDES,Os Elementos. Unesp. Traduo: Irineu Bicudo.

    3. GREENBERG, M. J., Euclidean and Non-Euclidean Geome-tries: Development and History. Third Edition. W. H. Free-man.

    4. POGORELOV, A. V., Geometria Elemental. MIR.

    5. MOISE, E. E., Elementary Geometry from an Advanced Stand-point. Third edition. Addison-Wesley.

    31

  • AULA

    2Axiomas de MedioMETAIntroduzir os axiomas de medio de segmentos e ngulos.

    OBJETIVOSDeterminar o comprimento de um segmento e a distncia entredois pontos.Determinar a medida de um nguloDeterminar propriedades de pontos de uma reta utilizando as co-ordenadas do ponto.

    PR-REQUISITOSPara seguir adiante, necessrio que o aluno tenha compreendidoos axiomas de incidncia e de ordem apresentados na aula anterior.

  • Axiomas de Medio

    2.1 Introduo

    Ol, caro aluno. Espero que tenha gostado da nossa primeira aula.Nela apresentamos os cinco postulados de Euclides, bem como aprimeira proposio dos Elementos para ilustrar a necessidade demodificao de seus axiomas para obter uma geometria slida econsistente, com toda afirmao devidamente justificada. Vimostambm os axiomas de incidncia e ordem.Note que, com apenas o conjunto de axiomas apresentados naprimeira aula, ainda no temos a geometria euclidiana plana queconhecemos. O que estamos fazendo introduzindo as regras (axi-omas) a serem seguidas pelos objetos de estudo da geometria plana:plano, reta e ponto.O prximo passo aprender a medir o comprimento de um seg-mento. Para este fim emprega-se diversos instrumentos de medio,dos quais a rgua graduada um dos mais conhecidos. Aprendemoscom a experincia que para medir o comprimento de um segmentoAB com uma rgua graduada, basta colocar a rgua graduadasobre o segmento AB, verificar a quais nmeros correspondem oponto A e o ponto B e ento o mdulo da diferena ser o com-primento do segmento AB. Aprendemos tambm que se um pontoC est entre A e B, ento o comprimento de AB a soma doscomprimentos dos segmentos AC e CB.Veremos nesta aula como introduzir estas noes axiomaticamente.

    2.2 Axiomas de Medio de Segmentos

    A maneira como procedemos para medir segmentos regida pelosseguintes axiomas:

    Axioma de medio 1: A todo segmento corresponde um nmeromaior ou igual a zero. Este nmero zero se e somente se as ex-tremidades coincidem.

    34

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    2Est implcito no enunciado do axioma, a escolha de uma unidadede medida que ser fixada ao longo de nosso curso. O nmero aque se refere o axioma denominado de comprimento do segmentoou distncia entre os pontos que define o segmento.

    Axioma de medio 2: Os pontos de uma reta podem ser sem-pre colocados em correspondncia biunvoca com os nmeros reais,de modo que o mdulo da diferena entre estes nmeros mea adistncia entre os pontos correspondentes.

    Fixada uma correspondncia, o nmero que corresponde a umponto da reta denominado coordenada daquele ponto. Portanto,se a e b so as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente,ento o comprimento do segmento AB, denotado por AB, iguala AB = |a b|.

    Axioma de medio 3: Se A C B, ento

    AC + CB = AB.

    importante observar aqui que o axioma no diz que se AC +CB = AB ento A C B. O que voc acha? verdadeira essaafirmao?

    O Axioma de Medio 2 diz apenas que existe uma bijeo entre ospontos de uma reta e os nmeros reais, porm no fixa nenhumarestrio para a bijeo. O Axioma de Medio 3, garante quea bijeo no ser arbitrria, ela tem que satisfazer a uma certaordem. isto que diz a prxima proposio.

    Proposio 2.6. Se em uma semi-reta SAB considerarmos umsegmento AC com AC < AB, ento A C B.

    Demonstrao Sabemos que, pelo Axioma de Ordem 2, s podeocorrer uma das seguintes possibilidades: B A C, A B C ouA C B.

    35

  • Axiomas de Medio

    Vamos mostrar que no pode ocorrer a primeira nem a segundapossibilidade.Como A a origem da semi-reta SAB, ento no verdade queB A C, caso contrrio teramos C no pertenceria a esta semi-reta. Se A B C, ento, pelo Axioma de Medio 3 teramosAB+BC = AC, implicando que AB < AC, que uma contradiocom a hiptese AC < AB.Logo, s pode ocorrer A C B.

    Teorema 2.1. Sejam A,B e C pontos distintos de uma reta cujascoordenadas so, respectivamente, a, b e c. Ento A C B se esomente se o nmero c est entre a e b.

    Demonstrao Suponha A C B. Pelo Axioma de Medio 3e pela definio de comprimento, tem-se que

    AC + CB = AB,

    implicando que|c a|+ |b c| = |a b|.

    Sem perda de generalidade, podemos supor que a < b. Assim,obtemos que

    |c a| < b a e |b c| < b a.

    Isto implica que

    c a < b a e b c < b a.

    Logo, a < c < b.Suponha agora que a < c < b. Ento

    b a = b c+ c a,

    ou seja,|b a| = |b c|+ |c a|.

    Segue da que AC + CB = AB e ento AC < AB e CB < AB.Se A,B e C pertencem mesma semi-reta determinada por A,

    36

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    2segue da Proposio 2.6 que A C B. Caso B e C pertenam asemi-retas distintas, ento B A C. Neste caso,

    BA+AC = BC BA < AC,

    o que est em contradio com a igualdade obtida anteriormente.

    Definio 2.1. O ponto mdio C de um segmento AB um pontodeste segmento tal que AC = CB.

    Teorema 2.2. Um segmento tem exatamente um ponto mdio.

    Demonstrao Sejam a e b as coordenadas dos extremos de umsegmento AB. Pelo Axioma de Medio 2, existe um ponto C, nareta que contm A e B, com coordenada c = a+b2 .Afirmao 1: O ponto C o ponto mdio de AB.De fato, verifica-se que

    AC = |a c| = a2 b2 CB = |c b| = a2 b2 ,

    e como c est entre a e b, usando o Teorema 2.1, obtemos que C o ponto mdio de AB.Afirmao 2: O ponto C o nico ponto mdio de AB.Se D ponto mdio de AB, ento AD = DB. Se a, b e d socoordenadas dos pontos A,B e D, respectivamente, ento

    |a d| = |d b|.

    Da, obtemos d = a+b2 . (Por qu?) Assim, c = d e pelo Axioma deMedio 2, segue que D = C.

    Definio 2.2. Seja A um ponto e r um nmero real positivo. Ocrculo de centro A e raio r o conjunto constitudo por todos ospontos B do plano tais que AB = r.

    Segue do Axioma de Medio 2 o Terceiro Postulado de Euclides:Pode-se traar um crculo com qualquer centro e com qualquer raio.

    37

  • Axiomas de Medio

    O conjunto dos pontos C que satisfazem a desigualdade AC < r chamada de disco de raio r e centro A. Um ponto C est fora docirculo se AC > r e dentro se AC < r.

    Figura 2.1: Crculo de centro A e raio AB = r. C est dentro do

    disco e D est fora do disco.

    2.3 Axiomas de Medio de ngulos

    Definio 2.3. Um ngulo com vrtice A um ponto A com duassemi-retas SAB e SAC , chamadas os lados do ngulo.

    Figura 2.2: ngulo com vrtice A.

    Notao: A, BAC ou CAB.

    38

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    2Usaremos a notao A quando no houver dvida a que nguloestaremos nos referindo.

    Se dois ngulos BAD e CAD possuem um lado SAD em comume os outros dois lados SAB e SAC so semi-retas distintas de umamesma reta, os ngulos so ditos suplementares.

    Figura 2.3: Os ngulos BAC e CAD so suplementares.

    Um ngulo dito raso se os lados so semi-retas distintas de umamesma reta. Dois ngulos sumplementares formam um nguloraso.

    Figura 2.4: O ngulos BAC raso.

    Introduzimos o conceito de ngulo sem a necessidade de falar emmedida de ngulo, graus, por exemplo. A maneira de introduzirmedidas aos ngulos atravs dos prximos axiomas.

    Axioma de Medio 4: A todo ngulo corresponde um niconmero real maior ou igual a zero. Este nmero zero se e so-mente se os lados do ngulo coincidem.

    Uma semi-reta divide um semi-plano se ela pertence ao semi-plano

    39

  • Axiomas de Medio

    e sua origem pertence reta que o determina.

