solucionario de geometria euclidiana

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1 1. EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BÁSICOS 1. En la figura, el ángulo COB mide 120º y el ángulo COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida del BOA es: Sea mBOA = x, luego mCOD = x/2. Se tiene x 3x 120 x 180 60 x 40 2 2 2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es A. Un punto. B. Dos puntos C. Una única recta D. Dos rectas diferentes E. Falta información Esto es uno de los axiomas de la Geometría Euclidiana. 3. En la figura, 3 2 4 1 m m m m , ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera? Con la información dada las parejas de rectas perpendiculares están “libres”, luego pueden ser giradas y seguirían satisfaciendo l os datos dados. Por tanto no puede afirmarse ni A, ni B, ni C, ni D. 4. R, S y T son tres puntos colineales como se muestran en la figura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST, entonces la longitud de RT es A. 3x 4 B. 3x 6 C. 3x + 2 D. 6x 12 E. 6x + 6 Dado que los puntos son colineales, se tiene RT = RS + ST = 1 3 3 ST ST ST 2 2 2 (4x +4) = 6x + 6 C B D O A A. 20º B. 30º C. 40º D. 60º E. 80º 120x/2 x 1 m 2 m 3 m 4 m R S T A. 2 1 m m || B. 3 1 m m C. 4 3 m m || D. 4 2 m m E. NDLA 1 m 2 m 3 m 4 m

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  • 1

    1. EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BSICOS 1. En la figura, el ngulo COB mide 120 y el ngulo COD mide la mitad del ngulo BOA. Entonces, la

    medida del BOA es:

    Sea mBOA = x, luego mCOD = x/2. Se tiene x 3x120 x 180 60 x 40

    2 2

    2. Si dos planos diferentes se intersecan, su interseccin es A. Un punto. B. Dos puntos C. Una nica recta D. Dos rectas diferentes E. Falta informacin Esto es uno de los axiomas de la Geometra Euclidiana.

    3. En la figura, 3241 mmmm

    , cul de las siguientes expresiones es siempre verdadera?

    Con la informacin dada las parejas de rectas perpendiculares estn libres, luego pueden ser giradas y seguiran satisfaciendo los datos dados. Por tanto no puede afirmarse ni A, ni B, ni C, ni D. 4. R, S y T son tres puntos colineales como se muestran en la figura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST, entonces la longitud de RT es

    A. 3x 4 B. 3x 6 C. 3x + 2 D. 6x 12 E. 6x + 6

    Dado que los puntos son colineales, se tiene RT = RS + ST = 1 3 3ST ST ST2 2 2

    (4x +4) = 6x + 6

    C B

    D O A

    A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 E. 80

    120

    x/2 x

    1m

    2m

    3m

    4m

    R S T

    A. 21 mm

    || B. 31 mm

    C. 43 mm

    ||

    D. 42 mm

    E. NDLA

    1m

    2m

    3m

    4m

  • GEOMETRA

    2

    Sean A, B y C los puntos indicados en la figura, y sean mBAC = , mACB = .

    Se tiene = 50, por ser opuesto por el vrtice con el ngulo que mide 50 y = 180 130 = 50.

    El ngulo que mide y es un ngulo exterior con respecto al ABC, luego su medida equivale a la suma

    de los ngulos internos no adyacentes, es decir y = + = 50 + 50 = 100

    Dado que las rectas son paralelas, x = mFCE, por ser ngulos correspondientes. A su vez este ngulo

    por ser externo al ECD, es la suma de las medidas de los ngulos CED y EDC.

    Se tiene mCED = 90 y mEDC = 180 140 = 40, luego x = 90 + 40 = 130

    Las marcas en el ngulo A, indican que AD es bisectriz de dicho ngulo, luego x = 40 y mA = 80.

    Al considerar el ABC, se tiene z = 180 80 70 = 30

    Dado que __ __

    EB ||DC , se tiene x = 180 130 = 50 por ser ngulos internos al mismo lado, entre

    paralelas y como __ __

    AD AC, el ADC es triangulo rectngulo y por tanto y es el complemento de x,

    luego y = 90 50 = 40

    x

    y

    130

    A B C

    D

    E En la figura,

    ________

    DC||EB,ACAD , entonces el valor de y es:

    A. 30 B. 40 C. 45 D. 50 E. 60

    8.

    50 120

    130

    x

    y

    A partir de la informacin indicada en la figura, el valor de y es: A. 170 B. 130 C. 120 D. 100 E. 50

    5.

    A

    B C

    90

    140

    x En la figura, si

    ____

    CD||AB , el valor de x es:

    A. 50 70 C. 130 D. 140 E. 230

    A B

    F C D

    6.

    E

    x

    A partir de la informacin brindada en la figura, el valor de z resulta: A. 30 B. 40 C. 70 D. 80 E. 110

    x

    z

    40

    70

    7.

    A

    B D C

  • GEOMETRA

    3

    Se tiene mABC = 180 140 = 40, x = 115 40 = 75 ya que el ACD es externo al ABC

    Se tiene mEDB = 180 150 = 30, ABC DBE por ser opuestos por el vrtice y por el teorema de

    semejanza AA, ABC DBE, luego mBAC = x = mEDB = 30. 11. A B C D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces EF = ? A. 5 B. 6 C. 9 D. 11 E. 22

    Sean AE = EB = x, CF = FD = y (E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente) Se tiene BC = AC AB = 10 2x (1) y tambin BC = BD CD = 12 2y (2) Igualando (1) y (2): 10 2x = 12 2y Al simplificar se obtiene y x = 1 (3). Por otro lado se tiene EF = EB + BC + CF = x + (10 2x) + y = 10 x + y = 10 + (y x) Al introducir (3) resulta EF + 10 + 1 = 11

    x

    140

    115

    9. En la figura, el valor de x es A. 25 B. 40 C. 45 D. 65 E. 75

    A

    B C D

    x

    150

    10. En la figura, el valor de x es A. 30 B. 40 C. 45 D. 50 E. 60

    A

    B C

    D E

    A E B C F D

    x x y y

    10

    12

  • GEOMETRA

    4

    En el ABC, tenemos que mA = 180 mABC mACB = 180 (mABC mACB) (1)

    Se tiene que mABC = 180 y mACB = 180 , luego mABC + mACB = 360 ( + )

    Como + = 255, resulta mABC + mACB = 360 255 = 105

    Sustituyendo en (1) obtenemos mA = 180 105 = 75 13. Para qu valor de x, los segmentos AB y CD son paralelos?

    Como el ngulo a la izquierda de C es congruente con el ngulo a la derecha, tambin mide 25. Luego

    mACD = 180 2 25 = 130.

    Como el APC, es recto en P, mPAC = 90 25 = 65 Para que AB y CD sean paralelos, el ngulo CAB debe ser el suplemento del ngulo ACD ya que seran

    ngulos internos al mismo lado entre paralelas o sea mCAB = 180 130 = 50.

    Se tiene entonces x + 50 + 65 = 180 x = 180 50 65 = 65

    14. Si ____

    CD||AB , Cul es el valor de x?

    A. 170 B. 150 C. 120 D. 100 E. 80

    Trazamos EF, paralela a las rectas AB y CD, luego mAEF = 180 120 = 60

    y mFEC = 180 x . Adems se tiene mAEF + mFEC = mAEC = 90 , luego

    60 + (180 x) = 90. Al despejar x, resulta x = 150

    A

    B C

    En la figura + = 255, entonces m A = ? A. 75 B. 105 C. 127.5 D. 30 E. 45

    12.

    25

    x A. 25 B. 50 C. 65 D. 75 E. 130

    A

    B

    C

    D

    25 130

    P

    65

    120

    x

    A B

    C D

    E F

  • GEOMETRA

    5

    15. Si la medida de un ngulo es tres veces la medida de su suplemento, cul es la medida de dicho ngulo? A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 E. 135

    Sean la medida del ngulo buscado y la medida de su suplemento, luego

    + = 180 = 180 .

    El ejercicio indica que = 3, luego = 3 (180 ) = 540 3 4 = 540 = 135. 16. Dos veces la medida de un ngulo es 30 menos que cinco veces la medida de su complemento, cul es la medida de dicho ngulo? A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 E. 135

    Sean la medida del ngulo buscado y la medida de su complemento, luego

    + = 90 = 90 . Al interpretar la informacin del ejercicio se tiene

    2 = 5 30 2 = 5 (90 ) 30 = 450 5 30 7 = 420 = 60

    Sean A, B, C y D los puntos indicados en la figura. Al trazar por B una paralela a

    1m y

    2m , se forman

    ngulos alternos internos entre paralelas, y por tanto congruentes con los ngulos indicados inicialmente, luego

    x + 60 = 110 x = 110 60 = 50. OTRA FORMA:

    Al prolongar CB, sea D el punto donde corta a la recta

    1m

    Se tiene mADB = x, por ser alterno interno con el ngulo que se forma en C.

    El angulo ABC es externo al ABD, luego 60 + x = 110 x = 50

    1m y

    2m son paralelas. 18. En la figura las rectas

    Entonces el valor de x es A. 170 B. 50 C. 85 D. 25 E. 20

    Como las rectas son paralelas se tiene (3x + 10) + (x 6) = 84 4x + 4 = 84 4x = 80 x = 20

    60

    110

    x

    2m

    1m 17. En la figura las rectas

    1m y

    2m son paralelas. Entonces el valor

    de x es A. 170 B. 50 C. 85 D. 25 E. 30

    A

    B

    C

    x

    60

    60

    110

    x

    2m

    1m

    A D

    B

    C

    x

    84

    (x 6)

    (3x + 10)

    1m

    2m

  • GEOMETRA

    6

    Sean y las medidas de los ngulos indicados en la figura. Se tiene + = 90.

    Como SQR = 2 y 1 2, se tiene 2mSQR = 180 . (1)

    Similarmente se obtiene que 2mQSR = 180 . (2)

    Al sumar (1) y (2) resulta 2mSQR + 2mQSR = (180 ) + (180 ) = 360 ( + )

    Como + = 90, 2(mSQR + mQSR) = 360 90 = 270 mSQR + mQSR) = 135

    Luego mR = 180 (mSQR + mQSR) = 180 135 = 45 .

    20. En una recta se toman los puntos A, B y C, de manera que B es punto medio de __

    AC . Se toma otro

    punto O, tal que B O C. Encuentre el valor numrico de OB

    OCAO.

    A. 2 B. 1 C. 2

    1 D.

    2

    3 E. Falta informacin.

    Se tiene AB = BC = x, por ser B punto medio de AC. Sea OB = y, luego OC = x y, AO = x + y. Al sustituir estos valores en la expresin dada se tiene: AO OC = (x y) (x + y) = 2y, OB = y, luego

    AO OC

    OB

    2y

    2y

    Nota: en ejercicios de este tipo no se admite asignar valores arbitrarios, ya que se estara resolviendo para valores especficos. El planteamiento es general. Cuando se afirma que B O C, est indicando que O es un punto cualquiera que se encuentra entre B y C, y el valor numrico encontrado es valido para cualquier punto O que est entre B y C.

