GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA

Esta información fue obtenida del internet con la finalidad de conocer y poder entender un nuevo tema de matemática, que para todos es muy importante.

Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo tipo de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:

Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles, además de la geometría euclidea de curvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades riemannianas generales

La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.

La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.

La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.

HISTORIA DE LA GEOMETRIA NO EUCLIDEANAEl primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant formalizada posterior e independientemente por varios autores a principios del siglo XIX tales como Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai y Ferdinand Schweickard.

Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.La geometría Euclideana había sido desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obra Los elementos. En su primera obra publicada, "Pensamientos sobre la verdadera estimación de las fuerzas vivas". (Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben) (1746), Immanuel Kant considera espacios de más de tres dimensiones y afirma:

Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sería sin duda la empresa más elevada que un entendimiento finito podría acometer en el campo de la Geometría... Si es posible que existan extensiones con otras dimensiones, también es muy probable que Dios las haya traído a la existencia, porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces.

Esas posibles geometrías que Kant entrevé son las que hoy se llaman geometrías euclidianas de dimensión mayor que 3.

Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas (las paralelas) no se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción al absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de llegar a un absurdo se encontró que existían geometrías coherentes diferentes de la euclídea. Se había descubierto así la primera geometría no euclídea (en concreto el primer ejemplo que se logró era una geometría llamada hiperbólica).

Geometrías de curvatura constanteA principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai y Ferdinand Schweickard lograron construir la geometría hiperbólica, a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y tratar de obtener una contradicción.En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la que los tres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180º sexagesimales (en la geometría euclídea los ángulos de cualquier triángulo suman siempre exactamente 180º).

La naturalidad de esta geometría quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica. Ambos resultados prueban que es tan consistente como la Geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometría euclídea también).

Modelo del disco Poincaré para laGeometría hiperbólica con una teselación

{3,7} de rombos truncados.

Algunos afirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la euclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribió que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refería a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartográficos que estaba realizando.

Geometría elípticaLa geometría elíptica es el segundo tipo de geometría no-euclídea homogénea, es decir, donde cualquier punto del espacio resulta indistinguible de cualquier otro. Una variedad de Riemann de curvatura positiva constante es un ejemplo de geometría elíptica. Un modelo clásico de geometría elíptica n-dimensional es la n-esfera.

En la geometría elíptica las líneas geodésicas tienen un papel similar a las líneas rectas de la geometría euclídea, con algunas importantes diferencias. Si bien la mínima distancia posible entre dos puntos viene dada por una línea geodésica, que además son líneas de curvatura mínima, el quinto postulado de Euclides no es válido para la geometría elíptica, ya que dada una "recta" de esta geometría (es decir, una línea geodésica) y un punto no contenido en la misma no se puede trazar ninguna geodésica que no corte a la primera.

La esfera es un modelo de geometría elíptica bidimensional, los meridianos resultan ser líneas geodésicas mientras que los paralelos son líneas de curvatura no mínima.

Geometría euclídeaLa geometría euclídea es claramente un caso límite intermedio entre la geometría elíptica y la geometría hiperbólica. De hecho la geometría euclídea es una geometría de curvatura nula. Puede demostrarse que cualquier espacio geométrico o variedad de Riemann cuya curvatura es nula es localmente isométrico al espacio euclídeo y por tanto es un espacio euclídeo o idéntico a una porción del mismo.

ASPECTOS MATEMÁTICOSLos espacios de curvatura constante el tensor de curvatura de Riemann viene dado en componentes por la siguiente expresión:

Donde gij es el tensor métrico expresado en coordenadas curvilíneas cualesquiera. En tensor de Ricci Rij y la curvatura escalar son proporcionales respectivamente al tensor métrico y a la curvatura: Y donde n es la dimensión del espacio.

Otro aspecto interesante es que tanto en la geometría hiperbólica, como en la geometría elíptica homogénea el grupo de isometría del espacio completo es un grupo de Lie de dimensión, que coincide con la dimensión n(n+1)/2 del grupo de isometría de un espacio Euclideo de dimensión n (aunque los tres grupos son diferentes).

Geometrías de curvatura no constante

Geometría riemanniana generalA propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la Geometría. En su tesis, Riemann considera las posibles geometrías que infinitesimalmente (i.e. en regiones muy pequeñas) sean euclídeas, cuyo estudio se conoce hoy en día como geometrías riemannianas. Estas geometrías resultan en general no-homogéneas: algunas de las propiedades del espacio pueden diferir de un punto a otro, en particular el valor de la curvatura. Para el estudio de estas geometrías Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometría euclídea, la geometría hiperbólica y la geometría elíptica son casos particulares de geometrías riemanninanas, caracterizadas por valores constantes del tensor de curvatura. En una geometría riemanninana general, el tensor de curvatura tendrá valores variables a lo largo de diferentes puntos de dicha geometría. Eso hace que la geometría no sea homogénea, y permite distinguir unos puntos de otros. Esto es relevante en la teoría de la relatividad general, ya que en principio es posible hacer experimentos de medición de distancias y ángulos que permitan distinguir unos puntos del espacio de otros, tal como especifican numerosos experimentos mentales imaginados por Einstein y otros en los que un experimentador encerrado en una caja puede realizar experimentos para decidir la naturaleza del espacio-tiempo que le rodea.