    Axioma de Medio 5: Existe uma bijeo entre as semi-retasde mesma origem que dividem um dado semi-plano e os nmerosentre zero e 180, de modo que a diferena entre os nmeros amedida do ngulo formado pelas semi-retas correspondentes.

    Figura 2.5:

    A medida de um ngulo AOB ser denotada pelo prprio ngulo.Assim, AOB poder indicar o ngulo ou a medida deste ngulo,mas sempre estar claro no contexto se estaremos nos referindo aongulo ou a sua medida.Observe que o ngulo raso mede 180 graus.

    Definio 2.4. Uma semi-reta SOC divide o ngulo AOB se osegmento AB intercecta SOC . Se uma semi-reta SOC divide o n-gulo AOB de tal modo que AOC = COB, dizemos que SOC abissetriz do ngulo AOB.

    Axioma de Medio 6: Se uma semi-reta SOC divide um nguloAOB, ento

    AOB = AOC + COB.

    Definio 2.5. Dois ngulos AOB e COD so ditos opostos pelovrtice se os pares de lados (SOA, SOD) e (SOB, SOC) so semi-retas distintas de uma mesma reta. Note que ngulos opostos pelo

    40

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    2

    Figura 2.6: SOC divide o ngulo AOB.

    vrtice tm o mesmo suplemento. Portanto, ngulos opostos pelovrtice tm a mesma medida.

    Figura 2.7: COD e AOB so opostos pelo vrtice.

    Definio 2.6. Um ngulo cuja medida 90 chamado nguloreto. Se duas retas se intersectam formando um ngulo reto, dize-mos que as retas so perpendiculares. Se a soma das medidas dedois ngulos 90, dizemos que os ngulos so complementares.

    Teorema 2.3. Por qualquer ponto de uma reta passa uma nicaperpendicular a esta reta.

    Demonstrao A existncia garantida pelo Axioma de Medio5. (Por qu?)Suponha ento que existam duas perpendiculares r e r a uma retam passando pelo ponto A. Assim, r e r formam um ngulo em

    41

  • Axiomas de Medio

    um dos semi-planos determinados por m. Mas como r e r formamngulos retos com m, segue que = 0. (ver figura) Logo, r e r

    coincidem.

    Figura 2.8:

    Definio 2.7. Um ngulo agudo se mede menos de 90 e obtuso se mede mais de 90.A medida de ngulos que usaremos neste curso ser o grau, umainveno dos babilnios que data da poca antes de Cristo e queentraram para a histria da cincia matemtica como uma con-tribuio importante que utilizamos at hoje.

    42

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    2RESUMO

    Nesta aula aprendemos a medir segmentos e ngulos. Alm disso,vimos a utilidade do uso de coordenadas dos pontos de uma retapara resolver problemas. Vimos tambm que os axiomas de medionos permite ordenar os pontos de uma reta de acordo com a or-denao dos nmeros reais, bastando para isso colocar os pontosda reta em correspondncia biunvoca com os nmeros reais deforma que esta correspondncia obedea aos axiomas de medio.Mostramos tambm que todo segmento de reta possui um nicoponto mdio. Introduzimos para cada ngulo uma medida entrezero e 180.

    PRXIMA AULA

    Na prxima aula iremos comear nosso estudo de congruncia detringulos. Definiremos congruncia de segmentos e de tringulos.Em seguida, daremos as condies para que dois tringulos sejamcongruentes.

    ATIVIDADES

    1. So dados trs pontos A, B e C com B entre A e C. SejamMe N os pontos mdios de AB e BC respectivamente. Mostreque MN = (AB +BC)/2.

    2. So dados trs pontos A, B e C com C entre A e B. SejamMe N os pontos mdios de AB e BC respectivamente. Mostreque MN = (AB BC)/2.

    3. So dados pontos A, B, C e D colineares com coordenadasx, y, z e w tais que x < y < z < w. Prove que AC = BD see s se AB = CD.

    43

  • Axiomas de Medio

    4. Existem pontos A, B e C tais que AB = 5, BC = 3 eAC = 1?

    5. SejamM , A e B pontos distintos situados sobre uma mesmareta. Se a = MA/MB diz-se que M divide AB na razo a.

    (a) Dado qualquer nmero real positivo a mostre que existeum nico pontoM AB tal queM divide AB na razoa.

    (b) Dado qualquer nmero real positivo a 6= 1, mostre queexiste um nico ponto M na reta determinada por A eB, que no pertence a AB e que divide AB na razo a.Porque o caso a = 1 teve que ser excludo?

    6. Sejam M , N , A e B pontos distintos sobre uma mesma reta,sendo que M AB e que N 6 AB. Suponha que

    MA

    MB=NA

    NB= a.

    Neste caso, dizemos que M e N dividem harmonicamente oseguimento AB.

    (a) Quando a > 1, determine as posies relativas dos qua-tro pontos.

    (b) Faa o mesmo para o caso em que 0 < a < 1.

    (c) Mostre que2

    AB=

    1

    AM 1AN

    .

    (d) Se O o ponto mdio de AB. Mostre que

    OA2

    = OM ON.

    7. Qual a medida da diferena entre o suplemento de um nguloe seu complemento.

    8. (a) Qual o ngulo formado entre o ponteiro dos minutos edas horas quando so 12 horas e 30 minutos?

    44

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    2(b) Exatamente s 12 horas um ponteiro estar sobre ooutro. A que horas voltar a ocorrer que os dois pon-teiros formem um ngulo de 0o.

    9. Um polgono uma figura formada por uma sequncia depontos A1, A2, . . . , An e pelos segmentos A1A2, A2A3, . . . ,An1An e satisfazendo as condies

    (a) An = A1;

    (b) os lados da poligonal se intercectam somente em suasextremidades;

    (c) cada vrtice extremidade de dois lados;

    (d) dois lados com mesma extremidade no pertecem a umamesma reta.

    O segmento ligando vrtices no consecutivos de um polgono chamado uma diagonal do polgono. Faa o desenho de umpolgono de seis lados. Em seguida desenhe todas as suasdiagonais. Quantas diagonais ter um polgono de 20 lados?E de n lados?

    10. So dados quatro pontos A, B, C e D. tambm sabidoque AB + BC + CD + DA e 2AC so iguais. O que vocpode afirmar sobre a posio relativa dos quatro pontos?

    11. Mostre que as bissetrizes de um ngulo e do seu suplementoso perpendiculares.

    12. Sejam m e n duas retas. Mostre que se m est contida emum dos semi-planos determinados por n ento ou m = n oum e n no se intersectam.

    13. Ao longo de meia hora o ponteiro dos minutos de um relgiodescreve um ngulo raso (ou seja, o ngulo entre sua posioinicial e sua posio final um ngulo raso). Quanto tempoele leva para descrever um ngulo de 60 graus?

    45

  • Axiomas de Medio

    14. De quantos graus move-se o ponteiro dos minutos enquantoo ponteiro das horas percorre um ngulo raso?

    LEITURA COMPLEMENTAR

    1. BARBOSA, J. L. M., Geometria Euclidiana Plana. SBM.

    2. EUCLIDES,Os Elementos. Unesp. Traduo: Irineu Bicudo.

    3. GREENBERG, M. J., Euclidean and Non-Euclidean Geome-tries: Development and History. Third Edition. W. H. Free-man.

    4. POGORELOV, A. V., Geometria Elemental. MIR.

    5. MOISE, E. E., Elementary Geometry from an Advanced Stand-point. Third edition. Addison-Wesley.

    46

  • AULA

    3CongrunciaMETAIntroduzir e explorar o conceito de congruncia de segmentos e detringulos.

    OBJETIVOSIdentificar segmentos e ngulos congruentes.Identificar os casos de congruncia de tringulos.Usar os casos de congruncia de tringulos para resolver problemas.

    PR-REQUISITOSO aluno deve ter compreendido os axiomas de medio de segmen-tos e de ngulo.

  • Congruncia

    3.1 Introduo

    A idia intuitiva de congruncia que duas figuras so congruentesse elas podem ser movidas sem alterar o tamanho e a forma, detal maneira que coincidam. Assim, dois tringulos equilteros demesmo tamanho so congruentes, dois crculos de mesmo raio tam-bm so congruentes, e assim por diante. Da mesma forma, doissegmentos de mesmo comprimento so congruentes.

    Nesta aula daremos a definio formal de congruncia, comeandocom segmentos e depois tringulos.

    3.2 Congruncia de Segmentos

    Definio 3.1. Sejam AB e CD segmentos. Se AB = CD, entoos segmentos so chamados congruentes, e escrevemos AB = CD.

