NOTAS DE CLASE:

PRIMER CURSO DE CALCULO

Arnaldo de la Barrera Correa

c©August 9, 2009

CONTENIDO

Contenido i

Prefacio 1

1 NOCIONES BASICAS DE GEOMETRIA 3

1.0.1 CLASES DE POLIGONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.0.2 CLASES DE CUADRILATEROS . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.0.3 CLASES DE PARALELOGRAMOS. . . . . . . . . . . . . . . 21

1.0.4 CLASES DE TRAPECIOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 TALLER DE CALCULO DIFERENCIAL 37

2.1 NOCIONES DE GEOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Bibliografıa 51

i

ii CONTENIDO

List of Figures

iii

iv LIST OF FIGURES

List of Tables

v

vi LIST OF TABLES

Prefacio

1

2 LIST OF TABLES

Capıtulo 1

NOCIONES BASICAS DE

GEOMETRIA

PUNTO, RECTA Y LINEA: Son conceptos primitivos en geometrıa sin embargo

podemos dar una nocion intuitiva de ellos. Un punto puede ser la marca que deja

la punta de un lapiz, una partıcula atomica, un planeta en el sistema solar.

Dados dos puntos podemos representar la recta q pasa por ellos.

OBSERVACION: Dados dos rectas su interseccion es un punto. Es corriente

en geometrıa representar un punto por las letras A, B, C, de ahı podemos decir que

una rectade ahı podemos decir que una recta esta esta representada por un conjunto

de puntos aun cuando esa idea no era aceptada en la antiguedad, sin embargo en

los siglos XVIII y XIX se revaluo el hecho de concebir la recta como un conjunto

de puntos se logra establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos de

una recta (Geometrıa)y el conjunto de los numeros reales (conjunto numerico). Una

recta esta formada por infinitos puntos.

3

PUNTO: Un punto se representa graficamente por un pequeno cırculo de

tamano variable pero aun el mas pequeno posee cierta area. En matematicas, un

punto no tiene tamano, solo tiene posicion. Para referirse a los puntos, se emplean

letras mayusculas.

RECTA: Significara siempre una lınea que se prolonga indefinidamente en dos

sentidos opuestos. Al dibujar una recta, se trazan puntas de flechas para enfatizar

el hecho de que la recta no termina.

PLANO: Es una superficie llana que se extiende indefinidamente. Una pizarra

o la ventana nos da la idea de un plano.

Igual que en la recta, y en todas las figuras geometricas, se puede considerar

un plano como un conjunto de puntos.

POSTULADOS:

Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno.

Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta esta contenida

en el plano.

Dos puntos de un mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta

que da origen a los dos semiplanos; y dos puntos de distinto semiplano determinan

4

un segmento que corta a la recta.

Si dos planos tienen un punto comun tiene una recta comun.

SEMIPLANO: Una recta divide al plano en dos semiplanos. La interseccion de

dos planos es una recta. Dos planos son paralelos si no se intersecan. Dos planos

son perpendiculares si el angulo formado entre ellos es de 90.

PLANOS PERPENDICULARES

SEGMENTO DE RECTA: dado una recta y dados dos puntos de ella, la

parte comprendida entre esos puntos recibe el nombre de segmento de recta.

5

SEMIRECTA: Es la porcion de la recta limitada en un punto denominado

origen.

POSTULADA DE EUCLIDES: Por un punto afuera de una recta no se

puede trazar a esta mas que una sola paralela (quinto Postulado), ese no es el caso

en las geometrıas no euclidianas.

Ejercicio 1.1. Dar un ejemplo de las geometrıas no euclidianas donde no se cumpla

este postulado

SITUACION DE DOS RECTAS EN EL PLANO

RECTAS PARALELAS: Son dos rectas que no tienen ningun punto en

comun por mucho que se prolonguen (a) y si se cortan reciben el nombre de RECTAS

SECANTES (b), y si se cortan formando un angulo de 90 reciben el nombre de

RECTAS PERPENDICULARES (c).

SITUACION DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

RECTA Y UN PLANO: Toda recta perpendicular a un plano es NORMAL

al mismo.