Finalmente un aspecto interesante de la goemetría riemanniana es que si la curvatura no es constante Geometría no euclidiana entonces el grupo de isometría del espacio tiene dimensión estrictamente menor que n(n+1)/2 siendo n la dimensión del espacio. En concreto según la relatividad general un espacio-tiempo con una distribución muy irregular de la materia podría tener un grupo de isometría trivial de dimensión 0.

Geometría del espacio-tiempo y teoría de la relatividadBasándose en las ideas y resultados de Riemann, hacia 1920 Einstein aborda en su Teoría de la Relatividad general la cuestión de la estructura geométrica del Universo. En ella muestra cómo la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, que es precisamente lo que se observa como campo gravitatorio, y cómo, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las líneas más rectas posibles dentro de dicha geometría, líneas que se denominan geodésicas.Además, la Ecuación de Einstein afirma que para cada observador, la curvatura media del espacio coincide, salvo un factor constante, con la densidad observada, dando cumplimiento así a la fantástica visión de Gauss: la geometría desentrañada por los griegos es la estructura infinitesimal del espacio; al generalizar dicha estructura geométrica, tiene curvatura.

Los 23 problemas David HilbertHilbert propuso una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. Se reconoce de forma general que ésta es la recopilación de problemas abiertos más exitosa y de profunda consideración producida nunca por un único matemático.Lanzó el conjunto de problemas en la conferencia "Los problemas de la matemática" presentada durante el curso del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Ésta es la introducción a la conferencia de Hilbert:

¿Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cuál será el objetivo hacia el que tenderá el espíritu de las generaciones futuras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campodel pensamiento matemático?.

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?

2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?

3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.

4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?

5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.

6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?

7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2v2, etc.

8. El problema de la distribución de los números primos.

9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.

10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.

11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.

12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.

13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.

14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.

15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.

16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.

17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.

18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.

19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?

20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.

21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.

22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.

23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.

NIKOLÁI LOBACHEVSKI

Nikolái Ivánovich Lobachevski (en caracteres cirílicos: (1 de diciembre de 1792 -24 de febrero de 1856) fue un matemático ruso del siglo XIX.Nació en Nizhni Nóvgorod y estudió en la Universidad de Kazán. Enseñó en Kazán desde 1812 hasta 1846, y llegó a ser profesor de matemáticas en 1823.

Con independencia del húngaro János Bolyai y del alemán Carl Friedrich Gauss, Lobachevski descubrió un sistema de geometría no euclidiana.

Antes de Lobachesvski, los matemáticos intentaban deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los otros axiomas; sin embargo, Lobachevsky se dedicó a desarrollar una geometría en la cual el quinto postulado puede no ser cierto o, mejor dicho, no ser válido.

Para esto, entre otras cuestiones propuso un sistema geométrico basado en la hipótesis del ángulo agudo, según la cual, en un plano, por un punto fijo pasan al menos 2 paralelas a una recta -en realidad tal solución da noción de la existencia de triángulos curvos. Entre sus obras destacan Sobre los principios de la geometría (1829) y Geometría imaginaria (1835).

El postulado de Lobachevsky

7.2.1 El postulado de las paralelas Lobachevsquiano. Si P es un punto que no está en la recta AB (fig. 7.2a) y si Q es el pie de la perpendicular desde P hasta AB, hay desde P dos rayos, PX, PY, que no coinciden en la misma recta y no cortan AB, y tales que cualquier rayo PZ desde P y que quede dentro del ?XPY que contiene PQ, cortará a AB.1

Procedemos ahora con el desarrollo.

7.2.2 Teorema. En la figura 7.2a, cualquier recta que pase por P y que no quede dentro de XPY que contiene PQ, no cortará a la recta AB. Pues si dicha recta cortará a la AB, entonces el rayo PX o el PY tendría que cortar a la recta AB.

7.2.4 Teorema. Si Q es el pie de la perpendicular desde el punto P a la recta AB y si PX y PY son paralelas a la recta AB que pasan por P, entonces los ángulos XPQ y YPQ son ángulos agudos iguales.

