capÍtulo 4. axiomas de...

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 4. AXIOMAS DE CONTINUIDAD

Introducción

Con la incorporación de los Axiomas de Medida (Axioma de Arquímedes y Axioma de Cantor) se

fundamentan las funciones de medida para segmentos y para ángulos respectivamente,

enriqueciendo y abriendo un panorama al introducir la aritmética en la Geometría. Con esta

nueva herramienta muchos resultados que desde la relación de congruencia muestran mayor

dificultad en su construcción, se evidencian con más facilidad desde la medida y se propician las

condiciones para la obtención de nuevos resultados.

No obstante la posibilidad de facilitar los tratamientos de muchos temas desde la medida, no

pueden ser razón suficiente para iniciar los cursos de Geometría centrados únicamente en ella,

ignorando la realidad genética conceptual y de estructura que la enriquecen como lo he

presentado en el orden propuesto.

Objetivos Específicos.

1. Mostrar detalladamente como se fundamenta, a partir de los Axiomas de

Arquímedes y de Cantor, el proceso de medición en los segmentos haciendo

énfasis en que un procedimiento que consideramos en la práctica de rutina, tiene

un profundo soporte en la matemática.

2. Destacar como en situaciones anteriores ciertos conceptos, en este caso la medida,

se presentan en forma dual para los ángulos.

3. Señalar las características y propiedades de una función de medida mostrando

como únicamente en términos de ellas se logra el propósito de toda función cual es

la asignación de manera única de una imagen real no negativa a cualquier

segmento y lo propio en el caso de los ángulos.

4. Hacer énfasis en las equivalencias específicas, entre la relación de congruencia y

la función medida.

5. Definir una tercera clasificación angular desde el punto de vista de la medida,

como son los ángulos agudos y los obtusos.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


6. Proyectar esta función como una noción generalizadora que posteriormente se

aplicará también a los arcos en la circunferencia, a los polígonos simples (en

términos del área) y a los poliedros convexos (en términos del volumen).

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


4.1 LOS AXIOMAS DE CONTINUIDAD

Los axiomas de continuidad permiten, eligiendo una unidad lineal o segmento lineal, definir,

para cada segmento, de manera única un número real no negativo llamado longitud del

segmento (Axioma de Arquímedes) y recíprocamente determinar la existencia de un

segmento cuya longitud sea igual a un número real no negativo dado (Axioma de Cantor).

IV.1 Axioma de Arquímedes.

Sean y segmentos arbitrarios. Entonces sobre la recta existe un número

finito de puntos situados de manera que está entre y , está

entre y y así sucesivamente, tales que los segmentos son

congruentes a y B está entre y . (Ver Figura 70).

Figura 70

IV.2 Axioma de Cantor (Recíproco Axioma de Arquímedes)

A continuación,, utilizando el axioma de Arquímedes, analizaremos el proceso de medición

que consiste en asignar un número real a un segmento dado.

Sea cualquier segmento y un segmento que se fija arbitrariamente como unidad, al

cual asignaremos como longitud el número real a uno. Sobre la semirrecta se van

superponiendo segmentos congruentes a de tal manera que se obtienen los puntos

y el punto B está entre A y . (Ver Figura 71).

Figura 71

AB CD AB

nAAA ,....,, 21 1A A2A 2A

1A3A nn AAAAAA 1211 .....,

CD AnA

AB CD

AB

CD

121 ,,....,, nn PPPP 1nP

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Puesto que , , entonces lo que se ha hecho es recubrir el

segmento utilizando un segmento unidad (Ver Figura 67). Puede ocurrir que coincida

con B. Aquí el segmento unidad está en exactamente n veces. (Ver Figura 72).

Figura 72

Entonces definimos la longitud del segmento como el número real n y terminamos el

proceso de medición. Pero puede ocurrir que no coincida con B. En dicho caso B estará

entre y y por tanto la longitud del segmento está comprendido entre n y n + 1.

(Ver Figura 73).

Figura 73.

