geometría euclidiana cap04.ejercicios

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  • 210

    Mdulo 17

    Captulo 4: Cuadrilteros

    1. En las siguientes figuras (1 al 9) determine el valor de cada variable.

    Figura 1 Figura 2

    Figura 3 Figura 4

    Figura 5 Figura 6

  • 211Geometra EuclidianaEjercicios del mdulo 17

    Figura 7 Figura 8 Figura 9

    2. En la figura 10:

    Hiptesis: paralelogramo ABCDM, N, P, Q son puntos medios de

    AO , BO , CO y ,OQ respectivamenteTesis: MMPQ es un paralelogramo.

    3. En la figura 11:

    Hiptesis: ABC ; CH ABM punto medio de ACN punto medio de BCP punto medio de AB

    Tesis: MNHP es trapecio issceles

    4. Demuestre que los puntos medios de los lados de un trapecio issceles son los vrtices de un rombo.

    5. Demuestre que el vrtice de un tringulo issceles y los puntos medios de los lados son los vrtices de un rombo.

    Figura 10

    Figura 11

  • 212

  • 213Geometra Euclidiana

    Mdulos 14 al 17

    1. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.

    Si los lados no comunes de los ngulos adyacentes son perpendiculares entre s, los ngulos son rectos. Un tringulo issceles tiene tres ngulos agudos. Un tringulo issceles puede ser equingulo. Los ngulos alternos son suplementarios. La medida de un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de las medidas de dos ngulos interiores. Un ngulo exterior de un tringulo es por lo menos el suplemento de un ngulo interior del tringulo. En un tringulo rectngulo en el cual un ngulo agudo mide 30 la medida de la hipotenusa es la mitad de la medida del cateto opuesto al ngulo de 30. La medida del segmento rectilneo que une los puntos medios de dos lados de un tringulo es igual a la medida del tercer lado. Las bisectrices de los ngulos opuestos de un rectngulo son paralelas. Las bisectrices de los ngulos adyacentes de un paralelogramo son perpendiculares. Un paralelogramo es equiltero si tiene dos lados congruentes. Un trapecio es equiltero si tiene dos lados congruentes. Los lados no paralelos de un trapecio issceles forman ngulos congruentes con las bases. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadriltero se cortan en sus puntos medios. La mediana de un trapecio biseca a cada diagonal. Las rectas que pasan por los vrtices de un paralelogramo, paralelas a las diagonales, forman otro paralelogramo. Las rectas que pasan por los vrtices de un cuadriltero, paralelas a las diagonales, forman un paralelogramo.

    2. Determine el(los) cuadriltero(s) que cumple(n) la propiedad dada.

    Los lados opuestos son paralelos. Los lados son congruentes. Los lados opuestos son congruentes. Las diagonales se bisecan. Las diagonales bisecan los ngulos. Las diagonales son perpendiculares. Las diagonales son congruentes. Los ngulos opuestos son suplementarios. Los ngulos adyacentes son suplementarios.

    3. Cada una de las siguientes afirmaciones acerca de un cuadriltero bastara para demostrar que es paralelogramoo cuadrado, o rectngulo, o rombo. Escriba al final el nombre del cuadriltero correspondiente. Si la informacinno es suficiente para ninguno de los cuadrilteros mencionados, al final escriba ninguno.

    4CuadrilterosCaptulo 4AutoEvaluacinAutoevaluacin

  • 214

    Tiene sus lados congruentes _____________________________________________ Tiene dos lados consecutivos congruentes y perpendiculares ____________________ Las diagonales son congruentes __________________________________________ Las diagonales se bisecan ______________________________________________ Las diagonales son perpendiculares y congruentes ____________________________ Cada dos ngulos consecutivos son suplementarios congruentes _________________ Las diagonales son bisectrices de los ngulos correspondientes __________________ Dos lados consecutivos son perpendiculares y congruentes _____________________ Las diagonales son mediatrices entre s _____________________________________ Una diagonal est contenida en la bisectriz a dos ngulos _______________________ Cada dos ngulos consecutivos (adyacentes) son suplementarios _________________ Dos ngulos consecutivos (adyacentes) son suplementarios _____________________ Una diagonal determina dos tringulos congruentes ____________________________ Cada dos lados consecutivos son perpendiculares _____________________________ Las diagonales son congruentes y mediatrices entre s __________________________ Dos lados son paralelos y los otros dos son congruentes ________________________ Dos lados son paralelos y dos ngulos opuestos son congruentes _________________ Dos ngulos opuestos son rectos __________________________________________

    En cada una de las siguientes figuras (1 a 10) encuentre el valor numrico de la(s) variable(s).

    4. 5.

    AutoevaluacinAutoevaluacin

    Figura 1 Figura 2

    6. 7.

    Figura 3 Figura 4

  • 215Geometra Euclidiana

    8. 9.

    EuclidianaGeometra Euclidiana

    Figura 5 Figura 6

    10. 11.