7.2.5 Corolario. Hay una infinidad de hiperparalelas a la recta AB que pasan por un punto P que no está en AB.

7.2.6 Definición. El ángulo XPQ (o el YPQ) de la figura 7.2b se llama ángulo de paralelismo en P para la recta AB.

Inscríbase un círculo en un rectángulo, como el dibujado en la figura 5. LL´ y MM´ son las rectas paralelas de ese rectángulo. Estas rectas son también segmentos de las rectas hiperesféricas que pasan por LPL´ y por MP´M´, unas y otras, más tarde, se cortarán entre sí por ser de naturaleza hiperesférica y

tener que regresar a su punto de partida, a su estado anterior. El espacio de Lobachevsky es asíntoto (por su recta asíntota); el nuestro es trascendente, que trasciende y colapsa para luego volver a empezar. El primero es abierto y tiende a la infinitud; el segundo, es un espacio que vuelve sobre sí mismo, sugiriendo aquella boya que dejamos en el océano.

Entonces se dan cinco clases de rectas según su naturaleza. Son las siguientes que enunciamos (E):

E 1. Las que, estando dentro del círculo, pasan por P y cortan la tangente LL´.

E 2. Las que, estando fuera del círculo, pasan por P y no cortan la tangente LL´ (a semejanza de las rectas hiperparalelas de Lobachevsky)*

E 3. Las que, pasando por P y por todos los puntos de la tangente LL´ no cortan a ésta.**

E 4. Las paralelas clásicas, en el gráfico, las rectas LL´ y MM´.

E 5. Y las rectas hiperesféricas , que pasando por LL´ unas y por MM´ las otras, se tienen que cortar en algún punto para, después, volver a su punto de partida (el modelo de la hiperesfera).

( * ) En la geometría de la hiperesfera no puede existir una recta fuera del círculo que pase por P y corte la tangente LL´.

( ** ) Es imposible, en el gráfico trazar otras rectas que pasen por tangente LL´ y por P, que nuestros sentidos solo una recta pueden dibujar y visualizar entre L y L´ pero, como luego se demostrará, son muchas las rectas paralelas diferentes que pueden pasar entre dos puntos, en este caso, entre los puntos L y L´.

EL TEOREMA X · S = R · D

Sea EFGH un trapezoide al que se le han prolongado los lados EH y FG lo suficiente como para cortarse en el punto P. La distancia PE que se originó al prolongarse esos lados, es una distancia desconocida, la cual se ha designado con una x en la figura. Esta x será el objeto cardinal de este estudio. La otra distancia desconocida es PF, designada en la figura con una "y" y que provisionalmente se convertirá en un elemento auxiliar de lo que vamos a demostrar. Los elementos conocidos del trapezoide son EF = a, FG = b, GH = c, EH = d, EG = e y FH = n. Vamos a expresar x en función de los lados y diagonales de ese trapezoide, esto es, x en función de a, b, c, d, e y n. Para ello, aplicaremos el teorema de los cosenos en los triángulos PHF, EHF, PGE, EGF, HPG, EPF, PHG, EHG, PGH y FGH, luego combinamos las ecuaciones hasta que desaparezca los cosenos indicados por las expresiones algebraicas para, finalmente, eliminar "y" de las ecuaciones y quedarnos con la ecuación que solo contiene a "x" y a los lados y diagonales del trapezoide EFGH. Y esta ecuación final será el teorema x · S = R · d.

El procedimiento algebraico es sumamente sencillo, solo que laborioso. Veamos:

Exprésese x en función de a, b, c, d, e, n

24. Sumando las ecuaciones en 17 y 20 tenemos:

Desarrollando esta ecuación y despejando y, tenemos:

25.

Continuamos aplicando el teorema de cosenos

34. Tomemos el miembro derecho de la ecuación en 28 y lo sumamos con el miembro derecho de la ecuación 31, y todo lo igualamos a la suma del miembro derecho de la ecuación 32 con el miembro derecho de la ecuación en 33.

De otro modo, sumamos los miembros derechos de las ecuaciones 28 y 31 y los igualamos a la suma de los miembros derechos de las ecuaciones 32 y 33, porque es lo mismo, puesto que:

Sustituyendo estas cuatro expresiones como se indica en 34, reuniendo términos, simplificando lo posible, y despejando y tenemos:

35.

En esta ecuación sustituimos y por su valor en 25 y tenemos:

36.

Desarrollando esta ecuación se tiene:

37.

CONCLUSIONES:

La geometría euclideana la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados sexagesimales, mientas que la geometría no euclideana se puede demostrar que los los ángulos internos pueden sumar menos de 180 grados sexagesimales.

La distancia más larga entre dos puntos de la recta hiperesférica = 0 La distancia más corta entre dos puntos de la recta hiperesférica = 1 La distancia más corta entre dos puntos de la recta euclidiana = 0 La distancia más larga entre dos puntos de la recta duclidiana = 1 La geometría no euclideana da paso a una nueva geometría, que es parte de la

matemática fractal, donde la raíz negativa s un numero imaginario, siendo esta igual al número de Euler.