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Aspectos geométricos y topológicos de las curvas α-densas. José Ignacio Úbeda García.

Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d´Alacant. 2006.

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José Ignacio Übeda García

Aspectos geométricos y topológicos de las curvas a-densas

9 de enero de 2006

z

Universitat d'Alacant //-«>s Universidad de Alicante 4X Departamento de Análisis Matemático

Trabajo dirigido por: Gaspar Mora Martínez



Agradecimientos

Gracias a José Carlos por su ayuda con las figuras, Gregorio por su ayuda con el E^T^X,

gracias a Esther por su cariño y sus ánimos, gracias a mi padre por sus consejos,

gracias a mi madre por su apoyo, y, por supuesto, a Gaspar.



índice general

Agradecimientos V

Notación XI

1. Introducción 1

2. Conceptos y definiciones 3 2.1. Conceptos básicos 3 2.2. Nuevos conceptos 8

3. Caracterización de los conjuntos densiñcables 11 3.1. Introducción. Teorema de Hahn-Mazurkiewicz 11 3.2. Primeras propiedades sobre la densificabilidad 13 3.3. Las relaciones e-aproximable y aproximable 17 3.4. Caracterización 20 3.5. Operaciones con conjuntos densiñcables 26

4. Curvas y funciones de Peano, derivabilidad 31 4.1. Teoremas de Sierpiñski 31 4.2. Funciones de Morayne 33 4.3. Funciones de Morayne con dominio [0,1] 39 4.4. Funciones de Morayne con dominio un intervalo no compacto 49

5. Curvas y funciones de Peano, propiedad de Lipschitz 53

6. Funciones que conservan la convexidad 59 6.1. Introducción 59 6.2. Condiciones necesarias y primeras propiedades 59

6.2.1. Propiedad de los segmentos en la frontera 60 6.2.2. Inyectividad y diferenciabilidad 62



VIII índice general

6.2.3. Propiedad del rodeo 63 6.3. El espacio de los conjuntos convexos con la métrica Hausdoríf 66 6.4. La propiedad sC 67

6.4.1. La ampliación de un círculo 69 6.4.2. Sucesión sC máxima 74

7. Sucesiones de funciones a-densas 81 7.1. Introducción 81 7.2. Variación de las componentes 85 7.3. Ejemplos y consecuencias 86

8. Aplicaciones 91 8.1. Introducción 91 8.2. Preliminares y suposiciones 92 8.3. El algoritmo para resolver desigualdades 93 8.4. Algoritmo para minimizar 95 8.5. Complementos 98

9. Densificación en espacios de dimensión infinita 99 9.1. Conceptos y resultados preliminares 99 9.2. Densificación débil e imágenes del intervalo [0,1] 101 9.3. Densificación en espacios Ip 102 9.4. Imagen débil estrella continua del intervalo [O, Ij 109 9.5. La topología a 110

10. Generalizaciones 113 lO.lEspacios topológicos 113 10.2£spacios uniformes y casiuniformes 117

10.2.1Pseudo-métricas, casi-métricas y pseudo-casi-métricas 119 10.2.2Densificación de espacios casiuniformes 121

Programas 135

Espacios Normados 143

Referencias 145

índice alfabético 147



índice de figuras

1. Tercer paso en la construcción de la curva de Osgood 7 2. Tercer paso en la construcción de un conjunto con contenido

interior de Jordan distinto al contenido exterior 7 3. Curva 7(í) = (í, sin(27rA;í)) para A: = 3 8

4. Conjunto arcoconexo no localmente conexo y densificable 14 5. Conjunto densificable pero no arcoconexo 14 6. Conjunto conexo, compacto y no densificable 16 7. Primer paso para la construcción de la doble tienda de campaña:

(C n Q) X [-1,1] 19 8. La doble tienda de campaña 20 9. Unión de conjuntos densificables con intersección no vacía que no

es densificable 27 10. Ejemplo de intersección de conjuntos densificables que no es

densificable 27 11. Conjunto densificable cuya frontera no es densificable 30

12. Representación de la imagen de {h^^ x h^^) o F oh 37 13. ip{t) con t e [-^, ^ ] 39 14. Tercer paso de la construcción de la variación de la escalera de

Lebesgue del ejemplo 1 42 15. Descomposición de / según la derivabilidad de gi y la cantidad de

antiimágenes 43 16. Descomposición de / según la derivabilidad de /¿ y la forma de Di . 45 17. Función gi 51

18. Conjunto con segmento en la frontera 61

19. Triángulo 7(í,)7(a)7(6) 61 20. Ampliación de la curva 7 65



X índice de figuras

21. Sucesión sC con diámetro infinito 69 22. Ampliación más sencilla de una sola vuelta del círculo 70 23. Ampliación máxima del círculo en una vuelta 71 24. Ampliación con dos conjuntos 72 25. Sucesión sC con cuatro triángulos equiláteros 75 26. Sucesión totalmente convexa con inradio máximo

encontrado. Términos 1-3 75 27. Sucesión totalmente convexa con inradio máximo encontrado.

Términos 4-6 75 28. Sucesión totalmente convexa con inradio máximo encontrado.










Términos 34-36 79 Resultado final 80 38.

39.

40.

Ejemplo de sucesión de funciones uniformemente convergentes con variación constante y cuyo límite tiene variación distinta 83 La curva de Koch 88

41. Relación entre los distintos tipos de densificación 133

1. Función del crecimiento de la cota del diámetro según el teorema 6.22 141

2. Función del crecimiento de la cota del diámetro para la ampliación con dos conjuntos 142



Notación

R Conjunto de los números reales M"*" Reales positivos N {0,1,2,3,...} Z+ {1,2,3,...} C Inclusión C Inclusión estricta Jn Contenido de Jordan de dimensión n 8{x) Conjunto de entornos de x Siá{Á) Adherencia de A ¥T{Á} Frontera de A L{'y) Longitud de la curva 7 Xn{A) Medida de Lebesgue de A en W var(/) Variación de la función real / B{x,r) Bola abierta de centro x y radio r B'{x, r) Bola cerrada de centro x y radio r C{{X,Tx), {Y,TY)) funciones continuas de (X,7x) a {Y.Ty) C{X^Y) funciones continuas de {X,Tx) a (Y^Ty) T\Y Topología relativa arcoco(X) Conjunto de los subconjuntos arcoconexos de X H{E) Conjunto de cerrados y acotados no vacíos de E dff Distancia de Hausdoríf V{X) Partes de X Sy Cuando S es un conjunto de pares, Sy = {{x, y) G S} S^ Cuando S es un conjunto de pares, S^ = {{x, y) G S} Xn{A) Medida interior de Lebesgue en R" p[K] Polinomios con coeficientes en K 'D{K, I) Funciones derivables de Ü' en / XA Función característica de A



XII índice de figuras

ac(A) Conjunto de puntos de acumulación de A Km inf Límite inferior var(/) Variación de /



Introducción

En esta tesis se pretende hacer un estudio de los aspectos geométricos y topo-lógicos de las curvas de Peano y de su generalización, las curvas a-densas.

Comenzamos con el capítulo 2, un capitulo preliminar donde introducimos los conceptos previos. En el siguiente capítulo pasamos a caracterizar los conjuntos densificables y hacer un estudio de las propiedades de dichos conjuntos relacionándolo con los estudios hechos sobre los conjuntos de Peano.

En el cuarto capítulo hacemos un estudio detallado de la derivabilidad de las funciones de Peano extendiendo así los artículos de Morayne sobre el tema, demostrando que existen funciones de Peano de un intervalo semiabierto a E^ que son derivables en todo punto en alguna de sus componentes (lo que denotaremos por funciones de Morayne). También vemos algunas condiciones que ha de cumplir una función para ser de Morayne con dominio un intervalo cerrado y cuya imagen sea E^ (si existiera).

En el quinto capítulo estudiamos la relación entre las curvas a-densas y las funciones de Lipschitz.

En el sexto capítulo analizamos el problema planteado por Mihalik y Wieczorek sobre si existen o no curvas de Peano tales que la imagen de un convexo sea convexa. Para ello hacemos un estudio de las sucesiones de convexos y damos condiciones necesarias para que una curva conserve los convexos.

En el séptimo capítulo estudiamos que condiciones ha de cumplir una sucesión de curvas a-densas para que el límite sea una curva de Peano. Llegamos, entre otras conclusiones, a establecer que para que el límite tienda a una curva de Peano es necesario que la variación de todas las componentes sea infinito.

El octavo capítulo tiene un carácter más práctico. Se aplican las curvas a-densas para la resolución de problemas prácticos. En concreto se describe un método para la resolución de desigualdades y un algoritmo para minimizar funciones.



2 1 Introducción

En el noveno capítulo se extiende el estudio de las curvas a-densas a los espacios vectoriales de dimensión infinita viendo cuándo son a-densificables, para qué a y cuándo son de Peano. Debido a la imposibilidad de densificar la bola unidad para a < 1 generalizamos el concepto de a-densidad para poder aplicarlo en la topología débil de un espacio vectorial normado.

En el último capítulo generalizamos el concepto de curvas a-densas a espacios topológicos, uniformes, casiuniformes, pseudométricos, casipseudométricos y casimétricos y obtenemos algunas relaciones entre las distintas posibilidades de densificación así como algunas condiciones necesarias o suficientes para que un conjunto sea densificable según la definición dada.

Al final, en el apéndice hemos añadido un programa en c para la densificación de las bolas en l^ y para el cálculo de la cota máxima del diámetro dada por el teorema de la ampliación por dos y tres conjuntos.

Conceptos y definiciones

Dividimos el capítulo en dos secciones, en la primera recordaremos algunos conceptos ya conocidos de los espacios topológicos y los espacios métricos e introduciremos la notación que se usará a lo largo del trabajo; en la segunda introduciremos los conceptos básicos de este trabajo.

2.1. Conceptos básicos

Veamos algunas definiciones básicas de espacios topológicos y espacios métricos.

Definición 2.1. Sea {X,T) un espacio topológico, decimos que X es

i) conexo siyA,B eT : siAnB = (¡)AA\jB = X, entonces A = XVB = X

llj compacto si V{Aj}ie/ C T : si X = IJigjA entonces, 3n G ME]{¿j}^^^ C / :

x = üUA^ Illj arcoconexo si Vx,y G X3^f e C([0,1],X) : 7(0) = x A7(l) = y.

Veamos algunas definiciones para subconjuntos de un espacio topológico.

Definición 2.2. Dado un Y Q X definimos la topología relativa como T\Y = {A^Y -.AeT}.

Se comprueba fácilmente que (Y, T\Y) es un espacio topológico.

Todos los conceptos y propiedades que se definen para espacios topológicos (Jí, T) pueden definirse para subconjuntos F de X, entendiendo que Y tiene la propiedad P si y sólo si (y, 7[y) tiene la propiedad P

Definición 2.3. A C X es una componente conexa de X si A es conexo y, V-B ^ A : B no es conexo. Análogamente definimos las componentes arcocone-xas. Denotamos por arcoco{X) el conjunto de los subconjuntos arcoconexos de X.



4 2 Conceptos y definiciones

Finalmente veamos lo que son las propiedades locales en un espacio topológico y los conjuntos precompactos en un espacio métrico.

Definición 2.4. Dada una propiedad P de un espacio topológico decimos que X es localmente P si \/x G XÂ G £{x)3B G £{x) : B C AAB cumple P. En particular diremos que X es localmente conexo si \/x E X\fA e £{x)3B E £{x) : B C AA B es conexo.

Definición 2.5. Sea {X, d) espacio métrico decimos que X es precompacto 5¿ Ve > 03n e N3{x,}Jî C X : X = U"î B{xj, e).

Veamos ahora una distancia entre conjuntos.

Definición 2.6. Sea (E, d) espacio métrico, denotamos por T~L{E) al conjunto de cerrados y acotados distintos del vacío en E, es decir

7i{E) = {A(ZE: E\A G 7^ A diam{A) < +oo A ^ 7¿ 0}

donde diam(A) = sup{d{x, y) : x,y G A} y T¿ la topología determinada por la distancia d.

Definimos ahora el espacio métrico {7i(E),dH) con la distancia de Hausdorff

dn-.niEf ^ [O,+oo[

(A, B) ^ dniA, B) = ínf{e > O : A C [B], ABC [A],}

donde [A]e — {x E E : d{x, A) < e} que es lo que llamaremos el conjunto e-paralelo de A.

La exigencia en la definición de que los conjuntos sean cerrados y acotados es para que la función df{ sea una distancia. Lo que se justifica por la

Proposición 2.7. Dado un espacio métrico {E,d), {7i{E),dH) es un espacio métrico.

Demostración. Veamos que cumple las tres propiedades de distancia.

DI V^, B G n{E) : dniA, B) > O A (dniA, B) = 0<Â = B).

Si A = B, claramente dniA^B) = 0. Supongamos ahora que A ^ B y sea a G yl tal que a ^ B (si A C B procederíamos de forma análoga pero con b G B \ A), entonces, por ser B cerrado, existe un punto bo E B tal que d{a, B) = d{a, bo) > O y, por tanto, d{A, B) > 0.

2.1 Conceptos básicos 5

D2 VA, B e H{E) : dniA, B) = duiB, A).

Se sigue fácilmente de la definición.

D3 VA, B,C e n{E) : dniA, C) < dniA, B) + dniB, C).

Sea d = dH{A,C),e = dH{A,B),f = dH{B,C) tenemos que A C [B]^ C [[C]fl pero

[[C]fl = {xex = {xex = {xex c{xex = [C]ne

d{x, [C]f) < e}

3ye[C]f:d{x,y)<e}

3y e X3c e C : d{x, y) < e A d{c, y) < / }

3y e X3c e C : d{c, x) < d{x, y) + d{c, y) < e + f}

y, por tanto, A C [C]e+/; análogamente C C [A]e+/ y, por tanto, tenemos la desigualdad.

Una demostración distinta de la proposición previa se puede encontrar también en Kuratowski [17, pag. 214] y se propone como ejercicio en Dieudonné [9, pag. 66].

Observación 2.8. a) Si no exigimos en la definición 2.6 que los elementos de Ti.{E) sean cerrados, entonces no se cumple la propiedad DI.

Ya que, todo conjunto y su adherencia tienen distancia de Hausdorfí' O y, por tanto, si un conjunto no es cerrado, él y su adherencia son distintos y su distancia es 0.

Por ejemplo, ]0,1[ y [0,1] distarían O y no son iguales.

b) Si no se exige que los elementos de 'H(E) sean acotados, entonces el ínfimo podría ser infinito. Así, si A no es acotado y 5 lo es, entonces Ve G [O,+CXD[: A^[BlydH{A,B) = +^.

Si permitimos que la distancia sea infinita, podemos considerar H{E) como el conjunto de todos los conjuntos cerrados; nosotros trabajamos con conjuntos precompactos (que siempre tienen el diámetro finito) y no nos será necesaria esta consideración^.

Definimos lo que vamos a considerar a partir de ahora una curva.

^ Para más detalle acudir a Kelley [14] y a Kuratowski [17] y [18] donde se define y se estudia una topología para subconjuntos cerrados y acotados de un espacio topológico que, en el caso de que esté dotado de una métrica y el conjunto sea compacto, coincide con ésta.


Definición 2.9. Llamamos curva a toda función continua con dominio un intervalo cerrado y acotado I (en general trabajaremos con el intervalo unidad [0,1]).

Al conjunto de curvas de I a un espacio topológico {X, T) lo denotaremos como C{I, {X, T)) o, si está clara la topología, C{I, X)

Pasemos ahora a definir lo que es una curva de Peano o curva que llena el espacio.

Definición 2.10. Decimos que una curva 7 G C{I,W^) es una curva que llena el espacio o que es una curva de Peano si Jn{'^i{I)) > O, donde Jn denota el contenido de Jordan de dimensión n.

Esta definición es la que da Sagan [32, pag. 5] pero, cabría esperar que dicha propiedad se mantuviera por inclusión, es decir, que si 71 es una curva que llena el espacio o de Peano y 7i(/) C 72(1) entonces, 72 es una curva que llena el espacio. Con esta definición, esta propiedad no se cumple siempre, como vemos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.11. Sea ¡K la curva de Osgood^ de Sierspiñski que se construye recur-sivamente. En la la figura 1 se muestra el tercer paso de su construcción (para un estudio más detallado véase Sagan [32, Capítulo 8.3, página 136]). Definimos el conjunto A, ver figura 2, como el acotado por las curvas ¡K, fK&~^ Y ÍK^"^ + 1-El conjunto ad{A) es compacto, conexo y localmente conexo, luego, por el teorema 3.1, existe una curva fs tal que fs{I) = ad{A). La curva fs tiene medida de Le-besgue en M positiva pero no es medible Riemann, con lo que el contenido interior de Jordan es distinto al exterior.

Tomando una curva 71 que llene un cuadrado contenido en A, tenemos que li{I) C 7ft:(/), 7i es de Peano y 7ÍÍ no.

Para evitar esta anomalía podemos redefinir las curvas que llenan el espacio como sigue:

Definición 2.12. Decimos que una curva 7 G C(J, R"-) es una curva que llena el espacio si la curva tiene contenido interior de Jordan n-dimensional positivo o, lo que es equivalente, que int(7(/)) 7 0.

Además esta definición nos permite generalizar la idea a espacios topológicos.

Definición 2.13. En general dado un espacio topológico {X,T) decimos que 7 E C{I,X) es una curva que llena el espacio o una curva de Peano si int(7(/)) 7¿ 0.

En particular algunos autores llaman curvas que llenan el plano a las curvas de Peano cuando el espacio final es E^, en Morayne [26] se denominan funciones tipo Peano a las funciones sobreyectivas de R en M" o en R' sin exigir la continuidad.

^ Decimos que una curva es una curva de Osgood si la medida de Lebesgue de su imagen es positiva.



2.1 Conceptos básicos 7

Figura 1. Tercer paso en la construcción de la curva de Osgood.

Figura 2. Tercer paso en la construcción de un conjunto con contenido interior de Jordan distinto al contenido exterior.



2.2. Nuevos conceptos

En esta sección se definen los conceptos básicos de este trabajo: curva a-densa y conjunto densiñcable.

Definición 2.14. Dado un suhconjunto A de un espacio métrico (X, d) y un a > O, decimos que una curva 7 G C{I, X) es a-densa en A si 7(7) C A y^a E A3t e I : d{a,'^/{t)) < a.

Ejemplos 2.15. a. La curva que llena el espacio de Hilbert (ver [32, Capítulo 2]) y la curva que llena el espacio de Peano (ver [32, Capítulo 3]), son 0-densas en [0,1]^

b. La curva (í, sin{2v: • A; • í)), de / = [—1,1] en /^ con k E Z, es ^-densa (como mínimo) en P ya que los puntos más lejanos (los vértices) están a distancia no superior a ^ de la curva (ver figura 3).

Figura 3. Curva 7(í) = (í,sin(27r/cí)) para k = 3.

Análogamente podemos comprobar que la curva (í, cos(Trkt)) de / = [—1,1] en P es |-densa en P.

Veamos lo que entendemos por conjunto densiñcable.

Definición 2.16. Sea {E, d) un espacio métrico y A C E, decimos que A es den-sificable si Va > 037 ^ ^i^. A) : j es a-densa en A.

Esta definición es equivalente a

A es densificable si B{^n}neN ^ C(I, A) : 7„ es —densa en A. n

Utilizando la definición de distancia de Hausdorff (definición 2.6) tenemos las siguientes equivalencias.

2.2 Nuevos conceptos 9

Proposición 2.17. Sea {E, d) un espacio métrico y A C E precompacto. Entonces

1. 7 es una curva a-densa en A si y sólo si 7(7) C A y dH{j{I), A) < a

2. A es densificable si y sólo si Va > 037 ^ C(- ) ) • d,{'~'f{I),A) < a; si y sólo si ^{lAjeN ^ C{I,A) : lím7j(/) = A con la métrica de Hausdorff.

donde, para que A sea cerrado, nos reducimos al espacio métrico (A, d) con la métrica inducida.

Otras caracterizaciones y un estudio más detallado sobre la curvas a-densas se presentan en el artículo Mora-Cherruault [19] donde se da una caracterización de las curvas a-densas a partir de los conceptos 7-uniformemente distribuido y 7-estocásticamente independiente que son, a su vez, una generalización de los conceptos uniformemente distribuido y estocásticamente independiente que pueden encontrarse en Sagan [32, pag. 108-112].

Caracterización de los conjuntos densificables

En este capítulo procedemos a estudiar los conjuntos densificables comparándolos con los conjuntos imágenes continuas de un intervalo compacto.

En la primera sección enunciamos el teorema de Hahn-Mazurkiewicz que caracteriza los conjuntos de Peano y presentamos algunos ejemplos que clarifican el teorema.

En la segunda sección establecemos algunas propiedades de los conjuntos densificables y los comparamos con los conjuntos de Peano mediante ejemplos.

En la tercera sección definimos los conceptos e-aproximable y aproximable que nos servirán para la caracterización de los conjuntos densificables que damos en la cuarta sección.

En la última sección estudiamos el comportamiento de los conjuntos densifica-bles con respecto a las operaciones entre conjuntos.

3.1. Introducción. Teorema de Hahn-Mazurkiewicz

Los conjuntos densificables tienen un interés muy especial ya que, aunque pueden no ser la imagen continua del intervalo [0,1] (como veremos más adelante), sí pueden ser aproximados tanto como queramos por la imagen de una curva.

Para empezar enunciaremos algunos resultados importantes relacionados con la cuestión.

Comenzamos enunciando el teorema de Hahn-Mazurkiewicz^ que caracteriza los conjuntos que son imagen continua del intervalo cerrado unidad:

^ Kuratowski, en [18, Página 256], lo denomina teorema de Hahn-Mazurkiewicz-Sierpinski e incluye la siguiente caracterización: un conjunto X conexo, compacto y no vacío es la imagen continua del intervalo [0,1] si y sólo si X es la unión de un numero finito de conexos y compactos de diámetro menor que e para cada e > 0.



12 3 Caracterización de los conjuntos densificables

Teorema 3.1 (Hahn-Mazurkiewicz). Sea (X, T) un espacio topológico Haus-dorff. X es imagen continua del intervalo [0,1] (i.e 37 e C([0,1],X) : -/([0,1]) = XJ si y sólo si X es metrizable, compacto, conexo y localmente conexo.

Para su demostración ver, por ejemplo, Sagan [32, pag 106-107] o Kuratows-ki [18, pag 256-257], para la demostración de la metrizabilidad ver Willard [39, página 221] o Hocking y Young [13, pag 136].

A los conjuntos que son imagen continua del intervalo [0,1] se les denomina continuos de Peano o conjuntos de Peano.

El teorema de Hahn-Mazurkiewicz nos caracteriza los espacios métricos que son imagen continua del intervalo [0,1]. Si nos encontramos en cualquier espacio topológico de Hausdorff, el espacio será la imagen continua de un intervalo si y sólo si es metrizable y cumple las condiciones del teorema (para ver condiciones sobre la metrización de espacios topológicos ver Hocking y Young [13, apartados 2.9 y 2.11], Lynn y Seebach [36, Parte HI]). Veamos que la exigencia de la metrización es necesaria.

Ejemplo 3.2. 1. Todo espacio topológico trivial con cardinal mayor que el continuo es compacto, conexo y localmente conexo (por ser la topología trivial) pero, sin embargo, el espacio no es imagen continua del intervalo unidad ya que ni siquiera existe una función sobreyectiva del intervalo a dicho espacio. Por supuesto estos espacios no son metrizables ya que ni siquiera son Hausdorff.

2. {P,T), el cuadrado unidad con la topología T dada por el orden (a:i,a;2) < (j/i)2/2) si y sólo si Xi < yi\/ (xi = yi /\ X2 < í/2), es un espacio topológico conexo, compacto y localmente conexo pero no es la imagen continua del intervalo unidad, ya que, no es arcoconexo (ya que toda imagen de una curva está contenida en un segmento vertical) y, por tanto, no es metrizable (de hecho, ni siquiera tiene una base numerable de abiertos).

a) Conexión. Sean A., B dos abiertos disjuntos no vacíos con (O, 0) G A. Sea mi = ínf{6 : 3x : {b,x) E B} y 1712 = íní {{b : (mi, 6) G B} U {!})• Como A es abierto tenemos que (mi, 1112) ^ A y, por ser B abierto, (mi, 1712) ^ B con lo que AU B ^ í^ y, el espacio es conexo.

b) Compacidad. Sea {A}¿eJ un recubrimiento por abiertos de P. Como es un recubrimiento, existe un Aj^ tal que (0,0) G Aj^. Sea Aj^ un abierto que contenga al punto (0,1). Como es un abierto existe un xi tal que ]0,xi[xl C Aj^. Si realizamos lo mismo que hemos hecho con el segmento {0} X / con la línea {xi} x / conseguimos un nuevo punto X2 y, así sucesivamente, obtendremos una sucesión de puntos crecientes que convergerá. Sea L el conjunto de todas las sucesiones definidas de esta forma. Definimos la función

3.2 Primeras propiedades sobre la densificabilidad 13

F : L ^ [0,1]

{xn} ^ Km Xn n—*cx}

y definimos y = snpF. Si y ^ 1 entonces existe un abierto A^ tal que (y, 0) G Ak, existe un (5 > O tal que ]y ~ S,y[xl c A^, existe un abierto Ak' tal que {y,l) E Ak' y nn (yi,!) e Ak' con y < yi- Como y es el supremo existe una sucesión {Xn}neN tal que y' = lím„ x„ 6]y — 5, t/]. Sea UQ tal que 2no £]?/' ~ ! y'[- Así existe una sucesión en L cuyos primeros términos son Xi,..., Xno, y, Vi y llegamos a una contradicción luego 2/ = 1. Luego tenemos un conjunto finito de abiertos, {Aj.jf^Q C {Ai}¿ej tal que ^^ \ Ur=i^ii c: UiLoí^j} ^ - ' ^^"i^ ^^0 d^ lo^ segmentos es compacto al ser homeomorfo a / y los conjuntos son cerrados; luego tenemos una unión finita de conjuntos compactos y un subrecubrimiento finito {Aj. } para cada ji y, por tanto, el espacio topológico es compacto.

c) Conexión local. Sea (ai, 02) E P y A nn entorno suyo. Si 02 ^ {0,1}, entonces podemos tomar un subentorno de (ai, 02) contenido en A homeomorfo a un intervalo de R y, por tanto, tendremos la conexión. Si a2 es O ó 1 entonces la demostración de la conexión será análoga al apartado 2a.

Es fácil ver que todo continuo de Peano es arcoconexo.

3.2. Primeras propiedades sobre la densificabilidad

Una vez caracterizados los conjuntos de Peano veamos, como hemos mencionado, que hay conjuntos densificables que no son imagen continua del intervalo [0,1].

Ejemplo 3.3. Conjunto conexo, localmente conexo, precompacto y no compacto que es densificable.

Un ejemplo es el conjunto ]0,1[. Es densificable ya que la curva 7(í) = a í + (1 — í)(l — a) es a-densa en ]0,1[. Y no es la imagen continua de un intervalo cerrado al no ser compacto.

Ejemplo 3.4. Conjunto compacto, conexo, arcoconexo y no localmente conexo que es densificable (ver figura 4).

Un ejemplo es el conjunto

A= [j {te^' G C : t e [0,1]} U ([0,1] x {0}).

A es densificable ya que si a > O y m G Z" es tal que sin -^ < a, entonces la curva que recorre los segmentos {fea^* : í G [0,1]} para toda n < m es a-densa.

Figura 4. Conjunto arcoconexo no localmente conexo y densificable.

La propiedad de arcoconexión tampoco es necesaria.

Ejemplo 3.5. Conjunto compacto, conexo, no localmente conexo y no arcoconexo que es densificable (ver figura 5).

Un ejemplo es el conjunto

^ = { ( ¿ , s i n ^ ) : í e ] 0 , l ] } U ( { 0 } x [ - l , l ] )

0.5

-0 .5

Figura 5. Conjunto densificable pero no arcoconexo.

A es densificable, ya que la curva 7(í) = (¿, sin(^.^ A ^ +(1—¿)) ^) a-densifica

el conjunto cuando k es tal que {2k'K — | )~^ < a. A es compacto y conexo (véase Steen-Seebach [36, pag. 137-138, ejemplo 118]), pero no es localmente conexo (en ninguno de los puntos de {0} x [—1,1]).

3.2 Primeras propiedades sobre la densificabilidad 15

La conexión, que sí la hemos mantenido en los dos ejemplos anteriores, sí es necesaria para ser densificable así como también lo es la precompacidad.

Proposición 3.6. Sea {X, d) un espacio métrico densificable, entonces X es conexo y precompacto.

