GEOMETRIA EUCLIDIANA Y GEOMETRIA FRACTAL

DISEO III

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIOABAD DEL CUSCO

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y ARTES PLSTICASAsignatura: Diseo iiiGEOMETRIA EUCLIDIANA Y FRACTAL

DOCENTE: ARQTA. Cristina Gutirrez Valer.

ALUMNAS: Ciprian Peralta, Liz120102 Mamani cabrera yoseline120780 Quispe Gonzales, Heldy Solara121272

CUSCO- PERU2013

INTRODUCCION

Desde los albores de la humanidad nos hemos servido de formas euclidianas (crculos, cuadrados, tringulos) para reproducir las formas de los paisajes. Era un procedimiento que tenda a generalizar y a idealizar el mundo natural. En el presente trabajo explicaremos los aspectos ms resaltantes de la geometra euclidiana y la geometra fractal, sin muchos formalismos, analizaremos el origen de la geometra euclidiana basada en personajes ilustres de nuestros inicios contemplando de esta manera la importancia de la misma en la arquitectura; de la misma forma la presencia de los fractales a nuestro alrededor. Primeramente establecemos algunos conceptos bsicos, y una clasificacin de la geometra, lo que nos permitir llegar al pleno entendimiento de la importancia del manejo de la geometra euclidiana y geometra fractal en la arquitectura.

INDICE

INTRODUCCIONpg.CONTENIDOpg.1. CONCEPTOS PRELIMINARESpg. 2. GEOMETRIA EUCLIDIANApg.2.1. RESEA BIOGRAFICA DE EUCLIDESpg.2.2. DEFINICION DE GEOMETRIA EUCLIDIANApg.2.3. EL METODO DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANApg.2.4. DIVISIN DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANApg.2.5. ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANApg.2.6. AXIOMAS Y POSTULADOSpg.2.7. LA GEOMETRIA EUCLIDIANA Y LA ARQUITECTURApg.3. GEOMETRIA FRACTAL3.1. LOS FRACTALESpg.3.2. TEORA DEL CAOSpg.3.3. FRACTALES Y CAOSpg.3.4. HISTORIA DE LA GEOMETRIA FRACTALpg.3.5. DEFINICION DE LA GEOMETRIA FRACTALpg.3.6. CARACTERISTICAS DE LOS FRACTALESpg.3.7. FORMAS FRACTALESpg.3.8. CLASES DE FRACTALESpg.3.9. EJEMPLOS DE LA GEOMETRIA FRACTALpg.3.10. ARQUITECTURA FRACTALpg.3.11. DIFERENCIAS ENTRE GEOMETRIA EUCLIDIANA Y GEOMETRIA FRACTALpg.CONCLUSIONESpg.BIBLIOGRAFIASpg.LINKOGRAFIASpg.

1. CONCEPTOS PRELIMINARES1.1. DEFINICION DE GEOMETRALa geometra fue, primero la ciencia de la medida de las extensiones (geo=tierra; Metrn=medida). Tuvo sus orgenes en Egipto, despus pas a Grecia perfeccionndose all, basndose al principio en la demostracin, experimentacin y por ende cayendo en el error.1.2. CLASIFICACIN DE LA GEOMETRA Geometra euclidiana Geometra fractal Geometra algebraica Geometra analtica Geometra clsica Geometra descriptiva Geometra diferencial Geometra de curvas y superficies Geometra de Riemann Geometra diferencial de curvas Geometra proyectival

2. GEOMETRIA EUCLIDIANA2.1. RESEA BIOGRAFICA DE EUCLIDESVivi entre los aos 300?-225 a.C.; era natural de Tiro y fue contemporneo de Ptolomeo, el faran egipcio fundador de la Biblioteca de Alejandra.[footnoteRef:1] All fund una escuela de estudios matemticos. Por otra parte tambin se dice que estudi en la escuela fundada por Platn. [1: PLATEA- http://platea.pntic.mec.es/~eherna1/euclides.htm]

