sobre geometría euclidiana

Universidad autónoma de Coahuila

Facultad de ciencias físico matemáticas

Apuntes impresos de geometría

euclidiana

Elaborados por: Noelia Londoño Millán

2013

Apuntes impresos de geometría euclidiana 2013

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ÍNDICE

Pág.

INTRODUCCIÓN 3

Primera unidad: axiomática de la geometría euclidiana 4

Postulados de la geometría plana 5

Axiomas usados en geometría 5

Definiciones usadas en geometría 7

Teoremas sobre ángulos 7

Ejercicios propuestos 7

Algunas construcciones con regla y compás 8

Teoremas sobre ángulos 17

Semejanza de triángulos 28

Congruencia 30

Congruencia de triángulos 31


Ejercicios de repaso 33

Segunda unidad: Transformaciones en el plano

Reflexión respecto a una recta 34

Reflexión respecto a un punto 35

Traslación 36

Rotación 37

Homotecia 38


Tercera unidad puntos y rectas notables del triangulo

Puntos notables de triángulos. 41

Recta de Euler 41

Recta de Simson 42

Triángulo órtico 43

Triángulo de Napoleón 43

Circunferencia de los nueve puntos. 43

Cuarta unidad: Geometría el círculo

generalidades 46

Elementos del círculo 43

Postulado fundamental del círculo 47

Teoremas referentes al círculo

Medida de ángulos y arcos 51

Teorema del ángulo central 54

Cuadriláteros cíclicos. 57

Teorema de Ptolomeo. 59

Ejercicios 59

Ejercicios de repaso 59

Bibliografía 61


3


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INTRODUCCION

La geometría euclidiana debe su nombre a Euclides, quien en los años 600 antes de Cristo

se dio a la tarea de compilar todo un conjunto de conocimiento en el libro “elementos”, el

cual está compuesto por trece libros.

Este documento intenta reproducir a menor escala el programa diseñado para esta

asignatura, dando a conocer los axiomas, los postulados, los teoremas, corolarios, los

lemas que fundamentan una base sólida de la geometría euclidiana.

En la primera unidad aparece las definiciones de términos geométricos, los postulados y la

axiomática por la que se rige la asignatura, en la segunda se habla de seis las

transformaciones en el plano, determinando las propiedades de cada una y su construcción

usando regla y compas, así como también con ayuda de GeoGebra.

La unidad tres habla sobre propiedades de los triángulos, particularmente de los puntos

notables del triángulo incluyendo la concurrencia de rectas y la colinealidad de algunos

puntos notables.

Por último se hace un apartado sobre la geometría del círculo, en ella se expresan algunas

definiciones, teoremas corolarios que fundamentan el estudio.

Se espera que este documento sirva de apoyo a los alumnos de primer año de la licenciatura

en matemáticas aplicadas y que posteriormente se puedan incorporar otros temas que

también son fundamentales en la asignatura y por cuestiones de tiempo han quedado fuera.


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PRIMERA UNIDAD: AXIOMÁTICA DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

La Geometría Plana estudia las propiedades y las relaciones de las figuras que pueden

construirse en la superficie plana con una regla y con un compás. La mayor parte de estas

figuras (triángulo, paralelogramo, rectángulo, trapecio, círculo, etc.). Nos es familiar, en

parte debido a nuestra experiencia práctica y en parte al estudio previo que sobre ellas

hemos realizado.

Bastaría que nos pusiéramos a observar con alguna detención las cosas entre las cuales nos

movemos (edificios, muebles dibujos, automóviles) para darnos cuenta de que la geometría

desempeña papel principalísimo en la vida del hombre moderno; que es requisito

primordial para adiestrar la inteligencia y materia básica por excelencia para adelantar el

estudio de cualquier carrera técnica.

La geometría euclidiana debe su nombre a Euclides, quien en los años 600 antes de Cristo

se dio a la tarea de compilar todo un conjunto de conocimiento en el libro “elementos”, el

cual está compuesto por trece libros en donde se exponen los axiomas, los postulados, los

teoremas, corolarios, los lemas todos ellos que fundamentan una base sólida de la

geometría euclidiana.

Muchos de los conocimientos que se desarrollan hoy día en el área de la geometría, aun y

cuando se use tecnología computacional está fundamentado en los aportes de los geómetras

de la antigüedad

A continuación se exhibe un conjunto de definiciones que son útiles para el desarrollo del

curso.

Definiciones:

SUPERFICIE. Se llama superficie a la parte exterior de los cuerpos. La mayor parte de los

cuerpos de la naturaleza (una piedra, un árbol, un animal, una montaña) tiene superficies

irregulares. La mayor parte de los cuerpos construidos por el hombre (un vaso, una esfera,

un tubo, un vidrio, una mesa) tienen superficies regulares: unos tienen superficies curvas,

otras superficies esféricas, otras superficies cilíndricas y otras superficies planas.

PLANO. Observando y palpando la superficie de un tablero, de vidrio, de un espejo etc.,

adquirimos la idea de superficie plana. El ebanista o el carpintero para convencerse de que


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una superficie es plana se coloca sobre ella el borde de una regla, nos está enseñando que

plano de la superficie capaz de contener todos los puntos de una línea recta.

Nuestra intuición nos conduce a la noción de plano siempre que observamos la superficie

del agua tranquila de un estanque o de un lago, o cuando nos preguntamos qué espesor

tiene la superficie de separación del agua y del aceite depositado en un vaso.

LINEA. A la definición de la línea como el límite o el corte de dos superficies llegamos

también por observación de las superficies de los cuerpos: Si sumergimos el extremo de

una regla en agua, al límite que separa la parte mojada de la parte seca la llamamos línea.

De qué es este límite? De qué color es la línea que separa los colores azul y rojo de una

bandera colombiana estampada en un papel?. Qué diferencia hay entre la línea formada al

cortar una superficie curva con un plano, como por ejemplo al cortar una manzana con un

cuchillo, y la línea que se forma cuando se corta un plano con otro plano, como por ejemplo

al doblar una hoja de papel en dos partes?

PUNTO. Se llama punto a la intersección de dos líneas. Cuando dos líneas rectas se cortan

se determina un punto. Cuando se corta una línea recta con una circunferencia o dos

circunferencias entre sí, se determinan dos puntos.

LÍNEA RECTA. Para trazar una línea recta es necesario disponer de una superficie plana y

de una regla. Para trazar una línea recta en una dirección determinada es necesario tener dos

puntos fijos para enrasar con ellos el borde de la regla. Por determinar dos puntos de una

dirección se han dado las siguientes definiciones para la línea recta:

Línea recta es la que tiene todos sus puntos en una misma dirección.

La línea recta es el lugar geométrico para todos los puntos que están en una misma

dirección.

Una línea recta, que se supone se puede prolongar hasta donde uno quiera, en ambas

direcciones, se designa siempre con una letra minúscula: la recta a, la recta l, la recta n, etc.

Un punto de una recta ( o de una circunferencia) se determina por medio de un pequeño

segmento de recta y se designa siempre por una letra mayúscula: el punto A, el punto B, el

punto P, etc.


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Un punto divide a una recta en dos semirrectas.

Se le llama segmento de recta a la porción limitada por dos puntos: el segmento AB, el

segmento BP, el segmento AP, etc.

