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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD, VOL. 1 Miguel Angel García Alvarez

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    INTRODUCCIN A LA TEORA DE LA

    PROBABILIDAD, VOL. 1

    Miguel Angel Garca Alvarez

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    CONTENIDO

    Prlogo vii

    Notacin ix

    Un poco de historia 1

    Parte 1. EL CLCULO DE PROBABILIDADES 9

    Captulo 1. EL MODELO MATEMTICO 111. Experimentos aleatorios 112. Eventos 153. Principio de regularidad de las frecuencias 164. El concepto de probabilidad 185. Espacios muestrales 196. Representacin de eventos 207. Composicin de eventos 21

    8. Funciones de probabilidad 24Captulo 2. LAS REGLAS BSICAS 27

    1. Algunas propiedades elementales 272. Propiedad de la aditividad finita 283. Regla de la suma 284. Elecciones al azar y resultados equiprobables 295. Probabilidad condicional 326. Regla del producto 357. Independencia estocstica 38

    8. Interpretacin objetiva vs. interpretacin subjetiva de la probabilidad 44

    Captulo 3. MUESTREO ALEATORIO 511. Muestreo aleatorio con reemplazo 512. Muestreo aleatorio ordenado sin reemplazo 523. Muestreo aleatorio no ordenado sin reemplazo 544. Coeficientes binomiales 61

    iii

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    iv CONTENIDO

    Captulo4. COMBINANDO LAS REGLAS BSICAS 691. Regla de la probabilidad total 692. Regla de Bayes 78

    Captulo5. LA ADITIVIDAD NUMERABLE 871. Espacios muestrales infinitos numerables 872. Probabilidades geomtricas 993. Sucesiones infinitas de ensayos de Bernoulli 1054. El problema de la medida 1075. Espacios de Probabilidad 110

    5.1 Teorema de clases montonas 1125.2 Los borelianos y la medida de Lebesgue 116

    Parte 2. VARIABLES ALEATORIAS 125

    Captulo6. VARIABLES ALEATORIAS 1271. Variables aleatorias reales 1272. Funciones de distribucin 1293. Clasificacin de variables aleatorias 1314. Independencia de variables aleatorias 1345. Funcin gama 1366. Frmulas de Wallis y de Stirling 137

    Captulo7. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 143

    1. Distribucin binomial 1432. Distribucin geomtrica 1483. Distribucin binomial negativa 1504. Distribucin Poisson 1535. Distribucin hipergeomtrica 1586. Otras distribuciones 162

    6.1 Distribuciones truncadas 1626.2 Distribucin uniforme discreta 163

    7. Caminatas aleatorias 164

    7.1 Distribucin de la posicin en eln-simo paso 1647.2 Retornos al origen 1657.3 Distribucin del tiempo de primer retorno al origen 1687.4 Primer paso por un valor positivo 1687.5 Distribucin del tiempo de primer paso por un valor positivo 169

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    CONTENIDO v

    Captulo 8. VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS 1751. Distribucin uniforme continua 1752. Distribucin normal 1783. Teorema de de Moivre-Laplace 180

    4. Distribucin exponencial 1895. Distribucin gama 1926. Distribuciones uniformes en el plano 1957. Distribucin de funciones de variables aleatorias continuas 196

    7.1 Simulacin de distribuciones 198

    Captulo 9. ESPERANZAS 2071. Esperanza de variables aleatorias discretas 2092. Esperanza de variables aleatorias absolutamente continuas 2103. Algunas ideas errneas 2114. Definicin general de la Esperanza 2135. Esperanza de funciones de variables aleatorias 2206. Propiedades de la Esperanza 2237. Varianza y dems momentos 2298. Desigualdad de Chebyshev 2399. Funciones generadoras 243

    9.1 Funcin generadora de probabilidades 2449.2 Funcin generadora de momentos 249

    Apndice 2631. Sucesiones y series 2632. Integral de Riemann 264

    Respuestas a los ejercicios 269

    Tabla de la distribucin normal 283

    ndice 285

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    Prlogo

    Los hombres son los productores de sus representaciones,de sus ideas, etc., pero los hombres reales y actuantes,tal y como se hallan condicionados por un determinadodesarrollo de sus fuerzas productivas y por el intercam-bio que a l corresponde, hasta llegar a sus formacionesms amplias... All donde termina la especulacin, en lavida real, comienza tambin la ciencia real y positiva, la

    exposicin de la accin prctica, del proceso prctico dedesarrollo de los hombres.

    Karl Marx

    Este libro est concebido como introductorio a la Teora de la Probabilidad. Se presenta en ltodo el material que forma parte del programa de los dos primeros cursos de probabilidad quese ofrecen en varias universidades. El primer volumen comprende los temas correspondientesal primer curso y el segundo volumen comprende los del segundo curso.

    A este nivel introductorio, la Teora de la Probabilidad utiliza como herramienta matemticabsica el Clculo Combinatorio, la Teora de Series de nmeros reales y el Clculo Diferenciale Integral en una y varias variables, de manera que, para el primer volumen se asume elconocimiento de los dos primeros de estos temas as como del Clculo en una variable, mientrasque para el segundo volumen se asume adems el conocimiento del Clculo en varias variables.En este libro se pretende presentar una introduccin a la formulacin moderna de la Teora dela Probabilidad, intentando combinar diferentes aspectos: se busca la motivacin heursticade los conceptos, se trata de ubicar el origen de ellos y se exponen los resultados con elmayor rigor posible. Esta ltima tarea presenta dificultades pues la Teora de la Probabilidadmoderna requiere, como herramienta bsica, de la Teora de la Medida y sta no es conocidapor la mayor parte de los lectores a quienes est dirigido este libro. Para salvar esta dificultad,

    se introducen, a lo largo de los dos volmenes, los elementos que se necesitan para entenderalgunos conceptos probabilsticos bsicos y contar con la herramienta que permite demostrarlos resultados que se exponen.Como se muestra en este primer volumen, el mtodo para calcular probabilidades consiste encomenzar asignando probabilidades a una determinada familia de eventos y despus, utilizandolas propiedades de la funcin de probabilidad, se trata de extender sta a una familia de eventostan grande como sea posible. El enfoque de este libro es probabilstico en el sentido de que,para resolver cualquier problema, antes que nada, se busca llevar este mtodo tan lejos como

