LA GEOMETRÍA

La Geometría. Su origen.

La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un

cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y

volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de

Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides en el siglo III a. C. configuró la

geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir

durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en “los elementos”. El

estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de

estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de

resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes

desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa,

donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser

representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría

se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos

que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la

geometría diferencial.

La geometría elemental se divide en dos partes; geometría plana (estudia las

figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho) y

geometría del espacio (estudia las propiedades de los cuerpos geométricos

provistos de largo, ancho y altura o profundidad). Al respecto, existen una gran

variedad de definiciones, las cuales entre sí presentan elementos semejantes. A

continuación encontrarás algunas de ellas:

Es la rama que estudia las propiedades de superficies y

figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte

de la geometría también se conoce como geometría

euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el

primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso

tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto

autorizado de geometría hasta la aparición de las

llamadas Geometría no euclideas en el siglo XIX.

La Geometría Plana.

La geometría plana estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos

dimensiones: largo y ancho. Sin embargo, para comprender este tipo de

geometría de manera más clara, es importante conocer loe elementos referidos al

punto, la recta, el ángulo, las figuras geométricas, el plano y los segmentos; sus

axiomas, postulados y teoremas.

Axiomas del la Geometría Plana.

Primer axioma. Existen unas "cosas" que se llaman puntos.

Segundo axioma. Los puntos se agrupan dando lugar a rectas y planos. Las

rectas son conjuntos de puntos ilimitados de una sola dimensión, en tanto que

los planos tienen dos dimensiones, ilimitadas ambas. En las representaciones

que realizamos tenemos que hacerlos limitados necesariamente.

Tercer axioma. Dos puntos determinan una recta y solamente una a la que

pertenecen.

Cuarto axioma. Un plano queda determinado por tres puntos no alineados. De

este axioma se puede deducir directamente que un plano está determinado:

a) Por una recta y un punto exterior a la misma,

b) por dos rectas que se cortan, y

c) por dos rectas paralelas.

Quinto axioma. Toda recta, dos de cuyos puntos pertenezcan al plano, está

toda ella incluida en él. De este postulado deducimos que una recta con

relación al plano puede ocupar varias posiciones:

a) Que la recta no tenga ningún punto común con el plano. En este caso

decimos que la recta y el plano son paralelos,

b) que la recta tenga un solo punto común con el plano, en este caso, la

recta corta al plano, y

c) que la recta tenga dos puntos en común con el plano y por lo tanto está

contenida en él.

d) Si dos rectas están en el mismo plano se dice que son coplanarias.

e) Si dos rectas no están en el mismo plano se dice entonces que se

cruzan.

Sexto axioma. Todo plano divide al espacio en dos regiones llamadas

semiespacios de tal forma que:

a) Todo punto que no pertenece al plano está en uno solo de los

semiespacios,

b) dos puntos del mismo semiespacio pueden ser unidos por una línea sin

cortar el plano, y

c) dos puntos de distinto semiespacio no pueden ser unidos por una línea

sin cortar el plano.

Postulados de la Geometría Plana.

Euclides planteó cinco postulados en la geometría plana, a saber:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.

2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier

sentido.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de

cualquier radio.

4. Todos los ángulos rectos son congruentes.

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la

recta dada.

El punto, la recta y el plano

La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin

definirlos y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado

por todos los puntos.

El punto: es el elemento base de la geometría, porque con él

determinamos las rectas y los planos. Se representa con una

pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta

mayúscula.

La recta: es una sucesión ininterrumpida de puntos, dos puntos

determinan una recta, tienen una dimensión, la longitud. Se

representa con una porción de la misma y se la designa con

una letra de imprenta minúscula.

El plano: se representa con una porción del mismo y se lo

designa con una letra griega.

Estos conceptos están relacionados a través de las relaciones de pertenencia e

inclusión:

Los puntos pertenecen a las rectas y los planos.

Las rectas están incluidas en los planos.

La Recta.

Características de la recta

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.

La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta.

La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de

dos planos.

Tipos de rectas:

Recta: se caracteriza por que los puntos que la forman están en la misma

dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.

Semirrecta: Es línea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un

sentido y no se puede medir.

Segmento: es una línea recta que tiene principio y fin, se puede medir.

Poligonal: está formada por varias porciones de rectas que están unas a

continuación de otras, pero no están alineadas, puede ser abierta (cuando

ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el

ultimo). La línea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama

polígono.