Segn Proclo orden los trabajos de Eudocio de Cnido, que aparecern reflejados en el libro V de los Elementos, y que mejor los de Teeto sobre la clasificacin de los nmeros irracionales.La tradicin cuenta que Euclides fue llamado a Alejandra por Ptolomeo I, para que compusiera un manual donde se pudiera estudiar la geometra. En este texto deba de resumir la obra y conocimientos de todos los autores anteriores que haban escrito sobre la obra. Durante su estancia en Alejandra se le exigi que dejara una copia de todos los trabajos realizados por l para dejarlos como fondo a la Biblioteca. Tambin se seala que utiliz para su trabajo los elementos de Geometra que compuso Apolonio. Lo ms importante de Euclides, y ha permitido considerar a su obra como una de las ms trascendentales jams realizadas, ha sido la forma de ordenar y exponer cuestiones ya conocidas, para alcanzar un sistema que fuese perfecto desde el punto de vista de la lgica. Euclides compuso su obra en XIII libros considerndose los seis primeros como los ms importantes. [footnoteRef:2] [2: UNIVERSIDAD DE MURCIA- http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/euclides/euclid.htm]

2.2. DEFINICION DE GEOMETRIA EUCLIDIANALa geometra Euclidiana fue postulada por Euclides en su obra Los elementos, escrita hacia el ao 300 a.C. y es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional, es por esto que tambin es considerada como geometra plana.Esta rama de la geometra (de las matemticas) se presenta en forma axiomtica, es decir, se entrega una cantidad de postulados que son considerados verdaderos, y a travs de operaciones lgicas, genera nuevos postulados donde se presenta una verdad evidente[footnoteRef:3] [3: GENESIS GEOMETRICO- http://genesisgeometrico.blogspot.com/]

2.3. RESEA HISTORICA2.3.1. ANTES DE EUCLIDESBasndose en los escritos de Herodoto, sus iniciadores fueron los egipcios y que el rey Sesostris dividi las tierras en parcelas cuadrangulares que se repartan entre sus sbditos.Si el Nilo en sus crecidas aguas se llevaba alguna parte de ellas, los agrimensores evaluaban la parte arrastrada y decidan, segn lo que quedaba, cuanto deba pagar el dueo por concepto de impuesto.La aplicacin de conocimientos geomtricos a la medida de la tierra fue la causa que se diera a esta parte de la Matemtica el nombre de Geometra que significa medida de la TierraPero sin duda no fue solamente la medida de la Tierra el origen de los conocimientos geomtricos, la necesidad de comparar reas y volmenes de figuras simples, la construccin de canales y edificios, las figuras decorativas y los movimientos de los astros han contribuido tambin al nacimiento de esas reglas y propiedades geomtricas que se encuentran en los documentos de las antiguas civilizaciones egipcia y mesopotmica.Los documentos ms antiguos de la geometra egipcia que se conocen fueron escritos en papiro alrededor del ao 1500 a.C. por Ahmes, copiado de otro ms antiguo escrito alrededor del ao 2300 a.C. contena frmulas para calcular volmenes de graneros, reas de figuras rectilneas y circulares.Desde Egipto y quizs Babilonia esta geometra de medicin fue llevada a Grecia y Asia Menor por Tales de Mileto quien hizo muchas contribuciones a la geometra mediante sus teoremas.El ms grande discpulo de Tales fue Pitgoras (580 a.C.) quien dejo pruebas de los teoremas de Geometra.Despus de la muerte de Pitgoras, los griegos siguieron estudiando y practicando Geometra. Algunos de estos estudiosos fueron Platn, Aristteles e Hipcrates.Desde el ao 600 a.C. hasta el ao 300 a.C. el estudio de la geometra consisti en investigacin, descubrimiento y prueba.2.3.2. EUCLIDES Y LOS ELEMENTOSFue hasta el ao 300 a.C. que Euclides uno de los maestros de Matemticas de la Universidad de Alejandra, dio a la geometra un orden lgico y sistemtico en su libro Los Elementos.[footnoteRef:4] [4: ALBERTO, LUQUE LUNA; Elementos de geometra Euclidiana; Pg. 11]

Los Elementos de Euclides es la obra matemtica por excelencia, una compilacin y sistematizacin de los conocimientos matemticos de la Antigedad y un clsico entre los clsicos, siguiendo las reglas de la lgica, compuso todo un cuerpo de proposiciones matemticas a partir de un pequeo grupo previamente establecido de definiciones y axiomas. Consta de 13 libros: LIBRO I: Sobre paralelogramos, tringulos y cuadrados. LIBRO II: Sobre el desarrollo elemental del mtodo de aplicacin de reas LIBRO III: Teora de la circunferencia LIBRO IV: Figuras inscritas y circunscritas LIBRO V: Teoria de proporciones abstractas LIBRO VI: Figuras geomtricas semejantes y proporcionadas LIBRO VII: Fundamentos de la teora de los nmeros LIBRO VIII: Continuacin de proporciones a la teora de nmeros LIBRO IX: Teoria de los numeros LIBRO X: Clasificacin de los inconmensurables LIBRO XI: Geometra de los slidos LIBRO XII: Medicin de figuras LIBRO XIII: Solidos regulares[footnoteRef:5] [5: EUCLIDES- http://euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm]