    Uma relao , definida em um conjunto A, chamada uma re-lao de equivalncia se as seguintes condies so satisfeitas:

    1. a a,a A (reflexiva).

    2. a b b a (simetria).

    3. a b e b c a c (trasitiva).

    Teorema 3.1. So vlidas as seguintes propriedades:

    a) AB = AB (reflexiva).

    b) AB = CD CD = AB (simtrica).

    c) AB = CD e CD = EF ento AB = EF (transitiva).

    Devido a este teorema, a relao de congruncia uma relao deequivalncia.

    48

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    33.3 Congruncia de TringulosExatamente como definimos congruncia para segmentos em ter-mos de comprimento, definimos congruncia entre ngulos em ter-mos de medida. Isto , se dois ngulos ABC e DEF possuem amesma medida, ento diremos que os ngulos so congruentes, eindicaremos por

    ABC = DEF.

    Da mesma forma que a relao de congruncia para segmentos uma relao de equivalncia, a relao de congruncia para ngulostambm uma relao de equivalncia.

    Note que se dois ngulos suplementares so congruentes, entocada um deles um ngulo reto. Alm disso, temos tambm quedois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes, j que possuemo mesmo suplemento.

    Definio 3.2. Dois tringulos ABC e DEF so congruentes seexistir uma correspondncia biunvoca entre seus vrtices tal queos lados e ngulos correspondentes sejam congruentes.

    Indicaremos por ABC = DEF para dizer que os dois tringulosso congruentes e a correspondncia dada por

    A D,B E,C F.

    Neste caso, teremos seis congruncias induzidas sobre os lados e osngulos.

    AB = DE,

    BC = EF,

    CA = FD,

    49

  • Congruncia

    e

    A = D,

    B = E,

    C = F .

    De fato, para que dois tringulos sejam congruentes necessrioque as seis congruncias acima sejam satisfeitas. Porm, se que-remos verificar se dois tringulos so congruentes ser necessrioverificar somente algumas delas.Isto o que diz o prximo axioma, conhecido tambm como oprimeiro caso de congruncia de tringulos.

    Axioma de Congruncia 1 Sejam ABC e DEF dois tringulos.Se AB = DE,AC = DF e A = D, ento ABC = DEF.

    Figura 3.1:

    Este axioma tambm conhecido como o caso LAL (lado, ngulo,lado) de congruncia de tringulos.

    Definio 3.3. Um tringulo dito issceles se possui dois ladosconguentes. Estes lados so chamados de laterais e o terceiro debase. Os ngulos opostos as laterais so chamados de ngulos dabase.

    Proposio 3.7. Os ngulos da base de um tringulo issceles socongruentes.

    50

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    3

    Figura 3.2: ABC um tringulo issceles com base AB = AC.

    Demonstrao Considere a correspondncia entre os vrtices deum tringulo issceles ABC :

    A AB CD B

    Por hiptese, segue que AB = AC, AC = AB e A = A. PeloAxioma de Congruncia 1, segue que ABC = ACB. Isto implicaque B = C.

    Observe que a prova anterior mostra que o tringulo ABC con-gruente ao tringulo ACB. Caso voc tenha dificuldades em acom-panhar a prova, voc pode desenhar duas cpias do tringulo erepetir a prova para estes dois tringulos. A prova de Euclidespara este resultado aparece no incio dos Elementos e longa. Aprova acima devida, essencialmente, ao grande gemetra gregoPappus de Alexandria (350 d.C.), embora ele no tenha usado aformulao do Axioma de Congruncia 1 que utilizamos aqui.

    Corolrio 3.1. Todo tringulo equiltero possui os trs nguloscongruentes.

    Exerccio 3.1. Prove o Corolrio 3.1.

    51

  • Congruncia

    Teorema 3.2 (Caso ALA). Dados dois tringulos ABC e DEFcom AB = DE, A = D e B = E, ento ABC = DEF.

    Figura 3.3: ABC um tringulo issceles com base AB = AC.

    Demonstrao Sabemos que existe um ponto G na semi-retaSAC tal que AG = DF . (ver figura 3.3) Por construo, temos queos tringulos ABG e DEF satisfazem AG = DF,AB = DE e A =D. Pelo Axioma de Congruncia 1, obtemos que ABG = DEF.Pela definio de congruncia de tringulos, segue que ABG =E = ABC. Logo, as semi-retas SBG e SBC coincidem. Isto implicaque G coincide com o ponto C. Ento ABC = ABG = DEF.

    Observe que o ponto G na figura acima poderia ser tal que ACGe mesmo assim obteramos o mesmo resultado.Este teorema tambm conhecido como o 2 Caso de Congrunciade Tringulos ou o caso ALA (ngulo, lado, ngulo) de congrunciade tringulos.

    Corolrio 3.2. Se dois ngulos de um tringulo so congruentes,ento o tringulo issceles.

    Este corolrio a recproca da Proposio 3.7. Tente demonstr-lo de forma anloga, porm ser necessrio usar o caso ALA decongruncia de tringulos. De fato, os lados congruentes seroopostos aos ngulos congruentes.

    Corolrio 3.3. Todo tringulo que possui todos os ngulos con-gruentes equiltero.

    52

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    3Definio 3.4. Seja ABC um tringulo e D um ponto da retaque contm B e C.

    i) O segmento AD a mediana do tringulo ABC relativa-mente ao lado BC, se D for o ponto mdio de BC.

    Figura 3.4: Mediana

    ii) O segmento AD a bissetriz do ngulo A se a semi-reta SADdivide o ngulo CAB em dois ngulos congruentes.

    Figura 3.5: Bissetriz

    iii) O segmento AD a altura do tringulo ABC relativamenteao lado BC, se AD perpendicular reta que contm B eC.

    Proposio 3.8. Em um tringulo issceles a mediana relativa-mente base tambm a bissetriz e altura.

    53

  • Congruncia

    Figura 3.6: Altura

    Demonstrao Seja ABC um tringulo com AB = AC. SejaAD a mediana relativamente base BC. Considere os tringulosABD e ACD. Como D o ponto mdio de BC, ento BD = CD.Alm disso, ABC um tringulo issceles, o que implica queAB = AC e B = C. Logo, os tringulos ABD e ACD so taisque AB = AC,BD = CD e ABD = ACD. Pelo caso LAL decongruncia de tringulos, segue que ABD = ACD. Em particu-lar, BAD = CAD, o que implica que AD a bissetriz do nguloBAC. Alm disso, temos ADB = ADC, e como estes ngulos sosuplementares, segue que ADB = ADC = 90.

    Figura 3.7:

    Teorema 3.3 (Caso LLL). Se dois tringulos tm trs lados cor-

    54

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    3respondentes congruentes ento os tringulos so congruentes.

    Figura 3.8: Altura

    Demonstrao Sejam ABC e DEF tringulos tais que AB =DE,BC = EF e AC = DF. A idia da prova construir umtringulo AGC, com o ponto G no lado oposto da reta que contmDB, tal que AGC = DEF. Ento mostraremos que ABC = AGC.

    Passo 1: Pelo Axioma de Medio de ngulo 2, existe umasemi-reta SAQ no semi-plano oposto ao que contm C, talque BAQ = D.

    Passo 2: Na semi-reta SAQ tome um ponto G tal que AG =DF.

    Passo 3: Pelo 1 caso de congruncia de tringulos, segueque AGB = DEF.

    Passo 4: O segmento CG intercepta AB no ponto H, poisesto em lados opostos.

    Passo 5: Note que AG = DF = AC. Assim, o tringuloACG issceles e ento AGC = ACG.

    55

  • Congruncia

    Passo 6: Da mesma forma, conclumos que o tringulo BCG issceles com BCG = BGC.

    Passo 7: Porm,

    AGB = AGC + CGB

    = ACG+GCB

    = ACB.

    Portanto, podemos aplicar o Axioma de Congruncia 1 para con-cluir que ACB = AGB. Mas como AGB = DFE, segue queABC = DEF.

    Este teorema conhecido como o 3 Caso de Congruncia de Trin-gulo, ou caso LLL (lado, lado, lado) de congruncia de tringulos.

    56

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    3RESUMO

    Caro aluno, definimos congruncia de segmentos, de ngulos e detringulos. Introduzimos o Axioma de Congruncia, conhecidotambm como o 1 caso de congruncia de tringulo, que nos per-mitiu obter todos os outros casos de congruncia de tringulos.

    PRXIMA AULA

    Na prxma aula continuaremos nosso estudo axiomtico da geome-tria, com o estudo de propriedades geomtricas de retas e tringu-los sem o postulado das paralelas.