    P Q

    S

    R

    1 2

    3

    4

    Si m P = 90, 1 2, 3 4, entonces m R es A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 E. Falta informacin.

    19.

    A B O C

  • GEOMETRA

    7

    2. EJERCICIOS SOBRE TRINGULOS Y CUADRILTEROS 1. Un poste cercano a un rbol mide 2 m y su sombra en un momento dado mide 1.8 m, entonces si la sombra del rbol en ese momento mide 11 m, la altura del rbol es A. 11 m B. 11.22 m C. 12. D. 12.22 E. 13 m

    Dado que los rayos del sol prcticamente caen paralelos y que el poste y el tronco del rbol son perpendiculares al piso, el rbol y su sombra y la lnea que une sus extremos forman un tringulo semejante al formado por el poste su sombra y la lnea que une sus extremos, tenemos

    h 2 11 2h 12.22

    11 1.8 1.8

    2. Una varilla clavada en el piso y cercana a un rbol mide 3 m y su sombra mide 1.5 m, entonces si el rbol mide 36 m, su sombra mide A. 36 m B. 30 m C. 18 m D. 15 m E. 9 m

    El problema es similar al anterior, en este

    caso se tiene x 1.5 36 1.5

    x 1836 3 3

    3. El permetro de un tringulo rectngulo issceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales es A. 7.07 B. 14.14 C. 24.14 D. 24.99 E. 50

    En un tringulo rectngulo issceles, la hipotenusa mide 2 x , siendo x la longitud de sus catetos, luego

    102 x 10 x 5 2

    2

    Su permetro ser P 10 2 5 2 10 10 2 24.14

    2

    1.8 11

    h

    3

    1.5 x

    36

  • GEOMETRA

    8

    Por el teorema de la altura se tiene 24 x 8 64 x 16 y la hipotenusa mide 4 + x = 20

    Por el teorema de los catetos se tiene 2y 4 20 80 y 80 4 5 8.94

    5. Un mtodo para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo y despus situarse de manera que la parte ms alta del edificio pueda verse en el espejo qu altura tiene un edificio si una persona cuyos ojos estn a 1.5 m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo est a 120 m del edificio y la persona est a 6 m del espejo? A. 20 m B. 30 m C. 31.5 m D. 120 m E. 126 m

    Dado que las leyes de la ptica indican que en un espejo plano, el ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin, se forman dos tringulos rectngulos semejantes, luego

    h 1.5h 30

    120 6 metros.

    6. La altura respecto a la hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 10 m y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre s como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es A. 4 m B. 7.07 m C. 12.25 m D. 14 m E. 15.5 m

    Sean m y n los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa,

    con m < n, luego m 7

    n 2mn 14 .

    Por el teorema de la altura 2 2m n 10 m 2m 100 m 50 m 5 2 y n 10 2

    La hipotenusa mide c = m + n = 15 2

    Por el teorema de los catetos 2a = m(m + n) = 5 2 15 2 150 a 150 5 6 12.25

    8 y

    x 4

    4. En el tringulo rectngulo de la figura, los valores de x e y, respectivamente son A. 11 y 13 B. 15 y 16 C. 9 y 8 D. 16 y 8.94 E. 12 y 8.94

    h

    6 120

    1.5

    10 a

    m n

  • GEOMETRA

    9

    7. El permetro de un rectngulo es 85 m y su diagonal mide 32.5 m. Por lo tanto los lados del rectngulo miden: A. 15 m y 27.5 m B. 20 m y 22.5 m C. 7.5 m y 25 m D. 30m y 12.5 m E. 40m y 2.5 m

    Sean a y b los lados del rectngulo. Se tiene

    P = 2 (a + b) = 85 a + b = 42.5 (1) 2 2 2a b 32.5 1056.25 (2)

    Despejando b de (1), e introduciendo en (2) 2a + 2[42.5 a ] = 1056.25 22a 85a 750 0 a = 12.5 a = 30

    Al sustituir en (1) se obtiene b = 30 b = 12.5. 8. El permetro de un tringulo mide 50 y sus lados son proporcionales a 4, 6 y 8. Entonces su lado mayor mide A. 50/3 B. 25/9 C. 100/9 D. 25 E. 200/9

    Sean a, b y c las longitudes de los lados, con a < b < c, luego P = a + b + c =50 y a b c

    4 6 8

    Por las propiedades de las proporciones a b c a b c 50 8 50 200

    c4 6 8 4 6 8 18 18 9

    9. En un tringulo rectngulo, un lado mide 2 106 , otro 5 15 . Si el lado desconocido es el menor,

    cunto mide? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11

    Como 2 106 5 15 , la hipotenusa de este tringulo es 2 106 , luego el cateto menor es

    2 2a [2 106 ] [5 15 ] 424 375 49 7

    10. El rea del tringulo de la figura, redondeada al entero ms cercano, mide: A. 21 B. 22 C. 27 D. 31 E. 54

    Aplicamos la frmula de Hern: A s s a s b s c , donde s es el semipermetro.

    Se tiene 6 7 9

    s 112

    , luego A 11 11 6 11 7 11 9 11 5 4 2 440 20.97

    a

    b

    32.5

    6 7

    9

  • GEOMETRA

    10

    Dado que es un tringulo rectngulo su rea es la mitad del producto de sus catetos.

    El cateto desconocido mide 2 2b 10 6 100 36 64 8

    Por tanto 1

    A2

    (6) (8) = 24

    12. Si un rectngulo de 3 m de ancho y 10 m de largo tiene la misma rea que un tringulo rectngulo issceles, entonces la longitud de cada cateto del tringulo es

    A. 7.5 B. 2 15 C. 15 D. 15 3 E. 10

    El rea de un tringulo rectngulo issceles est dada por 21

    A x2

    , donde x es la longitud de sus

    catetos, luego tenemos que el rea del rectngulo es 30, por tanto 21x 30 x 60 2 152

    13. El rea de un trapecio issceles de bases 22 m y 10 m y cuyos lados congruentes miden 10 es A. 2220 m

    2 B. 160 m

    2 C. 128 m

    2 D. 80 m

    2 E. 64 m

    2

    Por ser un trapecio issceles, al proyectar la base menor sobre la base mayor, la base mayor queda dividida en tres segmentos de 6, 10 y 6 metros.

    Aplicando el teorema de Pitgoras, se tiene 2 2h 10 6 64 8

    Aplicando la frmula para el rea de un trapecio: B b h

    A2

    resulta

    222 10 8A 128 m2

    6

    10

    Cul es el rea del tringulo de la figura? A. 20 B. 24 C. 30 D. 48 E. 60

    11. b

    3

    10

    x

    x

    10

    22

    10

    10

    6 10 6

    h

  • GEOMETRA

    11

    14. La siguiente figura consta de siete cuadrados congruentes. El rea total de esta figura es 63 cm2.

    Entonces el permetro de la figura es:

    Observamos que el permetro est formado por 16 veces el lado de cada cuadrado. Como hay siete

    cuadrados congruentes, cada uno tiene un rea de 263

    x 9 x 37

    . Por tanto el permetro de la

    figura es P = 16 3 = 48 cm.

    La figura indica que B, D, F y H son puntos medios de los lados del cuadrado ACEG, luego su rea es el

    doble del rea del cuadrado BDFH, es decir [ACEG] = 2 162 = 324 luego AC 324 18

    16. Se tiene un trapecio ABCD donde __

    BC es la base menor. BC = 10 cm. y CD = 20 cm. Las medidas de los ngulos A, B y C son 30, 150 y 120 respectivamente, entonces AD = ? A. 60 cm. B. 50 cm. C. 40 cm. D. 30 cm. E. 20 cm.

    Sean B y C las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB = x, CD = y.

    Por ser BC paralela a AD, mD = 180 mC = 180 120 = 60

    El CCD es un tringulo 30 60, luego h = CC = 10 3 y

    y = CD = 10

    Tambin el ABB resulta ser un tringulo 30 60, con su cateto

    menor BB = h = 10 3 , luego AB = 10 3 3 30

    Tenemos entonces que la base mayor mide AD = x + 10 + y = 30 + 10 +10 = 50.

    A B C

    G F E

    H D

    Si ACEG es un cuadrado y el rea del cuadriltero BDFH mide 162 cunto mide AC? (las marcas iguales representan partes congruentes) A. 9 B. 12.72 C. 18 D. 25.44 E. 81

    15.

    A. 16 cm B. 21 cm C. 24 cm D. 48 cm E. 84 cm

    B 10 C

    20

    A x B 10 C y D

    h

    30 60

  • GEOMETRA

    12

    17. Si las medianas en un tringulo rectngulo, trazadas a partir de los vrtices de los ngulos agudos

    miden 5 cm y 40 cm, entonces la medida de la hipotenusa del tringulo rectngulo es

    A. 2

    405 cm B. 2 13 cm C. 45 cm D. 11.32 cm E. 5.66 cm

    Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente.

    Sean AM = 5 y CN = 40 , BC = a, AB = c, luego a c

    BM y NB2 2

    .

    Sea la hipotenusa AC = b

    Aplicando el teorema de Pitgoras en los ABM y BCN

    22 2 2 2 aAM AB BM c 25

    4 (1)

    22 2 2 2 cCN NB BC a 40

    4 (2)

    Al sumar (1) y (2) resulta 2 2

    2 2 25c 5a 465 a c 65 52 b b 52 2 134 4 5

    18. En la figura, los cuadrados ABCD y EFGH son congruentes. AB = 10 cm y G es el centro del cuadrado ABCD. Entonces el rea total cubierta por el polgono AHEFBCDA es

    Dado que los cuadrados son congruentes sus reas son iguales y como el lado AB mide 10, cada uno

    tiene un rea de 100 cm2 , pero ellos comparten el ABG de manera que para el rea total del polgono a

    la suma de las reas de los cuadrados debemos restarle el rea de este tringulo para que sea considerada solo una vez. Dado que G es el centro del cuadrado ABCD, el rea del tringulo es la cuarta parte del rea del cuadrado o sea 25 cm

    2.

    Luego el rea buscada es A = [ABCD] + [EFGH] [ABG] = 100 + 100 25 = 175 cm2

    D C

    G

    A B H F

    E

    A. 100 cm2

    B. 120 cm2 C. 150 cm

    2 D. 175 cm

    2 E. 200 cm

    2

    N

    A

    B M C

  • GEOMETRA

    13

    19. ABCD es un cuadrado, el ABE es issceles, CF = FB. Entonces, la medida del ngulo EFB es igual a

    Como el ABE es issceles, AE = BE y por ser ABCD un cuadrado, E es el punto medio de DC y por

    tanto EC = CF, ya que por ser CF = FB, F es punto medio de BC. Luego el ECF resulta ser triangulo

    rectngulo issceles y como consecuencia mCFE = 45. El ngulo buscado es el suplemento del

    CFE, luego mEFB = 180 mCFE = 180 45 = 135

    Se tiene que CF = AB = 18, ya que ABCF es un paralelogramo. CE = CF FE = 18 12 = 6.