Nuestra experiencia en el trazado de líneas rectas nos enseña que mientras más perfecto es

el borde de la regla y más aguda la punta del lápiz, las líneas son “más rectas”, más finas,

de menor espesor. Análogamente las circunferencias que trazamos con el compás son “más

redondas”, más finas, de menor espesor, mientras mejor construido esté el compás y más

agudas sean sus puntas.

Si recordamos que una figura geométrica es tanto más perfecto cuanto menor espesor tiene

las líneas rectas y los arcos de circunferencia que la forman (porque así se asemeja más a la

figura geométrica pura que es aquella cuyas líneas no tienen espesor) lo primero que

debemos hacer al iniciar el estudio de la geometría es proveernos de una regla y un compás

bien construidos y mantenerlos en el mejor estado de conservación.

CIRCUNFERENCIA. Se le llama circunferencia a la línea curva cerrada cuyos puntos

equidistan de un punto fijo llamado centro.

Círculo es la porción de plano limitada por la circunferencia.

Radio es el segmento de recta que va del centro a un punto de la circunferencia.

Secante es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Tangente es la recta que solamente tiene un punto común con la circunferencia.

El símbolo de la circunferencia es ⊙

Además de estas definiciones es conveniente enunciar aquí, para una mejor comprensión de

los parágrafos siguientes, dos postulados sobre la circunferencia. Postulado es un axioma

que enuncia una relación geométrica.

POSTULADO. “Dos circunferencias son iguales si sus radios son iguales”.


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POSTULADO. “Si la distancia de un punto al centro de una circunferencia es igual al

radio, el punto está sobre la circunferencia. Si la distancia de un punto al centro de una

circunferencia es mayor que el radio, está fuera de la circunferencia. Si la distancia de un

radio, está fuera de la circunferencia. Si la distancia de un punto al centro de una

circunferencia es menor que el radio, el punto está dentro de la circunferencia”.

ÁNGULO: Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el

mismo punto de origen o vértice.

TANGENTE: La tangente a una curva en uno de sus puntos, es una recta que toca a la

curva en el punto dado.

CÍRCULO: Superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia.

CIRCUNFERENCIA: Curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del

centro, y sólo posee longitud.

POLÍGONO: Es una figura plana, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos

consecutivos que cierran una región en el espacio.

VÉRTICE: Punto donde dos o más líneas se encuentra. Punto donde se encuentran dos o

más semirrectas que conforman un ángulo.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS. Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

AXIOMAS. Un axioma es una proposición que enuncia una relación entre cantidades en

general y que se acepta como verdadera sin demostración lógica.

1. Una cantidad puede remplazarse por otra cantidad igual en cualquier expresión sin

variar el valor de la expresión.

2. Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si

3. El todo es mayor que una de sus partes

4. El todo es igual a las suma de sus partes

5. Un objeto geométrico es igual a sí mismo.

6. Si a cantidades iguales se agregan cantidades iguales, las sumas son iguales”.

7. Si a una desigualdad se ejecuta una misma operación con números positivos, la

desigualdad se mantiene.


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8. Si una cantidad es mayor que otra, y esta mayor que una tercera, la primera es mayor

que la tercera.

9. Si de cantidades iguales se restan cantidades iguales, las diferencias son iguales.

10. Si las cantidades iguales se multiplican por cantidades iguales, los productos son

iguales.

11. Si las cantidades iguales se dividen ente cantidades iguales, los cocientes son iguales.

12. Si las raíces o potencias de cantidades iguales son iguales.

Ejercicios propuestos

1. Hacer la lectura 1. Elaborar un resumen de dos cuartillas en el cuaderno.

2. Consultar sobre los tres problemas geométricos de la antigüedad.

3. Qué es el número de oro como se obtiene geométricamente y algebraicamente.

ALGUNAS CONSTRUCCINES CON REGLA Y COMPÁS

Mediatriz:

1.-Trazamos un segmento con puntos A y B.

2.-Con un compás apoyamos en el punto A y hacemos una abertura de A a un poco más de

la mitad del segmento o igual podemos abrirlo hasta B. (de cualquier modo, podremos

llegar a lo que queremos.)

3.-Repetimos lo del paso anterior pero ahora apoyamos en B el compás y hacemos la

abertura igual a la que hicimos en el paso anterior.


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4.-Marcamos las intersecciones de las circunferencias. (C) y (D).

5.-Trazamos una recta que pase por los puntos C y D y por el segmento AB.

6.-Marcamos la intersección de la recta CD con el segmento AB. (E)

7.- Con el paso anterior obtuvimos la mediatriz y el punto medio de AB. (E)

Bisectriz:

Se traza una circunferencia con centro en O y radio arbitrario.

La circunferencia cortará las semirrectas en los puntos A y B.

La mediatriz del segmento AB es la bisectriz del ángulo dado.

1.-Dado un punto A trazamos las semirrectas para así obtener nuestro ángulo.

2.-Del punto A apoyamos el compás con una abertura considerable y marcamos en las dos

semirrectas del ángulo, una línea por donde pase el compás. (Las líneas, en este caso

puntos, se llaman D y E).

3.-Ahora apoyamos el compás en el punto E con una abertura considerable y trazamos una

semicircunferencia (en este caso circunferencia).

4.-Repetimos el paso anterior, sólo que ahora apoyamos el compás en el punto D.

5.-Marcamos las intersecciones de las dos circunferencias realizadas en los pasos anteriores

(F y G).

6.-Trazamos una recta que pase por los puntos F y G.


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7.- Con el paso anterior obtuvimos una recta que pase por el vértice A y que divide al

ángulo en dos partes iguales, así llegamos a la construcción de una bisectriz.

Cuadrado inscrito en una circunferencia

Dibujamos una circunferencia del mayor radio posible y trazamos sobre ella dos diámetros

perpendiculares. Se marcan los puntos de intersección B, C, D y E. Tomando como vértices

estos puntos, dibujamos un cuadrado.

Nota: las líneas que unen los puntos medios de dos lados consecutivos del cuadrado con el

centro de la circunferencia, corresponden a cuatro vértices del octágono, los otros cuatro

son los vértices del cuadrado.

Inscribir un polígono de seis lados y doce lados en una circunferencia


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Se construye una circunferencia, con centro A y radio arbitrario, sobre esta circunferencia

se ubica un punto B. A partir de B se construye una nueva circunferencia con centro en B y

radio AB. Se marcan los puntos de intersección de las circunferencias C y D

Con centro en los puntos C y D se trazan circunferencias con el mismo radio AB

Los puntos B, C, D, E, F y G corresponden a los vértices del hexágono regular.

Para construir el dodecágono, sólo basta hallar el punto medio de tres lados consecutivos

del hexágono, luego se traza una recta que una cada punto medio con el centro de la

circunferencia, estas rectas cortan a la circunferencia, en seis puntos. Que junto con los

vértices del hexágono conforman los vértices del dodecágono.

Dividir un segmento en proporción áurea

1.- Traza un segmento (AB) de medida arbitraria, ubica el punto medio del segmento C.

2.- Traza una circunferencia con centro en B y radio hasta C,

3.- también traza una recta perpendicular al segmento AB que pase por el punto B.

4.- Marca el punto de intersección (D) de la circunferencia y la recta perpendicular,

eligiendo este punto como centro, construye una nueva circunferencia con radio BC.