Si la longitud del segmento es a, entonces n < a< n + 1. Ahora bien, podernos seguir el proceso

de subdivisiones para aproximarnos cada vez más a la medida de . Sí es el punto medio

de (sabemos que todo segmento tiene punto medio), puede ocurrir que:

1. coincida con B.

2. esté entre y B.

3. esté entre B y .

Los tres casos se ilustran en la Figura 74.

CDAP 1 CDPPCDPP nn 121 ,....,

ABnP

AB

AB

nP

nP 1nP AB

AB 1q

1nnPP

1q

1qnP

1q1nPMate

rial e

duca

tivo

Uso no

comerc

ial


Figura 74.

En el primer caso y termina el proceso de medición.

En el segundo caso . No termina el proceso de medición.

En el tercer caso . No termina el proceso de medición.

Para los casos 2 y 3 se puede continuar el proceso tomando los puntos medios de o

según donde se encuentre B. Puede ocurrir que B coincida con uno de estos puntos

medios y en este caso ó bien . En caso contrario, el proceso

continúa.

Mediante este proceso se obtiene, en cada paso, un valor más próximo a la longitud de y

eventualmente puede obtenerse en un numero finito de pasos el valor exacto de dicha

longitud. Es posible demostrar que cuando el proceso se extiende indefinidamente, se obtiene

el valor exacto de la longitud de .

El proceso que se ha descrito anteriormente se llama de MEDICIÓN y el número encontrado es

la medida del segmento o la longitud de que denotamos por: o AB.

Dicho proceso lo podemos precisar con la siguiente definición

21 na

12

1 nan

21 nan

11 nPq

1qPn

4

1

2

1 na

4

1 na

AB

AB

AB AB ABm

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


4.2 MEDICIÓN DE SEGMENTOS.

Definición 24.

La medida de segmentos es una función que asigna a cada segmento un número real no

negativo, tal que:

1. para un segmento no nulo, fijado arbitrariamente, (𝐶𝐷 es llamado

segmento unitario).

2. si y solo sí (dos segmentos son congruentes sii

tienen la misma medida).

3. Si B está entre A y C entonces: .

Figura 75.

4. sii A coincide con B.

CD 1CDm

11BAmABm 11BAAB

BCmABmACm

0ABm

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


4.3 MEDIDA DE ÁNGULOS.

En forma análoga a lo dicho para la medida de segmentos, existe un proceso para la medición

de ángulos.

Denotaremos la medida del ángulo por .

Definición 25.

La medida de ángulos es una función que asigna a cada ángulo un número real no negativo

tal que:

1. Para un ángulo , no nulo, fijado arbitrariamente, ( es

llamado ángulo unitario).

2. sii .

3. Si y son ángulos adyacentes, entonces: .

4. 𝑚𝐴��𝐶 = 0 𝑠𝑖𝑖 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶

Figura 76.

Es posible demostrar que dado un número real positivo se puede construir un segmento

cuya longitud sea . La demostración de este resultado requiere la utilización del Axioma de

Cantor.

Según el teorema 18, todos los ángulos rectos son congruentes y por lo tanto, utilizando la

propiedad 2, tienen la misma medida. Podemos, entonces, emplear como unidad de medida

CBA ˆ CBmA ˆ

RQP ˆ 1ˆ RQmP RQP ˆ

111ˆˆ CBmACBmA 111

ˆˆ CBACBA

CAB ˆ DCA ˆ DAmBDAmCCAmB ˆˆˆ

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


angular una noventava parte del ángulo recto . Dicha unidad de medida la llamaremos

grado sexagesimal y lo notamos 1º.

Con esta unidad de medida, cualquier ángulo tiene una medida entre 0 y 180 grados.

La medida del ángulo nulo será 0 y la del ángulo llano será de 180. Análogamente como en

segmentos, es posible demostrar que dado un número real entre 0 y 180, se puede

construir un ángulo cuya medida sea .

Observaciones.

1. En cada segmento existen puntos que lo dividen en n segmentos congruentes.

2. En cada ángulo, por su vértice, pasan semirrectas que lo dividen en n ángulos

congruentes.

