4

. . .

2

Geometra

Cilindro y tronco de cilindro

1. En el grfico se muestra un cilindro recto de base circular, adems, T es punto de contac-

to de la recta PT en la superficie cilndrica. Si

PT=15 y PM=8, calcule la distancia de T a la

base superior del cilindro, de radio 5 y gene-

ratriz 18.

TT

PPMM

OO

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 13

2. En el grfico, el rea de la regin sombreada es a. Calcule el volumen del cilindro de re-

volucin.

A) pi a acos23

B) pi a a4

2sen

C) pi a a2

2sen

D) pi a a4

2cos

E) pi a a2

2cos

3. Si la diferencia de volmenes de los cilindros que genera un rectngulo de lados igual a 2 y 3

cuando giran alrededor de cada uno de dichos

lados es igual al volumen de un cilindro equi-

ltero, calcule la generatriz de dicho cilindro

equiltero.

A) 2 33 B) 3 73 C) 4 93

D) 2 E) 3 13

4. En el grfico se tiene un tronco de cilindro oblicuo, de base circular. Si 2(MN)=3(NB),

AB=10 y AQ=8 5 , calcule el volumen del

tronco del cilindro.

A B

N

Q

M

A) 196p B) 200p C) 250p

D) 225p E) 216p

3Geometra5. Segn el grfico, en el tronco de cilindro de

revolucin AB y CD son generatrices. Si el rea de la seccin plana sombreada es K, calcule el volumen del tronco de cilindro.

A) KpB) 2Kp

A

B C

D2

C) 3KpD) 2pE) 5p

6. En el grfico se observa un tronco de cilindro en el cual O1 y O2 son los centros de las bases. Calcule la razn de volmenes entre el tronco de cilindro y el tetraedro regular mostrado.

A) 4 33

B) 5 23

O2

O1

C) 2 35

D) 3p

E) 2p

7. En el grfico, el volumen del cilindro de seccin recta circular es 3pu3. Si AB=2 u y BE ED( )( )=4 3 2u , y AC y BD son generatrices

opuestas, calcule mSBAE.

C D

E

A B

A) 30 B) 45 C) 60D) 82 E) 75

8. En un hexaedro regular ABCD EFGH se ins-cribe un cilindro de revolucin cuyas bases se encuentran inscritas en dos caras opuestas del hexaedro. Si AB=a, AG interseca en M y N a la superficie lateral del cilindro, calcule MN.

A) a 67

B) a 62

C) a 65

D) a 64

E) a 63

Pirmide

9. En el grfico se muestra un cubo ABCD-EFGH. Si M es el baricentro de la regin BED y AB=6 2,

calcule el volumen de la pirmide M EFGH.

E

A

H

F G

DM

CB

A) 48 2 B) 72 2 C) 95 2

D) 96 2 E) 108 2

10. Se tiene una pirmide hexagonal regular

V ABCDEF. Si el rea de la superficie lateral es

13 veces el rea de la base y la distancia de

A hacia VD es 65

10 , calcule el volumen de la

pirmide.

A) 9 3 B) 10 5 C) 12 3 D) 3 2 E) 8 5

. . .

4

Geometra

11. En el grfico se tiene un cubo y una pirmide regular. Si el rea de la superficie lateral es el doble del rea de la base de la pirmide y el volumen del cubo es 8, calcule la altura de la pirmide.

A) 2 3 B) 4 C) 2 5+D) 2 3+ E) 2 3 1+

12. En una pirmide oblicua de base triangular V ABC, mSVAC=mSVAB=mSBAC=60.

Si VA=9; AB=6 y AC=3, calcule el volumen de la pirmide.

A) 252

2 B) 13 2 C) 272

2

D) 14 2 E) 292

2

13. Se tiene una pirmide V ABCD, donde VC CB y VC DC, adems, AB=AD. Si BC=3; CD=5; VC = 12 3 mSBAD=60 y C pertenece a la circunferencia circunscrita al tringulo ABD, calcule el volumen de dicha pirmide.

