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El Conjunto de los Numeros Naturales

Jorge Perdomo

6 de junio de 2016

Resumen

Una version libre del tema de los numeros naturales creados a partir de los cinco axiomas

de Peano tal como lo expone Carlos S. Chinea en su extraordinario artıculo Introduccion a

los Numeros Naturales mediante los Axiomas de Peano. La clave es la definicion del sucesor

de un numero natural, a partir de lo cual se definen las operaciones elementales de suma y

multiplicacion en N y del concepto de orden. A partir de los axiomas de Peano se logra la

demostracion de todas las propiedades basicas relativas a estas operaciones y este concepto.

Finalmente, sobre esta base se presenta una manera de construir el conjunto N.

Palabras Claves: Axiomas de Peano. Suma y Multiplicacion. Orden. Numero Natural.

Introduccion

En este documento se expone una version libre del tema de los numeros naturales introducidosa partir de los cinco axiomas de Peano tal como lo expone Carlos S. Chinea en su extraordinarioartıculo Introduccion a los Numeros Naturales mediante los Axiomas de Peano. La particulari-dad de esta version es que se deja para el final de cada parte el uso de los sımbolos + y · paralas operaciones de suma y multiplicacion.Los axiomas de Peano se presentan en el Capıtulo 1., estudiandose seguidamente algunas con-secuencias. En los Capıtulos 2. y 3. se introducen las operaciones de suma y multiplicacion denumeros naturales y sus propiedades derivadas a partir de los axiomas de Peano. Aparecen ane-xadas las propiedades de elemento neutro siendo que tales operaciones son leyes de composicioninterna en N, y se incluyen ademas sendas leyes de compatibilidad con la igualdad. El conceptode orden total y la derivacion de sus propiedades se dejan para el Capıtulos 4. La expresion detodas la definiciones y teoremas con el uso de los sımbolos + y · se hacen, a manera de resumen,en los subcapıtulos 2.1, 3.1 y 4.3.Se deja para el final, Capıtulo 5., un anexo en el que se expone como podrıa ser la construcciondel conjunto de los numeros naturales a partir de los axiomas de Peano. Especıficamente se hacea partir de la funcion sucesor o siguiente y de la definicion y propiedades de la suma.

1. Axiomas de Peano

Giuseppe Peano introdujo en 1889 un conjunto de cinco axiomas con los cuales presenta sudefinicion de los numeros naturales. Ası, puede definirse N como un conjunto que verifica lassiguientes condiciones axiomaticas:

1. Existe al menos un numero natural que se denota mediante 0 y se llama cero.

0 ∈ N

2. Existe una aplicacion s : N → N, que aplica todo elemento n ∈ N en otro elementos(n) ∈ N, llamado sucesor o siguiente de n.

∃s, s : N → N : ∀n ∈ N, s(n) ∈ N

1

3. El cero no es sucesor de ningun otro elemento de N.

∀n ∈ N, s(n) 6= 0

4. La aplicacion siguiente, s : N → N, es inyectiva, es decir, dos elementos de N

distintos no tienen igual sucesor.

∀n,m ∈ N, [s(n) = s(m)] ⇒ [n = m]

5. Axioma de Induccion Completa: Todo subconjunto A de N, para el cual se verifiqueque contenga al cero, y que el sucesor de cualquier elemento de A este en A, coincidecon N.

∀A ⊂ N, [(0 ∈ A) y (∀n ∈ A, s(n) ∈ A)] ⇒ A = N

A partir de estos cinco postulados es posible probar todas las propiedades del conjunto N.Considerense previamente tres teoremas que seran de aplicacion inmediata para establecer laspropiedades basicas de las operaciones en N y de su ordenacion.

Teorema 1.1. .

Ningun numero natural coincide con su siguiente. Es decir:

∀n ∈ N, n 6= s(n)

Demostracion

Sea el conjunto de todos los numeros naturales que son diferentes a su siguiente,

A = {n ∈ N : n 6= s(n)}

Se probara que A = N, es decir, todos los naturales verifican la propiedad que define al con-junto A.Por el Axioma 3., el cero no es sucesor de ningun otro elemento de N, ∀n ∈ N, s(n) 6= 0. Como0 ∈ N por el Axioma 1., se tiene que, s(0) 6= 0. En consecuencia:

0 ∈ A (1)

Aplicando el contrarecıproco del Axioma 4.,

∀n ∈ N, n ∈ A ⇒ [n 6= s(n)] ⇒ [s(n) 6= s(s(n))]

En consecuencia:∀n ∈ A, s(n) ∈ A (2)

Por el Axioma 5. se induce que,(1) y (2) ⇒ A = N

lo que prueba que ∀n ∈ N, n 6= s(n).

Teorema 1.2. .

Si dos aplicaciones de N en N conmutan con la aplicacion siguiente y tienen la misma imagen

para el cero, entonces ambas coinciden.

En otros terminos, sea Ap(N) = {f | f : N → N}, el conjunto de todas las aplicaciones de N en

N. Entonces,

∀f, g ∈ Ap(N) :f ◦ s = s ◦ fg ◦ s = s ◦ g

}

y f(0) = g(0) ⇒ f(n) = g(n), ∀n ∈ N

Demostracion

Sea el conjunto de todos los naturales cuyas imagenes por las funciones f y g, son iguales,

A = {n ∈ N : f(n) = g(n)}

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Se probara que A = N, es decir, todos los naturales verifican la propiedad que define al con-junto A.Por hipotesis del teorema, f(0) = g(0). En consecuencia:

0 ∈ A (1)

Por otra parte,

∀n ∈ N, n ∈ A ⇒ f(n) = g(n) Por definicion de A⇒ s(f(n)) = s(g(n)) Por ser s una funcion⇒ (s ◦ f)(n) = (s ◦ g)(n) Por definicion de ◦⇒ (f ◦ s)(n) = (g ◦ s)(n) Por hipotesis del teorema⇒ f(s(n)) = g(s(n)) Por definicion de ◦⇒ s(n) ∈ A Por definicion de A



lo que prueba que f = g con las condiciones dadas.

Teorema 1.3. .

Si dos aplicaciones de N en N tienen la misma imagen para el cero y existe alguna aplicacion ρ

de N en N tal que f ◦ s = ρ ◦ f y g ◦ s = ρ ◦ g, entonces ambas aplicaciones coinciden.

En otros terminos, siendo Ap(N) = {f | f : N → N}, el conjunto de todas las aplicaciones de N

en N, se expresa que:

∀f, g ∈ Ap(N) : f(0) = g(0) y ∃ρ ∈ Ap(N) :f ◦ s = ρ ◦ fg ◦ s = ρ ◦ g

}

⇒ f(n) = g(n), ∀n ∈ N

Demostracion

Sea el conjunto de todos los naturales cuyas imagenes por las funciones f y g, son iguales,

A = {n ∈ N : f(n) = g(n)}

Se probara que A = N, es decir, todos los naturales verifican la propiedad que define al con-junto A.Por hipotesis del teorema, f(0) = g(0). En consecuencia:

0 ∈ A (1)

Por otra parte,

∀n ∈ N, n ∈ A ⇒ f(n) = g(n) Por definicion de A⇒ ρ(f(n)) = ρ(g(n)) Por ser ρ una funcion

Entonces,f(s(n)) = (f ◦ s)(n) Por definicion de ◦

= (ρ ◦ f)(n) Por hipotesis del teorema= ρ(f(n)) Por definicion de ◦= ρ(g(n)) Por ser ρ una funcion= (ρ ◦ g)(n) Por definicion de ◦= (g ◦ s)(n) Por hipotesis del teorema= g(s(n)) Por definicion de ◦

Por tanto f(s(n)) = g(s(n))



lo que prueba que f = g con las condiciones dadas.

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2. Suma de Numeros Naturales

Definicion 2.1. .