2.3.3. DESPUES DE EUCLIDESVarios gemetras han enriquecido a la geometra con sus aportaciones, entre estos destacan Arqumedes, Apolonio, Hiparco y Hern.Euclides cierra la etapa de Geometra griega -a excepcin de Pappus en el 350 aC-, y por extensin la etapa del mundo antiguo y medieval-, a excepcin tambin de las figuras de Arqumedes y Apolonio.Arqumedes estudi ampliamente las secciones cnicas, introduciendo en la Geometra las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso clculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.Apolonio trabaj en varias construcciones de tangencias entre crculos, as como en secciones cnicas y otras curvas.[footnoteRef:6] [6: EUCLIDES- http://www.euclides.org/menu/articles/historiadelageometria.htm]

2.4. EL METODO DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA2.4.1. MTODO INDUCTIVO:Es el mtodo que parte de los casos particulares hacia la generalizacin, la geometra fue estudiada primero por la induccin para descubrir leyes y principios, depende de la medida y la observacin ninguna de las cuales puede ser dicha con absoluta precisin. 2.4.2. MTODO DEDUCTIVO:El pensamiento deductivo parte de categoras generales para hacer afirmaciones sobre casos particulares.En un razonamiento deductivo vlido, la conclusin debe derivarse necesariamente de las premisas, lo que quiere decir que, si las premisas del razonamiento son verdaderas, la conclusin ha de ser verdadera. Por ejemplo, No podemos afirmar las premisas y negar la conclusin sin contradecirnos.La geometra euclidiana usa el mtodo deductivo para probar la validez de sus afirmaciones.[footnoteRef:7] [7: EUCLIDES- http://www.euclides.org/menu/articles/metodo-euclidiano.htm]

2.5. DIVISIN DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA2.5.1. GEOMETRA PLANA:Es la rama de la geometra elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el tringulo o el crculo.

2.5.2. GEOMETRIA DEL ESPACIO O ESTEREOMETRA:Es la rama de la geometra que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geomtricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, tambin llamadas slidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirmide, la esfera y el prisma. [footnoteRef:8] [8: GEOMETRIA- http://cursogeometriaplana.blogspot.com/2009/07/historia-de-la-geometria.html]

2.6. ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA El punto, lnea, el plano y el volumen como elementos conceptuales, no son visibles, salvo para el ojo de la mente. Aunque en realidad no existan, sentimos su presencia. Podemos percibir el punto en la interseccin de dos segmentos, la lnea que seala el contorno de un plano, el plano que cierra un volumen y el volumen de un objeto que ocupa un espacio.[footnoteRef:9] [9: FRANCIS, D. K. Ching; La Arquitectura: Forma, Espacio y Orden; editorial G y G, 1995, Pg. 2]

2.6.1. EL PUNTOUn punto seala una posicin en el espacio. Conceptualmente carece de longitud, anchura y profundidad, por consiguiente es esttico, central y no direccional. Como elemento esencial un punto puede servir para marcar: Los dos extremos de una lnea La interseccin de dos lneas El centro de un campoAunque desde una ptica el punto no tiene forma, empieza a manifestarse cuando se sita dentro de un campo visual.[footnoteRef:10] [10: FRANCIS, D. K. Ching; La Arquitectura: Forma, Espacio y Orden; editorial G y G, 1995, Pg. 4]

2.6.2. LA LINEA La prolongacin de un punto se convierte en una lnea. Desde un punto de vista conceptual, la lnea, tiene longitud, pero carece de anchura y profundidad.Mientras que por naturaleza un punto es esttico, una lnea, al describir la trayectoria de un punto en movimiento, es capaz de expresar visualmente una direccin, un movimiento, un desarrollo.Sirve para: Unir, asociar, soportar, rodear o cortar otros elementos visuales. Definir las aristas y dar forma a los planos Articular la superficie de los planos.[footnoteRef:11] [11: FRANCIS, D. K. Ching; La Arquitectura: Forma, Espacio y Orden; editorial G y G, 1995, Pg. 8]