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    viii PRLOGO

    sea posible, en lugar de intentar reducirlo, desde el inicio, a un problema de otro tipo, comopudiera ser uno de Clculo Combinatorio.La Teora de la Probabilidad surge del estudio de los fenmenos aleatorios. El primer problemaa resolver en este estudio consiste en encontrar un modelo matemtico que permita analizar aprofundidad el fenmeno en consideracin. El modelo utilizado en este libro es el que formulAndrey Nikolaevich Kolmogorov en el ao 1933. Para un estudiante que se inicia en la Teorade la Probabilidad no resulta simple entender el por qu se utiliza este modelo, lo cual esmuy explicable por el hecho de que ste es el resultado de un proceso de investigacin en elcual estuvieron involucrados muchos estudiosos del tema y, por lo general, no se muestra alalumno ms que la conclusin del proceso. En este libro se profundiza en este tema buscandodar mayor claridad al estudiante.Este primer volumen est dividido en dos grandes partes; en la primera se desarrolla el mtodopara calcular probabilidades y se presentan las reglas bsicas; en la segunda se hace el estudiode las variables aleatorias, concepto bsico en la Teora de la Probabilidad.A su vez, la primera parte se divide en cinco captulos: en el primero se definen los conceptos

    bsicos del Clculo de Probabilidades y se comienza a construir el modelo matemtico delos fenmenos aleatorios; en el segundo se formulan las propiedades que permiten extenderla funcin de probabilidad, definida en el captulo 1, adems de introducir los conceptos deprobabilidad condicional y de independencia as como las reglas que se relacionan con ellos;en el tercer captulo se estudian diferentes maneras en que se puede seleccionar una familia deelementos de una coleccin dada; en el cuarto captulo se integra lo estudiado en los 3 primeroscaptulos para formular las reglas generales del Clculo de Probabilidades; finalmente, en elquinto captulo se completa el modelo matemtico de los fenmenos aleatorios introduciendo lapropiedad que facilita el estudio de aquellos cuyo conjunto de posibles resultados es infinito; deesta forma, queda formulado el modelo de Kolmogorov, el cual ser la base para los captulosposteriores.

    La segunda parte se divide en cuatro captulos: en el primero se hace un estudio general delas variables aleatorias, adems de formular algunos resultados de Clculo Integral que sernde utilidad ms adelante; en el segundo y tercero se estudian las familias bsicas de variablesaleatorias; finalmente, en el cuarto, se introduce y se estudia otro concepto fundamental de laTeora de la Probabilidad, el de Esperanza.

    Miguel A. Garca AlvarezJunio, 2003

    Departamento de MatemticasFacultad de Ciencias,UNAMMXICO D.F., 04510e-mail: [email protected]

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    Notacin

    Conjunto vacoN Conjunto de los nmeros naturalesZ Conjunto de los nmeros enterosR Conjunto de los nmeros reales{n , . . . , m} Conjunto de nmeros enteros entren y m inclusive{n, n + 1 . . .} Conjunto de nmeros enteros mayores o iguales anA B Unin de los conjuntosA y BA

    B Interseccin de los conjuntosA y BS

    nk=1 Ak Unin de los conjuntosA1, . . . , AnTnk=1 Ak Interseccin de los conjuntosA1, . . . , An

    Ac Complemento del conjuntoAA B Producto cartesiano de los conjuntosA y BA B El conjuntoA est contenido en el conjunto BA B El conjuntoA contiene al conjuntoB(a, b) Intervalo abierto{x R |a < x < b}[a, b] Intervalo cerrado{x R |a x b}(a, b] Intervalo semiabierto{x R |a < x b}[a, b) Intervalo semiabierto{x R |a x < b}x y Producto punto de los vectoresx y ykxk Norma del vectorx|x| Valor absoluto del nmero realx[[x]] Mayor entero menor o igual axz Conjugado del nmero complejozmn(a, b) Mnimo entrea y bmax(a, b) Mximo entrea y bx+ max(x, 0)x max(x, 0)Pnk=1 xk Suma de los nmerosx1, . . . , xn

    Qnk=1 xk Producto de los nmerosx1, . . . , xn

    ln x Logaritmo natural dexnk

    Combinaciones den elementos tomados de k enk

    g f Composicin de las funcionesfygf :A 7 B funcin definida sobre el conjunto A, con valores en el conjuntoBx xtiende al valor

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    Un poco de historia

    Le 29 juillet 1654

    Monsieur,Limpatiente me prend aussi bien qua vous; et quoique jesois encore au lit, je ne puis mempcher de vous dire queje reus hier au soir, de la part de M. de Carcavi, votrelettre sur les partis, que jadmire si fort, que je ne puisvous le dire. Je nai pas le loisir de metendre; mais en un

    mot vous avez trouv les deux partis des ds et des partiesdans la parfaite justesse; jen suis tout satisfait; car je nedout plus maintenant que je suis dans la verit, aprs larencontre admirable o je me trouve avec vous ... jen aitrouv un abrg, et proprement une autre mthode bienplus courte et plus nette, que je voudrais pouvoir vousdire ici en peu de mots; car je voudrais dsormais vousouvrir mon coeur, sil se pouvait, tant que jai de joiede voir notre rencontre. Je vois bien que la verit est lamme Toulouse et Paris.