6

SUPERFICIE:

Definicion. 1. Cara externa de un cuerpo solido. El modelo mas sencillo de

una superficie es una hoja de papel. Mas adelante le vamos a asignar una medida a

las superficies que recibe el nombre de area.

Definicion. 2. Lo que limita al cuerpo y es carente de volumen (Hacer dibujo

de un cono, un cilindro bien especificas) Son las caras laterales de la figura.

a. EN EL PLANO

b. EN EL ESPACIO

c. EN EL ESPACIO N-DIMENSIONAL: La superficie reciben el nombre

de VARIEDAD

7

d. CONSTRUCCION DE SUPERFICIE: Se pueden construir modelos de

superficies con una hoja de papel suficientemente flexible.

RECTA Y UNA SUPERFICIE: Una recta es NORMAL a una superficie

en un punto si es perpendicular al plano tangente en dicho punto.

Las superficies pueden ser suaves y no suaves, tambien pueden ser orientables o no

orientables.

ANGULO: Se llama angulo a la union de dos rayos que tienen el mismo punto

extremo. A los dos rayos se le llama lados del angulo y a su punto extremo comun

se le llama vertice.

Elementos de un angulo:

Vertice: Es el origen ”O” comun de los rayos.

Lados: Son los rayos que forman el angulo.

Notacion: A un angulo, se le denota con los siguientes sımbolos

8

Angulo solido

El angulo solido es la zona del espacio limitada por una superficie conica, o el angulo

espacial que un objeto abarca, visto desde un punto dado, que mide el tamano

aparente de ese objeto.

Para calcular el angulo solido de una superficie, se proyecta el objeto sobre

una esfera de radio conocido. Dicho en terminos simples, el angulo solido mide el

”trozo de cielo” que ”ocupa” un objeto. La unidad del angulo solido en el SI es el

estereorradian, cuya abreviatura es sr. Es la amplitud del casquete esferico de una

esfera de radio unidad, abarcado por un cono cuyo vertice esta en el centro, siendo

esta superficie (un radian al cuadrado). Es una magnitud adimensional y se indica

con la letra griega ?. La ecuacion dimensional del angulo solido, al igual que la del

angulo plano es 1. Para calcular el angulo solido bajo el cual se ve un objeto desde

un punto, se proyecta el objeto sobre una esfera de radio conocido, centrada en el

punto de vista. Si la superficie de la proyeccion del objeto sobre la esfera es , el

angulo solido bajo el cual se ve el objeto es, por definicion:

9

Ω =S

R2

TANGENCIA: se dice que un punto M variable tiende hacia un punto fijo

A cuando la distancia de estos dos puntos tiende a cero.

a. TANGENCIA A UNA CIRCUNFERENCIA: la recta AM que une un

punto fijo A de una circunferencia con un punto variable M de las misma

tiende hacia una posicion limite cuando M tiende hacia A. esta posicion limite

se llama TANGENTE a la circunferencia en el punto A

b. TANGENCIA A UNA CURVA ARBITRARIA: Dada una curva C una

recta L, la cual es secante a dicha curva (corta a la curva en dos puntos A y

M) suponemos A punto fijo de la curva y M un punto variable que se mueve

hacia A. decimos que la recta secante tiende a la recta tangente en A cuando

la distancia entre A y M tiende a cero.

10

c. TANGENCIA A UNA SUPERFICIE: Se toma como referencia el con-

cepto de plano tangente.El plano que toca a la esfera en un solo punto es

llamado plano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano

tangente.

CONICAS: Se le da el nombre de conicas a los lugares geometricos siguientes:

circunferencia, parabola, elipse e hiperbola. Este nombre es debido a que se obtienen

por la interseccion de un cono con un plano.

EJEMPLOS:

La circunferencia es el lugar geometrico de puntos que equidistante de uno fijo

llamado centro. La distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro

se denomina radio.