    Por otro lado BD y AF son paralelas, luego FAE CDE, ya que son alternos internos entre paralelas y

    FEA CED, ya que son opuestos por el vrtice. Como consecuencia se tiene FEA CED. Sea AE = x, luego ED = AD AE = 30 x. Por la semejanza anterior,

    CE ED 6 30 x6x 360 12x 18x 360 x 20

    FE EA 12 x

    21. En un trapecio issceles, la diferencia de las bases es de 10 m. La altura mide 12 m. y el permetro 76 m. Entonces su rea es: A. 86 m

    2 B. 176 m

    2 C. 226 m

    2 D. 288 m

    2 E. 300 m

    2

    Como B b = 10, al proyectar la base menor sobre la base mayor se forman tres segmentos de longitudes 5, b y 5 como se muestra en la figura. Luego como la altura es 12, en los extremos del trapecio se forman tringulos rectngulos de catetos 5 y 12. Aplicando el teorema de Pitgoras hallamos que la hipotenusa mide 13 lo cual corresponde a la longitud de los lados no paralelos del trapecio. Considerando que el permetro mide 76 m. se tiene:

    2b + 2 (13) + 2 (5) = 76 b = 20 Al considerar que B b = 10, resulta B = 30

    Aplicando la frmula para el rea de un trapecio, el rea buscada resulta

    2B b h 20 30 12A 300 m2 2

    D E C

    F

    A B

    A. 150 B. 135 C. 90 D. 60 E. 45

    B C D

    A F

    E

    En la figura, ABCF es un paralelogramo. B, C y D son colineales. Si AB = 18, AD = 30 y FE = 12. Cunto mide AE? A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 E. 25

    20.

    13

    B

    b

    13

    5 b 5

    12

  • GEOMETRA

    14

    22. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1 cm. y CE = 2 cm., entonces el rea del tringulo ADF en cm

    2 es igual a

    Dado que ABCD es un cuadrado AD y CE son paralelas, resultando que ADF ECF por el teorema de

    semejanza AA, ya que DAF CEF por ser alternos internos entre paralelas y DFA CFE por ser opuestos por el vrtice.

    De la semejanza resulta que AD DF 1 DF

    CF 2DFCE CF 2 CF

    (1)

    Como CD = CF + FD = 1, resulta 1

    DF3

    .

    Por tanto el rea buscada resulta 1 1 1 1

    [ADF] AD DF 12 2 3 6

    23. Sea ABC un tringulo issceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado AC y sea G el baricentro. Entonces el rea del tringulo ADG es A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 24

    Por ser BD mediana, D es punto medio de AC, o sea AD = DC = 8.

    Ya que ABC es issceles, BD adems de mediana

    tambin es altura, luego mADB = 90. Aplicando el teorema de Pitgoras hallamos que

    2 2BD 10 8 6

    Como G es el baricentro, BG = 2GD y como BD = BG + GD = 6, resulta GD = 2.

    Por tanto el ADG resulta ser un tringulo rectngulo con catetos de longitudes 8 y 2, por tanto su rea

    es 1 1

    [ADG] AD DG 8 2 82 2

    C 2 B

    A D

    F

    1

    E

    A. 2

    1 B.

    3

    1 C.

    4

    1

    D. 6

    1 E.

    8

    1

    B

    G

    A 8 D 8 C

    10 10

    16

    2

  • GEOMETRA

    15

    24. Sea ABC un tringulo issceles con AB = AC = 17 cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente

    de los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a AC que corta a AB en Q y una paralela a AB

    que corta a AC en R. El permetro del cuadriltero AQPR es

    Dado que QP AC y RP AB , AQPR es un paralelogramo y de ah AQ = RP y AR = QP.

    Del paralelismo de los segmentos sealados anteriormente tambin resulta que los QBP y RPC son

    semejantes con el ABC y por tanto tambin son issceles y de ah QB = QP y RP = RC. Por tanto el permetro del cuadriltero AQPR, resulta P = AQ + QP + AR + RP = (AQ + QB) + (AR + RC) = AB + AC = 17 + 17 = 34 25. De acuerdo a la informacin que se proporciona en la figura, el segmento de mayor longitud es

    Dado que la suma de los ngulos internos de un tringulo suman 180, en el ABD, resulta que el ngulo

    ABD mide 180 70 60 = 50 y en el BDC, mBDC = 180 55 60 = 65 Una de las propiedades de los tringulos indica que el lado mayor se opone al ngulo mayor y viceversa.

    Al comparar las medidas de los ngulos del ABD, resulta que el mayor mide 70 y su lado opuesto es

    BD, luego BD es mayor que AB y AD. Pero al considerar el BDC, su ngulo mayor es 65 y el lado que se le opone es BC y por tanto BC > BD. Luego el lado mayor de la figura resulta BC

    A

    70

    B

    55

    60

    60

    C D

    A

    B P C

    Q

    R A. 8.5 cm B. 17 cm C. 34 cm D. 51 cm E. 68 cm

    A. AB B. BC C. CD D. DA E. BD

  • GEOMETRA

    16

    26. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1, CMN es equiltero, El rea de CMN es igual a

    El rea de un tringulo equiltero est dada por 23x

    4, donde x es la longitud de su lado, luego debemos

    encontrar primero cuanto mide cada lado del tringulo equiltero CMN.

    Como ABCD es un cuadrado y CM = CN = x, se tiene que CDM CBN y de ah MD = NB y como

    AD = AB, resulta AM = AN y por tanto el MAN es rectngulo issceles, luego

    xMN x 2 AN AN

    2

    Como AB = 1, resulta x 2 x

    NB 1 AN 12 2

    El CBN es un tringulo rectngulo luego al aplicar el teorema de Pitgoras resulta 2

    2 2 2 22 xCN CB NB 1 x2

    Al desarrollar, simplificar y resolver la ecuacin resultante se obtiene x 6 2

    Por tanto el rea buscada es 23

    [CMN] 6 2 0.46414

    27. La siguiente figura muestra dos cuadrados de lado 1 cm., donde AEFG se ha obtenido de ABCD al girar este cuadrado 45 sobre el vrtice A. Entonces el rea sombreada es

    Al girar 45, la recta diagonal AC se convierte en la recta AB la cual equivale a la recta diagonal AF, por

    tanto A, B, F son colineales. Adems se tiene mBFH = 45 y por tanto FBH es un tringulo rectngulo issceles con FB = BH Luego [AGHB] = [AGF] [FBH]

    Por ser AEFG un cuadrado de lado 1, su diagonal mide 2 y como AB = 1, BF = BH = 2 1

    Como [AGF] tiene como rea la mitad de la rea del cuadrado, que tiene lado de longitud 1, resulta

    21 1 1 1

    [AGBH] 2 1 2 2 2 1 2 12 2 2 2

    A D

    B H C

    G E

    F

    A N B

    C D

    M

    A. 0.866 B. 0.7071 C. 0.75 D. 0.5 E. 0.4641

    A. 2 1 B. 0.5 C. 0.451

    D. 2 E. 0.375

  • GEOMETRA

    17

    28. Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo, que tambin es issceles, miden A. 30 B. 45 C. 35 D. 75 E. 60

    Por ser tringulo rectngulo issceles tiene un ngulo de 90 y los otros dos ngulos congruentes, y dado

    que la suma de los ngulos internos de un tringulo suman 180, cada uno de ellos mide 45

    29. En la figura ABCD es un cuadriltero con AD ||BC . La diagonal AC es perpendicular al lado CD .

    mBAC = 30, AC = 4 3 y AB = BC. Entonces el rea de ABCD es igual a

    Como AB = BC, el ABC es issceles con mABC = 120 y

    mBCA= 30 y su base AC = 4 3 .

    Al trazar una perpendicular desde B a AC, sea E el pie de la perpendicular. Por ser issceles, BE tambin es mediana es decir E es punto medio de AC, luego se forman dos tringulos 30 60 con las hipotenusas

    AB = BC y catetos mayor AE = EC = AC

    2 32

    Luego como el cateto mayor en un tringulo 30 60, es 3 veces el cateto menor, en este caso se tiene

    BE 2

    Como AD ||BC el BAD es el suplemento del ABC, resulta mBAD = 180 120 = 60 y como

    mBAC = 30, se tiene mCAD = 30 y de ah tambin el ADC es un tringulo 30 60 con cateto

    mayor AC = 4 3 . Como en todo triangulo 30 60, el cateto mayor es 3 el cateto menor, se tiene

    CD = 4

    Finalmente tenemos [ABCD] = [ABC] + [ACD] = 1 1 1 1AC BE AC CD 4 3 2 4 3 4 12 3

    2 2 2 2

    30. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10 cm y CD = 20 cm . Las medidas

    de los ngulos A, B y C son 30, 150 y 120 respectivamente, entonces el rea del trapecio mide

    A. 300 3 cm2. B. 400 cm

    2. C. 300 cm

    2. D. 200 cm

    2. E. 200 3 cm

    2.

    Sean B y C las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB = x, CD = y.

    Por ser BC paralela a AD, mD = 180 mC = 180 120 = 60

    El CCD es un tringulo 30 60, luego h = CC = 10 3 y

    y = CD = 10

    Tambin el ABB resulta ser un tringulo 30 60, con su cateto menor BB = h = 10 3 , luego

    10 3 3 30

    AB = 10 3 3 30

    Tenemos entonces que la base mayor mide AD = x + 10 + y = 30 + 10 +10 = 50.

    Luego el rea del trapecio resulta [ABCD] = 50 10 10 3

    300 32

    A D

    B C

    A. 6 B. 12 C. 12 3 D. 24 E. 30

    30

    30

    30

    60 60

    60

    E

    A D

    B C

    B 10 C

    20

    A x B 10 C y D

    h

    30 60

  • GEOMETRA

    18

    31. En la figura, mBAC = , mBPC = mBQC = 90. Entonces la medida de BHC es

    Como mBPC = mBQC = 90, tambin mAPH = mAQH = 90. APHQ es un cuadriltero convexo y

    en todo cuadriltero convexo la suma de sus ngulos internos es 360,

    luego mBHC + + 90 + 90 = 360 y de ah mBHC = 180 32. Si las medianas en un tringulo rectngulo, trazadas a partir de los vrtices de los ngulos agudos

    miden 5 cm y 20 cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del tringulo rectngulo es

    A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 E. 10

    Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente.

    Sean AM = 20 y CN = 5, BC = a, AB = c, luego a c

    BM y NB2 2

    .

