SISTEMAS AXIOMÁTICOS QUE APARECEN EN LAS MATEMÁTICAS.

Un axioma no se considera como una verdad indubitable, y una teoría axiomática está indirectamente relacionada con la realidad. No sólo la geometría, sino muchas otras teorías matemáticas han sido axiomatizadas, y el método axiomático se ha convertido en una poderosa herramienta para la investigación matemática, así como un medio de organizar el inmenso campo del conocimiento matemático. El análisis de la lógica es uno de los principales temas de las investigaciones sobre los fundamentos de las matemáticas. Por lo tanto, es importante saber que las teorías axiomáticas son consistentes. La manera más simple para demostrar la consistencia de una teoría axiomática es proporcionar un modelo para ello.

1.¿Qué otros sistemas axiomáticos consistentes aparecen en las matemáticas? Tenemos el método axiomático para definir la medida, es decir, que una medida es una función μ definida sobre ciertos subconjuntos de un conjunto E que satisface una lista de propiedades.

La Teoría de la medida se creó para disponer de un análisis detallado de la noción de longitud de los subconjuntos de puntos de la recta real y, de forma más general, área y volumen de subconjuntos de espacios Euclídeos. En particular, esta teoría nos brinda una respuesta sistemática relativa sobre qué subconjuntos de R, se les puede asociar una longitud. Como se comprobó al desarrollar la teoría de conjuntos, es imposible asociar una longitud a cualquier subconjunto de R de tal manera que se cumplan las propiedades de invariancia por traslación y de aditividad con respecto a la unión conjuntos. Estos conjuntos se llaman no medibles.

Otro sistema axiomático es el de Riemann, el cual se visualiza en el mundo físico que nos rodea, donde las rectas, los ángulos, los triángulos y el concepto de distancia se acomodan a lo que dictamina la geometría de Riemann.

En la concepción de Riemann, las rectas originadas cuando el punto Q se desplaza a la derecha, vuelven a salir por la izquierda. Así mismo las rectas RP originadas cuando R se mueve a la izquierda, vuelven a salir por la derecha. En ningún caso las rectas que pasan por el punto exterior P, se vuelven paralelas a la recta L. En la geometría Euclidiana , vimos que estas rectas tienden a una recta única, la recta paralela a L que pasa por P. En las geometrías no euclidianas, según como se muevan las rectas, ellas se aproximan a dos rectas distintas.

Todas las perpendiculares a una recta dada, se encuentran en un punto,por ejemplo los meridianos son perpendiculares al Ecuador y se encuentran en el Polo Norte. Estas rectas en la geometría euclidianas serían paralelas.

Dos rectas encierran una superficie. Como es el caso de dos meridianos consecutivos de la tierra que encierran lo que se llama un huso horario, que ocurren en la asignación de la hora en referencia al meridiano de Greenwich.

Dados tres puntos arbitrarios C, D, E, distintos en una recta, hay tres casos que se cumplen simultáneamente, a saber: a) D está entre E y C; b) C está entre D y E; c) E está entre C y D. En la geometría euclidiana, dados tres puntos en la misma recta, sólo uno de ellos está en medio de los otros dos. En la gráfica sólo B está entre A y C.

Dos triángulos semejantes son también congruentes. Este resultado lo comparte con la geometría hiperbólica.

La distancia entre dos puntos, digamos P y C, es la longitud del arco de circunferencia máxima que los contiene. En general la distancia entre dos puntos se mide con el arco de circunferencia máxima que pasa por ellos. Las rectas ENCD y MNPD se encuentran en N y D. Los puntos N y D se llaman antípodas. En la geometría euclidiana, los arcos se asemejan a los segmentos de recta.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico es mayor que dos rectos, como se ve en el triángulo ABP. Debido a que nuestras rectas son circunferencias máximas, un triángulo está formado por arcos de tres de ellas. Uno de estos triángulos se muestra en la figura como ABP. Puesto que los ángulos en A y B, por ser rectos, miden 180º, es evidente que la suma de sus tres ángulos sea más de 180º. Este resultado vale para todos los triángulos esféricos.