La elipse es el lugar geometrico de puntos del plano, cuya suma de distancias

a dos puntos fijos (los focos F y F’) es constante

11

La parabola es el lugar geometrico de puntos P, tales que equidistan de un

punto fijo llamado foco y de una recta denominada directriz.

La hiperbola es el lugar geometrico de los puntos del plano, cuya diferencia

de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante.

POLIGONOS: Figura plana formada por una lınea poligonal S1,S2,...Sn, tal

que el extremo de S1 no comun a S2 se confunda con el extremo de Sn no comun

12

con Sn¡1. Los segmentos S1,S2,...Sn se denominan lados del polıgono y sus extremos

se llaman vertices.

Caracterısticas generales. Un cuadrilatero es una figura plana formada por cua-

tro lados. Un polıgono es la porcion de plano formado por lıneas que se cortan dos

a dos

POLIGONO IRREGULAR. Es el que tiene los lados y los angulos desiguales.

POLIGONO REGULAR. Es el que tiene los lados iguales y los angulos

tambien.

POLIGONOS INSCRITOS. Tiene sus vertices en una circunferencia. Los

lados son cuerdas de la circunferencia.

13

POLIGONOS CIRCUNSCRITOS. Los lados son tangentes a una circun-

ferencia.

POLIGONOS ESTRELLADOS. Los polıgonos que tengan sus angulos

salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una lınea que-

brada continua y cerrada, se llaman Polıgonos Estrellados.

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1.0.1 CLASES DE POLIGONOS

TRIANGULO: Un triangulo es un polıgono que tiene tres lados y tres

angulos. De acuerdo a la longitud de sus lados y al tipo de angulos que tiene

los podemos clasificar en:

OBSERVACION

a) Triangulo equilatero: es el triangulo que tiene sus tres lados iguales.

15

b) Triangulo isosceles: es el triangulo que tiene dos lados iguales.

c) Triangulo escaleno: es el triangulo que tiene sus tres lados distintos.

Clasificacion de los triangulos segun sus angulos

16

a) Triangulo rectangulo: es el triangulo que tiene un angulo recto.

b) Triangulo obtusangulo: es el triangulo que tiene un angulo obtuso.

c) Triangulo acutangulo: es el triangulo que todos sus angulos son agudos.

MEDIANAS: Se llama mediana de un triangulo ABC cada una de las tres

rectas que pasan por un vertice A y el punto medio de A’ es decir el punto medio

de BC, evidentemente dos medianas A y A’, B y B’ se cortan en punto G, Llamado

Baricentro O CENTRO DE GRAVEDAD, segun la siguiente figura

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ALTURAS: Se llama altura de un triangulo a la perpendicular trazada de

uno de sus vertices al lado opuesto. Las altura de un triangulo concurren en un

mismo punto llamada ORTOCENTRO.

BiSECTRICES: se llaman bisectrices interiores del angulo A del triangulo

una de las bisectrices de los angulos formados por las rectas AB y AC precisamente

la corta el lado BC en el punto D.

Se llama bisectriz exterior a la segundo bisectriz de este angulo en general esta

corta en el punto D’ de una de las prolongaciones de la recta BC.

18

CUADRILATEROS: Los cuadrilateros son polıgonos de cuatro lados. Los

tipos de cuadrilateros son variados y dependen de si sus lados son o no paralelos,

tienen o no la misma longitud y son o no perpendiculares entre sı. Estas y otras

caracterısticas se deberan tener en cuenta para poder construir los distintos tipos

de cuadrilateros.

Caracterısticas generales.

Un cuadrilatero es una figura plana formada por cuatro lados que se cortan dos a

dos. Segun la disposicion de los lados y los angulos que forman, se obtienen distintos

tipos de cuadrilateros.

Cuando los lados son paralelos dos a dos, los cuadrilateros se llaman Paralel-

ogramos.

Cuando solamente son dos los lados paralelos, el cuadrilatero se llama Trapecio.

19

Cuando no existe ningun lado paralelo a otro, el cuadrilatero se llama Trape-

zoide.

Diagonal: es la recta que une un vertice con otro no inmediato.