    Sea la hipotenusa AC = b

    Aplicando el teorema de Pitgoras en los ABM y BCN

    22 2 2 2 aAM AB BM c 20

    4 (1)

    22 2 2 2 cCN NB BC a 25

    4 (2)

    Al sumar (1) y (2) resulta 2 2

    2 2 25c 5a 445 a c 45 36 b b 36 64 4 5

    B C

    P H Q

    A

    A. 180 B. C. 90 D. 2 E. 3

    N

    A

    B M C

  • GEOMETRA

    19

    33. En la figura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razn entre el lado del cuadrado menor y el lado del cuadrado mayor es 2/5. Entonces la razn entre el rea sombreada y el rea del cuadrado mayor es

    Sean b la longitud del lado del cuadrado menor y a la longitud del lado del cuadrado mayor,

    luego b 2

    a 5

    Por la simetra de la figura se deduce que el rea sombreada, es decir el trapecio ABFE, representa la

    cuarta parte de la diferencia entre los dos cuadrados, luego 1

    [ABFE] [ABCD] [EFGH]4

    2 2[ABCD] a y [EFGH] b y de ah 2 21[ABFE] a b4

    La razn buscada ser 2 2 2 2 2

    2 2 2

    1a b

    [ABFE] 1 a b 1 b4 1[ABCD] 4 4a a a

    Como b 2

    a 5 , resulta

    [ABFE] 1 4 211

    [ABCD] 4 25 100

    34. En la figura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y mBAC = 60, entonces la longitud del segmento AD es

    Al unir B con C, obtenemos un tringulo equiltero, ya que AB = AC y mBAC = 60.

    Se tiene que ABD ACE, ya que sus tres pares de lados son congruentes, de ah resulta

    mBAD = mCAD y por tanto AD es bisectriz del BAC

    Al prolongar AD, sea E el punto donde corta a BC. Luego como el ABC es equiltero, AE adems de

    bisectriz es mediatriz y por tanto AE BC y BE = EC = 2. Resulta entonces que el BED es rectngulo,

    con hipotenusa BD = 3 y un cateto, BE = 2. Por el Teorema de Pitgoras, 2 2DE 3 2 5

    Por otro lado AE es una altura en un tringulo equiltero de lado 4 y por tanto AE 2 3

    Finalmente obtenemos que AD = AE DE = 2 3 5

    A

    C B E

    D

    A a B

    D C

    H G

    E F

    b A. 1/6 B. 21/100 C. 1/3 D. 2/5 E. 4/9

    A. 2 3 5 B. 2 3 + 5 C. 1

    D. 2 E. 3.5

  • GEOMETRA

    20

    35. En la figura el cuadriltero ACDE es un trapecio tal que ED = 15 cm., AC = 24 cm y la altura es 12 cm. Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el rea del cuadriltero OBCD es

    Como ED || AC , resulta que ABO DEO, con razn de semejanza AB 12 4

    DE 15 5

    Sean a y b las alturas de los tringulos ABO y DEO respectivamente, indicadas en la figura. Dado que los

    elementos homlogos en tringulos semejantes estn en la misma razn de semejanza, se tiene a 4

    b 5 .

    Como a + b = 12 (la altura del trapecio), al considerar la razn anterior resulta 16 20

    a , b3 3

    .

    Al analizar la figura vemos que [OBCD] = [ACDE] [ABE] [DEO]

    Tenemos que el rea del trapecio ACDE resulta 24 15

    [ACDE] 12 2342

    El ABE, tiene base 12 y altura 12, luego su rea es 1

    [ABE] 12 12 722

    Para el DEO, resulta 1 20

    [DEO] 15 502 3

    [OBCD] = 234 72 50 = 112

    36. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 cm. y CE = DE = 5 cm., entonces la longitud de AE es

    A 109 cm B. 15 cm C. 11 D. 30 E. 61

    Sean F y G los puntos medios de CD y BA respectivamente. Luego CF = FD = BG = GA = 3 y FG = 6

    Como CE = DE, el CED es issceles y por tanto E, F, G son colineales y

    EF CD y EG AB.

    El CFE es rectngulo en F, luego por el Teorema de Pitgoras,

    2 2EF 5 3 4 . EG = EF + FG = 4 + 6 = 10

    El FGA tambin es rectngulo con EG = 10 y GA = 4, luego 2 2EA 10 3 109

    E 15 D

    O

    A 12 B 12 C

    12

    b

    a

    A. 112 cm 2 B. 117 cm

    2 C. 120 cm

    2

    D. 140 cm 2 E. 360 cm

    2

    E

    C F D

    B G A

  • GEOMETRA

    21

    37. En la figura, a partir de la informacin dada, cul es el valor de x? A. 76 B. 25 C. 13.2 D. 5.28 E. 5

    Se tiene A E , por dato, y ACB ECD, por ser opuestos por

    el vrtice, luego ABC EDC, por el teorema de semejanza AA.

    Luego CD BC x 66

    x 5CE AC 10 132

    38. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC . Trazamos por P paralelas a los lados del paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la figura. Sabiendo que el rea de ABCD es 40 cm

    2 , entonces el rea del cuadriltero RQMN es igual a

    Dado que RM AD BC y NQ AB DC , resulta que los cuadrilteros ANPR, PQBR, DMPN y MCQP son

    paralelogramos y los segmentos NR, RQ, QM y MN son diagonales de esos paralelogramos. Es sabido que una diagonal divide a un paralelogramo en dos tringulos congruentes, con reas igual a la mitad del

    rea del paralelogramo. Por tanto [RQMN] = 1

    2[ABCD] = 20

    Basta aplicar el teorema del cateto: 23x 6 x 12

    A

    B C

    3

    6

    x

    En el tringulo rectngulo ABC cul es la longitud del segmento BC? A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 E. 7.5

    39

    A R B

    N P Q

    D M C

    A. 10 cm 2 B 20 cm

    2 C. 30 cm

    2

    D. 40 cm 2 E. 50 cm

    2

    x

    10

    52.8 132

    66

    A

    B

    C

    E

    D

  • GEOMETRA

    22

    40. Sea ABCD un cuadrado. Por el vrtice A se traza un segmento que corta a la prolongacin del lado BC en E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 cul es la longitud de FE?

    Sea x la longitud de cada lado del cuadrado. Desde G tracemos una perpendicular a AD y sea H el pie de

    esta perpendicular. Luego AGH AFD. Como AG = 3 y GF = 1, resulta AF = 4

    De la semejanza se tiene AG AH 3 AH 3

    AH xAF AD 4 x 4

    y HD = AD AH = 3 1

    x x x4 4

    Como G esta sobre la diagonal, HG = HD = 1x4

    De la misma semejanza se tiene

    xAG HG 3 14 DF xAF DF 4 DF 3

    .

    Luego FC = DC DF = 1 2

    x x x3 3

    Como ABCD es un cuadrado, AD BC y por tanto AD CE . De ah resulta que ADF ECF

    De esta semejanza se tiene

    2x

    FE FC FE 3 FE 81FA FD 4x3

    A H D

    G

    F

    B C E

    A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 E. 6

  • GEOMETRA

    23

    3. EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS Y POLGONOS

    Tenemos que mAC mCD

    2

    Dado que mAB mBC mCD mAD 360 y mBC mAD 80 140 220 , tenemos que

    mAC mCD 140 , luego mAC mCD 140

    702 2

    2. El tringulo ABC est inscrito en un semicrculo de dimetro AB. Si AC = 8 y BC = 6, el rea de la regin sombreada tiene un valor de A. 15.27 B. 24 C. 36.37 D. 61.07 E. 48 El rea sombreada es la diferencia entre el rea del semicrculo y el rea del tringulo.

    El ABC es rectngulo en C, por estar inscrito en un semicrculo.

    Luego por el Teorema de Pitgoras, 2 2AB 8 6 10 r = 5

    Por tanto el rea del semicrculo es 2 21 1 25r 5

    2 2 2

    El rea del tringulo est dada por 1 1AC BC 8 6 24

    2 2

    El rea buscada es A = 25

    24 15.272

    3. El tringulo ABC est inscrito en un semicrculo de dimetro AB. Si AC = 8 y CD = 4.8, el rea de la regin sombreada tiene un valor de A. 15.27 B. 24 C. 36.37 D. 61.07 E. 48

    Por el Teorema de Pitgoras, 2 2AD 8 4.8 6.4

    Como el ABC es rectngulo en C, se tiene por el teorema del cateto

    2 2 64AC AB AD 8 AB 6.4 AB 106.4

    . Y de nuevo por el Teorema de Pitgoras resulta

    BC = 6. Dado que estos valores coinciden con los datos del ejercicio anterior, el rea resulta la misma.

    En la figura de la derecha si la medida de los arcos AD y BC son 140 y

    80 respectivamente, entonces el valor de es A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 E. 80

    A

    B

    C

    D

    1.

    A D B

    C

    A B

    C

  • GEOMETRA

    24

    Sea la medida del ngulo central XOZ. La longitud de un arco est dada por

    s = r, con el ngulo medido en radianes.

    Tenemos s = y r = 2, luego s

    r 2

    , es decir 90

    Luego XOZ es un tringulo rectngulo issceles con XZ como hipotenusa y por

    tanto XZ = 2 2

    5. En la figura el rea del crculo mayor es 1 m

    2. El crculo menor es tangente internamente al crculo

    mayor y tambin es tangente a los lados del ngulo inscrito que mide 60. El vrtice del ngulo inscrito y los centros de los crculos estn alineados. Entonces el rea del crculo menor es

    Desde el vrtice del ngulo inscrito, trazamos un dimetro. Sean O y O los centros de los crculos, mayor y menor respectivamente. Sea B el otro extremo del dimetro trazado, C el punto donde uno de los lados (el arriba) del ngulo corta a la circunferencia. Y sea D el punto de tangencia de este lado del ngulo con el crculo menor. Sean R y r los radios de los crculos, mayor y menor respectivamente. Tenemos que AO biseca al ngulo inscrito, luego

    mOAD = mBAC = 30.

    Como AB es un dimetro del circulo mayor, mACB = 90 resultando que mABC = 60, y el ABC es 30 60.

    Dado que AB = 2R, se obtiene que BC = R, ya que BC es el cateto menor y AB la hipotenusa del ABC

    Como AC es tangente al crculo menor en D, AD DO, es decir mADO = 90 y de ah mAOD = 60

    Luego tambin el AOD es un tringulo 30 60 y su cateto menor OD = r, mide la mitad de su hipotenusa, AO. Se tiene OB = r, por ser radio del circulo menor y de ah AO = AB OB = 2R r.

    Luego AO = 2 OD 2R r = 2 r 2

    r R3

    .

    Como el rea del crculo mayor es 2R 1 , el rea del crculo menor es

    2

    2 22R 4 4r R3 9 9

    X

    Y

    Z La circunferencia de la figura tiene radio 2 y el arco XYZ tiene

    longitud . Cunto mide la cuerda XZ?

    A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 2

    E.

    4.

    A. 2

    1 B.

    9

    4 C. D. 2 E.

    2

    1

    .