Demostración. Precompacidad: Sea e > O, veamos que existe n e N tal que

n

3{x,}]^,CX:X=[JB{x,,e). i=o

Sea 7 una curva |-densa en X. Como 7(/) es compacto, existen ra G N y {'tj}]=o ^ I tales que

7(/) c ü 5(7(í,)4); luego, tomando Xj = j{tj), usando la desigualdad triangular y que 7 es |-densa,

n

X=[JB{xj,e) 3=0

Conexión: Supongamos que X no es conexo y sean A, B dos abiertos no vacíos que formen una partición (i.e. AHB = ^ /\ AiJ B = X). Sea 6 e -B y a e ^4, como AyB son abiertos

3ei, 62 > O : S(6, d ) C S A B{a, 63) Q A.

Tomando ahora una curva e-densa con e < mín{ei, £2} tenemos que 7(1) n A 7 0, 7(7) n i? 7 0 y que ^¡~^{A), 7~-^(5) es una partición por abiertos de / , lo que contradice la conexión de / y, por tanto, X es conexo. •

Estas condiciones, ser conexo y precompacto, no son suficientes para ser densificable como nos muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.7. Conjunto conexo, precompacto y no densificable (ver figura 6).

El conjunto

S = {(í, sin \):te [-1,1] \ {0}} U ({0} x [-1,1])

es conexo (ver ejemplo 3.5) y tiene 3 componentes arcoconexas

Si = { ( í , s i n ^ ) : Í G [ - l , 0 [ }

52 = { 0 } x [ - l , l ]

53 = {( í , s in^) : ÍG]0, l ]}

Figura 6. Conjunto conexo, compacto y no densificable.

por lo tanto, si 7 es una curva, para algún j E {1,2,3}, 7(1) C Bj y tenemos 3 casos

1. 7(7) C 5 i

Entonces (i((l,sin(l)),7(J)) > 1 y, por tanto, la curva no será a-densa cuando a< 1

2. 7(/) C B2 Entonces (¿((1, sm(l)), 7(7)) > 1 y, por tanto, la curva no será a-densa cuando a < 1

3. 7(/) C B3 Entonces (i((—1, sin(—1)), 7(7)) > 1 y, por tanto, la curva no será a-densa cuando a < 1

luego no será a-densa para a < 1 y, por tanto, el conjunto no es densificable.

Veamos que la densificabilidad se conserva por funciones uniformemente continuas.

Teorema 3.8. Sean (X, d) y {Y, d') espacios métricos y f una función uniformemente continua de X en Y tal que f{X) = Y. Entonces si X es densificable, Y también lo es.

Demostración. Sea a > O, por ser / uniformemente continua, existe un 5 > O tal que

Vx, x' eX : d(x, x') <S=^ d'{f{x), f{x')) < a (1)

Por ser X densificable existirá una curva 7 que sea í-densa en X, veamos que / o 7 es a-densa en Y.

3.3 Las relaciones e-aproximable y aproximable 17

Sea y G y , por ser / sobreyectiva, existe un x G X tal que f{x) = y y, por ser 7 (5-densa, existirá un í G / tal que d{j{t), x) < S y, por tanto,

por (1) d'ifoj{I),y)<d'{f{j{t)),f{x)) < a

como queríamos demostrar. •

Sin embargo, la continuidad no conserva la densificación (ni siquiera los homeo-morfismos).

Ejemplo 3.9. ]0,1[ y M son homeomorfos pero ]0,1[ es densificable y M no, al no ser precompacto.

Corolario 3.10. Sean {X,d). {Y,d') dos espacios métricos y f una semejanza de razón r > O entre X eY, entonces X es densificable si y sólo si Y es densificable.

Demostración. Basta aplicar que toda función semejante y su inversa son uniformemente continuas. •

Corolario 3.11. La propiedad de ser densificable es métrica i.e. se conserva por isometrías.

3.3. Las relaciones e-aproximable y aproximable

Para ver una caracterización de los conjuntos densificables vamos a necesitar algunas definiciones sobre relaciones

Definición 3.12. Sea X un conjunto y A C X, R es una relación binaria en X si R C X X X. Denotaremos {x, y) E R por xRy.

Decimos que:

a.- R es reflexiva en A si^x E A : xRx

b.- R es simétrica en A si Va:, y E A : xRy => yRx

c- R es antisimétrica en A si Vx, y E A : xRy A yRx =^ x = y

d.- R es transitiva en A si Vx,y,z E A : xRy A yRz =4> xRz

e.- R es un orden parcial en A si es reflexiva, antisimétrica y transitiva en A.

f.-Res superiormente consistente enY (Z X si \/x, y G Y3z G Y : xRz A yRz

Veamos unas relaciones binarias entre subconjuntos de X que nos serán muy útiles para la caracterización.

Definición 3.13. Sea {X, d) un espacio métrico, A, B C X y e > 0. Decimos que A es e-aproximable por B o que B e-aproxima A y lo denotamos por A ^^ B, si yxeA: d(x, B) < e.

Diremos que A es aproximable por B y lo denotamos por A O B, si Ve > OVa; € A3y e B : d{x, y) < e

Observación 3.14-. Las definición de aproximable es equivalente a

1. Ve> 0\fxeA:d{x,B) < e

2.\/x&A: d{x, B) = 0

3.Ve>0An,B

Í.AHQB

Veamos qué propiedades cumplen las relaciones binarias C y C^.

Proposición 3.15. Sea (X,d) un espacio métrico. En el conjunto V{X), la relación Q es reflexiva y transitiva y la relación C^ es reflexiva.

Demostración. La propiedad reflexiva para ambas relaciones es directa.

Para la propiedad transitiva de C: sean A,B.,C C X tales que AQ B y B QC, sea X & A y e > 0. Como A Q B, existe un y E B tal que d{x^ ^) < f y» como B C. C, existe un z e C tal que d(z, ?/) < | y, por la propiedad triangular, d{x, z) < e m

En general, ^ y ^e no cumplen ni la simetría, ni la antisimetría. Respecto a la simetría basta con analizar el ejemplo 3.5 donde Ai = {(t. seuj) : t G]0, 1]} y A2 = {0} X [—1,1] cumplen que A2 C Ai pero Ai % A2 y, por tanto, no es simétrica^.

En el ejemplo siguiente podemos ver un caso donde no es antisimétrica.

Ejemplo 3.16. Conjuntos que no cumplen la propiedad antisimétrica para la relación C.

Sea A un subconjunto no cerrado de un espacio métrico y ad^l su adherencia, entonces AC.8iáAya.áAQA.

Aún podemos ir más allá y poner un ejemplo donde los conjuntos sean disjuntos (de hecho, componentes arcoconexas distintas) .

Ejemplo 3.17. La doble tienda de campaña.

Comenzamos cogiendo el conjunto (CfiQ) x [—1,1] de M? donde C es el conjunto ternario de Cantor [C = {x = 032;ia;2a 3 •.. G [0,1] : Vj e Z+ : Xj G {O, 2}} donde el subíndice del O indica la base tomada).

^ Nótese que además los conjuntos elegidos son arcoconexos

3.3 Las relaciones e-aproximable y aproximable 19

Figura 7. Primer paso para la construcción de la doble tienda de campaña: (C n ' -1>1]

Dividimos el conjunto C(IQ en Ci — {x e CCiQ : x tiene periodo de un dígito en su desarrollo ternario} y C2 = (C fl Q) \ Ci.

Sea

d:CnQ ^ N

X = 030:1X22 3 . . . H-» n = mín{j EN : x = 03X1X2 . . . Xjxj^ ... x^i^}

i.e. n es el último dígito fuera del periodo. Acortamos levemente los segmentos, los de Ci X [—1,1] por arriba, haciendo corresponder al punto x G Ci el intervalo [—1,1 — ^ ] siendo n = d{x), y los otros por abajo, haciendo corresponder al punto X e C2 el intervalo [—1 + ^ , 1 ] siendo n = d(x). Como resultado queda el conjunto D — DiU D2 donde Di es el conjunto Ci x [—1,1] acortado y D2 es el conjunto C2 X [—1,1] acortado.

Aplicamos a D una transformación F que mande el conjunto [0,1] x [—1,1] al conjunto B = {{x,y) G R^ : | | | < x < |1 — | | } de forma convexa es decir

F : [ 0 , l ] x [ - l , l ] B

I g l ^ + l l " 2"^^"^^'^^

Esta aplicación une en una componente arcoconexa a Di y en otra componente arcoconexa a, D2, es decir F(D) tiene dos componentes arcoconexas.

Veamos que F{Di) C F(D2) y que F(D2) ^ F(Di). Por ser F continua basta ver que V(x, í) e DiB{yj,tj}jeN C D2 : límj^oo{yj,tj) = (x,í).

Sea X = O3X1X2... x^x^^ con Xk G (O, 2}, tomamos Pj = O3X1... Xj02 G C2, para j > n, (yj,t) G D2 y, por tanto, \(yj,t) — (x,í)| = \yj — x| < O3OO.. .01 = ^ —> O y, así, tenemos que F{Di) C F(D2).

De una forma análoga se ve que F(D2) C F{Di).

Figura 8. La doble tienda de campaña.

Para ver que la propiedad O^ no es transitiva basta tomar los conjuntos {—e}, {0}, {e} donde {—e} e-aproxima a {0} y {0} e-aproxima a {e} pero {—e} no e-aproxima a{e}

3.4. Caracterización

Veamos un lema antes de dar la caracterización.

Lema 3,18. Sea (X,d) un espacio métrico. Si X es precompacto y arcoconexo, entonces es densificable.

Demostración. Sea a > O, por precompacidad,

3n e N3{xj}j^Q C X\/x e X3j G {O,. . . , n} : d(x, Xj) < a;

por ser arcoconexa, existe una curva 7 que une todos estos puntos y, por tanto, dicha curva es a-densa. •

Como el ejemplo 3.5 muestra, un conjunto densificable no tiene porque ser arcoconexo.

Teorema 3.19. Un espacio métrico (X,d) es densificable si y sólo si X es precompacto y, para todo e > O, 0¿ es superiormente consistente en arcoco(X).

3.4 Caracterización 21

Demostración.

> Por la proposición 3.6 tenemos la precompacidad.

Sea e > O y 7 una curva e-densa, entonces la imagen de 7 es arcoconexa y, por tanto, si A,B E arccoco(X)

\/x e AU B3y G 7(/) : d{x, y) < e

con lo que A C , 7(7) y B Q^ 7(7) y, por tanto, C^ es superiormente consistente en arcoco(X).

= Sea a > O, como X es precompacto,

¡y 3n e N3{x } ==o C X : Va; e X 3 i G {O,.. . , n} : d{x, Xj) < -.

ó

Denotemos por A^^ la componente arcoconexa que contiene al punto Xj. Construimos ahora una sucesión finita de componentes arcoconexas tal que la última |-aproxime a todas.

Sea AQ = AXQ y supongamos que ya hemos obtenido Aj una componente arco-conexa tal que g.g",, -aproxima a A.^^,..., A^;., vamos a construir la componente arcoconexa Aj^i que 3^„'!!^-,i-aproxime a AXQ , • . . , A^^, ^Xj+i • Como C^ es superiormente consistente, para todo e, tenemos que tomando e = ~ y los conjuntos Aj y A^-.^-^ obtenemos un Aj^i que e-aproxima A^^^-^ y Aj. Luego si X e A^^ con i < j ,

3yo eAj :d{x,yo) < ^ 7 ^ — ;

además,

32:0 6 Aj+i : d(yo, ZQ) < j - ^

y, por tanto,

7/ ^ ^ a • 2^ + a d{x, zo) < d{x, yo) + d{yQ, ZQ) < j ^ ^ ~ + ^ 7 ^ = ~3.2^

a-T + a2^ __ a • y+^ _ a ^ 3-2'^ ~ 3-2" ~ 3 . 2"-(i+i) •

De esta forma conseguimos una componente arcoconexa An tal que

Por el lema previo tenemos que 37 G Cil, A„) : Vx G An dix, 7(/)) < 3 •

Esta 7 es a-densa en X, ya que, si a; G X, entonces

Ol Ot 0¿

3j e {0,..,n}Bzo e AnSto e I : d{x,Xj) < --Ad{xj,Zo) < -/\d{zoríito)) < 77;

con lo que usando la desigualdad triangular d{x, 7(/)) < d{x, 7(ío)) < d(x, Xj) + d{xj, ZQ) + d{zo, 7(^0)) < «•

Corolario 3.20. Sea (X, d) un espacio métrico. Si X es precompacto y, Ve > O, C^ es superiormente consistente en arcoco(X), entonces X es conexo (de hecho no hace falta considerar la precompacidad).

Demostración. Véase el teorema previo y la proposición 3.6. •

Corolario 3.21. Sea {X,d) un espacio métrico. Si X es precompacto y ^ es superiormente consistente en arcoco(X), entonces X es densificable.

Aunque las condiciones de que C sea superiormente consistente en arcoco(X) y X precompacto no son necesarias (véase ejemplo 3.24), si exigimos ciertas propiedades a X, pasarán a serlo.

Proposición 3.22. Sea {X, d) un espacio métrico, las condiciones

a. X es precompacto

b. C es superiormente consistente en arcoco(X)

son necesarias para que X sea densificable si:

1. El conjunto de componentes arcoconexas es finito o

2. 3A 6 arcoco(X) : int(A) 7 0

Demostración. Veámoslo por apartados

1 Al ser Cg superiormente consistente, para todo e > O, en un conjunto finito de componentes arcoconexas, entonces C es superiormente consistente.

2 Veamos que, para el conjunto arcoconexo A que no tiene interior vacío, la componente arcoconexa D que contiene a A es un supremo respecto a la relación C.

Al ser intA =^ 0 existe unx e. Ay una bola B{x. 5) contenida en A. Como X ha de ser superiormente consistente con la relación C^ para todo e, en particular

para los e < S, tenemos que ninguna componente arcoconexa C distinta de D cumple que A Cl^ C; por tanto la componente D cumple

Ve > ove G arcoco(X) : C ^, D

y, por tanto, D es un supremo con respecto a C en arcoco(JÍ).

•

Analicemos unos cuantos ejemplos,

Ejemplo 3.23. Conjunto densificable Y sin que exista un supremo para C.

Dado un espacio vectorial topológico X, definimos las funciones

ra,b -.I-^X

t ^ bt + {I - t)a

Que son continuas y cumplen que ra,6(0) = a y ra^il) = b (parametrización estándar del segmento que une a j b).

Sea X = p[M] es decir, los polinomios con coeficientes reales en la variable x. En este espacio vectorial tomamos la norma como

| | - | |2:p[M]-^[0,+(X)[

n

j=0

Construiremos el conjunto Y por pasos como la unión del conjunto imagen de unas cuantas funciones. Para ello definimos:

a) La unión de dos curvas 71, 72 G C{I, X) tales que 71 (1) = 72(0) como la curva

7i U 72 : / ^ X

í 71 (2í) s i í G [ 0 , | ] ' ^ l 7 2 ( 2 í - l ) s i í G [ | , l ]

b) La unión de n curvas {7^}"^^^ como

n

U 7j = 71 U (72 U (73-(7n-2 U (7„„i U 7n))-)) i=i

es decir

si í G [^^ j_i\ ^ ^ ] con j <n s i í G [^—^..1]

U7, J = l

•.I-^X

( y.í t + 2 i - i ~ l / l_^ J OV23 ^ 23-1 ^ 1 . W í 1 2 " - i - l

1, /nV2" ^ 2"-i

c) La unión numerable de curvas como

oo

, t 2 ^ - 1 - L , 2 ^ ' - i - l 2 ^ ' - L ti-H'7,-(—H —r;— con í 6 ————, —

d) La curva restringida de 7 G C(/ , X ) en [a, 6] C / como

7[a,6] •• / - ^ X

í ^ 7 ( ( l - í ) a + tó)

Definimos por recursion múltiple las funciones p[p sij, Pij y Pi, para i,j E

p'lj

'hj "

^i,j

= p % ,

--P^-\o

^ '^Pij-

23'

23

(1)-P¿,

+

1 +

3 + 1

X

2J

x^

2i

(0)

PiJ = Pi,i U s¿,i U j3._2 U ... Up'ij^i U s¿j_i U p ^

P¿ = P'i,i U s¿,¿ Up-_¿+i U ... Up._¿+^- i U Si,¿+j_i Up^+^. u . . .

Es fácil establecer que, para todo n y m, Pm(I) Qj- Pnil) YPn+iU) % 1 Pn{I)-

Sea

Para ver que Y es densificable aplicamos el teorema 3.19.

Precompacto. Como Y está contenido en

00 1

U [O, ^ ] - ^ n = l ^

entonces es precompacto.

Cg es superiormente consistente. Sean A, B E arcoco(F) y e > 0. Por definición del conjunto existen i,j e N tales que A C p^[I) y B C. Pj{I). Tomando k mayor que i y que j y tal que ^ < e, p¿(/) C, pfc(/) y p¿(/) C, ^^(7).

Para ver que Y es densificable podemos ver que está contenido en

CO -I

U [O, ^ ] ^ ^ n = l

que es precompacto y que, para cada Pj y p^, tenemos pkil) Qx Pj{I)-

Veamos que UJíLi[0, •^]x'^ es precompacto.

Para todo m G N se cumple que

1 OC 1

re=m+l

ya que si Ej=m+i'^j^'^ ^ U^m+i[0» ^]^") entonces

fc / & 1 / OC 1

, E «I ^ \/ E ^ < i/ E ^ j=m+l y j = m + l y j = m + l

, ^ 1 _ / 1 1

i=2^+2 2 ' " V 22-+1 - 2 - + 1

Sea e > O, por compacidad de Uj o[Oi é"]^'^' tenemos que existe un conjunto finito {pj{x)}"'^i tal que

{jBÍPj{x),l)D[J[0,hx^ (2)

y tenemos que UjljO, ^]x^ C \J'^^^B{p{x),e), ya que si p(x) G Uj^JO, ¿-]a: -', entonces p{x) = qi{x) + q2{x) con qi{x) G U^JO, ¿-ja; y con q2{x) G U^rn+i[0' é"]^^-

Por (2) existe un j G {1, 2,.... n} tal que

\\pj(x) - qi{x)\\ < -

con lo que

\\p{x) -Pjix)\\ = ||?2(a:) +qiix) ~ Pj{x)\\ < \\q2(x)\\ + ||gi(a;) - Pj{x)\\ e e

y, por tanto, el conjunto es precompacto.

Sin embargo, para cualquier j no se cumple p,+i(/) C ^ _ Pj{I)-2Í+2

En el ejemplo siguiente obtenemos un conjunto Z donde [I no es superiormente consistente.

Ejemplo 3.24- Definimos, usando la notación del ejemplo anterior,

Qi = P'i,i U Sí,¿ U p ^ + i U • • • U p¿_2¿-i U s¿,2¿ U p._2¿

y + 0C

fc=i

Ver que es densificable es análogo al ejemplo anterior.

Como en este ejemplo, si tomamos A, B dos componentes arcoconexas distintas de Z, tenemos que A \^ B j^ así, no puede ser C superiormente consistente en arcoco(Z).

3.5. Operaciones con conjuntos densificables

Después de haber visto una caracterización de los conjuntos densificables veamos su comportamiento respecto a algunas operaciones entre conjuntos.

Veamos primero una lista de ejemplos sobre lo mal que se comportan con respecto a la unión y la intersección.

Ejemplos 3.25. l) Unión de conjuntos densificables que no es densificable incluso cuando la intersección no es vacía (ver figura 9).

Basta tomar A = {{t, sin | ) : t e]0,1]} U {0} x [—1,1] (como en el ejemplo 3.5) que es densificable y C = {(í,sini) : t e [-1,0[} U {0} x [-1,1] que es la reflexión con respecto al eje de ordenadas de A (por el lema 3.10 es densificable).

Tendremos pues que A U C no es densificable ya que es el conjunto del ejemplo 3.7.

ll) Intersección de conjuntos densificables que no es densificable (ver figura 10).

Tomando D = {{t, siní) : t E [—vr, n]} y E = [—TT, TT] X {0} que son trivialmente densificables tenemos D n E = {—TT. O, TT} que ni siquiera es conexo.

Ill) Intersección numerable de conjuntos encajados y densificables que no es densificable.

En este caso si A„ = [B]i = {x e R'^ : d(x, B) < -} con B la del ejemplo 3.7 tenemos que estos conjuntos son densificables (de hecho son imagen continua del intervalo) y sin embargo

neX+

y i? no es densificable.

3.5 Operaciones con conjuntos densificables 27

Figura 9. Unión de conjuntos densificables con intersección no vacia que no es densificable.

Figura 10. Ejemplo de intersección de conjuntos densificables que no es densificable.

iv) Unión numerable de conjuntos densificables que forman una cadena respecto a la inclusión que no es densificable.

Si no exigimos que se mantenga acotado entonces tomando A.^ = [0. n] bastaría.

Si exigimos que además sea una sucesión uniformemente acotada podemos tomar

An = [0,1] X •"•• x[0,1] X {0} X {0} X ...

con lo que A„ C A„+i y U^n no es densificable (al no ser precompacto).

Aún así, en el último caso, si nos encontramos en un espacio de dimensión finita (la bola cerrada es compacta) y exigimos la acotación o que la unión sea precom-pacta, entonces sí será densificable como veremos en la proposición siguiente.

Proposición 3.26. Sea {X,d) un espacio métrico y {An}nen Q T^{X) cumpliendo que Vn e N : A„ C A^+i, An es densificable y U,igN^n es precompacto, entonces [Jnen Al es densificable.

Demostración. Sea A = UneN^n- A es precompacto. Luego, dada a > O, existen {aj}j=o puntos



tales que [jB{tj,^) 2 A; a partir de un no tendremos que si n > no, entonces {O'j}j=,o C ^„ ; al ser An densificable habrá una curva |-densa en An^ y, aplicando la desigualdad triangular, será a-densa en A. •

Corolario 3.27. Sea (X, d) un espacio métrico tal que 3x G XVr G R+ : B'{x, r) es compacta, {An}neN Q ^{^) uniformemente acotada (es decir 3M > O : Vn G 'ñAn C B{0,M)), Vn G N : A„ C An+i y An es densificable, entonces UneN^n es densificable.

Demostración. Al ser uniformemente acotada 3r > O : [JneN^n ^ B(xo,r) y, como B{xo,r) es compacta, entonces [JneN^n es precompacta. •

Podemos ver que si A es densificable y B también, entonces A x 5 lo es (alguna tenía que cumplirse) y que se conserva al aplicar funciones uniformemente continuas.

Teorema 3.28. Sean {X,di) y {Y,d2) espacios métricos densificables. El espacio {X X Y, d) es densificable con las métricas

d: {XxYf -^[0,+cx)[

{{xi,yi),{x2,y2))^ \/d1(xi,X2) + d^{iji,y2)

con n G [l,+oo[ y con la métrica d dada por el supremo de las distancias {d{(xi, yi), (x2, y2)) = sup{di(a;i, X2), ¿2(2/1, ?/2)))-

Demostración. Sea a > O, por ser A y i? densificables,

3 7 A e C ( / , ^ ) : á i , ( 7 A ( / ) , ^ ) < | (3)

3 7 B e C ( / , ^ ) : 4 „ ( 7 B ( / ) , i ^ ) < | . (4)

Si / es una curva de Peano tal que / ( / ) = P, entonces (7 1 x 7^) o / es a-densa en Ax B.

Sea {a,b) e Ax B, por (3) y (4), existe un (¿1, 2) G I^ tal que

d{^(A{ti),a) < -

d{-iB{t2),b) < | ;

por ser / sobreyectiva existe un í G / tal que /( í) = (¿i, ¿2) y

3.5 Operaciones con conjuntos densificables 29

d{{-/A X 7B) O fit), (a, b)) = ^dii'yi{ti),a)- + d2Mt2),b)^

„ a"- a'' <

2" 2"- V 2—-' < { /^ = a.

En el caso de que d sea la otra distancia la demostración es directa. •

La operación adherencia conserva la densificabilidad ya que si una curva es a-densa en un conjunto A seguirá siendo a-densa en ad(A).

El interior y la frontera no la conservan como muestra los siguientes ejemplos.

Ejemplos 3.29. l) La operación interior de un conjunto no conserva la densificabilidad.

El conjunto S'(0,1) U B'(2,1) es densificable, pero int(B'(0,1) U 5'(2,1) = -8(0,1) U 5(2,1)) no es conexo y, por tanto, no es densificable.

ii) La operación frontera de un conjunto no conserva la densificabilidad.

El conjunto

A = {ix,y) e E^ : X GlO, l ÍAsin- <y < sin- 1-2} X 1 — X

tiene como frontera el conjunto

1 1 B = {{x, sin-) : x G]0, 1[} U {{X, sin- + 2) : x e]0, ![}

U ({0} X [O, 2 + sin 1]) U ({1} X [sin 1, 3])

que no es densificable {B es el conjunto de la figura 11).

Figura 11. Conjunto densificable cuya frontera no es densificable.



4

Curvas y funciones de Peano, derivabilidad

La finalidad principal de las curvas a-densas es la reducción de la dimensión del dominio mediante una composición de funciones. G. Cantor en 1878 demostró que existían funciones biyectivas del intervalo cerrado unidad / al cuadrado /^, con esto se podía reducir el estudio de P al de J, pero las funciones dadas por G. Cantor eran demasiado complicadas y el estudio no se veía reducido sino que más bien se complicaba. En 1890 Peano encontró una curva continua del intervalo unidad / al cuadrado unidad P lo que reducía la complejidad de la función. La cuestión es, ¿cuanto podemos reducir la complejidad de la función? La primera respuesta la dio E. Netto en 1879 al demostrar que no existían funciones continuas biyectivas (i.e. homeomorfismos) de / a P. En 1980 Morayne demostró que no existían funciones diferenciables y sobreyectivas de I a, P en el artículo [26] que a continuación pasamos a estudiar.

Con el objetivo de reducir la complejidad, nos propusimos analizar los artículos de Morayne [26], [27] y [28] donde se estudia la diferenciabilidad de las funciones de Peano.

En la primera sección enunciamos dos teoremas de Sierpiñski que serán necesarios para el resto del capítulo. En la segunda estudiamos las funciones generales de Morayne y sus reducciones al dominio ] — 1,1[ e imagen ] — 1,1[^. En la tercera las funciones de Morayne con dominio [0,1] e imagen [0,1]^. En la cuarta las funciones de Morayne con dominio un intervalo no compacto.

4.1 . Teoremas de Sierpiñski

Antes de empezar daremos una definición y enunciaremos dos teoremas que usaremos a lo largo de todo el capítulo, los dos teoremas son de Sierpiñski, el primero se encuentra en [35] y el segundo en [34]

Definición 4.1. Sea 5* C R. Decimos que un conjunto A de R^ es.-



32 4 Curvas y funciones de Peano, derivabilidad

1. Til en S si cpt x E SCard {{{x] x S) n A) < uj

2. 7 2 en S si cpt y G SCard {{S x {y}) H A) < u

3. 7^^ en S si cpt x e SCard {{{x} x S)r\A) <ÜJ

4. n% en S si cpt X e SCard {{S x {y}) n A) < ÜJ

Donde cpt es la notación que usamos para "casi por todo" es decir, cpt x E B : P{x) quiere decir que 3C C B : m(C) = O AVx € B\C : P(x).

Teorema 4.2. La hipótesis del continuo es equivalente a que, dado yl C R con cardinal c, existen dos conjuntos S,T C A'^ tales que:

l.SUT = A^

2. \/x e A, Card (({x} xA)nT)<u}, es decir T es U^

3. \/y e A, Card ({A x {y}) nS) <ÜJ, es decir S esTZ'^.

Teorema 4.3. Sea ^ C R con cardinal c y S C A^ tal que, para todo x E A, Card (({x} x ^ ) D 5*) < o;, entonces, existe un subconjunto finito Ai de A tal que, para todo x E A\Ai, Card {(A x {x}) n (A"^ \ S)) > uj; es decir si S, T son una partición de A^ y S es TZi entonces T no es 71% y, Por tanto, tampoco es 7?.2.

Análogamente pasaría con las rectas horizontales {si T es 7Z2 y S UT = A^, entonces S no es TZi).

Corolario 4.4. Sean A,BCR con cardinal c y S,T C A x B tal que S es IZi y SUT = Ax B, entonces T no es 7^^.

Demostración. Supongamos que T es TZ^. Como Ay B tiene el mismo cardinal existe una biyección q: B —^ A. Definimos

S' = {{x,q{y)):{x,y)ES},

T'={{x,q{y)):{x,y)ET]

así, S' \JT' = A?, S' es TZi y T' es 7 2 o que supone una contradicción con el teorema previo. •

Por comodidad, en este capítulo, denotaremos, para cada y E M., Sy = {x : (x, y) E S} y, para cada x E R, S"^ = {y : (x, y) E S).

Con estos dos teoremas, tomando y4 = R, tenemos que el plano R^ se puede dividir en dos conjuntos disjuntos S y T tales que todas las rectas horizontales cortan a 5" en un conjunto numerable {Card {Sy) <OJ) y todas las rectas verticales cortan a T en un conjunto numerable {Card{T^) < u) y, además, el conjunto de rectas horizontales que cortan a 5 un número finito de veces es, a lo sumo, numerable {Card {{y : Card{Sy) < o;}) < u¡) y análogamente para las rectas verticales

4.2 Funciones de Morayne. 33

4.2. Funciones de Peano diferenciables en todo punto en alguna componente: funciones de Morayne.

En esta sección vamos a estudiar la construcción de funciones de Peano diferenciables y, en particular, la reducción al intervalo ] — 1,1[. Empezamos definiendo las funciones de Peano tal y como son consideradas por Morayne.

