axiomas de peano

AXIOMAS DE PEANO

Postítulo para profesores de 1º ciclo Básico

INTRODUCCIÓN

Algunas preguntas

¿Cómo se representa el resultado de un conteo?

¿Cómo representaban el resultado de un conteo en la antigüedad?

¿Qué es para usted un número?

¿Qué es un número?

Número: Expresión de la cantidad computada con relación a una unidad. Signo o conjunto de signos que representa el número. (Dic. de la Real Academia Española)

Número: Número es el resultado de la comparación entre una magnitud y la unidad

Son entes abstractos desarrollados por el hombre como modelos que permiten contar y medir. (Elon Lima)

Número: El conjunto de todos los conjuntos equivalentes a un conjunto dado. (Def matemática)

Contar

¿Qué números utilizamos para contar?

Magnitud discreta: contar, N

Magnitud continua: medir, R

Los números surgen de la necesidad humana de cuantificar de forma precisa. En la antigüedad, en diversas culturas se contaba hasta tres o cuatro, y si eran más, entonces se les asignaba la palabra muchos.

Caracterización del conjunto de los IN

Axiomas de Peano

Giuseppe Peano: un famoso matemático italiano de inicios del siglo XX, definió los naturales a partir del concepto de “sucesor” mediante cinco axiomas (tal como los definió):

1. 1 es un número.

2. El sucesor inmediato de un número también es un número.

3. 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.

4. Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato.

5. Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números. (inducción matemática)

El hecho de considerar el 0 como natural o no, es tema de controversia. Normalmente se considera que lo es según si se necesita o no.

Caracterización del conjunto de los IN

Versión actual de los axiomas de Peano:

1. 1 es un número natural. (es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío)

2. Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural. (llamado el sucesor de a)

3. 1 no es sucesor de ningún número natural. (primer elemento del conjunto)

4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.

5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

Construcción de IN a partir de los Axiomas de Peano: La secuencia numérica Empezamos por el elemento 1, luego

para escribir el siguiente elemento aplicamos el sucesor de 1 a 1, el que sigue a ese es el resultado de aplicar el sucesor del sucesor a 1,….

Como resultado obtenemos: 1,2,3,4,5,6,7,…

…o sea la secuencia numérica.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12 …

Relación de orden

a y b. a b c a + c = b

Transitividad:Si a b y b c a c, a, b y c Tricotomía:Si a y b a b ó a b ó a = b Monotonía: a, b y c . a b a + c b + c y a x c b

x c

OPERACIONES

Significado, propiedades y algoritmos sobre la secuencia numérica a partir de la noción de sucesor…

Adición en IN

Significado de la operación suma; (ej 7 + 2), Juntar, añadir...

La suma de n+p se obtiene de aplicar al número n, p veces seguidas la operación de tomar el sucesor.

7 + 2 -> el sucesor del sucesor de 7, o sea el 9 En esta idea es que se basa la técnica del “sobre

conteo” La aplicación de esta técnica requiere conocer la

secuencia numérica

+

Propiedades de la Adición en IN: Conmutativa

Esta propiedad puede ser utilizada para simplificar determinados cálculos por “sobreconteo”.

2+7 -> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

7+2 -> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

+ = +

En ambos casos obtenemos el mismo resultado.

El proceso de sobrecontar obliga a llevar dos cuentas,

por tanto cuantas menos unidades se tengan que sobrecontar más fácil es

calcular la suma. Entonces conviene escoger el

sumando mayor como número inicial y sobrecontar

tantas unidades como el sumando menor

7 + 2 = 2 +7

Esta propiedad permite la composición y descomposición de sumandos, en particular la descomposición canónica

325 = 300 + 20 + 5

y realizar adiciones de más de dos sumandos por etapas

+ +

+ + + + +

(15 + 7) (22 + 8)

15 + 7 + 8 + 12 = 22 + 8 + 12 = 30 + 12 = 42

Propiedades de la Adición en IN: Asociativa

3 + 2 + 5 = (3+2) + 5 = 3 + (2 +5) = 3 + 2 + 1 + 4

Al “traspasar” unidades de un sumando a otro la suma se conserva.

Esta propiedad, permite desarrollar estrategias de cálculo como la siguiente:

+ =

7 + 5 = 6 + 6 = 5 + 7 = 4 + 8 = 3 + 9 ...