5.- Luego traza una recta que pase por los puntos A y D.


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6.- Halla el punto de intersección (E) de la circunferencia que tiene centro D y la recta AD

7.- Construye una tercera circunferencia con centro en A y radio AE.

8.- Ubica el punto de intersección H. de esta última circunferencia y el segmento inicial

AB.

9.- El segmento AB ha quedado divido en razón aurea. Ç

Nota: Si divides la medida del segmento AB entre la medida del segmento AH obtienes el

número de oro.

Construir la tangente a la circunferencia que pase por un punto que pertenece a ella.

Se traza el segmento que une el centro de la circunferencia (A) y el punto dado (B), luego

se traza una recta perpendicular al segmento que pase por el punto dado. Esta recta es

tangente a la circunferencia en el punto B.


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Construir la recta tangente a la circunferencia que pase por un punto exterior

Si se tienen una circunferencia de centro A y radio Arbitrario, y un punto exterior C.

Para trazar rectas tangentes a la circunferencia se procede así:

1.- Se halla el punto medio (D) entre el centro de la circunferencia y el punto C.

2.- Se construye una circunferencia con centro en D y radio DC.

3.- Los puntos de tangencia corresponden a los puntos de intersección entre las dos

circunferencias E y F.

4.- Se trazan las rectas F C y EC, estas rectas son tangentes a la circunferencia.


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Mediana:

1.- Trazamos un triángulo cualquiera con vértices A,B y C.

2.-Trazamos el punto medio de un lado, en este caso del segmento BC (D).

3.-Trazamos una recta que pase por D y que también pase por el vértice opuesto, que es A

en nuestro ejemplo.

4.- Con el paso anterior concluimos que la mediana es la recta que corta a un lado en dos

partes iguales y pasa por el vértice opuesto.

Algunas construcciones con regla y compás:

Trazar las medianas de un triángulo y obtener el baricentro.


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1.-Trazamos un triángulo con vértices A, B, C.

2.-Trazamos las medianas de cada lado del triángulo (recordemos que la mediana es la recta

que traza a un lado del triángulo en dos partes iguales y que pasa por el vértice opuesto).

3.-Marcamos la intersección de las medianas (punto G).

4.- Con el compás, apoyando desde el punto G, hacemos una abertura hasta cualquier

vértice del triángulo.

5.-Trazamos la circunferencia si deseamos hacerlo (el paso 4 y 5 son opcionales) pero

llegamos a lo que queríamos, obtener el baricentro.

Bisectrices e incentro:

1.-Trazamos un triángulo con vértices A, B y C.

2.-Trazamos las bisectrices de los ángulos del triángulo (Recordemos que la bisectriz es la

recta que divide a un ángulo en dos partes iguales).

3.-Marcamos la intersección de las bisectrices (punto D).

4.-Apoyando el compás en el punto D, hacemos una abertura hasta un vértice cualquiera.

5.-Trazamos toda la circunferencia (el paso 4 y 5 son opcionales), y así llegamos a obtener

el incentro.

Mediatrices de los lados de un triángulo y circunscentro:


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1.-Trazamos un triángulo.

2.-Trazamos sus mediatrices (recordemos que la mediatriz es la recta perpendicular que

divide a un segmento en dos partes iguales, en este caso los segmentos son los lados del

triángulo).

3.-Marcamos la intersección de las mediatrices (punto D).

4.-Para resumir todo, el punto D es el circunscentro y si queremos, podemos trazar su

circunferencia, sin embargo hemos llegado a lo que queremos.

Procedimiento para dividir un segmento en partes iguales:

1.-Trazamos un segmento AB.

2.-Desde el punto A, Trazamos una semirrecta.

3.-Con un compás apoyado en A hacemos una abertura considerable y marcamos unas

semicircunferencias (en este caso circunferencias).

4.-Hacemos lo mismo del punto3, sólo que ahora tomaremos como puntos de apoyo a los

centros de las circunferencias.

5.-El último punto que se obtiene, se une con el otro extremo.

6.-Hacemos lo mismo con los otros puntos de la semirrecta, pero es preferible trazar

paralelas para así estar más seguros

7.-Y así obtenemos nuestro segmento dividido en partes proporcionales, puedes hacer la

prueba de arrastre.


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TEOREMAS SOBRE ÁNGULOS

Teorema 1.- Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Para demostrar que estos dos ángulos son iguales usamos en teorema anterior: dos ángulos

adyacentes son suplementarios, razón por la cual se traza el ángulo ,

también usando estas dos igualdades se llega a la demostración que

.

De manera formal el teorema se demuestra así: primero se separa el enunciado en hipótesis

y tesis. Luego se construye una tabla en dos columnas, donde en la columna de la izquierda

aparen las afirmaciones necesarias para demostrar el teorema y en la segunda columna

aparecen las justificaciones que garantizan que el proceso tiene lógica y es consistente.


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Para hacer una demostración de usan los elementos dados en la hipótesis, definiciones,

teoremas anteriores y construcciones auxiliares.

Veamos esto en la siguiente demostración:

Demostrar que los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.

Hipótesis:

Sea ángulos opuestos por el vértice.

Tesis:

Demostración:

AFIRMACIONES JUSTIFIACIONES.

1.- sea 1.- Trazo auxiliar.

2.- 2.- Por ser ángulos suplementarios

3.- = 180º 3.- Por ser ángulos suplementarios

4.- 4.- Por el axioma de transitividad.

5.- ( ) ( ) 5.- Sumando el inverso aditivo de

en ambos lados de igualdad.

6.- 6.- por prop. Del inverso aditivo.

7.- 7.- Por prop. Neutro aditivo.

Teorema 3.- Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180º.

Teorema 4.- La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto suman 360º.

Teorema 5.- Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.

Teorema 6.- Toda secante forma dos paralelas ángulos alternos externos iguales.

Teorema 7.- Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.


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Teorema 8.- Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema 9.- Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelas y dirigidos en

sentido contrario, son iguales.

Teorema 10.- Dos ángulos que tienen su lados respectivamente paralelas y dirigidas en el

mismo sentido, son iguales.

Teorema 11.- Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos

dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son

suplementarios.

Teorema 12.- Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son

iguales.

Teorema 13.- Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente,

perpendiculares son suplementarios.

Teorema 14.- Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares,

son iguales.

Teorema: En todo triángulo isósceles, la medida de los ángulos opuestos a los lados

iguales, también son iguales.

Hipótesis: Sea ABD un triángulo isósceles con los segmentos DA y BD iguales.

Tesis: <a=<B

Los ángulos alternos internos tienen la misma medida.

Hipótesis:

Sea alternos internos, K y L son rectas paralelas y n transversal.

Tesis:

Demostración:

AFIRMACIONES JUSTIFIACIONES.

1.-A y B intersección de la transversal 1.- Trazo auxiliar.

“n” y las paralelas

2.- Sea C punto medio de la 2.- Trazo auxiliar

recta AB

3.- = 180º 3.- Por ser ángulos suplementarios


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4.- 4.- Por el axioma de transitividad.

5.- ( ) ( ) 5.- Sumando el inverso aditivo de

en ambos lados de igualdad.

6.- 6.- por prop. Del inverso aditivo.

7.- 7.- Por prop. Neutro aditivo.