Definición 4.5. Definimos las funciones de Peano como funciones de M en M? sobreyectivas.

Notar que no se está exigiendo la continuidad.

Definimos ahora las funciones de Morayne.

Definición 4.6. Sea X,Y, Z C. R. Diremos que una función

G:X^Y xZ

es de Morayne si es sobreyectiva y, para cada t E X ó gi ó g2 son diferenciables en t.

Al conjunto de puntos donde gi, i G {1,2} es diferenciable lo denotaremos por Di{G) o Di si no hay malentendidos.

En el primero de sus artículos [26], Morayne demuestra que existe una función de Peano / tal que en cada punto del dominio alguna de sus dos componentes es derivable (de hecho demuestra que es equivalente a la hipótesis del continuo), es decir, existe una función de Morayne con 'R — X = Y = Z.

Enunciemos el resultado y veamos la demostración para poder estudiarla con detenimiento.

Teorema 4.7 (Morayne). Existe una función de Morayne deM. a R^.

Demostración. Sean 5, T dos conjuntos que cumplan el teorema 4.2 para ^ = R y sea Í/?(X) = a: sin a;. Por dicho teorema, para cada tí e M, «S y T" son numerables. Sea Su = {yi}jez+ y T'^ = {^]}jez+- Definimos la función F como

F : R -^ R2

Í ( ^ ( Í ) , < ) s i í G ] - o o , - l [ t ^ < ((p{t),cp(t)) si te [-1,1]

[{xl^{t)) s i¿e ] l ,+oo[

donde n es el número de veces que ip toma el valor u = ip{t) en ]í, -1 [ en el primer caso y el valor v = if{t) en ]1, t[ en el tercer caso (por lo tanto u,v y n dependen de t). Claramente la función es derivable en todo punto en alguna componente y, además

F{]ôo,-l[) = SyFQl,+oo[) = T (5)

ya que para cualquier a; e R tenemos Card{(p'^(x)) = w, y así F(R) = R^. Así, F es de Morayne. •

Para la demostración se usa la función (p{x) = a; sin a: pero se puede ver fácilmente que puede usarse cualquier función (p diferenciable cumpliendo que, para cualquier í e R, el conjunto (p^ît) es infinito (en general numerable, ya que sólo puede ser no numerable en un conjunto de medida nula, ver [33]). Con esto tenemos un número infinito no numerable (de cardinal del continuo, tomando (f)(x) = kxsinx con k e R) de funciones distintas cumpliendo esta condición. Es fácil ver que los intervalos ] — oo, —1[, ] — l , l [ y ] l , +oo[ usados en la definición de F pueden sustituirse por los intervalos ] — oo, a[, ]a, b[ y ]b, -|-(X)[ con a < b.

Según la demostración la función F tiene como primera componente en ] — oo, 1] la función ¡f y, como segunda componente en [—1, -|-oo[, también la función cp.

Veamos una propiedad de la función F así definida.

Definición 4.8. Definimos la medida interior de Lebesgue en W^ de un conjunto A como

X^{Á) = sup{A„(5) -.B CAÁ Be M{W)}

donde A^(R"') denota el conjunto de conjuntos medibles de R" y Xn la medida de Lebesgue en R".

Teorema 4.9. Sea F la función de Morayne del teorema 4-Z entonces Xî^Q ~ oo, ![)) = Xl(FQ — 1, oo[)) = 0 y los conjuntos F(] — oo, 1[) y F(] — 1, oo[) no son medibles.

Demostración. El último teorema de [26] nos dice que si una función cumple la condición de diferenciabilidad dada y, además, una de las componentes es medible Lebesgue, entonces la medida interior de Lebesgue de la imagen es 0. Así, tomando

1 : R -^ R 2 2 •• R -^ R^

t ^ F(e* - 1) t ^ F{~é + 1)

las función gi,g2 cumplen las condiciones del último teorema y 5'2(R) = F(] — oo, 1[), î(R) = F{] - 1, +oo[) con lo que A^(F(] - oo, 1[) = O = A^(F(] - 1, +oo[). No son medibles ya que sino R^ tendría medida 0. •

Corolario 4.10. Existen dos conjuntos A,B C.R'^ tal que AU B = M.'^ y Xl{A) = XUB) = 0.

A continuación vamos a estudiar qué les sucede a las funciones de Morayne cuando reducimos el intervalo a ] — 1,1[, mediante la función, por ejemplo, h(x) = r-TT, tanto en el dominio como en la imagen. | x |—1 ' "

De esta forma tenemos una nueva función F(t) = h~^ x h~^ oFoh que cumplirá F{\ — 1,1[) =] — 1, Ip . Pero ¿cómo será la imagen de los compactos contenidos en el intervalo ] — 1,1 [?

Nos preguntamos pues, si a^ —> —1 y 6^ 1, ¿F([a„, hn]) -^ Fi] — 1, ![)?

Formalmente trabajamos con la distancia de Hausdorff, luego consideraremos las adherencias, y así ad{F{] — 1,1[)) = ad(] — l , l p ) = [—1,1] . Entonces, los problemas que nos planteamos es si F{[an- hn]) -^ [—1,1] y si, para algún n G N, F(K,6n]) = [ - l , l F .

Proposición 4.11. Sea F la restricción de la función F de Morayne,. Para todo a, 6 e] — 1,1[, si a < b, F{[a, b]) c] — 1,1[^ y su interior es vacío.

Demostración. Sea el intervalo [a, b]. La imagen por h de [a, b] es un compacto de la forma [a', b'] y, por la definición de F y, en especial de (p, ver demostración teorema 4.7, hemos usado sólo un conjunto finito de la componente numerable de los conjuntos Su y T". Definimos;

Fi= [j M X Su,

uG[a,6]

ue[a,b]

Por la propia definición Fi es TZi y F2 es TZ2. Así, si Fi U F2 contiene algún abierto, entonces existe un par de conjuntos 4 y i? de cardinalidad c tal que ^ X i? C Fi U F2, lo que supone una contradicción con 4.4. •

Luego sabemos que F([a„, 6„]) no contiene ningún abierto pero ¿tendrá medida nula?

Proposición 4.12. Existen ao,bo G] — 1,1[ tales que, para todo a G] — l,ao] U b G [bo, 1[ se cumple que F{[a,b]) no tiene medida 0.

Demostración. Supongamos que, para todo a,b E] — 1,1[, m(F{[a,b])) = 0; en particular, para todo n e Z+, m{F{[-l + J, 1 - ¿])) = O pero,

m(F( [ - l , 1])) = mi U n h l + ^ , 1 - -])) = 0. ~z. n n

n€Z+


Lo que contradice que m(F{[—l, 1])) = 1 •

Veamos qué densidad tiene la restricción de F al intervalo [a, b] respecto a ] — 1, Ip o, al menos, alguna cota.

Proposición 4.13. La densidad a de la función F, reducción de la F del teorema de Morayne, del intervalo [a, 6] a ] — 1, Ip cumple que

a > máx{d{Fi{a), {-1,1}), d{Fi{b), {-1,1})

donde Fi es la primera componente de F.

Demostración. Sean a' = h{a) y 6' = h{b), entonces

F(K,&'])C f[ sup (^(í), ínf 0(í)] X R ) U (M X [ sup 0(í), ínf 0(í)])

con lo que la densidad será mayor o igual a la distancia del intervalo

[hr\ sup m\h-\Mm)\ íe[a',6'] íe[a',6']

a los puntos -1 y 1.

•

La cota inferior dada en la proposición previa ¿puede alcanzarse?

En la figura 12 tenemos, por las ecuaciones (5) en la página 34 , que sólo hay puntos de /i X h{S) en los brazos A,D y puntos de h x h{T) en los brazos B, C.

Lema 4.14. Sea A,B CR y S,T una partición de A x B donde S y T son TZf y 7I2 respectivamente y definimos

SA=\J [U] XSU T ^ = U ^ " X {«}' ueA ueB

entonces SA U T^ D A X B, en particular si A — [a,b] y B = [c, d], tanto S[a,b] como

Tied] son densos en [a, b] x [c, d].

Demostración. Ya que si, por ejemplo S[a^h] no fuera denso existiría una bola D en el complementario y, por (1) del teorema 4.2 (de la página 32), D C T[c,d] Y no se cumpliría (3) del mismo teorema, haciendo tender el intervalo [c, d] a R tenemos que 3ía,b] es denso en [a, b] x R. Y, haciendo tender el intervalo [a, 6] a R tenemos que T^^'^> es denso en R x [c,d]. m

Para acabar esta sección vamos a construir una función de Morayne tal que su restricción tenga densidad mayor o igual que la diagonal máxima (véase figura 12), para ello elegimos, adecuadamente, el orden de los puntos de 5 y T.



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Figura 12. Representación de la imagen de (/i ^ x /i ^) o F o h

Lema 4.15. Dado un conjunto A denso en M existe un B C A tal que B es denso en R2 í/ Vx e R : Card (5^) < 1 y Card (B) < cu.

Demostración.

ova Cj^j [ 2 ^ ' 2* L'^ L2*i ' 2*

un elemento b^j = (bfji, fef^^) de A fl cf- cumpliendo que, si i j^ i' o j ^ j ' , entonces ¿71 ¥" ^í'j'i (para ello basta dar un orden e ir eligiendo ya que, si un conjunto A es

x | ; i . ^[ con /c G N y j , ¿ G Z. Para cada k. i,j podemos elegir

denso en R^, entonces A \ {{xjY. con n e N sigue siendo denso). La unión de todos estos puntos b^, cumple las propiedades deseadas.

-ij

Lema 4.16. Sea B un conjunto abierto de M" (en general que B C ad{int{B))) y A C B denso en B, entonces existe {An}nen disjuntos dos a dos tal que, para todo n, An es denso en B. Además, podemos hacer que UneN^n = ^•

Demostración. Sea

^j r^l ^1 ~r -L r r^n ^n ~r J- r

'~îl,...,irr - L^' 2Ú ^^ " • ^2^' 2 ' ^

con ¿1 , . . . , ¿„ G Z y j G M tenemos que C¡^^,,,î^ fl A = 0 o Card {C¡^^,„î^ Ci A) > u así, podemos elegir para j = 1 un elemento de cada C¡^ j ^ . Sea A\ el conjunto de todos estos puntos. Ahora, podemos elegir para j = 2 dos elementos de cada Cii,...,in 'i^^ ^° estén en A\ definir una de las elecciones como Al y la otra como Al- Supongamos que, para m < j , hemos construido los conjuntos y4^, . . . , A!^. Los conjuntos A^,... ,A-j se construyen eligiendo en cada C¿ _..._i„ cuya intersección con A no es vacía, j elementos que no estén en Ui=i Uf=i A[ y poniendo estos elementos en A ] , . . . , Aj respectivamente. Definiendo Aj = [JkLj î obtenemos un conjunto {AJ}JQZ+ numerable de conjuntos densos. Ahora el conjunto {A'j}j^x+ tal que A[ = AiU {A\ \Jjez+ ^j) Y) psiva, j > 1, A'j = Aj, es un conjunto numerable de conjuntos densos en A cuya unión es A. m

Proposición 4.17. Existe una ordenación de Su y T'" tal que la función F restringida a [—;; , ¡f^] 65 an-densa, con a^ — 2Zr+i (^'^ diagonal representada en la figura 12).

Demostración. Para facilitar los cálculos consideraremos la función del teorema de Morayne definida en los intervalos ] — oo, —7r[, [—TT, TT], JTT, +CX)[ con lo que,

- F([~7r,7r]) = {( í , í ) : íe[ -7r ,7r]}

- F([2n7r, (2n + l)7r]) = {(4^, u)eT -.ue [-2n7r, (2n + l)7r]} y

- F([(2n + l)7r, (2n + 2)7r]) = {(4„+i, u) e T : M G [-(2n + l)7r, (2n + 2)7r]}

con n e Z+. Como T es denso en R^ (lema 4.14) existe un subconjunto denso A C 5' tal que Card{A^) < 1, por el lema 4.15. Aplicando el lema previo existe un conjunto numerable {Aj}j^^ cuya unión es A. Reordenando los puntos de S^ para que Aj C {(«, x^) G S} tenemos que F([(2n+ l)7r, 2n7r]) es denso en [-(2n + l)7r, 2n7r] x M y F([2n7r, (2n + l)7r]) es denso en [-2n7r, (2n + l)7r]} x E.

Trabajando de forma análoga con la parte negativa de F se obtiene una función de Morayne que es densa en la "cruz" para cada intervalo [—n7r,n7r]. Ahora, como h X h y h son homeomorfismos tenemos el resultado deseado.

4.3 Funciones de Morayne con dominio [0,1] 39

Figura 13. < (í) con t£[~^, ^^]

4.3. Funciones de Morayne con dominio [0,1]

En esta sección estudiamos la existencia o no de una función de Morayne de [0,1] a [0,1]^, por tanto, si no se especifica lo contrario, consideraremos las funciones de [0,l]a[0,l]2.

Definición 4.18. Dos intervalos Ii, I2 están separados si / i U I2 no es conexo.

Para empezar daremos algunas definiciones y enunciaremos un resultado de Saks [33, página 278].

Definición 4.19. Sea A un conjunto cualquiera y B un espacio de medida, decimos que una función f : A —^ B sobreyectiva cumple:

1. la condición Ti (de Banach) si y sólo si cptb G B : Card{f~^{h)) < LJ,

2. la condición T2 (de Banach) si y sólo si cpt& e B : Card{f~^{h)) < LO,

3. la condición T[ si cpt b E B : Card {f~^{b)) > ui y,

4. la condición Tg si cpt6 e B : Card{f~^{b)) > u.

Las definiciones de Ti y To fueron dadas originalmente por Banach en [1] y son estudiadas, por ejemplo, en Sacks [33, Section 9.6].

El resultado de Sacks es

Teorema 4.20. Sea J un intervalo cerrado y f E C(J, M), / cumple la condición Ti si y sólo si la imagen del conjunto de los puntos de no diferenciabilidad es de medida 0.

Lema 4.21. ¿"ea x,y,a,b,c,d G M con x < y, e E M"*", M = máx{a,6} y m = mínja, 6}, entonces existe una función f derivable tal que f{x) = a,f{y) = 6, f'{x) = c, f'{y) = d y\/z G [x, y]f{z) e [m — e, M + e]; además, si {b — a)d > O, entonces \/z G [x, y]f{z) e [m — e,M] y si [b — a)c > O, entonces V2; G [x, y]f{z) G [m, M + e]

Demostración. Basta considerar la función siní en [—7r,7r], multiplicar por constantes, sumarle constantes, recortar y empalmar para conseguir la función deseada. •

Corolario 4.22. Sea K C I compacto. Entonces no existe ninguna función g G 'D{K,iy que cumpla la condición T{.

Demostración. Analizando la demostración del teorema [33, Section 9.6] podemos ver que la única propiedad usada de J es que es compacto. Pero, veamos otra demostración del corolario.

Sea h una función derivable de / en / , creciente estrictamente y con derivadas en O y 1 igual a 0.

Supongamos que g G D{K, I) cumple T{ en K, entonces hog cumple la condición T¡ en K ya que Card {{h o g)^^{t)) = Card {g~^{h~^(t))) > u y además, si g{t) G (0,1}, entonces {h o g)'{t) = h'{g{t))g'{t) = 0.

Por el lema previo, podemos extender hogs, una función / G T>{I,I). Dicha función no existe por el teorema 4.20 con lo que tenemos una contradicción y, por tanto, no existen tales funciones. •

Veamos la relación entre las propiedades Ti, T2, T[ y T2 y TZi,1Z2, Tli y T f •

t Denotamos por V^K, I) las funciones derivables á& K en I

Proposición 4.23. Sea A C R y G = (91,92) : A —> E^ entonces:

1. 9i es Ti si y sólo si G{A) es TZi,

92 es Ti si y sólo si G{A) es 7I2,

9i es T2 si y sólo si G{A) es TZi,

92 es T2 si y sólo si G{A) es 72.2?

9i es Ti si y sólo si G{A) no es TZi,

92 es T[ si y sólo si G{A) no es 7I2,

9i es T2 si y sólo si G{A) no es TZi y

92 es T2 si y sólo si G{A) no es 7 2 •

Demostración. Sea Xo e K,

G{A) n {{xo} xR) = {{x,y):3teA: G{t) = {x, y)} n {{XQ X M)

= {{xo,y) •.3teA:G{t) = {xo,y)}

= {iXo,92{t)) : 9i{t) = xo}

^{{xo,g2{t)) : t e9i\xQ)}

luego, para todo x e M, Gard{G{A) f] {{x} x R)) = Card {9i^ix)) análogamente, para todo t/ e M, Card{G{A) fi (R x {y})) — Card [g2^{y)). Con esto y las definiciones de Ti, 72, T{ y Tg y T^i, 7?.2, T f y 7 2 se deduce la demostración. •

Veamos algunos ejemplos sobre el cardinal de las antiimágenes.

Ejemplo 4-24- 1- Existe una función derivable h que no es constante en ningún intervalo y tal que 3x G h{I) : Card {h~^{x)) = c.

Tomando la función a la que, en cada intervalo eliminado en la construcción del conjunto de Cantor, le "ponemos" una función cuyo valor y el de su derivada en

^1 1

los extremos es cero pero que en el interior sea distinto de cero (como ei- ' <), entonces dicha función cumple las hipótesis (ver figura 14) para x = 0.

2. Existe una función /i : / ^ / tal que el conjunto donde h tiene derivada O es denso y Vx G / : h~^{x) > u.

Tomando la escalera diabólica de Lebesgue (o una función estrictamente creciente que tenga derivada O casi por todas partes [12, página 55]) entre [O, |] y otra vez, pero en decreciente entre [|, | ] y así sucesivamente. Notar que dicha función no es continua en 1.

Lema 4.25. Sea G una función de Morayne y definimos los conjuntos

r\ y V /x y X z\ z. \ zx Figura 14. Tercer paso de la construcción de la variación de la escalera de Lebesgue del ejemplo 1.

iV, = {y G / : Card [gT\y) n A ) > -^}

M, = {yel: Card {cir\y) n A ) < ^}

L, = {yel: Card (gr\y) D A ) = cu}

k = {yel: Card {gi\y) n A ) < oj}

entonces m{Ni) = m{li) = O y, además Card{li) < LO.

Demostración. Como gi es derivable en A cumple la condición A de Banach por el teorema 4.20, luego

m{N,) = O (6)

Veamos que Card{li) . Supongamos que Card{li) > u (análogamente haríamos para I2); por la definición de /i se cumple que

Vye/ i , í? r ' (2 / )nA = {í,}^=o

con lo que, para todo y E h,

G ( A ) n ( { y } x [ 0 , l ] ) = {G(t,)}^=o (7)

a su vez, si definimos Ai = G{Di) fl {li x [0,1]) tenemos que Aj U A2 = ¿i x [0,1] con la cardinalidad de la intersección de cada recta paralela al eje de abscisas con Ai finita por la igualdad 7. Entonces, por teorema 4.3, el cardinalidad del conjunto de

rectas paralelas al eje de ordenadas cuya intersección con A2 tiene cardinal menor o igual que uj ha de ser finita, con lo que m(M2) = O y m(A^2) = 1 lo que supone una contradicción con (6). Así, Card{li) < LO y, por tanto, m{li) = 0. •

En la figura 15 podemos observar la descomposición del intervalo según el lema previo.

Conjuntos de medida luila Conjuntos numerables !?i(í) = I

9i{Di) gi{D2)

Mi

Li ;,

Figura 15. Descomposición de / según la derivabilidad de gi y la cantidad de antiimágenes.

Teorema 4.26. Sea G una función de Morayne, entonces Di y D2 no cumplen que

3{/;},e. C A : U ^ = ^ ¿e{i,2};jeJ

siendo B intervalos (pudiendo ser un punto) y J un conjunto de índices a lo sumo numerable.

Demostración. Supongamos que existen tales {Ij}jeJ para i E {1,2}. Sea A el conjunto de los extremos de los intervalos que, al ser a lo sumo numerable, lo escribimos como A = {xjIjgM, sea e > O y sea {¿j}jgi^ tales que

Vi G B{xj, 6j), \gd(j)(t) - gd(j)ixj)\ < - ^ (8)

donde d(j) es la coordenada donde Xj es derivable y, si es en las dos, la primera.

El conjunto / \ U J G N B{XJ,5J) es compacto y, a su vez, se divide en dos conjuntos compactos Ki = Di\ \Jj^^ B(xj,Sj) con i E {1.2}.


Por un lado^ G(B(xj,Sj)) C Bandad^j)(G{xj), ~j) con lo que

y, como

G ( U Bixj,d,)) C U iJaníia.üjíG'GT,), ^[ j€N jen -

la medida exterior de G{[jj^^B{xj,5j)) es menor o igual que e y, así P \ G([jjeNBiXj.Sj)) contiene un subconjunto Ax B con /I y i? de cardinal mayor q u e üJ.

Por otro lado, el conjunto G{Ki) es TZi y G{I\2) es 7 .2, por el corolario 4.22 y la proposición 4.23. Así si A x B C G{Ki U ií'2) = G{Ki) U G'(A'2) tenemos una contradicción con el corolario 4.4. •

Notar que en la demostración del teorema podemos considerar las bandas tal que su anchura sea tan pequeñas como queramos (anchura e > O para cualquier e) con lo que la imagen de G se divide en dos conjuntos, G(Di) y G{D2) que son IZi y TÍ2 respectivamente.

Corolario 4.27. Sea G una función de Morayne, entonces tanto Di como D2 no son unión de intervalos (no degenerados).

Demostración. I = Di UD2. Supongamos que cada D¿ es unión de intervalos, entonces como / no es unión disjunta no numerable de intervalos podemos poner tanto Di como D2 como un conjunto infinito numerable de intervalos. •

Si analizamos los conjuntos D¿ de una función G podemos descomponerlos en una unión de intervalos y un conjunto con interior vacío i.e.

Di=[jIjUA, jGN

trabajando como en el teorema previo podemos ver que en el conjunto X = Ujen^j U UjeN^j- ia imagen por G, cumple que G([jjeN^j) ^s TZi y G(\JjeN^j) es 7?.2.

¿Que pasará en ^ = I\X? En este conjunto, que será unión numerable de intervalos y de conjuntos densos en ningún punto, se cumplirá que tanto Di Pi A como D2nA serán densos en los intervalos de A. Así, usando que toda función continua y derivable en un conjunto denso tiene el conjunto de puntos de discontinuidad de

^ Bandai{{x,y),S) es la banda horizontal (vertical) de anchura 2S y {x,y) esta en la recta central de la banda cuando ¿ = 2 (i = 1).



primera categoría^, tenemos que el conjunto de discontinuidades de gi y g2 en A es de primera categoría (ver [3, página 125]).

De esta forma tenemos una nueva descomposición del intervalo unidad como muestra la figura 16 donde Cj = {í G / : gi es continua en t} y (Di \ D2) \Ci y {D2 \ Di) \ C2 son de primera categoría, y la medida de la imagen de Di (1 D2, (D2\-Di)nC2 y (Di\D2)nCi es 0. Luego, en principio, la imagen de los conjuntos (Di\D2)\Ci y D2\Di\C2 ha de rellenar prácticamente todo el cuadrado unidad.

Conjuntos cuya imagen tiene medida nula Conjunto.s de primera catcígoría

A X

Di D2

Di \ D2 Di n D2 D2 \ Di

' \ 7 {P}..\P.?).DS.] í/'?}.!\.'?íí).\í{l (í ?.\.í?í.).C;í:? i!^i\/M\S'^

Figura 16. Descomposición de / según la derivabilidad de /¿ y la forma de DÍ

Aunque un conjunto de primera categoría es topológicamente pequeño puede ser, respecto a la medida de Lebesgue, tan grande como queramos, como muestra el siguiente ejemplo. Otros ejemplos pueden verse en [12].

Ejemplo 4-28. Existen conjuntos densos en ningún punto contenidos en / con medida tan próxima a 1 como queramos.

Sea e €]0,1[, a = 1 — e y TT-O tal que ^ < e. Sea a_i = 1 y sea ün = a + ^ — J2]^o 2no+j+i con n G N. La sucesión {a„} es decreciente y tiende a a. Sea XQ = ao y Xn+i = ^ con lo que n"=o ^j = an ~^ a.

^ Un conjunto es no-denso si su complementario es denso, ü n conjunto es de primera categoría si es unión numerable de conjuntos no-densos.


Construimos, ahora, una sucesión de conjuntos {iJ^l^gN tal Que

1. m{E^) = an-i,

3. (I \ E^) n J 7 0 si J es un intervalo de longitud mayor que ^ ,

4. E^ es compacto,

para eso, definimos las semejanzas fr{t) = ^ y /r(^) = 1 — y de razón r, JP . = / , U / ; , ES = Iy

El = F,,o...oF,Sl) donde la unión de funciones está definida en el ejemplo 3.23.

Veamos, por inducción que {E^}ntm cumple las condiciones deseadas.

Para el caso E^ las cuatro condiciones se cumplen trivialmente. Supongamos que se cumple para n, para n + 1 nos quedará:

1.

m(K+i) = m(F ,„o . . .oF ,„^ , ( / ) )

= m{F,, o . . . o F.„(/,„^,(/))) + m{F,, o . . . o F.„(/:„^,(/)))

= m(F., o . . . o F . „ ( ^ / ) ) + m(F.„ o . . . o F.„(l - ^ / ) )

= ^ m ( F , „ o . . . o F,„(/)) + ^ m ( F . , o . . . o F,„(/))

= a:n+im(E^) = a„+i

2. F^+i C F^ trivial, ya que F^„+i(/) C J y, por tanto, F^^ o . . . o F,„+i(/) C

F,,o...oF,Sl) 3. Supongamos que (/ \ -B^+i) fl J = 0 y J es un intervalo de longitud mayor que

2¿T, entonces

y como, fxn+i{I) y fxn+ii^) son disjuntos, cerrados y contenidos en / , los dos conjuntos de la unión serán disjuntos y J estará en alguno de ellos, podemos suponer sin perdida de generalidad que está en el primero es decir

pero entonces




y

como ~- > 2, -^—J es un intervalo de longitud mayor que ^, lo que contra-dice la hipótesis de inducción.

4. E^ es compacto, E^j^^ es la unión de la imagen de dos conjuntos compactos luego es compacto.

Tomando E'^ = flííLi E^ tenemos que E"' es un conjunto compacto y el complementario es denso (debido a la tercera propiedad).

Usando este ejemplo podemos encontrar un conjunto de primera categoría con medida 1.

Ejemplo 4-29. Conjunto de primera categoría con medida 1 contenido en / . Basta tomar E = [j E"-" con a„ tendiendo a 1.

Una cuestión que puede plantearse es si existen dos conjuntos Pi y P2 disjuntos no cerrados, de medida positiva, de primera categoría. El siguiente ejemplo da una respuesta positiva.

Ejemplo 4-30. Si tomamos un conjunto de primera categoría Qi de medida | en [O, \[ y otro Q2 en ]\, 1], Pi = Qi U [|, 1] \Q2 y P2 = Q2U [O, \]\Qi cumplen todas las condiciones.

El conjunto del ejemplo previo no nos sirve para que Di = P¿ como veremos; pero, antes, un teorema de Morayne [26, página 132]

Teorema 4.31. Sean / i , /2 G " tales que

1. fi es medible Lebesgue,

2. para todo 2; e R, existe o f[{x) o f2{x),

3- (/i,/2)(M) es medible Lebesgue en M?,

entonces m((/i, /2)(M)) = 0.

Teorenaa 4.32. S'ean Pi,P2 C / disjuntos no cerrados, de medida positiva, de primera categoría y tales que

3{/]}¿e{i,2},jGJ partición por intervalos de I : m(P¿n [J /]) ^ OAm(P¿n (J /j) = O



donde J es un conjunto de índices numerable (o finito), i G {1,2} \ {i} y G = {91,92) e (/2)^iuí'2 sohreyectiva con Di = Pi y D2 = P2, entonces mlG{PiUP2)) = 0.

Demostración. G es de Morayne en Pi U P2; además G es medible en Pi fl U Pj ya que tiene sus dos componentes derivables salvo en un conjunto de medida nula con lo que aplicando el teorema previo m{G{Pi fl U If)) = O y, por tanto, m{G{Pi U P2)) = 0. •

Así, el ejemplo 4.30 cumple las hipótesis del teorema tomando J = {1}, !{ = [0,¡]yl!=]ll].

Proposición 4.33. Sean Pi, P2 C / disjuntos y de medida positiva, entonces

3{i}}iG{i,2}jGJ partición por intervalos de I : m{Pin | J /]) 7 OAm(P¿n [J /j) = O

si y sólo si, para cada subintervalo no degenerado C de I, existe un subintervalo K de C tal que

m{K n Pi) = O V m{K n P2) = O

Demostración.