Se define la suma de numeros naturales como una aplicacion, S : N × N → N, de modo que,

∀(n,m) ∈ N× N, la imagen, S(n,m) ∈ N, verifica:

1. S(0,m) = m

2. S(s(n),m) = s [S(n,m)]

Teorema 2.1. Unicidad de la Suma.

La definicion de suma es unica, es decir, si S1 y S2 son sumas, entonces S1 = S2.

Demostracion

Se define dos funciones f, g : N → N, a partir de las sumas S1 y S2, como sigue:Dado m ∈ N, y para todo n ∈ N,

f(n) = S1(n,m) y g(n) = S2(n,m)

Se vera que S1 = S2 probando que f = g mediante el recurso del Teorema 1.2 esto es, mostrandoque ambas tienen la misma imagen para el cero y que conmutan con la funcion siguiente.En primer lugar, dado m ∈ N cualquiera,

f(0) = S1(0,m) = m y g(0) = S2(m, 0) = m

Por tanto,f(0) = g(0)

Por otra parte, dado m ∈ N cualquiera, se tiene para f que,

∀n ∈ N, (f ◦ s)(n) = f(s(n)) Por definicion de ◦= S1(s(n),m) Por definicion de f

= s(S1(n,m)) Por definicion de S

= s(f(n)) Por definicion de f

= (s ◦ f)(n) Por definicion de ◦

Por tanto,f ◦ s = s ◦ f

Igualmente para la funcion g,

∀n ∈ N, (g ◦ s)(n) = g(s(n)) Por definicion de ◦= S2(s(n),m) Por definicion de g

= s(S2(n,m)) Por definicion de S

= s(g(n)) Por definicion de g

= (s ◦ g)(n) Por definicion de ◦

Por tanto,g ◦ s = s ◦ g

Por el Teorema 1.2 se concluye que f(n) = g(n), ∀n ∈ N. O sea,

S1(n,m) = S2(n,m), ∀n,m ∈ N

Teorema 2.2. Propiedad Asociativa.

∀a, b, c ∈ N, S [S(a, b), c] = S [a, S(b, c)]

Demostracion

Se define el conjunto de todos los numeros a ∈ N que verifican la propiedad asociativa:

A = {a ∈ N : S [S(a, b), c] = S [a, S(b, c)] , ∀b, c ∈ N}

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Si se demuestra que A = N la propiedad queda probada, lo cual requiere del Axioma 5. de Peano,esto es, probar que 0 ∈ A y que ∀a ∈ A, s(a) ∈ A.En primer lugar, aplicando la primera condicion de la definicion de suma se tendra que,

S [S(0, b), c] = S(b, c) ya que, S(0, b) = b

S [0, S(b, c)] = S(b, c) ya que, S(0, n) = n, para n = S(b, c)

De manera que,0 ∈ A (1)

Por otra parte,

∀a ∈ A, S [S(a, b), c] = S [a, S(b, c)] ⇒ s {S [S(a, b), c]} = s {S [a, S(b, c)]} Por ser s una funcion⇒ S [s [S(a, b)] , c] = S [s(a), S(b, c)] Por definicion de S

⇒ S [S [s(a), b] , c] = S [s(a), S(b, c)] Por definicion de S

Por tanto,∀a ∈ A, s(a) ∈ A (2)


con lo cual queda probado el cumplimiento de la propiedad asociativa para la suma en N.

Teorema 2.3. Propiedad Conmutativa.

∀a, b ∈ N, S(a, b) = S(b, a)

Demostracion

La demostracion de esta propiedad se realizara por etapas.

Primera Parte. Todo numero natural conmuta con el cero.

∀a ∈ N, S(0, a) = S(a, 0)

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que conmutan con el cero:

A = {a ∈ N : S(0, a) = S(a, 0)}

y ha de probarse que A = N.Para evitar la trivialidad, sean a = b = 0 explıcitamente, para sustituir su valor cero convenien-temente,

S(0, 0) = S(b, a) = S(0, a) = a = 0S(0, 0) = S(a, b) = S(0, b) = b = 0

Por tanto, S(0, 0) = S(0, 0). Es decir,

0 ∈ A (1)

Por otra parte, como ∀a ∈ A, S(0, a) = S(a, 0), se tiene que,

∀a ∈ A, S [s(a), 0] = s [S(a, 0)] Por definicion de S

= s [S(0, a)] Ya que a ∈ A

= s(a) Por ser S(0, a) = a

= S [0, s(a)] Por ser S(0, n) = n para n = s(a)

Por tanto, ∀a ∈ A, S [s(a), 0] = S [0, s(a)], lo que significa que,

∀a ∈ A, s(a) ∈ A (2)


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lo que prueba esta primera parte del teorema.

Segunda Parte. Todo numero natural conmuta con el siguiente de cero.

∀a ∈ N, S [s(0), a] = S [a, s(0)]

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que conmutan con el siguiente de cero:

A = {a ∈ N : S [s(0), a] = S [a, s(0)]}

y ha de probarse que A = N.Por una parte,

S [s(0), 0] = s [S(0, 0)] Por definicion de S

= s(0) Por ser S(0, n) = n para n = 0= S [0, s(0)] Por ser S(0, n) = n para n = s(0)

Por tanto, S [s(0), 0] = S [0, s(0)]. De manera que,

0 ∈ A (1)

Por otro lado, como ∀a ∈ A, S [s(0), a] = S [a, s(0)], se tiene que,

∀a ∈ A, S [s(a), s(0)] = s [S [a, s(0)]] Por definicion de S

= s [S [s(0), a]] Ya que a ∈ A

= s [s [S(0, a)]] Por definicion de S

= s [s(a)] Ya que S(0, a) = a

= s [S(0, s(a))] Ya que S(0, n) = n para n = s(a)= S [s(0), s(a)] Por definicion de S

Por tanto, ∀a ∈ A, S [s(a), s(0)] = S [s(0), s(a)], lo que significa que,

∀a ∈ A, s(a) ∈ A (2)


lo que prueba esta segunda parte del teorema.

Tercera Parte. Propiedad Conmutativa.

∀a, b ∈ N, S(a, b) = S(b, a)

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que conmutan con cualquier otro numeronatural:

A = {a ∈ N : S(a, b) = S(b, a), ∀b ∈ N}

y hay que probar que A = N.Por una parte, por la primera parte, se cumple que, S(0, b) = S(b, 0), ∀b ∈ N.Por tanto,

0 ∈ A (1)

Por otro lado, como ∀a ∈ A, S(a, b) = S(b, a), ∀b ∈ N, se tiene que,

∀a ∈ A, S [s(a), b] = s [S(a, b)] Por definicion de S

= s [S(b, a)] Ya que a ∈ A

= s [S [0, S(b, a)]] Ya que S(0, n) = n, para n = S(b, a)= S [s(0), S(b, a)] Por definicion de S

= S [S [s(0), b] , a] Por Teorema 2.2= S [S [b, s(0)] , a] Por 2a Parte Teorema 2.3= S [b, S [s(0), a]] Por Teorema 2.2= S [b, s [S(0, a)]] Por definicion de S

= S [b, s(a)] Ya que S(0, a) = a

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Por tanto, ∀a ∈ A, S [s(a), b] = S [b, s(a)], lo que significa que,

∀a ∈ A, s(a) ∈ A (2)


lo que prueba definitivamente el cumplimiento de la propiedad conmutativa para la suma en N.

Teorema 2.4. Elemento Neutro

Considerando a S : N → N, como una ley de composicion interna en N, el numero 0 ∈ N es el

elemento neutro de la misma.

Demostracion

Por definicion de suma en N se tiene que S(0, n) = n para todo n ∈ N.Como pudo verse en la primera parte del Teorema 2.3, todo numero natural conmuta con el cero.Esto es, S(0, n) = S(n, 0).De ambas consideraciones tenemos que,

S(n, 0) = S(0, n) = n

que es la expresion del 0 como elemento neutro de la operacion S, tratada como ley de compo-sicion interna en N.