A) 192 B) 196 C) 200 D) 204 E) 212

14. Se tiene un tronco de pirmide oblicua, donde las caras laterales son circunscriptibles a una circunferencia. Si la suma de las longitudes de las aristas laterales es K, adems, los inradios de las bases son 3 y 2, calcule la diferencia de reas de las bases.

A) K2 B) 52

K C) K

D) 6K E) K 2

2

15. En un hexaedro regular ABCD EFGH se ha trazado DN perpendicular a BH (N en BH). Qu parte del volumen del hexaedro regular es el volumen del slido N EFGH?

A) 18

B) 19

C) 14

D) 23

E) 35

16. Una pirmide tiene como base una de las ca-ras de un cubo de 27 m3 de capacidad, el vrti-ce opuesto a dicha base est contenido en una de las diagonales de las caras adyacentes a dicha base. Calcule el volumen de dicha pir-mide sabiendo que la suma de los cuadrados de las longitudes de las aristas laterales de la pirmide es igual a cuatro veces el cuadrado de la longitud de la arista del cubo.

A) 4 B) 4,5 C) 9D) 13,5 E) 20

Cono y tronco de cono

17. En el grfico se muestran dos conos de revolu-cin, PAPV=8. Calcule el rea de la superfi-cie lateral del cono circular recto mayor.

A) 8p

A

V

BOO

P

O1O14545

B) 12pC) 16pD) 32pE) 29p

5Geometra18. La base de un cono recto circular de vrtice

V, descansa en un plano H. En H se ubican

los puntos A y B de tal manera que el plano

determinado por A; B y V es tangente al cono.

Si el rea de la regin AVB, es igual al rea de la

superficie lateral del cono, calcule la razn de

reas de la proyeccin ortogonal de AVB sobre

H y el rea de la base del cono.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 3 E) 6

19. En el grfico, M es punto medio de la generatriz VA. Si r=6 y h=8, calcule PA. Considere que

arcosenq=4/13 y PM es tangente a la superficie

del cono de revolucin. (q: medida del ngulo

entre PM y el plano H).

PP

O

Mh

AA

V

r

A) 6 B) 8 C) 13

D) 16 E) 12

20. En un cono equiltero de vrtice V se ubica los puntos medios M y N de las generatrices

VA y VB. Si la mAB = 60, calcule el rea de la

regin trapecial AMNB. Considere que AB=4.

A) 2 15 B) 3 15 C) 4 15

D) 2 30 E) 45

21. En el grfico, calcule la razn de volmenes del tetraedro regular ACDE y el cono circular

recto de vrtice V.

B

V

C

AD

OE

A) 2 39

B) 39

C) 38

D) 2 33

E) 3

6

22. En una hoja de papel de forma triangular rec-tangular ABC (AB=BC) se forma una superfi-

cie cnica haciendo coincidir A con C, donde

el vrtice es el punto medio de la hipotenusa

AC. Cul es el rea mnima que se desecha

para obtener la superficie lateral de un cono

de revolucin, si AC=4?

A) p 3 B) 4 p C) 2p 6

D) 8 2p E) 2 2 pi

23. En un hexaedro regular MNPQ RSTU en la prolongacin de la arista TS se ubica el punto

E, si ET = 119 y UN=5 3. Calcule el volumen

del cono circular de vrtice M, cuya base est

inscrita en el tringulo QEU.

A) 247 B)

2417

C) 259

D) 257 E)

258

. . .

6

Geometra

24. Del grfico se muestra un tronco de cono de revolucin de 133 cm3 de volumen. Calcule el

volumen del cono de vrtice O y donde AB es

el dimetro de su base, si CDPQ

=23

.