2.6.3. EL PLANO Una lnea prolongada (en una direccin que no sea la que intrnsecamente posee) se convierte en un plano.Un plano, conceptualmente considerado como longitud y anchura, pero no profundidad.La forma es una caracterstica primaria que identifica un plano. Est determinada por el contorno de la lnea que forma las aristas. Las cualidades suplementarias son el color, dibujo y textura superficial.2.6.4. EL ESPACIOEl espacio geomtrico puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del universo fsico. As, todo punto, recta y plano est en el espacio El recorrido de un plano en movimiento se convierte en volumen tiene posicin en el espacio, esta limitado por planos y obviamente en un diseo bi-dimensional el volumen es ilusorio.[footnoteRef:12] [12: FRANCIS, D. K. Ching; La Arquitectura: Forma, Espacio y Orden; editorial G y G, 1995, Pg. 18]

2.7. AXIOMAS Y POSTULADOS2.7.1. AXIOMAS: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si. Si cantidades iguales se suman a cantidades iguales, las sumas son iguales. Si cantidades iguales se restan de cantidades iguales, las diferencias son iguales. Dos figuras que coinciden son iguales entre si. El todo mayor que cualquiera de sus partes.

2.7.2. POSTULADOS: Es posible trazar una lnea recta entre dos puntos cualesquiera. Todo segmento puede extenderse indefinidamente en lnea recta. Un crculo puede tener cualquier centro y cualquier radio. Todos los ngulos rectos son iguales. POR UN PUNTO EXTERIOR A UNA RECTA NO PUEDE TRAZARSE MAS QUE UNA PARALELA A ELLA.*[footnoteRef:13] [13: EXTRAIDO DE MATHEMATICS AN APPRECIATION, DE MICHAEL BERNKOPF, HOUGHTON MIFFLIN COMPANY BOSTON, 1975. -http://www.x.edu.uy/iti/Los%20elementos%20de%20Euclides.pdf]

*A partir de este ltimo postulado varios matemticos dieron definiciones equivalentes.

2.8. LA GEOMETRIA EUCLIDIANA Y LA ARQUITECTURALa arquitectura no puede expresarse ni comunicarse ms que con medios grficos y stos tienen gran importancia porque, convenientemente elegidos y usados con maestra, pueden efectivamente representar y simular la deseada realidad proyectual; pero hay que estar muy atentos para no confundir la geometra con la arquitectura.

La Geometra siempre ha partido de la observacin de la realidad. Diferentes realidades han motivado diferentes modelizaciones geomtricas.

La geometra es pues el instrumento con el que delimitamos, cortamos, precisamos y formamos el espacio. En palabras de Giancarlo De Carlo, L'idea plastica come sfida alla tecnologia, 1975:

"La forma tridimensional de la arquitectura no es el exterior de un slido, sino la envoltura cncava y convexa de un espacio; y a su vez el espacio no es el vaco sino el lugar volumtrico en el que se desenvuelve toda una serie de actividades posibles y variadas. En consecuencia, en el caso de la arquitectura, la "invencin" se refiere a un "sistema especial organizado" que experimentamos a travs de su utilizacin y que percibimos a travs de su forma"[footnoteRef:14] [14: FRANCIS D. K. Ching LA ARQUITECTURA: FORMA, ESPACIO Y ORDEN]

Al ser la reconocibilidad de las formas una condicin irrenunciable para que el mensaje arquitectnico sea recibido, las formas sern pues tanto ms perceptibles y reconocibles cuanto ms sencillas y regulares sean. Es ms, los caracteres formales especficos, intrnsecos, de las figuras geomtricas son tan fuertes que generan en el hombre, cualquiera que sea su grado de evolucin, inmediatas e instintivas referencias simblicas.

Esto quiere decir que la forma puede ser simple o irregular, pero tiene que estar basado lgicamente, segn Euclides.