    ATIVIDADES

    1. Em um tringulo ABC a altura do vrtice A perpendicu-lar ao lado BC e o divide em dois segmentos congruentes.Mostre que AB = AC.

    2. Mostre que os pontos mdios de um tringulo issceles for-mam um tringulo tambm issceles.

    3. Sejam dois tringulos ABC e ABD tais que AC = AD. SeAB a bissetriz do ngulo CAD, ento AB perpendiculara CD.

    4. Considere um crculo de raio R centrado em um ponto O.Sejam A e B pontos do crculo. Mostre que o raio que passapelo ponto mdio do segmento AB perpendicular a este seg-mento. Inversamente, mostre que, se o raio perpendicularao segmento ento o cortaria no seu ponto mdio.

    5. Dois crculos de centro A e B e mesmo raio se interceptamem dois pontos C e D. Se M ponto de interseco de ABe CD, mostre que M ponto mdio de AB e CD.

    57

  • Congruncia

    6. Considere um ngulo AOB onde AO = BO. Trace dois cr-culos de mesmo raio centrados em A e em B. Suponha queseus raios sejam grande suficientes para que eles se inter-ceptem em dois pontos. Mostre que a reta ligando estes doispontos passa pelo vrtice do ngulo e sua bissetriz.

    7. Seja ABCD um quadriltero e E um ponto entre A e B.Suponha que AD = DE, A = DEC e ADE = BDC.Mostre que os tringulos ADB e EDC so congruentes.

    8. Determine o conjunto de pontos que satisfazem a propriedadede serem equidistante dos extremos de um segmento.

    LEITURA COMPLEMENTAR

    1. BARBOSA, J. L. M., Geometria Euclidiana Plana. SBM.

    2. EUCLIDES,Os Elementos. Unesp. Traduo: Irineu Bicudo.

    3. GREENBERG, M. J., Euclidean and Non-Euclidean Geome-tries: Development and History. Third Edition. W. H. Free-man.

    4. POGORELOV, A. V., Geometria Elemental. MIR.

    5. MOISE, E. E., Elementary Geometry from an Advanced Stand-point. Third edition. Addison-Wesley.

    58

  • AULA

    4Geometria sem o Postulado das ParalelasMETA:Introduzir o Teorema do ngulo Externo e suas consequncias.

    OBJETIVOS:Ao final da aula o aluno dever compreender como

    1. aplicar o Teorema do ngulo Externo;

    2. identificar tringulos retngulos congruentes.

    3. aplicar o Teorema do ngulo Externo e a Desigualdade Tri-angular para a demonstrao do Teorema de Saccheri-Legendre.

    PR-REQUISITOSPara um bom acompanhamento desta aula o aluno dever ter com-preendido todos os casos de congruncia de tringulos da aula an-terior.

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    4.1 Introduo

    Observe, caro aluno, que j estamos na Aula 4 e at agora aindano introduzimos o postulado das paralelas, alm daquela formaintroduzida na primeira aula. At agora todos os nossos resulta-dos demonstrados at aqui no foi necessrio usar o postulado dasparalelas. Portanto, qualquer modelo de geometria que seja vlidoos nossos axiomas, incidncia, ordem, medio e de congruncia,os resultados provados at esta aula tambm ser vlido nesta ge-ometria.

    O que faremos nesta aula demonstrar mais alguns resultados, al-guns bem conhecidos de vocs e outros nem tanto. O que estamosinteressados mostrar que certas questes que podem ser respon-didas na Geometria Euclidiana Plana no podem ser respondidasem uma geometria em que no seja vlido o postulado das para-lelas, simplesmente porque seus axiomas no nos d informaessuficientes.

    Veremos nesta aula alguns resultados que sero muito teis nasaulas seguintes, sendo o seu entendimento crucial para o bom en-caminhamento do curso. Por exemplo, o Teorema do ngulo Inte-rior alternado, que nos d condies suficientes para que duas retassejam paralelas, e o Teorema do ngulo Exterior que relaciona osngulo internos de um tringulo com seus ngulos exteriores.

    Todos os estudantes que algum dia estudou geometria plana na es-cola, sabem que a soma dos ngulos internos de qualquer tringulo sempre igual a 180. Nesta aula, veremos que at aqui s temoscondies de mostrar que a soma destes ngulos no mximo 180,sendo igualdade provada somente com o postulado das paralelas.

    4.2 Teorema do ngulo Interior Alternado

    O prximo teorema requer uma definio.

    Definio 4.1. Seja t uma reta transversal a duas retas m e n,

    60

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4com t interceptando m em E e n em B. Escolha pontos D e F emm tais que D E F, e pontos A e C em n tais que A e D estejamno mesmo lado de t e A B C. Os ngulos DEB,FEB,ABEe CBE so chamados ngulos interiores. Os pares de ngulos(ABE,F EB) e (DEB,CBE) so chamados de pares de ngulosinteriores alternados.

    Figura 4.1: e so ngulo internos alternados.

    Definio 4.2. Duas retas so ditas paralelas se elas no se inter-sectam.

    Teorema 4.1. (Teorema do ngulo interior alternado): Se duasretas m e n so cortadas por uma reta transversal t formando umpar de ngulos interiores alternados congruentes, ento as duasretas so paralelas.

    Demonstrao: Suponha que m n = {G} e DEB = CBE.Podemos supor queG est no mesmo lado de F e C (ver figura 4.2).Existe um ponto H na semi-reta SED, tal que HE = BG. Con-sidere os tringulos HEB e GBE. Como HE = BG,EB = BE eHEB = GBE, segue do 1 Caso de Congruncia de Tringulos que

    61

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    Figura 4.2:

    HEB = GBE. Em particular, GEB = HBE. Mas como GEB o suplementar de HEB, segue que os ngulos HBE e GBE so su-plementares. Isto implica que SBH e SBG so semi-retas opostas.Como SBA oposta a SBG, segue que SBA = SBH . Portanto Hpertence a m n. Contradizendo a Proposio 1.1.Logo, m e n so paralelas.

    Este teorema tem duas importantes consequncias.

    Corolrio 4.1. Duas perpendiculares a uma mesma reta so pa-ralelas.

    Demonstrao Se m e n so retas distintas perpendiculares auma reta t, ento os ngulo interiores alternados so retos, por-tanto congruentes.

    Logo, o Teorema do ngulo Interior Alternado implica o resultado.

    Corolrio 4.2. Dada uma reta m e um ponto P fora dela, existeuma nica reta l perpendicular a m passando por P.

    Demonstrao (Existncia) Tome dois pontos distintos dem, B eC . Se PB perpendicular, terminou a construo. Caso contrrio,no semi-plano oposto ao que contm P, trace uma semi-reta com

    62

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4origem em B formando com SBC um ngulo congruente com PBC.Nesta semi-reta, tome um ponto P tal que P B = PB. Considereos tringulos ABP e ABP , onde A o ponto de interseo dePP comm. Pelo 1 Caso de Congruncia de Tringulos, segue queABP = ABP (Por qu ?) Como PAB e P AB so congruentese suplementares, segue que PP perpendicular a m.

    Figura 4.3:

    (Unicidade) Suponha que existam duas retas perpendiculares a mpassando por P. Pelo Teorema do ngulo interno alternado, asretas coincidem, j que todos os ngulos internos so retos.

    O ponto A da demonstrao anterior chamado de p da perpen-dicular baixada de P a m.

    Corolrio 4.3. Dada uma reta l e P um ponto fora dela, existepelo menos uma paralela a l que passa por m.

    Demonstrao Pelo Corolrio 4.2 existe uma nica perpendi-cular r a l passando por P . Da mesma forma, pelo Teorema 2.1existe uma nica perpendicular s a r, passando por P . Portanto,pelo Teorema do ngulo Interior Alternado, segue que s umareta paralela a l passando por P .

    63

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    Ns estamos acostumados Geometria Euclidiana onde de fatoexiste uma nica reta paralela a uma reta dada passando por umponto fora dela. Neste ponto de nosso curso, ainda no possvelprovar este resultado. Tambm estamos acostumados recprocado Teorema do ngulos Internos Alternados: se duas retas soparalelas, ento os pares de ngulos interiores alternados formadospor uma transversal so congruentes. Para obtermos estes resul-tados s ser possvel com o axioma das paralelas, que veremos naprxima aula.

    4.3 Teorema do ngulo Exterior

    Considere a definio seguinte antes do prximo teorema.

    Definio 4.3. Os ngulos internos de um tringulo so os ngu-los formados pelos lados do tringulo. Um ngulo suplementar aum ngulo interno do tringulo denominado ngulo exterior dotringulo.