1.0.2 CLASES DE CUADRILATEROS

20

1. PARALELOGRAMAMO. Un paralelogramo es un cuadrilatero que tiene

sus lados paralelos dos a dos.

2. TRAPECIO. Es un cuadrilatero que tiene dos lados paralelos y los otros dos

no.

3. TRAPEZOIDE. Es un cuadrilatero que no tiene ninguno de sus lados par-

alelo a otro.

1.0.3 CLASES DE PARALELOGRAMOS.

• El cuadrado tiene todos los lados iguales y sus vertices forman angulos rectos

(de 90o).

• El rectangulo tiene los lados iguales dos a dos. Sus vertices tambien forman

angulos rectos.

• El rombo tiene todos sus lados iguales pero sus vertices tienen angulos distintos

al angulo recto e iguales dos a dos.

21

• El romboide tiene los lados iguales dos a dos y sus angulos iguales dos a dos y

distintos del angulo recto.

1.0.4 CLASES DE TRAPECIOS.

• El trapecio tiene dos de sus cuatro lados paralelos, los otros dos no.

• El trapecio rectangulo se caracteriza porque uno de los angulos es un angulo

recto.

• El trapecio isosceles se caracteriza porque sus dos lados no paralelos tienen el

mismo tamano.

CONSTRUCCIONES

Una de las formas de abordar la geometrıa elemental hoy en dıa esta basada en

el concepto de metrica: se miden distancias, se miden angulos y las ideas fundamen-

tales de congruencia de segmentos y de angulos se dan en terminos de distancia y

medida angular respectivamente. Las herramientas utilizadas son una regla gradu-

ada con la cual es posible medir longitudes de segmentos con toda precision y desde

luego trazar rectas entre dos puntos y un transportador que permite medir angulos.

Teorema: (de los dos cırculos)

Sean C y C’ cırculos de radio ay b respectivamente y sea c la distancia entre

sus centros. Si cada uno de los numeros a, b y c es menor que la suma de los otros

22

dos y C y C’ se interceptan en dos puntos, dichos puntos se encuentran en lados

opuestos de las rectas que unen los centros.

Teorema: (El compas moderno y el compas euclidiano son equivalentes)

Demostracion. Mas precisamente se trata de probar que dados tres puntos A, B y

C se pueden trazar, con el compas euclideo, el cırculo de centro C y de radio AB

procedemos de la siguiente manera:

Con centro en C trazamos el circulo que pasa por A y con centro en A, el

circulo que pasa por C. el teorema de los dos cırculos nos asegura que ellos se cortan

en puntos K y K’. Con centro en K y luego en K’ se trazan los cırculos que pasan por

B. si B no esta sobre el segmento KK’ estos cırculos se interceptan en otro punto,

digamos D, cuya distancia a C es precisamente AB.

CONSTRUCCIONES ELEMENTALES

EL BISECTOR PERPENDICULAR DE UN SEGMENTO

Una de las construcciones que aparece implıcita en la demostracion del teorema

anterior es la del bisector perpendicular de un segmento dado AB. (Ver construccion

anterior). Veamos las intersecciones en los puntos K y K’. Sea M el punto de

interseccion de los segmentos de recta KK’ y AB este punto efectivamente existe

puesto que el segmento KK’ es una cuerda de los dos cırculos y se encuentra en la

23

interseccion de los dos. Ahora el triangulo KAK’ es congruente KBK’ (LLL) luego

AKM BKM (LAL) los triangulos AKM y BKM son congruentes. Esto demuestra

el resultado ya que por otra parte KMA KMB y la suma de los dos es 180, asa

cada uno de ellos es recto: por otra parte AM = MB luego M es el punto medio del

segmento AB.

CONSTRUCCIONES USANDO SOLO EL COMPAS

Consiste en duplicar un segmento AB usando solo el compas con centro en B

y radio AB se traza un circulo y sobre el se transporta AB tres veces comenzando

en el punto A, el punto final C esta sobre la recta AB y AC = 2 AB. Utilice

esta construccion para encontrar el punto medio de AB utilizando solo el compas.