    X Z

    O

    C

    A O O B

    D

  • GEOMETRA

    25

    Como TP es tangente a la circunferencia en T, mPTC = 90. Luego aplicando el teorema de Pitgoras

    resulta 2 2 2PC 2r r 5r r 5

    Como el rea sombreada nicamente son los extremos y estos son semicrculos, al unirlos se forma un

    circulo de dimetro 8, es decir de radio 4, luego 2 2A r 4 16

    Dado que m AB = 50, se tiene mBCA = 1mAB2

    = 25, por ser ngulo inscrito que subtiende dicho

    arco; mABC = 90, por estar inscrito en una semicircunferencia (___

    AC es dimetro). Luego la medida del

    ngulo buscado es: mBAC = 180 mBCA mABC = 180 25 90 = 65

    C Q

    P T

    En la figura C es el centro de la circunferencia de radio r y

    __

    TP es un segmento tangente en T, de longitud 2r, entonces PC mide

    A. r 2 B. r 3 C. 3r D. r 5 E. 5r

    6.

    r

    2r

    10

    8

    Los extremos de la figura son semicrculos, Cul es el rea de la regin sombreada?

    A. 80 B. 8 C. 10 D. 16 E. 16 + 80

    7.

    O

    A

    B

    C

    En la figura ___

    AC es un dimetro. Si m AB = 50, entonces m BAC = ?

    A. 25 B. 50 C. 65 D. 90 E. 130

    8.

  • GEOMETRA

    26

    El rea de la regin sombreada es la diferencia entre el rea del cuadrado formado y las reas de los cuatro sectores circulares que se forman. Dado que la distancia entre los centros de dos crculos tangentes exteriormente, es la suma de las longitudes de los radios, resulta que el cuadrado formado tiene lado de longitud 20 y por tanto el rea del cuadrado es 400.

    Cada sector formado tiene un ngulo central de 90, luego entre los cuatro forman un circulo de radio 10,

    cuyas reas suman entonces 2 2r 10 100

    Por tanto el rea buscada es: A = 400 100

    Dado que BPA es un ngulo exterior, formado por dos secantes, su medida es la semidiferencia de los las medidas de los arcos que intercepta.

    Es decir mCD mAB

    m BPA2

    . De esta expresin despejamos mAB , resultando mCD 2 m BPA mAB

    Introduciendo los datos se obtiene mCD 2 35 30 100

    Por otro lado se tiene que el DAC es un ngulo inscrito que subtiende el arco DC, luego

    1 1m DAC mCD 100 50

    2 2

    En la figura, los crculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los centros de los crculos se forma un cuadrado. Cul es el rea de la regin sombreada?

    A. (400 100) B. 400 100 C. 100 400

    D. 400 100 E. 400 400

    9.

    D B

    P

    A

    C

    En la figura, la medida del arco AB es 30, y la medida del

    BPA es 35. Las medidas del arco CD y el ngulo DAC (en grados) son respectivamente A. 100 y 25 B. 50 y 50 C. 100 y 50 D. 50 y 25 E. 25 y 50

    10.

  • GEOMETRA

    27

    11. La expresin (p + q) p = (r + s) r, se cumple en la situacin representada por

    Al recordar las relaciones mtricas en una circunferencia, vemos que los productos de esta forma surgen cuando se tienen dos secantes que se cortan (tambin aparecen cuando hay semejanzas de tringulos) o una secante y una tangente que se cortan. A partir de estas relaciones tenemos:

    En la figura A, la relacin es 2r s s p En la figura B, la relacin es r (r + s) = p (p + q), la cual es la misma expresin dada. La respuesta es sta. Para estar ms seguros vemos que resulta en las otras.

    En la figura C, la relacin es r s = p q y en la figura C, 2r p p q , que son diferentes a la dada. Solo B satisface y por tanto es la respuesta.

    12. En la figura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes. DAyCD son dimetros de las

    circunferencias menores. El punto B est en la semicircunferencia mayor. BD CA . Si BD = 2, entonces el rea sombreada es igual a

    El rea de la regin sombreada es la diferencia entre el rea del semicrculo exterior menos las reas de los semicrculos interiores.

    Sean 1 2r , r , R los radios del semicrculo menor, del semicrculo mediano y del semicrculo exterior

    respectivamente. Luego CD = 12r , DA = 22r y CA = 2 R

    Como CA = CD + DA, se tiene 2R = 1 22r 2r o sea R = 1 2r r (1)

    Al unir B con A y con C, se forma un tringulo rectngulo, con CA como hipotenusa y BD como altura relativa a la hipotenusa.

    Por el teorema de la altura, 2 21 2 1 2BD CD DA 2 2r 2 r r r 1 (2)

    Como el rea de un semicrculo est dada por 21r

    2 , el rea buscada es 2 2 21 2

    1A R r r2

    Al considerar (1) 2 2 2 2

    1 2 1 2 1

    1 1A [ r r r r )] r2 2

    21 2 22r r r 21r

    22r 1

    2 2 1 2r r

    Al considerar (2) 1 2A r r

    r

    r r

    r

    s s

    s

    p

    p p p

    s q

    q

    q

    q

    A B C D

    C D A

    B

    A. 1 B. C. 2 D. 4

    3 E.

    4

    9

  • GEOMETRA

    28

    13. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la figura. La medida del BAC es

    El BAC es un ngulo inscrito en una circunferencia, por tanto su medida es la mitad de la medida del arco que subtiende, en este caso el arco BC.

    Tenemos que mBC 360 mAB mAC 360 110 130 120 , luego mBAC =1mBC 602

    14. En la figura, BC une los centros de los crculos tangentes. AB BC , BC = 8 y AC = 10, entonces la longitud de la circunferencia pequea es igual a

    Sean R y r los radios de las circunferencias grande y pequea respectivamente. Como las circunferencias son tangentes exteriormente, R + r = BC = 8

    Dado que el ABC es rectngulo en B, tenemos 2 2R AB 10 8 6 y r = 2.

    Luego la longitud de la circunferencia pequea resulta C = 2 r = 4

    Todo hexgono regular puede dividirse en seis tringulos equilteros congruentes. En la figura se indica que x equivale al doble de la altura de cada triangulo: x = 2h

    Como el lado de cada triangulo mide 6 3 , las alturas miden 3

    h 6 3 9 x 2h 182

    x

    36

    15.

    A

    B C

    A

    B

    C

    130 110

    A. 55 B. 60 C. 65 D. 110 E. 130

    A. B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

    La figura representa un hexgono regular, cul es el valor de x?

    A. 3 3 B. 6 3 C. 6 D. 18 E. 9 3

  • GEOMETRA

    29

    Si llamamos 1A al rea del cuadrado mayor, 2A al rea del cuadrado menor y 3A al rea del crculo, el

    rea de la regin sombreada resulta 1 2 3A A A A

    El lado del cuadrado mayor mide 0.4, luego su rea es 1A = 0.16

    Como B es punto medio AB = 0.2. Los tringulos que se forman en cada esquina del cuadrado mayor, son rectngulos issceles, y sus hipotenusas forman los lados del cuadrado menor, por tanto, el lado del

    cuadrado menor resulta 0.2 2 y su rea es 2A =

    2

    0.2 2 0.08

    Como el circulo est inscrito en el cuadrado menor, su dimetro es el lado de dicho cuadrado, y su radio

    es la mitad o sea r = 0.1 2 , su rea 2

    23A r 0.1 2 0.0628

    Luego A = 0.16 0.08 +0.0628 =0.1428

    Dado que PB y PC son segmentos tangentes a la circunferencia de la izquierda, desde un mismo punto, son congruentes, luego PC = PB = 19. Como AC = AP + PC, AP = AC PC = 31 19 = 12. 18. Seis tringulos equilteros de 1 cm. de lado se unen para formar un hexgono como se muestra en la figura. Se circunscribe un crculo alrededor del hexgono cul es el rea de la regin sombreada?

    Tenemos que el rea de la regin sombreada es el rea del circulo menos el rea del hexgono.

    El radio del circulo es la longitud del lado de los tringulos, es decir r = 1, luego su rea es 2r

    El rea de cada tringulo equiltero es 23x

    4, donde x es el lado del tringulo, y como el lado mide 1, se

    reduce a 3

    4. Como hay seis tringulos, el rea del hexgono es

    3 3 364 2

    Por tanto el rea de la regin sombreada es A = )2

    3( cm

    2

    A B

    P

    D

    C

    Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las circunferencias en los puntos A, C, B y D. Si AC = 31, PB = 19 Cul es el valor de AP?

    A. 6 B. 12 C. 15 D. 25 E. 50

    17.

    0.4 La figura representa un crculo inscrito en un cuadrado que a su vez est inscrito en otro cuadrado. B es punto medio de AC Cul es el rea de la regin sombreada?

    A. 0.025 B. 0.048 C. 0.1428 D. 0.153 E. 0.1582

    A

    B

    C

    A. )2

    3( cm

    2 B. )

    2

    33( cm

    2 C. )

    2

    3( 2 cm

    2

    D. 3

    3cm

    2 E. )3( 32 cm

    2

    16.

  • GEOMETRA

    30

    19. Un tringulo ABC est inscrito en una circunferencia como se muestra en la figura.

    Se tiene m A = 50 y m C = 60. Se trazan tangentes por A, B y C de manera que se forma el tringulo circunscrito ABC. Entonces la medida del ngulo A es: A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 E. 120

    Como BA y CA son tangentes a la circunferencia, los ABC y

    ACB son ngulos semiinscritos que subtienden el arco BC y el ngulo A es un ngulo inscrito que subtiende el mismo arco. Por tanto estos ngulos son congruentes, es decir

    mABC = mACB = mA = 50

    Luego al considerar el ABC, se tiene

    mA = 180 mABC mACB = 180 50 50 = 80

    20. El tringulo ABC es equiltero y sus lados AC y BC son tangentes a la circunferencia con centro en

    O y radio 3 . El rea del cuadriltero AOBC es

    A. 3 B. 6 C 3 3 D. 6 E. 12

    Se tiene OC AB, ya que los tringulos OAB y ABC son issceles.

    Tambin OAC OBC, ya que sus tres lados son congruentes. Como

    adems el ABC es equiltero, mACO = 30, luego el OAC es un

    tringulo 30 60 y de ah resulta que OC = 2 3 y AC = 3.

    Tenemos entonces [AOBC] = 2[OAC] = 1

    2 3 3 3 32

    21. Si un ngulo central de 30 en una circunferencia intercepta un arco de 6 m de longitud, entonces el radio de la circunferencia mide

    A. /36 B. /6 C. D. 36/ E. 180

    Se tiene s = r , donde s es la longitud del arco, r el radio de la circunferencia y es el ngulo central

    correspondiente, medido en radianes. Como = 30 equivale a /6 radianes, tenemos

    366 r r

    6

    C

    C B

    B

    A

    A

    50

    A

    B

    O C

    3

  • GEOMETRA

    31

    22. En la figura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexgono regular de lado 1. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el rea de la regin sombreada es A. 0.5 B. 0.866 C. 1 D. 1.5 E. 2

    En vista que el hexgono tiene lado 1 y la circunferencia tiene radio 1, el centro del hexgono es un punto de la circunferencia. La regin sombreada puede descomponerse en dos tringulos que tienen la misma base y la misma altura que los tringulos que forman el hexgono.