3. GEOMETRIA FRACTAL

La geometra Fractal cambiar a fondo su visin de las cosas. Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montaas, tapices, y de muchas otras cosas. Jams volver a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares[footnoteRef:15]. [15: FRACTALES EN TODOS LADOS, Michael F. Barnsley]

3.1. LOS FRACTALES

La palabra fractal proviene del latn fractus, que significa fragmentado o fracturado.Son figuras geomtricas que poseen una estructura fragmentada y compleja, una pequea fraccin del fractal puede ser una rplica a menor escala. Los fractales se caracterizan por el hecho de que el nmero de sus dimensiones es fraccionario y no 1, 2, 3 como ocurre en la geometra habitual.Sentido intuitivo, que tiene una forma, irregular, interrumpida o fragmentada y sigue siendo as a cualquier escala que se produzca el examen[footnoteRef:16] [16: Benoit Mandelbrot, 1987Barcelona: tusquets]

3.2. TEORA DEL CAOSEl caos: no est gobernado por las leyes tradicionales de la fsica y las matemticas[footnoteRef:17] [17: Martnez Cendra Francisco, hacia una arquitectura fractal]

La Teora del Caos surgi cuando Edward Lorenz dio a conocer en 1963 un modelo climtico que, por su comportamiento, atrajo la atencin de muchos fsicos, La Teora del Caos ha tenido gran relevancia en muchos campos cientficos actuales como la medicina, la biologa, la ingeniera, la economa y otras. Es la denominacin popular de la rama de las matemticas y la fsica que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles de los sistemas dinmicos. Los sistemas dinmicos se pueden clasificar bsicamente en:3.2.1. UN SISTEMA ESTABLE Tiende, segn transcurre el tiempo, a un punto u rbita, segn su dimensin. Un sistema inestable se escapa de los atractores, y un sistema catico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el cual el sistema se ve atrado, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de ste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo[footnoteRef:18] [18: www.wikipedia.org/wjki/fractal]

3.2.2. SISTEMA INESTABLEEs que tiene una gran dependencia de las condiciones inciales.

3.2.3. LOS SISTEMAS CATICOSUna mnima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmsfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectnicas, los fluidos en rgimen turbulento y los crecimientos de poblacin.

3.3 FRACTALES Y CAOSsobre el crecimiento y la forma[footnoteRef:19] [19: Martnez Cendra Francisco, hacia una arquitectura fractal]

Vemos que cada rama se desprende de otra rama ms grande, repite el mismo patrn de crecimiento as hasta llegar a unas pequeas ramas que estn en la copa del rbol.

3.4. HISTORIA DE LA GEOMETRIA FRACTALLos orgenes de la geometra fractal se remontan a fines del siglo XIX cuando un grupo de matemticos comenz con el intento de describir la Naturaleza (y la Naturaleza es irregular, aunque esto no implique que sus formas nos resulten extraas) y cuando los principios de Euclides estaban en discusin.

En el ao 1919 cuando aparece el matemtico alemn Flix Hausdorff plante la idea de que los objetos tuviesen ms de dos dimensiones pero menos que tres, lo cual dio origen al trmino "dimensin fractal". A partir de ese momento se intent demostrar que dichos objetos puedan darse en la realidad[footnoteRef:20], accin que no fue muy aceptada por otros matemticos coetneos, que consideraban dichas formas extraas como patolgicas sin ninguna importancia. [20: http://es.wikipedia.org/wiki/Caos_y_fractales]

Fue en el siglo XX, cuando Benoit B. Mandelbrot, emigr de Polonia y se instal en los Estados Unidos para realizar su trabajo sobre las semejanzas en las fluctuaciones a pequea y gran escala en los precios del mercado de valores.Demostr que la medida de la longitud de la costa de Inglaterra en diferentes escalas indicaba que las lneas costeras eran fractales cuya longitud aumentaba al incrementar el grado de detalle medible. La conclusin obvia era que a medida que se ven ms detalles, la longitud de la costa se hace ms y ms grande.[footnoteRef:21] [21: REVISTA EDUCACION Y PEDAGOGIA VOL XVN. 35 pg. 87]

No fue hasta el ao 1958 cuando Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un anlisis del ruido y perturbaciones elctricas. Mientras realizaba dichos estudios encontr un patrn en su comportamiento y por lo tanto comenz a descifrar una estructura escondida[footnoteRef:22]. Esas fluctuaciones no podan ser descriptas por la matemtica estadstica que exista. Mientras segua adelante con sus tareas empez a imaginar en que otros sistemas podran encontrar patrones similares que no puedan ser descriptos con exactitud por la matemtica existente y que se comportaran de igual manera. Su visin lo llev a hacerse una pregunta, que fue: [22: HACIA UNA ARQUITECTURA FRACTAL, Martnez Cendra ]

Cunto mide realmente la costa de Inglaterra? En 1975 Mandelbrot ya haba desarrollado una caracterizacin de los fractales, como auto semejantes y de dimensin no necesariamente entera. El resultado se conoce con el nombre hombrecito-manzana o conjunto de Mandelbrot.

