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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
11.6 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas: Función área.
1. Señale para cada enunciado si es verdadero o es falso, justificando su determinación.
1.1. El área de un polígono simple siempre es un número entero y positivo.
1.2. El área de un polígono simple puede ser un número real cualquiera.
1.3. Con relación a los polígonos señalados en las figuras siguientes:
1.3.1 A(A1A2A3A4A5A6)= A(ΔA1A2A3) + A(ΔA1A3A5) + A(ΔA1A5A6) +
A(ΔA3A4A5)
1.3.2 A(B1B2B3B4B5B6)= A(ΔB1SB6) + A(ΔB6B5T) + A(ΔB1B2S) +
A(B2STKWB4B3) + A(B4B5KW)
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1.3.3. A(C1C2C3C4C5C6)= A(ΔC3C4C5) + A(ΔC3C5C6) + A(ΔC2C3C6) +
A(ΔC1C2C3)
1.3.4 A(D1D2D3D4D5D6D7)= A(D1D2D3D4) + A(ΔD1D4D7) + A(ΔD6D7F) +
A(D4D5D6S)
1.4 Si dos polígonos son semejantes, entonces, son equivalentes.
1.5 Si dos polígonos son congruentes, entonces, son equivalentes.
1.6 Si dos polígonos son equivalentes, entonces, son congruentes.
1.7 El área de un rectángulo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera
por la distancia al lado opuesto.
1.8 El área de un rombo es igual al producto de la medida de un lado cualquiera por
la distancia al lado opuesto.
1.9 El área de un paralelogramo es igual al producto de la medida de un lado
cualquiera por la distancia al lado opuesto.
1.10 Un polígono convexo de 15 lados es equivalente a un polígono convexo de 8
lados.
2 Para cada uno de los polígonos siguientes, determine un cuadrado equivalente.
3 Calcule el área para cada uno de los polígonos siguientes.
3.1. ΔABC rectángulo,
ABCrecto,
BH altura.
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3.2. ABCD rombo, 7.1),( DCOd
3.3. ABCDE representa un terreno, las
longitudes de los lados están en metros, calcule
el área del terreno.
Sugerencia: Particione el polígono en
triángulos, utilice ley de cosenos y de senos.
4 Calcule el área sombreada en cada una de las figuras
siguientes, teniendo en cuenta las hipótesis
respectivas.
4.1. El ΔABC es equilátero, inscrito en C(0, r), AH
altura. Calcule el área sombreada en términos del radio r.
Sugerencia: Tenga presente las propiedades de los
segmentos notables en el triángulo isósceles.
4.2. Las tres circunferencias son congruentes
de radio r y tangentes entre sí. Calcule
el área sombreada en términos de r.
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4.3. ABCD es un cuadrado de lado . Con
centros en cada vértice y radio igual a
la mitad de la diagonal, se trazan al
interior del cuadrado los arcos:
21OPP ,
43OPP
65OPP
87OPP . Calcule el área
sombreada en términos del lado .
Sugerencia: Calcule inicialmente el área
de un aspa de la cruz.
4.4. En la figura ΔPQT es equilátero,
C (0,r) está inscrita en este triángulo, AB
cuerda diametral, SMQTAB //// ; AK y
WB tangentes a C(0, r); S entre A y K, M
entre B y W. SMWK cuadrado, O’ punto de
intersección de las diagonales de este
cuadrado,
GFL semicircunferencia inscrita
en SMLG.
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Calcule el área sombreada en términos de r.
4.5. ABCD es un cuadrado de lado . Los arcos
se han construido en la forma descrita en el
literal 4.3. Calcule el área sombreada en
términos de .
5 En el paralelogramo ABCD de la figura M es el
punto medio de BC y N lo es de
CD . Demuestre que ΔABM
ΔADN.
Sugerencia: Determine AC .
Compare ΔABM y
ΔACM; compare ΔADN
y ΔACN.
6 En el ΔABC de la figura O es el baricentro,
1AM , 2BM , 3CM medianas. Demuestre
que : ΔOBM1 ΔOM1C ΔOCM2
ΔOAM2 ΔOAM3 ΔOM3B
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7 Lúnulas de Hipócrates
En la figura ΔABC es rectángulo y está inscrito en la semicircunferencia de cuerda
diametral AB .
Tomando como cuerda diametral cada cateto se traza una semicircunferencia en el
exterior del triángulo. Las regiones sombreadas se denominan lúnulas.
Demuestre que la suma de las regiones sombreadas es igual al área del ΔABC.
8 En la figura ABCD es un
paralelogramo, P es un punto
cualquiera de la diagonal BD . Se
determinan PA y PC .
Demuestre que ΔAPD ΔCPD y
ΔAPB ΔCPB.
9 En el trapecio ABCD de la figura,
DCAB // ; M1 y M2 puntos medios de AD
y BC respectivamente. Demuestre que
ΔAM2D ΔBM1C.
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10 En cada uno de los numerales siguientes, calcular la razón o el incremento pedido.
10.1. Si el radio de una circunferencia se incrementa en una unidad, entonces, calcule la
razón de la longitud de la nueva circunferencia respecto al nuevo diámetro.