    Luego el rea buscada es A = 2 23 31 0.866

    4 2

    Sean 1r el radio del semicrculo mayor, 2r el radio del semicrculo mediano y 3r el radio del semicrculo

    menor. Se tiene 1 2 2 1 1AB 3

    r , BC 2r 2AB r AB, 2r AB BC 3AB r AB2 2

    Luego las reas de estos semicrculos son:

    Semicrculo mayor: 2

    2 21

    1 1 3 9r AB AB

    2 2 2 8

    Semicrculo mediano: 2 221 1

    r AB2 2

    Semicrculo menor:

    2

    2 23

    1 1 AB 1r AB

    2 2 2 8

    El rea no sombreada est dada por: rea del semicrculo mayor ms el rea del semicrculo mediano menos el rea del semicrculo menor o sea

    rea no sombreada = 2 2 2 29 1 1 3AB AB AB AB

    8 2 8 2

    El rea sombreada est dada por: rea del semicrculo mayor menos el rea del semicrculo mediano ms el rea del semicrculo menor o sea

    rea sombreada = 2 2 2 29 1 1 3AB AB AB AB

    8 2 8 4

    La razn buscada resulta

    2

    2

    3AB

    Area sombreada 143Area no sombreada 2AB

    2

    A B C

    Los arcos AB y BC son semicrculos cuyos centros estn sobre un dimetro del crculo que se muestra en la figura. Si BC = 2 AB, entonces la razn entre el rea de la regin sombreada y el rea de la regin no sombreada es:

    A. 2 B. 2

    3 C. 1 D.

    3

    2 E.

    2

    1

    23

    O O A

    C

    B

  • GEOMETRA

    32

    24. Una moneda circular de radio 1, est sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas ms grandes de igual tamao alrededor de ella, cul es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos adyacentes y a la de radio 1?

    A. 1 B. 1 + 2 C. 2 D. 2 + 2 E. 2.5

    Sea R el radio de las monedas grandes. Como estas monedas son tangentes a las monedas adyacentes y a la vez son tangentes a la moneda pequea, al unir los centros de las monedas grandes se forma un cuadrado de lado 2R. Al trazar una diagonal, esta debe pasar por el centro de la moneda pequea, la cual tiene dimetro 2, luego la longitud de la diagonal resulta 2R + 2.

    Por tanto, dado que en todo cuadrado de lado x, su diagonal mide 2 x , se

    cumple en este caso que

    Al racionalizar el denominador obtenemos R 2 1

    25. En la siguiente figura ABC y AEB son semicrculos, F es el punto medio del dimetro AC, B es punto medio del arco AC y AF = 1Cul es el rea de la regin sombreada?

    El rea de la regin sombreada resulta de la diferencia entre el semicrculo AEB y el segmento circular determinado por la cuerda AB en el semicrculo ABC.

    Como F es el punto medio del dimetro AC, B es punto medio del arco AC, resulta BF AC, luego el

    ABF es un tringulo rectngulo issceles de cateto 1 y por tanto AB = 2

    AB es dimetro del semicrculo AEB, luego su radio es 2

    2 y el rea de este semicrculo resulta

    2

    1

    1 2A

    2 2 4

    El rea del segmento circular, est dada por la diferencia entre el rea del sector circular que lo contiene y el rea del tringulo determinado por la cuerda y los radios extremos.

    En este caso el sector circular correspondiente tiene ngulo central de 90 y radio 1, por tanto su rea es

    la cuarta parte del rea de un crculo de radio 1 o sea 1

    4 y el tringulo correspondiente tiene base 1 y

    altura 1, luego su rea es 1

    2. El rea del segmento circular resulta 2

    1 1A

    4 2

    Finalmente el rea buscada es 1 21 1

    A A A4 4 2 2

    A. 1/2 B. 2 C. /4 D. 3/4 E. /4 1/2

    A

    B

    F C

    E

    R R

    R

    2

    R

    R

    R

    12R 2 2 2R 2R 2 2 2R 2 2 2 R 2 R2 1

  • GEOMETRA

    33

    26. Si el radio de un crculo aumenta en unidades, cunto aumenta su permetro?

    A. B. 2 C. 3 D. 2 E. 2

    2

    Sean L y L los permetros del crculo original y el crculo con el radio aumentado, respectivamente.

    Luego 2L 2 r y L ' 2 r 2 r 2

    El aumento es la diferencia = L L = 2 22 r 2 2 r 2 27. Dos semicrculos de radio 3 estn inscritos en un semicrculo de radio 6 como se muestra en la figura. Un crculo de radio r es tangente a los tres semicrculos. Cunto vale r ?

    Cuando se tienen crculos tangentes exteriormente, la distancia entre los centros es la suma de los radios, y cuando son tangentes interiormente, la distancia entre los centros es la diferencia entre los radios. Adems en ambos casos los centros y el punto de tangencia estn alineados.

    Sean A, B, C y D los centros de los semicrculos y del crculo interior como se muestra en la figura.

    Se tiene AB = AD = 3 + r, CA = 6 r, BC = CD = 3. Como ABD es issceles y C es punto medio de BD,

    AC BC, luego el ABC es rectngulo en C y por tanto sus lados cumplen con el teorema de Pitgoras.

    Luego 2 2 23 r 6 r 3 9 26r r 236 12r r 9 18r 36 r 2

    r

    r r A

    3 3

    B C D

    A

    B 3 C

    3 + r 6 r D 3 3

    r

    A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 E. 3

    r r +

  • GEOMETRA

    34

    Como el ABC es rectngulo en C, aplicamos el Teorema de Pitgoras para hallar BC:

    2 2 2 2BC AB AC 5 3 4

    Como BC es dimetro del crculo, se tiene r = 2 y su rea resulta 2A r 4

    30. El lado mayor del rectngulo de la figura mide 20. La curva trazada en su interior est formada por cinco semicircunferencias cul es la longitud de la curva?

    Se observa que la curva est formada por 5 semicircunferencias, cuyos dimetros suman 20, luego cada

    dimetro mide 20 5 = 4 y los respectivos radios la mitad o sea 2 unidades.

    Luego L = 1

    5 2 r 5 r 5 2 102

    Al considerar el crculo central y dos crculos externos contiguos, vemos que encierran la sexta parte del rea buscada. Vemos tambin que esta fraccin corresponde al rea de un tringulo equiltero de lado 2 menos tres sectores circulares de radio 1 y de 60 cada uno, que juntos forman un semicrculo de radio1. Luego

    A = 6 [ 2 23 12 14 2

    ] = (6 3 3) u2

    En la figura los crculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1. Cunto vale el rea de la regin sombreada?

    A. 6 3 3 B. 3 3 2 C. 2 1

    D. 6 3 1 E. 6 3

    28.

    B O C

    A En la figura, m BCA = 90, BA = 5 y AC = 3. Cul es el rea del crculo con centro en O?

    A. 16 B. 8 C. 6 D. 5 E. 4

    29.

    A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 E. 5

  • GEOMETRA

    35

    Sea r el radio de la circunferencia buscado. Sean A y C los centros de las circunferencias, pequeo y grande respectivamente. Desde A y C trazamos perpendiculares a los segmentos perpendiculares iniciales, formando el cuadrado rotulado en la figura como ABCD. Sean E, F, G y H los puntos donde estas perpendiculares cortan a los segmentos perpendiculares, como se indica en la figura. Tenemos que AE = AG = DH = BF= 1, el radio de la circunferencia pequea. Como CH = BG = CF = r, tenemos que CD = CB = BA = DA = r 1, luego por esto y la perpendicularidad anterior ABCD es un cuadrado.

    Como las circunferencias son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centros es la suma de sus radios, es decir AC = r + 1.

    Luego el ABC es un tringulo issceles, rectngulo en B, con AB = BC = r 1 y AC = r + 1.

    Luego AC = 2 AB, es decir r + 1 = 2 (r 1).

    Al despejar r, se obtiene r = 3 + 2 2

    32. Tres crculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la figura. Cul es el rea de la regin sombreada?

    Rotulemos los puntos extremos de la regin sombreada, como se muestra en la figura, vemos que se forma un rectngulo. En los extremos de la regin se tienen dos semicrculos, que juntos forman un circulo. Luego la regin sombreada es la diferencia entre las reas del rectngulo y los dos crculos que se forman. Dado que el radio de los crculos es 1, AD = 2 y AB = 4.

    Luego A = 2A 2 4 2 1 8 2

    A. 8 2 B. 4 C. 12 3 D. 8 3 E. 4 +

    A 4 B

    D C

    2

    La figura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas circunferencias, las cuales son tangentes entre s. Si el radio de la circunferencia pequea mide 1, entonces el radio de la circunferencia ms grande mide

    A. 3 + 2 2 B. 4 C. 6 D. 4 + 2 2 E. 8

    31.

    G A B

    H D C

    E F

  • GEOMETRA

    36

    33. La figura muestra un hexgono regular inscrito en un crculo. Si el rea del crculo es 1, cunto mide el rea del tringulo ABC?

    Se observa que los tringulos ABC y ABO tienen la misma rea, ya que tienen la misma base y la misma

    altura. Por ser un hexgono regular el ABO es un tringulo equiltero de lado igual al radio del crculo.

    Como el rea del circulo es 1, se tiene 21

    r 1 r

    Luego el rea del tringulo es

    23 1 3

    [ABC]4 4

    34. Qu polgono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados? A. Pentgono B. Hexgono C. Octgono D. Decgono E. Dodecgono

    Como el nmero de diagonales en un polgono est dado por n n 3

    D2

    , donde es el nmero de lados

    del polgono.

    Luego

    2 2n n 3

    n n 3n 2n n 5n 0 n n 5 0 n 52

    . Se descarta n = 0, por

    carecer de sentido. Por tanto el polgono buscado es un pentgono.

    35. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si mDEC = k (m BOA), entonces el valor de k es:

    Trazamos el radio OD y vemos que el ODE es issceles ya que OD = ED = r, luego DEC DOC.

    Como elDEC es un ngulo exterior con sus lados secantes a la circunferencia, su medida est dada por

    mAB mCDm DEC

    2

    . (1)

    Como los ngulos BOA y DOC, sus medidas estn dadas por m BOA mAB y m DOC mDC m DEC

    Se tiene mDEC = k (m BOA) = k mAB mDC

    Sustituyendo en (1): mAB k mAB 1

    k mAB 2k mAB mAB k mAB 3k 1 k2 3

    A O C E

    B

    D

    A. 3

    1 B.

    2

    1 C. 1 D. 2 E. 3

    A B

    C O A.

    6

    1 B.

    6

    C.

    4

    3 D.

    4

    3 E.

    12

  • GEOMETRA

    37

    36. Si se aumenta el radio de un crculo en un 100%, en qu porcentaje aumenta su rea?

    A. 50% B. 100% C. 200% D. 100% E. 300% Si el radio original es r, el circulo con el radio aumentado, tiene radio 2r.

    Se tiene 22 2

    1 2A r y A 2r 4 r

    El aumento est dado por 2 2 22 1A A A 4 r r 3 r

    Porcentaje de aumento:

    2

    1

    3 rA100%

    A

    2r100% 300%

    37. Se tienen tres crculos concntricos de radios 1, 2 y 3 respectivamente. Cul es la razn entre el rea de la regin cuadriculada y el rea de la regin oscura?