    Figura 7 Figura 8

    12. 13.

    Figura 9 Figura 10

  • 216

    De acuerdo con la figura (11 a 20) demuestre lo solicitado.

    14. En la figura 11:

    AutoevaluacinAutoevaluacin

    Figura 11

    15. En la figura 12:

    Hiptesis: paralelogramo ABCD

    , DB AC diagonalesAC corta a DB en ON O M

    Tesis: ON OM

    Figura 12

    16. En la figura 13:

    Hiptesis: trapecio ABCD

    P y S puntos medios de DA y CBTesis: PS biseca las diagonales

    Figura 13

    Hiptesis: tringulo ABC con AM medianal lM CP M BN

    Tesis: CPBN es un paralelogramo

  • 217Geometra Euclidiana

    17. En la figura 14:

    EuclidianaGeometra Euclidiana

    18. En la figura 15:

    Hiptesis: paralelogramo ABCDAP = PB, AB = 2AD

    Tesis: PD PC

    Figura 15

    19. En la figura 16:

    Hiptesis: ABC equilteroO punto interior del ABC

    , ,

    ,

    ON BC OM AB

    OP AC CH AB

    Tesis: OM + ON + OP = CH

    Figura 16

    20. En la figura 17:

    Hiptesis: ABC rectngulo en C, , CH AB HP AC HN BC

    CM medianaTesis: PN CH , l CPN B , l C NP A ,

    CM PN

    Figura 17

    Hiptesis: ABC con , , BQ AN CM medianas

    , PM QB PM QB &Tesis: PC AN

    Figura 14

  • 218

    21. En la figura 18:

    AutoevaluacinAutoevaluacin

    Figura 18

    22. En la figura 19:

    Hiptesis: paralelogramo ABCD

    AQ bisectriz de A

    CP bisectriz de C D A P; B C Q

    Tesis: APCQ es un paralelogramo

    PF EQ PDQB es un paralelogramo

    Figura 19

    23. En la figura 20:

    Hiptesis: cuadrado ABCD Las diagonales se cortan en O

    MN PQ ; MN PQ en OTesis: PMQN es un cuadrado

    Figura 20

    Hiptesis: CA = CB; C D B AH = AE; A K E B HF = HI; H I E D F I K

    Tesis: l( ) ( )6m CDH m F=

  • 219Geometra Euclidiana

    Demuestre las siguientes proposiciones (24 a 36):

    24. Si un tringulo tiene dos alturas congruentes, es issceles.

    25. Si dos medianas de un tringulo son perpendiculares a los lados, el tringulo es equiltero.

    26. En un tringulo rectngulo la bisectriz del ngulo recto es bisectriz del ngulo entre la altura y la mediana relativasa la hipotenusa.

    27. En un tringulo rectngulo la mediana y la altura relativas a la hipotenusa forman entre s un ngulo que tiene comomedida la diferencia de las medidas de los ngulos agudos.

    28. En un tringulo ABC cualquiera, CH es la altura y CD es la bisectriz de .C Si CA > CB, entonces:

    l( ) ( ) ( ) 2m B m Am H CD =

    29. La diferencia de las medidas de los ngulos que una bisectriz interior forma con el lado opuesto en un tringulo esigual a la diferencia de las medidas de los ngulos de la base.

    30. La medida del ngulo formado por la bisectriz y la altura trazadas desde el mismo vrtice de un tringulo es iguala la semidiferencia de las medidas de los ngulos de la base.

    31. En un tringulo rectngulo que tiene un ngulo de medida 30, la mediana y la altura relativas a la hipotenusatrisecan el ngulo recto.

    32. Las alturas de un tringulo dividen los ngulos del tringulo en ngulos congruentes dos a dos.

    33. Si dos ngulos opuestos de un cuadriltero son rectos, entonces las bisectrices de los ngulos opuestos sonparalelas.

    34. Las bisectrices de dos ngulos adyacentes de un paralelogramo son perpendiculares.

    35. En un paralelogramo los segmentos que unen un vrtice con el punto medio de los lados opuestos trisecan ladiagonal.

    36. En todo cuadriltero los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos y los puntos medios de lasdiagonales se cortan en sus puntos medios.

    37. Sean las rectas A 1 y A 2 paralelas. Desde el punto A de una de ellas se baja a la otra recta la perpendicular AC y unaoblicua AB . Luego se traza la secante BED con A E L tal que DE = 2BE con A y D en la misma recta. Demuestreque 1 ( ) ( )

    3m DBC m ABD=

    38. Un cuadriltero no convexo ABCD tiene en D un ngulo entrante. Demuestre que ADC situado en el exterior delcuadriltero tiene por medida la suma de las medidas de los ngulos A, B y C.

