pliquemos los conceptos de espacio, punto, recta y plano

Tras conocer las ideas geométricas, las relacionaremos, para determinar aspectos

que son muy importantes de analizar.

Puntos y rectas

a) Vamos a determinar un punto del espacio. ¿Cuántas rectas pueden pasar por él?

o ¿a cuántas rectas pertenece ese punto?

Como las rectas no tienen grosor, obtenemos un dato fundamental de la

geometría: "por un punto del espacio pasan infinitas rectas".

Determinemos un punto del plano y dibujemos rectas que pasen por él.

Recordemos que la línea que hacemos es una representación, porque la recta no

tiene grosor. Hemos obtenido este dibujo:

La conclusión es la misma: "Por un punto del plano pasan infinitas rectas".

b) Ahora elegiremos dos puntos del espacio. ¿Cuántas rectas unen a esos dos

puntos? Recordemos que ni puntos ni rectas tienen grosor.

Conclusión:

"Dos puntos del espacio determinan una sola recta".

Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del plano determinan una sola recta".

c) Veamos qué pasa con puntos que pertenecen a una recta del espacio o del

plano.

Observa este ejemplo:

Un punto que pertenece a una recta forma subconjuntos en ella. Si el punto

elegido, llamadoorigen, queda como frontera de los subconjuntos, es decir que C

no pertenece a ninguno de ellos, estamos diciendo que se obtienen

dos semirrectas que simbolizamos así:

En nuestro ejemplo quedan   y  .

Ahora, otro ejemplo:

Si el punto elegido, origen, es tomado en cuenta para ambos subconjuntos, es

decir que pertenece a ambos, es común, hablaremos de dos rayos. Su símbolo

es  , en el dibujo serían   y   (por eso denominamos rayos a los del Sol,

sabemos que el origen es el astro, pero no donde termina su luz).

Las semirrectas y los rayos son infinitos hacia un extremo (el que lleva flecha); el

otro extremo está limitado por un punto. Si en una recta determinamos dos

puntos, se forma un subconjunto muy importante: el trazo, llamado

también segmento.

Por ejemplo:

El trazo se identifica con el símbolo  . En nuestro caso se formó  . El trazo es

el único elemento lineal que se puede medir, porque no es infinito, está limitado en

sus dos extremos.

En resumen, de una recta ubicada en el espacio o en el plano, hemos obtenido tres

clases de subconjuntos: semirrectas, rayos y trazos.

lano, puntos y rectas: socios inseparables

Existen relaciones entre el plano, los puntos y las rectas que pueden llegar a

producir interesantes resultados, cuyo análisis nos permite explicarnos varios

aspectos de la realidad.

Plano con puntos y rectas

Estudiemos tres casos:

a) ¿Sabes cuál es la mesa que nunca queda coja? La que tiene tres patas, porque

con "tres puntos del espacio se puede determinar un plano".

b) ¿Qué pasa con el plano y el espacio? El plano queda como frontera de

dos semiespacios.

c) ¿Qué determina una recta en un plano? Forma dos subconjuntos

llamados semiplanos.

Dos rectas

En este caso, comparemos lo que sucede en el espacio y en el plano. Analicemos

distintas situaciones.

a) Si tienen un punto común: quiere decir que su intersección, tanto en el plano

como en el espacio, es un punto. A estas rectas se las llama "secantes":

Hay un caso especial de estas rectas cuando, al intersectarse, forman ángulos

rectos. Aquí nos encontramos con rectas secantes perpendiculares.

Observa este ejemplo:

El símbolo de perpendicular es  . En nuestro ejemplo:

Esto lo puedes apreciar en lo que sucede con las líneas verticales y horizontales de

una hoja cuadriculada.

b) Si dos rectas no cuentan con puntos comunes y tienen la misma dirección, ya

sea en el espacio o en el plano, estamos hablando de rectas paralelas. Símbolo 

.

Por ejemplo:

En la vida cotidiana, puedes apreciar este principio geométrico en el tendido de los

cables que llevan electricidad, las líneas del cuaderno de composición, etcétera.

c) Rectas sin puntos comunes: también se da el caso de rectas que se cruzan, pero

solamente en el espacio. No se pueden dibujar, pero sí imaginar. Pensemos en una

recta que va de norte a sur cerca del techo y otra que está cerca del suelo, pero

con sentido este a oeste; esas rectas se cruzan.

Estas tres relaciones que se dan entre dos rectas ocurren también entre dos

planos, dos rayos, dos semirrectas o dos trazos, y entre la mezcla de estos

elementos; por ejemplo, un plano y un rayo, un rayo y una semirrecta, etcétera.

Sólo cambian algunos detalles.

Si dos planos son secantes, es decir que tienen intersección, esa intersección no es

un punto, es una recta. Observa con atención:

Todas estas ideas geométricas y sus relaciones son la base que ha utilizado el

hombre para desarrollar la ciencia y la tecnología.

Él ha construido sus viviendas, monumentos y obras de arte, teniendo presente

estos conceptos.

Sólo podemos decir: ¡qué maravillosa es la capacidad de la inteligencia humana!

¡Qué distinto sería nuestro espacio terrestre si todos lo usáramos para construir un

mundo mejor, teniendo como intersección de nuestros actos los planos del respeto,

la solidaridad y la paz!