    El circulo pequeo tiene rea , ya que su radio es 1.

    El crculo mediano tiene rea 4, ya que su radio es 2

    El crculo grande tiene rea 9, ya que su radio es 3. .

    rea de la regin oscura = rea del circulo grande rea del circulo mediano = 9 4 = 5

    rea de la regin cuadriculada = rea del circulo mediano rea del circulo pequeo = 4 = 3

    rea de la regin cuadriculada 3 3

    rea de la regin oscura 5 5

    38. El segmento AB es dimetro de una circunferencia de radio 1 y lado del tringulo equiltero ABC. Si la circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es:

    A. 1 B. 3 C. 2

    3 D.

    3

    5 E.

    2

    32

    Como mAEB = 90, AE es una altura del tringulo equiltero

    ABC. Como el radio es 1, AB = 2, luego AE = 32 3

    2

    (En todo tringulo equiltero de lado x, la altura mide 3x

    2 )

    A. 3

    2 B.

    5

    3 C.

    9

    4 D.

    25

    9 E. 2

    C

    A O B

    D E

  • GEOMETRA

    38

    39. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre s. Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide:

    A. 11 B. 12 C. 13 D. 184 E. 192

    Sean CD = 10 y AB = 14, las cuerdas dadas. Como la distancia entre ellas es 6, la cuerda paralela equidistante de ellas est a 3 unidades de cada una. Sea EF la cuerda buscada. Inicialmente no sabemos la posicin de las cuerdas con respecto a un dimetro paralelo a ellas. Comencemos asumiendo que estn al mismo lado del dimetro paralelo, como se muestra en la figura. Al trazar desde el centro una perpendicular a las cuerdas, esta pasa por el punto medio de cada cuerda. Sean P, Q, R los puntos medios de las cuerdas, como se muestra en la figura. Se tiene PB = 7, RD = 5. Sea QF = y, la longitud de la cuerda buscada es EF = 2y

    Supongamos que la cuerda AB est a x unidades del centro. Se forman tres tringulos rectngulos, todos ellos con hipotenusa igual al radio de la circunferencia.

    Al aplicar el teorema de Pitgoras en cada uno ellos se forma el siguiente sistema de ecuaciones 2 2 2 2

    2 2 2

    2 2

    r x 12x 36 25 r x 12x 61

    r x 6x 9 y

    r x 49

    Restando la tercera ecuacin de la primera

    2 2

    2 2

    r x 12x 61

    r x 49

    12x = 12 x = 1

    El valor negativo de x, nos indica que las cuerdas estn en lados opuestos del dimetro paralelo a las cuerdas.

    Sustituyendo el valor de x en la tercera ecuacin, obtenemos 2r 50

    Sustituyendo el valor de x y 2r en la segunda ecuacin obtenemos

    50 = 1 6 + 9 + 2y y 46 y EF = 2y = 2 46 184

    R 5 D Q y F P 7 B

    O

    O

    O

    x x +3 r r

    x + 6 r

    C R 5 D

    E Q y F

    A P 7 B

    x

    O

    3

    3

  • GEOMETRA

    39

    40. Un tringulo equiltero y un hexgono regular estn inscritos en el mismo crculo. Si se divide el rea del hexgono entre el rea del tringulo se obtiene:

    A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 E. 3

    Al observar el grafico fcilmente se deduce que el rea del hexgono es el doble del rea del tringulo. Esto puede verificarse considerando que el lado de un tringulo equiltero inscrito en un crculo de radio

    r, est dada por 3 r y por tanto su rea es 2

    21

    3 3 3A 3 r r

    4 4

    Tambin se tiene que el lado de un hexgono inscrito es igual al radio de la circunferencia, luego su rea

    es 226 3

    A r4

    , luego

    2

    2

    1 2

    6 3rA 4 2

    A 3 3r

    4

    41. El rea del crculo circunscrito a un hexgono regular es 2 cm2. Entonces el rea del hexgono, en

    cm2 es

    A. 6 B. 3 3 C. 4 2 D. 2 6 E. 2

    63

    Tenemos que el radio del crculo es 2 2r 2 r 2

    Como el hexgono est inscrito su lado mide r, luego su rea es 6 3

    A 2 3 34

    42. En una circunferencia se trazan tres cuerdas con las siguientes longitudes: C1: 3.05, C2: 3.50 y C3: 0.305. Cul de las siguientes es una lista de las cuerdas en el orden en que se incrementa la distancia desde el centro de la circunferencia a la cuerda? A. C1C2C3 B. C3C1C2 C. C2C3C1 D. C2C1C3 E. C3C2C1 La cuerda de mayor longitud est ms cerca del centro y la de menor longitud est ms alejada.

    Luego como 2C 3.5 es la que est ms cerca y le sigue 1C 3.05 y la ms alejada es 3C 0.305

    Por tanto el orden en que se incrementa la distancia es 2 1 3C C C

  • GEOMETRA

    40

    43. En la figura, ABDE es un cuadrado de lado 1. Los arcos EB y DC tienen centro en A. Entonces el rea sombreada mide:

    A. 2

    1 B.

    42

    1 C.

    42

    1 D.

    8

    2

    1 E.

    4

    1

    La regin EDB es la diferencia entre el rea del cuadrado y el rea del

    cuadrante ABE, es decir [EDB] = 2 21 1 14 4

    El rea de la regin DBC es la diferencia entre el sector circular ACD y el

    tringulo rectngulo ABD, cuya rea es 1

    2.

    El sector circular tiene radio AD, el cual es la diagonal del cuadrado y por

    tanto AD = 2 y su ngulo central es 45, es decir la octava parte de un circulo de

    radio 2 .

    Luego [BCD] = 2 1 1

    28 2 4 2

    Finalmente se tiene [EBCD] = [EDB] + [BCD] = 1 1

    14 4 2 2

    Si tomamos tres vrtices como se indica en la figura, se forma un tringulo rectngulo con catetos AB = 8 y AC = 24, la hipotenusa es el dimetro del crculo.

    Por el teorema de Pitgoras 2 2BC 8 24 8 10 , luego r = 4 10 y el rea del crculo es 2r 160

    El polgono est formado por 5 cuadrados de lado 8 y su rea es 25 8 320

    Luego el rea sombreada es 160 320 = 160 ( 2)

    El polgono de la figura tiene todos sus lados congruentes de longitud 8, sus lados consecutivos son perpendiculares y ocho vrtices estn sobre la circunferencia. Entonces el rea de la regin sombreada mide

    A. 144 320 B. 160 ( 2) C. 144 320 D. 320(2 1) E. 80( 2)

    44. A B

    C

    A B C

    E D

    A B C

    D

  • GEOMETRA

    41

    Al tomar el centro del semicrculo grande (A), el de un semicrculo mediano (B) y de un crculo pequeo (C), se forma un tringulo, en el cual AB = 2, BC = 2 + r y AC = 4 r Al considerar el punto de tangencia entre los crculos pequeos, por la simetra de la figura CT es

    paralela al dimetro y mCTA = 90, formndose el tringulo rectngulo ATC con AT igual a la altura del

    ABC, CD: AT = CD y CT = r. De ah resulta que ACT CAD (teorema hipotenusa cateto), luego AD = CT = r. Se tiene AB = 2 y DB = 2 r

    Por el Teorema de Pitgoras 2 2AT 4 r r 16 8r CD

    En el CDB se tiene 2 2

    2 r 16 8r 2 r 4 24r r 16 8r 4 24r r 16r 16 r 1

    46. El ABC es un tringulo rectngulo con el ngulo recto en C. Se traza la altura relativa a la hipotenusa y se inscriben dos circunferencias en los tringulos que se forman. Si los radios de estas

    circunferencias son 2 y 4 respectivamente, calcule el radio de la circunferencia inscrita en el ABC.

    Como el ABC es rectngulo en C y CD es la altura relativa a

    la hipotenusa, se tiene que ABC ACD CBD. Como en los tringulos semejantes, todos los elementos homlogos estn en la misma razn de semejanza en la que estn los tringulos, la razn de semejanza entre los tringulos CBD y ACD es la misma razn entre los radios de sus circunferencias inscritas, que en este ejercicio es 4 a 2,

    A D B

    C

    A. 52 B. 3 C. 25 D. 6 E. 8

    45. Dos semicrculos de radio 2 estn inscritos en un semicrculo de radio 4 como se muestra en la figura. Dos crculos de radio r, son tangentes a dos semicrculos y entre ellos. Cunto vale r ?

    r

    A. 2

    1 B. 1 C.

    2

    3 D. 2 E.

    2

    5

    C

    A B

    T

    A D B

    T r C

    A

    4 r 4 r 2 + r

    C C

    D B

    2 + r

    2 r

    A D B

    C

  • GEOMETRA

    42

    es decir 2 a 1. De manera que todos los elementos del CBD son el doble de los elementos

    correspondientes del ACD. Dado que las reas estn en proporcin segn el cuadrado de la razn de semejanza, se tiene [CBD] = 4 [ACD] y como [ABC] = [ACD] + [CBD] = 5 [ACD], la razn de semejanza entre los tringulos

    ABC y ACD es 5 y por tanto el radio de su circunferencia inscrita es 5 veces el radio de la

    circunferencia inscrita o sea 2 5

    Al unir los centros de los crculos se forma un tringulo equiltero de lado 2. Observamos que h es igual a dos veces el radio de los crculos ms la altura del tringulo equiltero, la cual como el lado mide 2, es

    igual a 3 , luego h = 2 + 3 .

    48. Tres semicrculos iguales, de radio R, tienen sus centros en los puntos colineales A, B y C tales que cada uno de estos puntos se encuentra sobre uno de los semicrculos. Se traza un cuarto crculo con centro D (el crculo sombreado) tal que es tangente a los tres semicrculos, tal como se muestra en la figura. Si r es el radio del crculo pequeo, la razn R a r es: A. 4:1 B. 15:4 C. 11:3 D. 10:3 E. 3:1

    Al considerar el ABD, se tiene un tringulo rectngulo con AB = R, BD = R r y AD = R + r. Por el teorema de Pitgoras,

    2 22 2 2 2 2AD AB BD R r R R r R 22Rr r 2R 2 2R 2Rr r

    2 R4Rr R 4r

    El rea sombreada es la diferencia entre el rea del tringulo y el segmento circular que forma por la interseccin entre el tringulo y el

    crculo. Este segmento circular tiene un ngulo central de 60, ya que el

    ngulo inscrito mide 30, y un radio de 6, ya que el OAB es equiltero.