Teorema 2.5. Ley de Cancelacion.

∀a, b, n ∈ N, [S(a, n) = S(b, n)] ⇒ [a = b]

Demostracion

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que verifican la ley de cancelacion:

A = {n ∈ N : [S(a, n) = S(b, n)] ⇒ [a = b] , ∀a, b ∈ N}

y se debe probar que A = N.Por un lado ocurre que,

S(a, 0) = S(b, 0) ⇒ S(0, a) = S(0, b) Por 1a Parte Teorema 2.3⇒ a = b Ya que S(0,m) = m, para m = a y m = b

Por tanto, S(a, 0) = S(b, 0) ⇒ a = b.Lo que prueba que,

0 ∈ A (1)

Por otra parte,

∀n ∈ A, S [a, s(n)] = S [b, s(n)] ⇒ S [s(n), a] = S [s(n), b] Por Teorema 2.3⇒ s [S(n, a)] = s [S(n, b)] Por definicion de S

⇒ S(n, a) = S(n, b) Por Axioma 4.⇒ S(a, n) = S(b, n) Por Teorema 2.3⇒ a = b Ya que n ∈ A

Por tanto, ∀n ∈ A, [S(a, s(n)) = S(b, s(n))] ⇒ [a = b], lo que significa que,

∀n ∈ A, s(n) ∈ A (2)


lo que prueba el cumplimiento de la ley de cancelacion para la suma en N.

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Teorema 2.6. Ley de Compatibilidad con la Igualdad.

∀a, b, n ∈ N, [a = b] ⇒ [S(a, n) = S(b, n)]

Demostracion

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que verifican la ley de compatibilidad conla igualdad:

A = {n ∈ N : [a = b] ⇒ [S(a, n) = S(b, n)] , ∀a, b ∈ N}

y ha de probarse que A = N bajo la hipotesis de que a = b.Por un lado ocurre que,

S(a, 0) = S(0, a) Por Teorema 2.3= a Por Definicion de S

= b Por Hipotesis: a = b

= S(0, b) Por Definicion de S

= S(b, 0) Por Teorema 2.3

Por tanto, a = b ⇒ S(a, 0) = S(b, 0).Lo que prueba que,

0 ∈ A (1)

Por otra parte,

∀n ∈ A, S [a, s(n)] = S [s(n), a] Por Teorema 2.3= s [S(n, a)] Por definicion de S

= s [S(a, n)] Por Teorema 2.3= s [S(b, n)] Ya que a = b por hipotesis y n ∈ A

= s [S(n, b)] Por Teorema 2.3= S [s(n), b] Por definicion de S

= S [b, s(n)] Por Teorema 2.3

Por tanto, ∀n ∈ A, [a = b] ⇒ [S(a, s(n)) = S(b, s(n))], para todo a, b ∈ N, lo que significa que,

∀n ∈ A, s(n) ∈ A (2)


lo que prueba el cumplimiento de la ley de compatibilidad con la igualdad para la suma en N.

2.1. Notacion + para la Suma de Numeros Naturales

La representacion usual de la suma de dos numeros naturales n,m ∈ N es la siguiente:

S(n,m) = n+m

Con esta notacion, las condiciones de la definicion de la suma de dos numeros naturales quedande la forma,

1. 0 +m = m

2. s(n) +m = s(n+m)Los teoremas mostrados hasta ahora, son los siguientes:

Teorema 2.2 Propiedad Asociativa.

∀a, b, c ∈ N, (a+ b) + c = a+ (b+ c)

Teorema 2.3 Propiedad Conmutativa.

∀a, b ∈ N, a+ b = b+ a

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Teorema 2.3 Elemento Neutro.

∀a ∈ N, a+ 0 = 0 + a = a

Teorema 2.5 Ley de Cancelacion.

∀a, b, n ∈ N, a+ n = b+ n ⇒ a = b

Teorema 2.6 Ley de Compatibilidad con la Igualdad.

∀a, b, n ∈ N, a = b ⇒ a+ n = b+ n

3. Multiplicacion de Numeros Naturales

Definicion 3.1. .

Se define la multiplicacion de numeros naturales como una aplicacion P : N× N → N, de modo

que, ∀n,m ∈ N× N, la imagen, P (n,m) ∈ N, verifica que:

1. P (0,m) = 02. P [s(n),m] = S [P (n,m),m]

Teorema 3.1. Unicidad de la Multiplicacion.

La definicion de multiplicacion es unica, es decir, si P1 y P2 son multiplicaciones, entonces

P1 = P2.

Demostracion

Se define dos funciones f, g : N → N, a partir de las multiplicaciones P1 y P2, como sigue:Dado m ∈ N, y para todo n ∈ N,

f(n) = P1(n,m) y g(n) = P2(n,m)

Se define tambien la funcion, ρ : N → N, mediante:Dado m ∈ N, y para todo n ∈ N,

ρ(n) = S(n,m)

Se vera que P1 = P2 probando que f = g mediante el recurso del Teorema 1.3., esto es, mostrandoque ambas tienen la misma imagen para el cero y que verifican, f ◦ s = ρ ◦ f y g ◦ s = ρ ◦ g.En primer lugar, dado m ∈ N cualquiera,

f(0) = P1(0,m) = 0 y g(0) = P2(0,m) = 0

Por tanto,f(0) = g(0)

Por otra parte, dado m ∈ N cualquiera y para todo n ∈ N, se tiene para f que,

(f ◦ s)(n) = f(s(n)) Por definicion de ◦= P1(s(n),m) Por definicion de f

= S [P1(n,m),m] Por definicion de P

= ρ [P1(n,m)] Por definicion de ρ

= ρ(f(n)) Por definicion de f

= (ρ ◦ f)(n) Por definicion de ◦

Por tanto,f ◦ s = ρ ◦ f

Igualmente para la funcion g,

(g ◦ s)(n) = g(s(n)) Por definicion de ◦= P2(s(n),m) Por definicion de g

= S [P2(n,m),m] Por definicion de P

= ρ [P2(n,m)] Por definicion de ρ

= ρ(g(n)) Por definicion de g

= (ρ ◦ g)(n) Por definicion de ◦

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Por tanto,g ◦ s = ρ ◦ g

Por el Teorema 1.3 se concluye que f(n) = g(n), ∀n ∈ N. O sea,

P1(n,m) = P2(n,m), ∀n,m ∈ N

Teorema 3.2. Propiedad Distributiva respecto de la Suma.

∀a, b, c ∈ N, P [a, S(b, c)] = S [P (a, b), P (a, c)]

Demostracion

Considerese el conjunto de los numeros naturales que verifican la propiedad distributiva de lamultiplicacion respecto de la suma:

A = {a ∈ N : P [a, S(b, c)] = S [P (a, b), P (a, c)] , ∀b, c ∈ N}

Por un lado se tiene que,

P [0, S(b, c)] = 0 ya que, P (0,m) = 0, para m = S(b, c)S [P (0, b), P (0, c)] = S(0, 0) = 0 ya que, P (0,m) = 0 y S(0, n) = n, para n = 0

Luego, P [0, S(b, c)] = S [P (0, b), P (0, c)].Por tanto,

0 ∈ A (1)

Por otra parte, para todo b, c ∈ N,

∀a ∈ A,P [s(a), S(b, c)] = S [P [a, S(b, c)] , S(b, c)] Por definicion de P

= S {S [P (a, b), P (a, c)] , S(b, c)} Ya que a ∈ A

= S {P (a, b), S [P (a, c), S(b, c)]} Por Teorema 2.2= S {P (a, b), S [S(b, c), P (a, c)]} Por Teorema 2.3= S {P (a, b), S [b, S(c, P (a, c)]} Por Teorema 2.2= S {P (a, b), S [b, S(P (a, c), c]} Por Teorema 2.3= S {S [P (a, b), b] , S [(P (a, c), c]} Por Teorema 2.2= S [P (s(a), b), P (s(a), c)] Por definicion de P

Por tanto, P [s(a), S(b, c)] = S [P (s(a), b), P (s(a), c)]. Es decir,

∀a ∈ A, s(a) ∈ A (2)


lo que prueba el cumplimiento de la propiedad distributiva de la multiplicacion respecto de lasuma en N.