http://www.matematicasyfilosofiaenelaula.info/Epistemologia%202009/Geometria%20de%20Riemann.pdf

Agrego un Teorema importante dentro de la geometría proyectiva, conocido como el Teorema de Desargues. Sean Δ𝐴𝐵𝐶 y Δ𝐴′𝐵′𝐶 ′ dos triángulos que yacen en un mismo plano; si las líneas 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵 ′ y 𝐶𝐶 ′ son concurrentes, los puntos de intersección de los lados correspondientes de los dos triángulos están alineados, y recíprocamente. P=AB∩A′B′(AB intersección A'B') Q=BC∩B′C′ R=CA∩C′A′Sin embargo este teorema no está bien enunciado para el plano Euclideano, pues es posible que las rectas AB y A’B’ no se intersecten, o tampoco los otros dos pares de rectas. A este enunciado habría que agregarle algo así para que fuera un teorema completo.Sean ABC y A B C′ ′ ′ [...] , entonces si existen los siguientes puntos serán colineales.[...]De no existir uno de los puntos pero sí los otros dos ocurriría que [...]

En la Geometría proyectiva se cree que el comportamiento de las rectas paralelas es idéntico al de dos rectas que se intersectan, pero en lugar de intersectarse en un punto a nuestro alcance, es como si se intersectara en un punto al infinito.

Bibliografía consultada:Teoría de la Medida, Carmen Martínez-Adame.http://www.matetam.com/de-consulta/books/introduccion-geometria-proyectiva/pasa-cuando-p-no-existe

1. Sea X un conjunto no numerable, y sea S={E⊆X :Eo Eces a lomás numerable }. Entonces S es la σ -álgebra generada por los conjuntos de un punto de X .

2. Si μ es una función aditiva, no negativa, con valores en los reales extendido, definida sobre un anillo R y tal que existe al menos un E∈R, tal que μ (E )<∞, entonces μ (∅ )=0.

3. Sea {an } una sucesión de números reales no negativos, A⊂N , definimos μ (A )=∑

n∈ A

an. Entonces μ :P (N )→¿ es una medida (P(X) es el conjunto potencia de X).

4. Toda medida finitamente aditiva es monótona.

5. La unión numerable de conjuntos nulos es otra vez un conjunto nulo.

6. Todo subconjunto numerable de R tiene medida de Lebesgue igual a cero.

7. Si f :R→R es continua p.c.t., entonces f es una función medible.

8. Sea {f n } una sucesión de funciones medibles de valores reales sobre un espacio de medida {X ,S , μ }, entonces el conjunto A={x∈ X : f n(x)→∞} es medible.

Tenemos por ejemplo los axiomas en la geometría proyectiva, sabemos que cualquier geometría dada puede deducirse de un conjunto apropiado de axiomas, las Geometrías proyectivas se caracterizan por el axioma "elíptico paralelo", que dos aviones siempre se reúnen en una sola línea, o en el avión, las dos líneas siempre se reúnen en un solo punto. En otras palabras, no hay cosas tales como líneas paralelas o planos de la geometría proyectiva. Se han propuesto muchos otros conjuntos de axiomas para la geometría proyectiva.

Axiomas de Whitehead

Estos axiomas se basan en Whitehead, "los axiomas de la geometría proyectiva". Hay dos tipos, los puntos y líneas, y una relación "incidencia" entre los puntos y líneas. Los tres axiomas son:

G1: Cada línea contiene al menos 3 puntos G2: Cada dos puntos, A y B, se encuentran en una línea única, AB. G3: Si las líneas AB y CD intersecan, entonces también lo hacen las líneas AC y

BD.

Se supone que cada línea, para contener por lo menos 3 puntos ,elimina algunos casos generados. Los espacios que cumplan estos tres axiomas o bien tienen un máximo de una línea, o son espacios proyectivos de alguna dimensión más de un anillo de división o son planos no Desarguesianos.