^ Basta coger un /j tal que C D /j 7 0 y tomar i í = C fl / ] .

<^ Tomando IQ = I se obtiene un KQ con lo que existen dos únicos intervalos II y If tales que 1} U If U KQ = I y los tres intervalos tienen los interiores disjuntos dos a dos (podría pasar que uno de ellos fuera vacío). Repitiendo el proceso obtenemos un conjunto de intervalos que cumple la propiedad.

Otra cuestión que nos planteamos es si existe un par de conjuntos Pi y P2 disjuntos no cerrados, de medida positiva, de primera categoría y tales que, para todo subintervalo no degenerado J de / , las medidas de Pi Pi J y P2 fl J son positivas.

Ejemplo 4-34- Sea E el conjunto del ejemplo 4.29 y sea A un conjunto tal que, para cualquier intervalo J contenido en / , O < m{Ari J) < m{J), entonces E\Ay En A son de primera categoría, no cerrados y disjuntos y, para cualquier intervalo J no degenerado contenido en / , se cumple que m{Ar\J) > 0. 4 puede construirse a partir de una sucesión {oj} de términos positivos y cumpliendo Y.o-j < 1- Comenzamos con £'°i y en cada intervalo máximo ]6, c[ de / \ E^'^, añadir el conjunto (6 - c)E''^ + c.

Este ejemplo resuelve positivamente la última cuestión; pero plantea las siguientes cuestiones: ¿la imagen de los conjuntos E\A y E r\ A por una función

4.4 Funciones de Morayne con dominio un intervalo no compacto 49

derivable puede cumplir la condición T¡? ¿Si existe tal función existen funciones de Morayne?

Otra propiedad importante es que los puntos de discontinuidad han de ser no evitables, al menos alguno de ellos, ya que si fueran evitables aplicando el teorema de Saks 4.20 tendríamos que no cumple que tenga infinitas antiimagenes.

Teorema 4.35. Sea f E I^ con D el conjunto de puntos donde f es derivable, entonces

m{f{{teac{r\y)):yeI}nD)) = 0

Demostración. Si t e ac{f^\y)) yte D, entonces f'{t) = 0; si definimos H = {t e I : f{t) = 0}, por [33, Teorema 4.5 de la página 271], m{f{H)) = O y f{{t e ac{f-^{y)) : y G I}riD) C / ( í í ) ; luego

m(/({í G ac{tl} -.y el A {ti} = f-\y)} H D)) = O

y el teorema está probado. •

Corolario 4.36. Si G es de Morayne, entonces el conjunto de puntos y en los que 9i^{y) ^ A ' ^^ cerrado es no numerable.

Demostración. Sean Ci con i G {1,2} dichos conjuntos. Si C¿ fuera numerable, entonces m{gi{Ci)) = O con lo que m{g{Di)) — O, ya que, por el teorema previo, víi{gi{y^{gj^{y^ fl A : 9i^{y) 1 A es cerrado})) = 0. •

4.4. Funciones de Morayne con dominio un intervalo no compacto

En esta sección estudiamos la existencia de una función sobreyectiva de J a /^, donde J es un intervalo no compacto, tal que, para cada t E J, ó bien su primera componente o bien su segunda componente es diferenciable.

Primero veamos el siguiente corolario del teorema 4.7,

Corolario 4.37. Existe una función de Morayne de ]a, b[ en R^ si y sólo si asumimos la hipótesis del continuo.

Demostración. Basta considerar que la función arctan(c(í)) manda ]a, &[ a M de forma biyectiva y diferenciable siendo c(í) = 2 7 r ^ — TT y el teorema 4.7. •



50 4 Curvas y funciones de Peano , derivabilidad

Corolario 4.38. Existe una función de Morayne de K en P si y sólo si asumimos la hipótesis del continuo.

Demostración. Utilizando la función de Morayne definida en la demostración del teorema 4.7 pero usando la función sin j en lugar de t sin | obtenemos una función de Morayne de R a [—1,1] ; componiéndola con una semejanza contractiva podemos llevarlo a P manteniendo todas sus propiedades. •

Pasamos a considerar el caso de los intervalos semiabiertos^.

Teorema 4.39. Existe una función de Morayne de un intervalo semiabierto en P

Demostración. Podemos suponer sin perdida de generalidad que el intervalo es [0,1[ y usando el mismo procedimiento que en los corolarios anteriores podemos considerar [—1,1] en vez de P.

Sean S y T una partición de Sierpiñski de [—1,1] donde Sy, = {yi, Vu-,- • •} Y

Definimos los conjuntos

2n 1 2n+l i

j = l ^ ' j = l ^'

2 n + l 1 2n+2 i

2n -¡ 2n -I i

n

T2 2 n + l 1 2 n + l -i i

2^' - ^ 2^ 22«+3^ re L / y <-),• 5 7 y

CX3

/ n

i 'l = U n re=0

oo

^ = UII n = 0

oo

n = 0

Este problema esta p lanteado en el art iculo de Morayne [26] como ejercicio

4.4 Funciones de Morayne con dominio un intervalo no compacto 51

f2

n=0

Y definimos las funciones

g,:D[-. [-1,1]

t H^ cos(27r((¿ - a) + (1 - í)(a + b)))

g2:D',-.[-l,l]

t ^ cos(27r((í " a) + (1 - t)(a + 6)))

donde a y b dependen de í y son tales que, si í e /J-, entonces / " = [a, b[.

De esta manera, gi es biyectiva de íj C /j en [—1,1].

Figura 17. Función gi

En D[ \ DI podemos definir g2 como queramos y en D* definimos, para t E íj,

g2{t) = yLuy, análogamente definiríamos gi en D^ usando el conjunto S2.

Dicha función es la función deseada. •



Curvas y funciones de Peano, propiedad de Lipschitz

En este capítulo estudiaremos la relación entre las funciones de Lipschitz y las funciones de Peano. En toda esta sección los espacios X e y se considerarán espacios métricos con sus respectivas métricas d y d' a la que denotaremos simplemente por d si no hay posibilidad de confusión. Comencemos con la definición de funciones de Lipschitz generalizadas.

Definición 5.1. Sea f E Y-^ y /3 > O, decimos que f es /5-Lipschitz en X si y sólo si 3K e R+yx,x' e X d{f{x)J{x')) < Kd{x,x'f.

Definimos el grado de Lipschitz de f como (5 — sup{/3 : / es (5-lipschitz\ G [O,+00].

Llamamos /^-constante de Lipschitz de f al ínfimo de los K G [O, +CXD] tal que Vx,x' G d{f{x)J{x')) < Kd{x,x'f.

Dado un subconjunto A C X decimos que A es /9-Lipschitz con respecto & f en X si y sólo si 3K e M+Va e A\/x E X : d{f{a), f{x)) < Kd{a, xY. Decimos que el grado de Lipschitz de A con respecto a f en X es ¡3A si y sólo si A es pA-Lipschitz y y(3 > ¡3A A no es P-Lipschitz.

Cuando P es 1 no se mencionará. Así f es de Lipschitz si es 1-Lipschitz.

En general todo subconjunto de un espacio métrico es un espacio métrico luego si tomamos A C. X y f E Y^ podemos hablar de /5-Lipschitz de A en X o en A. Es importante distinguirlas porque en general no coinciden, por ejemplo, si consideramos A un conjunto finito de puntos, A tiene grado de Lipschitz oc en 4 y, en general, no tiene grado de Lipschitz 00 en X.

Proposición 5.2. Sea f E C{X, Y) con grado de Lipschitz ¡3f E [O, 00] en X, entonces si ¡3 > ¡3f, la (3-constante de Lipschitz es 00.

Demostración. Sea (3 > i3f y S E](3f,P[ como ¡3f es el grado de Lipschitz de / , entonces / no es

54 5 Curvas y funciones de Peano, propiedad de Lipschitz

í^-Lipschitz; luego para cada K > O existen x, x' tal que d{f{x), f{x')) > Kd{x, x'Y y así la constante es K = oo. •

Definición 5.3. Dados q,r E N y a > O, definimos L^ como el espacio de las funciones acotadas de M3 en W que son a-Lipschitz y lo dotamos de la norma

11,11 . r \\f{^)'f{y)\\r 11,11 . / | L = max{sup ——, /Iloo}

Lema 5.4 (Stegeman). Sea f G L'^'', si q < ar, entonces f{E3) tiene medida de Lebesgue cero en W.

Demostración. Sea p G Z+, denotamos por K^^^ el cubo de arista 2p centrado en el origen, es decir,

K^P^ = {x= {xi,...,Xg) : \xi\ < p}.

El espacio puede expresarse como W = U ^ i K^^^ luego

oo

p=i

Dividimos cada cubo K^^^ en (2n)^ subcubos iguales (iir ^ '')je{i,,,.,(2n)9} para n e Z+. Entonces cada subcubo K^^^^ tiene arista igual a ^ y, su imagen, f(K^P^^) C Wp donde Wp es un cubo en W con aristas igual a ||/||¿(^)'*- Por tanto, la medida de Lebesgue

mifiKjf^n) < muir

j j

<EM/(^?^''))<(2^)1I/IIL(; j '

donde la última expresión tiende a O cuando n tiende a infinito ya que q — ar < 0.

El primer resultado relacionado con las curvas a-densas, en particular la curvas de Peano, viene en el artículo de Stegeman [37] y dice que

Teorema 5.5. Sea / de R a R" una función de Lipschitz con exponente (3 > -, entonces m(/(R)) = O

5 Curvas y funciones de Peano, propiedad de Lipschitz 55

Lo primero que vamos a ver es que esta cota es la mejor es decir existen funciones ^-Lipschitz tales que m(/(M)) > 0. Y para eso veremos, de forma constructiva, que existen funciones del intervalo unidad / en el cubo unidad I'^ que son --Lipschitz.

Teorema 5.6. ¿"ea n G Z+, entonces existe f G C([0,1], [0,1]**) sobreyectiva y --Lipschitziana.

Demostración. Sea /"• el cubo unidad de dimensión n y definimos, para cada ¿i, ¿2, • •., ¿n G {0,1}, las funciones

Ji\...in • -' ^

X 1

Ordenamos linealmente las /¿I,Í2,...Í„ de forma que los subíndices de una función y la siguiente se diferencien en un dígito.

Ejemplos de esa ordenación cuando n = 3:

/00o < /ooi < /on < /01o < /no < /10o < /loi < /ni

/00o < /10o < /no < /ni < /loi < /ooi < /on < /01o

Definiendo

/ : / ^ / "

X = 02nXiX2 . . . H^ limm-^oofxi O • • • O fx^{Or.

tenemos que / es continua y, si dos puntos x,y distan menos que ^ ^ , entonces

\fix)-f{y)\<K„

2"

1

n—l veces

donde Kn = diám([0, 2] x [0,1] x • • • x [0,1]), ya que están en dos cubos de lado ^ consecutivos. Sean x,y £ I y m tal que 2mi+i < \x — y\ < i^-, entonces

|/(x) - / (y) | < K^^ < Kn ( ¿ ) " < Kn {2\x - 2/|)¿ < 2Kn\x - y\-^

y / cumple el teorema. •

El teorema 5.6 nos da una cota del grado de una función para que la imagen sea el n-cubo. Los n-cubos son conjuntos de dimensión n así que los teoremas previos nos hacen preguntarnos si existe alguna relación entre las dimensiones del dominio y la imagen y el grado de Lipschitz. Para ello lo primero definamos la dimensión de Hausdorfi^^

Definición 5.7. Sea (X, c?) un espacio métrico y AC X. Definimos

H¡{A) = ínf { Y^ diám{Ajy : {AjjjgN recubre A A diám{Aj) < S), jeN

a partir de ? i | (^) definimos la medida s-dimensional de A como

n%A)==límm{A)=snpn¡iA) •5^0 <5>0

y la dimensión de Hausdorff de A como

dimn A = ínf{s G [O, +oo[: Ti'(A) = 0} = sup{s e [O, +oo[: Ti'iA) = oo}

Veamos que relación hay entre el exponente de una función de Lipschitz y la dimensión de Hausdorff.

Teorema 5.8. Sea {X, d) un espacio métrico con dimensión de Hausdorff s, (y, d') un espacio métrico cualquiera y f : X -^ Y una función p-Lipschitz, entonces la dimensión de Hausdorff de f{X) es menor que %, es decir d im/(X) < I = ~^.

Demostración.

¡3 Sea r = ^ , teniendo en cuenta que diám{f{A)) < iCdiám(^)'^, se tiene

n¡{f{X)) = ínf{^diám{UiY : f{X) c[jUiA diám([/,) < 5}

< mf{Ydiám{f{Vi)Y : f{X) C U/(V,) A diám/(]/,) < S}

< M{Y^diám{fiV^Y : X C U Vi A diám(Fi) < {^Y}

<mí{J2{KdiámiViY)'Í' : X C [J 1/, A diám(l/¿) < ( - | f }

= Kf mf{5](diám(Vi))'+< : Jí C y V; A d¡ám(V;) < ij^f]

con lo que tenemos la demostración. •

^ existen muchas definiciones de dimensión pero para nuestro caso la que más resultados favorables nos proporciona es la dimensión de Hausdorff

5 Curvas y funciones de Peano, propiedad de Lipschitz 57

Corolario 5.9. Si f es P-Lipschitz de I a W^, entonces Vs > | : W{f{U)) = Ojén particular, si ^ < n, W{f{U)) = K^ Xn{f{U)) = 0.

Apurando un poco más tenemos

Proposición 5.10. Sea {X,d) un espacio métrico con dimensión de Hausdorff s, (y, d') un espacio métrico y f una función cuyo grado de Lipschitz es /3 en todo a de X, entonces la dimensión de Hausdorff de f{X) es menor o igual que | , es decir, d im/(X) < | .

Demostración. Sea Xn = {x e Y : ^x' e X d{f{x),f{x')) < nd{x,x')'^}, entonces f{X) = UneN f{Xn) donde dim/(X^) < | ; así, como la dimensión se mantiene por uniones numerables, d im/(X) < | •

Corolario 5.11. Si X C M.^ y f diferenciable de X a W^, entonces d im/(X) < dimX

Demostración. Sea Xn una sucesión de compactos cuya unión sea X. Para cada n, f es acotada en Xn por M„, además como / es derivable existe un ¿' > O tal que, para todo x' e B{x,S), se cumple ^^^f^Zl'íf^^ < f'ix) + l = M; luego \f{x)-f{x')\ < M\x-x'\ si x' e B{x,5) Y six' ^ B(x,S), entonces ¡/(x) - f{x')\ < 2M„ < ^\x-x'\. Así, todo punto X G X„ es l-Lipschitz en Xn luego dim/(X^) < dirnX^ < dimX y, tomando uniones, d im/(X) < sup dim X„ < dimX. •

Ejemplo 5.12. 1. Función no Lipschitz donde en todo punto es de Lipschitz.

Basta tomar la función real f{x) = e^

En este caso / tendría grado de Lipschitz infinito.

2. Función no Lipschitz con grado de Lipschitz 1.

Tomando la función real f{x) = xlogx en el intervalo unidad con /(O) = 0.

En este caso todo punto excepto el O es de Lipschitz y el O es ,/3-Lipschitz para todo (3 <l.

Veamos ahora el siguiente resultado que nos permite calcular la dimensión de un conjunto o, al menos una doble acotación, a partir de un conjunto de dimensión conocida A y una función de Lipschitz. Pero antes veamos la definición de las funciones bi-Lipschitz generalizadas .

Definición 5.13. ¿"ea f : X -^ Y y a, f3 e [O,+oc] decimos que f es a, f3-bi-Lipschitz si y sólo si f es f3-Lipschitz y 3K G M+Vx, y E X : d{x, y) < Kd{f{x),f{y))'^. Consideraremos para la definición que O elevado a O es 1.

Cuando ¡3 = 1 las denotaremos como a-bi-Lipschitz y cuando a = (3 = 1 las denotaremos bi-Lipschitz.

Definimos la segunda constante bi-Lipschitz como el ínfimo de los números reales K tales que, Vx, y G Xd(x,y) < Kd{f{x),f{y))°'

Proposición 5.14. Si f G Y-^ es a, /3-bi-Lipschitz para a G]0, +OO] y (3 e]0, +oo], entonces f es inyectiva y su inversa es /?, a-bi-Lipschitz. Además, la constante ¡3-Lipschitz de f~^ es igual a la segunda constante a, ¡3-bi-Lipschitz.

Demostración. Sea f{x) = f{x'), entonces

d{fix)j{x')r = o. Como a ^ O y d{x,x') < Kd{f{x),f{x'))°', d{x,x') = O y, así, x — x'. Por lo que / es inyectiva.

Sean y, y' G f(X), entonces existen x,x' £ X tales que y = f{x) y y' = f{x'). Así,

d{r\y)J-\y')) = d{x,x') < Kd{f{x)J{x')r = Kd{y,yr

d{y,y') = d{f{x),f{x')) < Md{x,x'Y = MdU-\y)J-\y')f. Y /"-^ es ¡3, a-bi-Lipschitz. •

Lema 5.15. Sea f una función a., (3-bi-Lipschitz biyectiva entre dos espacios métricos X eY, entonces dimX > /3dimY > a/3 dim X y a < ^.

Demostración. dim X > P dim Y > a/3 dim X es un corolario de la proposición previa y el teorema 5.8 si a, /3 G]0, +OO]. Si alguno de los dos es infinito se cumple trivialmente.

Como dim X > /3 dim Y >a/3 dim X tenemos que l>a(3 {o dimX = 0) y, por tanto, a < | . •

6

Funciones que conservan la convexidad

6.1. Introducción

En este capítulo estudiamos el problema de la existencia de una curva 7 que cumpla la propiedad C, es decir, que llene el cuadrado (7(/) = P) y que, para todo intervalo [a, b] C / , j{[a, b]) es convexo.

Este problema fue planteado por Mihalik y Wieczorek . Pach y Rogers construyeron en [29] una curva / que llena el cuadrado y que, para cualesquiera a, 6 G / , /([O, a]) y f{[b, 1]) son convexos. Vince y Wilson construyeron en el artículo [38] una curva / que llena el cuadrado y que, para cualquiera a E I, /([O, a]) es convexo.

El problema está planteado en el libro "Unsolved problems in geometry" [8, A37].

6.2. Condiciones necesarias y primeras propiedades

En esta sección vamos a estudiar algunas condiciones que ha de cumplir una curva para tener la propiedad C. Dividimos la sección en tres partes. En la primera, se reducen las curvas que cumplen C a curvas que cumplen C y tales que la imagen del O y el 1 son vértices (en general la imagen de los puntos extremos del intervalo cerrado son vértices) y se establece la propiedad de los segmentos en la frontera que nos asegura que la imagen de un intervalo de una curva que cumple C no puede ser un segmento no incluido en la frontera de P. En la segunda, estudiamos la inyectividad y diferenciabilidad de las funciones que cumplen C, demostrando que no son inyectivas en ningún intervalo, y que no son diferenciables en ningún intervalo donde la función no es constante. En la tercera y última parte enunciamos y demostramos la propiedad del rodeo.



60 6 Funciones que conservan la convexidad

6.2.1. Propiedad de los segmentos en la frontera

Para empezar veamos el siguiente resultado, que nos reduce el estudio de la existencia de curvas con la propiedad C a curvas que tienen sus extremos en los vértices y cumplen C.

Proposición 6.1. Sea 7 G C(/, P) cumpliendo la propiedad C, entonces existe un intervalo [a,b] C I y una curva r¡ G C([a,6],/^) tal que 7|[o,6] = 'r¡, ??([ci) ]) = ^ y r¡{a),rj{b) son vértices de P.

Demostración. Sea 7 una curva cumpliendo la condición C y sea a = mí{t G / : -y{t) es un vértice} j b = sup{í G / : 7(í) es un vértice} con lo que 7(a) y 7(6) son vértices.

Por la definición de a y 6 tenemos que en 7([a, 6]) están los cuatro vértices y, por cumplir 7 la propiedad C, P C 7([a, b]). •

Corolario 6.2. Si existe una curva 7 G C(I,P) que cumple C, existe una curva r] G C{I, P) que cumple C y r]{a) y r]{b) son vértices de P.

Veamos ahora la propiedad de los segmentos en la frontera

Teorema 6.3. Si 7 cumple la condición C y Fr(7([a, 6])) contiene un segmento, este debe estar incluido en la frontera de P

Demostración. Supongamos que existe un intervalo [a, b] y un segmento R tales que, R C Fr(7([a, 6])) y i? 2 Fr(/^)^. Podemos hacer que [a, 6] sea tal que, si [a, fe] C [c, d], entonces R % Fr(/([c, á])).

Como 7(7) = /^, a > O o ¿I < 1. Denotemos por A el conjunto dado por la intersección de P con el semiplano dado por la prolongación del segmento R y que no incluya 7([a, 6]). A no es vacío por el supuesto y, en caso de que 7([a,6]) no sea un segmento, está definido unívocamente. Si 7([a, 6]) es un segmento, elegimos uno de los dos semiplanos.

La imagen de [O, a\ o ]6,1] tendrá intersección no vacía con P \ A. Supongamos sin perdida de generalidad que lo cumple el intervalo [O, a[ con lo que existe, para cada e G]0, a[, un punto t^ E [a — e, a[ tal que 7(te) G A; pero como 7([íe, b]) tiene

que ser convexo, entonces el triángulo j{t¿)j{a)^f{b) estará contenido en '-•f{[t¿,a]). Haciendo tender e a O tendremos una contradicción con la continuidad (ya que siempre habrá un punto que diste de 7(íe) al menos la mitad de la longitud del segmento).

•

Podemos deducir, como corolario, el siguiente resultado

^ Rn Fr( / ) tiene a lo sumo dos puntos, los extremos de R

6.2 Condiciones necesarias y primeras propiedades 61

Figura 18. Conjunto con segmento en la frontera

Figura 19. Triángulo 'y(te)yia)^{b)

Corolario 6.4. Si ^¡ cumple la condición C, entonces ^f{[a.b]) no es un segmento para cualesquiera a,b G I.

Demostración. Si 7([a, b]) C int{P) entonces podemos aplicar el teorema previo. En el caso en que 7([a,6]) C Fr(/^), se demuestra, de forma análoga a la demostración del teorema, que 7(7) C FT{P). m




6.2.2. Inyectividad y diferenciabilidad

Teorema 6.5. Si 7 cumple la propiedad C, entonces es totalmente no inyectiva, es decir V[a, c] C / V6 GJa, c[, 7([a, 6[) n 7(]6, c]) ^ 0; además 7([a, &]) fi 7([6, c]) es conwea;».

Demostración. Si la intersección es vacía, entonces están separados por un segmento lo que contradice el teorema anterior. Es convexo por ser intersección de convexos. •

Teorema 6.6. Si F cumple la condición C, ninguna de sus componentes (fi, f2) puede ser inyectiva en un intervalo.

Demostración. Supongamos que / i sea inyectiva en un intervalo (de forma análoga se liaría con

Sea [a, b] un intervalo donde / i es inyectiva. Veámoslo por casos

1- / i y /2 son linealmente dependientes en algún subintervalo [c,d] de [a,b], es decir, en [c, d] ¡2 = xfi para algún x e M.

En este caso F([c, d]) es un segmento y, por tanto, aplicando el corolario 6.4, la función F no cumple la propiedad C.

2- / i y ¡2 son linealmente independientes en todo subintervalo de [a, 6]. Como F{[a, h]) es convexo, el segmento [F{a), F{h)] está contenido en F{[a, h]). Como / i y ¡2 son linealmente independientes existe un a G [a, h] tal que F{a) no se encuentra en el segmento [F(a),F(6)] lo que nos lleva a una contradicción, ya que al ser / i inyectiva el único valor tomado en la primera coordenada sería / i ( « ) .

Teorema 6.7. Si F cumple la condición C y [a, h] C / , entonces su componente / i toma todo valor entre /i(a) y fi{b) una cantidad c de veces.

Corolario 6.8. Si F cumple la condición C, entonces ninguna de sus componentes (fi) fi) puede ser monótona en un intervalo.

Si a una función sólo le exigimos que cumpla la propiedad C (es decir que Va, h £ I: F{[a, b]) es convexo y F{I) = P sin necesidad de ser continua) ¿que propiedades cumplirá? Veamos que cada una de sus componentes cumple la propiedad de los valores intermedios de Darboux, es decir

\/x,y el : /([x, y]) D [mín{/(x), / (y)} , máx{/(x), f{y)}].




Teorema 6.9. Si F = (/i,/2) cumple la propiedad C, entonces / i y /2 cumplen la propiedad de los valores intermedios.

Demostración. Sea x,y e I, por ser F{[x, y]) convexo, el segmento [F{x), F{y)] C F{[x, y]), por lo tanto, [/i(x), fi{y)] Q fi{[x, y]) y se cumple la propiedad de los puntos intermedios para / i , análogo para /2. •

Veamos un ejemplo de una función que cumple la propiedad C pero no es continua.

Ejemplo 6.10. Sea C el conjunto de Cantor. Definimos la función sobreyectiva

5 : C -^ [0,1 l2

t = O3Í1Í2 • . • ^ ^^^'2^ • • • ' 2 ^ 2 ' ' " '

y

F : [0,1] -. [0,1]2

^ "*" ^ ""' \g{0'tn+itn+2 • • •) en otro caso, siendo n = máxjgz+{tj = 1}

así, dado un intervalo no degenerado [a, 6] C [0,1] se tiene que F{[a,b]) 3 g{C) = P. Con lo que F cumple C.

Teorema 6.11. Si F — (/i, /2) cumple la propiedad C y la función no es constante en ningún intervalo, entonces F no es diferenciable en ningún intervalo.

Demostración. Sea F una función con la propiedad C y no constante en un intervalo (a, b). Como F es convexa tenemos, por el corolario 6.4 que F((a, b)) es un convexo con interior no vacío, además, por el teorema 4.31, si F es diferenciable, m{F{{a,b))) = O lo que supone una contradicción. •

6.2.3. Propiedad del rodeo

En este apartado veremos la propiedad del punto rodeado que, a grosso modo, dice que cada vez que rodeamos un punto por una curva ésta ha de volver a pasar por el.

Más técnicamente.

Teorema 6.12. Sea 7 una función que cumple C.



1. Si[a,b] C I yt e I son tales que j{[a, fe]) C int{'y{[a, b+t])), entonces 7([a, fe]) C -í{[b,b + t]),

2. Si[a,b] C I yt e I son tales que j{[a, fe]) C mí(7([a—í, 6])), entonces 7([a, fe]) C 7 ( [ a - í , a ] ) .

Demostración. Para la primera parte. Sea s £ [a,b], x = 7(5) y Rx una recta que pase por x. Dividimos la recta en dos semirectas R^ y R~ que comienzan en x.

Como 7([a, fe]) C mí(7([a.fe + í])), existe un punto r+ G i?+ fl (7([a,fo + t]) \ 7([a, fe])) y otro r~ e -ñT fl {'j{[a, fe + í]) \ 7([a, fe])), así, x G [r~, r+]. Sean í~, í+ G ]fe, b+t] tales que 7(í~) = r " y 7(í"'") = r+, como 7 cumple la propiedad C tenemos que [r~,r+] C 7([mín{¿~,í"'"}, máx{í~, í+j] con lo que x = 7(s) G 7([fe, fe + í]).

La segunda parte se demuestra de forma análoga. •

Teorema 6.13. Sean 7 una curva que cumple C, [a,b] Q I y t E I tales que 7([a, fe]) Q int{'y([a — t,b + t])), entonces 7([a, fe]) C ^/([a — í, a] U [fe, fe + í]).

Demostración. Sean s e [a,b], r una recta que pase por 7(5) y Zi,Z2 los dos únicos elementos de r n Fr(7([a — í, fe + t])). Dividimos r en dos semirectas ri, r2 tales que tengan como origen el punto 7(5) y pasen por Zi y Z2 respectivamente (ver figura 20). Si -2 1, 22 G 7([a — t, a]) o Zi,Z2 E 7([6, fe + í]), entonces 7(s) G 7([a — í, a] U [fe, fe + í]).

Si zi G 7([a—í, a]) y Z2 E 7([fe, fe+í]) o viceversa (el caso contrario sería análogo) tomamos

«1 = máx{a G]0, n[: r^ fl Fr(7([a — í, fe + í])) G "•/{[a — t, a])}

Pi = mm{a G] - TT, 0[: r^ n Fr(7([a - í, fe + í])) G 7([a - í, a])}

donde TQ, es la semirecta con origen en 7(í) y que forma un ángulo a con la semirecta ri .

Si «1 —/5i > TT entonces existen dos puntos distintos u,v E Fr(7([a~í, a])) tales que el segmento que los une contiene a 7(5) y, por tanto, 7(5) G 7([a — í, a]).