Teorema 3.3. Propiedad Conmutativa.

∀a, b ∈ N, P (a, b) = P (b, a)

Demostracion

La demostracion de esta propiedad se realizara por etapas.

Primera Parte. Todo numero natural conmuta con el cero.

∀a ∈ N, P (0, a) = P (a, 0)

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que conmutan con el cero:

A = {a ∈ N : P (0, a) = P (a, 0)}

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y se probara que A = N.Para evitar la trivialidad, considerese a = b = 0 explıcitamente, sustituyendo su valor ceroconvenientemente,

P (0, 0) = P (b, a) = P (0, a) = 0P (0, 0) = P (a, b) = P (0, b) = 0

Por tanto, P (0, 0) = P (0, 0). Es decir,

0 ∈ A (1)

Por otra parte, como P [0, s(a)] = 0 por definicion de P ,

∀a ∈ A, P [s(a), 0] = S [P (a, 0), 0] Por definicion de P

= S [P (0, a), 0] Ya que a ∈ A

= S [0, 0] Ya que P (0, a) = 0 por definicion de P

= 0 Ya que S(0,m) = m, para m = 0

Por tanto, ∀a ∈ A, P [s(a), 0] = P [0, s(a)], lo que significa que,

∀a ∈ A, s(a) ∈ A (2)


lo que prueba esta primera parte del Teorema 3.3.

Segunda Parte Todo numero natural conmuta con el siguiente de cero.

∀a ∈ N, P [s(0), a] = P [a, s(0)]

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que conmutan con el siguiente de cero:

A = {a ∈ N : P [s(0), a] = P [a, s(0)]}

y ha de probarse que A = N.Por un lado, P [s(0), 0] = P [0, s(0)], de acuerdo con la primera parte de este teorema. Por tanto,

0 ∈ A (1)

Por otro lado,

∀a ∈ A, P [s(a), s(0)] = S [P [a, s(0)] , s(0)] Por definicion de P

= S [P [s(0), a] , s(0)] Ya que a ∈ A

= S [P [s(0), a] , S [0, s(0)]] Ya que S(0, n) = n para n = s(0)= S [P [s(0), a] , S [P (0, s(0)), s(0)]] Ya que P (0, n) = 0 para n = s(0)= S [P [s(0), a] , P [s(0), s(0)]] Por definicion de P

= P [s(0), S(a, s(0))] Por teorema 3.2= P [s(0), S(s(0), a)] Por teorema 2.3= P [s(0), s [S(0, a)]] Por definicion de S

= P [s(0), s(a)] Ya que S(0, a) = a

Por tanto, ∀a ∈ A, P [s(a), s(0)] = P [s(0), s(a)], lo que significa que,

∀a ∈ A, s(a) ∈ A (2)


lo que prueba esta segunda parte del Teorema 3.3.

11

Tercera Parte Propiedad Conmutativa.

∀a, b ∈ N, P (a, b) = P (b, a)

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que conmutan con cualquier otro numeronatural:

A = {a ∈ N : P (a, b) = P (b, a), ∀b ∈ N}

y se debe probar que A = N.Por una parte, por la primera parte del Teorema 3.3, se cumple que, P (0, b) = P (b, 0), ∀b ∈ N.Por tanto,

0 ∈ A (1)

Por otro lado,

∀a ∈ A, P [s(a), b] = S [P (a, b), b] Por definicion de P

= S [P (b, a), b] Ya que a ∈ A

= S [P (b, a), S(0, b)] Ya que S(0, b) = b

= S [P (b, a), S(P (0, b), b)] Ya que P (0, b) = 0= S [P (b, a), P (s(0), b)] Por definicion de P

= S [P (b, a), P (b, s(0))] Por 2a Parte Teorema 3.3= P [b, S(a, s(0))] Por Teorema 3.2= P [b, S(s(0), a)] Por Teorema 2.3= P [b, s [S(0, a)]] Por definicion de S

= P [b, s(a)] Ya que S(0, a) = a

Por tanto, ∀a ∈ A, P [s(a), b] = P [b, s(a)], lo que significa que,

∀a ∈ A, s(a) ∈ A (2)


lo que prueba definitivamente la propiedad conmutativa para la multiplicacion en N.

Teorema 3.4. Elemento Neutro

Considerando a P : N → N, como una ley de composicion interna en N, el numero s(0) ∈ N es

el elemento neutro de la misma.

Demostracion

De la segunda parte del Teorema 3.3 se sabe que para todo n ∈ N se cumple que P (s(0), n) =P (n, s(0)). Ademas, como pudo apreciarse en la tercera parte de la demostracion del mismoteorema,

∀n ∈ N, P (s(0), n) = S(P (0, n), n) Por definicion de P

= S(0, n) Ya que P (0, n) = 0= n Ya que S(0, n) = n

De ambas consideraciones se tiene que,

P (n, s(0)) = P (s(0), n) = n

que es la expresion de s(0) como elemento neutro de la operacion P , tratada como ley decomposicion interna en N.

Teorema 3.5. Propiedad Asociativa.

∀a, b, c ∈ N, P [P (a, b), c] = P [a, P (b, c)]

Demostracion:

Se define el conjunto de todos los numeros a ∈ N que verifican la propiedad asociativa:

A = {a ∈ N : P [P (a, b), c] = P [a, P (b, c)] , ∀b, c ∈ N}

12

En primer lugar, aplicando la primera condicion de la definicion de multiplicacion se tiene que,

P [P (0, b), c] = P (0, c) = 0 ya que, P (0, c) = 0P [0, P (b, c)] = 0 ya que, P (0, n) = 0, para n = P (b, c)

De manera que,0 ∈ A (1)

Por otra parte,

∀a ∈ A, P [s(a), P (b, c)] = S [P [a, P (b, c)] , P (b, c)] Por definicion de P

= S [P [P (a, b), c] , P (b, c)] Ya que a ∈ A

= S [P [c, P (a, b)] , P (c, b)] Por Teorema 3.3= P [c, S(P (a, b), b)] Por Teorema 3.2= P [c, P (s(a), b)] Por definicion de P

= P [P (s(a), b), c] Por Teorema 3.3

Por tanto, ∀a ∈ A, P [s(a), P (b, c)] = P [P (s(a), b), c] , ∀b, c ∈ N. Entonces,

∀a ∈ A, s(a) ∈ A (2)


lo que prueba la propiedad asociativa para la multiplicacion en N.

Teorema 3.6. Ley de Cancelacion.

∀a, b, n ∈ N, P (n, a) = P (n, b) ⇒ (a = b) o (n = 0)

Demostracion

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que verifican la ley de cancelacion:

A = {n ∈ N : P (n, a) = P (n, b) ⇒ a = b o n = 0, ∀a, b ∈ N}

y se debe probar que A = N.Por un lado se tiene que, por definicion de A, puede ser n = 0. Por tanto,

0 ∈ A (1)

Por otra parte,

∀n ∈ A, P [s(n), a] = P [s(n), b] ⇒ S [P (n, a), a] = S [P (n, b), b] Por definicion de P

⇒ S [P (n, a), a] = S [P (n, a), b] Ya que n ∈ A

⇒ a = b Por Teorema 2.5

Por tanto, ∀n ∈ A, P [s(n), a] = P [s(n), b] ⇒ a = b, lo que significa que,

∀n ∈ A, s(n) ∈ A (2)


lo que prueba la ley de cancelacion para la multiplicacion en N.

Teorema 3.7. Ley de Compatibilidad con la Igualdad.

