Mtodo para distancia euclidianaPor distribucin se comprende manera de asignar espacio fsico a los diversos componentes de una instalacin: *Maquinas y herramientas en una planta *Comercios en un centro comercial

Las coordenadas en un plano bidimensional nos auxilian en la localizacin de dichas instalaciones.

Para localizar nuevas instalaciones, en todos los modelos de optimizacin se considera una funcin objetivo de costo, la cual se minimiza. Dicha funcin es representativa de la distancia y/o el tiempo necesario para hacer fluir bienes o servicios de las nuevas instalaciones a las ya existentes y/o a los clientes.

Mtodo para distancia euclidianaConsidera que la distancia mas corta entre dos puntos es la recta que los une; se utiliza en problemas de localizacin de zonas rurales y urbanas de trazo irregular (como es el caso de la mayora de las ciudades de Mxico). Los problemas de localizacin se presentan cuando los encargados de tomar decisiones deben seleccionar el sitio en que ubicaran una o varias instalaciones, como podran ser:

Industrias Bodegas Comercios Escuelas Hospitales Mercados Aeropuertos

Plantas de tratamiento de agua Plantas de generacin de electricidad (hidroelctricas, trmicas, nucleares) Plantas de tratamientos de basura Estadios deportivos Estaciones de bomberos Estaciones de gasolina

Este tipo de problemas se presenta tambin en la distribucin de maquinaria en un rea dada. Las decisiones anteriores se toman bajo una serie de criterios preestablecidos. Para medir distancias se puede utilizar una norma rectilnea, o bien una euclidiana.

La primera tiene mayor aplicacin en grandes ciudades, con trazos rectos perpendiculares y paralelos de calles y avenidas (por ejemplo Nueva York) y donde la distancia entre dos puntos no puede medirse como la recta que los une, sino como el mnimo numero de calles que exista entre ambos.

En contrapartida, la norma Euclidiana dice que la distancia entre dos puntos es la recta que los une. Esta norma tiene sentido en zonas rurales y urbanas con trazo irregular de calles (como la gran mayora de las ciudades de Mxico).

Norma rectilnea d AB = | XA XB | + | YA - YB | Norma euclidiana d AB = [ (XA XB ) + (YA - YB ) ]2 2 1/2

La distancia Euclidiana est dada por la frmula de la distancia de dos puntos:

Entonces la funcin completa queda:

Para encontrar el mnimo de esta funcin se puede derivar la funcin e igualar a cero, para despejar las variables. Aqu las variables obviamente son X y Y. Como la funcin es de varias variables la derivada debe ser parcial y no total. Primero tomemos la derivada con respecto a X igualando a cero:

Como una raz cuadrada es igual a una potencia con exponente 1/2, se baja a multiplicar el 1/2 (bueno, el lector matemticamente riguroso sabr que est mal dicho, pero es la forma ms fcil de explicar la derivada) y se le resta 1 al exponente: 1/2-1= -1/2, luego se multiplica por la derivada interna, como la Y se toma como constante al derivar con respecto a X, da cero la derivada de ese parntesis, pero la del otro da: -2*(Ai-x). Es decir:

Se cancela el 2 en el numerador y el 2 en el denominador, se pasa el termino con exponente negativo al denominador con exponente positivo, el signo menos (que a la final es un -1 multiplicando todo) se puede sacar de la sumatoria y pasar a divir el cero con lo que se cancela (ya se, ya se, que no es ortodoxo decirlo con esas palabras, pero es para entender) y queda expresado:

La idea aqu es poder despejar la X ( y obviamente la Y) en funcin de Wi,Ai, y Bi. Como se puede observar la X est en el numerador y en el denominador est como parte de un binomio y para acabar de rematar dentro de un radical!

Pues ya mucha gente le dedico horas y horas a tratar de despejarla infructuosamente.Como no se puede despejar significa que no tendremos respuesta directa, pero no nos desanimemos, los mismos que le dedicaron horas y horas a intentar despejarla pues encontraron una forma iterativa que converge al ptimo, para eso hicieron lo siguiente, con base en la expresin anterior:

El numerador se puede escribir como: WiAi - WiX, al multiplicar Wi por cada uno de los elementos del parntesis, ahora el denominador se puede repartir en cada termino del numerador y queda de la siguiente forma: Para escribir menos, llamemos di a lo siguiente:

Entonces:

Tal vez se pregunte: cmo se saco la X de la sumatoria si X es una variable? Pues mientras se hizo la derivacin parcial la X representaba una variable, pero luego que se hizo la derivada parcial la X representa un valor conocido, es decir una constante. Por eso se puede factorizar dentro de la sumatoria y sacarla de ella. Bueno, la anterior expresin, es una frmula recursiva, es decir dado un valor de x, se puede encontrar uno nuevo que ser mejor que el anterior. Como di est en funcin de X, hay que partir de un valor inicial de X.

Y con qu valor se empieza? Con cualquiera, pero observando las ecuaciones se puede pensar que es mejor el siguiente:Xo=sumatoria WiAi / sumatoria Wi y Yo = sumatoria WiBi/ Sumatoria Wi Ejemplo: (Introduccin a la Investigacin de Operaciones. Jaime Varela, Fondo Educativo Interamericano, pag 225) Encontrar las coordenas de la instalacin de la planta de produccin que minimice el costo total de transporte a los siguientes almacenes de distribucin:

Para encontrar el Xo, Yo es necesario hacer tablas de WiAi, WiBi

Xo=1964/162=12.1234 Yo=1582/162=9.76

Ahora con los valores de Xo,Yo se calcula cada uno de las distancias di, y se fabrica la siguiente tabla:

Ai 0

Bi 0 = raiz(0-12.1234)2+(0-9.76)2 =15.56

218 8 20

162 18 2

== = =

raiz(2-12.1234)2+(16-9.76)2raiz(18-12.1234)2+(2-9.76)2 raiz(8-12.1234)2+(18-9.76)2 raiz(20-12.1234)2+(2-9.76)2

=11..05=9.734 =9.214 =11.06

X1=195.380478 / 16.1103405 = 12.1276

Y1=163.631218 / 16.1103405 = 10.1569El procedimiento debe continuar hasta que el nuevo valor de X y de Y sea suficientemente cerca del anterior. El suficientemente cerca, lo decide ud.