Teorema Los ángulos alternos externos tienen la misma medida.

Hipótesis: sea alternos externos

Tesis:

AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES

1.- Porque son opuestos por el vértice.

2.- Porque son opuestos por el vértice.

3.- G = D Porque son alternos internos.

4.- Porque son ángulos correspondientes.

5.- Porque son alternos externos.


1.-Trazamos mediatriz sobre el lado AB y

obtenemos E.

Trazo Auxiliar.

2.-El segmento AE= segmento BE Porque la mediatriz divide al segmento AB

(lado AB) en dos partes iguales.

3.-DA=BD Por hipótesis.

4.-<Y y <O´=90 Por la definición de mediatriz.


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5.-El triángulo AED= el triángulo BED Por ser triángulos rectángulos, con

hipotenusa igual y catetos homólogos

iguales.

6.-<a=<B Por ser ángulos homólogos de triángulos

iguales.

Teorema: En todo triángulo, la suma de sus ángulos internos es 180°.

Hipótesis: Sea triángulo ABC y sean <a, <B, <Y ángulos internos.

Tesis: <a+<B+<Y =180°


1.-Se traza paralela del lado BC que pase

por el vértice A

Trazo Auxiliar.

2.-Sean <O´ y <E ángulos adyacentes sobre

el mismo lado de la paralela.

Trazo Auxiliar.

3.-<O´+ <B + <E = 180° Por el axioma del todo es igual a la suma de

sus partes.

4.-<O´=<a y <E= <Y Por ser ángulos alternos internos

5.-<a+<B+<Y= 180° Porque reemplazamos 4 en 3.

6.-<O´+<a+<Y=180° Conmutatividad.

Teorema: En todo triángulo, la medida del ángulo exterior es igual a la suma de los 2

ángulos no adyacentes.


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Hipótesis: Sea ABC un triángulo, sea <O´ ángulo exterior y sean <a y <Y ángulos internos

no adyacentes a <O´

Tesis: <O´= <a+<Y .


1.-Sea <B ángulo interno adyacente a <O´ Trazo Auxiliar/ por construcción

2.-<a+<Y+<B=180° Por el teorema de sus ángulos interiores

suman 180°

3.-<B+<O´= <B+<a+<Y Definición de ángulos suplementarios

4.-<O´=<a+<Y Por inverso aditivo y neutro aditivo.

Los paralelogramos son todos los cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos y

cumplen tres propiedades principales:

1.-Los lados opuestos tienen la misma medida.

2.-Los ángulos opuestos tienen la misma medida.

3.-La suma de sus cuatro ángulos interiores es de 360°

Teorema: Para cualquier paralelogramo, la suma de sus ángulos internos es de 360°

Hipótesis: Sea ABCD un paralelogramo con <a, <C, <E, <L ángulos internos.


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Tesis:<a+<C+<E+<l =360°


1.-Marcamos una diagonal que pase

por B y D

Trazo Auxiliar.

2.-Se divide a < C=<B+<O´ Y <L=

<Y+<Z.

Por Diagonal, trazo Auxiliar.

3.-<Y=<O´ y <Z=<B Por ser ángulos homólogos de triángulos

congruentes.

4.-<Y+<O´=<Z+<B

<Y+<Z=<O´+<B

Por el axioma si a los dos elementos de una

igualdad se suman elementos iguales, se mantiene

la igualdad.

5.-<C=<L Porque el todo es la suma de sus partes y la suma

del paso 4, los ángulos son adyacentes.

6.-<a+<Y+<B=180 Por el teorema de la suma de ángulos internos de

un triángulo es 180°

7.-<O´+<Z+E=180°

Por el teorema de la suma de los ángulos internos

de un triángulo es de 180°

8.-<a+<Y+<B=<O´+<Z+<E

Por el axioma de si a los elementos de una

igualdad se suman elementos iguales, la igualdad

se mantiene.

9.-<a+<Y+<B+<O´+<Z+<E=360° Usando el teorema de la suma de los ángulos

internos de un triángulo es 180°.


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Teorema: Las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio y las diagonales

se bisecan.

Hipótesis: Sea ABCD un paralelogramo, AC y DB sus diagonales. E el punto de corte de

los diagonales.

Tesis: DE=EB y AE=EC.


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AB=DC Por teorema 1, laos opuestos son iguales.

2.-<a=<O´ y <B=<E Por ser ángulos alternos internos

3.-triángulo AEB=triángulo CED Por ser triángulos congruentes.

4.-DE=EB y AE=EC Por tener lados homólogos iguales y porque son

triángulos congruentes.

COROLARIO 1: Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

(En todo paralelogramo, la suma de 2 ángulos consecutivos es suplementaria)

Hipótesis: Sean <a y <Y ángulos consecutivos

Tesis: <a = <Y


1.-Se traza una paralela a DA y que pase

por los vértices B y C

Trazo Auxiliar.

2.-Se traza una paralela a AB y que pase por

los vértices C, D

Trazo Auxiliar

3.-Sea <E adyacente a <a y por el mismo

lado de la paralela

Trazo Auxiliar.

4.- <E + <a =180° Ángulos suplementarios

5.- <E=<B Por ser correspondientes

6.- Si <E=<a y <B=<E => <a+<B=180° Por ser ángulos suplementarios.


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Teorema: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos son iguales y

suplementarios.

Hipótesis: Sea ABCD un paralelogramo, sea <a y <B ángulos internos

Tesis: Sean <a = <B


1.-Se trazan 2 pares de paralelas

correspondientes y que pasen por los 4

puntos

Trazo Auxiliar

2.-Sea <a=<o}, <E=<B, <Z= <o´y <y=<n Por ser opuestos por el vértice

3.-Sea<a=<y Por ser alternos internos

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ABC

1º un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.


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a<b+c a>b-c

2º La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º

A+B+C=180º 30º+30º+120º=180º

3º El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no

adyacentes.

4.- En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5.- Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Teorema: en todo triángulo isósceles, la medida de los ángulos opuestos, a los lados

iguales también son iguales.

Hipótesis: sea triángulo ABC isósceles con AC=BC

Tesis:

Demostración.


1.- Se traza mediatriz sobre el Trazo auxiliar.

Segmento AB

2.- AC=BC Por hipótesis (ya que es un triángulo

isósceles y tiene dos lados iguales.)

3.- AD=DB Porque la mediatriz divide al segmento AB en

Dos partes iguales (def. de mediatriz)


29

4.- a = b =90º por definición de mediatriz.

5.- ⧍ACD = ⧍BCD Por ser triángulos rectángulos, con hipótesis

Igual y catetos homólogos iguales

6.- Por ser ángulos homólogos de triángulos iguales.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Antes de iniciar con la semejanza de triángulos se enunciaran las propiedades de las

proporciones, ya que es fundamental en la semejanza.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

1.- componer y descomponer a la vez

si a/b =c/d – a+b/a-c = c+d/c-d

2.- en toda proporción se cumple que el producto de medios es igual al producto de

extremos.

Si a/b = c/d

3.- si se intercambian los extremos o los medios de una proporción se obtiene otra

proporción.

Si p/q = r/s – p*s = q*r – p=q*r/d – p/r=q/s

4.- serie de razones.