∀a, b, n ∈ N, (n = 0) o (a = b) ⇒ P (a, n) = P (b, n)

Demostracion

Se define el conjunto de todos los numeros naturales que verifican la ley de compatibilidad conla igualdad:

A = {n ∈ N : [(n = 0) o (a = b)] ⇒ [P (a, n) = P (b, n)] , ∀a, b ∈ N}

13

y ha de probarse que A = N.Por un lado se tiene, aun siendo a 6= b, que para n = 0,

P (a, 0) = P (0, a) Por Teorema 3.3= 0 Ya que P (0, a) = 0= P (0, b) Ya que P (0, b) = 0= P (b, 0) Por Teorema 3.3

Por tanto, n = 0 ⇒ P (a, n) = P (b, n), aun siendo a 6= b.Lo que prueba que,

0 ∈ A (1)

Por otra parte, supongamos ahora que a = b,

∀n ∈ A, P [a, s(n)] = P [s(n), a] Por Teorema 3.3= S [P (n, a), a] Por definicion de P

= S [P (a, n), a] Por Teoremas 3.3 y 2.6= S [P (b, n), a] Ya que n ∈ A y Teorema 2.6= S [a, P (b, n)] Por Teorema 2.3= S [b, P (b, n)] Por hipotesis a = b y Teorema 2.6= S [P (b, n), b] Por Teorema 2.3= S [P (n, b), b] Por Teoremas 3.3 y 2.6= P [s(n), b] Por definicion de P

= P [b, s(n)] Por Teorema 3.3

Por tanto, ∀n ∈ A, [a = b] ⇒ [P (a, s(n)) = P (b, s(n))], lo que significa que,

∀n ∈ A, s(n) ∈ A (2)


lo que prueba la ley de compatibilidad con la igualdad para la multiplicacion en N.

3.1. Notacion · para la Multiplicacion de Numeros Naturales

La representacion usual de la multiplicacion de dos numeros naturales n,m ∈ N es la siguiente:

P (n,m) = n ·m

o simplemente,P (n,m) = nm

Con esta notacion, y la notacion usual de la suma, las condiciones de la definicion de la multi-plicacion de dos numeros naturales quedan de la forma,

1. 0m = 02. s(n)m = nm+m

Las propiedades se resumen como sigue:

Teorema 3.2 Propiedad Distributiva respecto de la Suma.

∀a, b, c ∈ N, a(b+ c) = a b+ a c

Teorema 3.3 Propiedad Conmutativa.

∀a, b ∈ N, a b = b a

Teorema 3.4 Elemento Neutro.

∀a ∈ N, a s(0) = s(0) a = a

14

Teorema 3.5 Propiedad Asociativa.

∀a, b, c ∈ N, a(b c) = (a b)c

Teorema 3.6 Ley de Cancelacion.

∀a, b, n ∈ N, n a = n b ⇒ (a = b o n = 0)

Teorema 3.7 Ley de Compatibilidad con la Igualdad.

∀a, b, n ∈ N, (a = b o n = 0) ⇒ an = b n

4. Orden en N

Teorema 4.1. .

Todo numero natural distinto del cero es el siguiente de otro numero natural.

∀n ∈ N, n 6= 0, ∃m ∈ N : s(m) = n

Demostracion:

Considerese el conjunto de los numeros naturales que son siguientes de otro numero natural,ademas del cero,

A = {n ∈ N : n = 0 o ∃m ∈ N : s(m) = n}

Se vera que A = N

En primer lugar, por construccion de A,

0 ∈ A (1)

Por otra parte, como s es funcion,

[∀n ∈ A, ∃m ∈ N : s(m) = n] ⇒ s(s(m)) = s(n)

Por tanto,[∀n ∈ A, ∃s(m) : s(s(m)) = s(n)] ⇒ s(n) ∈ A

O sea,∀n ∈ A, s(n) ∈ A (2)


lo que prueba el teorema.

Definicion 4.1. .

Se define la relacion menor o igual que, que se simboliza ≤, del modo siguiente:

∀a, b ∈ N, a ≤ b ⇔ ∃q ∈ N : S(a, q) = b

Teorema 4.2. .

La relacion menor o igual que es una relacion de orden.

Demostracion

Debe mostrarse que esta relacion es reflexiva, antisimetrica y transitiva.

Reflexiva:

En efecto, por definicion de S: ∀a ∈ N, ∃0 ∈ N : a = S(0, a) = S(a, 0).Por tanto, S(a, 0) = a. Entonces,

a ≤ a

Antisimetrica:

Debe probarse que,∀a, b ∈ N, a ≤ b y b ≤ a ⇒ a = b

15

Sean a, b ∈ N tales que, a ≤ b y b ≤ a. Por definicion de ≤ se tiene lo siguiente,

a ≤ b ⇒ ∃p ∈ N : S(a, p) = b

b ≤ a ⇒ ∃q ∈ N : S(b, q) = a

Entonces,

b = S(a, p) Por hipotesis= S(S(b, q), p) Por hipotesis= S(b, S(q, p)) Por Teorema 2.2

Ademas, por ser 0 neutro para la suma, tenemos tambien para b que,

b = S(0, b) = S(b, 0)

Por consiguiente, aplicando la ley de cancelacion,

S(b, 0) = S(b, S(q, p)) ⇒ S(q, p) = 0

lo cual ocurre solo si q = p = 0. Por tanto, b = S(a, 0) = a, o bien, a = S(b, 0) = b.En cualquier caso queda probado que a = b.

Transitiva:

Hay que probar que,∀a, b, c ∈ N, a ≤ b y b ≤ c ⇒ a ≤ c

Sean a, b, c ∈ N tales que, a ≤ b y b ≤ c. Por definicion de ≤ se tiene que,

a ≤ b ⇒ ∃p ∈ N : S(a, p) = b

b ≤ c ⇒ ∃q ∈ N : S(b, q) = c

Entonces,

c = S(b, q) Por hipotesis= S [S(a, p), q] Por hipotesis= S [a, S(q, p)] Por Teorema 2.2

Ahora, como (q, p) ∈ N× N, existe m ∈ N tal que m = S(q, p). Por tanto,

∃m ∈ N : c = S(a,m)

Esto es, por definicion de ≤,a ≤ c

Definicion 4.2. .

A partir de la relacion ≤, es posible definir otras relaciones de desigualdad que permitiran

facilitar la notacion en desarrollos posteriores. Estas son las siguientes:

4.2.1. La relacion mayor o igual que, simbolizada, ≥:

∀a, b ∈ N, a ≥ b ⇔ b ≤ a

4.2.2. La relacion menor estrictamente que, simbolizada, <:

∀a, b ∈ N, a :

∀a, b ∈ N, a > b ⇔ b < a

16

Corolario 4.1. .

Para estas relaciones de desigualdad se cumplen los siguientes:

4.1.1. La relacion mayor o igual que es una relacion de orden.

Demostracion

La relacion ≥ se define a partir de la relacion ≤, la cual es de orden. En consecuencia, heredalas propiedades de esta ultima y, por tanto, sera igualmente relacion de orden.

4.1.2. La relacion menor estrictamente que es relacion de orden estricto.

Demostracion

Las propiedades simetrica y transitiva de la relacion < se demuestran de manera similar a comose probaron las mismas para la relacion ≤. Sin embargo, para la propiedad reflexiva se tiene,

∀a ∈ N, a < a ⇔ ∃q 6= 0 : S(a, q) = a

Ahora, siendo 0 el elemento neutro para la suma,

a = S(0, a) = S(a, 0)

donde, por ley de cancelacion tendremos que,

S(a, q) = S(a, 0) ⇒ q = 0

Por tanto, al ser q = 0 no se cumple la definicion para la desigualdad estricta y sera, a ≮ a.Al verificarse las propiedades de la relacion de orden, excepto la reflexiva, se puede concluir quese trata de una relacion de orden estricto.

