REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIN UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGAUNIVERSIDAD DR. JOS GREGORIO HERNNDEZFACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIN

GEOMETRA EUCLIDIANA

Integrantes:Carolina AraujoMara GuillenRaquel MontielMirly Torrado

Maracaibo, Julio de 2015TRODUCCIN A LA GEOMETRA EUCLIDIANA1. HISTORIA DE LA GEOMETRA El origen del trmino geometra es una descripcin precisa del trabajo de los primeros gemetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamao de los campos o el trazado de ngulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometra emprica, que floreci en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemtico Pitgoras coloc la piedra angular de la geometra cientfica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometra emprica se pueden deducir como conclusiones lgicas de un nmero limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitgoras y sus discpulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemtico moderno se consideran como un conjunto de supuestos tiles pero arbitrarios. Un ejemplo tpico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemticos griegos es la siguiente afirmacin: "una lnea recta es la distancia ms corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, lneas, ngulos y planos se puede deducir lgicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ngulos de cualquier tringulo es igual a la suma de dos ngulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitgoras). La geometra demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polgonos y crculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemtico griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto bsico de geometra hasta casi nuestros das.2. GEOMETRA EUCLIDIANA Y NO EUCLIDIANA Euclidiana: Es el estudio de las propiedades geomtricas de los espacios eucldeos. Es aquella que estudia las propiedades geomtricas del plano afn eucldeo real y del espacio afn eucldeo tridimensional real mediante el mtodo sinttico, introduciendo los cinco postulados de Euclides. Tambin es comn (abusando del lenguaje) decir que una geometra es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometra se verifica el quinto postulado de Euclides. sta denominacin est cada vez ms en desuso, debido a la prdida de inters que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma. En ocasiones los matemticos usan las expresiones geometra eucldea o geometra euclidiana para englobar geometras de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinnimos de geometra plana o de geometra clsica. No euclidiana: a cualquier forma de geometra cuyos postulados y propiedades difieren en algn punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo tipo de geometra no eucldea, sino muchos, aunque si se restringe la discusin a espacios homogneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles

3. TEORIA DEDUCTIVAEl mtodo deductivo consiste en partir de un nmero reducido de informacin (hiptesis-fundamentos) y mediante un proceso lgico deducir otros conocimientos o proposiciones nuevos

El mtodo de deductivo en la ciencia y principalmente en la geometra se basa en ir encadenando conocimientos que se suponen verdaderos de manera tal que se obtienen de nuevos conocimientos; es decir, es aquel que combina principios necesarios y simples(axiomas postulados ,teoremas, conceptos no definidos, definiciones, etc.) para deducir nuevas proposiciones. Tambin se llama mtodo analtico o indirecto cuya caracterstica es que va de la general a lo particular por ejemplo: 1 si admitimos que los ngulos interiores de un tringulo suman 180 se "deduce" que los ngulos agudos de un tringulo rectngulo suman 90. La integracin del razonamiento inductivo y el deductivo dan lugar al mtodo que nos lleva a la comprobacin y demostracin de leyes, principios o reglas formuladas por la induccin.

4. MTODOS DE DEMOSTRACIN Sin pretender dar una definicin muy rigurosa podemos considerar la demostracin de una proposicin p como una cadena finita de transformaciones que se realizan mediante reglas lgicas y que se forman a partir de proposiciones verdaderas o supuestamente verdaderas y las cuales nos conducen a la proposicin p. Una proposicin o relacin resultante de otras mediante el proceso de la demostracin se llama deducida o demostrada. Cuando se han establecido los trminos primitivos, los trminos definidos y un sistema de postulados, podemos continuar definiendo nuevos trminos y formulando proposiciones nuevas que no entran o conducen a contradicciones y cuya verdad o falsedad debe probarse. Tales proposiciones se llaman teoremas.5. AXIOMA, POSTULADO, TEOREMA Y COROLARIOAxioma: Los axiomas son verdades incuestionables universalmente vlidas y evidentes, que se utilizan a menudo como principios en la construccin de una teora o como base para una argumentacin. La palabra axioma deriva del sustantivo griego , que significa "lo que parece justo" o "lo que se considera evidente, sin necesidad de demostracin". El trmino viene del verbo griego (axioein), que significa "valorar", que a su vez procede de (axios): "valioso", "vlido" o "digno". Entre los filsofos griegos antiguos, un axioma era lo que pareca verdadero sin necesidad de prueba alguna. En muchos contextos, axioma es sinnimo de postulado, ley o principio.Axioma 1: Por dos puntos diferentes pasa una nica lnea recta.Axioma 2: Un segmento rectilneo puede ser siempre alargado.Axioma 3: Existe una nica circunferencia con un centro y radio determinado.Axioma 4: Todos los ngulos rectos son iguales.Axioma 5: Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ngulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ngulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarn en el mismo lado

Postulado: Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los Elementos, escrito por Euclides hacia el ao 300 a. C., exponiendo los conocimientos geomtricos de la Grecia clsica deducindolos a partir de cinco postulados, considerados los ms evidentes y sencillos.Los postulados de Los Elementos son:Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una lnea recta.Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.Todos los ngulos rectos son iguales entre s. Postulado de las paralelas. Si una lnea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ngulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que estn los ngulos menores que dos rectos. Este ltimo postulado tiene un equivalente, que es el ms usado en los libros de geometra:Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una nica paralela.Teorema En un tringulo rectngulo la medida de cada cateto esmedia proporcional geomtricaentre las medidas de la hipotenusa y su proyeccin sobre ella.Demostracin:

Si se tiene un tringuloABCcualquiera, rectngulo enC, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):dondeDB = p (proyeccin del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)AD = q (proyeccin del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)c = p + qPor semejanza (~) de tringulos, elACB~ CDB(son semejantes)

Luego;

Que es lo mismo que:

De forma anloga se tiene queACB ~ ADC(a la derecha) ,entonces

Que es lo mismo que:

Corolario Un corolario (del latn corollarium) es un trmino que se utiliza en matemticas y en lgica para designar la evidencia de un teorema o de una definicin ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su demostracin. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente que no necesita demostracin. A menudo se trata de una inferencia, si bien la distincin entre teorema y corolario es tan subjetiva como entre lema y teorema.6. AXIOMAS DE GEOMETRA EUCLIDIANAAxioma 1: Por dos puntos diferentes pasa una nica lnea recta.Axioma 2: Un segmento rectilneo puede ser siempre alargado.Axioma 3: Existe una nica circunferencia con un centro y radio determinado.Axioma 4: Todos los ngulos rectos son iguales.Axioma 5: Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ngulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ngulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarn en el mismo lado

7. AXIOMAS DE INCIDENCIA, ORDEN Y ENLACEIncidencia:Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un punto pasa al menos una recta. A toda recta pertenecen a los menos dos puntos distintos. Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no est en la recta.Definicin: Puntos colineales son aquellos que estn en una misma recta. Tres puntos distintos que no estn en una misma recta, determinan un plano y solo uno al cual pertenecen. Por dos puntos distintos pasa al menos un plano. A todo plano pertenecen a los menos tres puntos distintos no colineales. Dado un plano, existe por lo menos un punto del espacio que no est en el plano. Definicin: Puntos coplanares son aquellos que estn en un mismo plano. Si dos puntos de una recta estn en un plano, la recta est contenida en el plano. Si dos planos diferentes se cortan, su interseccin es una rectaOrdenAxioma 1. Propiedad de la tricotoma Para cualesquiera nmeros reales x y y, se tiene que uno y slo uno de los siguientes enunciados es verdadero xy o bien x=yAxioma 2. Propiedad de transitiva Si x