Si a/b = c/d = e/f = m/n – a+c+e+m/b+d+f+n =m/n

5.- componer respecto al antecedente y consecuente respectivamente.

Si a/b = c/d = a+b/a = c+d/c a+b/b = c+d/d

6.- descomponer respecto al antecedente y consecuente respectivamente

Si a/b = c/d – a-b/a = c-d/c a-b/b = c-d/d

7.- permutar.

Si a/b = c/d – c/d = a/b

8.- invertir.

Si a/b = c/d – b/a =d/c

Postulados de semejanza de triángulos:


30

Dos triángulos son semejantes si sus lados homólogos o correspondientes tienen Sus tres

lados proporcionales. Criterio LLL.

Dos triángulos son semejantes si sus Ángulos homólogos o correspondientes son iguales.

Criterio AA.

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados homólogos proporcionales y el ángulo

comprendido entre ellos es igual. Criterio LAL.

Definiciones:

Razón: Es el cociente de dos elementos

Proporción: Igualdad entre razones

Teorema: Si se traza una recta paralela a un lado de un triángulo, se generan triángulos

semejantes.

Hipótesis: Sea ABC un triángulo y GH una paralela del lado AB

Tesis: triángulo ABC=triángulo GHC


1.-Se traza paralela al lado AB Trazo auxiliar, hipótesis

2.-GH II AB Trazo Auxiliar

3.-<GHC=<ABC Por ser ángulos correspondientes

4.-<GCH=<ACB Es el mismo

5.-triángulo GHC= triángulo ABC Porque sus ángulos correspondientes son


31

congruentes y sus lados homólogos son

proporcionales

Teorema: Si dos triángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, los triángulos son

semejantes.

Hipótesis: Sea ABC triángulo y DEF triángulos con lados respectivamente paralelos:

AB II FE

BC II DF

CA II ED

Tesis: Triángulo ABC es semejante al Triángulo DEF

CONGRUENCIA

Dos figuras son congruentes cuando al colocar la una sobre la otra coinciden en todos sus

puntos.

El cuadrilátero ABCD es congruente con el cuadrilátero EFGH, si al recorta este último y

colocar el vértice E sobre A y el vértice F sobre el vértice B, el punto H viene a coincidir


32

con el punto D y el punto G con el punto C. Es decir, dos figuras son congruentes tiene

exactamente la misma forma y el mismo tamaño.

Dos figuras tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño cuando reúnen dos

condiciones: a) ángulos respectivamente iguales (<A = <E, <B=<F, <C=G y <D=<H); b)

lados correspondientes iguales (AB = EF, EC= FG, CD=GH y DA=HE).

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

De acuerdo con la definición anterior para que los triángulos ABC y DEF sean congruentes,

deben coincidir exactamente al colocar el uno sobre el otro. En otras palabras, sus ángulos

deben ser respectivamente iguales y sus lados correspondientes también iguales.

Se llaman lados correspondientes de triángulos congruentes a los que se oponen a ángulos

iguales. Si <A = <D, entonces BC y EF son lados correspondientes.

En general, si llamamos elementos de un triángulo a sus lados ángulos, alturas bisectrices,

mediana, su área, etc. Dos triángulos congruentes tienen todos sus elementos

respectivamente iguales.

El símbolo de congruencia es ≈. (Δ ABC ≈ Δ DEF significa que el Δ ABC es congruente Δ

DEF).

POSTULADO DES CONGRUENCIA

“Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente iguales sus tres lados”.

“Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente iguales dos lados y el

ángulo comprendido entre ellos”.

“Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente iguales un lado y los dos

ángulos adyacentes”.

Dos triángulos son congruentes cundo tienen respectivamente iguales el ángulo mayor y

dos lados, el opuesto y uno de los adyacentes.

Corolario. “Dos triángulos rectángulos que tienen iguales la hipotenusa y uno de los

catetos, son congruentes”.


33

Ejercicios propuestos

Usa los criterios de congruencia para solucionar los siguientes ejercicios

1. Sea ABCD un cuadrado y P punto medio de AB.

a. Realiza un gráfico de lo que se plantea

b. Demuestre que PC = PD

2. Sea MNOP un cuadrado

c. Realiza un gráfico de lo que se plantea

d. Demuestre que las diagonales son iguales

3. Se tiene el cuadrado WXYZ y P, Q, R y S los puntos medios de cada lado.

e. Construye un cuadrilátero PQRS, Realiza un gráfico de lo que se plantea

f. Demuestre que PQ = QR = RS = SP

4. En un segmento AB se ha trazado la recta mediatriz, se marca el punto de intersección Z, del

segmento y la recta; se ubica un punto R en esta mediatriz, de tal manera que puedan construirse

los triángulos ARZ y RZB,

g. Realiza un gráfico de lo que se plantea

h. Demuestra que los triángulos ARZ y RZB son congruentes.

5. A continuación aparece un polígono RSTU.

a. Observa la figura

b. Describe todas las características que

presenta el dibujo. Haz una lista de

ellas.

c. Demuestre que XP = YP


34

Ejercicios de repaso

1. Dibuje un triángulo escaleno. Construya otro triangulo que tenga los lados

respectivamente iguales. Mida los ángulos de los triángulos. Como son?

2. Dibuje un triángulo ABC. Construya otro triangulo que tenga dos lados iguales a AC y

BC, respectivamente, y el ángulo comprendido por dichos lados igual al <C. Mida los

lados opuestos a los ángulos iguales en ambos triángulos. Como son? Que se puede

decir de los triángulos?

3. Dibuje un triángulo ABC. Construya otro que tenga un lado igual a BC y los ángulos

adyacentes iguales respectivamente a B y C. Mida y compare los otros lados de ambos

triángulos.

4. Dibuje un triángulo ABC y luego construya otro que tenga sus ángulos respectivamente

iguales a los del primer. Son los triángulos congruentes?

5. Dibuje un triángulo rectángulo y luego construya otro, también rectángulo, que tenga un

cateto y el ángulo adyacente iguales a un cateto y el ángulo adyacente del primero.

Mida los catetos opuestos a los ángulos iguales. Son los triángulos congruentes? Por

qué?

6. Construya dos triángulos rectángulos que tengan iguales la hipotenusa y uno de los

catetos. Mida los ángulos y el otro cateto. Son los triángulos? Por qué?

7. En la figura AD = AC y <1 = <2.

8. En la figura AB = DC y AD = BC. Cuantos triángulos hay? Cuales son congruentes

entre sí? Además de ser iguales, como son las rectas AB y DC?


35

SEGUNDA UNIDAD TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Se considera que existen seis transformaciones en el plano, cuatro son isométricas, es decir,

la transformación conserva las dimensiones, esto es, el perímetro, la mediada de los

ángulos, el área, la mediada de los lados etc. Lo que hacen están transformaciones es rotar,

trasladar y reflejara los objetos sin causar modificaciones.

Los otros tipos de transformaciones son no isométricas ya que degeneran la figura original

estas son la homotecia y la inversión geométrica.

A continuación se describe y ejemplifica a cada una de ellas:

Reflexión respecto a una recta

¿Cómo hacer esta transformación usando solamente regla y compás?