Curva: está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser

curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se

unen) y curva mixta (formada por líneas rectas y curvas unidas). Se

clasifica en: a) Circunferencia es una curva regular cerrada, cuyos puntos

están todos a la misma distancia de otro llamado centro, b) Elipse, es una

curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la

distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su

interior es siempre igual, c) Espiral es una curva regular abierta que gira

sobre si misma, y d) Parábola es una curva regular abierta, cada uno de

sus puntos está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado foco

y de una recta llamada directriz.

Posiciones de las rectas:

Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común.

Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en común

Dos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro

ángulos rectos

Posición de las rectas en el espacio:

Horizontal

Vertical

Inclinada

Ecuación de la recta.

En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la

ecuación: , a partir de la cual se puede obtener la ecuación de

la recta (ecuación punto-pendiente):

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se

conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos (X1;Y1), o cuando

se conocen sólo las coordenadas de los dos puntos ((X1;Y1), (X2;Y2)), por lo que

también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a

Jean Bastiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de

abscisas X. Así pues, la ecuación de la recta que pasa por el punto

y tiene la pendiente dada m es: .

Por ejemplo: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y

que tiene una pendiente de − 1 / 3?. Para dar respuesta a esta interrogante,

iniciamos sustituyendo los datos del ejercicio en la ecuación de la recta:

Les invito a buscar ejercicios referentes a la recta para que adquieran la

habilidad de determinar la ecuación de la recta y/o su pendiente.

El segmento. Definición. Operaciones

Un segmento, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.

Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la

semirecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que

contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del

segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén),

serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

Tipos de segmentos:

Segmento nulo: cuando sus extremos coinciden.

Segmentos consecutivos: cuando tienen un extremo en común.

Segmentos alineados o adyacentes: están alineados cuando

pertenecen a la misma recta.

Operaciones con segmentos:

Suma: es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer

segmento y como final el final del segundo segmento. La

longitud del segmento suma es igual a la suma de las

longitudes de los dos segmentos que lo forman.

.

Resta o Diferencia: es otro segmento que tiene por origen el

final del segmento menor y por final el final del segmento

mayor. La longitud del segmento diferencia es igual a la resta

de las longitudes de los dos segmentos.

Producto de un número por un segmento: es otro segmento

resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el

número por el que se multiplica. La longitud del segmento

obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial.

División de un segmento por un número: es otro segmento

tal que multiplicado por ese número da como resultado el

segmento original. La longitud del segmento obtenido es igual la

longitud del segmento inicial divido por el número.

El ángulo.

Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el

origen común. Está formado por:

a) Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas,

b) Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas, y

c) Amplitud: es la abertura que hay entre los lados. Los ángulos se miden

mediante el uso del transportador de ángulos.

d) Bisectriz de un Ángulo: es la semirrecta, que pasando por el vértice,

divide el ángulo en otros dos ángulos iguales.

Clasificación de los Ángulos:

Ángulo recto: su amplitud es de 90º.

Ángulo llano: su amplitud es de 180º.

Ángulo agudo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 90º.

Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que 90º y menor que 180º.

Ángulo cóncavo: su amplitud es mayor que 180º.

Ángulo completo: su amplitud es de 360º.

Ángulo nulo: su amplitud es 0º.

Ángulo convexo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 180º.

Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la

suma de sus amplitudes es de 90º.

Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la

suma de sus amplitudes es de 180º.

Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son

consecutivos y suplementarios a la vez.

Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el

vértice y un lado común.

El triángulo.

El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el

polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades nos

ayudará a analizar los polígonos de más lados.

Es decir:

Según sus lados: Equilátero: tres lados iguales, Isósceles: dos lados iguales y el

tercero con otra medida, y Escaleno: tres lados con distinta medida.

Según sus ángulos: Rectángulo: un ángulo recto, Acutángulo: tres ángulos

agudos, y Obtusángulo: un ángulo obtuso

Triángulo equilátero isósceles escaleno

acutángulo

rectángulo

obtusángulo

Los Polígonos.

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por segmentos rectos (o

curvos) consecutivos no alineados, llamados lados. También se puede definir

como una figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se

corta a sí misma.

Los polígonos son figuras formadas por varias líneas a las que llamamos lados.