4.1.3. La relacion mayor estrictamente que es relacion de orden estricto.

Demostracion

La relacion > se define a partir de la relacion <, la cual es de orden estricto. En consecuencia,hereda las propiedades de esta ultima y, por tanto, sera igualmente relacion de orden estricto.

Corolario 4.2. .

Todo numero natural es estrictamente menor que su siguiente:

∀a ∈ N, a < s(a)

Demostracion

Hay que probar que a ≤ s(a) y que a 6= s(a),En primer lugar se tiene que,

∀a ∈ N, s(a) = S [0, s(a)] Ya que S(0, n) = 0 para n = s(a)= S [s(a), 0] Por Teorema 2.3= s [S(a, 0)] Por definicion de S

= s [S(0, a)] Por Teorema 2.3= S [s(0), a] Por definicion de S

= S [a, s(0)] Por Teorema 2.3

Entonces,∀a ∈ N, ∃s(0) ∈ N : s(a) = S [a, s(0)] ⇒ a ≤ s(a)

Por otra parte, por el Teorema 1.1 ningun numero natural coincide con su siguiente,

∀a ∈ N, a 6= s(a)

Por tanto,∀a ∈ N, a ≤ s(a) y a 6= s(a) ⇒ a < s(a)

17

Corolario 4.3. .

El cero es menor estrictamente que cualquier otro numero natural:

∀n ∈ N, n 6= 0, 0 < n

Demostracion

Sea un n ∈ N, n 6= 0. Entonces, por el Teorema 1.1, ∃m ∈ N : s(m) = n.Se pueden presentar dos situaciones: que m = 0, o que, m 6= 0. En lo que sigue se usara reite-radamente el Corolario 4.2, segun el cual, todo numero natural es estrictamente menor que susiguiente, o sea, ∀n ∈ N, n < s(n).Si m = 0, entonces, 0 < s(0) = n. Por tanto, 0 < n.Si m 6= 0, entonces, ∃p ∈ N : s(p) = m, pudiendo ser, p = 0 o p 6= 0.Si p = 0, entonces, 0 < s(0) = m. Por tanto, 0 < m < s(m) = n. Y se tendrıa que,

0 < m < n y por transitividad, 0 < n

Si p 6= 0, entonces, ∃q ∈ N : s(q) = p, pudiendo ser, q = 0 o q 6= 0.Si q = 0, entonces, 0 < s(0) = p. Por tanto, 0 < p < s(p) = m < s(m) = n. Y se tendrıa que,

0 < p < m < n y por transitividad, 0 < n

Y ası, se podrıa continuar el proceso, con lo que aplicando la propiedad transitiva, se encuentrasiempre que:

∀n ∈ N, n 6= 0, 0 < n

Teorema 4.3. Propiedad de Tricotomıa.

Se verifica la alternativa siguiente:

∀a, b ∈ N, a b

Demostracion

Se fija un elemento cualquiera a ∈ N y se definen los tres conjuntos que establecen la tricotomıa:

A1 = {b ∈ N : b < a} , A2 = {a} y A3 = {b ∈ N : b > a}

Si A = A1 ∪A2 ∪A3, entonces ha de probarse que A = N.Ademas, para demostrar la tricotomıa debe probarse que Ai ∩Aj = ∅, ∀i, j ∈ {1, 2, 3}.Se vera en primer lugar para a = 0 y luego para a 6= 0.a = 0Si a = 0, entonces:

A1 = {b ∈ N : b < 0} , A2 = {0} y A3 = {b ∈ N : b > 0}

Se probara primero la tricotomıa.Por el Corolario 4.3, A1 = ∅, ya que, para todo b ∈ N, b 6= 0, se tiene que, 0 < b, lo cual, mediantesencilla aplicacion de logica cuantificacional equivale a afirmar que no existe b ∈ N, b 6= 0, talque, b < 0.Entonces, por intersectar con el vacıo, es evidente que,

A1 ∩A2 = A1 ∩A3 = ∅

Ademas, si se escribe,

A2 = {0} = {b ∈ N : b = 0}A3 = {b ∈ N : b > 0} = {b ∈ N : b 6= 0}

Entonces,A2 ∩A3 = {b ∈ N : b = 0 y b 6= 0} = ∅

por contradiccion en el argumento.

18

Se vera ahora que A = N.Por un lado, por construccion, 0 ∈ A2.Por tanto,

0 ∈ A (1)

Por otra parte, tambien por construccion, ∀b ∈ N : b 6= 0 ⇒ b ∈ A3. Ademas, por el Corolario4.2, b < s(b). Luego, por transitividad, s(b) > 0. Por consiguiente, s(b) ∈ A3, lo que implica que,

∀b ∈ N, s(b) ∈ A (2)


lo que prueba esta parte del teorema de tricotomıa.a 6= 0Se probara primero que A = N.Suponiendo que a 6= 0, por el Corolario 4.3 se sabe que, al ser ∀a ∈ N, a 6= 0 ⇒ 0 < a, entonces,0 ∈ A1. Por tanto,

0 ∈ A (1)

Se tienen las siguientes situaciones para b ∈ N que se estudiaran por separado: b ∈ A1 o b ∈ A2

o b ∈ A3.b ∈ A1

En este caso, b < a. Por tanto,

∃p ∈ N, p 6= 0 : S(b, p) = a

donde puede ser, p = s(0) o p 6= s(0).En el primer caso,

p = s(0) ⇒ S(b, p) = a Ya que b ∈ A1

⇒ S [b, s(0)] = a Ya que p = s(0)⇒ S [s(0), b] = a Por Teorema 2.3⇒ s [S(0, b)] = a Por definicion de S

⇒ s(b) = a Ya que S(0, b) = b

⇒ s(b) ∈ A2 Por definicion de A2

⇒ s(b) ∈ A Por construccion de A

Para el otro caso, p 6= s(0) ⇒ ∃r ∈ N, r 6= 0 : p = S(r, s(0)). De aquı,

p 6= s(0) ⇒ S(b, p) = a Ya que b ∈ A1

⇒ S [b, S(r, s(0))] = a Ya que p = S(r, s(0))⇒ S [b, S(s(0), r)] = a Por Teorema 2.3⇒ S [S(b, s(0)), r] = a Por Teorema 2.2⇒ S [S(s(0), b), r] = a Por Teorema 2.3⇒ S [s(S(0, b), r)] = a Por definicion de S

⇒ S [s(b), r] = a Ya que S(0, b) = b

⇒ s(b) < a Ya que r 6= 0⇒ s(b) ∈ A1 Por definicion de A1


b ∈ A2

En este caso, b = a. Por tanto,

∀b ∈ N ⇒ s(b) > b Por Corolario 4.2⇒ s(b) > a Ya que a = b

⇒ s(b) ∈ A3 Por definicion de A3


19

b ∈ A3

En este caso, b > a. Por tanto,

∀b ∈ N ⇒ s(b) > b Por Corolario 4.2⇒ s(b) > b > a Ya que b > a

⇒ s(b) > a Por transitividad⇒ s(b) ∈ A3 Por definicion de A3


En definitiva, para todos los casos se cumple que,

∀b ∈ A, s(b) ∈ A (2)


lo que prueba esta parte del teorema.Se demostrara ahora la tricotomıa:

A1 ∩A2 = {b ∈ N : b < a y b = a} = ∅

ya que, si b < a, entonces, b 6= a, lo que es contradictorio con, b = a.

A2 ∩A3 = {b ∈ N : b = a y b > a} = ∅

ya que, si b > a, entonces, b 6= a, lo que es contradictorio con, b = a.

A1 ∩A3 = {b ∈ N : b < a y b > a} = ∅

ya que,

∀q ∈ N, q ∈ A1 ∩A3 ⇒ q ∈ A1 y q ∈ A3 Por definicion de ∩⇒ q < a y a < q Por definicion de A1 y A3

⇒ q < q Por transitividad

lo cual es contradictorio con la igualdad ya que siendo, q = q, el resultado, q < q, implica pordefinicion que, q 6= q.