    Todo tringulo possui exatamente seis ngulos externos. Esses seisngulos formam trs pares de ngulos congruentes.

    Figura 4.4: ABC, BAC e ACB so ngulo internos. , e so

    ngulos externos.

    64

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4Teorema 4.2. (Teorema do ngulo Exterior): Um ngulo externode um tringulo maior que qualquer ngulo interno no adjacentea ele.

    Figura 4.5:

    Demonstrao Sejam ABC um tringulo e ACD um nguloexterno. (ver figura) Vamos mostrar que ACD > BAC.

    SeACD = BAC, ento as retas contendoA eB e contendo CD soparalelas, contradizendo a hiptese que B oponto de interseodestas retas.

    Suponha que BAC > ACD. Ento existe uma semi-reta SAE quedivide BAC e ACD = CAE. Seja F o ponto de interseo de BCcom SAE . Pelo Teorema do ngulo alternado, as retas contendoAF e CD so paralelas, contradizendo o fato que elas intersectam-se no ponto F. Portanto, ACD > BAC.

    Para mostrar que ACD > CBA, o raciocnio anlogo, utilizando-se o ngulo oposto pelo vrtice a ACD.

    O Teorema do ngulo Externo aparece na 16a Proposio dos Ele-mentos de Euclides. Sua prova continha um buraco, que com osnossos axiomas possvel corrigi-lo. Euclides foi levado pela figura.Ele considerou o ponto mdio M de AC e um ponto N na semi-reta SBM tal que BM = MN. Da ele assumui erroneamente, combase no diagrama, que N est no interior do ngulo ACD. ComoAMB = CMN (caso LAL de congruncia de tringulos), Euclides

    65

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    concluiu corretamente que ACD > BAC.Voc consegue corrigir o argumento de Euclides ?Como consequncia do Teorema do ngulo Exterior, podemosprovar o 4 caso de congruncia de tringulos.

    Proposio 4.9 (4 Caso de Congruncia de Tringulos). SejamABC e DEF tringulos satisfazendo AC = DF, A = D e B = E.Ento ABC = DEF.

    Figura 4.6:

    Demonstrao Seja G um ponto da semi-reta SDE , tal queDG = AB. Pelo caso LAL temos ABC = DGF. Isto implicaque DGF = B = DEF. Como G pertence a SDE temos trs casos:D GE,D E G ou E = G. Se D GE, ento DGF um n-gulo externo do tringulo FGE. Do Teorema do ngulo Externo,segue que DGF > DEF, o que falso. Se D E G ento DEF um ngulo externo do tringulo FGE. Novamente, do Teoremado ngulo Externo, segue que DEF > EGF, o que falso. Logo,G = F e ABC = DEF.

    Definio 4.4. Um tringulo dito retngulo se um dos ngulosinternos reto. O lado oposto ao ngulo reto denominado dehipotenusa e os outros dois de catetos.

    Pelo Teorema do ngulo Interior Alternado, segue que um trin-gulo tem no mximo um ngulo reto. Mais ainda, pelo Teoremado ngulo Externo um tringulo retngulo possui dois ngulosagudos.

    66

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    44.4 Congruncia de Tringulos RetngulosComo um tringulo possui no mximo um ngulo reto, segue que sedois tringulos retngulos so congruentes, ento os ngulos retosdevem estar em correspondncia. Devido a isto, existe mais umcaso de congruncia especfico para tringulos retngulos.

    Teorema 4.3. Sejam ABC e DEF dois tringulos retngulos cu-jos ngulos retos so C e F . Se AB = DE e BC = EF, entoABC = DEF.

    Figura 4.7:

    Demonstrao Seja G um ponto tal que D F G e FG = AC.Segue que o tringulo EGF retngulo cujo ngulo reto F . Pelocaso LAL de congruncia de tringulos, segue que ABC = GEF e,em particular, que EG = AB. EntoDEG um tringulo isscelescom base DG. Logo, EDG = EGD. Pelo caso LAA, segue queDEF = GEF. Portanto, ABC = DEF.

    4.5 Desigualdades no tringulo

    J vimos um teorema que nos d uma desigualdade importante notringulo, O Teorema do ngulo Externo que tem consequncias

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  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    importantes.Nesta seo estudaremos mais algumas desigualdades que so con-sequncias daquele teorema.

    Proposio 4.10. Se dois lados de um tringulo no so congru-entes ento seus ngulos opostos no so congruentes e o maiorngulo oposto ao maior lado.

    Figura 4.8:

    Demonstrao Seja ABC um tringulo com AB > AC. Se B =C ento ABC seria um tringulo issceles com AB = AC, o que falso. Vamos mostrar que C > B. Seja D um ponto da semi-reta SAC tal que A C D e AD = AB. D existe por causa dahiptese AB > AC. Assim, ABD um tringulo issceles combase BD. Isto implica que ABD = ADB. Como o ngulo ACB externo ao tringulo BCD, segue do teorema do ngulo externoque ACB > ADB = ABD. Como a semi-reta SBC divide o nguloABD, j que AD intercepta SBC em C, segue que ABD > ABC.Logo ACB > ABC.

    Proposio 4.11. Se dois ngulos de um tringulo no so con-gruentes ento os lados que se opem a estes ngulos tm medidasdistintas e o maior lado ope-se ao maior ngulo.

    Demonstrao Seja ABC um tringulo com B < C. Se AB =AC, ento ABC um tringulo issceles e B = C, o que falso.

    68

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4Vamos mostrar que AC < AB. Mas se este no fosse o caso,teramos AC > AB, que pela proposio anterior implicaria B >C, o que falso.

    Logo, s resta AC < AB.

    Pelas proposies anteriores segue que a hipotenusa de um trin-gulo retngulo maior que os outros dois catetos. Disto podemosprovar a seguinte proposio

    Proposio 4.12. O menor segmento unindo uma reta a umponto fora dela o segmento perpendicular.

    Figura 4.9:

    Demonstrao Seja P um ponto fora de uma reta r. Considereo ponto Q interseo da reta que passa por P e perpendicular ar, denominado p da perpendicular baixada do ponto A retar. Seja R qualquer ponto de r distinto de Q. Vamos mostrar quePQ < PR. Seja S um ponto de r tal que S Q R. Como PQ perpepndicular a r, segue que PQS = 90. Pelo Teorema dongulo Externo, temos PQS > PRQ, o que implica que PR >PQ.

    De fato o que a proposio mostra que a hipotenusa de um trin-gulo retngulo maior do que os catetos. O nmero PQ da de-monstrao anterior denominado de distncia do ponto P reta

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  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    m. O segmento QR chamado de projeo do segmento PR sobrea reta r.

    Teorema 4.4. (Desigualdade Triangular): Dados trs pontos dis-tintos A,B e C, tm-se que AC AB + BC. A igualdade ocorrese e somente se B pertence ao segmento AC.

    Figura 4.10:

    Demonstrao Suponha que A,B e C no so colineares. EntoABC um tringulo. Seja D um ponto da semi-reta SAB tal queA B D e BD = BC. Assim, o tringulo BCD issceles combase CD. Isto implica que BCD = BDC. Note que SCB divide ongulo ACD, j que AD intercepta SCB. Assim,

    ACD = ACB +BCD > BCD = BDC.

    Pela Proposio 4.11 temos que AD > AC. Como A B D entoAD = AB +BD = AB +BC.

    Logo, AB +BC > AC.Suponha agora que A,B e C so pontos colineares.Se B pertence ao segmento AC, a igualdade AC = AB + BC trivial. Se vale a igualdade, vamos mostrar que B pertence aosegmento AC. Considere a, b e c as coordenadas dos pontos A,Be C, com c < a, por exemplo. Neste caso,

    |a c| = |a b|+ |b c| |a c| > |a b||a c| > |b c|

    70

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4o que implica quea c > a b

    e

    a c > b c

    e portanto

    b > c

    e

    a > b

    Logo, pelo Teorema 2.1 segue o resultado.

    Definio 4.5. Sejam uma reta m e um ponto P fora dela. Dize-mos que o ponto P o reflexo de P relativamente a m se PP prependicular a m e AP = AP , onde A o ponto de interseode PP com m.

    Problema 4.1. Dados dois pontos A e B fora de uma reta r,determinar um ponto P em m tal que AP + PB seja o menorpossvel.

    Soluo Suponha que A e B esto em semi-planos distintos.Neste caso, AB intercepta r em um ponto P. Se C um outroponto de m, ento da desigualdade triangular, obtemos

    AB < AC + CB.

    Como A P B, segue que AB = AP + PB < AC +CB, e P oponto procurado.