3.5. DEFINICION DE LA GEOMETRIA FRACTAL

La geometra fractal ha dado un revolucionario empuje a las teoras fsicas al modelos matemticos para fenmenos que parecan dominados por un orden casual o imprevisible[footnoteRef:23] [23: Diccionario Metapolis de arquitectura avanzada, actar, 240-243]

La geometra fractal est presente desde la poca de Aristteles que afirma:existen ciertas cosas que no sufren alteraciones (excepto la magnitud) cuando crecen, Euclides amplia la definicin hacindolo extensible para todo el paralelogramo y por ultimo Hero de Alejandra incrementa a dicha definicin a cualquier figura que el ser aadido da como resultado una figura similar a la inicial[footnoteRef:24]. [24: HACIA UNA ARQUITECTURA FRACTAL, Martnez Cendra ]

La geometra fractal o geometra de la naturaleza, no es solamente una idea abstracta, por el contrario es litoral, tiende hacia una longitud infinita tambin es el conjunto de estructuras irregulares y complejas descritas a travs de algoritmos matemticos y computacionales.Una de las contribuciones de la geometra fractal ha sido su capacidad para modular fenmenos naturales tales como las plantas, las nubes, las formaciones geolgicas y los fenmenos atmosfricos. Esta teora tambin ha contribuido a otros campos tan diversos como la a Arquitectura, la lingstica, la psicologa, las tcnicas de compresin de imgenes digitales, la superconductividad y otras aplicaciones electrnicas. La Geometra Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y dems objetos de la geometra tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caticos y dinmicos.

3.6. CARACTERISTICAS DE LOS FRACTALES

3.6.1. AUTOSIMILITUDCaracterstica fundamental de los fractales, aunque no todos la poseen.Cada porcin de un objeto tiene las mismas caractersticas del objeto completo. Tambin se puede decir que cada rea de un fractal conserva, de manera estadsticamente similar, sus caractersticas globales[footnoteRef:25]. [25: http://es.wikipedia.org/wiki/Caos_y_fractales]

Existen dos clases de autosimilitud: la perfectamente similar y la estadsticamente similar

3.6.2. IRREGULARIDAD Sentido intuitivo. Que tiene una forma, bien sea sumamente irregular, bien sumamente interrumpida o fragmentada[footnoteRef:26] [26: MANDELBROT Benoit, los objetos fractales, Barcelona:Tusquests 1987]

Debido a su compleja estructura no es fcil describirla en trminos geomtricos tradicionales (geometra euclidiana).

3.6.3. DIMENSION FRACTAL Dimensin 0Un punto Dimensin 1Una lnea recta Dimensin 2Un plano Dimensin 3El espacioLa dimensin est directamente ligada con los grados de libertad. Cuando la dimensin es 0, solo podra existir ah un punto inmvil, y sin lmites. Si en cambio la dimensin es 1 ya tenemos una recta y existe un grado de libertad, que es el de moverse de izquierda a derecha por ejemplo. Ahora, si la dimensin es 2 tenemos un plano, con 2 grados de libertad, podemos movernos de izquierda a derecha nuevamente y de arriba hacia abajo, y obviamente en diagonales. Por ltimo, si la misma es 3 estamos en una situacin como la anterior solo que se le agrega un tercer grado de libertad que es la profundidad.

3.7. FORMAS FRACTALESSon fractales que aparecen en el arte, pintura, escultura, msica, etc. Los encontramos en aplicaciones tcnicas como la compresin de imgenes. 3.7.1. EN LA NATURALEZAObservamos que en la naturaleza hay una variedad formas las cuales son simples consecuencias de la Geometra Fractal.

3.7.2. EN LA PINTURAAlgunas vanguardias utilizaron la Geometra fractal en sus pinturas asi como el Cubismo

3.7.3. EN LA MUSICA Se entiende por msica fractal aquella que traslada la estructura de un fractal al espacio musical. Piezas clsicas como "Primera Escossaien" de Beethoven tienen una estructura fractal.[footnoteRef:27] [27: http://personales.unican.es/alvareze/estalmat/Fractales2010/page_33.htm]

3.7.4. EN LA MEDICINAAl observar y/o analizar nuestro cuerpo nos damos cuenta que nosotros tambin presentamos estructura fractal en determinados rganos como por ejemplo:

3.8. CLASES DE FRACTALES 3.8.1. MONOFRACTALESSon las formas matemticas de explicar un fractal artificialmente ya que estas las creamos en base a figuras conocidas de la Geometra Euclidiana solo que ahora estas pasan por el proceso de iteracin creando as las siguientes figuras:

3.8.2. COMPLEJASPresentan auto similitud de forma estadstica, como su nombre lo indica tiene una estructura compleja de modo que a simple vista no puede notarse dicha estructura necesitando as de las matemticas.