Teorema 4.4. .

Dado un n ∈ N, n 6= 0, se cumple que,

∀a ∈ N, a < S(n, a)

Demostracion

En primer lugar, para n = 0 se tendra que, a < S(0, a) = a, lo que no es valido ya que,a ≮ a, ∀a ∈ N.Sin embargo, para n 6= 0 se tendra que, a < S(n, a) ⇔ ∃q ∈ N, q 6= 0 : S(n, a) = S(a, q).Efectivamente, puede verse por simple conmutatividad que,

S(n, a) = S(a, n) ⇒ q = n

por tanto q 6= 0, ya que n 6= 0.

Teorema 4.5. .

Dado un n ∈ N, n 6= 0 y n 6= s(0), se cumple que,

∀a ∈ N, a 6= 0, a < P (n, a)

Demostracion

En primer lugar, para n = 0 se tendrıa que, a < P (0, a) = 0, lo que no es valido ya que,a ≮ 0, ∀a ∈ N.Tambien ocurre que para n = s(0), serıa, a < P (s(0), a) = a, lo que no es valido ya que,

20

a ≮ a, ∀a ∈ N.Por otra parte, si a = 0, serıa, 0 < P (n, 0) = P (0, n) = 0, que tampoco es cierto ya que, 0 ≮ 0.Sin embargo, si a = s(0), entonces, s(0) < P (n, s(0)) = n, es decir, s(0) < n, lo cual sı es ciertoya que n 6= 0 y n 6= s(0).Sea entonces a 6= 0. Por el Teorema 4.1, ∀n ∈ N, n 6= 0, ∃m ∈ N : n = s(m). Si ademas n 6= s(0),entonces, m 6= 0. Con esto se muestra que, a < P (n, a) ⇔ ∃q ∈ N, q 6= 0 : P (n, a) = S(a, q). Enefecto,

P (n, a) = P (s(m), a) = S(P (m, a), a) = S(a, P (m, a)) ⇒ q = P (m, a)

donde P (m, a) 6= 0, ya que m 6= 0 y a 6= 0. Por consiguiente, q 6= 0 y esto prueba el teorema.

4.1. Orden Total en N

La propiedad de tricotomıa puede expresarse en terminos de la relacion de orden, ≤, comosigue:

∀a, b ∈ N, a ≤ b o b ≤ a

es decir, todo par de numeros naturales esta afectado de alguna manera por esta relacion.Se dice entonces que la relacion ≤ es de orden total.En efecto,

∀a, b ∈ N, a ≤ b ⇔ ∃q ∈ N : S(a, q) = b

⇔ ∃q ∈ N, q 6= 0 o q = 0 : S(a, q) = b

⇔ {∃q ∈ N, q 6= 0 : S(a, q) = b} o {∃q ∈ N, q = 0 : S(a, q) = b}⇔ [a < b] o [a = b]

donde, a = b, surge de que, a = S(0, a) = S(a, 0) = b.Extendiendo este resultado se tiene que, en definitiva, son validas las formas siguientes:

∀a, b ∈ N, [a ≤ b] ⇔ [a < b] o [a = b]∀a, b ∈ N, [a ≥ b] ⇔ [a > b] o [a = b]

4.2. Estabilidad del Orden Total en N respecto de sus Leyes Internas.

Se usara la equivalencia, ∀a, b ∈ N, a ≤ b ⇔ a < b o a = b, para obtener los resultadosque siguen a continuacion. Particularmente, las partes de igualdad de los teoremas siguientes, sejustifican por las leyes de cancelacion, teoremas 2.5 y 3.6, y las leyes de compatibilidad con laigualdad, teoremas 2.6 y 3.7.

Teorema 4.6. .

∀a, b ∈ N, a ≤ b ⇒ S(a, p) ≤ S(b, p), ∀p ∈ N

Demostracion

Dado un p ∈ N cualquiera,

∀a, b ∈ N, a = b ⇒ S(a, p) = S(b, p), por Teorema 2.6

Por tanto, se debe probar que,

∀a, b ∈ N, a < b ⇒ S(a, p) < S(b, p), ∀p ∈ N

a < b ⇒ ∃q ∈ N, q 6= 0 : S(a, q) = b Por definicion de <

⇒ S [S(a, q), p] = S(b, p) Ya que vale para la igualdad⇒ S [S(a, p), q)] = S(b, p) Por Teoremas 2.2 y 2.3⇒ S(a, p) < S(b, p) Por definicion de < y ser q 6= 0

21

Teorema 4.7. .

∀a, b ∈ N, a ≤ b ⇒ P (a, p) ≤ P (b, p), ∀p ∈ N, p 6= 0

Demostracion

Dado un p ∈ N cualquiera, p 6= 0,

∀a, b ∈ N, a = b ⇒ P (a, p) = P (b, p), por Teorema 3.7

Debe observarse que para p = 0, ∀a, b ∈ N, P (a, 0) = P (0, a) = 0 = P (0, b) = P (b, 0). Por tanto,la igualdad se cumple aunque a 6= b. Por eso se exige que p 6= 0.Nos queda probar que,

∀a, b ∈ N, a < b ⇒ P (a, p) < P (b, p), ∀p ∈ N, p 6= 0

a < b ⇒ ∃q ∈ N, q 6= 0 : S(a, q) = b Por definicion de <

⇒ P (b, p) = P [S(a, q), p] Ya que S(a, q) = b

⇒ P (b, p) = S [P (a, p), P (q, p)] Por Teorema 3.2⇒ P (a, p) < P (b, p) Ya que, q 6= 0 y p 6= 0 ⇒ P (q, p) 6= 0

Teorema 4.8. .

∀a, b ∈ N, a ≥ b ⇒ S(a, p) ≥ S(b, p), ∀p ∈ N

Demostracion

Dado un p ∈ N cualquiera, se sabe que,

∀a, b ∈ N, a = b ⇒ S(a, p) = S(b, p), por Teorema 2.6

Por tanto, queda probar que,

∀a, b ∈ N, a > b ⇒ S(a, p) > S(b, p), ∀p ∈ N

Para la prueba sera util la equivalencia, ∀a, b ∈ N, a 6= 0 y b 6= 0, a > b ⇔ b < a.

a > b ⇔ b < a ⇒ ∃q ∈ N, q 6= 0 : S(b, q) = a Por definicion de <

⇒ S [S(b, q), p] = S(a, p) Ya que vale para la igualdad⇒ S [S(b, p), q)] = S(a, p) Por Teoremas 2.2 y 2.3⇒ S(b, p) < S(a, p) Por definicion de < y ser q 6= 0⇔ S(a, p) > S(b, p)

Teorema 4.9. .

∀a, b ∈ N, a ≥ b ⇒ P (a, p) ≥ P (b, p), ∀p ∈ N, p 6= 0

Demostracion

Dado un p ∈ N cualquiera, p 6= 0, ya se vio que,

∀a, b ∈ N, a = b ⇒ P (a, p) = P (b, p), por Teorema 3.7

Igualmente observese que para p = 0, ∀a, b ∈ N, P (a, 0) = P (0, a) = 0 = P (0, b) = P (b, 0). Portanto, la igualdad se cumple aunque a 6= b. Por eso se considera que p 6= 0.Queda por probar que,

∀a, b ∈ N, a > b ⇒ P (a, p) > P (b, p), ∀p ∈ N, p 6= 0

utilizando la equivalencia entre ambas relaciones de desigualdad,

a > b ⇔ b < a ⇒ ∃q ∈ N, q 6= 0 : S(b, q) = a Por definicion de <

⇒ P (a, p) = P [S(b, q), p] Ya que S(b, q) = a

⇒ P (a, p) = S [P (b, p), P (q, p)] Por Teorema 3.2⇒ P (b, p) P (b, p)

22

Teorema 4.10. .