    Se A e B pertencem a semi-planos distintos, basta considerar oreflexo B de B relativamente reta m. Neste caso, encontramosum ponto P de m que resolve o problema para os pontos A eB. Este ponto P tambm resolve o problema para A e B, j queAP = AP .

    71

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    Figura 4.11:

    Figura 4.12:

    4.6 Teorema de Saccheri-Legendre

    O objetivo desta seo provar que a soma dos ngulos internosde qualquer tringulo menor ou igual a 180. Este resultado foiprovado por Saccheri que na verdade estava tentando encontraruma igualdade.

    Proposio 4.13. Seja ABC um tringulo. Existe um tringuloAEC tal que a soma dos ngulos a mesma soma dos ngulos dotringulo ABC e AEC possui um ngulo cuja medida menor ouigual metade de um dos ngulos do tringulo ABC.

    Demonstrao Seja um ponto D em BC tal que BD = DC. Nasemi-reta SAD considere um ponto E tal que AD = DE. Pelo caso

    72

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4

    Figura 4.13:

    LAL segue que ADB = EDC.Afirmao 1: AEC +ACE + CAE = ABC +BAC +ACB.

    Da congruncia ADB = EDC conclumos que ABD = ECD eBAD = CED. Como SAD divide BAC e SCD divide ACE, segueque

    ABC +ACB +BAC = BCE +ACB +BAD +DAC

    = ACE +AEC + EAC.

    Afirmao 2: EAC ou AEC 12BAC.Note que, como SAD divide BAC, segue que

    BAC = BAD +DAC = AEC + EAC.

    Logo, AEC ou EAC 12BAC.

    Proposio 4.14. A soma de dois ngulos internos de um trin-gulo menor do que 180.

    Demonstrao Seja ABC um tringulo. Seja um ngulo ex-terno com vrtice C. Pelo Teorema do ngulo Externo, temos que > B. Como + C = 180, segue que

    B + C < + C < 180.

    Desta proposio, reobtemos o resultado

    73

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    Figura 4.14:

    Corolrio 4.4. Todo tringulo possui pelo menos dois ngulos in-ternos agudos.

    De fato, caso contrrio existiria um tringulo com pelo menos doisngulos obtusos cuja soma seria maior do que 180.

    Teorema 4.5. (Saccheri-Legendre): A soma dos ngulos internosde um tringulo menor ou igual a 180.

    Demonstrao Suponha que exista um tringuloABC cuja somados ngulos internos maior do que 180, digamos, que seja 180+, onde algum nmero positivo. Pela Proposio 4.13, podemosencontrar um outro tringulo A1B1C1 satisfazendo A1 + B1 + C1 = 180 + A1 12A.Seguindo indutivamente podemos encontrar um tringulo AnBnCnsatisfazendo An + Bn + Cn = 180 + An 12n A.Tomando n0 suficientemente grande tal que 12n0 A < , teremos queo tringulo An0Bn0Cn0 tal que An0 + Bn0 + Cn0 = 180 + An0 <

    74

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4Isto implica que Bn0 +Cn0 = 180+An0 > 180, contradizendoa Proposio 4.14.Logo, s pode ser An + Bn + Cn 180.

    4.7 Soma dos ngulos de um Tringulo

    At aqui ainda no falamos do postulado das paralelas. De fato,todos os resultados at aqui demonstrados so independentes destepostulado, ou seja, podem ser demonstrados sem o uso do postu-lado das paralelas. O Teorema de Saccheri-Legendre afirma quea soma dos ngulos internos de um tringulo menor ou igual a180.Agora, iremos mostrar que se existe um tringulo cuja soma dosngulos internos igual a 180, ento a soma dos ngulos de qual-quer tringulo tambm 180. Mas ainda no ficar demonstradoque a soma dos ngulos de um tringulo 180, restando para issoexibir um tringulo com tal propriedade.

    Definio 4.6. Seja ABC um tringulo. O defeito de um trin-gulo o nmero

    ABC = 180 A B C.

    Note que ABC 0.

    Teorema 4.6. Seja ABC um tringulo e D um ponto entre A eB. Ento ABC = ACD + BCD.

    Demonstrao Como SCD divide o ngulo ACB, ento ACB =ACD+DCB. Alm disso, ADC e BDC so suplementares, o queimplica que ADC +BDC = 180. Portanto,

    ACD + BCD = 180 AACD ADC+180 B BCD BDC

    = 180 AACB B= ABC.

    75

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    Figura 4.15:

    Sabendo que o defeito de tringulo sempre um nmero no neg-ativo, obtemos o seguinte corolrio

    Corolrio 4.5. Sejam ABC um tringulo e D um ponto entre Ae B. Ento ABC = 0 se e somente se ACD = BCD = 0.

    Definio 4.7. Um retngulo um quadriltero com os quatrongulos retos.

    Teorema 4.7. Se um tringulo existe com a soma dos ngulos180, ento um retngulo existe. Se um retngulo existe, entotodo tringulo tem a soma dos ngulos igual a 180.

    Demonstrao Faremos a demonstrao em 5 passos.

    Suponha incialmente que existe um tringulo com a soma dos n-gulos igual a 180.

    Passo 1: Construir um tringulo retngulo com a soma dosngulos 180.

    Seja ABC um tringulo com ABC = 0, que existe pelahiptese. Suponha que no seja reto; caso contrrio notemos nada a fazer. Como a soma dos ngulos de um trin-gulo sempre 180, Teorema de Saccheri-Legendre, entopelo menos dois ngulos so agudos, A e B, por exemplo.

    76

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4

    Figura 4.16:

    Seja CD um segmento perpendicular reta que contm AB.

    Afirmao: A D B.De fato, caso contrrio devemos ter D A B ou A B D.Se ocorre D A B, ento CAB um ngulo exterior aotringulo CDA satisfazendo CAB < CDA, contradizendo oTeorema do ngulo Exterior.

    Se ABD, da mesma forma, encontramos uma contradio.Portanto, o Corolrio 4.5 implica que ADC = 0 e BDC =0.

    Passo 2: Construir um retngulo.

    Seja BCD um tringulo retngulo em D com defeito zero,que existe pelo passo 1. Seja SCE uma semi-reta no semi-plano oposto ao semi-plano contendo D determinado pelareta que contm BC. Podemos tomar SCE tal que ECB =CBD. Tome F SCE tal que CF = DB. Pelo 1 casode congruncia de tringulos, segue que DBC = FCB. Emparticular D = F = 90 e FCB = 0. Como ento BCD+DBC = 90. Pela congruncia DBC = FCB, encontramosFCB +DCB = 90 e DBC + FBC = 90.

    Logo, DBFC um retngulo. (Ver figura 4.17.)

    Passo 3: Construir um retngulo arbitrariamente grande.

    Basta construir cpias do retngulo como na figura 4.18.

    77

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    Figura 4.17:

    Figura 4.18:

    Passo 4: Todos os tringulos retngulos tm defeito zero.

    Se ABC um tringulo retngulo e DEFG um retnguloarbitrariamente grande. Sejam os pontos HEDE e IEEF

    tais que HEI = ABC. Assim, HEI = ABC. Note queDEF = 0.Da, segue, do corolrio anterior que 0 = DFH+HEE HFE = 0. Aplicando novamente o corolrio en-contramos HFE = 0. (Figura 4.19).

    Figura 4.19:

    78

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4Passo 5: Se todo tringulo retngulo tem defeito zero, entotodo tringulo tem defeito zero.

    Como no passo 1, divida o tringulo em dois tringulos retn-gulos e use o Corolrio 4.5.

    Como consequncia imediata temos o corolrio.

    Corolrio 4.6. Se existe um tringulo com defeito positivo, entotodos os tringulos tm defeito positivo.

    79

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    RESUMO

    Nesta aula aprendemos dois teoremas importantes, o Teorema dongulo Interno Alternado, par determinar retas paralelas, e o Teo-rema do ngulo Externo, que nos d uma importante desigualdadeentre os ngulos internos e externos de um tringulo arbitrrio. Vi-mos tambm que sem o postulado das paralelas, provamos apenasque a soma dos ngulos internos de um tringulo menor ou igualque 180. Alm disso, provamos que se existe um tringulo comdefeito zero, ento todos os outros tambm ter defeito zero.

    PRXIMA AULA

    Na prxima aula introduziremos o axioma das paralelas e, entremuitos outros resultados, provaremos que a soma dos ngulos in-ternos de um tringulo arbitrrio sempre igual a 180.