Construimos C tal que AC = 2 AB y trazamos el circulo con centro en A y radio

AB este cırculo intercepta al cırculo con centro en C y radio CA en los puntos R

y S. trazamos el circulo con centro en estos puntos y radio RA = SA = AB el

segundo punto de interseccion de estos dos cırculos M es el punto buscado en efecto

los triangulos RAM y CRA son isosceles. (Verificar) Luego los dos triangulos son

semejantes y sus respectivos lados proporcionales. AMRA

Luego AM.AC = (RA)2 =

(AB)2 pero AC = 2AB ası AM.2AB = (AB)2 y 2AM = AB.

24

Ejercicio 1.2.

1) Llamamos a, b, c los lados de un triangulo y A, B, C, los respectivos angulos.

Construir los triangulo dados:

i) a, b, C

ii) a, B, C

iii) a, b, c

iv) a, b, A.

en cada caso discutir cuando la solucion existe y cuando es unica.

2) Construir un triangulo rectangulo dados: i) los dos catetos ii) la hipotenusa y

un angulo iii) la hipotenusa y un cateto.

3) Construir un triangulo isosceles dados; i) la base y un angulo ii) la base y un

lado iii) un lado y un angulo.

OTRAS CONSTRUCCIONES SENCILLAS

CONSTRUCCIONES DE LAS TANGENTES A UN CIRCULO

Se P un punto exterior de un circulo u sea O su centro podemos trazar la

tangente si conocemos el punto T de tangencia, pero sabemos que la tangente es

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ortogonal al radio, es decir, el angulo OTP es recto. El punto T esta entonces sobre

el circulo con radio OP, las rectas PT y PT’ donde T y T’ son puntos de interseccion

del circulo dado con el circulo de diametro OP.

CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGULARES Dado un circulo

basta trasladar sobre el circulo su radio 6 veces a partir de un punto dado, determi-

nando ası los vertices del hexagono. Podemos tomar allı 3 vertices no consecutivos

y se construye un triangulo equilatero. A partir del hexagono se construye polıgonos

de 12, 24 48, lados por bisecciones de los arcos del circulo comprendido entre dos

bisectrices, en la misma forma se construyen polıgonos de 4, 8, 16, lados a partir del

diametro del circulo.

CUERPO GEOMETRICO O SOLIDO: Es todo aquello que ocupa un lugar

en el espacio Ejemplos: Una Esfera, un cilindro, un lapiz, un cono, etc.

26

Teorema (Gauss) Un polıgono regular de n lados se puede construir con

regla y compas si y solo si los factores primos impares de n son primos de Fermat

”distintos”, un primo de Fermat es un primo de la forma ası los numeros primos de

Fermat conocidos son 3, 5, 17, 257, 65537.

Ejercicio 1.3.

1) Trazar la tangente a un circulo dado por un punto P sobre el circulo

2) Dados dos cırculos distintos trazar las tangentes exteriores a los dos circulo (sug-

erencia: trazar las paralelas a las tangentes al cırculo con centro en O y radio R -

R’ desde O’)

3) Trazar un cırculo tangente a dos rectas paralelas dadas y que pase por un punto

dado.

CUERPO GEOMETRICO O SOLIDO: Es todo aquello que ocupa un

lugar en el espacio Ejemplos: Una Esfera, un cilindro, un lapiz, un cono, etc.

CUERPOS SOLIDOS:

Son cuerpos solidos: una esfera, un cono, un prisma, etc.

27

Ejercicio 1.4. ¿Que solido de revolucion se obtiene al girar la superficie dada alrede-

dor del eje y.

POLIEDROS:

Definicion de Poliedro: Un poliedro es un solido cuya superficie consta

de caras poligonales un poliedro es una superficie formada por numero finito de

polıgonos.

Es una superficie formada por polıgonos colocados de forma que en cada arista se en-

contrasen exactamente dos polıgonos y que fuese posible ir del interior de un polıgono

al interior de otro, siguiendo un camino que no cruce nunca una arista por un vertice.