P

C D

A B

QO

A) 65 cm3 B)

317 cm3 C)

496 cm3

D) 7249

cm3 E) 10849

cm3

Esfera

25. Tres esferas de radio 3; 4 y 5, respectivamente, son tangentes 2 a 2 y estn apoyadas en una

mesa. Calcule el permetro de la regin limita-

da por el tringulo cuyos vrtices son los pun-

tos de tangencia de las esferas con el tablero

de la mesa.

A) 15 2 3 5+ +( ) B) 2 15 2 3 5+ +( )( ) C) 2 3 5 15+ +( ) D) 4 3 5 15+ +( ) E) 4 15 2 3 5+ +( )( )26. Una esfera E de radio 5 es tangente a un plano

H en T. Sea P un punto del plano H desde el

cual se traza PM y PN

tangentes a la esfera en

M y N, respectivamente. Si la distancia del cen-

tro de E al plano PMN es 3, calcule la mSMPN.

Adems, PT=12.

A) 37 B) 30 C) 28

D) 53 E) 62

27. Si el arco AB gira 360 respecto la recta HO, determina una zona esfrica. Calcule el rea

de la zona si R =+5 12

4 .

B O

A H

R

A) p B) 2p C) 3p

D) 4p E) pi5 12

28. Calcule la razn de volmenes de los slidos que se generan al girar las regiones sombrea-

das 360 respecto de la recta AO

.

B O

A

360

53

A) 3/5 B) 4/5 C) 1

D) 6/5 E) 8/5

7Geometra29. En el grfico se muestra una semiesfera y un

cono circular recto. Calcule el volumen del

anillo esfrico cuya seccin axial est som-

breada.

A B

V

O 5

7474

A) 24p

B) 29/5p

C) 14,4p

D) 7,2p

E) 28,8p

30. Un plano secante a una semiesfera determina dos porciones de superficie esfrica equiva-

lentes (igual rea). Calcule la razn de vol-

menes de los slidos determinados por dicho

plano si este no es paralelo al crculo mximo

de la semiesfera.

A) 1/2

B) 1

C) 1/4

D) 1/8

E) 5/11

31. Se tiene una zona esfrica equivalente a un huso esfrico ubicados en la misma esfera de

radio R. La altura de la zona es R/4, calcule la

medida del ngulo del huso esfrico.

A) 30 B) 37 C) 45

D) 53 E) 60

32. Un recipiente esfrico cuyo radio mide a uni-dades contiene agua hasta la lnea ecuatorial. Dicho lquido se vierte en un recipiente ciln-drico cuyo radio mide b unidades. Determine el nivel que alcanza el agua en el cilindro.

A) 7

2

3

2a

b

B) 83

3ab

C) 2ab

D) 5ab

E) 2

3

3

2a

b

Teorema de Pappus y Geometra analtica

33. En un tringulo ABC se traza la mediana AM y la ceviana BN de manera que NC=2(AN) y

{D}=AM BN. Calcule el volumen que genera

la regin ABDMC al girar una vuelta alrededor

de CB, si el volumen que genera la regin ABC

en dicho giro es V.

A) 78

V B) 25

V C) 35

V

D) 67

V E) 79

V

34. Los lados AB y AD de un rectngulo ABCD miden 12 cm y 9 cm respectivamente. Si M

es punto medio de CD y AN BM (N en BC),

calcule el volumen del slido generado por la

regin cuadrangular ANCD al girar una vuelta

alrededor de CD.

A) 360 cm3 B) 50 cm3 C) 65 cm3

D) 345 cm2 E) 364 cm3

. . .

8

Geometra

35. En un trapecio rectngulo circunscrito a una circunferencia de radio R, el ngulo determi-

nado por el lado lateral y la base mide 53. Cal-

cule el rea del slido generando al girar dicha

regin trapecial alrededor del menor de sus

lados no paralelos.

A) 45pR2

B) 90pR2

C) 454

2R

D) 452

2R

E) 9pR2

36. Sea ABCD un cuadrado y OM=MB. Calcule la diferencia entre las pendientes de las rectas

L 1 y L 2.