    ATIVIDADES

    1. A figura 4.20 formada pelos segmentos AC, AE, CF e EB.Determine os ngulos que so:

    (a) menores do que o ngulo 7.

    (b) maiores do que o ngulo 5.

    (c) menores do que o ngulo 4.

    2. Na figura 4.21 os ngulos externos ACE e ABD satisfazema desigualdade: ACE < ABD. Mostre que ABD > AB.

    3. Em um cartrio de registro de imveis um escrivo recusou-sea transcrever o registro de um terreno triangular cujos lados,segundo o seu proprietrio, mediam 100m, 60m e 20m. Vocpode dar um argumento que justifique a atitude do escrivo?

    80

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    4

    Figura 4.20:

    Figura 4.21:

    4. Considere um quadriltero ABDC tal que BD > BC e A >ABC. Prove que BD > AC.

    5. Considere um tringulo EFG. Tome H FG tal que EG =EG. Mostre que EHF > EHG.

    6. Na figura 4.22 m e n so duas retas perpendiculares. Qualo caminho mais curto para se ir do ponto A ao ponto Btocandop-se nas duas retas?

    7. Mostre que qualquer tringulo tem pelo menos um nguloexterno obtuso.

    8. Considere um tringulo ABC. No segmento AB tome umponto D, e no segmento CD tome um ponto E. Mostre queAEC > DBC.

    81

  • Geometria sem o Postulado das Paralelas

    Figura 4.22:

    9. Mostre que a soma das diagonais de um quadriltero maiorque a soma de dois lados opostos.

    10. Dado um tringulo ABC, marca-se um ponto D no lado AB.Mostre que CD menor do que o comprimento de um doslados AC ou BC.

    11. Sejam ABC e ABC dois tringulos no retngulo com C =C , AB = AB e BC = BC . D um exemplo para mostrarque estas hipteses no acarretam que os tringulos devamser congruentes.

    12. Dois segmentos tm extremidades em um crculo. Mostreque o mais distante do centro do crculo tm o menor com-primento.

    LEITURA COMPLEMENTAR

    82

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    41. BARBOSA, J. L. M., Geometria Euclidiana Plana. SBM.2. EUCLIDES,Os Elementos. Unesp. Traduo: Irineu Bicudo.

    3. GREENBERG, M. J., Euclidean and Non-Euclidean Geome-tries: Development and History. Third Edition. W. H. Free-man.

    4. POGORELOV, A. V., Geometria Elemental. MIR.

    5. MOISE, E. E., Elementary Geometry from an Advanced Stand-point. Third edition. Addison-Wesley.

    83

  • AULA

    5O Axioma das ParalelasMETA:Estudar o Axioma das Paralelas e suas consequncias.

    OBJETIVOS:Introduzir o Axioma das Paralelas;Estudar a soma dos ngulos de um tringulo.

    PR-REQUISITOSCongruncia e o Teorema do ngulo Interno Alternado.

  • O Axioma das Paralelas

    5.1 Introduo

    H evidncias de que os postulados, particularmente o quinto,foram formulados por Euclides. Sabe-se que o quinto postuladotornou-se alvo de crticas pelos matemticos da poca. Que oprprio Euclides no confiava totalmente no quinto postulado mostrado pelo fato que ele adiou o uso em uma prova at suaProposio 29.Alm disso, o fato de que o quinto postulado parecer muito maiscom uma proposio do que com afimao bvia, que qualquerum aceita sem problemas, e que ele a recprova de uma dasproposies, a Proposio 28 dos Elementos, levou muitos matemti-cos a acreditarem que o quinto postulado era na verdade umaproposio que Euclides, por no saber demonstr-la a partir dosquatro primeiros postulados, o introduziu como um postulado.Como consequncia destas suspeitas, muitas foram as tentativas deprova do quinto postulado, at que trs matemticos, Carl F. Gauss(1777-1855), Johann Bolyai (1802-1860) e Nikolai I. Lobachewsky(1793-1856), descobriram independentemente as chamadas geome-trias no-Euclidianas, que a grosso modo so geometrias onde oquinto postulado no vlido.Nas aulas anteriores vimos que dada uma reta e um ponto fora dela,existe uma reta paralela a reta dada e passando pelo ponto dado.Nesta aula introduziremos o axioma que garante que esta reta pa-ralela nica, exatamente o que falta para demonstrar muitosoutros resultados alm do que j provamos at aqui.

    5.2 Axioma das Paralelas

    O Axioma das Paralelas o seguinte

    Axioma das Paralelas: Por um ponto fora de uma reta dadapode-se traar uma nica reta paralela a esta reta.

    86

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    5O Teorema do ngulo Interior Alternado afirma que se duas retasso intercectadas por uma terceira ento elas so paralelas. Oprximo teorema a recproca deste resultado.

    Teorema 5.1. Se duas retas paralelas so cortadas por uma transver-sal, ento os ngulos internos alternados so congruentes.

    Figura 5.1:

    Demonstrao Sejam r e s duas retas paralelas cortadas poruma transversal t nos pontos A e B, respectivamente. Sabemosque existe somente uma reta r passando por A formando ngulointerior alternado com s congruentes. Pelo Teorema do nguloInterior Alternado, segue que r e s so paralelas. Pelo Axiomadas Paralelas, temos que r coincide com r.

    Note que na demonstrao fizemos uso do seguinte resultado.

    Proposio 5.15. Se a reta m paralela s retas r e s, ento re s so paralelas.

    Prove esta proposio como exerccio.

    Corolrio 5.1. Se uma reta corta uma de duas paralelas, entocorta tambm a outra.

    Demonstrao Se uma reta cortasse somente uma de duas pa-ralelas, ento teramos uma reta paralela a duas retas no parale-las.

    87

  • O Axioma das Paralelas

    Teorema 5.2. Se m e n so retas paralelas, ento todos os pontosde m esto mesma distncia da reta m.

    Figura 5.2:

    Demonstrao Sejam A e B pontos de m. Sejam A e B os psdas perpendiculares baixadas de A e B at m.Vamos mostrar que AA = AB.Como m e n so paralelas, segue do Teorema 5.1 que BAB =ABA e BAA = BBA. Logo, os tringulos ABA e BAB soretngulos em A e B com hipotenusa congruentes e um nguloagudo congruente. Portanto, a Proposio 4.9 implica que ABA =BAB. Em particular, AA = BB.

    Exerccio 5.1. Mostre a recproca deste teorema, ou seja, se todosos pontos de m esto mesma distncia da reta m, ento m e nso paralelas.

    5.3 Tringulos e Paralelogramos

    Vamos mostrar agora que com o Axioma das Paralelas, a desigual-dade no Teorema de Saccheri-Legendre no ocorre.

    Teorema 5.3. Em qualquer tringulo ABC, tem-se A+ B + C =180.

    Demonstrao Tome uma reta r paralela ao lado AC. Sejam De E pontos de r tais que D B E e D e A pontos localizados nolado da reta contendo BC. Ento

    DBA+ABC = DBC e DBC +ABE = 180.

    88

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    5

    Figura 5.3:

    Portanto,

    CBE +ABC +ABD = 180.

    Pelo Teorema 5.1, temos que CBE = ACB e ABD = BAC.

    Logo,

    A+ B + C = 180.

    Como consequncia imediata obtemos o seguinte corolrio, cujaprova deixada para o aluno.

    Corolrio 5.2. a) A soma dos ngulos agudos de um tringuloretngulo 90.

    b) A medida de um ngulo externo de um tringulo a somados ngulos internos no-adjacentes.

    c) A soma dos ngulos internos de um quadriltero 360.

    Definio 5.1. Um paralelogramo um quadriltero cujos ladosopostos so paralelos.

    Proposio 5.16. Os lados e ngulos opostos de um paralelogramoso congruentes.

    89

  • O Axioma das Paralelas

    Figura 5.4:

    Demonstrao Seja ABCD um paralelogramo. Como AB e DCso paralelos, ento BAC = ACD. Da mesma forma, conclumosque CAD = ACB. Isto implica que DAC = BCA, j que AC comum a ambos os tringulos. Em particular, AB = DC, AD =BC e B = D. Alm disso, A = DAC + CAB = BCA + ACD =C.

    Exerccio 5.2. Prove que as diagonais de um paralelogramo seintersectam em um ponto que o ponto mdio das duas diagonais.

    Proposio 5.17. Se os lados opostos de um quadriltero so con-gruentes ento o quadriltero um paralelogramo.

    Demonstrao Seja ABCD um quadriltero tal que AB = CDe BC = AD. O 3 caso de congruncia de tringulos implica queABC = CDA. Em particular, B = D e

    DAB = DAC + CAB = BCA+ACD = BCD.