Un poliedro es un lugar geometrico formado por los puntos del espacio que pertenecen

a una superficie poligonal dispuesta de tal forma que:

1. En cada arista se encuentren exactamente dos caras.

2. Es posible ir desde el interior de un polıgono al interior de otro, siguiendo un

camino que no cruce nunca una arista por un vertice.

28

3. Las caras solo se cortan a lo larga de las aristas. Un poliedro es un lugar

geometrico formado por los puntos del espacio que pertenecen a una superficie

poligonal dispuesta de tal forma que:

• En cada arista se encuentra exactamente dos caras

• Es posible desde el interior de un polıgono al interior de otro, siguiendo

un camino que no cruce nunca una

• arista por un vertice.

• Las caras no pueden contarse mas que por las aristas

• No pueden tener huecos

Ejercicio 1.5.

1. Un tetraedro regular es un poliedro formado por cuatro caras que son triangulos

equilateros, y cuatro vertices en cada uno de los cuales concurren tres caras. Es

uno de los cinco poliedros perfectos llamados solidos platonicos. Ademas es uno de

los ocho poliedros convexos denominados deltaedros. Aplicandole la nomenclatura

estandar de los solidos de Johnson podrıa ser denominado piramide triangular.

Para la escuela pitagorica el tetraedro representaba el elemento fuego, puesto

que pensaban que las partıculas (atomos) del fuego tenıan esta forma.

29

2. Un cubo, o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadrados congruentes,

siendo uno de los llamados solidos platonicos.

Un cubo, ademas de ser un hexaedro, puede ser clasificado tambien como par-

alelepıpedo, recto y rectangulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas

dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al

lado de la base.

El hexaedro regular, al igual que el resto de los solidos platonicos, cumple el Teorema

de poliedros de Euler, pues tiene seis caras, ocho vertices y doce aristas (8+6=12+2).

3. Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Con este numero de caras puede ser un

poliedro convexo o un poliedro concavo. Sus caras han de ser polıgonos de siete lados

o menos. Si las ocho caras del octaedro son triangulos equilateros, forzosamente

iguales entre sı, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno

de los llamados solidos platonicos.

30

4. Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o concavo. Sus caras han de

ser polıgonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentagonos

regulares, forzosamente iguales entre sı, el dodecaedro es convexo y se denomina

regular, siendo entonces uno de los llamados solidos platonicos.

5. icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o concavo. Sus caras han de

ser polıgonos de diecinueve lados o menos. Si las veinte caras del icosaedro son

triangulos equilateros, forzosamente iguales entre sı, el icosaedro es convexo y se de-

nomina regular, siendo entonces uno de los llamados solidos platonicos. El poliedro

conjugado del icosaedro es el dodecaedro.

31

LOS POLIEDROS REGULARES

TEMAS DE PROFUNDIZACION

SUPERFICIE ORIENTABLE

El concepto de orientacion de una superficie se refiere a la posibilidad de hacer una

eleccion adecuada del vector normal, N(P) en cada punto P de la misma. Para

decidir la orientabilidad de una superficie es preciso considerar no solamente la

regularidad en cada punto de ella, y, por lo tanto, sus propiedades locales (recuerdese

que el vector normal en un punto se puede definir en tanto existe el plano tangente

a la superficie e ese punto), sino tambien un aspecto global como es la forma en que

varıa ese vector normal a lo largo de la superficie en su totalidad.

32

SUPERFICIES NO ORIENTABLES (Banda de Mobius)

La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /møbius/ o en espanol

a menudo ”moebius”, pero nunca ”mobius”) es una superficie con una sola cara y

un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matematica de ser

un objeto no orientable. Tambien es una superficie reglada. Fue co-descubierta

en forma independiente por los matematicos alemanes August Ferdinand Mobius y

Johann Benedict Listing en 1858.

Una cinta de Moebius construida con un trozo de papel y cinta adhesiva.

Construccion de una cinta de Mobius

Para construirla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremos dando media

vuelta a uno de ellos. Se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la

frontera (un cilindro ), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira 180 uno

de los extremos y se vuelve a pegar.

Propiedades

33

El sımbolo internacional de Reciclaje es una banda de Moebius.