Para que una figura formada por líneas se considere un polígono es indispensable

que estas líneas formen una figura cerrada. Por ejemplo, dos líneas que se cruzan

no pueden formar un polígono porque no encierran un área, por eso el polígono

con el menor número de lados es el triángulo.

Elementos de un polígono:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

Vértice, V: es el punto de unión de dos lados consecutivos.

Diagonal, D: es el segmento que une dos vértices no contiguos.

Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

Ángulo Interior, AI: es el formado por los lados consecutivos; este se

determina restando de 180º el ángulo central.

Ángulo Central y Ángulo Exterior, AC y AE: es el formado por los

segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este

se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono, y el

ángulo externo es el formado por un lado y la prolongación de un lado

consecutivo o podemos aplicar 180º - ángulo interno.

En un polígono regular podemos distinguir, además:

Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.

Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un

lado; es perpendicular a dicho lado.

Diagonales Totales, , donde es el número de lados del

polígono.

Los Cuadriláteros.

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. En estos

tipos de polígonos se puede observar que dos de sus lados son opuestos (no

tienen ningún vértice en común) y los otros lados son consecutivos (tienen un

vértice en común). Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos

ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales.

Elementos de los cuadriláteros.

4 vértices: referidos a los puntos de intersección de los segmentos que

conforman el cuadrilátero;

4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos;

2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos;

4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común;

4 ángulos exteriores: conformados por un lado, un vértice y la prolongación

del lado adyacente.

Clasificación de los cuadriláteros.

1. Paralelogramas, cuadrilátero en el que todos sus lados enfrentados son

paralelos; es decir, sus lados son paralelos dos a dos. Se clasifican en:

Cuadrado: tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos son rectos.

Rectángulo: tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos

Rombo: tiene los cuatro lados iguales

Romboide: tiene lados iguales dos a dos.

2. Trapecios: cuadrilátero en que dos de sus lados son paralelos, llamados

base mayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio rectángulo: tiene un ángulo recto.

Trapecio isósceles: tiene dos lados no paralelos iguales.

.

Trapecio escaleno: no tiene ningún lado igual ni ángulo recto.

3. Trapezoide, no tiene lados paralelos ni iguales.

Trapezoide simétrico: posee dos pares de lados iguales pero no

paralelos.

Trapezoide asimétrico: cuatro lados desiguales.

Propiedades de los Paralelogramas.

Tienen iguales sus lados opuestos.

Tienen iguales sus ángulos opuestos.

Dos ángulos consecutivos son suplementarios.

Las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales.

La Circunferencia y el círculo.

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual

es: conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistante de otro punto

fijo llamado centro. El término EQUIDISTANTE significa que todos los puntos

están a la misma distancia.

Elementos de la Circunferencia.

Centro, es el punto interior equidistante de todos los puntos de la

circunferencia;

Radio, es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la

circunferencia;

Diámetro, es el segmento mayor que une dos puntos de la circunferencia,

y que necesariamente pasa por el centro;

Cuerda, es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las

cuerdas de longitud máxima son los diámetros;

Recta Secante, es el segmento que corta a la circunferencia en dos

puntos;

Recta Tangente, es el segmento que toca a la circunferencia en un sólo

punto;

Punto de tangencia, es el de contacto de la recta tangente con la

circunferencia;

Arco, es el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la

circunferencia;

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los

extremos de un diámetro.

Posiciones de una recta y una circunferencia.

La circunferencia y la recta: Una recta, respecto de una circunferencia, puede

ser:

Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del

centro a la recta es mayor que la longitud del radio.

Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del

centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una

circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con

el centro.

Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos

distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

Posiciones de dos circunferencias.

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:

Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus

centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o

distinto radio.

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás

puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus

centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o

distinto radio.

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus

centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o

distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de

dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo

entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás

puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia

que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus

radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

El círculo es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos

en una la circunferencia.

Elementos del círculo.

Arco: una línea curva que es una parte de la circunferencia de un círculo.

Cuerda: un segmento de línea que está en contacto con dos puntos del

círculo.

La circunferencia: la distancia alrededor de un círculo.

El diámetro: la distancia más larga desde un cabo de un círculo hacía el

otro.

El origen: el centro del círculo.

El radio: la distancia desde el centro de un círculo hacía cualquier punto en

él.

Sector: es como una rebanada de pastel (una cuña de círculo).

Tangente de un círculo: una línea, perpendicular al radio, que toca en

solamente un punto al círculo.