+En general, A + B = (A-C) + (B+C)

48 + 35 = 50 + 33 = 83

2

Propiedades de la Adición en IN: Trasvasije

Al sumar dos elementos cualesquiera de N el resultado siempre pertenece a N

Esta propiedad, se puede demostrar utilizando los axiomas de Peano y la noción de suma:

122 + 57 = 179

Propiedades de la Adición en IN: Clausura

¿Cómo podemos demostrar esta propiedad usando los axiomas de Peano?

Al sumar dos elementos cualesquiera de N el resultado siempre es de N

Esta propiedad, se puede demostrar utilizando los axiomas de Peano y la noción de suma:

122 + 57 = 179

Propiedades de la Adición en IN: Clausura

Si todo n N tiene sucesor entonces n + p es de N, dado que

n + p = (((…(n+1)+1)+1)…+1), o sea el sucesor del sucesor del sucesor … del sucesor de n.

Significado de la operación resta; (ej 9 - 3), quitar

• La resta de n - p se puede definir como el resultado de aplicar al número n, p veces seguidas la operación de tomar el antecesor, o sea de descontar p unidades a n.9 - 3 -> el antecesor del antecesor del antecesor de 9.

En esta idea es que se basa la técnica del “descontar”

La aplicación de ésta técnica requiere conocer la secuencia numérica en orden descendente.

-

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 9 -3, me planto en el 9 y “descuento” tres unidades

Sustracción en IN

Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿Cuántas pelotas más tengo en una caja que en la otra?

Dos estrategias:a) Voy sacando parejas de pelotas (una pelota de cada

caja) hasta que la caja que tiene menos pelotas quede vacía.

Comparo con

Sustracción en IN

Sustracción en N

Comparo con

Problema: En una caja tengo 5 pelotas y en otra 8. ¿cuántas pelotas más tengo en una caja que en la otra?



Sustracción en N

Comparo con

O sea que es posible calcular la diferencia de pelotas entre una caja y la otra restado (quitando) a la caja que tiene más pelotas la cantidad de pelotas que tiene la otra caja. 8 – 5 = 3




Sustracción en N


Dos estrategias:b) Voy añadiendo pelotas a la caja que tiene menos,

hasta igualar la cantidad de pelotas de la caja que tiene más.

Comparo con

Sustracción en N

Comparo con




Sustracción en N

Comparo con

La cantidad de pelotas que he añadido es la diferencia, es decir 3. A esta estrategia se le llama resta por completación (5 + ? = 8) y es más sencilla que la anterior, dado que en este caso se utiliza la secuencia numérica en orden ascendente.




Sustracción en N

El problema presentado, pese a que también se resuelve con una resta, el significado de dicha resta es muy distinto al de quitar, ya que en realidad no es que las pelotas se quiten si no que se establece una comparación entre la cantidad de objetos que tienen dos colecciones, siendo el resultado la cantidad de objetos que tiene más una colección que otra.

Veamos los procedimientos anteriores sobre la secuencia numérica:

a) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... Si a 8 le quito 5 llego al 3

b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... de cinco a ocho van 3

•Dominio de validez: en N solo está definida cuando el minuendo es igual o mayor que el sustraendo. No cumple la propiedad de clausura 5 – 8 = no hay solución en N.

Esto se debe a que el 0 no tiene antecesor, entonces puedo aplicar el antecesor tantas veces como quiera hasta llegar a 0

•No Conmutativa; no es lo mismo tener 7 bolitas en una caja y quitar 5, que tener en una caja 5 bolitas y quitar 7. En el primer caso quedarán 2, mientras que en el segundo caso puedo llegar a quitar solo 5, de forma que el problema 5-7 no tiene solución. 7 - 5 5 – 7

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...?

Me faltaron sacar 2

Propiedades de la Sustracción en IN

El resultado de quitar primero 2 y luego 3, es igual que quitar 5 de golpe

Se puede descomponer el minuendo y el sustraendo asociativamente en sumandos y calcular la resta a partir de la suma de los resultados de las restas parciales entre los términos que componen el minuendo y los que componen el sustrayendo.Realizando restas parciales

=

70-20 13-9

50 + 4 = 54

83 – 29 = (70+13) – (20+9)

Propiedades de la Sustracción en IN: Asociatividad del minuendo y sustraendo

Propiedades de la Sustracción en IN: Asociatividad del minuendo y sustraendo

1002 - 898

¿Podríamos resolver esta resta sin utilizar un algoritmo convencional?