La banda de Mobius tiene las siguientes propiedades:

• Tiene solo una cara: si se colorea la superficie de una cinta de Mobius, comen-

zando por la ”aparentemente” cara exterior, al final queda coloreada toda la

cinta, por tanto, solo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior

y cara exterior (vease: [1]).

• Tiene solo un borde: Lo que se puede comprobar siguiendo el borde con un

dedo, notando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido ”ambos

bordes”, por tanto, solo tiene un borde.

• Esta superficie no es orientable: Una persona que se desliza tumbada sobre

una banda de Mobius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa

aparecera mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes

perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta,

se llegara al punto de partida con la orientacion invertida.

• Otras propiedades: Si se corta una cinta de Mobius a lo largo, a diferencia de

una cinta normal, no se obtienen dos bandas, sino que se obtiene una banda

mas larga pero con dos giros. Si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se

obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van

cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo mas bandas entrelazadas

34

(se puede ver en esta grabacion: [2]). Este objeto se utiliza frecuentemente

como ejemplo en topologıa.

Geometrıa

Plot parametrico de una banda de Mobius

Representa una banda de Mobius de ancho unitario, cuya circunferencia central

tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en . El

parametro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto

a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

35

36

Capıtulo 2

TALLER DE CALCULO

DIFERENCIAL

2.1 NOCIONES DE GEOMETRIA

1. En la figura, ABCD es un cuadrado con ¡ECD = ¡EDC = 15. Muestre que el

triangulo AEB es equilatero.

2. Dada una recta L y una circunferencia C, construye las circunferencias de radio

r que sean tangentes a la vez a la recta y a la circunferencia.

37

3. Dado un segmento de recta AC de longitud b, esto es m(AC ) = b. Si se divide

este segmento en dos partes

Supongamos m(AE ) = a

• Escribir una expresion para el producto m(AE) x m(EC) en terminos de

a y b.

• ¿Por donde debe dividirse este segmento para que el producto sea maximo?

4. El teorema de Pitagoras establece que en un triangulo rectangulo los catetos

y la hipotenusa se encuentran relacionados por: h2 = a2 + b2 . Una prueba de

este teorema se establece geometricamente mediante el dibujo:

¿Que figura deberıamos colocar en los lados par establecer a2 +b2 < h2 , y, a2 +

b2 > h2?

5. Dadas las curvas y el punto P, ¿Cuantas tangentes se pueden trazar por P?

38

6. A partir de el cuadrado de lado 1 y utilizando el teorema de Pitagoras se

obtiene el numero irracional√

2

¿Que figura darıa origen a√

3?

7. Origen del Numero Pi (π)

En la antiguedad los griegos observaron que dada una circunferencia de diametro

d y perımetro p, la relacion pd

= constante. A esta constante le dieron el nombre

de Pi (π).

Dibuja al menos tres circunferencia y verifica dicha relacion.

39

8. Surgimiento del Numero de Oro ?

• Usando un pentagono regular de lado 1, verifique que φ =√

5+12

• Verifica que φ =√

5+12

utilizando el rectangulo aureo (consulta)

9. Sean x, y numeros enteros positivos. Probar geometricamente que la media

aritmetica es mayor o igual que la media geometrica, esto es x+y2≥ √xy

• ¿Cuanto se tiene la igualdad? Ayuda: Dibuje una circunferencia de

diametro d = x+ y

• Pruebe que ^ABC = 90 y luego calcula h.

10. Dada la figura:

40

Halle el area del triangulo.

11. Dados los cırculos concentricos de radio 1 y 2 respectivamente.

• Hallar A2

A1= Area2

Area1=?

• ¿Al duplicar el radio se duplica el area?

• Y si se triplica ¿que sucede?

• Generaliza lo anterior.

12. Realicemos ahora el ejercicio anterior para el caso de dos esferas de radio 1 y

2 respectivamente.

41

• Hallar V 2

V 1= V olumen(2)

V olumen(1)=?

• Al duplicar el radio se duplica el volumen?