Si «1 — /5i < Tí definimos «2 y /32 de forma análoga:

«2 = máx{Q; G]0, 7r[: r,, n Fr(7([a - í, fe + í])) G 7([fe, fe + í])}

/?2 = mín{a G] - vr, 0[: r^ n Fr(7([a - í, fe + í])) G 7([fe, fe + í])}

donde TQ, es la semirecta con origen en 7(í) y que forma un ángulo a con la semirecta r2.

Como mí(7([a — í, a] U [fe, fe + í])) contiene a 7(5), entonces «2 — / 2 > TT y, por tanto, 7(s) G 7([a — í,a]). •

Veamos algunas consecuencias

Figura 20. Ampliación de la curva 7

Corolario 6.14. Sea 7 una curva que cumple C y t E I, si existe una sucesión monótona decreciente {tj}j^f>^ tal que i/7([í —íj+i,í + íj+i]) C int{'y{[t — tj,t + tj])), entonces f]7([í — tj,t + tj]) = 7(t).

Demostración. Sea L = límtj 7 O y supongamos que ri7([í — tj,t + tj]) 7 7(í). Sea pues O <

e < diám(-y[t-~L,t+L]) . Por la continuidad uniforme de 7 al ser / compacto, existe un

í > O tal que Vs,s' e I : \s - s'\ < S 7(s)-7(s')|| <e (9)

Por el teorema previo, para todo i EN, ^{[t — L,t + L]) C ^/([t — ti,t — ti+i]U[t + ti,t + ti+i]) pero \ti — íj+il ^ O lo que contradice (9) ya que para i suficientemente grande \ti — tj+ij < S y, por tanto, 7([í — ti,t — íj+i]) y j{[t + ti,t + íi+i]) están contenidas en bolas de radio e y como e < ' " " (7[*--- .*+- l) J Q recubre j{t — L,t + L]).

Corolario 6.15. Sea 7 una curva que cumple C y t E I, si existe una sucesión monótona creciente {íj}jeN « (lue y 7([í — tj,t + tj]) C mí(7([í — íj+i, t + tj+i])), entonces 7([í — to, í + ío]) = {lit)}

Demostración. Supongamos que 7([í - to, í + ío]) 7 {'^/(t)}, sea e < diám7([t -to,t + to]). Por la continuidad uniforme de 7 existe un S > O tal que

Vs, s' e I:\s-s'\<S=^ tf(s) - 7(s')|| < e (10)

por el teorema previo, para todo i G N, 7([í — í¿, í + U]) C j[[t — íj+i, í — í¿] U [í + íj+i,í + ti]) pero |íi — íj+il —> O lo que contradice (10). •

6.3. El espacio de los conjuntos convexos con la métrica Hausdoríf

En esta sección estudiamos la relación que hay entre las curvas C y la métrica de Hausdoríf.

Si 7 es una curva que cumple C, entonces la imagen de un intervalo cerrado será un convexo cerrado y, por tanto, podemos definir una aplicación de los subconjun-tos convexos y cerrados de / (es decir los intervalos cerrados, que denotaremos por J ) a los subconjuntos convexos y cerrados de P, ambos dotados de la métrica de Hausdoríf, de la siguiente forma

r:(I,n)^{conv{P),n) (11)

J^j{J) (12)

Teniendo en cuenta que las aplicaciones

Ti : / X / ^ (J, Tí)

(x, y) H- [mínfx, y}, máx{a:, y}]

r2:ixi-^{i,n) (x,y) ^ [\x~y\,x + y]

son continuas (de hecho la primera es un homeomorfismo) obtenemos, para cada curva 7 que cumple C, las siguientes aplicaciones continuas

7i : I X I {conv{P),n)

{x, y) ^ 7([mín{x, y}, méx{x, y}])

6.4 La propiedad sC 67

j2-IxI^{conv{I^),n) {t,s)^-f{[\t-slt + s])

Con esta segunda función, y la idea de la subsección 6.2.3, sabemos que la imagen no va a crecer por todos los lados a la vez como lo liaría la función F(í, s) = B{t,s)nP.

Si empezamos con un punto y tomamos la segunda función los convexos irán creciendo de forma continua y además localmente i.e. si tomamos dos puntos cercanos s < s' el conjunto diferencia 7([í — s', í + s']) \ 7([í — s, í + s]) ha de tener diámetro menor que un e dado.

Sabemos pues que si existe una curva con la propiedad C, entonces existe una función continua F de (X,Tí) en {conv{P)^'H) asociada tal que r[I) = 7(1) pero no pasa lo mismo a la inversa ya que la función r([x,y]) = B{x,y) es continua pero no existe ninguna curva 7 con la propiedad C tal que 7(1) = r{I) ya que no se cumpliría la propiedad del rodeo. ¿Que más propiedades habrá que exigirle a la función F para que tenga una 7 con la propiedad C asociada? La primeras condiciones serán que F{I) = P y que si J n / 7 0 entonces F{I\JJ) — F{I)[JF{J).

6.4. La propiedad sC

En los artículos de Pach y Rogers [29] y de Vince y Wilson [38] se da una condición necesaria relacionada con sucesiones de conjuntos convexos. Analicemos estas condiciones.

Definimos los siguientes tipos de sucesiones

Definición 6.16. Dada una sucesión de convexos {An}neN (donde consideramos la posibilidad de que alguno sea el vacío) decimos que:

1. {An}n&i 6-5 unitaria si y sólo si Vn £ N : diám(A„) < 1 m

2. {An}nm 6-5 convexa creciente si y sólo si Vm G N : \J Aj ^ convi^). j=0

m 3- {An\nm 6-5 convcxa si y sólo si Vn, m G N : [j Aj G conf (M^).

j=n

A las sucesiones unitarias y convexas diremos que cumplen la propiedad sC así como a los conjuntos que son unión de una sucesión sC.

Observación 6.17. Toda sucesión convexa es en particular convexa creciente ya que las condiciones que exigimos a las sucesiones convexas son más que las que exigimos a las convexas crecientes.

Observación 6.18. Las condiciones que dan Pach y Rogers y Vince y Wilson en sus respectivos artículos están sin normalizar, es decir consideran sucesiones finitas {Aj}j<n convexas o convexas crecientes con diámetro menor que e y cuya unión tenga incluida un disco unidad.

Veamos que relación existe entre los distintos tipos de sucesiones y las curvas con la propiedad C.

Teorema 6.19. Si existe una curva 7 cumpliendo la condición C, entonces, para cualquier M e K."*", existen sucesiones unitarias convexas (y, por tanto, crecientes convexas) {An}nen tales que B{0,M) C (JneN^n-

Demostración. Bastará, trasladando si fuera necesario, ver que existen sucesiones con la propiedad sC con inradio"^ mayor que M para todo M.

Sea M > O y e G]0, I^[. Como 7 es continua en un compacto, 7 es uniformemente continua; luego existe un ¿ > O tal que si |a: —Í/| < (5, entonces ||7(x) — 7(y)|| < e; luego tomando una partición {O = a:o,3:i,... ,Xk-i,Xk = 1} del intervalo [0,1] tal que los puntos consecutivos disten menos que S tenemos que, si Bn = j{[xn, Xn+i]) o i?„ = 0 si n > /c, entonces la sucesión {Bn}neN cumple

1. diám(i?„) < e, para todo n EN

2. {Bn} es convexa (y, por tanto, creciente convexa)

3. mrad¿o(UnGN -^n) = inradio{P) = 1

y, tomando A^ = MB^ obtenemos la sucesión {An}neN deseada. •

En un primer lugar se podría intentar acotar el diámetro de los conjuntos sC o el circunradio (radio mínimo de los círculos que lo contienen). Veamos en el siguiente ejemplo un conjunto sC con diámetro infinito y, por tanto, con circunradio infinito.

Ejemplo 6.20. Usaremos para este ejemplo la notación E(/l) para la envoltura convexa del conjunto A. Definimos la sucesión de convexos

^2i = E ( { ^ + e ^ : A ; G { 0 , . . . , 5 } }

^ i + i = E({^^ ^ + 6 6 : A ; G { 0 , . . . , 5 } } J

con j € N. Así, cada A^ es un hexágono de diámetro 1 y, además UjLn^i ^ convexo para cualesquiera n <m.

En el siguiente lema estudiamos el comportamiento de subconjuntos de conjuntos sC

El inradio de un conjunto A viene definido como sup{R 6 [O, +oo[: 3x e A, B{x, R) C A}.


Figura 21. Sucesión sC con diámetro infinito

Lema 6.21. ¿"ea {^j}jeN sC y A = UneN^n^ entonces, para todo subconjunto convexo B contenido en UneM- n» existe una sucesión de convexos {Bj}j^^ cumpliendo sC tal que B = UneN^n? «-e. la propiedad sC es hereditaria respecto a la inclusión.

Demostración. Basta tomar B^ = A^ r\ B y tener en cuenta que la intersección de convexos es convexa (seguramente aparecerán varios conjuntos vacíos pero estos conjuntos seguirán cumpliendo la propiedad y a la hora de la práctica pueden ser eliminados). •

Curvas 7 parcialmente convexas, es decir tales que \/t E 1: 7([0,í]) es convexo, se describen en Pach y Rogers [29] y de Vince y Wilson [38]. La existencia de tales curvas nos asegura la existencia de sucesiones convexas crecientes unitarias de inradio tan grande como queramos (su demostración es análoga a la del teorema previo), pero, en principio, no infinita, es decir tal que contenga todo M .

Para la construcción de la curva se parte de una sucesión creciente convexa que podría extenderse hasta rellenar todo M .

Con esto tenemos que una condición necesaria para la existencia de curvas que cumplen C es que, para cada bola existan sucesiones sC que contengan dicha bola. Por tanto nos interesa encontrar un procedimiento tal que, dado un M G M" , describa una sucesión sC {An}neN tal que el inradio de A = |J„gpj A„ sea mayor o igual que M.

Sea ACM? denotamos por mr{A) el inradio de A. ¿Cuál es el valor de sup{inr(A) : A es sC}?

6.4.1. La ampliación de un círculo

En esta sección estudiamos cuál es la ampliación máxima de un circulo dado de diámetro R (con R en principio considerado como un número grande) usando sucesiones de convexos sC y considerando el círculo inicial como de diámetro uno aunque no lo sea ya que, si dicho círculo no se puede ampliar, no se podrá hacer




un convexo de diámetro mayor que la ampliación máxima por medio de sucesiones sC. Para empezar podemos ver que para ampliar el inradio del círculo original tenemos que cubrir un arco de longitud mayor que TIR (de hecho es una condición suficiente y necesaria con nuestras condiciones dadas). Además, como consideramos el conjunto como si tuviera diámetro 1, podemos pasar tantas veces como queramos por él.

Empezamos, por tanto, con el conjunto Ai = B'{0. R) y tomamos un convexo que corte estrictamente a la frontera y que tenga diámetro 1 como A2 (podemos suponer sin perdida de generalidad que A2 está en la parte superior del circulo es decir que contiene el punto (O, R.)). El A3 podría volver a ser Ai y, después, poner otro convexo en contacto con A2 y así podemos tomar los impares como B'{0, i?) y en los pares ir avanzando como muestra la figura 22.

Figura 22. Ampliación más sencilla de una sola vuelta del círculo




Veamos cuanto se puede ampliar un circulo de radio R con una sola vuelta (es decir con todos los convexos en contacto con el círculo original) para empezar veamos el diámetro máximo al añadir un único conjunto.

Proposición 6.22. Dado un circulo de radio R y un convexo de diámetro menor o igual que 1. Si su unión es convexa, tiene como diám,etro, a lo sumo

4i?2

\/4ñ^^=a' Demostración.

Según muestra la figura 23

Figui'a 23. Ampliación máxima del círculo en una vuelta

sm Q: = 2ñ

eos a = \íl

R

\/4i?2 4i?2 2R

eos Q = \z\

2R^



72 Funciones que conservan la convexidad

Corolario 6.23. Si ampliarnos un círculo de radio R con convexos de diámetro menor o igual que 1 formando una sucesión en la que los términos impares sean el circulo inicial, sea convexa, entonces su unión tiene como diámetro, a lo sumo

v/4i?2 - 1

Estudiemos ahora el diámetro máximo que puede tener la unión de las sucesiones convexas de un círculos Ai de radio R > \ y dos convexos A2 y A3 de diámetro menor o igual que 1.

Figura 24. Ampliación con dos conjuntos

Veamos que la ampliación mostrada en la figura 24 es máxima donde A2 está limitado por líneas azules y A3 por verdes. Sean A'2 y A3 otra ampliación de A^. Definimos el punto z' como el punto de tangencia entre Ai y A'2 tal que todo el conjunto A2r\fr{Ai) quede a la izquierda del punto. Podemos suponer sin perdida de generalidad que el punto de tangencia es el punto (R, 0) (haciendo una rotación si fuera necesario) y que el conjunto A'^ no contiene a dicho punto (haciendo una simetría si fuera necesario ya que si contiene los dos puntos de tangencia más alejados la ampliación no será máxima). Así tenemos que el conjunto A2 estará a



la izquierda de la recta x = R. Por otra parte si z* es el punto más distante a A tendremos dos rectas que pasan por él y son tangentes a. AiU A2. Si ambas rectas fueran tangentes & Ai o a. A2 la, ampliación estaría acotada por la misma cota que la de la ampliación con un único conjunto, luego el punto estará más lejos de A, si una de las rectas es tangente a yli y la otra a A2. Sea Z2 el punto de tangencia. El conjunto A'^ estará contenido entre las 2 rectas tangentes, además z'^ distará a lo sumo 1 del punto de tangencia con Ai y, por tanto, la distancia de z' a Ai estará acotado por las dos rectas tangentes. El ángulo será máximo en la recta del caso visto y, por tanto, es el máximo.

Veamos cual es el valor del radio máximo, es decir ¡z-i].

Del triángulo 0^12:4 tal que Ozi — R, el ángulo 0012:4 es rectángulo y el ánguk ziOzi = <^^-o^3 gg gigue

, , R P4 ( ^ O g O l ^

V'eamos cuál es el valor de eos °^^"^. Como

«1 — «3 «1 a s . ai «3 eos = eos — eos — sm — sni —

2 2 2 2 2

necesitamos conocer las razones trigonométricas de ^ y ^ .

A partir del triángulo OZIZQ en el que se cumple que Ozi = OZQ = Ry ZIZQ = 1

que es isósceles, se sigue, si denotamos por «i el ángulo ZIOZQ,

ai 1 sm — = —

2 2R

de lo que sigue que ai x/4i?2 - 1

eos — = 2 2R

Del triángulo Oz2Z'¿ en el que se tiene que Oz2 = \z2\, Oz^ = Ry - 2- 3 = 1, se tiene

,Q-1 , \Z2\'^ + R^-1 cosí Q3J 2 ' 2 Z2\R

0 = / 1 - C O S 2 (

con lo que

s i n ( y - «3) = y^" c o s 2 ( y - «3)


cosas = eos (^(-y - a-s) - —j

cos( Y - «sj eos — + sin( Y - a-s) sm —

|Z2P + Í ? ^ - 1 \ / 4 Í ? 2 - 1 y4¡Z2pf í2" |Z2|2-Í?2 + 1 1

2ko|fí 2i? Z2 R

M^'AR'

2R

(|22P + K^ - l ) \ / 4 i F ^ + ^4|22|2i?2™ | 2 2 p - i ? 2 + l

El valor de |2;2| se calcula a partir del triángulo rectángulo OziZ2 cuyo ángulo ZiOz2

, , R 2i?2 es ^ . Obteniéndose

F2 eos x/4i?,2 - 1

Como eos ^ /eos «3 + 1 ,, V 2 >' ' sm

0 3 y ^ —eos Q3 2 •

eos «1 — «3 \/4i?2 — 1 /eos 0:3 + 1 1 / l —cosas

2i? 2i?

6.4.2. Sucesión sC máx ima

Para acabar este capítulo mostraremos la sucesión sC con inradio máximo encontrado. La construcción de la sucesión se muestra en las figuras 26-38. La última figura nos muestra el resultado final. El diámetro es de aproximadamente L5194 unidades. Si nos quedamos en el paso 9 obtendríamos un inradio de L4434. En el caso de hacer un triángulo equilátero con cuatro triángulos equiláteros de diámetro 1 obtendríamos un inradio de 1.1547 véase figura 25.



Figura 25. Sucesión sC con cuatro triángulos equiláteros

Figura 26. Sucesión totalmente convexa con inradio máximo encontrado.Términos 1-3

Figura 27. Sucesión totalmente convexa con inradio máximo encontrado. Términos 4-i



Figura 28. Sucesión totalmente convexa con inradio máximo encontrado. Términos 7-9





Figura 38. Resultado final



7

Sucesiones de funciones a-densas

En este capítulo estudiamos la variación de las componentes de las funciones que llenan el espacio y de las sucesiones que convergen a una función que llena el espacio. Esto nos proporcionará una condición necesaria para que una sucesión de funciones a;„-densas con a„ —^ O converja a una función que tiene contenido de Jordan positivo.

7.1. Introducción

Sea {7ra}n€N £ C(/, A) siendo A C E*" (en general se podría plantear para espacios métricos cualesquiera) y sea {«„} la sucesión de las densidades asociadas.

La cuestión que nos planteamos es en qué condiciones se cumple lo siguiente: si a„ -^ O, entonces 7„ ^ 7 G C{I, A) y 7 es 0-densa es decir 7(7) = A.

Como queremos 7(/) = A consideraremos sólo los conjuntos compactos (véase teorema 3.1).

Veamos una condición necesaria pero antes unos lemas previos.

Lema 7.1. Sea {/„} C R' ?/ / G R^, si lím,j__oo ./?i = / (como límite puntual), entonces var(/) < líminf var(/„)

Demostración. Dos casos.

1. var(/) = LER

Demostremos que

Ve > O : var(/) — e < líminf var(/„)

con lo que ya lo tendríamos. Para verlo, bastaría que

82 7 Sucesiones de funciones a-densas

3no e NVn > no : var(/„) > var(/) - e

Sea {ífc} ^Q una partición de / tal que

¿ \f{tk) - /(4-i)i < ¿ < E \fitk) - /(4-i)l + A ; = l fc=l

que existe por definición de variación^.

Como

E |/n(4) - Uh-l)\ ^ E l/íí/i) - /(í^-l)l fc=l / c = l

por ser una suma finita y el límite puntual, entonces existe un rio G N tal que

E \fnitk) - fn{tk^l)\ - E l/í ' ) - /( fc l Vn > 77,0

con lo que, para todo n > no,

p

Var(/„) > E \ín{tk) - fni.tk-1

< (13)

k=l

> E \f(tk) - /(t.-i)l - ^ > L - - - - = L - e / c = l - 2 2

2. var(/) = oo

Demostremos que

VM > 03no G N : Vn > no : var(/„) > M.

Sea M > O y {ífcj ^x ^'^^ partición de / tal que

E | / ( 4 ) - / ( 4 _ i ) | > M + l k=l

(14)

Como en (13), tomando e = 2, tenemos

3no G N : Vn > no :

con lo que

E l/n(ífe) - fnitk-l)\ - E l/(í^) - /(í^-l)l A ; = l / c = l

< 1 (15)

1 var(/) = sup{X) |/(ífc) - /(ífc-i)l : {¿fc} es partición de / } .

7.1 Introducción 83

J2\fnitk)-fn{tk-l)\-M k=l

> - l por (15)

= E \fn(tk) - fn{tk-l)\ - ¿ \f{h) - f{tu-l) k=l k=l

+ J2\f{h)-f{tk-i)\-M k=l

P por (14)

k=l

y, por tanto, límvar(/n) = oo •

Veamos un ejemplo donde la desigualdad es estricta.

Ejemplo 7.2. límn-^+oo/n = / y var(/) < líminf„_+ooVar(/„

Sea

/o : / -> / 1

t ^ -2\t- - | + 1

y a partir de /o definimos de forma recursiva,

¡fn-i{2t) í e [ o , | ] | / , _ i ( 2 í - l ) í G [ | , l ]

0.2 0.4 0 .6 O.í

Figura 39. Ejemplo de sucesión de funciones uniformemente convergentes con variación constante y cuyo límite tiene variación distinta.

Esta sucesión de funciones cumple que Vn G M : var(/ji) = 2 y lím /n = O con convergencia uniforme, pero 2 = líminf var(/n) > var(/) = 0.

Analicemos cómo deben de ser las componentes de una función que tenga contenido de Jordan positivo.

Lema 7.3. V7 e C{I, W) : L{j) < E"=i var(7j) < 72^(7) siendo 7 = (71 , . . . , 7n)-

Demostración. Por definición

¿(7) = supiY, hih) - 7(^-1)II2 : {4}r=o partición de / } k=l

m

var(7j) = sup{Y^ \lj{ik) - lj{h-i)\ • {ífc}r=o partición de / }

pero sabemos que ||2;||2 < Sj=i l jl < Sj=i llalla = '"'Iklb con lo que obtenemos el resultado deseado. •

Lema 7.4. Sea •j eC{I, / " ) . Si 7(1) = /"•, entonces

\/x e Nj e {l,...,n} : Card {j~^(x)) = c.

Demostración. Sea X G I, entonces, por ser •j{I) = /"•, hay infinitos, con cardinal c, puntos de la forma {xi,X2, ...,Xj-i,x,Xj+i, ...,Xn) y, por tanto, como estos pertenecen a la imagen, debe haber al menos esta cantidad en el dominio que cumplan que 7 J W = X. m

Corolario 7.5. Sea 7 e C(/,]R"-). Si 7(1) = A A int{A) ^ 0, entonces existen n intervalos cerrados [ai,bi] C M. (i E {1,- • • ,n}) tal que n¿Li['^í'^j] '^ ^ y> í* ™ todo j G {1, ...,n} y todo x E [aj, bj], Card {yj~^{x)) = c.

Demostración. Por contener A un abierto existe un conjunto B = HÍLIÍ^Í) h] Q ^ con Oj < hj y la demostración es análoga al lema previo como vemos a continuación.

Sea X e [%-,&j], entonces hay un conjunto de puntos pertenecientes a i? de la forma (xi,X2, ...,Xj_i,3;,Xj+i, ...,0;^) con cardinal c y, por tanto, como estos pertenecen a la imagen tenemos que debe de haber al menos esta cantidad en el dominio que cumplan que 7 (í) = x (no puede haber más ya que el cardinal de B es c). •

Citamos el siguiente lema obtenido de Kharazishvili [15, pag. 208] que usaremos posteriormente.

Lema 7.6. Sea f e C{[a,b],'R). Si ya,T¡^a,b]if) < +00, entonces

var[a,6](/) = (pf{y)dy

7.2 Variación de las componentes 85

donde

0j : M -^ R U {+00}

í +00 si Card (/"I(y)) > UJ; ^ [Card {f-l{y)) si Card (f-l{y))<u.

En particular, cpty E M : Card{f~^{y)) < u.

7.2. Variación de las componentes

Con los resultados vistos podemos asegurar que si una sucesión de curvas a-densas converge a una curva de Peano, entonces sus variaciones tienden a infinito.

Teorema 7.7. Vn > IV7 G C{I, /"•) : si j{I) = /"•, entonces var(7i) = var(72) = . . . = var(7n) = 00

Demostración. Supongamos que var(7j) < +(X), entonces aplicando el lema 7.6, tenemos que, para casi todo y G E, Card (7"^ (y)) < ÚJ. Por otro lado, por el lema 7.4, para todo y G I, Card {lj''^{y)) = c, y como / no tiene medida nula se contradice la afirmación anterior. •

Corolario 7.8. Vn > IV7 G C{[a,b],U]=i[aj,bj]) : si 7([a,6]) = ll]=i[aj,bj] = J, entonces var(7i) = var(72) = ... = var(7n) = CXD

Demostración. Basta tener en cuenta que las traslaciones no cambian las variaciones y, las dilataciones y las contracciones las multiplican por una constante:

var(/ + K) = sup{X: \f{tk) + K- (/(í,_i) + K)\ : {tk}T=o partición de 1} k=l

m

= s u p { ^ |/(tfc) - /(ífc_i)| : {tk}Z=o partición de / } = var(/) k=l

m

var(a • / ) = s u p { ^ \a • }\tk) - a • f{tk-i)\ : {tk}T=o partición de / } k=l

m

= s u p { ^ \a\ • \f{tk) - / ( 4 - i ) | : {tk}T=o partición de / } k=l

= \a\ • var(/)

Teorema 7.9. Seam> I, ACW y {^n}n&n C C{I,A). Si-fn ^ 1 ^ C{I,Á), int{A) 7 0 y 7(/) = A, entonces Vj e {1,..., m} lím„ôo var((7„)j) = oo

Demostración. Supongamos que var(7j) < +oo, aplicando el lema 7.6, tenemos que, para casi todo y G M, Card {ij^îv)) < < - Por otro lado, por el corolario 7.5, si y E [ÜJ, bj], entonces Card {'yjîv)) = c y como [aj,bj] no tiene medida nula se contradice la afirmación anterior. •

Corolario 7.10. Sea {-fn}neN C C{I,P). Si 7n ^ 7 e C(/,/2) y 7(7) = P, entonces \/j G {1, 2} límvar((7^)j) = 00

7.3. Ejemplos y consecuencias

La consecuencia más inmediata de los resultados vistos en las secciones anteriores es que si las curvas a-densas vienen dadas en paramétricas, es decir 7j(í) = (í,/j(í)), entonces la sucesión no convergerá a una curva de Peano ya que la variación de la primera componente es 1.

Ejemplo 7.11. Las curvas del ejemplo 2.15.b cumplen que, cuando k tiende a infinito, su densidad tiende a cero, pero al estar en forma paramétrica el límite no será una curva de Peano (en este caso el límite no existe).

Hemos visto que si la imagen de una función tiene interior no vacío, entonces todas sus funciones componentes son de variación no acotada. Esto nos plantea la pregunta: ¿existe alguna función con todas sus componentes de variación no acotada que tenga el interior vacío?

Si no exigimos nada más a las componentes la respuesta es afirmativa, ya que bastaría tomar las dos componentes iguales i.e. 71 = 72 donde la imagen estará contenida en la diagonal i.e. en {{x,x) : x G / } que, por supuesto, tiene interior vacío. Para poder contestar negativamente a la pregunta habrá que exigir cierta independencia entre las componentes o que no exista otra reparametrización de la curva que si tenga las componentes de variación acotada. Veamos ahora un ejemplo

Ejemplo 7.12. Sea

7 : 7 - ^ / 2 ( í cos f , í s in ( f+ | ) ) si tG]0,l] (0,0) s i í = 0

7.3 Ejemplos y consecuencias 87

veamos que var(7i) = var(72) = oo.

Tomando las particiones {tjjJ^Q siendo to = O y tj = \ tenemos que

n n

E l7i(íi) - 7ife-i)| = 71 (íi) + E l7i(íi) - 7i(íi-i)| j = l Í=2

" 1 1 = |lcos(7r)| + E | -cos(7r j ) - -cos(7r( j - 1))|

, " 1 1 " 1

j=2 J J ^ j=l J

luego la variación es infinita para la primera componente, la segunda componente es análoga.

Como 7 es diferenciable en [ , 1] para todo n. aplicando el teorema 5.4 tenemos que m(7([¿, 1])) = O y, así 7(7) = {7(0)} U UnGZ+ 7([¿, 1]) tiene medida cero.

Otras formas de ver que la medida es cero es aplicando el teorema 4.31 o el teorema 5.4 viendo que las componentes son L]^' con a e]l,2[.

Veamos ahora un ejemplo donde la función no tiene variación acotada en ningún subintervalo y que, sin embargo, su imagen tiene interior vacío.

Ejemplo 7.13. La curva de Koch. Sea

7 : / ^ /2

t = 0'^tit2 ... ^ l ím/ í , o . . .o / í„ (0 ,0)

donde

ri—>cx3

Z

Z ÍTT_ 1

'^r'^3

Z — ¿TT

z 2 z t-^ — I —

3 3

1 Vsi

El interior de la imagen de 7 es vacío ya que su medida en M? es cero y la variación es infinita ya que tiene longitud infinita y es autosemejante.



7 Sucesiones de funciones a-densas

Figura 40. La curva de Koch

Para ver un ejemplo de una sucesión de curvas a-densas que converge a una curva de Peano basta tomar las poligonales aproximantes a la curva de Hilbert como se puede ver en Sagan [32, Capítulo 2].

En general, si la sucesión de funciones converge, la constante de densificación será menor o igual que el límite de las densificaciones como se establece en el siguiente teorema.

Teorema 7.14. Sea {X,d) un espacio métrico, {7n}n6N Q C{I,X) y {«„}neN ío-densidad mínima de cada curva (es decir el ínfimo de los a para el cual la curva es a-densa). Si an -^ a, 7„ - > 7 G C{I, X) y P es la densidad mínima de 7, entonces (3 < a y, si X es compacto, entonces a = (3.

Demostración. Tenemos que Va; G XBt^ G / : d{'y{I),x) = d{^/{tx),x), luego

«n > d{rín{I),x) = d{'-fn{.tx),x)

Tomando límites obtenemos que

ce > (i(7(/),x)

y, como se cumple para todo x, tenemos que a > p.