3. Si entonces .

4. Si entonces .

5. Los puntos medios de segmentos congruentes determinan segmentos

congruentes.

6. Las bisectrices de ángulos congruentes determinan ángulos congruentes.

7. La medida de un par lineal es constante e igual a la medida de un ángulo llano.

Definición 26. Segunda clasificación angular. Criterio: La medida de ángulos.

Si 0° < 𝑚(𝐴) < 90°, entonces es agudo.

Si 90° < 𝑚(𝐴) < 180°, entonces es obtuso.

Dados los ángulos y :

1. Si , diremos que el ángulo es suplemento del ángulo o que

y son suplementarios.

2. Si , diremos que los ángulos y son complementarios.

90

1

CDAB CDmABm

111ˆˆ CBACBA

111ˆˆ CBmACBmA

A

A

A B

º180ˆˆ BmAm A B

A B

º90ˆˆ BmAm A B

TEOREMA 24.

a. Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.

b. Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Demostración.

a. Sean y ángulos respectivamente suplementarios a los ángulos y y tales

que .

Por hipótesis: (1)

(2)

(3)

De (1), (2) y (3) se sigue que: y de aquí se concluye que .

La parte b. de este teorema se hace en forma análoga a la a.

Observación.

1. También usaremos para la medida de un ángulo letras griegas como , , ,

,etc.

2. Abusando de la notación, y entendiendo por el contexto lo que se quiere decir,

usaremos indistintamente el ángulo o su medida.

A B D E

ED ˆˆ

º180ˆˆ BmAm

º180ˆˆ EmBm

EmDm ˆˆ

BmAm ˆˆ BA ˆˆ

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


4.4 EJERCICIOS PROPUESTOS

Temas: Medida de segmentos.

Medida de ángulos.

1. Sean: A, B, C puntos distintos; señale cuáles de las siguientes proposiciones son

verdaderas y cuáles son falsas.

1.1 .

1.2 Si entonces A es punto medio de .

1.3 Si A es un punto medio de entonces .

1.4 Si entonces B está entre A y C.

1.5 Si B está entre A y C entonces .

1.6 Asumiendo que A, B, C son colineales:

a. Si entonces C está entre A y B.

b. Si entonces B está entre A y C.

c. Si B está entre A y C entonces .

d. Si entonces A es un punto medio de .

2. En la figura O, A y B son colineales, X es punto medio de . Demuestre que:

2.1 Si entonces .

2.2 Si entonces .

3. En la figura O, A, B, C son colineales, demostrar:

Si entonces .

ACBCAB

ACAB BC

BC ACAB

ABAC

ABAC

ACAB

ABBCAC

ABACBC

ABAC BC

AB

ABO OBOAOX 2

1

ABO OBOAOX 2

1

CBAC2

1

3

2 OBOAOC

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


4. En la figura A, B, C, D son colineales, O es punto medio de y de .

Demostrar que y que .

5. En la figura los puntos A, B, C, D son colineales. Los puntos M y N son puntos medios de

y respectivamente.

Demostrar que:

.

6. Si ángulos suplementarios miden y , determinar el valor de x.

Determine el valor de x si la medida se expresa en grados sexagesimales.

7. En la figura las semirrectas , , y determinan ángulos adyacentes

tales que .

Si 𝑂𝑋 es la bisectriz de , demostrar que y que es bisectriz de

.

8. Sean: y suplementarios, bisectriz de , ; si

y son complementarios y ; calcular: , .

AD BC

CDAB BDAC

AB CD

BDACMN 2

1

202x 503x

OA OB OC OD

DOBCOA ˆˆ

DOA ˆ DOCBOA ˆˆ OX

COB ˆ

COA ˆ BOC ˆ OM COA ˆ BOCIntOH ˆ

COM ˆ COH ˆ 20ˆHOBm COAm ˆ BOCm ˆ

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


9. Sean , y con , tales que y . Si

es la bisectriz de , demostrar que: .

10. Sean: O un punto entre X y Y; y en un mismo semiplano respecto de . La

bisectriz de es perpendicular a y las bisectrices de y forman un

ángulo de medida 100°. Calcular: , y .