    Exerccio 5.3. Mostre que se dois lados opostos de um quadrilteroso paralelos e congruentes, ento o quadriltero um paralelo-gramo.

    Teorema 5.4. O segmento ligando os pontos mdios de dois ladosde um tringulo paralelo ao terceiro lado e tem metade de seucomprimento.

    Demonstrao Seja ABC um tringulo. Sejam D e E os pontosmdios dos segmentos AB e AC, respectivamente.

    90

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    5

    Figura 5.5:

    Vamos mostrar que DE paralelo a BC e DE = 12BC.

    Seja F um ponto na semi-reta SED tal que FD = DE e E D F .Observe que ADE = BDF, j que FD = DE (por construo),AD = DB (j que D o ponto mdio do segmento AB) e ADE =BDF (pois so opostos pelo vrtice). Em particular BF = AE.O ponto E ponto mdio de AC e isto implica que AE = EC eento FB = EC. Alm disso, novamente da congruncia ADE =BDF , obtemos AEF = BFE. Do Teorema do ngulo InteriorAlternado, que FB paralelo a EC. Pelo Exerccio 5.3, segueque BCEF um paralelogramo. Portanto, da Proposio 5.16,obtemos que EF = BC e como FD = DE, e F D E segue queDE = 12BC.

    A prxima proposio ser muito til para o estudo de semelhanade tringulos e tradicionalmente atribuda a Tales de Mileto,matemtico grego que viviu por volta dos anos 624 - 546 a.C.

    Proposio 5.18. Sejam a, b e c retas paralelas e m e n duastransversais. Suponha que m e n intercectam a, b e c nos pontosA,B e C e nos pontos A, B e C , respectivamente. Se A B C,

    91

  • O Axioma das Paralelas

    ento A B C . Se AB = BC ento AB = BC .

    Figura 5.6:

    Demonstrao Suponha qeu A B C. Neste caso, A e C estoem semi-planos opostos relativamente reta b. Como AA nointercecta b, j que os pontos A e A pertencem a reta a que paralela reta b, segue que A e A esto no mesmo semi-planodeterminado por b. Do mesmo modo, conclumos que C e C estono mesmo semi-plano. Portanto, A e C esto em semi-planosdistintos relativamente a b. Logo, b intercecta AC implicandoA B C .Suponha agora que AB = BC. Trace pelo ponto B uma para-lela a m. Esta paralela corta a e c em pontos D e E, respectiva-mente. Como ADBB e BBEC so paralelogramos, segue queDB = AB e BE = BC. Alm disso, temos do Teorema do n-gulo Interno Alternado que BDA = BEC . Como AB = BC,por hiptese, e ABD = EBC por serem opostos pelo vrtice,segue que ABD = C BE.

    Assim, AB = C B.

    92

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    5Corolrio 5.3. Suponha que k retas paralelas a1, . . . , ak cortamduas retas m e n nos pontos A1, . . . , Ak e nos pontos B1, . . . , Bk,respectivamente. Se A1A2 = A2A3 = = Ak1Ak ento B1B2 =B2B3 = = Bk1Bk.Utilizando a Proposio 5.18, a demonstrao simples e feitapor induo sobre o nmero de retas. Deixamos para o aluno.

    Teorema 5.5. Se uma reta, paralela a um dos lados de um trin-gulo, corta os outros dois lados, ento ela os divide na mesmarazo.

    O que o teorema diz que se uma reta r paralela a BC cortaos lados AB e AC de um tringulo ABC, nos pontos D e E,respectivamente, ento vale a igualdade:

    AC

    AB=AE

    AC.

    Figura 5.7:

    Demonstrao Na semi-reta SAB, tome um ponto P1 tal que

    AB

    AP1e

    AD

    AP1

    93

  • O Axioma das Paralelas

    no sejam nmeros inteiros. De fato, basta tomar P1 tal que AP1no seja um divisor comum de AB e AD. Assim, por induo,encontramos pontos P2, P3, . . . , Pk, . . . na semi-reta SAB tais que

    Pk1 Pk Pk+1 e APk = kAP1, k 2.

    Observe que isto implica que PkPk+1 = AP1.Afirmao: D e B no coincidem com nenhum dos P is.De fato, caso contrrio teramos D = Pk0 para algum k0 1 e

    AD

    AP1=APk

    AP1=kAP1

    AP1= k,

    impcando que ADAP1 seria inteiro, o que uma contradio pelaescolha do ponto P1.Logo, existem inteiros m e n tais que Pm DPm+1, Pn B Pn+1,A Pm D e A Pn B.Isto implica que

    mAP1 = APm < APm + PmD = AD

    < AD +DPm+1 = APm+1 = (m+ 1)AP1,

    ou seja,mAP1 < AB < (n+ 1)AP1.

    Da mesma forma, encontramos

    nAP1 < AB < (n+ 1)AP1.

    Afirmao:m

    n+ 1 ADB +BDC = ADC.

    Por outro lado,

    ABC +ADC = 180,

    por hiptese, e

    ABC +AEC = 180,

    pela primeira parte.

    Logo, ADC = AEC, que uma contradio.

    Caso 2: D pertence ao interior do crculo.

    Nete caso, tome E o ponto de interseo do crculo com asemi-reta SBD. Da mesma forma que antes, mostramos queADC = AEC e ADC > AEC. Contradio.

    121

  • O Crculo

    Logo, s podemos ter que D pertence ao crculo.

    Definio 6.8. Um crculo est inscrito em um polgono se todosos lados so tangentes ao crculo.

    Neste caso, dizemos que o polgono circunscreve o crculo.

    Proposio 6.25. Todo tringulo possui um crculo inscrito.

    Figura 6.17:

    Demonstrao Seja ABC um tringulo e P o ponto de encontrodas bissetrizes de A e B.Afirmao: P equidistante dos lados do tringulo.De fato, se E e G so os ps das perpendiculares baixadas de P aAB e a AC, respectivamente, ento

    PAE = PAG e PEA = PGA = 90.

    Logo, PAE = PAG, j que PA comum a ambos. Em particular,PE = PG. Da mesma forma, mostramos que P equidistante deBC e AB.

    Corolrio 6.5. As bissetrizes de um tringulo encontram-se emum ponto.

    A demonstrao deste corolrio imediata da Proposio 6.25.

    122

  • Geometria Euclidiana Plana AULA

    6Definio 6.9. Um polgono regular um polgono com todos oslados e ngulos congruentes.

    Proposio 6.26. Todo polgono regular est inscrito em um cr-culo.

    Demonstrao Seja A1A2a . . . An um polgono regular. PeloCorolrio 6.4, podemos traar um crculo contendo A1, A2 e A3.Seja P o centro deste crculo.Vamos mostrar que os vrtices A4, A5, . . . , An pertencem a estecrculo.Para isto, note que o tringulo PA2A3 issceles, j que PA2 ePA3 so raios de um mesmo crculo. Assim, PA2A3 = PA3A2.Como o polgono regular, todos os seus ngulos so congruentes.Portanto, A1A2A3 = A2A3A4. Alm disso, temos

    A1A2A3 = A1A2P + PA2A3

    eA2A3A4 = A2A3P + PA3A4,

    implicando que A1A2P = PA3A4. Tambm temos que A1A2 =A3A4, j que so lados de um polgono regular, e PA2 = PA3,pelo fato que A1 e A2 pertencem a um crculo de raio P . Pelo casoLAL de congruncia de tringulos, temos que PA1A2 = PA4A3.Em particular obtemos PA4 = PA1, implicando que A4 pertenceao crculo contendo A1, A2 e A3.Analogamente mostramos que cada um dos pontos A5, . . . , An per-tencem a este mesmo crculo.

    Corolrio 6.6. Todo polgono regular possui um crculo inscrito.

    Demonstrao Seja A1A2 . . . An um polgono regular. PelaProposio 6.26, podemos traar um crculo contendoA1, A2 . . . , An.Seja P o centro deste crculo.Pelo caso LLL de congruncia de tringulos, mostramos que todosos tringulos A1PA2, A2PA3, A3PA4, . . . so congruentes. Como

    123

  • O Crculo

    consequncia suas alturas relativamente s bases so tambm con-gruentes.Portanto, o crculo de centro P e raio igual a esta altura estinscrito no polgono. (Por que este crculo tangente aos lados dotringulo?)

    6.5 Como calcular o comprimento de um cr-

    culo?

    At aqui j sabemos calcular a distncia entre dois pontos, bas-tando para isso calcular o comprimento do segmento determinadopor estes pontos. A maneira como ns introduzimos o compri-me