En el caso de que X sea compacto, a partir de

7.3 Ejemplos y consecuencias 89

3 { í n } n e N C / , 3{Xn}nm ^ X : Qf = ( Í ( 7 n ( í n ) , ^n)

por compacidad podemos extraer una subsucesión tal que

Por lo tanto

Í3 > rf(7(í),x) = límd{'ynj{tnj),Xnj) = liman = a

m



8

Aplicaciones

En este capítulo introducimos un algoritmo para resolver desigualdades definidas por una función real en un conjunto compacto D de un espacio métrico {E, d). Este algoritmo está basado en el articulo de Butz [6]. También mostraremos una técnica de optimización global, similar a la obtenida para las desigualdades, cuando la tolerancia r > O sea dada.

8.1. Introducción

Algunos algoritmos para generar curvas que llenan el espacio han sido usados como herramienta para resolver ciertos problemas de programación matemática, como podemos ver en Bartholdi-Platzman [2], Brent [4] y Butz [5], [6] y [7]. Específicamente, en Butz [6], se estudia el conjunto

X = {x e / " : f(x) < 0},

donde / es una función real definida en el hipercubo unidad / " = [O, !]"• de R* (n > 2).

En este capítulo se describe un algoritmo que determina si X es vacío o no (por supuesto en un tiempo finito). Y en caso de no ser vacío da como resultado una sucesión que converge a algún miembro de X.

La existencia del algoritmo propuesto por Butz (ver Butz [6, p.l29]) se sigue de las siguientes hipótesis sobre / :

Para todo x' e X* (el complemento de X),

O < fcix') < f{x') < K{x') • inf^exWx - x'W,

donde fe es continua en X'^ (no necesariamente conocida), K es una función conocida (no necesariamente continua) que satisface

92 8 Aplicaciones

O < K(x') <L<oo

y II • \\q representa la norma q (q > 1)-La determinación de la función K en el conjunto X'^ es crucial para la cons

trucción del algoritmo expuesto en dicho artículo (ver teorema de la sección 2 en [6, p.l29]) pero, para determinar la función K será necesario conocer previamente o X o X'^. Pero X es el objeto de estudio, es decir, ¡es exactamente el conjunto que uno intenta conocer! Razonablemente, podríamos objetar que este método es, al menos, oscuro en el tratamiento lógico del problema.

El mencionado método también usa una curva de Peano, hn, que llena el dominio /"• y uno debe computar una constante M satisfaciendo la desigualdad

\\hn{r) ~ hr,is)\\g < M\r - s\^, (16)

que representa una nueva dificultad añadida a la complejidad de las curvas que llenan el espacio (ver Mora-Cherruault [20] y Sagan [32]).

Ahora, nuestro propósito será el de establecer, bajo condiciones mucho más generales que las asumidas en Butz [5], un algoritmo que determine si el conjunto X definido por

X = {xeD: f{x) < 0}

es vacío o no, donde / es una función real en un conjunto compacto D de un espacio métrico general {E,d). Si no es vacío nos da una aproximación, todo lo buena que se quiera, de un elemento de X. En nuestro método usaremos una curva a-densa ja en vez de la curva hn de Peano que se usa en Butz [5].

8.2. Prel iminares y suposiciones

Sea D un compacto densificable en el espacio métrico (E,d).

Para cada curva a-densa 7 en D, que siempre la consideraremos como no constante en todo subintervalo de l \ puede enunciarse una relación mucho más general que la desigualdad (16): existe una función diámA y

c¿(7(r), 7(5)) < ${\r — s\), para todo r,s E I. (17)

^ No es difícil demostrar que dada una curva 7 a-densa de X no constante, existe una curva 7' a-densa de X que no es constante en ningún subintervalo.

8.3 El algoritmo para resolver desigualdades 93

Nuestra función objeto será una función real / definida en D para la cual se desea resolver la desigualdad f{x) < O, i.e. determinar si el conjunto

X = {xeD: f{x) < 0}

es o no vacío, exigiendo a / , únicamente que sea continua en la curva a-densa 7.

En nuestro método será crucial determinar, para cada s e / tal que 7(5) 0 X, el número

As = sup{r > O : Vi G / : 7(í) G B{-f{s),r) = ^ O < fij{t))}.

Como filis)) > O, la existencia de Ag > O está garantizada por la continuidad de la composición / 0 7 en el intervalo / = [0,1] y por el hecho de que, por compacidad, podemos suponer que el radio de todas las bolas está acotado superiormente por el diámetro de D.

8.3. El algoritmo para resolver desigualdades

Nuestro método se basa en el siguiente resultado

Teorema 8.1. Sea D un compacto densificable en el espacio métrico iE, d), 7 una curva a-densa en D y f una función real definida en D que es continua en 7(/) . Consideramos el conjunto X = {x E D : fix) < 0}, entonces la sucesión recursiva itn)neN definida como

to =0

tn si 7 ( ín) e X

mín{l,tn + ^-KAtJ}sijitn)^X tn+1

( O, entonces o 7(1) E X o 7(1) fl X = 0

II. Si para todo n EN, tn < 1, entonces la sucesión (7(ín))nGN converge a un punto X* eX

Demostración. Para la parte l, asumimos que tm+i es el primer término tal que tm+i = 1- Por (18) tenemos que

V n e { 0 , l , . . . , m } 7 ( í n ) ^ ^

y además O = íi < Í2 < ... < ím < W l = 1

94 8 Aplicaciones

es una partición del intervalo unidad / .

Sea t un punto arbitrario en [0,1[, veamos que j{t) ^ X.

Supongamos que 7(t) G X y que 7(1) ^ X.

De hecho, como 7(^0) ^ X, t G]0, 1[, y así hay dos puntos consecutivos tn,tn+i de la partición tales que tn < t < tn+i- Ahora, bajo la suposición de que 7(í) G X y por ser ^ estrictamente creciente y por 17, podemos escribir

donde la última desigualdad se cumple ya que /(7(í)) < O y por tanto 7(í) ^ B(7(ín),AJ.

Llegamos a que /(7(ín)) < fi'jitn)) que es una contradicción y, por tanto, 7(í) ^ X como queríamos y así tenemos I.

Para probar ll, primero supongamos que para algún m > O tenemos tm+i = t Otra vez por (18) tenemos que, necesariamente, 7(írn) ^ X y entonces tn — t para todo n > m. Así, en el caso de que la sucesión {7(ín)}neN sea constante a partir de un término 7(ín), trivialmente converge a un punto x* — j{tn) G X

Si la sucesión (ín)neN es estrictamente creciente, entonces, como es acotada, tiene un límite en J, sea

t* = lím tn, n—>oo

por continuidad de 7 existe

l ím7(í„)=7( í*) = a:*. (19) n-~*oo

Ahora, solo nos falta probar que x* G X. Para ver esto, supongamos que x* 0 X. Por ser {ínjneN una sucesión convergente,

lím {tn+i -tn) =0

m

n—>oo

y debido a la continuidad de O y así puede considerarse la bola abierta B{'y(tn), At„). Dado O < r < At*, por (19) y (20), se puede determinar un n suficientemente grande para que

8.4 Algoritmo para minimizar 95

í^(7(0,7(í*))< A * - r A „ < r .

Luego 5(7(ín), A J C S(7(ín),r) C S (7 ( r ) , A O ,

pero, por la definición de At^, hay algún 7(5) en B{'y{tn)-,r) y así /(7(s)) < 0; pero además 7(5) e B{'j{t*), At*) y, por la definición de At*, se cumple que /(7(s)) > O, lo que representa una contradicción. Por lo tanto, 7(í*) = x* G X y la demostración está completa. •

Cuando la hipótesis de la continuidad de / en la curva a-densa se extiende a todo D, tenemos el siguiente resultado.

Corolario 8.2. Sea {ja„)neN una sucesión de curvas an-densas en D, con a^ —^ O cuando n —> 00. Bajo las mismas hipótesis del teorema anterior y añadiendo la continuidad de f en D, supongamos que para cada curva janí hay un entero positivo rUn tal que í^") = 1. Entonces el conjunto

XCZ/U{7a„(l)}n6N

donde Zf es el conjunto de todos los ceros de f.

Demostración. Aplicando la parte i del teorema previo uno tiene que o 7Q;„(1) G X O

V n e N , 7 a „ ( / ) n X = 0. (21)

Supongamos que hay un punto x en X tal que no pertenece al conjunto Zf U {lan{^)}neN- Entonces, necesariamente, f(x) < O y, por continuidad, existe una bola B{x, r) en D tal que f{y) < O para todo y G B{x, r), y así

B{x,r) ex

Como an -^ O, existe un m tal que am < r y la correspondiente curva 7Q,^ densifica D con densidad a^, por tanto, dado un punto x hay algún t G I tal que la distancia '¿(a:,7a„(í)) < a^,- Como a^ < r el punto 7a„,(í) pertenece a X, que contradice (21). •

8.4. Algoritmo para minimizar

Como antes, sea D un compacto densificable de un espacio métrico (E, d) y f es una función real en D. Sea una curva 7 a-densa en D y (1? una función biyectiva

96 8 Aplicaciones

y creciente del intervalo [0,1] en el intervalo [O, M], continua en O, y satisfaciendo la desigualdad (17).

Ahora suponiendo la continuidad de / en 7(/) , deseamos construir un algoritmo para aproximarnos al mínimo global de / en j{I) de la siguiente forma:

Empezamos con UQ = O, XQ = 7(0), definimos

_ í a;„ si f{j{Un)) > f{Xn) (^c.^

"^"+^-l7(«n)si /(7(«„)) < / ( x j ^''^

y Un^l = Un + ^~\An,r). (23)

donde

An,r = sup{r > O : V7(í) e B(7(M„),r),/(7(í)) - /(x„+i) + r > 0}

para n G N y r > O siendo la tolerancia especificada. Obsérvese que por (22), 7(wn) satisface para todo n > O

/ ( T K ) ) - f{xn+i) > O (24)

y, por tanto, f{-f{Un))- f{Xn+l)+T>0

así por continuidad, cada An^r. está bien definida y es estrictamente positiva.

Ahora podemos formular un teorema que nos garantice la validez del algoritmo que aproxima el mínimo global de / en una curva a-densa.

Teorema 8.3. Sea f una función real en un conjunto compacto densificable D de un espacio métrico {E, d) y 'j una curva a-densa en D. Supongamos que f es continua en 7(/) . Teniendo en cuenta las fórmulas recursivas anteriormente definidas (22) y (23), el limite f{x') de la sucesión / (x^) no difiere del mínimo de f en j{I), llamémosle /(7(w)), más que r.

Demostración. Primero notar que, por la definición de las fórmulas recursivas (22) y (23), para todo n > O se tiene

/(Xn+l) < /(Xn) (25)

y, para todo j e {0,1, . . . ,n}, Xj e { 7 ( % ) , 7 ( Í ^ I ) , •••,7(wn)}, siempre que

Ui,U2,...,Un e I = [0,1].

Además como An^T > O para todo n > O, la monotonía de ^ implica que

8.4 Algoritmo para minimizar 97

Uo < Ui < ... <Un< Un+l < ...

Si para algún m > O se tiene Um = u entonces el teorema trivialmente se cumple. Luego podemos asumir que u ^ u^ para todo n.

Como u e I y {un}nm es creciente, entonces se cumple alguno de los dos casos siguientes:

1. Existe un m > O, con Um < í y Um O, u^ < u.

Supongamos el caso 1, veamos que el teorema se sigue. Si la diferencia /(x^+i) — / ( 7 ( M ) ) no es menor o igual que r, uno deduce por la fórmula recursiva (22) que 7(i¿) 7 7(i¿m)- Así, podemos escribir aplicando las propiedades de c? y la formula de recursion (23) que

-[^^"--^^^-^^^^^"^^^á(7(t)77(¿) (26)

d{-f{u)rí{Um))'

Ahora, como hemos supuesto que f{xm+i) — / ( 7 ( M ) ) > r o equivalentemente que f{j{u)) — f{xm+i) + T < O, deducimos, por la definición de Ám,T, que d{'y{u),'y{um)) > Am,r y teniendo en cuenta (26) llegamos a que f{xm+i) — fiîu)) < 5f{xm+i) - fi^íiu)) con S = a{'y(u)Murr,)) ^ 1 qê e ^â contradicción, luego

f{xm+i) - /(7(«)) < r,

y entonces, en este caso, el teorema se cumple. Sólo queda por estudiar el caso 2. Por ser {unjneN creciente y acotada, existe

un u* tal que lím„ôo-u^ = u*. con u* < u. Tenemos pues que {un}n&n es una sucesión de Cauchy y así deducimos que lím„ôo('' n ~ u*) = O, entonces, por la continuidad de #,

l í m Án^r = l í m ^{Un+l - Un) = O n—>+oo n—>+(X)

Supongamos que / ( 7 H ) - / ( 7 ( w * ) ) + r > 0

98 8 Aplicaciones

por la continuidad de / existe un ¿ > O tal que

V(x, y) e B{^{u),S) X 5 ( 7 K ) , 5) : f{x) - ¡(y) + r > O

como 7(tín) tiende a j{u*) existe un n G N tal que

Vm > n\/x e B('-f{u),S) : /(x) - f{^i{um) + r > O

con lo que A^^r > ^ lo que contradice que tienda a 0. •

8.5. Complementos

Otras utilidades prácticas de las curvas a-densas se pueden ver en los siguientes artículos:

1. Mora-Cherruault [21] y Mora [23] para la optimización.

2. Mora-Benavent-Navarro [24] y Mora-Cherruault-Benabidallah-Tourbier [22] para el cálculo numérico de integrales usando curvas a-densas.



9

Densificación en espacios de dimensión infinita

En este capítulo extendemos las curvas a-densas en espacios de dimensión infinita y el concepto de densificación a espacios vectoriales topológicos no necesariamente metrizables.

Sobre este tema encontramos alguna información en el artículo de Mora y Mira [25] donde se demuestra que la bola unidad en un espacio de Banach es densifi-cable si y sólo si el espacio es de dimensión finita. También se demuestra, de forma constructiva, que el paralelepípedo de Hilbert I'^ es densificable. En Sagan [32, Secciones 6.9 y 7.5] se dan curvas que llenan el paralelepípedo de Hilbert.

En el artículo [25] además se demuestra que la densidad mínima que se puede conseguir en la bola unidad en un espacio de dimensión infinita es 1.

Aunque en espacios de Banach no se puede densificar con la topología de la norma, excepto cuando es de dimensión finita, veremos en este capítulo que, con la topología débil, la bola unidad de todo espacio refiexivo y separable es un conjunto de Peano. A continuación analizaremos el caso particular de los espacios Ip. Por último demostraremos que, para todo espacio vectorial normado, la bola unidad cerrada es la imagen (T{X, A)-continua del intervalo [0,1] si y sólo si la bola es 2AN y cr(X, A)-compacta.

9.1. Conceptos y resultados preliminares

Comencemos con las definiciones básicas

Al dual topológico de un espacio vectorial topológico X lo denotaremos por X'.

El espacio dual de un espacio vectorial topológico es a su vez un espacio vectorial al que lo podemos dotar de una topología.

Denotaremos por Bx la bola unidad cerrada centrada en el O del espacio normado X.



100 9 Densificación en espacios de dimensión infinita

Definición 9.1. Dado un espacio vectorial topológico X definimos la topología débil, denotada por cü, como la mínima de las topologías que hace que los elementos de X' sean continuos.

Definición 9.2. Si el espacio vectorial X es normado definimos en X' la norma ||x'|| = sup{|x'(x)| : ||x|| < 1}.

Dado un espacio normado X tenemos el espacio normado dual asociado X' que a su vez tiene su dual {X')' = X" llamado bidual de X. En X' tenemos la topología de la norma, también denominada la topología fuerte, y la débil.

Además, en el espacio bidual de X podemos considerar los funcionales de evaluación (si X G X y x' G X' tenemos x{x') = x'{x)) con lo que podemos embeber X en X" (que, además, es un isomorfismo topológico).

Definición 9.3. Sea X un espacio normado, decimos que X es reflexivo si y sólo la aplicación evaluación de X a X" es un isomorfismo topológico.

Definimos en X' la topología uj* como la topología mínima que hace que los funcionales de evaluación sean continuos.

Recordamos el teorema de Uryshon.

Teorema 9.4 (Uryshon). Sea X un espacio topológico Ti^, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. X es regular^ y 2AN'^.

2. X es separable^ y metrizable.

3. X puede ser embebido como un subespacio del cubo de Hilbert I^.

Una vez vista la teoría general necesaria y los resultados previos veamos la definición de densificación en un grupo topológico (el resto de los resultado necesarios para el desarrollo de este capítulo pueden verse en el apéndice B).

Definición 9.5. Sea (X, T, •) un grupo topológico, A C X, U un entorno del O (U G ¿ (0)J y una curva 7 G C{I,A), decimos que 7 es f/-densa en A si y sólo si yxex: {x-u)nj{i) ^ 0 .

Diremos que un conjunto A es densificable si y sólo si \/U G £{0)3'^'/u : ^u es U-densa en A.

t XesT i si Vx,2/ eX'3AeT,x 6 AAy ^A. ^ Un espacio topológico {X,T) es regular si para todo cerrado C y todo punto x de X existen dos

abiertos disjuntos A, B tales que x €i A y C C B. ^ X es 2AN si tiene una base de abiertos numerable.

X es separable si tiene un subconjunto denso numerable y a dicho conjunto le decimos que es separador.

9.2 Densificación débil e imágenes del intervalo [0,1] 101

Observación 9.6. La definición de densificación en un grupo topológico viene dada por la densificación de la uniformidad asociada es decir si definimos la uniformidad {{x,y) £ X x X : X • y~^ e U A U E S{0)} la {/-densificación es igual a la y-densificación con V = {{x,y) E X x X : x • y'~^ e U}.

Observación 9.7. 1. Cuando el grupo topológico es métrico, entonces la definición de densificable en grupos topológicos coincide con la de espacios métricos y, la a-densidad es equivalente a la 5(0, o;)-densificación.

2. En general trabajaremos con espacios vectoriales topológicos con lo que el grupo asociado es abeliano (al ser grupo topológico podemos aplicar la definición de densificación así como con los espacios normados) y la notación producto pasa a ser notación suma es decir 7 es U-densa en A si y sólo si Vx G X : (x + [/) n 7(/) ^ 0.

Teorema 9.8. Sea (X,+ , - , r ) un espacio vectorial localmente convexo, entonces A <Z X arcoconexo es densificable si y sólo si A es precompacto.

Demostración.

<= Sea f/ e ^(0) y 1/ C [/ tal que 1/ = -V. Sea {xj}]^^ C A tal que A C [j'^îXj + V Y sea 7 G C{I,X) tal que {xj}'jî C 7(/) (es decir 7 una curva formada por la unión de las curvas que unen los puntos Xi x¿+i que existe al ser A arcoconexo).

7 es í7-densa en A ya que si y G A, entonces para algún j se tiene y E Xj~V C -f{I) - V luego y + Vn 7(1) ^ 0.

=> Sea {7 e £{0) y V C U tal que V + V C U y j e C{I,A) una curva V-densa. Por ser 7(1) compacto, existe un subconjunto {j{tj)}^î tal que 7(1) C

Veamos que A C U^^^ -y(tj) + U.

Sea y E A, como 7 es V-densa, existe un punto í G / tal que y G 7(í) + V y, por la definición de los tj, existirá un jo tal que j(t) G 7(íjo) + ^ ' on lo que y e 7(í) + VC (7(í,.J + V) + VC 7(í,J + u.

9.2. Densificación débil e imágenes del intervalo [0,1]

Proposición 9.9. Sea X un espacio normado (de Banach);

1. Bx es II o \\-densificable si y sólo si dimX < LO.

2. Bx es débilmente densificable (uj-densificable o densificable con la topología débil). Además podemos u-densificar con curvas \\ o \\-Lipschitz.


Demostración.

1. La bola Bx es precompacta si y sólo si el espacio normado es de dimensión finita, luego basta aplicar el teorema previo.

2. En la topología débil Bx es precompacto, luego, por el teorema previo, es densificable. Además podemos tomar las curvas de la demostración como los segmentos que unen los puntos. Cada curva es || o ||-Lipschitz y la unión finita seguirá siendo || o ||-Lipschitz.

• Esto nos permite construir curvas que [/-densifican débilmente toda bola cerra

da de un espacio de Banach con la topología débil pero ¿habrá curvas de Peano en la topología débil?

Teorema 9.10. Sea X un espacio de Banach, Bx (bola cerrada unidad para la norma) es la imagen u-continua de un intervalo si y sólo si X es reflexivo y separable.

Demostración. Si Bx es la imagen continua de un intervalo, entonces Bx es cj-compacto y cu-separable (la imagen continua de un compacto separable es un compacto separable), como, por B.IO, X es reflexivo si y sólo si Bx es cj-compacta y, además, si la bola es separada, X lo es, nos queda que X es reflexivo y separable.

Ahora, si X es separable y reflexivo, por B.ll la bola cerrada unidad es u¡-metrizable y cj-compacta, además Bx es conexo y localmente conexo, luego aplicando el teorema de Hahn-Mazurkiewicz, X es la imagen continua del intervalo. •

En general el teorema previo se cumple para todo tj-compacto arcoconexo de un espacio de Banach reflexivo y separable.

Veamos la densiflcación para algunos espacios de Banach.

9.3. Densificación en espacios Ip

En esta sección vamos a particularizar el estudio a los espacios l^. Veremos, aplicando los resultados de la sección previa, como se construye una curva débil continua que llena la bola unidad y se hará un breve estudio de la complejidad de dichas curvas.

Para ello primero recordamos lo que son los espacios Ip.

Definición 9.11. Definimos en el espacio de las sucesiones en R (podría hacerse en C), R' y, para cada p G [1, +oo[, las funciones



9.3 Densificación en espacios /„ 103

o llp : K' -^ [O, +00]

KbeN^ Jl]|aj|P

y definimos los conjuntos

Ip = {{aj}j(zn e R^ : ||{aj}j-6N||p < +00}.

Para p = 00 definimos

{a-jjjen ^ sup \aj\ jeN

y definimos el conjunto

loe = {{«jbeN G R'^ : ll{%}jeN||oo < +00}.

Así definidos los espacios (Zp, || o ||p) son espacios de Banach.

Veamos unas sucesiones que nos serán útiles a lo largo de esta sección.

Definición 9.12. Para cada j E N definimos las sucesiones {S¡} donde Sf = O si ÍT^ j y 5] = l.

Observación 9.13. Dichas sucesiones cumplen

1. para todo p e [1, oo] {(5¿ }¿gN G Ip,

2. para todo p G [1, oo] ||{()7}igN||p = 1,

3. el conjunto {¿¿ligN es una base de Schauder''.

4. {YJj=o(lj^j • Qj ^ Q} 6S un conjunto separador de Ip para todo p G [1, (X)[.

Según el teorema 9.10 si p G]1,+OO[, entonces la bola Bi^ es la imagen u-continua del intervalo unidad. Construyamos una curva w-continua cuya imagen sea Bi.

Basándonos en que el conjunto {{¿•}igN}jgN de l'^ es una base de Schauder para cualquier p G]1, +OO[, obtenemos la siguiente base de entornos del O

1 1 • ' 2»^'2". -"n x[-i,i]x[-i,i]x...)ns¿,

* {ejjjgN C X es una base de Schauder de un espacio normado X si Vx € X3!{aj}j(=]ij 6 R^ : a: =


Podemos, a partir de estos entornos, definir los siguientes conjuntos finitos. Para n = 1 existe un conjunto finito de puntos {xj^}^^^-^ tal que 5^^ C Uji=i Xj-^ + Bi. Un vez construidos este conjunto finito definimos para cada elemento Xj^ de dicho

conjunto un conjunto {xj^^j^}jl^^i tal que

"-Ji X h +BiQ[j Xj^j, + B2

J2 = l

y, así sucesivamente construimos {a^ji,j2,.-,in}jl="i' ' " ^ tal que

' ^31>J2 . - - - . Jn - l

Xj,,...,j^_, + Bn-l C U X J l j 2 v J n B„ Í n = l

De esta forma tenemos la bola unidad cerrada recubierta por conjuntos cada vez más pequeños, hemos ido partiendo cada uno de los conjuntos que nos salía de tal forma que, en el límite, tienden a un único punto.

k

Bi^ C U X,, + B,

C U U ^3l,h + B2 Í 1 = 1 Í 2 = 1

c. . . k ^h '^Í1.32.---.Jn-l

^ U U • • • U ^n,j2,...Jn + Bn Í1=1J2 = 1 Í n = l

C . . .

Por otra parte podemos ir dividiendo el intervalo unidad e ir asignando a intervalos consecutivos conjuntos adyacentes.

Analicemos los productos de intervalos que tienen intersección no vacía con Bi^, ya que, por ejemplo, el intervalo [|, | ] ^ x [—1,1] x . . . no está en Bi^ puesto que si

[3 31 L4' 4J ^ ^ [4) 4] ^ [^1) 1] X . . . , entonces

NlUll(|i.o,...)||^ = 2g> i

así, un conjunto del tipo

ai ai + 1 i n ' 9 n

n) X .".1. X an an + 1 2n' 2^ x[-i,i]x[-i,i]x-..ns.



9.3 Densificación en espacios Ip 105

no es vacío siY^\^\^ <1.

Para conocer estos productos de intervalos hemos de calcular los vectores de n componentes tales que la suma de sus elementos elevados a p son menores que 2". El caso en el que Z) I I'' = 1 no es necesario considerarlo ya que su intersección con J5¿p es un punto que estará en alguno de los productos de intervalos adyacentes cuya intersección con Bi^ es un único punto.

Para calcularlos, lo primero que hacemos es reducirlo al calculo de dichos vectores que tengan todos los términos positivos, ya que cambiando signos obtendremos todos. En segundo lugar si ordenamos los vectores con el orden siguiente

{ai,..., ün) < {bi,... ,bn) "^ ai < bi A • • • A ün < bn

sólo es necesario considerar los vectores maximales, Cj en ese orden que cumplen Ecf < 2"í', ya que si (a^) < (6j) y E^f < 2 ^ entonces Ea f < 2' ?'.

Bajo estas consideraciones desarrollamos el siguiente programa, P{K, n, i) para el cálculo de los vectores en el caso ¿2^ donde K inicialmente será 2^"', n el número de componentes de los vectores que vamos a calcular e i inicialmente es igual a K, como resultado obtenemos los vectores maximales ordenados de forma decreciente con n componentes:

P{K,n,i)

S i ^ 2h+1

h = h + l

Fin Si

Desde ¿ = [^/K],...,h

Escribir i

Si n > 1

P{K-i^,n-l,i)

Fin Si

Fin Desde

Veamos los primeros pasos. Para facilitar los cálculos tomaremos / = [—1,1].

^ En el apéndice puede encontrarse una implementación en lenguaje C.


En el primer paso la imagen de / es Bi^

En el segundo paso dividimos el intervalo / en dos partes /Q e /i y la bola en dos partes quedando

7([-l ,0]) = [ - l , 0 ] x [ - l , l ] x - - . n S í ,

7([0,l]) = [ 0 , l ] x [ - l , l ] x - . . n i ^ ; ,

Podemos ver que las imágenes son ( ^ , O,...) + 5 i y ( | , O,...) + i?i, respectivamente.