Los elementos requeridos para realizar la reflexión de un objeto respecto a una recta son:

un objeto, (punto, recta, segmento, polígono, circunferencia, etc. )

1. Se traza perpendiculares de cada vértice a la recta dada,

2. luego se ubica los puntos de intersección de la recta (eje de simetría) y las

perpendiculares, puntos: N, I, J, K, L, M

3. Después con compas se trazan circunferencias del punto donde se interceptaba la recta

y la perpendicular al vértice conocido,


36

4. y así sucesivamente con cada vértice y su intersección, luego se ubican los puntos de

intersección de la circunferencia con las perpendiculares del otro lado de la recta, donde

se quería que se reflejara, puntos: O, P, Q, R, S, T

5. Finalmente se construye el polígono OPQRST

Reflexión respecto a un punto

Para construir la reflexión respecto a un punto se necesita: una figura original, y un punto

exterior a ella

Proceso:

1. se traza rectas desde un vértice hasta el punto exterior,

2. Después con el compás se abre desde el punto exterior hasta el vértice y se realizaba

una circunferencia, y así sucesivamente con cada vértice.

3. Después se ubica cada punto de intersección de la circunferencia con la recta,

4. Finalmente se unen todos los puntos reflejados y se formaba el mismo polígono.


37

Traslación

Para construir la traslación se necesita: un polígono (ABCDE) y el vector de traslación.

Proceso:


38

1. Se trazan rectas paralelas al vector dado que pasen por cada vértice del polígono

dado.

2. Se traza la circunferencia con centro en el vértice del polígono y radio la magnitud

del vector

3. Donde se intercepta la recta y la circunferencia ahí esta el vértice trasladado.

4. Se repito esto por cada vértice que tenga el polígono original, y así se obtienen el

nuevo polígono.

Rotación

Construir un polígono cóncavo con un ángulo de rotación de 70º y de centro de rotación un

vértice del polígono. Estaba rotada esa imagen, entonces primero trazamos la mediatriz de

dos segmentos, luego encontrando la intersección de estos dos, quería decir que ese era el

punto de rotación, después con ese punto trazábamos circunferencia donde este era el

centro de cada circunferencia, cada una de estas debía de pasar por un vértice de la figura

original y por existir la rotación entonces debía pasar por el mismo punto pero de la figura

rotada, y así sucesivamente con cada vértice. Luego se trazaban segmentos de un vértice de

la figura original al punto de rotación y otro del punto se rotación al mismo vértice pero de

la figura rotada. Y ahí se encontraba el ángulo de rotación.

Ejercicios propuestos:


39

Identifica que transformación isométrica está representada en cada uno de los polígonos sin

sombra, sabiendo que el polígono original esta sombreado.

Homotecia

Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una

figura dada se obtienen una o varias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada,

para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de

homotecia, de cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se

va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta

transformación, siendo esta constante, la cual se denomina constante de homotecia que

viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción

Trazar un punto exterior al polígono, después trazar recta que unieran cada vértice con el

punto exterior, luego una de las propiedades era k>1 y nosotros teníamos que encontrar un

valor para k, y trazar su nueva imagen multiplicando la medida del segmento de un vértice

hasta el punto entre dos, el resultado se iba a tomar del punto exterior hasta llegar a la

medida dada, y así sucesivamente con cada vértice. Otra de las propiedades era 0<k<1 y de

igual manera se tenía que realizar, otra propiedad es k=-1, además 0>k>1 y otra era k<-1 de

las cuales cada una la teníamos que demostrar, así que en total deberíamos de demostrar

cinco polígonos y aparte el original, y estos deberían quedar reflejados.


40

Propiedades de las homotecias

La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:

1. El alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alienados:

2. El paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas.

3. El cociente de longitudes

4. Los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos.

5. La imagen de una recta es otra recta paralela.

6. Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.

7. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.

8. |k| < 1 implica una reducción.

9. k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro P con una

homotecia sin inversión.

10. El centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del

baricentro es el baricentro de las imágenes.

11. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la

identidad de E: todos los puntos son fijos)

12. Si k ≠ 0, hP k admite como trasformación recíproca hP 1/k. (cuando k = 0, no es

biyectiva)


41

13. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este

centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: hpk o hp

k' = hP k·k'.

14. k = - 1 corresponde a la simetría de centro P, o una rotación alrededor de P de

ángulo π radianes (180·)


42

TERCERA UNIDAD: PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL

TRIÁNGULO

-Mediatriz: Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales y es perpendicular.

Teorema: las mediatrices de un triángulo concurren en el punto denominado circunscentro

y es el centro de la circunferencia circunscrita.

-

Bisectriz: Es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

Teorema: las bisectrices de un triángulo concurren en el punto denominado incentro

-

Mediana: Es la recta que biseca a un lado de un triángulo y pasa por el vértice opuesto.

Teorema: Las medianas de un triángulo concurren en el punto denominado baricentro,

también denominado gravicentro por ser el centro de gravedad.

Teorema: el baricentro de un triángulo está a un tercio de la base y a dos tercios de del

vértice.

Altura: es la recta que es perpendicular a los lados de un triángulo y pasa por el vértice

opuesto.

Teorema: Las alturas de un triángulo concurren en el punto denominado ortocentro.

RECTA DE EULER

Definición: En todo triángulo se cumple que el baricentro, el ortocentro y el circunscentro

están alineados, y la recta que los contiene recibe el nombre de Recta de Euler.


43

Recta de Euler

RECTA DE SIMSON

Si sobre el triángulo ABC, se construye la circunferencia circunscrita, se elige un punto E

sobre la circunferencia, luego se trazan rectas perpendiculares a cada uno de los lados del

triángulo que pasen por el punto E. Los pies de las perpendiculares generan los puntos F, G

y H. Estos puntos están alineados y conforman la recta de Simson.


44

TRIÁNGULO DE NAPOLEÓN

Si se construyen tres triángulos equivalentes a partir de los lados de un triángulo cualquier

todos al interior o todos al exterior entonces los centros de los triángulos equiláteros forman

también triángulo equilátero.

Por construcción al efectuar sobre el una acción de 30 ° centrada en c, seguida de una

homotecia de razón los puntos m y l se trasformar en A Y X por lo que el segmento AX es

igual a raíz de tres veces el segmento Podo que los triángulos YCB YACX se obtienen uno

a partir del otro por una atraccion centrada en C de un ángulo de 60° resulta que los

segmentos AX y YB son iguales aplicados al razonamiento a los A MAN Y NBL esta vez

tomando como centro de relación los puntos A Y B y las homogenices correspondientes se

establece que los segmentos AX YB C2 son iguales entre si y que guardan la misma

relación entre uno de sus lados con la longitud de los lados del triángulo MNL (raíz

cuadrada 3) lo cual prueba que el triángulo MNL es equilátero.

Triángulo de Napoleón

TRIANGULO ORTICO.

Triangulo ártico de un triángulo es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de

este es de a las proyecciones de los vértices sobre cada uno de los lados


45

Una consecuencia es que las alturas ABC son las bisectrices de su triangulo ortico (y los

lados ABC las exteriores) y por tanto el ortocentro del ABC es el centro de su triangulo

ortico Esta propiedad la descubrió también descubrió que El triángulo ortico es el menor

perímetro que es posible inscribir en un triángulo acutángulo.

Triangulo órtico

CINCURFERENCIA DE LOS 9 PUNTOS

En geometría se conoce como circunferencia de los nueve puntos a una circunferencia que

se pueden construir sobre cualquiera triangulo dado.

Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables seis de

ellos sobre el mismo triangulo salvo que el triángulo sea obtusángulo

Esto es:

-El punto medio de cada lado del triangulo

-Los pies de las alturas

-Los puntos medios de los segmentos determinados por el centro y los vértices del triángulo


46


47

CUARTA UNIDAD: GEOMETRIA DEL CÍRCULO

Generalidades

En este capítulo estudiaremos las principales propiedades del círculo, que es considerado

como la figura más importante de la geometría plana.

A propósito del círculo se hace necesario empezar por repasar las definiciones de

circunferencia, radio, cuerda, diámetro, tangente, ángulo central y sector circular. Como

estas definiciones son de primordial importancia por el buen entendimiento de los teoremas

se pueden visualizar en la imagen siguiente:

Corona circular

Asimismo es conveniente que repasemos, antes de seguir adelante, lo referente a la

medición de ángulos especialmente la cuidadosa división del círculo en sectores circulares


48

iguales, base en la cual nos apoyamos para enunciar el postulado que establece la relación

entre los ángulos centrales, sus cuerdas y sus arcos, que nos permitimos volver a escribir.

Si S el arco de circunferencia limitado por el radio y angulo central , medido en

radianes, entonces se cumple:

Postulado fundamental del círculo: “En un mismo circulo o en círculos iguales a ángulos

centrales iguales, corresponden arcos y cuerdas iguales”.

Teorema:

“Si una línea que pasa por el centro de una circunferencia es perpendicular a una cuerda,

biseca la cuerda y el arco correspondiente”.

Se sabe que 0 centro de la circunferencia; OD AB.

Demostrar que: AC = BC, arco AD = arco BD.

Construcción auxiliar: se une 0 con A y B.

Demostración:

0A = 0B Radios de una circunferencia

0C = 0C Identidad

<0CA = <0CB = 90° Dado

Δ 0AC ≈ Δ0BC Dos triángulos rectángulos que tienen iguales la

hipotenusa y uno de los catetos son congruentes

AC = BC Por qué?


49

<A0C = <B0C Por qué?

Arco AD = Arco BD En un mismo circulo o en círculos iguales a ángulos

centrales iguales corresponden a arcos iguales

Ejercicios.

1. Demuestre que si B esta sobre la circunferencia y equidista a los radios 0A y 0B

es el punto medio del arco AB.

2. Demuestre que dos cuerdas iguales que se trazan por los extremos de un

diámetro forman ángulos iguales con E.

Teorema

“En un mismo circulo o en círculos iguales, cuerdas iguales equidistan del centro”.

Se sabe que 0 centro de la circunferencia; AB = CD, OF | AB y OE | CD.

Demostrar que OF = OE.

Construcción Auxiliar: Se une 0 con A, B, C y D.

Demostración.

0A = 0C = 0B = 0D Radios de una circunferencia

AB = D Dado

Δ0AB ≈ Δ0CD Dos triángulos son congruentes cuando tienen

respectivamente iguales sus tres lados

0F | AB y OE | CD Dado

0F = 0E Por que


50

Tangentes a una circunferencia

Si una recta PD, que pasa por el centro de una circunferencia, se hace girar alrededor del

punto P, el punto P’ se va acercando a P. Cuando P’ coincida con P, la recta no tendrá sino

un punto común con la circunferencia.

Una línea que no tiene sino punto común con la circunferencia se llama tangente. El punto

de contacto se llama punto de tangencia. Como la tangente y la recta CD se cortan forman

dos ángulos adyacentes iguales, son perpendiculares.

COROLARIO 1. Una línea perpendicular a una tangente en el punto de tangencia pasa por

el centro de la circunferencia.

COROLARIO 2. La tangente es perpendicular al radio el punto de tangencia.


51

Ejercicios

1. Construir la tangente a una circunferencia que pasa por un punto dado la circunferencia.

2. Construir dos tangentes a una circunferencia que sean paralelas.

“Se llama longitud de la tangente de un punto a una circunferencia al segmento que va del

punto dado al punto de tangencia”.

TEOREMA

“Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales”.

Se sabe que 0 centro de la circunferencia; PA y PB tangentes.

Demostrar que PA = PB.

Construcción auxiliar: Se une 0 con A, P y B.


52

Demostración:

0A = 0B Por qué?

0P = 0P Identidad

<0AP = < 0BP = 90° La tangente es perpendicular el radio en el punto de

tangencia.

Δ0AP ≈ Δ0BP Por qué?

PA = PB Por qué?

Ejercicios

1. CD es una cuerda paralela al diámetro AB. Demuestre que arco AC = arco BD.

2. Si AB y AC son respectivamente una cuerda y un diámetro, demuestre que el radio

paralelo a AB bisecta al arco BC.

3. Demuestre que si dos cuerdas iguales se cortan, el diámetro que pasa por el punto de

intersección bisecta el ángulo lo que forman.

4. Demuestre que si dos circunferencias son concéntricas las cuerdas de la mayor que son

tangentes a la menor son iguales.

MEDIA DE ANGULOS Y ARCOS

En el sistema internacional de medidas la unidad de medida de un ángulo es el radian, paro

por comodidad usamos el grado sexagesimal, que es la trescientos sesentava parte de un

ángulo.


53

Como cualquier número de ángulos centrales iguales corta arcos iguales sobre

circunferencia, si se construyeran alrededor del centro 360 ángulos de 1° cada uno, la

circunferencia quedaría dividida en 360 arcos iguales. Cada arco se llama grado de arco.

Lógicamente un ángulo central de 40° intercepta un arco de 40 grados de arco sobre

circunferencia; por consiguiente, un ángulo central tiene el mismo número de grado que el

arco interceptado.

Todos los instrumentos que se usan para medir direcciones, teodolito, sextante, compas

marino, transportador, etc., miden los ángulos por los arcos interceptados.

“Ángulo inscrito” Se llama ángulo inscrito o periférico al formado por dos cuerdas que

tienen un extremo común.

En la fig. 1, BAC es un ángulo inscrito y BC es el arco interceptado por el en la

circunferencia. El ángulo central B0C intercepta el mismo arco BC. Los dos ángulos

determinan también una cuerda común BC.

En la fig. 2, Los ángulos BAC, BA’C y BA”C son ángulos inscrito. Los tres interceptan el

mismo arco BC y la misma cuerda. El ángulo central B0C, por interceptar también el

mismo arco y la misma cuerda, se llama ángulo central correspondiente a la misma cuerda.


54

Teorema

“Todo ángulo inscrito es igual a la mitad del arco interceptado”.

Hay que considerar tres casos a saber:

Caso I.- Un lado del ángulo inscrito pasa por el centro de la circunferencia.

Se sabe que 0 centro de la circunferencia, A un ángulo inscrito.

Demostrar que <A = ½ arco BC.

Construcción Auxiliar: Se une 0 con C.

Demostración.

0A = 0C Por qué?

<A = <C Lo

<BOC = <A + <C Un ángulo externo de un triángulo lo es igual a la suma

de los dos internos no adyacentes.

<B0C = 2<A Por qué?

<B0C = arco BC El ángulo central tiene el mismo número de grados que

el arco interceptado

2<A =arco BC Por qué?