Se pueden añadir otros axiomas que restringen la dimensión o el anillo de coordenadas. Por ejemplo, la geometría de Coxeter proyectiva, referencias Veblen en los tres axiomas más arriba, junto con otros 5 axiomas que hacen la dimensión 3 y el anillo de coordenadas de un campo conmutativo de la característica no 2.

Axiomas utilizando una relación ternaria

Uno puede perseguir axiomatización postulando una relación ternaria, para indicar que tres puntos están alineados. Una axiomatización se puede escribir en términos de esta relación, así:

C0: C1: Si A y B son dos puntos tales que y luego C2: Si A y B son dos puntos a continuación, hay un tercer punto C de tal

manera que C3: Si A y C son dos puntos, B y D también, con, pero no a continuación, hay

un punto F tal que y.

Por dos puntos diferentes, A y B, la línea AB se define como un conjunto de todos los puntos de C para los que. Los axiomas C0 y C1, después, una formalización de G2, C2 y C3 de G1 para G3.

El concepto de la línea generaliza a planos más elevados y subespacios dimensionales. Un subespacio, ABXY puede por lo tanto ser de forma recursiva define en términos de la subespacio ABX como que contiene todos los puntos de todas las líneas YZ, como Z rangos de más de ABX. Colinealidad luego se generaliza a la relación de la "independencia". Un conjunto {A, B, Z} de puntos es independiente, si {A, B, Z} es un subconjunto mínimo de generación para el subespacio ABZ.

Los axiomas proyectivos pueden complementarse con otros axiomas postulan límites a la dimensión del espacio. La dimensión mínima se determina por la existencia de un conjunto independiente del tamaño requerido. Para las dimensiones más bajas, las condiciones pertinentes pueden indicarse en forma equivalente como sigue. Un espacio proyectivo es de:

al menos dimensión 0 si tiene al menos 1 punto, al menos dimensión 1 si tiene al menos 2 puntos distintos, al menos dimensión 2 si tiene al menos 3 puntos no colineales, al menos dimensión 3 si tiene al menos 4 puntos no coplanares.

La dimensión máxima también se puede determinar de una manera similar. Para las dimensiones más bajas, asumen las siguientes formas. Un espacio proyectivo es de:

a lo sumo dimensión 0 si no tiene más de 1 punto,

a lo sumo dimensión 1 si no tiene más de 1 línea, a lo sumo dimensión 2 si no tiene más de 1 avión,

y así sucesivamente. Es un teorema general que todas las líneas coplanares se cruzan el principio muy Geometría proyectiva fue originalmente destinado a encarnar. Por lo tanto, la propiedad puede ser equivalente declaró que todas las líneas se cruzan entre sí.

En general se supone que los espacios proyectivos son de por lo menos la dimensión 2 - En algunos casos, si la atención se centra en los planos proyectivos, una variante del M3 puede postularse. Los axiomas de, por ejemplo, incluyen,, y. Axiom vuelve vacuamente verdadero bajo y por lo tanto no es necesario en este contexto.

Axiomas de planos proyectivos

En la geometría de incidencia, la mayoría de los autores dan un tratamiento que abarca el plano PG Fano como el plano proyectivo finito mínimo. Un sistema axiomático que logra esto es como sigue:

Los dos puntos distintos se encuentran en una línea única. Las dos líneas distintas se reúnen en un punto único. Existen al menos cuatro puntos de los cuales tres son no alineados.

Fuentes de consulta:

http://docsetools.com/articulos-utiles/article_113451.html Heyting, University of Amsterdam, Netherlands

Los Contraejemplos de la Hipótesis de Riemann y su ... https://books.google.com.mx/books?isbn=1105855015 http://es.wikipedia.org/wiki/Teor

%C3%ADa_de_conjuntos_de_Von_Neumann-Bernays-G%C3%B6del http://cipri.info/resources/ART-Axiomatica_Clases_Conjuntos.pdf