10.2. Si el diámetro de una circunferencia se incrementa en unidades, entonces, calcule
el incremento en la longitud de la nueva circunferencia.
10.3. Si el radio de una circunferencia se incrementa en el 100%, entonces, calcule el
incremento de la nueva área del círculo.
11 Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es igual a k2 , calcule, en función de k ,
el área del triángulo.
12 El área de un círculo es igual 64 unidades de área. Calcule el área del exágono regular
circunscrito a este círculo.
13 En la circunferencia C(0, r) de la figura, AB es
cuerda diametral, TBAT y 4
1)(
DMFm
medida del arco total de la circunferencia.
Calcule A )( ATB /A )( DOF .
14 Si se designa por L el perímetro de un triángulo
equilátero inscrito en una circunferencia, calcules el área del círculo en función de L.
15 Dados dos cuadrados cualesquiera de lados de longitudes a y b unidades
respectivamente, construya:
15.1. Un cuadrado equivalente a la suma de las áreas de los dos cuadrados.
15.2. Un cuadrado equivalente a la diferencia de las áreas de los dos cuadrados
16 Generalice el problema anterior en su literal 15.1. Sean los cuadrados de lados cuyas
longitudes corresponden a 1a ,
2a ,3a ,…,
na unidades. Construya un cuadrado equivalente a
la suma de las áreas de los n cuadrados.
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17 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que el cuadrado construido sobre la
diferencia de dos segmentos, es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre
ellos menos el doble del rectángulo construido con estos mismos segmentos.
(Demostración geométrica de una propiedad algebraica)
18 Demuestre ilustrando con una construcción precisa que la diferencia entre los cuadrados
construidos sobre dos segmentos es equivalente al rectángulo una de cuyas dimensiones
es la suma de ellos y la otra dimensión es la diferencia de los mismos. (Demostración
geométrica de una propiedad algebráica)
19 El diámetro de una toronja es de 10 centímetros y la cáscara tiene mm6 de espesor. Si se
corta un trozo de cáscara tangente a la pulpa interior, como se indica en la figura, calcule
el diámetro y la longitud de la circunferencia del trozo que se ha cortado.
20 El perímetro de un triángulo es el doble del perímetro de la circunferencia inscrita en él. Si
el área del círculo es 212m , calcule el área del triángulo. ¿Puede obtenerse una
generalización del problema planteado y concluirse un teorema?
21 En un rombo una de las diagonales mide el doble de la otra. Si el área del rombo se
designa por A en unidades de área, calcule la dimensión del lado del rombo en función de
A .
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22 En la figura ABCD es un cuadrado
de área 25 unidades de área, P un
punto arbitrario, BCP .Por A
se levanta APAT ;
QATCD . Deteminamos
QP . Si el área del ΔPAQ es igual
a 15,125 unidades de área,
calcule QD.
23 En el paralelogramo ABCD, M es el punto medio de la diagonal BD , BCK tal que
BCBK3
1 . Demuestre que (A )( BMK /A )(MKCD )= 1/5
24 El ΔABC de la figura es rectángulo, con
A
recto, M es el punto medio de BC ,
BCMK . Si 12B unidades y 2,6
unidades, calcule el área del cuadrilátero
ACMK.
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H
25. En el ΔABC de la figura, ACAP3
11 , CBAP
3
12 , BABP
3
13 ; 2AP , 1BP y 3CP se
intersectan como se indica. Demuestre que A )( STW = 7
1A )( ABC .
26 En el ΔABC de la figura los lados son tangentes a las circunferencias y estas son a su vez
tangentes entre sí r 17 y r’ 10 unidades respectivamente, calcule el área del ΔABC.
Sugerencia: 1) Pruebe que ΔABC es isósceles y en
consecuencia 𝐴𝐻 ⃡ es mediatriz de BC .
2)Determine los radios asociados a los
puntos de tangencia sobre los lados
AB y AC y considere los triángulos
semejantes.
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27 En la figura ABCDEF es regular, ABHH 21 ,
EDHH 21 y H1, O, H2 son colineales, H1H2=50
unidades.
ST es una cuerda diametral con ST =
16 unidades. Calcule el área de la figura
sombreada.
28 En la figura el círculo C(0’, r’) está contenido en el
círculo C(0, r). Si el área del círculo mayor es igual
al valor del área de la región sombreada
multiplicada por el término b
a , pruebe que r / r ‘
ba
a
.
29 Si un arco intersectado por un ángulo central de 60º en un círculo C(O1, r1) tiene la
misma longitud que un arco intersectado por un ángulo central de 45º en un círculo
C(O2, r2) , calcule la razón entre las áreas
del primer círculo al segundo.
30 En la figura AB no nulo cualquiera, se
determina la semicircunferencia de centro
en O y diámetro AB . P un punto
cualquiera, )(ABIntP . En el mismo
semiplano de la circunferencia se trazan
dos semicircunferencia de diámetros AP y
PB respectivamente. Por P se levanta el segmento perpendicular que intersecta el arco
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en K. Con centro en P se determina la circunferencia de radio PK . Demuestre que la
razón entre el área sombreada y el área del círculo de centro en P y radio PK es igual a
4
1.
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