3.8.3. CATICOSSon aquellos que parten de sistemas simples y terminan convirtindose en ms complejos o caticos, es decir que se nota un grado de desorden aunque ms bien esto lo tomamos como un orden pero mucho ms complejo.

3.8.4. MULTIFRACTALESSon formas que se repiten en la naturaleza y van asociados a una jerarqua de subconjuntos cada uno de ellos presenta caractersticas fractales a la vez.

3.9. EJEMPLOS DE LA GEOMETRIA FRACTAL:3.9.1. LA CURVA DE KOCHLa curva de Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904 como ejemplo de una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningn punto. Su construccin se hace mediante un proceso similar al del conjunto de Cantor. Llamada tambin estrella de Koch.Se parte de un segmento. El primer paso consiste en dividirlo en tres intervalos iguales, construir un tringulo equiltero sobre el intervalo central y suprimir la base de dicho tringulo

El segundo paso de la construccin consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el proceso innitas veces. La curva de Koch es la curva a la que se van aproximando las sucesivas poligonales que resultan en cada paso.3.9.2. EL TRIANGULO DE SIERPINSKIEl tringulo de Sierpinski fue ideado por Waclaw Sierpinski en 1915. Su construccin se hace mediante un proceso similar al de los conjuntos anteriores.Se parte de un tringulo equiltero. El primer paso consiste en dividirlo en cuatro tringulos equilteros iguales (lo que se consigue uniendo los puntos medios de los lados) y eliminar el tringulo central, es decir nos quedamos con los tres tringulos equilteros de los vrtices. El segundo paso de la construccin consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los tres tringulos obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso innitas veces, obteniendo como resultado nal el tringulo de Sierpinski.

3.9.3. ALFOMBRA DE SIERPINSKISe parte de un cuadrado. El primer paso consiste en dividirlo en nueve cuadrados iguales (lo que se consigue dividiendo cada lado en tres partes iguales) y eliminar el cuadrado central, es decir nos quedamos con ocho cuadrados.

El segundo paso de la construccin consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los ocho cuadrados obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso innitas veces, obteniendo como resultado nal. 3.9.4. CONJUNTO DE MANDELBROTEl conjunto de Mandelbrot es el ms conocido de los conjuntos fractales y el ms estudiado. Se conoce as en honor al matemtico Benot Mandelbrot. Es un conjunto conexo, por lo que es imposible separarlo en dos piezas disjuntas, es decir, que no tengan ningn elemento en comn, es tambien un conjunto compacto, esto es, cerrado y acotado.

3.9.5. CONJUNTOS DE JULIAAs llamados por el matemtico Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los nmeros complejos al ser iterados por una funcin holomorfa.

3.9.6. FRACTAL DE CANTOREl fractal geomtrico mas simple es le conjunto ternario de Cantor (introducido por el brillante matemtico alemn del siglo XX Georg Cantor . Este conjunto se construye tomando un segmento cualquiera, se divide en tres segmentos iguales y se extrae la parte central. Este proceso se aplica reiterativamente en cada una de las dos partes restantes, luego en las cuatro siguientes y as sucesivamente, hasta que el objeto tenga un nmero infinito de partes, cada una de las cuales es infinitamente pequea.[footnoteRef:28] [28: REVISTA DE EDUCACION Y PADAGOGIA, VOLUMEN XV N35]

3.10. ARQUITECTURA FRACTAL:El anlisis fractal de magnficas obras de la arquitectura, aparentemente muy distintas, nos revela una similitud estructural patente en el modo en que los patrones se repiten a niveles cada vez ms pequeos a lo largo de la construccin, logrando una especie de estructura densa, que reitera la forma y la identidad del edificio a travs de una amplia red de interacciones

En arquitectura, el concepto fractal puede apreciarse en estilos tales como el gotico, donde el elemento determinante era el arco apuntado, donde se observa una secuencia en los elementos de la fachada. 3.10.1. LA CATEDRAL DE REIMSLos tres prticos estn cargados de estatuas y estatuilla. El Prtico Mayor, dedicado a la Virgen Mara, tiene por encima un rosetn enmarcado en un arco en s mismo decorado tambin con estatuas, en lugar del habitual tmpano esculpido. Destacan los grupos de las jambas, donde se encuentra el tema de la Anunciacin.