    39. Se da un tringulo issceles ABC de base BC. Se prolonga la base BC en una longitud CD = AB, se traza la recta

    EuclidianaGeometra Euclidiana

  • 220

    AD y se prolonga AB en una longitud BE = BC/2; luego se traza la recta EHF con H punto medio de BC y F en

    AD .

    a. Pruebe que m l( ) 12ADB = m l( ).ABCb. Pruebe que . EA HDc. Pruebe que FA = FD = FH.

    d. Halle m ( )AFH y m ( )ADB si ( ) 62.m BAC =40. Las bisectrices de los ngulos opuestos de un paralelogramo al intersecarse forman un rectngulo. Qu cuadril-

    tero forman si en lugar del paralelogramo se trata de un rectngulo?

    41. ABCD es un paralelogramo y M y N son puntos sobre la diagonal AC tales que A M N C. Demuestre que DMBNes un paralelogramo si:

    a. y .DM AC BN AC b. . AM CNc. DM y BN son bisectrices.

    42. Por el punto de corte O de diagonales de un paralelogramo ABCD se trazan dos rectas cualesquiera. Una de

    ellas corta a AB en E y a CD en F; la otra corta a AD en H y a BC en L. Demuestre que ELFH es unparalelogramo.

    43. En un paralelogramo ABCD se unen los vrtices B y D al punto medio del lado opuesto. Demuestre que AC quedadividido en tres partes congruentes.

    44. Se unen los puntos medios M y N de las bases AB y CD del trapecio ABCD con los puntos medios P y Q de lasdiagonales AC y BD, respectivamente. Demuestre que MPNQ es un paralelogramo.

    45. Sobre los lados de un tringulo ABC se construyen exteriormente los tringulos equilteros MAB, NBC y PAC.Demuestre que MC = AN = PB.

    46. Se construye exteriormente al cuadrado ABCD el tringulo equiltero BCP, e interiormente el tringulo equilteroABM. Demuestre que los puntos D, M y P son colineales.

    47. Sobre los lados AB y CD de un tringulo equiltero ABC se construyen exteriormente los cuadrados ABDP y

    ACMN. Demuestre que la altura AH del tringulo es perpendicular a PN , P N D M& y .PC BN

    48. En un tringulo ABC, P es el punto medio de la mediana ,AM y MQ BPN& con A N Q C. Demuestre que NC = 2AN.

    49. Las diagonales del rectngulo ABCD se cortan en O. Por un punto P de AB se traza la recta OP que corta a CD enQ. Por P y Q se trazan paralelas a la diagonal AC, las cuales cortan a BC en M y a AD en N. Demuestre queNPMQ es un paralelogramo y que su semipermetro es igual a la medida de la diagonal del rectngulo.

    AutoevaluacinAutoevaluacin

  • 221Geometra EuclidianaEuclidianaGeometra Euclidiana

    50. ABC es un tringulo cualquiera con AB > AC. Se traza la mediana AM. Demuestre que ( ) ( )m BMA m AMC> y ( ) ( )m CAM m CAM> .

    51. En un tringulo ABC, AM, BN y CP son las medianas. Demuestre que si BC > CA > AB, entonces CP > BM > AM.

    52. Se da un tringulo equiltero ABC de lado A y se prolonga BC una longitud .CM =A

    Calcule las medidas de los ngulos del tringulo ACM. Muestre que AM AB . Se prolongan del mismo modo CA AN= = A y AB BP= = A . Pruebe que el tringulo PMN es equiltero. (Considere el ortocentro O del tringulo ABC.)

    Usando el teorema de la paralela media o de la base media, resuelva los ejercicios 53 a 59.

    53. La suma de las distancias de los vrtices de un tringulo a una recta cualquiera es igual a la suma de las distanciasde los puntos medios de los lados a esta recta.

    54. La suma de las distancias de los tres vrtices de un tringulo a una recta cualquiera es igual a tres veces la distanciadel baricentro a esta recta.

    55. Por uno de los vrtices de un paralelogramo se traza una recta cualquiera y de cada uno de los vrtices restantes setraza una perpendicular a la recta. La distancia a la recta del vrtice intermedio es igual a la suma o la diferencia delas distancias a la misma recta de los otros dos vrtices (teorema de Varignon).

    56. La suma de las distancias de los vrtices de un paralelogramo a una recta exterior es igual a cuatro veces la distanciadel punto de interseccin de las diagonales a esta recta.

    57. La suma o diferencia de las distancias de un punto dado a dos lados consecutivos de un rombo es igual a la suma odiferencia de las distancias a los otros dos lados.

    58. La suma de las distancias de los vrtices de un cuadriltero a una recta cualquiera es igual a cuatro veces la distanciaa esta recta del punto de interseccin de las rectas que unen dos a dos los puntos medios de los lados opuestos delcuadriltero.

    59. Una recta pasa por el baricentro de un tringulo. La suma de las distancias de dos vrtices situados en el mismosemiplano de borde la recta es igual a la distancia del tercer vrtice a dicha recta.