    Carta de Pascal a Fermat

    El surgimiento del Clculo de Probabilidades, como disciplina matemtica independiente,tiene como base las soluciones que, durante el periodo que va del ao 1654 al 1657, dieronBlaise Pascal, Pierre de Fermat ([12]) y Christiaan Huygens ([14]) a varios problemas, entrelos cuales destacan los siguientes:

    Problema 1. Cmo deben repartirse las apuestas en un juego que se interrumpe? Porejemplo, suponiendo que dos jugadores, A y B, apuestan 32 pesos cada uno en un juego queconsiste de partidas consecutivas, en cada una de las cuales cada jugador tiene la mismaposibilidad de ganarla, de tal manera que quien gane una partida acumula un punto y el juegoes ganado por quien obtenga primero cuatro puntos, cmo deben de repartirse las apuestas encaso de que el juego se interrumpa cuando el jugador A ha ganado dos puntos y B un punto?

    Problema2. Cuntas veces se necesita lanzar un par de dados para que sea ms favorableobtener por lo menos un par de seises que no obtenerlo?

    Problema 3. Dos jugadores, P y Q, juegan a lanzar alternadamente un par de dados. Eljuego comienza lanzando P el par de dados, con la condicin de que si obtiene una sumaigual a6gana el juego; en caso contrario el juego contina lanzando Q el par de dados, con

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    2 UN POCO DE HISTORIA

    la condicin de que si obtiene una suma igual a7 gana el juego; en caso contrario el juegocontina lanzando P el par de dados bajo las condiciones iniciales. Cules son las respectivasprobabilidades que cada jugador tiene de ganar el juego?

    Problema 4. Dos jugadores, A y B, los cuales poseen 12fichas cada uno, juegan a lanzar

    sucesivamente tres dados, establecindose que A dar unaficha a B cada vez que se obtengauna suma igual a11, mientras que B dar unaficha a A cada vez que se obtenga una sumaigual a14. Si el ganador del juego es el primero que llegue a poseer las24 fichas, cules sonlas respectivas probabilidades que cada jugador tiene de ganar el juego?

    Los problemas 1 y 2 fueron planteados a Pascal en el ao 1654 por Antoine Gombaud de Mr,conocido como el chevalier de Mr, quien era aficionado a los juegos de azar y haba logradoresolver el problema 2 pero no el 1. Pascal y Fermat encontraron las soluciones correctasa los dos problemas, mismas que se dieron a conocer entre ellos en una serie de cartas lascuales constituyen los nicos documentos en los cuales quedaron plasmados los mtodos queutilizaron. Ms tarde, Huygens, sin conocer los mtodos utilizados por Pascal y Fermat,

    encontr tambin las soluciones correctas a ambos problemas y en el ao 1657 public sussoluciones en su libro De ratiociniis in Ludo Aleae([14]), siendo sta la publicacin que seconvirti en la base para el desarrollo posterior del Clculo de Probabilidades.Sin embargo, no fueron Pascal, Fermat y Huygens los primeros en resolver de manera correctaproblemas de probabilidad. La historia del Clculo de Probabilidades se remonta por lo menosal sigloXcuando se plantearon algunos problemas que ms tarde fueron la base para resolverproblemas de probabilidad. En particular, en esa poca se plante el problema de determinarcuntos resultados distintos pueden obtenerse al lanzar ndados. La primera solucin correctaconocida de este problema se encuentra en un poema titulado De Vetula y escrito porRichard de Fournival (1200-1250). Ah se afirma que3 dados pueden caer en un total de 216caminos.La primera referencia conocida a una relacin entre las diferentes posibilidades de ocurrenciade un evento y la frecuencia con que ste se observa, se encuentra en los comentarios a unapublicacin de La Divina Comediaque en el ao 1477 hizo Benvenuto dImola. Dice ah:Concerniente a estos lanzamientos (de dados) debe observarse que los dados son cuadradosy cualquier cara puede caer, as que un nmero que pueda aparecer en ms caminos debeocurrir ms frecuentemente, como en el siguiente ejemplo: con tres dados, tres es el mspequeo nmero que puede obtenerse y slo se obtiene con tres ases; cuatro puede obtenerseslo en un camino, con un dos y dos ases.En el libro titulado Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioniti et Proportionalit,escrito por Luca Paccioli en 1487 y publicado en 1494, se encuentra formulado un problema

    similar al 1: Dos personas juegan de manera que se requiere un total de60puntos para ganar,siendo el premio de 22ducados. Por alguna circunstancia, cuando uno tiene acumulados50puntos y el otro 30, no pueden continuar el juego. Qu parte del premio le corresponde acada uno?. Paccioli consideraba, errneamente, que la parte que corresponde a cada uno debeser proporcional a los puntos que lleva ganados; en este caso, la reparticin debera hacerseen la proporcin de 5 : 3, es decir, al que lleva 50 puntos le corresponderan 5

    8y al otro 3

    8.