11. Las semirrectas , , y forman ángulos adyacentes consecutivos, con

vértice O, tales que y . Calcular:

, , .

12. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos suplementarios son perpendiculares.

13. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas

opuestas.

14. Demostrar que el ángulo formado por la bisectriz de un ángulo no nulo y no llano y

una semirrecta cualquiera exterior al ángulo y con origen en el mismo vértice, tiene

por medida la semisuma de las medidas de los ángulos que forma la semirrecta con

cada uno de los lados del ángulo inicial.

OA OB OX BOAIntOX ˆ AOXm ˆ BOXm ˆ OC

BOA ˆ 2

ˆ COXm

OA OB XY

BOA ˆ XY AOX ˆ YOB ˆ

AOXm ˆ BOAm ˆ YOBm ˆ

OA OB OC OD

BOAmBOCmAODm ˆ2ˆˆ BOAmDOCm ˆ3ˆ

BOAm ˆ AODm ˆ DOCm ˆ

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


4.5 EJERCICIOS RESUELTOS

Ilustración N° 1

En la figura los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷son colineales. Los puntos 𝑀 y 𝑁son los puntos medios de 𝐴𝐵

y 𝐶𝐷 respectivamente.

Demuestre que: 𝑀𝑁 =1

2(𝐴𝐶 + 𝐵𝐷)

Demostración

1. 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵; propiedad de la medida respecto al punto medio𝑀.

2. 𝐶𝑁 = 𝑁𝐷; propiedad de la medida respecto al punto medio 𝑁.

3. 𝑀𝑁 = 𝑀𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝑁; propiedad de la medida (postulado de adición).

4. 𝑀𝐵 =1

2𝐴𝐵; de 1.

5. 𝐶𝑁 =1

2𝐶𝐷; de 2.

6. 𝑀𝑁 =1

2𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 +

1

2𝐶𝐷; sustitución de 4 y 5 en 3.

7. 𝐵𝐶 =1

2𝐵𝐶 +

1

2𝐵𝐶; propiedad algebraica.

8. 𝑀𝑁 =1

2𝐴𝐵 +

1

2𝐵𝐶 +

1

2𝐵𝐶 +

1

2𝐶𝐷; sustitución 7 en 6.

9. 𝑀𝑁 =1

2(𝐴𝐵 + 𝐵𝐶) +

1

2(𝐵𝐶 + 𝐶𝐷) ; propiedad asociativa y distributiva

respectivamente.

10. 𝑀𝑁 =1

2(𝐴𝐶) +

1

2(𝐵𝐷); propiedad de la medida (postulado de adición).

11. 𝑀𝑁 =1

2(𝐴𝐶 + 𝐵𝐷); factorización en 10 (ley distributiva).

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Ilustración N° 2

Sean: 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 y 𝑂𝑋 con𝑂𝑋 Int ; tales que𝑚 = 𝛼 y 𝑚 = 𝛽. Si 𝑂𝐶 es la

bisectriz de , demuestre que: 𝑚 = |𝛼−𝛽

2|.

Demostración

Presentemos la siguiente gráfica que de razón de las condiciones señaladas en el problema.

1. ≅ ; de las hipótesis

definición de bisectriz.

2. 𝑚 = 𝛼 - 𝑚 ;

propiedad de la medida.

3. 𝑚 = 𝑚 − 𝛽 ;

propiedad de la medida.

4. 2𝑚 = 𝛼 - 𝑚 +

𝑚 − 𝛽; suma de 2 y 3 miembro a miembro.

5. 2𝑚 = 𝛼 − 𝛽; sustitución de 1 por propiedad de la medida en 3.

6. 𝑚 =𝛼−𝛽

2; despejando en 5.

Observación:

Como se desprende de la figura, en este caso𝛼 > 𝛽 lo que se traduce finalmente en el

análisis en cuanto𝛼 − 𝛽 > 0 puesto que la medida del ángulo no puede ser un número

negativo.