3.10.2. CASTILLO DEL MONTE Se inicia de un octgono agregndole a este octgonos de menor dimensin en los extremos del primero.

3.11. DIFERENCIAS ENTRE LA GEOMETRIA EUCLIDIANA Y FRACTALLos elementos de la geometra euclidiana son puntos, lneas, curvas, etc., esto es, entes ideales concebidos por el hombre para modelizar los fenmenos naturales y cuantificarlos midiendo longitudes, reas o volmenes. Pero estos entes pueden ser tan complejos e irregulares que la medicin usando la mtrica euclidiana deja de tener sentido. Sin embargo, hay una manera de medir el grado de complejidad e irregularidad, evaluando cun rpido aumenta la longitud, la superficie o el volumen, si lo medimos en escalas cada vez ms pequeas. Este enfoque fue el adoptado por Mandelbrot, matemtico polaco, que en 1980 acu el trmino fractal para designar entes muy irregulares, pero autosemejantes.[footnoteRef:29] [29: DIALNET- http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2559223]

GEOMETRIA EUCLIDIANAGEOMETRIA FRACTAL

Es tradicionalEs moderna

Dimensin enteraDimensin fractal

Trata los objetos hechos por el hombreApropiada para las formas naturales

Descripcin pro formulasAlgoritmo recursivo (iteracin)

CONCLUSIONES

La arquitectura actual tiene en su espritu la definicin de los espacios a travs de formas y volmenes puros, sobre una geometra simple, que combina cubos, pirmides, planos, sobre la cual recae el peso de la composicin arquitectnica.La geometra euclidiana es una de las bases fundamentales de la arquitectura, los estudios de Euclides no solo abarcaron la rama de la matemtica, sino fue ms all, es posible afirmar que la arquitectura es una aplicacin de la teora matemtica, la cual mediante abstracciones es representada fsicamente. El manejo de las proporciones y las formas mediante la iteracin en la geometra fractal, da lugar a modernas, novedosas y complejas propuestas en la arquitectura; la geometra fractal tiene como objeto de estudio los patrones presentes en los mismos elementos de la naturaleza, es por esto que una obra de arquitectura inspirada en esta tiene en conjunto belleza de por s. Gracias a las facilidades tecnolgicas en la arquitectura contempornea se est dando una fuerte tendencia a que las edificaciones estn basadas en modelos o funciones matemticas, permitiendo complejidades nunca antes exploradas en la historia; son estos avances los que permiten una mejor adaptacin a las formas y estructuras de la naturaleza.

BIBLIOGRAFA

ALBERTO, LUQUE LUNA; editorial Limusa; 1994 Elementos de geometra Euclidiana. FRANCIS, D. K. CHING; editorial G y G, 1995 La Arquitectura: Forma, Espacio y Orden. MICHAEL F. BARNSLEY fractales en todos lados. MARTNEZ CENDRA FRANCISCO, hacia una arquitectura fractal Diccionario Metapolis de arquitectura avanzada.

LINKOGRAFIA

PLATEA- http://platea.pntic.mec.es/~eherna1/euclides.htm UNIVERSIDAD DE MURCIA- http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/euclides/euclid.htm GENESIS GEOMETRICO- http://genesisgeometrico.blogspot.com/ EUCLIDES- http://euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm EUCLIDES- http://www.euclides.org/menu/articles/historiadelageometria.htm EUCLIDES- http://www.euclides.org/menu/articles/metodo-euclidiano.htm GEOMETRIA- http://cursogeometriaplana.blogspot.com/2009/07/historia-de-la-geometria.html EXTRAIDO DE MATHEMATICS AN APPRECIATION, DE MICHAEL BERNKOPF, HOUGHTON MIFFLIN COMPANY BOSTON, 1975. http://www.x.edu.uy/iti/Los%20elementos%20de%20Euclides.pdf www.wikipedia.org/wjki/fractal http://personales.unican.es/alvareze/estalmat/Fractales2010/page_33.htm REVISTA DE EDUCACION Y PADAGOGIA, VOLUMEN XV N35 DIALNET- http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2559223

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y ARTES PLASTICAS | UNSAAC5