    El primer estudio sistemtico de problemas de probabilidad se debe a Girolamo Cardano, quienen el ao 1526 escribi un libro titulado Liber de Ludo Aleae, cuya primera publicacin

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    UN POCO DE HISTORIA 3

    apareci en el ao 1663 ([6]). En ese trabajo, Cardano realiz un estudio de problemasrelacionados con lanzamientos de dados.En su libro, estableci Cardano el nmero de posibilidades en el lanzamiento de 2 y 3 dados,obteniendo36y216, respectivamente. Aunque en un lenguaje distinto al que se us ms tardeen el Clculo de Probabilidades, Cardano plante y resolvi, a la manera clsica, problemasde probabilidad. Un ejemplo es el siguiente:Considerando el lanzamiento de2dados, estableci que por lo menos un as se obtiene de 11maneras; lo mismo puede decirse de por lo menos un dos, y as sucesivamente. Agregaba que,sin embargo, un as o un dos no se obtiene de 22 maneras, pues hay 11 maneras en que seobtiene por lo menos un as y 9ms en que se obtiene por lo menos un dos, as que en totalson20maneras de obtener por lo menos un as o por lo menos un dos. Continuaba diciendoque si se agrega ahora el 3, habr 7 maneras ms y as sucesivamente; en el siguiente pasohabr que sumar5 maneras ms, luego3 y por ltimo 1.Deca entonces que si alguien dijera, quiero un as un dos o un tres, se sabe que hay 27caminos favorables y como el circuito es de 36, los caminos en que no se obtiene ninguno de

    estos nmeros son 9; las posibilidades son entonces de3 a 1.Con este razonamiento Cardano lleg de hecho a la llamada definicin clsica de probabilidadestableciendo las posibilidades de obtener un determinado resultado en funcin del nmero deposibles maneras en que ese resultado puede obtenerse.Situndonos nuevamente en la poca de Pascal y Fermat, el problema 1 fue el problema quems inters provoc debido a que pocos lograron encontrar la solucin correcta. La solucinde Fermat a este problema es la siguiente:Al jugador P le faltan dos partidas para ganar y al jugador Q tres partidas, entonces, a loms en 4 partidas adicionales se acaba el juego. Denotando por la letra a el que P gane unapartida y por la letra b el que gane Q, los posibles resultados de 4 partidas son los siguientes:

    (a,a,a,a), (a,a,a,b), (a,a,b,a), (a,b,a,a), (b,a,a,a), (a,a,b,b), (a,b,a,b), (a,b,b,a),(b,a,a,b), (b,a,b,a), (b,b,a,a), (a,b,b,b), (b,a,b,b), (b,b,a,b), (b,b,b,a), (b,b,b,b)

    en donde, por ejemplo, (b,b,a,b)significa que P gana slo la tercera partida y Q las otras3.De estos 16 posibles resultados, hay 11 que hacen ganar al jugador P, a saber, (a,a,a,a),(a,a,a,b),(a,a,b,a),(a,b,a,a),(b,a,a,a),(a,a,b,b),(a,b,a,b),(a,b,b,a),(b,a,a,b),(b,a,b,a),(b,b,a,a). Los5restantes hacen ganar al jugador Q. Por lo tanto, las apuestas se deben repar-tir en la proporcin11 : 5.Los mtodos seguidos por Pascal y Huygens para resolver este problema son distintos al deFermat pero similares entre ellos. Su solucin es como sigue:Supongamos que al jugador A le falta una partida para ganar y a B dos, entonces, al jugar

    la siguiente partida hay dos posibilidades, la primera es que P la gane, en cuyo caso gana eljuego y por lo tanto toda la apuesta, la segunda es que Q la gane, en cuyo caso P y Q quedanen igualdad de condiciones y debe entonces tocar a cada uno la mitad de las apuestas, es decir32. Entonces en un caso a P le tocan 64y en otro 32, as que, cualquiera que sea el caso, Ptiene asegurado32 y los otros32 de las apuestas pueden corresponder a P o a Q con un azarigual; por lo tanto, de esos 32, la mitad debe ser para P y la otra para Q. Es decir, cuando aP le falta un punto y a Q dos, a P le corresponde 32 + 16 = 48 y a Q16.

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    4 UN POCO DE HISTORIA

    Supongamos ahora que a A le falta un punto y a B tres. En esta situacin, si se juega lasiguiente partida, P puede ganar toda apuesta o bien 48 por el primer caso. Por lo tanto a Ple corresponde48 + 1

    2(16) = 56y a Q8.

    Finalmente, supongamos que a P le faltan dos puntos y a Q tres. En esa situacin, si se juega lasiguiente partida, P puede quedar faltndole un punto y tres a Q, en cuyo caso le corresponde56por el segundo caso; o bien, si Q gana esa partida, quedan en igualdad de circunstancias ytoca a cada uno 32. Entonces P tiene asegurados 32 y puede ganar 56 32 = 24con un azarigual que Q; as que entonces a P le corresponde 32 + 1

    2(24) = 44 y a Q 8 + 1

    2(24) = 20, es

    decir, la reparticin de las apuestas debe ser de 11 : 5.Aunque los resultados de Pascal, Fermat y Huygens permitieron el establecimiento de reglasgenerales para resolver problemas de probabilidad y en ese sentido pueden considerarse comoel origen del Clculo de Probabilidades, la Teora de la Probabilidad comenz a ganarseun lugar importante dentro de la Matemtica a partir del libro de Jacques Bernoulli, ArsConjectandi, publicado en el ao 1713, ocho aos despus de su muerte ([3]).Adems de resolver con sus propios mtodos los problemas ya resueltos por Pascal, Fermat

    y Huygens, Bernoulli se plante un problema de singular importancia, el cual sera la basepara todo el desarrollo posterior de la teora. Escribi Bernoulli en su libro: parece que, parahacer una hiptesis correcta sobre un hecho cualquiera, slo es necesario calcular exactamenteel nmero de casos posibles y, entonces, determinar las veces que puede posiblemente ocurrirun caso ms que otro. Pero aqu, inmediatamente, surge nuestra mayor dificultad, porque esteprocedimiento se puede aplicar nicamente a muy pocos fenmenos; de hecho, casi exclusiva-mente a los relacionados con los juegos de azar ... pero hay otro camino que nos conduce a loque buscamos, y nos permite, por lo menos, hallar a posteriori lo que no podemos determinara priori, o sea, averiguando a partir de los resultados observados en numerosos casos similares.Ha de suponerse, a este respecto, que, bajo condiciones similares, la ocurrencia (o no ocurren-cia) de un suceso en el futuro seguir la misma pauta que se ha observado para sucesos iguales