• Que relacion matematica se puede establecer entre estos dos volumenes?

• Generaliza lo anterior.

13. Dada la figura

• Encuentre el area del triangulo mayor en terminos del menor.

• Realiza el ejercicio a la inversa.

14. Un pedazo de lamina se puede enrollar de dos maneras para formar un recip-

iente en forma de cilindro circular recto. Uno de los cilindros tiene una altura

de 21 cm y el otro 28 cm.

• ¿Como son los volumenes? Si no son iguales.

• ¿Cual contiene el mayor volumen?

• ¿Cual tiene mayor area lateral?

15. Trazar la bisectriz del angulo que se muestra a continuacion. (Nos falta el

vertice)

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Proponga al menos dos formas posibles.

16. Dado un triangulo equilatero, se selecciona un punto interior aleatoriamente,

conforme se muestra en la figura: Sean Pa, Pb y Pc las alturas respectivas.

Probar que Pa + Pb + Pc = Altura del triangulo ABC

17. ABCD es un paralelogramo, AC y BD las diagonales.

• ¿Que propiedades observa en la figura?

• Escriba argumentos para defenderlas.

18. ABCD es un rombo, AC y BD las diagonales.

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• ¿Que propiedades observa en la figura?

• Escriba argumentos para defenderlas.

19. Dados los lados a, b y c construir un triangulo. Ademas, argumentar en que

casos es imposible esta construccion.

20. En un cırculo dado, inscribir tres cırculos iguales de tal manera que cada uno

sea tangente a los otros dos y tambien al cırculo dado.

21. Dada la figura, ABCD es un paralelogramo.

Mostrar que las areas sombreadas son iguales.

22. Dada una circunferencia cualquiera, mediante un proceso constructivo, en-

cuentre su centro.

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23. Dado que el angulo ^ABC y `1⊥−−→BC, y `2⊥

−→BA.

Mostrar que α = m^ABC

24. Dada la figura, si el diametro del cırculo es b.

Halla el valor de x en terminos de b.

25. En un cırculo se seleccionan dos o mas puntos sobre la circunferencia y se

conectan los pares con segmentos de recta. Para un numero dado de puntos,

¿Cual es el mayor numero de regiones que se forman al trazar estos segmentos?

Ayuda: Encuentre una conexion entre este problema y el Triangulo de Pascal.

Observe algunos casos:

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26. Dado el cuadrado ABCD de lado a.

• Calcule el area del triangulo ABC.

• Que pasa con esta area cuando el punto E se mueve a lo largo de DC.

27. Demostrar que cualquier cubo es la suma de varios impares consecutivos.

Ayuda: Usar induccion. Observe los siguientes ejemplos:

28. Paralelogramo - Vs - cilındrico: Dado el paralelogramo ABCD.

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• ¿Como se deben pegar los lados para formar un cilindro?

• ¿Cual serıa el area lateral de este cilindro?

29. En un cuadrilatero de vertices ABCD.

• Dibujar el cuadrilatero cuyos vertices son los puntos medios de los lados

del cuadrilatero ABCD.

• Construir el cuadrilatero que tiene como puntos medios de sus lados los

puntos A, B, C, D.

30. Dados dos puntos A y B, sea r una recta que no es perpendicular a la recta

AB. Dibujar la circunferencia que pasa por los puntos A y B y cuyo centro se

encuentre en la recta r.

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31. Llega a la definicion: Para trabajar con los objetos y relaciones geometricas

nos hace falta entender y hacer definiciones en terminos de puntos, rectas,

segmentos, polıgonos, etc. Sigue atentamente esta secuencia de proposiciones

y al final propon y escribe una definicion de lo que es un ”TRIANQUAD”.

32. Entiende la Definicion: Nos inventamos la siguiente definicion: ”Un Bitrian

es una forma geometrica consistente en dos triangulos con un vertice comun”.

Dibuja 7 formas diferentes de Bitrians. Comprueba una lista de atributos o

propiedades comunes.

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Bibliografıa

[1] L. Lamport. LATEX A Document Preparation System Addison-Wesley,

California 1986.

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