En el tercer paso dividimos los intervalos /Q e h en 2^ partes y cada parte de la bola en 2 quedando

7 ( [ - l , - | ] ) = [-1, -1/2] X [-1, -1/2] x...f^Bl^

7 ( [ - | , - | ] ) = [ - l , - l / 2 ] x [-1/2,0] x . . . n S ^ ^

7 ( [ - | , - | ] ) = [-1, -1/2] X [0,1/2] X . . . n S,^

7 ( [ - | , - ¿ ] ) = [ - l , - l / 2 ] x [1/2,1] x - . - n i ? , ^

7 ( [ - | , - | ] ) = [ - l /2 ,0 ]x [1/2,1] x . . . n S , ,

7 ( [ - | , - | ] ) = [-1/2, 0] X [0,1/2] x • • • n Sí,

7 ( [ - | , - ¿ ] ) = [-1/2, 0] X [-1/2, 0] X • • • n A^

7 ( [ - ¿ , 0]) = [-1/2, 0] X [-1, -1/2] x-.-r^Bi^

7([0,¿]) = [ 0 , l / 2 ] x [ - l , - l / 2 ] x . . . n 5 ; ^

7 ( [ | , | ] ) = [ 0 , l / 2 ] x [ l / 2 , l ] x - . . n i ? , ,



9.3 Densificación en espacios lp 107

7([^|]) = [ 1 / 2 ' 1 ] X [ 1 / 2 ' 1 ] X ' " n ^

7([¿ ,¿]) = [l/2,l]x[0>l/2]x-..nB í p

7 ( [ | , ¿ ] ) = [ i /2 , i ]x[- i /2>o]x- . .ns í p

7([^,1) = [1/2,1] x [-1,-1/2] χ • • •n^ p

donde ninguna de las intersecciones es vacía. En el siguiente paso cada intervalo lo dividiríamos a su vez en 25 intervalos pero algunos conjuntos tendrían intersección vacía. Por ejemplo si dividimos

7 ( [ | , | ] ) = [ 1 / 2 ' 1 ] χ [ 1 / 2 ' 1 ] χ · · · η ^

tenemos la imagen dividida en

[1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] x [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] x [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] x [1/2,3/4] χ

[1/2,3/4] χ [1/2,3/4] x [ [1/2,3/4] x [ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] x [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ

[3/4,1] x [3/4,1] x [3/4,1] χ [3/4,1] χ [3/4,1] χ [3/4,1] x [ [3/4,1] x [ [3/4,1] x

[-1,-3/4] - 3 / 4 , - 1 / 2 ] - 1 / 2 , - 1 / 4 ]

[-1/4,0] [0,1/4]

[1/4,1/2] [1/2,3/4]

[3/4,1] [3/4,1]

[1/2,3/4] [1/4,1/2] [0,1/4]

[-1/4,0] - 1 / 2 , - 1 / 4 ] - 3 / 4 , - 1 / 2 ] [-1, -3/4]

χ · χ · X · X · X · X · X · X · X · X · X · X · X · X · X · X ·

• η Blp* •r\Blp

• η β ι Ρ

•nBlp

• n ^ j p

•ns í p •ns ¡ p • η Bh* • η Blp* • η Bh* •nBh

•ns ¡ P •riBh

•r\Blp

• n J V

•nv


Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 2006

[3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1 [3/4,1

x [1/2,3/4] x [-1,-3/4] χ χ [1/2,3/4] χ [-3/4,-1/2] χ χ [1/2,3/4] χ [-1/2,-1/4] χ χ [1/2,3/4] χ [-1/4,0] χ χ [1/2,3/4] χ [0,1/4] χ [1/2,3/4] χ [1/4,1/2] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [1/2,3/4] χ [3/4,1] χ χ χ χ χ χ χ χ

[3/4,1] χ -1,-3/4] [3/4,1] χ [-3/4,-1/2] χ [3/4,1] [3/4,1] [3/4,1] [3/4,1] [3/4,1] [3/4,1]

χ χ χ χ χ χ

-1 /2 , -1 /4] χ [-1/4,0] χ [0,1/4]

[1/4,1/2] [1/2,3/4]

[3/4,1]

nBh* ns¡ p*

Ip

Π ΒΛ, íp

nBh nBlp

Ιρ

ΠΒ. * ip

bp

ΠΒι * Ιρ

η β . * bp

ηΒ·* Ιρ

η Β.* ϋρ

Π Β ί ρ * ΓϊΒ1ρ* Γ) Β, *

donde los conjuntos marcados con * son vacíos. Por tanto, hemos dividido [ψ, ψ] en 14 subintervalos. En total, en esta quinta subdivisión tendríamos 408 divisiones del.

Con el siguiente cuadro nos hacemos una idea del crecimiento del número de divisiones6,

Divisiones con términos positivos 1

4

51 1862 228273 104397512

1806140540047

Para el caso general lj tenemos el siguiente programa PP(K, n, i) donde Κ, η, I tienen el mismo significado que en el programa anterior para l2

Paso

1 2 3 4 5 6 7

N° de vectores maximales 1 1 2 10 122 3904 400232

Divisiones

2 16 408 29792 7304736 6681440768 231185989126016

Ρρ(Κ,η,ί) h= tfK^i Si tfK <i

Estos resultados se han obtenido del programa del apéndice. En el apéndice puede encontrarse una implementación en lenguaje C.

9.4 Imagen débil estrella continua del intervalo [0,1] 109

Fin si

s = K ~ nhP

Si s > (/i + 1)^ - KP

h = h+l

Fin Si

Desdei = [^],...,h

Escribir i

Si n > 1

Pp{K-iP,n-l,i) Fin Si

Fin Desde

9.4. Imagen débil estrella continua del intervalo [0,1]

Como liemos visto la topología débil se comporta muy bien, ya que toda bola cerrada es un conjunto de Peano y, por tanto, densificable, así como la topología de la norma se comporta muy mal, ya que las bolas cerradas no son densificables y la densidad mínima es su radio. Veamos que pasa con otras topologías.

Teorema 9.14. Sea X un espacio de Banach, Bx' (hola cerrada unidad -para la norma inducida en X'), es la imagen u>*-continua del intervalo [0,1] si y sólo si X es separable.

Demostración. Si X' es la imagen a;*-continua de un intervalo entonces, por el teorema de Hahn-Mazurkiewicz, Bx' es a;*-compacto y metrizable, por B.7, X es separable.

Si X es separable entonces, por B.7, Bx' es a;*-metrizable, por el teorema de Alaoglu B.6, Bx' es a;*-compacto, además Bx' es siempre conexo y localmente conexo luego, aplicando el teorema de Hahn-Mazurkiewicz, Bx' es la imagen LO*-continua de / . •

Corolario 9.15. Sea X un espacio de Banach, si Bx' es la imagen LO*-continua de un intervalo, entonces Bx' es LO*-separable.

Ejemplo 9.16. La bola unidad de ¿i es la imagen (j*-continua del intervalo / , por el teorema previo, ya que li es separable, pero que no es la imagen ¡^-continua del intervalo, por el teorema 9.8, al no ser li reflexivo.



l i o 9 Densificación en espacios de dimensión infinita

9.5. La topología a

En esta última sección estudiamos la densificación y los conjuntos de Peano en la topología a que definimos a continuación,

Definición 9.17. Sea {X, +, •) un espacio vectorial y sea A un conjunto de aplicaciones lineales de X en IK, definimos la topología a{X, A) como la mínima topología que hace continuos los elementos de A.

Según esta definición, la topología LO es la topología cr(X, Á) siendo A los funcionales continuos y oj* es la topología a{X',A') con A' los funcionales evaluadores.

Lema 9.18. Sea X un espacio vectorial y A un conjunto de aplicaciones lineales de X en K, entonces V\E&S{O) ^ ^^ ^^ subespacio vectorial cerrado de X en la topología a{X,A).

Demostración. Por la definición de la topología a{X, A) tenemos que

{f~\]-e,e[):e>OAfeA}

es una subbase de entornos del O, luego

n ^= n r\]-e,e[)= nr'(o)= nker/ EeEiO) e>OA/eA f&A f&A

y, así, rifiefío) ^ ^s un espacio vectorial. Como, además, las funciones f & A son continuas f (0) es cerrado y, por tanto, PI /GA/ "' (0) es cerrado. •

Teorema 9.19. Sea X un espacio vectorial normado, la bola Bx es imagen a{X, A)-continua del intervalo I si y sólo si Bx es 2AN y a{X, A)-compacta.

Demostración.

=^ Si Bx es a{X, A)-Peano, entonces es a{X, y4.)-compacta y la imagen continua de un espacio métrico (compacto) es 2AN.

<^ Si Bx es 2AN, entonces es separable y, por ser a{X, A)-compacta, es a{X, A)-regular. Luego, por el teorema de metrización de Uryshon (teorema 9.4), si Bx no es metrizable es porque el espacio no es Ti con lo que X no es Ti y, por lema 9.18, tenemos que Z = ClEeSio) ^ es un espacio vectorial con dimensión mayor que 0. Sea Y un espacio complementario, es decir Z (BY = X. Y es Ti y, por tanto, Bx fl y es metrizable (subconjunto cerrado de un compacto es compacto, por tanto, es regular y todo subconjunto de un espacio 2AN es 2AN) y la imagen a(X, A)-continua del intervalo. Sea 7 una curva tal que 7(1) = Y

9.5 La topología a 111

y 0 una biyección de I & Z (existe ya que c < C'ard{Z) < Card{X) = c), entonces

(7 X < ) o /^ : / - . y e z

es continua y su imagen es X siendo fn la función de Hubert.

10

Generalizaciones

En este capítulo generalizamos el concepto de conjunto densificable y de curva a-densas a espacios topológicos, casiuniformes, uniformes, pseudo-casi-métricos, pseudo-métricos y casi-métricos.

En la primera sección nos centraremos en los espacios topológicos donde veremos que no se puede generalizar de forma que, si el espacio además es métrico, la densificación métrica siempre coincida con la densificación topológica.

En la segunda sección nos centraremos en los restantes espacios, especialmente en los uniformes. Espacios que están, en cierta manera, entre los espacios métricos y los topológicos.

10.1. Espacios topológicos

La primera dificultad que nos encontramos al intentar generalizar el concepto de conjunto densificable a espacios topológicos es que existen conjuntos homeomorfos donde uno de ellos es densificable y el otro no.

Ejemplo 10.1. Los espacios topológicos ]0,1[ y R con la topología usual son homeomorfos pero ]0,1[ es densificable y R no (ver ejemplo 3.9 página 17).

Esto es debido a que el concepto de conjunto precompacto no tiene una generalización en espacios topológicos, por eso a la hora de generalizar intentaremos que el concepto generalizado coincida con el original para todo conjunto precompacto de un espacio métrico.

Algunas generalizaciones intuitivas son

Definición 10.2. Decimos que un espacio topológico {X. T) es:

1. densificable por sucesiones si



114 10 Generalizaciones

3{7n}neN C C{I, Xyix e X\/D e S{x)3no E Wn > UQ : -fn{I) n D 7¿ 0

y diremos que la sucesión {jn}nen densifica X.

2. densificable fuerte por sucesiones si

3{7n}neN C C(/,X)Vx e X3no G NVn > no : x e -fn{I)

y diremos que la sucesión {7n}neN densifica fuertemente X.

3. finitamente densificable

Vn e m{Aj}'¡ô C T37 e C{I, X) : Vj G { 0 , 1 , . . . , n} 7(/) n A - y¿ 0

Observación 10.3. Una condición equivalente para densificable por sucesiones es

3{7n}n6N C C{I, X) : VA e r ano G N : Vn > no : 7n(/) n A 7 0.

Sea {A}ieJ ^ ^(-^)- Si decimos que 7 G C(/,X) es {Aj}¿gj-c(ensa en X si Vj G J : 7(7) n Aj 7 0, entonces (X, T) es finitamente densificable si y sólo si

Vn G NV{Aj}Jô C T37 G C(/, X) : 7 es {A^}^=o-densa en X.

Proposición 10.4. Si X es densificable fuerte por sucesiones, entonces X

1. es arcoconexo y, por tanto, conexo,

2. tiene cardinal menor o igual que c,

3. es numerablemente compacto^ y, por tanto, es compactificable^,

4. es la imagen continua de ]0,1].

Demostración. Sea {7n}neN la sucesión de curvas de la definición de densificable fuerte por sucesiones.

Arcoconexión: Sean x,y E X tenemos no,ni tales que ^n > UQ : x E în{I) Y \/n > ni : y E ^/ni^) tomando el n^ = max{no, ni} tenemos la arcoconexión.

Cardinalidad c: Tenemos que UneN7n(^) = X y \/n E NCarc? (7„(/)) < c Numerablemente compacto: La imagen de un compacto es un compacto y

Ü7n{I)=X. Imagen de ]0,1]: Sea

^ Un conjunto es numerablemente compacto si existe una sucesión de compactos tal que su unión es dicho conjunto.

^ Un conjunto X es compactificable si existe un espacio topológico Y compacto que lo contiene y tal que la topología de X es la relativa.

10.1 Espacios topológicos 115

/ : ]0,1]->X

92k+l L22fc+2 ) 22fc+i J

Siendo, para cada fc G N, g2k una función continua tal que 5'2/c+i(0) = 72fc+2(l) y 5'2fe+i(l) = 72fc(0). •

Teorema 10.5. Un espacio métrico {X. d) es densificable si y sólo si es densificable por sucesiones y precompacto.

Demostración.

=^ Ya sabemos que todo conjunto densificable es precompacto por lo que sólo nos faltaría ver que es densificable por sucesiones.

Sea una sucesión {7n}neN donde la curva 7^ es i-densa. Luego dado x e X y un entorno U de x, existirá un no G N tal que Vn > n-o -B(x, -) C U. Todas las jn con n > UQ cortarán a [/ y, por tanto, es densificable por sucesiones.

•^ Sea a > O y {B{x, ^)}xex un recubrimiento de X. Por precompacidad 3no G N3{xj}]l^ C X : {B{xj, ^)}]íi recubre X. Por tanto, 3nj G N : Vn > Hj "fnil) n B{xj, | ) 7 0; tomando mo = max{nj : j G {1, 2,..., no}} tendríamos por la desigualdad triangular que para todo m > mo, 7^ es a-densa.

• Veamos que la definición de finitamente densificable también se comporta como

queremos.

Teorema 10.6. Un espacio métrico (X, d) es densificable si y sólo si es finitamente densificable y precompacto.

Demostración.

^ Ya sabemos que todo conjunto densificable es precompacto, veamos que es finitamente densificable.

Sea {Ajj^-^Q C T y, para cada j G /„ sea aj G Aj. Por ser Aj abierto existe rj tal que B{aj,rj) C Aj. Definimos r = mín{rj : j G {O,.. . , n}}. Como A es densificable, existe una curva 7 r-densa que corta todas las bolas y, por tanto, para toda j , 7(1) n Aj ^ 0.

<^ Sea o; > O y {B{x, ^)}xex un recubrimiento de X. Por precompacidad 3no G N3{xj}^°i C X : {B{xj, ^)}]í^ recubre X. Por tanto, 37 G C{I,X) : 7(1) n B{xj, I ) 7 0 por la desigualdad triangular 7 es a-denso.

• Analicemos la relación entre los conceptos de la definición 10.2. Por la definición,

todo conjunto densificable fuerte por sucesiones es densificable por sucesiones. Veamos ahora la relación con finitamente densificable.

Proposición 10.7. Sea {X,T) un espacio topológico. Si X es densificable por sucesiones, entonces X es finitamente densificable.

Demostración. Sea {Uj}'jLi C T y Uj tal que Vn > Uj : 7n(- ) H Í7j 7 0, tomando «o = máx{nj : j e {!,... ,m}}, 7 0 es {f7j}^^-densa. Así es finitamente densificable. •

Proposición 10.8. Sea {X, T) un espacio topológico 2AN. Si X es finitamente densificable, entonces X es densificable por sucesiones.

Demostración. Sea {AjjjgM una base numerable de abiertos de X. La sucesión {7J}J6N tal que 7^ sea {Aj}"^Q-densa que densifica por sucesiones a X. •

Observación 10.9. El ejemplo 10.52 es densificable por sucesiones y no es 2AN, ni siquiera lAN.

Ejemplo 10.10. Conjunto finitamente densificable que no es densificable por sucesiones.

Sea (/' , T) el espacio de las funciones de / a / con la topología inducida por la norma supremo (||/|| = sup{/(i(:) : t e /}).

Supongamos que es densificable por sucesiones. Sea {7n}n6Z+ una sucesión que densifique el espacio y a^ la parte decimal de 7n(^) — 5 si 7„(^) > | o 7n(¿) + | si lÁi) < \.

Definimos la función

í a„ si í = -

\ 0 s i í^{i}„6Z+

Por la definición de On y de la distancia, para todo ri e Z+ se cumple,

á ( 7 n , F ) > á ( 7 ( - ) , n - ) n n 1 1

= (i(7(-),a„) = -luego tomando la bola de centro F y radio | obtenemos una bola cuya intersección con cualquiera de las imágenes de las curvas es vacía lo que contradice la hipótesis de que el espacio /^ es densificable por sucesiones.

Nota 10.11. Con una demostración análoga a la anterior pero tomando una infinidad de intervalos en vez de los puntos {-} se puede ver que el espacio Loo uo es densificable por sucesiones. Ninguno de los dos conjuntos es compacto ya que las sucesiones {xi}nez+ C /' y {¿¿}nez+ C Loo no tienen ninguna subsucesión

n

convergente.

10.2 Espacios uniformes y casiuniformes 117

10.2. Espacios uniformes y casiuniformes

En esta sección definimos y estudiamos la generalización de los conceptos relacionados con la densificación a espacios uniformes y casiuniformes. Los espacios uniformes, como ya comenté en la introducción del capítulo están en cierta manera entre los espacios métricos y los topológicos, además, tienen la estructura mínima para poder definir las funciones uniformemente continuas (de ahí su nombre) y las sucesiones de Cauchy.

Para empezar recordamos las definiciones de espacios uniformes y casiuniformes usando las siguientes notaciones.

Notación 10.12 Sea X un conjunto y A{X) = {{x,x) : x G X} la diagonal de X X X (siempre que no de lugar a confusión la denotaremos simplemente por A).

Sea U,V E X X X denotamos la composición áe U y V por U oV = {{x,y) : 3z E X : {x,z) EVA{z,y)EU}y la inversa de U por U"^ = {{y.,x) : {x,y) G U}.

Sea UGXxXyACX denotamos la imagen de A respecto de U como

U[A] = {yeX •.3xeA:{x,y)EU}

cuando A = {x} lo denotaremos simplemente por U[x].

Definición 10.13. Una casiuniformidad S>{X) (o simplemente S') es un subcon-junto de V{X X X) tal que

1. Di,D2 E S¡ ^ DiH D2 e ^,

2. D e ^ ADCE=^ E eS!,

3.De^=^AcD,

4. D e ^ =^ 3E e Sf : E o E C D.

Al par {X, ^) se le llama espacio casiuniforme. A & se le denomina también conjunto de entornos o casiuniformidad.

Definición 10.14. Una uniformidad es una casiuniformidad Ql que cumple

5.D e^=^3Ee^ -.E-^ (ZD

Diremos que (X, ^ ) es un espacio uniforme y a ^ le denominaremos uniformidad.

Definición 10.15. La casiuniformidad '3 se dice separable (y a X separado por 3) si y sólo si C\D&& D = A.

£ C S' es una base de la casiuniformidad 3 o una base para los entornos de X siy sólo si VD G 3!3E eS:ECD.



6 C ^ es una subbase de la casiuniformidad ^ o una subbase para los entornos de X si y sólo si el cierre con respecto a la intersección de dos conjuntos es una base.

Observación 10.16. Notar que por las dos primeras condiciones una casiuniformidad es un filtro.

Veamos que los espacios uniformes generalizan los espacios métricos y que los espacios topológicos generalizan los espacios uniformes, o sea, dado un espacio métrico tenemos un espacio uniforme asociado y, dado un espacio uniforme tenemos uno topológico asociado. Los espacios casiuniformes generalizan a su vez los espacios uniformes, además todo espacio topológico es casiuniformable pero no de forma única, en general.

Proposición 10.17.

a) Sea (X, d) un espacio métrico, entonces {X, S>) es un espacio uniforme cuando ^ = {D:35>Q:{{x,y): d{x, y)<S}CD}.

b) Sea {X, U) un espacio casiuniforme (en particular, uniforme), entonces la colección de conjuntos {U^ = {D[x] : D G ^} : x e X} forma una base de entornos y así obtenemos una topología.

Definición 10.18.

a) Si {X, d) es un espacio métrico, (X, S') con Ql = {D : 36 > O : {{x,y) : d{x, y) < S} C D} se dice que es el espacio uniforme asociado a {X,d).

b) Dado un espacio casiuniforme {X, S') definimos la topología asociada como la dada en la parte b) de la proposición previa y la denotamos por To^.

c) Diremos que una casiuniformidad es compatible con una topología si dicha topología es la asociada a la casiuniformidad.

d) Diremos que una topología es generada por una casiuniformidad ^ si es la topología asociada a Si.

Proposición 10.19. La topología asociada a un espacio uniforme asociado a un espacio métrico es la topología del espacio métrico.

El siguiente teorema muestra que todo espacio topológico está asociado a un espacio casiuniforme. Para la demostración ver [31].

Teorema 10.20 (casiuniformidad de Pervin) . Sea {X,T) un espacio topológico, entonces {{G x G) U {{X \ G) x X) : G e T} es una casiuniformidad con espacio topológico asociado (X, T) .


Observación 10.21. Aunque todo espacio topológico tiene una casiuniformidad que lo genera, la casiuniformidad no tiene que ser única como puede verse en [31].

Una vez vista la relación entre los espacios uniformes, los métricos y los topo-lógicos veamos como pueden definirse la continuidad uniforme y las sucesiones de Cauchy en los espacios uniformes y casiuniformes.

Definición 10.22. Dados dos espacios casiuniformes (X, ^), {Y, &'), decimos que una función f G Y-^ es uniformemente continua, lo que denotaremos por f G UC{X,Y), si y sólo siyU E &' : f-\U) = {(x,y) : ( /(x), /(y)) eU}e^.

Definición 10.23. Sea {X, ^) un espacio casiuniforme y {xn}nE.n Q X, decimos que la sucesión {íCn}neN ^s de Cauchy si y sólo si \/U E ^3no G NVn, m > no '• \Xn, X-uij G U .

De forma análoga a los espacios métricos, se dice que un espacio casiuniforme es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente.

Al igual que en los espacios topológicos y en los espacios métricos podemos definir la uniformidad (casiuniformidad) relativa con lo que todo subconjunto de un espacio uniforme (casiuniforme) es un espacio uniforme (casiuniforme) con la uniformidad (casiuniformidad) relativa.

Definición 10.24. Sea {X, &) un espacio uniforme (casiuniforme) y Z C X definimos la uniformidad (casiuniformidad relativa de X en Z como ^z = {Un{Zx Z) -.U e^}.

Para continuar con las analogías con los espacios métricos y topológicos pasamos a definir la precompacidad en espacios uniformes lo que estará directamente relacionado con los conjuntos densificables.

Definición 10.25. Sea {X, ^) un espacio uniforme, decimos que X es un conjunto precompacto si y sólo si \/U G 3 n G NElxjj^'^o • [{3^j}j=o] = Uj=o U[xj] = X.

Para más información véase Willard [39, Capítulo 9], Kothe [16, Capítulo 1.5], Kelley [14, Capítulo 6] y especialmente Fletcher y Lindgren [11].

10.2.1. Pseudo-métricas, casi-métricas y pseudo-casi-métricas

Las pseudo-métricas, casi-métricas y pseudo-casi-métricas son una generalización del concepto de métrica pero son menos generales que los espacios casiuniformes. Antes de pasar a la generalización de los conceptos relacionados con la



densificación en espacios casiuniformes veamos, como paso intermedio, la generalización para estos tipos de métricas.

Un espacio métrico está definido por un conjunto X y una función d de X'^ a [O, +oo[ cumpliendo, para todo x,y,z e X, las siguientes propiedades:

1. d{x,x) = O

2. d(x, y) = O = ^ X = y

3. d{x,y) = d{y,x)

4. d{x, z) < d{x, y) + d{y, z)

Si debilitamos las propiedades obtenemos las siguientes definiciones

Definición 10.26. Decimos que una función d de X'^ a [0,-t-oo[ es una:

a) pseudo-métrica si y sólo si cumple 1, S y 4

b) casi-métrica si y sólo si cumple 1, 2 y 4

c) pseudo-casi-métrica si y sólo si cumple 1 y 4

Debido a las definiciones tenemos el siguiente diagrama

_________ pseudo-métrica —^ Métrica pseudo-casi-métrica

casi-métrica ' ^ Veamos que relación hay entre las distintas métricas y los espacios uniformes,

casi-uniformes y topológicos.

Definición 10.27. Dado (X, d) un espacio pseudo-casi-métrico definimos

1. la topología asociada como

Td = {A : Vx G ^3e > O : B{x, e) C A},

donde B{x,e) = {y & X : d{x,y) < e} que es una generalización de las bolas en espacios métricos y que también denominaremos bola,

2. la casiuniformidad asociada como

^ = {D:35>0:{{x,y): d{x,y) < 6} C D}.

Observación 10.28. En el caso que la pseudo-casi-métrica sea pseudo-métrica, entonces la casiuniformidad será una uniformidad. En el caso de las pseudo-casi-métricas y las casi-métricas es importante el orden de la distancia en la definición de la bola.

La definición de la topología y la casiuniformidad asociada es igual a la asociada a una métrica (ver 10.17) y, además se cumple un resultado análogo a 10.19.

Proposición 10.29. Si {X, d) es un espacio pseudo-casi-métrico, entonces {{{x, y) : d{x, y) < e} : e > 0} es una base de una casiuniformidad. Si es un espacio pseudo-métrico, entonces es una base de una uniformidad.

Además la topología asociada a un espacio pseudo-casi-métrico es la misma que la topología asociada a la uniformidad asociada al espacio pseudo-casi-métrico.

10.2.2. Densificación de espacios casiuniformes

Una vez definidos los espacios uniformes veamos como se generaliza el concepto de densificación.

Definición 10.30. Sea {X, ^) un espacio casiuniforme y D E Si, decimos que una curva 7 G C(/, X) D-densifica X si y sólo si^x E X : j{I) n D[x] 7 0.

Decimos que un espacio casiuniforme es densificable si y sólo si es D-densificable todo D e S.

Teorema 10.31. Si {X,S) es un espacio casiuniforme y ^ es una subbase, entonces es densificable si y sólo si, para toda D E ¡M, es D-densificable.

Observación 10.32. Una forma equivalente de definir la D-densificación es que, para todo x e X, {{x} x 7(/)) n í ) 7 0, pero con esta definición hay que tener cuidado ya que el orden importa.

Observación 10.33. Análogamente a como definimos en el capítulo 2 las curvas a-densas y los conjuntos densificables en los espacios métricos podemos definirlos en los espacios pseudo-métricos, casi-métricos y pseudo-casi-métricos. En los casos de los espacios casi-métricos y pseudo-casi-métricos es importante el orden (de forma parecida a los espacios casiuniformes), es decir, una curva es a-densa en un espacio pseudo-casi-métrico si y sólo si Vx G X : d{x, j{I)) < OÍ.

Veamos que la definición de densificación en espacios métricos (en cualquiera de sus modalidades) y la densificación en espacios uniformes o casiuniformes están directamente relacionadas.

Proposición 10.34. Sea (X, d) un espacio pseudo-casi-métrico y 7 una curva, entonces 7 a-densifica X (como espacio pseudo-casi-métrico) si y sólo si 7 Ua-densifica X (como espacio casiuniforme), donde Ua = {ix,y) : d{x,y) < a}.

Demostración. Basta tener en cuenta que 7(1) fl Ua[x] 7 0 si y sólo si d{x, 7(/)) < a. m

Corolario 10.35. Un espacio pseudo-casi-métrico es densificable si y sólo si lo es el espacio casiuniforme asociado.

Veamos como se generalizan los resultados ya obtenidos en espacios métricos.

Los resultados sobre la necesidad de conexión y precompacidad (proposición 3.6 página 15) y la conservación por funciones uniformemente continuas (teorema 3.8 página 16) se pueden generalizar sólo con cambiar los espacios métricos por espacios uniformes.

Para generalizar la caracterización de densificación primero generalizamos la definición de e-aproximable y aproximable.

Definición 10.36. Sea {X, &) un espacio casiuniforme, A, BCXyDe^. Decimos que A es D-aproximable por B o que B D-aproxima A y lo denotamos por A C ) B, si y sólo si^x E A : 3y E B : {x,y) G D.

Diremos que A es aproximable por B y lo denotamos por A ^ B, si VD G 9\fx e A3y e B : {x,y) e D es decir \/D e ^,A C^ B.

Con esta generalización de e-aproximable podemos generalizar todos los resultados de las secciones 3.3 y 3.4.

Con la definición de casiuniformidad podemos dar nuevas definiciones de densificación para un espacio topológico según como sean sus casiuniformidades.

Definición 10.37. Decimos que un espacio topológico {X, T) es

1. débilmente densificable si y sólo si existe una casiuniformidad '3 cuya topología asociada T es tal que (X, 2i) es densificable.

2. fuertemente densificable si y sólo si, para toda casiuniformidad 3 cuya topología asociada es T, (X, 3) es densificable.

Observación 10.38. Si un espacio topológico (X, T) es fuertemente densificable, es débilmente densificable ya que siempre existe una casiuniformidad compatible con (X, T) (véase el teorema 10.20).

Veamos algunos ejemplos que nos muestren las relaciones entre las distintas definiciones de densificación.

Ejemplo 10.39. 1. iX,Tt) espacio topológico trivial con Card{X) < c.

En este caso X es débilmente, finitamente, sucesionalmente, sucesionalmente fuerte, fuertemente densificable además de ser un conjunto de Peano.

2. {X, %) espacio topológico trivial con Card (X) c.

En este caso X es débilmente, finitamente, sucesionalmente y sucesionalmente fuerte densificable pero no es fuertemente densificable ni es un conjunto de Peano.

3.([o,i[,r^). [o, 1[ con la topología usual es débilmente, finitamente, sucesionalmente y su-cesionalmente fuerte densificable pero no es fuertemente densificable ni es un conjunto de Peano.

4. (X, 7d) espacio topológico discreto con Card{X) > 1.

Este espacio topológico no es ni débilmente, ni finitamente, ni sucesionalmente, ni sucesionalmente fuerte, ni fuertemente densificable y, por supuesto no es un conjunto de Peano.

Teorema 10.40. Un {X, T) espacio topológico es débilmente densificable si y sólo si es finitamente densificable.

Demostración.