    en el pasado ... Lo que an tiene que ser averiguado es si, cuando se aumenta el nmero deobservaciones, tambin se sigue aumentando la probabilidad de que la proporcin registradade casos favorables y desfavorables se aproxime a la verdadera relacin ... Este es el problemaque he decidido publicar aqu, despus de haber trabajado sobre l durante veinte aos. Elresultado al que hace referencia Bernoulli en su libro es el ahora llamado teorema de Bernoulli(ver seccin 7.1).Ms tarde, en el ao 1733 ([10]), siguiendo a Bernoulli, Abraham de Moivre demostrarael ahora llamado teorema de de Moivre-Laplace (ver seccin 8.3). Ambos resultados consti-tuyeron los primeros teoremas lmite de la Teora de la Probabilidad, cuyo estudio se prolongdurante un periodo de ms de 200aos, sentando as las bases de la Teora de la Probabilidadmoderna.

    Los teoremas lmite fueron formulados y demostrados de manera general a principios del sigloXX, interviniendo en ese proceso, entre otros, Pierre Simon Laplace ([20], [21]), SimonDenis Poisson ([29]), Pafnuty Lvovich Chebyshev ([7], [8], [9]), Andrei Andreyevich Markov([27]), Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ([25], [26]), Flix douard Justin mile Borel ([2]),Francesco Paolo Cantelli ([3], [4], [5]), J. W. Lindeberg ([24]), Paul Pierre Lvy ([22], [23]),Aleksandr Yakovlevich Khintchine ([15], [16]), Andrey Nikolaevich Kolmogorov ([17], [18]) yWilliam Feller ([11]).

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    UN POCO DE HISTORIA 5

    A principios del siglo XX la Teora de la Probabilidad gozaba ya de una gran popularidad, sinembargo, sus fundamentos matemticos no eran satisfactorios. De hecho, la probabilidad noera considerada como parte de la Matemtica. Sus conceptos y mtodos eran especficos paralas aplicaciones y no formaban parte de una estructura abstracta general. La misma definicinde probabilidad, la cual estaba basada en el concepto de equiprobabilidad, resultaba insatis-

    factoria pues no en todos los fenmenos aleatorios resulta evidente qu resultados puedenconsiderarse como equiprobables.Una buena referencia para conocer el estado de la Teora de la Probabilidad a principios delsiglo XX es el libro de Jules Henri Poincar ([28]), cuya primera frase es elocuente: Nose puede dar una definicin satisfactoria de la probabilidad. Comenta ms adelante quela definicin completa de la probabilidad es una especie de peticin de principio: cmoreconocer que todos los casos son igualmente probables? Aqu, una definicin matemticano es posible; deberemos, en cada aplicacin, hacer convenciones, decir que consideramos taly tal caso como igualmente probables. Esas convenciones no son completamente arbitrarias,pero escapan al espritu del matemtico, que no tendr ms que examinarlas una vez que sonadmitidas. As, todo problema de probabilidad ofrece dos periodos de estudio: el primero,metafsico, por as decirlo, el cual legitima tal o cual convencin; el segundo, matemtico, queaplica a esas convenciones las reglas del clculo.El estudio de la fundamentacin matemtica de la Teora de la Probabilidad se realiz en losprimeros 30 aos del siglo XX, hasta que, en el ao 1933, A. N. Kolmogorov public un artculo([19]) en el cual estableci la formulacin de la Teora de la Probabilidad que prevalece hastanuestros das.El modelo que formul Kolmogorov es axiomtico, lo cual se explica por el hecho de que, aprincipios del siglo XX, el mtodo axiomtico haba ganado un gran prestigio, luego de lasaportaciones de Nikolai Ivanovich Lobachevskii, Hermann Minkowski y otros matemticos,las cuales mostraban que es posible definir geometras no euclideanas mediante diferentes

    sistemas axiomticos. Aportaciones como sas, as como la bsqueda del rigor en la cien-cia, haban llevado a plantear la necesidad de la axiomatizacin para todas las ramas de laMatemtica, as como para aquellas ramas de la Fsica en donde las Matemticas juegan unpapel preponderante ([13]).La historia de la Teora de la Probabilidad no termina con su fundamentacin matemtica;sta, que fue la conclusin de un proceso, se convirti a su vez en punto de partida paraprofundizar en temas estudiados con anterioridad y para el estudio de nuevos sujetos deinters. Una vez formulado el modelo de Kolmogorov, la Teora de la Probabilidad cont conuna nueva herramienta que la hara desarrollarse mucho ms: la Teora de la Medida. Enparticular, la Teora de los Procesos Estocsticos se convirti en el centro de inters de losestudiosos de la Probabilidad, tema que hasta la fecha contina desarrollndose.

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    Referencias

    [1] Bernoulli, J., LArt de Conjecturer, L.G.F. Vastel, G. Le Roy, Caen, 1801. Traduccin de Ars Conjectandi,Basileae, 1713.

    [2] Borel, F. E. J. E., Les probabilits dnombrables et leurs applications arithmtiques, Rendiconti delCircolo Matematico di Palermo, T. 27, p. 247-270, 1909. Reimpreso en Oeuvres de mile Borel, Tome II,Centre National de la Recherche Scientifique, p. 1055-1079, 1972.