<A = ½ arco BC Por qué?

Caso II. El centro de la circunferencia está dentro del ángulo inscrito.


55

Se sabe que 0 centro de la circunferencia; A un ángulo inscrito.


Construcción Auxiliar: Se traza el diámetro que pasa por A.

<1 = ½ arco BD Caso I

<2 = ½ arco DC Caso I

<1 + <2 = ½ (arco BD + DC) Por qué?


Caso III. El centro de la circunferencia esta fuera del ángulo inscrito.

Se sabe que 0 centro de la circunferencia; A un ángulo inscrito.


Demostración:

<BAD = ½ arco BD Caso I


56

<CAD = ½ arco CD Por qué?

<BAD - <CAD = ½ (Arco BD – Arco CD) Si de cantidades iguales se restan

cantidades iguales las diferencias son

iguales


Corolario 1. “ Todos los ángulos inscritos en un mismo arco son iguales”.

Corolario 2. “Todos los ángulos inscritos en un mismo arco tienen el mimo ángulo central”.

Corolario 3. “Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto”.

El teorema anterior y sus tres corolarios nos dicen, resumiendo.

Que si el arco BXC es un arco de circunferencia, al unir cualquier punto de él, con B y C,

se forma un ángulo inscrito; que los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales.

Que si el arco BXC es mayor de 180° los ángulos inscritos son agudos; si es menor de 180°

los ángulos inscritos son obtusos.

a) Que si el arco BXC mide 180° los ángulos inscritos en el son ángulos rectos

(teorema de “Tales de Mileto”)

b) El arco BXC recibe el nombre de “Arco Capaz”.

Se llama ángulo semiperiférico o ángulo inscrito al que tiene su vértice sobre la

circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente.

Teorema

“El ángulo semi-periférico o ángulo semi-inscrito es igual al periférico perteneciente a la

misma cuerda”.


57

Se sabe que 0 centro de la circunferencia; <1 ángulo semi periférico; <D ángulo periférico

o inscrito.

Demostrar que <1 = <D

Construcción auxiliar: Se traza el diámetro AE y se une E con C.

Demostración:

<ACE = 90° Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

<E + 2 = 90° Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son

complementarios

<1 + <2 = 90° La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

<1 = <E Si dos ángulos son complementarios de un mismo ángulo son

iguales.

<E = <D Todos los ángulos inscritos en un mismo arco son iguales.

<1 = <D Por qué?

Teorema:

“Líneas paralelas interceptan arcos iguales en una circunferencia”.

Se sabe que 0 centro de la circunferencia; AB|| DC.

Demostrar que arco BC = arco AD.

Construcción Auxiliar: Se une A con C.

Demostración:


58

<1 = ½ arco BC Todo ángulo inscrito es igual a la mitad del

arco interceptado.

<2 = ½ arco AT Por qué?

<1 = <2 Por qué?

1/2 arco BC = ½ arco AD Por qué?

Arco BC = Arco AD Por qué?

Teorema

“Los ángulos opuesto de un cuadrilátero inscrito son suplementarios”.

Se sabe que 0 centro de la circunferencia, ABCD cuadrilátero inscrito.

Demostrar que <A + <C = 180°

Construcción Auxiliar: Se traza la diagonal BD

Demostración:

<A = ½ arco DCB Por qué?

<C = ½ arco BAD Por qué?

<A + C = ½ (arco DCB + BAD) Por qué?

< A + C = ½ (360°) Por qué?

<A + C = 180° Por qué?


59

Corolario. Un cuadrilátero se puede inscribir en una circunferencia si sus ángulos opuestos

son suplementarios”.

Teorema

“La suma de dos lados opuesto de un cuadrilátero circunscrito es igual a la suma de los

otros dos”.

Se sabe que 0 centro de la circunferencia; ABCD cuadrilátero circunscrito.

Demostrar que AB + CD = BC + DA

Demostración:

AE = AH

BE = BF

CG = CF

GD = DH

Las tangentes trazadas desde un punto

exterior a una circunferencia son iguales.

(AE + BE) + (CG + GD) = (BF + FC) +

(DH +HA)

Si a cantidades iguales se suman

cantidades iguales los resultados son

iguales

AB + CD = BC + DA Por que?

Teorema de Ptolomeo:


60

En todo cuadrilátero cíclico se cumple que el producto de las diagonales es igual a la suma

de producto de los lados opuestos.

Ejercicios

1. Demuestra el teorema de Ptolomeo

2. Construir de tres maneras diferente el arco capaz de contener un ángulo A.

3. Demuestre que los arcos interceptados por un tangente y una cuerda paralela son

iguales.

4. Enumere las figuras de cuarto lados que pueden inscribirse a en una circunferencia.

5. Cuáles son las figuras de cuatro lados que pueden circunscribirse a una

circunferencia?

6. Dadas dos circunferencias iguales, de 2 cm de radio, que tienen sus centro a 7 cm de

distancia. Construya una tangente común a las dos. Cuantas tangentes comunes se

pueden trazar a las dos circunferencias?

7. Calcule en función de A y B ángulo que forma el radio de la circunferencia

circunscrita y la bisectriz que parte de C en un triángulo ABC.

Ejercicios de repaso

1. Construya dos circunferencias de radios 3 y 2 cm a) que se corte; b) que sean tangente

exteriormente; c) que sean tangentes interiormente; d) que sean concéntricas.


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2. Dos circunferencias iguales se cortan en A y B. Demuestre que los arcos AB son

iguales.

3. Demuestre que la bisectriz de un ángulo central bisecta la cuerda y el arco

correspondiente.

4. Demuestre que si dos círculos son tangentes la línea que une sus centros pasa por el

punto de tangencia.

5. En la figura AB y CD son diámetros, DE tangente y <A0D = 125°. Encuentre

6. Dada una circunferencia de t cm de radio y una recta a 8cm de distancia del centro de la

circunferencia. Construya una cuerda de 4cm que sea paralela a la recta dada.

7. Demuestre que la línea que une los centros de dos circunferencias que se cortan, es eje

de simetría de la cuerda común.

8. Dados dos puntos A y B a 7 cm de distancia. Dibuje una recta que partiendo de A pase

a 3 cm de distancia del punto B.

9. Construya el arco capaz de contener un ángulo de 50° que tenga un radio de 4cm.

10. Dado un ángulo obtuso. Construya una circunferencia de 3cm de radio que tenga el

ángulo dado como ángulo semi periférico.


62

BIBLIGRAFIA

1. Baldor. A. Geometría plana y del espacio, editorial

2. Barnett. Geometría. Editorial Mc Graw Hill. México.

3. Clemens, D. Geometría". Editorial Addison Wesley Longman de México, S.A.

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6. Geltner & peterson. "Geometría". Editorial Thomson. Tercera edición.

7. Coxeter H.S.M. & J.Wiley - Introduction to Geometry - - 1961. Versión en español.

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9. Coxeter H.S.M., y Greitzer S.L. - Retorno a la Geometría. DLS-EULER,

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10. Elementos de Euclides (versión electrónica). 2013

11. Londoño, N. Apuntes impresos de geometría euclidiana 2011-2012.

12. Serres, M. Los orígenes de la geometría: tercer libro de las fundaciones. México

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sobre geometría euclidiana

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