Si se considera la otra posibilidad en la figura esto es 𝛽 > 0; el resultado, siguiendo el

mismo procedimiento, nos conduce a que𝑚 =𝛽−𝛼

2. En consecuencia, el

resultado corresponde a la disyunción: 𝑚 =𝛼−𝛽

2 ó𝑚 =

𝛽−𝛼

2.

)(AOB

)(XOA

)(XOB

AOB

)(XOC

AOC

COB

)(COX

)(AOC

)(COX

)(COB

)(COX

)(AOC

)(COB

)(XOC

)(XOC

)(XOC

)(XOC

)(XOC

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Este resultado puede simplificarse teniendo en cuenta la propiedad del valor absoluto que

establece: |𝛼 − 𝛽| = |𝛼 + 𝛽|; por tanto en la condición del problema propuesto tenemos:

𝑚 = |𝛼−𝛽

2|.

Ilustración N° 3

Demuestre que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas

opuestas.

i. y opuestos

por el vértice.

ii. 𝑂𝑀 bisectriz de

iii. 𝑂𝑁 bisectriz de

Tesis:𝑂𝑀 y 𝑂𝑁 son opuestas.

Nota:

Una forma de probar la tesis consiste en demostrar que es llano ¿por qué? Dirigiremos

en ese sentido la prueba.

Demostración

1. ≅ ; de i. teorema, propiedad de los ángulos opuestos por el vértice.

2. 𝛼 = 𝛼′ y 𝛽 = 𝛽′; de ii. y iii. definición bisectriz de un ángulo.

3. 𝛼 = 𝛼′ = 𝛽 = 𝛽′; de 1 y 2 consecuencia de la medida en ángulos.

4. 𝑚 = 𝛽 + 𝑚 + 𝛼; suma medidas angulares.

5. 𝑂 está entre 𝐶 y 𝐵; de i. definición ángulos opuestos por el vértice.

6. es llano; de 5 definición ángulo llano.

7. 𝑚 = 180°; de 6 consecuencia de la medida angular.

8. 𝑚 = 𝑚 + 𝛼 + 𝛼′; suma medidas angulares.

)(XOC

AOB

COD

AOB

COD

NOM

AOB

COD

)(NOM

)(COA

COB

)(COB

)(COB

)(COA

Hipótesis

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Hipótesis

Hipótesis

9. 𝑚 = 𝑚 + 𝛼 + 𝛽; sustitución de 3 en 8.

10. 𝑚 = 𝑚 ; transitividad 4 y 9.

11. 𝑚 = 180°; transitividad 7 y 10.

12. es llano; de 11, propiedad de la medida.

13. 𝑂𝑀 y 𝑂𝑁 son opuestas; de 12 definición ángulo llano.

Ilustración N°4

Sean A-B-C-D tales que 2𝐵𝐶 = 3𝐶𝐷. Expresar a 𝐴𝐶 en términos de 𝐴𝐵 y 𝐴𝐷 únicamente.

i. A-B-C-D

ii. 2𝐵𝐶 = 3𝐶𝐷

Tesis: Hallar 𝐴𝐶 = 𝑓( AB, 𝐴𝐷)

Demostración.

1. 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 ; de A-B-C-D: Postulado de la adición de medida de segmentos.

2. 𝐴𝐶 = AB +3

2 𝐶𝐷; de la hip: 2𝐵𝐶 = 3𝐶𝐷 y se sustituye en 1.

3. 𝐴𝐶 = AB +3

2 (𝐴𝐷 − 𝐴𝐶); por propiedad de la medida, en la gráfica: 𝐴𝐷 = AC + 𝐶𝐷.

4. 𝐴𝐶 = AB +3

2 𝐴𝐷 −

3

2𝐴𝐶 ; propiedad de los reales.

5. 𝐴𝐶 +3

2𝐴𝐶 =

2𝐴𝐵+3 𝐴𝐷

2; razón de 4.

6. 𝐴𝐶 = 2𝐴𝐵+3 𝐴𝐷

5; de 5. Propiedad de reales.

)(COB

)(COA

)(COB

)(NOM

)(NOM

NOM

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial

capÍtulo 4. axiomas de...

Documents