    [3] Cantelli, F. P., Sulla legge dei grandi numeri, Mem. Acad. Lincei, Vol. 11, Srie 5, p. 329-349, 1916.[4] Cantelli, F. P., Sulla probabilit comme limite della frequenza, Rend. Acad. Lincei, Vol. 26, p. 39-45,

    1917.[5] Cantelli, F. P., Su due applicazioni di un teorema di G. Boole alla Statistica Matematica, Accademia dei

    Lincei Roma, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Rendiconti, 26 (5), p. 295-302, 1917.[6] Cardano, G., Liber de ludo aleae, 1564. Publicado en Opera Imnia, Vol. 1, 1663. Traduccin al ingls en

    The book on games on chance, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1961.[7] Chebyshev, P. L., Des valeurs moyennes, Matematicheskii Sbornik, 127, p. 1-9, 1867, tambin publicado

    en Liouvilles Journal de Mathmatiques Pures et Appliques, 88, p.177-184, 1867.[8] Chebyshev, P. L., Dmonstration lmentaire dune proposition gnrale de la thorie des probabilits.[9] Chebyshev, P. L., Sur deux thormes relatifs aux probabilits.

    [10] de Moivre, A., A method of aproximating the sum of the terms of the binomial (a+b)n expanded intoa series, from whence are deduced some practical rules, to estimate the degree of assent which is tobe given to experiments, The doctrine of chances, Third edition, p. 243-259, A. Millar, London, 1756.Reimpreso por Chelsea, New York, 1967. Traduccin (con algunas adiciones) de Approximatio ad summamterminorum binomii(a + b)n in seriem expansi, 1733.

    [11] Feller, W., ber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Zeitsch, 40, p.521-559, 1935.

    [12] Fermat, P. & Pascal, B., Correspondance - 1654, Oeuvres de Pascal, t. III, p. 369-430.[13] D. Hilbert, Sur les problmes futures des Mathmatiques, Comptes Rendus du Deuxime Congrs Inter-

    national des mathematiciens, Paris, p. 58-114, 1900.[14] Huygens, C., Du calcul dans les jeux de hasard, Oeuvres Compltes de Christiaan Huygens, Vol. XIV,

    Martinus Nijhoff, 1920. Traduccin de De Ratiociniis in Aleae Ludo, 1657.[15] Khintchine, A.Ya., Sur la loi des grands nombres, Comp. Rend. Acad. Sci., 188, p. 477-479, 1929.[16] Khintchine, A.Ya., Sur la loi forte des grands nombres, C. R. Ac. Sc. Paris, Vol. 186, p. 285-287, 1928.[17] Kolmogorov, A. N., Sur la loi des grands nombres, Rend. Acad. Lincei, Vol. 9, p. 470-474, 1929.[18] Kolmogorov, A. N., Sur la loi forte des grands nombres, C. R. Ac. Sc. Paris, Vol. 191, p. 910-912, 1930.[19] Kolmogorov, A. N., Foundations of the Theory of Probability, Chelsea, 1950. Traduccin de Grundbegriffe

    der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Erg Mat. 2, No. 3, 1933.[20] Laplace, P. S., Thorie Analytique des Probabilits (1812), Livre I. Calcul des fonctions gnratrices,

    Troisime edition, Courcier, Paris, 1820. Oeuvres compltes de Laplace, Tome septime, Gauthier-Villars,1886.

    [21] Laplace, P. S., Thorie Analytique des Probabilits (1812), Livre II. Thorie gnrale des probabilits,Troisime edition, Courcier, Paris, 1820. Oeuvres compltes de Laplace, Tome septime, Gauthier-Villars,1886.

    [22] Lvy, P. P., Calcul des Probabilits, Gauthier Villars, Paris, 1925.[23] Lvy, P. P., Thorie de laddition des variables aleatories, Gauthier Villars, Paris, 1937 (deuxime edition

    - 1954).

    7

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    8 REFERENCIAS

    [24] Lindeberg, J. W., Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung,Math. Zeitsch, t. 15, p. 211-225, 1922.

    [25] Lyapunov, A. M., Sur une proposition de la Thorie des Probabilits, Izv. Akad. Nauk., Ser. 5, 13, p.359-386, 1900.

    [26] Lyapunov, A. M., Nouvelle forme du thorme sur la limite des probabilits, Notes Acad. Sci. Phys. Math.Sect., Ser. 8, 2, p. 1-24, 1901.

    [27] Markov, A. A., Ischislenie Veroyatnostei (El Clculo de Probabilidades), Moscow, 1913 (Cuarta edicin,1924).

    [28] Poincar, J. H., Calcul des Probabilits, Gauthier-Villars, Pars, 1896.[29] Poisson, S. D., Recherches sur la probabilit des jugements en matire criminelle et en matire civile,

    Bachelier, Paris, 1837.

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    Parte 1

    EL CLCULO DE PROBABILIDADES

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    CAPTULO 1

    EL MODELO MATEMTICO

    En medio de las causas variables y desconocidas que de-signamos con el nombre de azar y que hacen incierta eirregular la marcha de los acontecimientos, se ve sur-gir, a medida que ellos se multiplican, una regularidadasombrosa, que parece obedecer a un designio y que seha considerado como una prueba de la providencia. Peroreflexionando sobre ella, se reconoce pronto que esta re-

    gularidad no es ms que el desarrollo de las respectivasposibilidades de los acontecimientos simples, los cualesdeben presentarse ms frecuentemente cuando ms pro-bables son.