Al añadir o quitar una misma cantidad de unidades al minuendo y al sustraendo de una resta, la diferencia se conserva. A – B = (A+C) – (B+C)

85

d

8 – 5

Propiedades de la Sustracción en IN: Traslado de la diferencia

85

5

2

d

d11 8

d

==11 – 8 8 – 5 5 – 2

Al añadir o quitar una misma cantidad de unidades al minuendo y al sustraendo de una resta, la diferencia se conserva. A – B = (A+C) – (B+C)

Propiedades de la Sustracción en IN: Traslado de la diferencia

Multiplicación en IN

• n p es n veces p o sea p + p + ….+ p Esto resulta aplicar n-1 veces p veces el sucesor a p

3 4 3 veces 4 4 + 4 + 4 o sea:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15…

n veces

Tengo tres bolsas y en cada bolsa hay 2 paquetes de 5 turrones, ¿Cuántos turrones tengo en total?

Propiedades de la Multiplicación en IN

3 2 5 = 3 (2 5) = (3 2) 5

3 veces 2 veces 5 6 veces 5 = 30

3 veces 10 = 30

Tengo tres bolsas y en cada bolsa hay 2 paquetes de 5 turrones, ¿Cuántos turrones tengo en total?

Propiedades de la Multiplicación en IN: Asociatividad

4 6 = 6 4 o sea 4 veces 6 = 6 veces 4

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 + 6 + 6 + 6

Esta propiedad no es fácil de imaginar, un posible problema para verla sería;¿Cuántas baldosas se han ocupado en el piso?

Propiedades de la Multiplicación en IN: Conmutativa

4 6 = 6 4 o sea 4 veces 6 = 6 veces 4

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 + 6 + 6 + 6



6 veces 4

4 6 = 6 4 o sea 4 veces 6 = 6 veces 4

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 + 6 + 6 + 6



4 veces 6

Determina la cantidad de bloques necesarios para formar la figura siguiente:

Propiedades de la Multiplicación en IN: Asociatividad de los factores

Razonamiento 1: 4 pisos de 3 x 8 bloques cada piso

O sea 4 x (3 x 8), es decir 4 veces 24

Propiedades de la Multiplicación en IN: Asociatividad de los Factores

Razonamiento 2: 8 filas de 3 x 4 cada una


Propiedades de la Multiplicación en IN: Asociatividad de los factores

Razonamiento 3: 3 caras de 8 x 4 cada una


Propiedades de la Multiplicación en IN: Asociatividad de los Factores

Razonamiento 4: 8 x 3 x 4

Propiedad de la Multiplicación en IN: Asociatividad de los factores

Problema: En la cocina hay 3 docenas de huevos blancos y 2 docenas de huevos amarillos. ¿Cuántos huevos hay en total?

Propiedad de la Multiplicación en IN:

m x ( a + b) = (m x a) + (m x b)

Problema: En la cocina hay 3 docenas de huevos blancos y 2 docenas de huevos rubios. ¿Cuántos huevos hay en total?

Propiedad de la Multiplicación en IN: Distributividad del producto respecto a la suma

Propiedades de la Multiplicación en IN

Elemento Neutro: m x 1 = m, para todo número natural m.

Clausura: m x n es un número natural, dados cualesquiera m y n naturales.

“El producto de dos naturales es siempre mayor que los factores” m x n > m ; m x n > n, para todo m y n número natural.

División en IN Se asocia a las acciones de repartir

equitativamente y agrupar en base a una medida

Problema: “ Tengo 12 caramelos y los quiero envasar en bolsas con 4 caramelos en cada una, ¿Cuántas bolsas necesito?

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,….

1 bolsa

1 bolsa

1 bolsa

1 bolsa

¿Cómo se sustenta esta técnica en los Axiomas de Peano?

Propiedades de la División en IN Clausura: no se cumple ¿por qué? Conmutativa: no se cumple ¿por qué?

Resuelva: 96018 : 3= … y luego 90.000:3; 6000:3; 18:3

Distributiva: se puede descomponer aditivamente el dividendo y distribuirlo con respecto al divisor, el cuociente de la división inicial será la suma de los cuocientes parciales.

(a + b ) : c = a : c + b : c ; c≠0Si la división es inexacta el resto será la suma de los restos parciales. Si la suma de los restos parciales es mayor o igual que c debemos volver a dividir por c.

Propiedades de la División en IN Resuelva: 20 : 4 ; 60 : 12 ; 100 : 20¿ Qué ocurre?

Amplificación de la división: a : b = (a x c) : (b x c), para todo a, b , c, números naturales.

Observe el siguiente procedimiento:34122 : 5 = El resultado es 6824 y sobran 4. ¿Cómo lo

hizo?

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