^ Sea ^ una casiuniformidad cuya topología asociada T es tal que {X, ^) es densificable y sea {A}iLi ^^ conjunto finito de abiertos. Como T está asociada a ^ existen D^ £ ^ y Xi E X tales que DÍ[XÍ] = Af.

Sea D = n"=i A G ^ y 7 una curva D-densa. Como 7 D-densifica X tenemos que Vi e {!,. . . ,n}3íi e / : 7(t¿) G D[xi] C DÍ[XÍ] C AÍ con lo que 7 es {AiJl^i-densSi en X.

<^ Veamos que la casiuniformidad de Pervin ^p es densificable. Sea D G S'p, como ^p tiene como subbase {{A x A) (J {{X \ A) x X) : A G T } , entonces existe una colección finita de abiertos {Ai}^^^ tal que

n

f]{Ai X Ai) U {{X \Ai) X X) C D.

Sea 7 una curva {A¿}^^i-densa. Sea a; G X, si x G UÍLI A , entonces, para algún ¿, X e A y liU) G D[x]. Si X ^ UiLiA, entonces D[x] = X y se cumple trivialmente.

Corolario 10.41. Sea (X, T) un espacio topológico.

1. Si X es densificable por sucesiones, entonces X es débilmente densificable.

2. Si X es 2AN y débilmente densificable, entonces X es densificable por sucesiones.

Veamos una relación de orden entre las casiuniformidades que estará relacionada con la densificación.

Definición 10.42. Dadas dos casiuniformidades ^ y Qi' sobre un mismo conjunto X, decimos que '2 es más fina que & si y sólo si '3)' C Ql.


Proposición 10.43. Sea X un conjunto con dos casiuniformidades Si y 3i' tal que 2) es más fina que Q¡'. Si X es S densificable, entonces es ^' densificable.

Definición 10.44. Sea {X, T) un espacio topológico, definimos la uniformidad TT como la casiuniformidad transitiva más fina asociada a {X, T). Decimos que una casiuniformidad (X, S)) es transitiva si existe una subbase B tal que todos sus elementos son relaciones transitivas.

Observación 10.45. La casiuniformidad de Pervin es transitiva con lo que todo espacio topológico está asociado a una casiuniformidad transitiva.

Con la ayuda del teorema 3.24 de [11] que dice

Teorema 10.46. Sea {X,T) un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. toda casiuniformidad asociada es completa,

2. existe una casiuniformidad asociada completa y precompacta,

3. toda casiuniformidad asociada es completa y precompacta,

4- J-T es precompacta y,

5. (X, T) es compacto.

Obtenemos el siguiente corolario

Corolario 10.47. Sea (X, T) un espacio topológico. Si X es fuertemente densificable, entonces es compacto.

Demostración. Si X es fuertemente densificable, en particular, será ^T-densificable y, por tanto, J^T-precompacto con lo que {X, T) es compacto. •

Veamos que necesitamos algo más que la compacidad para ser fuertemente densificable, es decir, existen espacios débilmente densificables y compactos que no son fuertemente densificables.

Ejemplo 10.48. Espacio débilmente densificable y compacto que no es fuertemente densificable (ni sucesionalmente densificable ni es un conjunto de Peano).

Definimos en C la siguiente base de una casiuniformidad^ S asociada a la topología usual

B= {Dn-.neT^}

^ No es una uniformidad ya que D„ f^Dñ^[—i] = —i y, por tanto, no existe ningún elemento de la base Dra tal que D ^ C _D„ n D~^.



donde

Dn = {(^1, z,) e e : d{zu z,) < ^ ^ ^ 1 ^ } U {-z} X S ( - z , 1 )

Veamos primero que efectivamente es una base.

Tenemos que ver que, para todo n, A C. Dn (se cumple trivialmente) y que, dado un D e B, existe WXIVGB tal que V oV C D.

Sea Dn E B y tomemos V = Dn+2

Dn+2 o Dn+2 = {{zi, Z2) G C : 3z e C, {zi, z) G Dn+2 A {z, Z2) E Dn+2}

supongamos que (zi,z) G Dn+2 Y (2,-2 2) e -Dn+2,

• si 2:1 = —i entonces z G B{—i, ^é^) Y

^2 e 5 ( - ^ , ^ ) U {z' G C : 3z G 5 ( - ¿ , ^ ) : d{z',.) < ^ }

Por lo que (2:1, ^2) G -Dn+i-

• si 2:1 7¿ — ¿, entonces teniendo en cuenta que

My —i) d{z, -i) < d{zi, z) + d{zi, -i) < ^^^^ + d{zi, - z )

d{zi,z) <

d{z,Z2) <

;^jd{zu-i),

d{zi,-i) = i^n

2n+2 ' d{z, —i)

2"+2

obtenemos

Oí(^l, ^2) < 2n+2 + 2'^+2 -

2n+2

d{zi,-i)

< ' • 2 — - - — 1 <

<

Por lo que (2:1,22) G Dn+2-


Así Dn+2 ° -Dn+2 Q Dn j , por tanto, es una base.

Además la casiuniformidad generada por dicha base es una casiuniformidad asociada a la topología usual ya que si z ^ —i

Dn[z] = B{z, ———)

es una base de entornos de z y

Dn[-t] = B{-L^)

es una base de entornos de —¿.

Una vez visto que es una casiuniformidad veamos que el conjunto

B = {{x, sin - ) : x G]0, 1]} U ({0} x [-1,1])

(véase figura 5 de la página 14) es compacto y débilmente densificable ya que es densificable con la métrica usual y, por tanto, con la casiuniformidad asociada a dicha métrica (ver ejemplo 3.5). Sin embargo con la casiuniformidad ^ no es densificable, de hecho vamos a ver que no es £>n-densificable para ningún n G Z"*".

Sea 7 una curva en B si 7(/) C {0} x [—1,1], no es Dn-densa, ya que •j{I) fi Dn[l + ¿sin(l)] = 0; si 7(1) C {(a;, sin-) : x G]0, 1]} e y e 7(/) , entonces —i ^

Dn[y] = Biy, 2"

Observación 10.49. En el caso en que un espacio topológico sea uniformable'* (o equivalentemente sea completamente regular^ ver [30, Página 9]), si definimos la densificación uniforme fuerte como que toda uniformidad asociada sea densificable, entonces este conjunto sería densificable y, de hecho, un conjunto sería uniformemente fuertemente densificable si y sólo si es compacto y débilmente densificable.

Por el teorema 6.7 de [30] tenemos que un espacio topológico (X, T) es compacto si y sólo si toda uniformidad S' cuya topología asociada sea T es completa y totalmente acotada (es decir, precompacta). Además si una uniformidad es completa y precompacta entonces todas lo son.

Falta saber, que si existe una uniformidad no completa asociada, entonces existe una uniformidad no precompacta.

Veamos primero un resultado previo. La demostración puede verse en el teorema 6.7 de [30].

* {X, T) es uniformable si existe una uniformidad cuya topología asociada es T. ^ (X, T) es completamente regular o T31, si dado un cerrado C y un punto x de X existe una función

continua de X a [0,1] que vale O en C y 1 en s.



Teorema 10.50. Un espacio topológico uniformable es compacto si y sólo si toda uniformidad Qi compatible es completa y precompacta.

Teorema 10.51. ¿"ea {X,T) un espacio topológico completamente regular y no compacto, entonces existe una uniformidad V compatible con la topología T tal que el espacio uniforme {X, V) no es precompacto.

Demostración. Por ser completamente regular, el espacio topológico es uniformable. Sea U una uniformidad compatible. Por el teorema 10.50 el espacio no será completo o precompacto. Supongamos que es completo y no precompacto y sea F un filtro de Cauchy^ no convergente. Definimos el nuevo espacio uniforme {X,V() como X = X U {x} donde x es el límite del filtro de Cauchy F y, para cada U EU definimos U como

• Para todo y eX, U[y] = U[y] si 3A e F, U[y] n A = 0

- Para todo yeX, U[y] = U[y] U {x} si VA G F, U[y] n A y¿ 0

. U[x] = {yeX:xeU[y]}

y, definimos la uniformidad U como la generada por la base {U}u&u- Así, {X,U) es una uniformidad relativa de {X,U).

Por ser una uniformidad, para cada punto z y para cada cerrado C de X que no contenga ni a 5: ni a 2; existen dos funciones

fz,c -.X^I

O si y = z ^ • • ' 1 siyeC

y

gz,c:X-^I

1 si y = X O siy E ad{C U {z})

Como X ^ X podemos definir la función

/i,,c -.X-^R* y ^ fz,c{y) + tan(7r^^,c(?/))

en principio dicha función podría valer infinito.

Sea la uniformidad V como la generada por {Vz,c}zex ccx cerrado en X' donde Vz,c = {{y,u): \h,c{y) - h,c{u)\ < i}.

Sea {X, &) una casiuniformidad decimos que un filtro J^ es de Cauchy si MU € S>ziF e ^ : FxF cU.

Esto lo podremos hacer si el espacio no es sucesionalmente compacto^ ya que así tenemos una base numerable de abiertos alrededor de un punto pero, ¿que pasa si es precompacto pero no completo? En este caso no podemos definir las funciones h sin que tomen el valor infinito en X.

Cuestión pendiente ¿X espacio topológico es compacto si y sólo si es compacto por filtros? donde compacto por filtros significa que todo filtro tiene un subfiltro convergente. Que relación hay entre compacto por filtros y completo por filtros?

Ejemplo 10.52. El espacio de las funciones I^.

Definimos en el conjunto de funciones de / en / para cada í G / la pseudométrica

{f,9)-^Ptif,g) = \f{t)-9{t)\

y, para cada conjunto finito de puntos {tj}j=o — - Y cada e > O, el conjunto

U{t^},e = {{f,g) : . máx {pt¿{f,g)} < e}. je{o,...,n}

El conjunto de todos los conjuntos U{t},e 6s una base de una uniformidad U (podemos considerar la subbase de la uniformidad como los conjuntos U{t},e ya que los demás se obtienen por intersecciones).

El espacio topológico (J- , T) asociado a dicha uniformidad es compacto, conexo, localmente conexo y arcoconexo. Estudiemos las distintas densificaciones:

1. {I^,T) es finitamente densificable.

2. (/^, T) no es la imagen continua del intervalo unidad.

/^ no es lAN^ y, por tanto, no es metrizable luego, por el teorema 3.1, no es la imagen continua de un intervalo.

3. (/^,T) es densificable por sucesiones.

Sea

t ^ ^n{mt))

donde fh es la curva de Hilbert,

fl = Uh X fh) o fh,

"^ {X, T) es sucesionalmente compacto si toda sucesión tiene una subsucesión convergente. ^ Un espacio topológico es lAN si para cada punto existe una base de entornos numerable.


in{Xi, . . . , X2n) = Y. ^Í^\Í^,M + ^2nX[l-^,l]. i=i

Sea ^ e T. Por la definición de la topología existe un conjunto finito de puntos {íj}"Li de / y un conjunto de abiertos {Aj}^^ de / tal que

A = {fef: f{t,) e Aj}.

Como el conjunto de puntos es finito existe un no tal que para todo n > UQ y para todo k,l G ( 1 , . . . , m} se cumple que, si existe un j G ( 1 , . . . , 2"} tal que tk,ti G [ '^, 2¡^[) entonces tk = U. Así, para todo n > no, 7n(-^) fl A 7 0 con lo que es densificable por sucesiones.

4. {I^,T) no es densificable fuerte por sucesiones.

Por la proposición 10.4, I^ debe ser la imagen continua de ]0,1] pero, ]0,1] e I^ tienen distinto cardinal.

5. (/^,T) es débilmente densificable.

Por el teorema 10.40, I^ es débilmente densificable si y sólo si /^ es finitamente densificable luego, por el primer apartado, I^ es débilmente densificable.

6. {I^M) 6S densificable. Veamos que, para cada to E I y para cada e > O, existe una curva 7 que es t {ío},e-densa.

Definimos 7 como

7 : / ^ /^

t ^ ft-.1^1 X ^ ft{x) = t

Si f E I^ tomando t = f{to), tenemos que

Ptoif - 7W) = Ao(/ - ft) = \f{to) - Mto)\ = O

con lo que (/, 7(í)) G U{to},e Y, por tanto, es [/(to},e-densa.

Como {í {ío},e}íoeJ,e>o es una base de la uniformidad, el espacio es densificable.

Luego la condición de ser fuertemente densificable es estrictamente más fuerte que ser compacto y débilmente densificable y más débil que ser de Peano (imagen continua del intervalo).



Ejemplo 10.53. El conjunto

A= [j {te^' G C : í G [0,1]} U ([0,1] x {0}) n6Z+

(véase la figura 4) no es fuertemente densificable. Basta tomar la base B formada por los elementos

Dn = { (^1,^2) e A' : d{z,,z,) < di\\^^\^^)^^9[z{) ^. ^^^^^^^ ^ ^ ^ ||^^|| _, ^^

U {{yi, Z2)^A^•.yeR^ {yi, Z2) < ^ } U { { e ^ } x 5 ( 6 ^ , — ) } ^ ^ ^ +

donde Arg es el argumento entre [O, 27r[.

De forma análoga al ejemplo previo se ve que es una base para una casiunifor-midad y, además, la topología asociada es la topología usual.

No es D„-densificable ya que esto implicaría pasar por el interior de todos los segmentos.

Lema 10.54. Sea (X, T) espacio topológico regular, entonces, para todo x £ Xj el conjunto E^ = n { ^ £ ^{^)} ^^ cerrado.

Demostración. Veamos que E^ puede expresarse como intersección de cerrados. Para ello veamos que, para cada entorno abierto A de x, existe un entorno cerrado de x contenido en A. Sea A £ £{x) f^T, como el espacio es regular, existe un AL & £{x) {^T tal que adAí C A] luego E^ es cerrado. •

Pasemos a demostrar la relación entre los espacios fuertemente densificables y la conexión local. Para esto necesitamos el siguiente lema que relaciona la conexión "im kleinen"^ con la conexión local. La demostración puede encontrarse en Willard [39, página 201, teorema 27.16].

Lema 10.55. Sea (X, T) espacio topológico, X es localmente conexo si y sólo si

Vx G XyV G 8{x)3V' C V^y G V'3C QV' : C es conexo.

Teorem.a 10.56. Todo {X,T) espacio topológico pseudo-metrizable y fuertemente densificable es localmente conexo.

Demostración. Supongamos que el espacio no es localmente conexo y sea XQ un punto donde no es conexo "im kleinen".

X es conexo "im kleinen" en x si y sólo si para cada entorno abierto Í7 de a; existe un entorno abierto V de a; tal que todo par de puntos de V están en algún subconjunto conexo de U.

Sea VQ = B{XO, 5) cumpliendo que VV C VoBy G V'^C QV' : y e C, entonces C no es conexo.

Tomando V^ = B{xo, ^ ) existirá una sucesión {Vmjm&N tal que Vm ^ ^m J que no esté en la misma componente conexa de x en V. Sea ahora {ymj}men una subsucesión tal que cada ym^ esté en una componente conexa distinta (han de existir infinitas componentes conexas ya que si no existiría una con infinitos puntos y, por tanto estaría en la misma componente que la de x).

De esta forma podemos construir, sabiendo que y^^ está separado de {x} U [j'jLn+i Vnij una sucesión de abiertos {14}neN tal que

1. Vn e N, K+i C K A / r (K+i ) C / r ( K ) , 2. Vn G NVj < n, I4+1 es cerrado en Vj y

3. Vn eN,a;o G K-

Además y \ {Vj \ Vj + l)^$.

Definimos ahora la base {Un} de una casiuniformidad asociada a la topología como:

Si X e X \ ad{V), entonces

• Si X G ad{V) C Vo, entonces

• Si 3j G N, X G V- \ V^+i, entonces

n[ \ \ í 2n I '

Por 1, d{x, Vj) = d{x, ad{Vj)) y el radio es siempre positivo.

• Si X G íljeN^') entonces

Unix] = B (x, 1 )

donde d es una pseudo-métrica asociada a la topología T.

Veamos que efectivamente es una casiuniformidad asociada a la topología.

• ¿Vn G N3m G N : K Í o y^ C I4?

Sea n G N y tomemos m > n + 1

• Si X G X \ adiy) o 3j G N, X G V- \ Vj+i tenemos, tomando A = adiV) en el primer caso y A = Vj+i en el segundo caso, que:

v;.ovyxi.v;.(B(,.%^)). U BL^)

ahora^° , si z £ Vm o V^Jz] ,

d{y, A) d{y, x) + d(x, A) '^ + d{x,A) diy.z) < < <

\u, / — 2m — 2™ ~ 2"^ {1 + ^)d{x,A) 2d(x,A) d(x,A) d{x.,A)

— nm, — 2™- — Om—l 2"-

y, por t a n t o , 2 G Vn[x] y, V^ o V^ Cj I 4 .

• Si X G n V 5 t o m a n d o m > n + 1

Vm o F ^ N = Vm{B{x., ¿ ) ) C fi(:r, ~) =. B(x^ ^ ) C B{x, ¿ )

• ¿Vx G X : Vn[x] G ¿^(x)? Trivial ya que Vn[x] es siempre una bola de radio positivo.

• ¿Vf/ G f (x)En G N : Vn[x] C [/? Si f/ G 6{x), entonces existe una bola de centro x y radio e contenida en U tomando n suficientemente grande podemos hacer que 14. [x] C U.

Una vez que tenemos la casiuniformidad veamos que el espacio con esa casiu-niformidad no es densificable y, para ello, veamos que existe un n tal que no es 14,-densificable.

Sea no G N tal que — < d{x,X \ V). Como y„ tiende a x existe un ni tal que, si n > ni, entonces Sd{x,yn) < d{x,X \ V); ahora bien si existe una función continua 7 que I4 densifique con n > máx{no,ni}. entonces ha de pasar por cada una de las componentes de cada ?/„,, y, por lo tanto, no será continua ya que no será acotada y, sin embargo, recorrerá una distancia d{x., X \V) infinitas veces. •

Corolario 10.57. Si {X, T) es metrizable, entonces es fuertemente densificable si y sólo si es la imagen continua del intervalo I.

Teorema 10.58. Un espacio topológico {X.,T) es un conjunto de Peano si y sólo si es fuertem,ente densificable y densificable fuerte por sucesiones

Demostración.

=> Sea 7 una curva de Peano. Para cualquier casiuniformidad S^ y cualquier D E f^, la. curva 7 es D-densa y, por tanto es fuertcímente densificable.

Para la densidad por sucesiones basta tomar la sucesión constante {7}neN-

Para este paso necesitamos la simetría de la distancia con lo que la prueba no serviría para casi-métricas.


Por el teorema 10.4 existe una función / G C{]0,1],X) biyectiva. Además por el teorema 10.47 X es compacto. Así X = U7([^,l]) es decir existe una sucesión de compactos Kn = 7([¿, 1]) cuya unión es X. Supongamos que, para todo n G Z+, Kra C K y elegimos, para cada n e Z'^ x E K \ Kn. Por ser K compacto existe una subsucesión {xnj}jez+ convergente. Sea x — lirrijXn por la definición x ^ Un6Z+ -^n lo que nos lleva a una contradicción y, por tanto, existe un no G Z+ tal que 7([—, 1]) = X y, así, X es un conjunto de Peano.

Después de todo lo estudiado podemos ver la relación entre las distintas definiciones de densificación en espacios topológicos en la figura 41.

D=Densificación débil o finita S=Densificación por sucesiones SF=Densificación fuerte por sucesiones P=Conjuntos de Peano F=Fuerteniente densificable

Figura 41. Relación entre los distintos tipos de densificación



A

Programas

Empezamos por un programa que calcula las vectores de n componentes tal que la suma de sus cuadrados es menor que 2 "' lo que nos permite calcular el número de intervalos de la n-ésima división de la bola unidad de I2

/**

* 12.cpp

* Programa que calcula, a partir de un n dado, el conjunto * de naturales al,...,an decrecientes (vector de naturales

* de n componentes) tales que al~2+a2~2+...+an"2<2~{2(n-l)} y * además son maximales. *

* José Ignacio Úbeda García *

* Compilado: g++ l_2.cpp -o 1_2 **/

using namespace std; #include <iostream>

void P(int K,int n,int i); int getMaturaKchar *caracter); int N;

int main (int numArgs, char *args[]) {

if (numArgs != 2) {

cout « "Modo de uso:\n\t" « args[0] «

" nXndonde n representa un numero natural."

return -1;

}

136 A Programas

int K=l, i ; char *argO = args[1]; int natural = getNatural(args[l]); cout « natural « "\n"; N - natural; cout « "Trabajamos con el natural " << natural « ": \n";

for (i=l;i<N;i++) // Cálculo de K=2'-{N-1}

{

K=2*K; } K=K*K-1; // Sum a_j"2 <2 -{N-l}

// sii Sum a_j<=2^{N-l}-l P(K,W,K);

return 0;

}

void P(int K,int n,int i) {

int j=i,h,S; // Declaración de variables

h=int(sqrt(double(K/n)));

if (sqrt(double(K))<i) // Cálculo de la cota sup., j j=int(sqrt(double(K)));

S=K-n*h*h; // Cálculo de la cota inf., S

if (S>=2*h+1) h++;

for (i=j;i>=h;i--)

{

if (n==N){

cout « "(";}

cout « i «",";

if (n>l)

{ P(K-i*i,n-l,i);

// Bucle principal

// Condición para que escriba // "(" cuando escribe al // Escritura del número

A Programas 137

if (n==l)

{ cout « endl ;

}

// Condición para que haga un // salto de línea cuando // acaba un vector

}

int getNaturaKchar *caracter)

números {

int counter = 0;

int result = 0;

while(carácter[counter] != '\0') {

result = result * 10 + (carácter[counter++]

} return result;

// Programa para obtener los // como parámetros

'O');

}

Para el caso general Ip tendríamos

/**

* Ip.cpp * Programa que calcula, a partir de un n dado, el conjunto * de naturales al,...,an decrecientes (vector de naturales * de n componentes) tales que al'"2+a2'"2+. . .+an"2<2~-{p(n-l)} y

* además son máximales. *

* José Ignacio Úbeda García *



void P(int K,int n, int i ) ; int getNaturaKchar *caracter); int N; float p=3;

138 A Programas

int main (int numArgs, char *args[])

{

if (numArgs != 2)

{

cout « "Modo de uso:\n\t" « args[0] «

" n\ndonde n representa un numero natural." ;

return -1;

} int K=l, i; char *argO = args[1]; int natural - getNaturaKargs [1] ); cout « natural « "\n"; N - natural; cout « "Trabajamos con el natural " « natural « ": \n";

// Cálculo de K=2-{p(N-l)} K=int(pow(2,p*(N-l))-l); // Sum a_j~2 <2-{N-l}

// sii Sum a_j<=2-{N-l}-l P(K,N,K);

return 0;

}

void P(int K,int n,int i)

{ int j=i,h,S; // Declaración de variables

h=int(pow(K/n,1/p));

if (pow(K,l/p)<i)

j=int(pow(K,l/p));

S=K-n* int(pow(h,p));

// Cálculo de la cota sup., j

// Cálculo de la cota inf., S

if (S>=pow(h+l,p)-pow(h,p)) h++;

for (i=j;i>=h;i--) // Bucle principal

if (n==N){

cout « "(";} cout « i «","

if (n>l)

{ P(K-i*i,n-l,i);

} if (n==l)

{

cout << endl ;

}

A Programas 139

// Condición para que escriba // "(" cuando escribe al // Escritura del número

// Condición para que haga un // salto de línea cuando // acaba un vector

}

int getNaturalCchar *caracter) // Programa para obtener los { // números como parámetros

int counter - 0; int result - 0; while(carácter[counter] != '\0')

{ result - result * 10 + (carácter[counter++] - 'O');

}

return result;

}

Presentamos un programa que calcula la cota de la ampliación máxima de un circulo de radio R al realizar n iteraciones del procedimiento presentado en el teorema 6.22.

/** * amplíejto.cpp * Programa que calcula, a partir de un diámetro inicial R * dado y un número de repeticiones n calcula la cota máxima

* del diámetro dada por el teorema de la ampliación por un * conjunto. *

* José Ignacio Úbeda García y José Pedro Úbeda Rives *

140 A Programas

using namespace std; #include <iostreaiii>

float R=l, cuatro, nuin,denom;

int n=1000000,i;

int main (void)

{

for (i=0;i<=n;i++) {

cuatro=R*R; num=2*cuatro; denom=sqrt(4*cuatro-l); R=num/denom; cout « 2*R « "\n";

} }

Si representamos gráficamente los datos obtenidos para R = 1 y n = 1000 obtenemos la figura,

Ahora presentamos un programa que calcula la cota de la ampliación máxima de un circulo de radio R al realizar n iteraciones del procedimiento presentado, por lo tanto ampliando con 2n conjuntos, para la ampliación de dos conjuntos.

/ * *

* amplíejto.cpp * Programa que calcula, a partir de un diámetro inicial R

* dado y un número de repeticiones n calcula la cota máxima * del diámetro dada por el teorema de la ampliación por dos * conjuntos. *

* José Ignacio Úbeda García y José Pedro Úbeda Rives *

A Programas 141 35 -r

30

25

20 --

15

10

5 --i

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 1. Función del crecimiento de la cota del diámetro según el teorema 6.22.

float R=l, cuatro, cosl)senl)zl,numcos2) denomcos2,cos2,sen2, cos3, coseno;

int n=1000000,i;

int main (void) {

for (i=0;i<=n;i++)

{

cuatro=R*R; senl=l/(2*R); cosl=sqrt(4*cuatro-l)*senl; zl=R/cosl; numcos2=zl*zl+cuatro-l; denomcos2=2*zl*R; cos2=numcos2/denomcos2; sen2=sqrt(l-cos2*cos2) ;

142 A Programas

cos3=cos2*cosl+sen2*senl; coseno=cosl*sqrt((cos3+l)/2)+senl*sqrt((-cos3+l)/2); R=R/coseno;

cout « 2*R « "\n";

Si representamos gráficamente los datos obtenidos para R = 1 y n = 1000 obtenemos la figura,

35 -r

30 --

25

20 --

15 --

10 --

O 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 2. Función del crecimiento de la cota del diámetro para la ampliación con dos conjuntos.



B

Espacios Normados

Definición B. l . Un espacio vectorial topológico X es un espacio vectorial {X, +, •) (nosotros consideraremos sólo los espacios vectoriales sobre los cuerpos M o C) dotado de una topología compatible con la suma y el producto por un escalar, es decir tal que + G C{X x X,X) y • E C{K x X,X) donde K denota el cuerpo asociado al espacio vectorial (R o C) y X x X lo dotamos de la topología producto.

Entre los espacios vectoriales topológicos destacan los espacios normados

Definición B.2. Dado un espacio vectorial {X,+,-), decimos que || • || es una norma si y sólo si para todo x,y E X y a EK

1. \\x\\ >0 y \\x\\ = O 4= x = O

2. \\ax\\ = \a\\\x\\

3. \\x + y\\ < \\x\\ + \\y\\ (desigualdad triangular).

Un espacio vectorial dotado de una norma se denota espacio normado.

Toda norma tiene asociada una distancia dada por d{x,y) = \\x — y\\.

Si el espacio normado con la métrica asociada es completo, diremos que el espacio es de Banach.

Definición B.3. Dado un espacio vectorial topológico X definimos el dual X' como el conjunto de todas las aplicaciones lineales y continuas de X aK.

Observación B.J^. En el caso en que el espacio sea reflexivo la topología u* y la topología üj del dual son la misma.

Cuando el espacio no es reflexivo tenemos que la topología uj* es más débil que la topología u) del dual es decir cu* C cu.

Definición B.5. Decimos que un espacio vectorial topológico X es separable si y solo si 3{Xre}nGN C X : {Xn}n€N — ^, cs decir existe un conjunto denso numerable. (ad{{Xn}neN) = {Xn}neN)

144 B Espacios Normados

Decimos que A C. X es precompacto si y sólo si VÍ7 e £{0)3{xj}'j^i C A : A C. [j'J^iXj + U

De los siguientes resultados, los primeros pueden encontrarse en [10, páginas 71-75] y el último, el teorema de metrización de Uryshon, en [39, 23.2 página 166].

Teorema B.6 (Alaoglu). Sea X un espacio de Banach, entonces Bx' es LU*-compacto.

Proposición B.7. Sea X un espacio de Banach. {Bx',u)*) es metrizable si y solo si X es separable.

Proposición B.8. Sea X un espacio de Banach. {Bx,¡^) es metrizable si y solo si X' es separable.

Proposición B.9. Sea C un compacto débil en un espacio de Banach X. Si X' es cü*-separable, entonces {C,ÜJ) es metrizable.

En particular, si X es separable entonces (C, o;) es metrizable.

Teorema B.IO. Un espacio de Banach X es reflexivo si y solo si Bx es débilmente compacto.

Teorema B . l l . Sea X un espacio de Banach. Si X es separable y reflexivo, entonces (i?x,<^) es un espacio compacto metrizable.

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tesis doctoral de la universidad de alicante. tesi...

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