    Pierre Simon Laplace

    1.1. Experimentos aleatorios

    El estudio de la naturaleza se realiza mediante la experimentacin, es decir, la observacin desistemas que son brindados por la misma naturaleza o diseados especialmente para el estudiode determinadas propiedades del sujeto de inters. Por ejemplo, en Fsica, se estudian las leyesdel movimiento de los cuerpos basndose ya sea en la observacin del movimiento de cuerposque ofrece la misma naturaleza, como pueden ser los planetas de nuestro sistema solar, obien diseando experimentos en el laboratorio, por ejemplo, utilizando planos inclinados paraestudiar el movimiento de cuerpos sobre ellos.En general, el estudio de un determinado sistema conduce a un modelo de ste mediante elcual el estudio puede ser profundizado. El modelo, en general, es solo una aproximacin delsistema real y est sujeto siempre a comprobacin. As, por ejemplo, en Fsica, el estudio

    del movimiento de los cuerpos condujo a la Mecnica Clsica, segn la cual este movimientoobedece a las llamadas leyes de Newton. stas se aplicaron a todo sistema en donde intervienenmovimientos mecnicos hasta que se descubrieron fenmenos a los cuales no se adaptabancon exactitud. La Teora de la Relatividad mostrara que las leyes de Newton son vlidasnicamente dentro de un cierto rango ms all del cual es necesario substituirlas por las leyesde la Mecnica Relativista.En la Teora de la Probabilidad nos planteamos el estudio de una determinada clase de ex-perimentos mediante un modelo matemtico que definiremos ms adelante. Para este fin,

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    12 1. EL MODELO MATEMTICO

    consideraremos un experimento como cualquier proceso que conduce a un resultado espec-fico. As, el observar el color de los ojos de una persona, el preguntar a una persona si legustan los chocolates, el medir el tiempo que permanece prendida una lmpara de maneraininterrumpida, el medir el tiempo que una piedra tarda en caer de un edificio, son todosejemplos de experimentos. Como puede verse, le estamos dando al concepto de experimento

    un sentido muy amplio, no nos interesa el tipo de proceso involucrado, pudiendo ser ste unaobservacin, una medicin o cualquier otra cosa, lo nico que requerimos es que el proceso enconsideracin conduzca a un resultado que puede ser especificado.

    Definicin 1.1 (Experimento). Un experimento es cualquier proceso que conduce a unresultado especfico.

    Para los fines del tema que abordaremos en este libro, clasificaremos a los experimentos en dosgrandes categoras. Por un lado consideraremos todos aquellos experimentos en los cuales, unavez definidas todas las condiciones bajo las cuales se realizan, su resultado queda nicamentedeterminado. A este tipo de experimentos los llamaremos determinsticos. Los experimentosrelativos al movimiento de un cuerpo bien determinado, sujeto a la accin de ciertas fuerzas,

    tambin bien determinadas, entran dentro de esta categora. El movimiento del cuerpo quedaperfectamente determinado conociendo la posicin y velocidad del cuerpo en un momentodado, as como las fuerzas que actan sobre l. Ese movimiento queda determinado en elsentido de que siempre que se repitan las mismas condiciones, el cuerpo seguir la mismatrayectoria.Por otro lado, consideraremos todos aquellos experimentos que no son determinsticos, esdecir, aquellos en los cuales, una vez definidas las condiciones en que se realizan, su resultadono queda nicamente determinado. A un experimento de este tipo lo llamaremos aleatorio.En otras palabras, un experimento es aleatorio si, una vez definido, al considerar diferentesrepeticiones de l, aunque sea potencialmente, todas bajo las condiciones establecidas, sepueden obtener resultados distintos.

    Definicin 1.2 (Experimento determinstico). Un experimento determinstico es un ex-perimento con la caracterstica de que, una vez definidas todas las condiciones bajo las cualesse realiza, su resultado queda nicamente determinado.

    Definicin1.3 (Experimento aleatorio).Un experimento aleatorio es un experimento conla caracterstica de que, una vez definidas todas las condiciones bajo las cuales se realiza, suresultado no queda nicamente determinado.

    Dentro de la categora de experimentos aleatorios caben todos aquellos en los cuales la indeter-minacin del resultado se debe simplemente a la incompleta determinacin de las condicionesprecisas en que se realizan, as como, en caso de existir, aquellos que son por naturaleza no

    determinsticos, es decir, aquellos en los que an estando determinadas con precisin las condi-ciones en que se realizan, el resultado es impredecible por no estar nicamente determinado.No caben dentro de esta categora de experimentos aquellos que son determinsticos pero enlos cuales el experimentador no es capaz de predecirlos por ignorancia, ya sea de las condi-ciones en que se realizan o de las leyes que los rigen, o bien por no disponer de los mediosadecuados para ello. Algunos ejemplos ilustrarn este punto:

    Ejemplo 1.4. Consideremos una lnea de un boliche, boliches y una bola de boliche, todoscon caractersticas fsicas que podemos considerar invariables mientras experimentamos con

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    1.1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS 13

    ellos. Supongamos, adems, que contamos con algn aparato que nos permite colocar losboliches en cualquier posicin determinada y con otro aparato que nos permite lanzar la bolacon la fuerza y direccin que deseemos. Fijemos una posicin determinada de los boliches,elijamos una fuerza de lanzamiento de la bola orientada hacia los boliches y consideremos elexperimento consistente en lanzar la bola con esa fuerza y direccin determinadas a priori y

    en observar el nmero de boliches que caen. Este experimento, as definido, es un ejemplode un experimento determinstico. Incluso si el experimentador desconoce las leyes fsicasinvolucradas en el experimento o no cuenta con los medios adecuados para realizar clculosrpidos y entonces no puede predecir, antes de que la bola llegue a los boliches, el nmero deboliches que caern, el experimento sigue siendo determinstico pues siempre que se repitan lasmismas condiciones, el resultado ser el mismo, es decir ste est nicamente determinado.

    Ejemplo1.5.Consideremos ahora el mismo dispositivo de boliches, pero definamos un nuevoexperimento consistente en lanzar la bola con una fuerza y direccin arbitrarias (sobre la lnea) 1

    y en observar el nmero de boliches que caen. Este nuevo experimento es ahora un ejemplo deun experimento aleatorio. Incluso si el experimentador conoce perfectamente las leyes fsicas

    involucradas en el problema y dispone de una computadora que le permite efectuar clculosrpidos y as predecir, antes de que la bola llegue a los boliches, el nmero de boliches quecaern en cada lanzamiento, el experimento sigue siendo aleatorio pues la eleccin arbitrariade la fuerza y direccin de lanzamiento de la bola es parte del experimento y entonces elresultado de ste no est nicamente determinado.