L 1

L 2

M

B

AO

D

C(a; b)

A) ab2

B) 2ba

C) aba b+

D) abb

E) ab

2

2

37. Calcule las pendientes de todas las rectas que pasan por el punto (3; 2) y que tienen puntos

comunes con el segmento cuyos extremos son

A(11; 4) y B(12; 18).

A) 43

34

y

B)

43

34

;

C) 34

43

;

D) R

43

34

;

E) R 43

34

;

38. Si A(2; 3); B(4; 9) y C(8; 1) son los vrtices de un tringulo, calcule las coordenadas del

circuncentro.

A) (6; 5) B) (6; 3) C) (5; 1)

D) 234

; E) 34 2;

39. Si una circunferencia contiene a M(0; 1) y N(1; 2), es tangente al eje x

y la abscisa de su centro es positiva, calcule el radio de dicha circunferencia.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

40. Si la ecuacin de una circunferencia es (x+2)2+(y 3)2=5, determine la ecuacin de una de las rectas tangentes a la circunferencia y que pasan por el punto P(3; 3).

A) x 2y+3=0 B) x 2y+4=0 C) x+4y+6=0 D) x 4y+6=0 E) x+2y 3=0

9GeometraProblemas diversos

41. En un tringulo ABC, BC=2(AB), mSBAC=3(mSACB), calcule mSABC.

A) 60B) 90C) 75D) 120 E) 30

42. En un paralelogramo ABCD se traza la altura BH la cual interseca en P a AM, siendo M un punto de BC tal que los ngulos BCD y MAD miden 3w y w, respectivamente. Calcule AB si MP=24.

A) 6 B) 12 C) 8D) 9 E) 10

43. Se tiene un tringulo rectngulo ABC, recto en B, adems BH es altura y BC=2(AB). Calcule la medida del ngulo formado por AI y la recta tangente trazada desde C hacia la circunferen-cia de centro I y dimetro BH.

A) 53 B) 60 C) 63D) 70 E) 73

44. Del grfico, T es un punto de tangencia, AB=2, AO=4, calcule BC.

O A B

T

C

A) 2 2 B) 3 C) 3 2

D) 4 E) 4 2

45. En el grfico se sabe que MA=AR y MR=8. Ha-lle MC.

M C

A

R

A) 2 2

B) 4 2

C) 6 2

D) 16

E) 20

46. Del grfico, calcule x si ABC y MNLP son pol-

gonos regulares y L 1 // L 2.

L 1

L 2

x

B

N

P

M

AC

Q

50

70

A) 100

B) 120

C) 140

D) 150

E) 130

. . .

10

Geometra

Claves01 - C

02 - E

03 - A

04 - C

05 - A

06 - A

07 - C

08 - B

09 - D

10 - C

11 - D

12 - C

13 - A

14 - C

15 - B

16 - B

17 - C

18 - A

19 - E

20 - B

21 - A

22 - B

23 - C

24 - E

25 - B

26 - A

27 - B

28 - B

29 - E

30 - E

31 - C

32 - E

33 - A

34 - E

35 - D

36 - A

37 - B

38 - A

39 - D

40 - A

41 - A

42 - B

43 - E

44 - B

45 - B

46 - E

47 - B

48 - B

47. Dado una regin triangular ABC, recto en

B, AB=6 y BC=8, por el vrtice A se traza la

perpendicular AP al plano que lo contiene,

AP=2 5, calcule la medida del ngulo entre

AB y PM, siendo M punto medio de BC.

A) 30

B) 45

C) 37

D) 53

E) 60

48. Se tiene un cuadrante AOB y un semicrculo de

dimetro OB, ubicados en planos perpendicu-

lares, adems en AB y OB , se ubican E y H, tal

que mOH=60 y mBE=28, AO=8, calcule la

distancia entre AH y BE .

A) 28 2717

B) 24 2717 C)

14 1717

D) 16 1717

E) 18 1717