    A B C

    D

    30 6

    8

    8

    49. Cul es el rea de la regin sombreada, redondeada al entero ms cercano? A. 12 B. 16 C. 19 D. 22 E. 24

    h

    47. Si cada crculo tiene radio 1, y son tangentes entre si y a las lneas paralelas como se muestra en la figura Cunto mide h?

    A. 3 B. 3 2 C. 4 D. 2 + 3 E. 3 3 r

    r

    30 6

    8

    8

    60

    A

    B

    O

  • GEOMETRA

    43

    El rea del segmento circular es el rea del sector circular menos el rea del tringulo equiltero:

    2 21 36 6 6 9 36 4

    Para el rea del tringulo usamos la frmula de Hern: A s s a s b s c , donde s es el

    semipermetro. Tenemos 6 8 8

    s 112

    , luego A 11 11 6 11 8 11 8 3 55

    Luego el rea buscada es 3 55 (6 9 3 ) = 18.9885 19

    50. Los semicrculos de la figura tienen su centro sobre el segmento AB. Si el segmento CD es paralelo al segmento AB y CD = 24, Cul es el rea de la regin sombreada?

    Sean R y r los radios del semicrculo grande y del semicrculo interior respectivamente.

    El rea buscada es la diferencia entre las reas de los semicrculos o sea 2 2R r2

    Sea O el centro del semicrculo y E el punto medio de la cuerda CD. Luego OE CD, OE = r y ED = 12.

    El OED es rectngulo en E y OD = R. Por el teorema de Pitgoras 2 2 2R r 12 144

    Luego A = 2 2R r 144 722 2

    Soluciones

    1 D 11 B 21 D 31 A 41 B

    2 A 12 B 22 B 32 A 42 D

    3 A 13 B 23 E 33 C 43 A

    4 C 14 D 24 B 34 A 44 B

    5 B 15 D 25 A 35 A 45 D

    6 D 16 C 26 E 36 E 46 A

    7 D 17 B 27 C 37 B 47 D

    8 C 18 B 28 A 38 B 48 A

    9 B 19 C 29 E 39 D 49 C

    10 C 20 C 30 D 40 B 50 A

    C D

    A O B

    A. 72 B. 108 C. 144 D. 288 E. 576

    E

    r

  • GEOMETRA

    44

    4. CUERPOS SOLIDOS

    Como las bases son tringulos equilteros de permetro 30 cm, sus lados miden 10 cm y por tanto tienen

    una rea de 2b3

    A 10 25 34

    . Su rea lateral es LA P h 30 10 300

    El rea total est dada por T b LA 2 A A 2 25 3 300 50 3 300

    2. Tres vrtices de un cubo, de los cuales no hay dos que estn en la misma arista, se unen para formar un tringulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1, Cul es el rea del tringulo formado?

    A. 2

    6 B.

    2

    3 C.

    2

    2 D.

    4

    6 E.

    4

    3

    En la figura se muestra un tringulo que satisface el enunciado. Vemos que sus lados son diagonales de las caras y como las aristas de los cubos tienen longitud 1,

    estas diagonales miden 2 . Como el rea de un tringulo equiltero de lado x est dada

    por 23 x

    4, en este caso tenemos

    23 3A 2

    4 2

    Al bosquejar los planos indicados vemos que comparten los puntos B y F, y dado que la interseccin de dos planos diferentes es una nica recta, la

    interseccin es la recta BF

    En el prisma recto de la figura, las bases son tringulos equilteros, con permetros de 30 cm.. Si la altura del prisma es 10 cm. cul es el rea total de la superficie del prisma?

    A. 100 B. 250

    3 C. 100 3 D. 300 E. 50 3 + 300

    1.

    A

    B C

    D

    E

    F

    G

    La figura representa un cubo. La interseccin del plano ABG y el plano BCE es la recta

    A. AG C. CE D. CFB. .BF E BE

    3.

    A C

    B

    A

    B C

    D

    E

    F

    G

    A C D

    E

    F G

    Plano ABG Plano BCE

    B

  • GEOMETRA

    45

    El volumen de la parte sobrante es la diferencia entre el volumen del cubo y el volumen del cilindro, luego

    2

    3 3 45V 5 5 125 125 35.34 89.67 902 4

    5. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la diagonal del prisma mide 30 cm., su volumen es A. 900 cm

    3 B. 1688.25 cm

    3 C. 2833.8 cm

    3 D. 4583.5 cm

    3 E. 9000 cm

    3

    Sean z la altura, y la longitud y x el ancho del prisma. Se tiene y

    z3

    , y

    x2

    La diagonal est dada por 2 2 2 2 2 2d x y z 30 x y z 900 .

    Al expresar en trminos de y esta ecuacin, se obtiene 2 2

    2 2 2y y 1 1 49 180y 900 1 y 900 y 900 y4 9 4 9 36 7

    .

    El volumen est dado por V = x y z =

    333y y y 1 180y 2833.8 cm

    2 3 6 6 7

    6. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50 cm. x 37 cm., el nivel del agua subi 1 cm. cul es el volumen del trozo de metal? A. 13 cm

    3 B. 87 cm

    3 C. 88 cm

    3 D. 1850 cm

    3 E. 9250 cm

    3

    El volumen del trozo de metal es equivalente al volumen que increment el tanque, lo cual equivale al volumen de un paraleleppedo de dimensiones 1 x 50 x 37, es decir 1850 cc

    7. Cul es el nmero mximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no hayan dos diagonales que tengan un punto en comn? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

    Trazamos inicialmente sobre una de las caras una diagonal, digamos AD, ninguna otra puede involucrar estos puntos para satisfacer la condicin. Con los puntos restantes trazamos otra diagonal, digamos BE. Nos quedan cuatro vrtices en este caso los vrtices C, F, G y H, con los cuales solo podemos trazar dos diagonales ms. En total cuatro diagonales. Cualquier otra variante conduce a la misma cantidad.

    De un cubo de 5 de arista se forma un cilindro circular recto de 3 de dimetro, entonces el volumen de la parte sobrante del cubo, en pulgadas cbicas, es aproximadamente

    A. 8 B. 10 C. 80 D. 90 E. 100

    4.

    z

    x

    y

    50 37

    A

    B

    C D

    E

    F

    G

    H

  • GEOMETRA

    46

    8. En la figura se muestra un paraleleppedo rectangular. Si a = 2b y b = 2

    c, Cul es el volumen en

    trminos de c?

    A. 2

    c2 B. 2c2 C. 3c D.

    2

    c3 E.

    4

    c3

    Como a = 2b y b = 2

    c, entonces a = c. Por ser un paraleleppedo rectangular,

    V = a b c = c2

    c c =

    3c

    2

    9. El rea de la base de una pirmide es 45 y el rea de una seccin transversal es 20. Si la altura de la pirmide es 6 a qu distancia de la seccin transversal est el vrtice? A. 1.5 B. 2.25 C. 4 D. 4.75 E. 5

    Sea A = 20, el rea de la seccin transversal y A = 45, el rea de la base de la pirmide. Sea h la distancia desde la seccin transversal al vrtice. Se tiene

    2A' h 20 4 h 2

    h 4A 6 45 9 6 3

    10. El rea de la base de una pirmide es 45 y el rea de una seccin transversal es 20. Si la altura de la pirmide es 6 cul es la razn entre los volmenes de la pirmide mayor y la menor? A. 3/2 B. 2 C. 9/4 D. 3 E. 27/8 Los datos forman parte del ejercicio anterior, de manera que ya sabemos que la distancia desde la seccin transversal al vrtice es h = 4. Luego Si V es el volumen de la pirmide mayor y V el de la pirmide menor,

    se tiene

    3 3V 6 3 27

    V' 4 2 8

    11. La base de una pirmide es un tringulo equiltero cuyo permetro es 12. Si la altura es 10, el volumen de la pirmide es

    A. 40 B. 3

    40 C.

    3

    340 D. 40 3 E. 120

    Como la base de la pirmide es un tringulo equiltero cuyo permetro es 12, su lado mide 4, luego

    2b

    3A 4 4 3

    4 y como h = 10, el volumen de la pirmide es b

    1 1 40 3V A h 4 3 103 3 3

    a

    b

    c

    6

    h

  • GEOMETRA

    47

    12. En un tronco de pirmide, la altura mide 10 m y las bases son cuadradas de 5 m y 9 m de lado respectivamente. Hallar la diferencia (en m

    3) entre su volumen y la de un prisma recto de igual altura y de

    base igual a la seccin del tronco paralela a las bases y equidistante de ellas.

    A. 4 B. 7 C. 40 D. 3

    40 E. 70

    Como cada lateral del tronco de pirmide, la seccin que equidista de las bases tiene arista igual a la base media del trapecio, en este caso es

    9 5B 7

    2

    .

    El volumen del tronco de pirmide resulta

    B b B bh 10 1510

    V [A A A A ] 81 25 81 253 3 3

    El volumen del prisma formado es V = 2BA h 7 10 490

    La diferencia resulta V V = 1510 40

    4903 3

    13. En una pirmide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8 cm y la altura mide 20 cm, se traza una seccin paralela a la base a 14 cm de sta. Entonces el rea de dicha seccin es A. 2.14 cm

    2 B. 5.76 cm

    2 C. 16.32 cm

    2 D. 31.36 cm

    2 E. 44.08 cm

    2

    Sea x la longitud de la arista de la seccin, se tiene entonces

    x 6 48

    x 2.48 20 20

    Como es un cuadrado, su rea es 22A x 2.4 5.76

    14. Los dimetros de dos cilindros circulares rectos concntricos son 12 y 6 pulgadas respectivamente y la generatriz comn es de 20 pulgadas, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es

    A. 270 pulg3 B. 270 pulg

    3 C. 540 pulg

    3 D. 540 pulg

    3 E. 2160 pulg

    3

    El volumen buscado es la diferencia entre los volmenes de los cilindros. Como los dimetros son 12 y 6, los radios son 6 y 3, luego,

    2 2 2 2V R r h 6 3 20 540

    10 5

    5

    5

    9 7

    7

    10

    20

    6

    14

    8

  • GEOMETRA

    48

    15. El volumen de una cisterna cilndrica es 1200 m3 y su altura es igual al dimetro, por lo tanto su rea

    total es A. 190.98 m

    2 B. 576.25 m

    2 C. 600 m

    2 D. 625.13 m

    2 E. 712 m

    2

    Como el dimetro es igual a la altura se tiene h

    r2

    .

    Luego

    2 32 3h h 4800V r h h 1200 h 11.5176

    2 4

    El rea total est dada por T B LA 2 A A

    El rea de la base es

    2 22

    B

    h hA r

    2 4

    El area lateral es 2Lh

    A 2 rh 2 h h2

    Luego 2

    2 2T B L

    3hA 2 A A 2 h h

    4 2

    Al sustituir el valor de h obtenemos 2T3

    A h 625.132

    16. Un cono de revolucin tiene 13 cm. de generatriz y el radio de la base es de 5 cm. Se corta por un plano paralelo a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5.2 cm. del vrtice. Entonces el volumen del tronco de cono formado es A. 351.52 cm

    3 B. 294.05 cm

    3