∀a, b ∈ N, S(a, p) ≤ S(b, p) ⇒ a ≤ b, ∀p ∈ N

Demostracion


∀a, b ∈ N, S(a, p) = S(b, p) ⇒ a = b, por Teorema 2.5

Por otra parte,

S(a, p) < S(b, p) ⇒ ∃q ∈ N, q 6= 0 : S [S(a, p), q)] = S(b, p) Por definicion de <

⇒ S [S(a, q), p] = S(b, p) Por Teoremas 2.2 y 2.3⇒ S(a, p) = b Por Teorema 2.5⇒ a < b Por definicion de <

Teorema 4.11. .

∀a, b ∈ N, P (a, p) ≤ P (b, p) ⇒ a ≤ b, ∀p ∈ N, p 6= 0

Demostracion

Dado un p ∈ N cualquiera, p 6= 0,

∀a, b ∈ N, P (a, p) = P (b, p) ⇒ a = b, por Teorema 3.6

Observese tambien que para p = 0, ∀a, b ∈ N, P (a, 0) = P (0, a) = 0 = P (0, b) = P (b, 0). Portanto, la igualdad se cumple aunque a 6= b. Por eso se exige que p 6= 0.Es posible concluir la demostracion basados en la ley de tricotomıa y en la inferencia logica delcontrarecıproco, esta es: (u ⇒ v) ⇔ (∼ v ⇒∼ u).Se tiene que ∀a, b ∈ N, a 6= b, a ≮ b ⇔ b > a. Por tanto,

∀a, b ∈ N, a P (b, p) ⇒ a > b, ∀p ∈ N, p 6= 0 ⇔⇔ ∀a, b ∈ N, P (b, p) < P (a, p) ⇒ b < a, ∀p ∈ N, p 6= 0

que es lo mismo que se querıa demostrar con solo intercambiar a y b.

Teorema 4.12. .

∀a, b ∈ N, S(a, p) ≥ S(b, p) ⇒ a ≥ b, ∀p ∈ N

Demostracion



Se probara entonces que,

∀a, b ∈ N, S(a, p) > S(b, p) ⇒ a > b, ∀p ∈ N

Utilizando el recurso del contrarecıproco, se obtiene,

∀a, b ∈ N, a S(b, p) ⇒ a > b, ∀p ∈ N

23

Teorema 4.13. .

∀a, b ∈ N, P (a, p) ≥ P (b, p) ⇒ a ≥ b, ∀p ∈ N, p 6= 0

Demostracion



Debe probarse entonces que,

∀a, b ∈ N, P (a, p) > P (b, p) ⇒ a > b, ∀p ∈ N, p 6= 0

con el mismo recurso,

∀a, b ∈ N, a P (b, p) ⇒ a > b, ∀p ∈ N, p 6= 0

4.3. Orden con la notacion + y ·

Teorema 4.1

∀n ∈ N, n 6= 0, ∃m ∈ N : s(m) = n

Definicion 4.1

∀a, b ∈ N, a ≤ b ⇔ ∃q ∈ N : a+ q = b

Teoremas 4.2 Relacion de Equivalencia

∀a ∈ N a ≤ a

∀a, b ∈ N a ≤ b y b ≤ a ⇒ a = b

∀a, b ∈ N a ≤ b y b ≤ c ⇒ b ≤ c

Definiciones 4.2∀a, b ∈ N a ≥ b ⇔ b ≤ a

∀a, b ∈ N a b ⇔ b < a

Corolarios 4.1∀a, b ∈ N a ≥ a

a ≥ b y b ≥ a ⇒ a = b

a ≥ b y b ≥ c ⇒ b ≥ c

∀a, b ∈ N a ≮ a

a b y b > a ⇒ a = b

a > b y b > c ⇒ b > c

Corolario 4.2

∀a ∈ N, a < s(a)

Corolario 4.3

∀n ∈ N, 0 < n

Teoremas 4.3 Tricotomıa y Orden Total

∀a, b ∈ N a b

∀a, b ∈ N a ≤ b o a ≥ b

a ≤ b ⇔ a b o a = b

Teorema 4.4

Dado n ∈ N, n 6= 0 : ∀a ∈ N, a < n+ a

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Teorema 4.5

Dado n ∈ N, n 6= 0, n 6= s(0) : ∀a ∈ N, a < na

Teorema 4.6

∀a, b ∈ N, a ≤ b ⇒ a+ p ≤ b+ p, ∀p ∈ N

Teorema 4.7

∀a, b ∈ N, a ≤ b ⇒ a p ≤ b p, ∀p ∈ N, p 6= 0

Teorema 4.8

∀a, b ∈ N, a ≥ b ⇒ a+ p ≥ b+ p, ∀p ∈ N

Teorema 4.9

∀a, b ∈ N, a ≥ b ⇒ a p ≥ b p, ∀p ∈ N, p 6= 0

Teorema 4.10

∀a, b ∈ N, a+ p ≤ b+ p ⇒ a ≤ b, ∀p ∈ N

Teorema 4.11

∀a, b ∈ N, a p ≤ b p ⇒ a ≤ b, ∀p ∈ N, p 6= 0

Teorema 4.12

∀a, b ∈ N, a+ p ≥ b+ p ⇒ a ≥ b, ∀p ∈ N

Teorema 4.13

∀a, b ∈ N, a p ≥ b p ⇒ a ≥ b, ∀p ∈ N, p 6= 0

5. Construccion del Conjunto N

Para obtener una construccion formal del conjunto N de los numeros naturales, se puederecurrir a dos caminos diferentes. Uno consiste en introducir de forma axiomatica el conceptode numero natural a partir de los axiomas de Peano tal como se ha hecho aquı. El otro caminotoma como base la teorıa de conjuntos de Boole y Cantor. Ambos caminos estan directamenterelacionados con dos modos diferentes de conceptualizar el numero natural. El camino axiomatico,trata con su aspecto ordinal, el cual trae consigo el concepto de sucesion, esto es, el numeroordinal ofrece la facilidad para disponer todo tipo de objetos en sucesion. El camino conjuntista,trata con el aspecto cardinal del numero. El concepto de numero cardinal esta asociado a lacardinalidad de un conjunto, esto es, a la cantidad de elementos de un conjunto.Sin embargo, ambos caminos se basan en el mismo principio de recurrencia, segun el cual, enel conjunto de los numeros naturales, cualquier elemento se obtiene anadiendo una unidad alelemento que le antecede.Solo, a manera de ilustracion, es posible indicar que, segun la vision cardinal, se identifica elnumero 0 con la cardinalidad del conjunto que no posee elemento, esto es, la cardinalidad delconjunto vacıo:

0 = card(∅)

A continuacion se define el numero 1, denominado uno, como el cardinal del conjunto cuyo unicoelemento es el cero, esto es,

1 = card({0})

La definicion de los siguientes numeros naturales depende del sistema de numeracion elegido coneste fin. En cualquier caso se tendrıa que,

N = {0, 1, · · · , n, · · · }

Por otra parte, siguiendo la vision ordinal o axiomatica, se parte del cero, 0, y se define el 1como el siguiente de cero, y se le denomina uno,

1 = s(0)

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Se establece ahora que cualquier numero natural se obtiene sumando 1 al elemento que le ante-cede. Si m = s(n), entonces,

m = s(n) Por hipotesis= s [S(0, n)] Ya que S(0, n) = n

= S [s(0), n] Por definicion de S

= S(1, n) Por definicion, s(0) = 1= S(n, 1) Por Teorema 2.3= n+ 1 Por notacion + de S

De esta forma se obtiene,N = {0, 1, · · · , n, n+ 1, · · · }

Referencias

[1] Carlos S. Chinea.Introduccion de los Numeros Naturales mediante los Axiomas de Peano.

casanchi.com/mat/naturales01.pdf

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el conjunto de los nu´meros naturales · 2016. 6. 6. · los axiomas de peano se presentan en el...

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