    Ejemplo1.6.Supongamos que tenemos tres pelotitas pintadas, una de rojo, una de azul y otrade verde, colocadas en3cajas numeradas del1al3, de manera que la bola roja se encuentre enla caja1, la azul en la2 y la verde en la3. Consideremos entonces el experimento consistenteen pedirle a una persona, elegida arbitrariamente, que saque la pelotita colocada en la cajanmero 3 y anote el color de ella como resultado del experimento. Incluso si la personaelegida desconoce la manera en que estn colocadas las pelotitas en las cajas y entonces paraella el resultado del experimento es impredecible, el experimento descrito es un experimentodeterminstico pues estando ya colocadas las pelotitas en sus respectivas cajas, el resultadoser siempre el mismo.

    Ejemplo1.7. Consideremos las mismas3 pelotitas del ejemplo anterior, las mismas3 urnasnumeradas del1 al3 y consideremos el experimento consistente en colocar las pelotitas en lascajas, una en cada una, de manera arbitraria, y en seleccionar despus la pelotita de la urnanmero 3, anotando su color como resultado del experimento. Incluso si alguna persona fueracapaz de predecir la manera en que quedarn colocadas las pelotitas en las cajas en cada reali-zacin particular del experimento descrito, ste es un experimento aleatorio pues la colocacinarbitraria de las pelotitas en las cajas es parte del experimento. La prediccin del resultado en

    cada realizacin particular del experimento indicara que cada realizacin particular admite unnico posible resultado, pero una repeticin del experimento, en las mismas condiciones (queincluyen la colocacin arbitraria de las pelotitas en las cajas), puede dar un resultado distinto.

    En los dos ejemplos de experimentos aleatorios dados arriba, la indeterminacin del resultadode ellos se debe exclusivamente a que las condiciones en que se realizan no estn perfectamente

    1cosa que se puede lograr, por ejemplo, eligiendo a una persona de manera arbitraria y pidindole quelanze la bola sobre la lnea como mejor le parezca

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    14 1. EL MODELO MATEMTICO

    especificadas y entonces, al repetirlos, podemos esperar distintos resultados. En otras palabras,si bien estn definidos con base en experimentos que son por naturaleza determinsticos, seintroduce la aleatoriedad al permitir que las condiciones precisas en que se realizan seanvariables. La existencia de otro tipo de experimentos aleatorios en los cuales la aleatoriedadsea intrnseca a ellos es un problema en gran medidafilosfico. Existe an discusin al respecto

    y no es nuestra intencin abordarla en este libro. Los ejemplos que pueden darse para abordarlarequieren la profundizacin en reas cientficas como puede ser la Mecnica Cuntica, en dondehay quienes defienden la aleatoriedad intrnseca en algunos fenmenos de nivel microscpico.Lo nico que podemos mencionar aqu es que ambos tipos de experimentos aleatorios cabenen el estudio que haremos y nuestro objetivo ser el establecer modelos que nos permitanestudiarlos.Como puede verse por los ejemplos dados arriba, en general, la definicin de un experimentoaleatorio involucra una familia de experimentos particulares, todos realizados bajo las mismascondiciones. La situacin es distinta nicamente cuando se trata de experimentos con unaaleatoriedad intrnseca; es decir, cuando incluso al quedar completamente determinadas lascondiciones bajo las cuales se realiza, el resultado no est nicamente determinado. Ahorabien, el que la definicin de un experimento aleatorio involucre en general una familia deexperimentos particulares no significa que sea posible realizar realmente cada experimentoparticular de la familia; es decir, no significa que el experimento aleatorio sea realmenterepetible. El siguiente ejemplo ilustrar este punto:

    Ejemplo 1.8. Tomemos un gato para experimentar, digamos el gato de la Sra. Conchitaque vive en la casa de al lado, el cual est completamente sano y no tiene ninguna herida.Consideremos entonces el experimento consistente en elegir una persona de manera arbitraria,darle una pistola cargada y pedirle que dispare sobre el gato. Como resultado del experimento,observemos si, despus de realizarlo, el gato est vivo o muerto. Si quisiramos conside-

    rar una serie de repeticiones de este experimento, en un momento dado, posiblemente des-pus de su primera realizacin, este experimento ya no ser repetible pues el gato ya estarherido o muerto y entonces no se pueden reproducir las condiciones originales bajo las cualesest definido el experimento. Sin embargo, el experimento que definimos es un experimentoaleatorio y su definicin involucra, al menos conceptualmente, una familia de experimentosparticulares, a saber, diferentes personas que disparan sobre el gato de diferentes manerasparticulares. El estudio de este tipo de experimentos puede ser ms complejo que el de unexperimento aleatorio que se pueda realizar tantas veces como queramos, sin embargo, formaparte del grupo de experimentos que nos interesa estudiar.

    En general, consideraremos en este libro experimentos aleatorios del tipo de los ejemplos 1.5 y

    1.7, es decir, en los cuales la aleatoriedad proviene de que las condiciones en que se realizan noson lo suficientemente precisas y entonces no podemos esperar el mismo resultado en cada unade sus posibles realizaciones. En ese tipo de experimentos, cada una de sus realizaciones seefecta bajo condiciones particulares precisas y su resultado est entonces nicamente deter-minado; la aleatoriedad proviene de que, dentro de las condiciones generales que caracterizanal experimento aleatorio, caben diferentes condiciones precisas de experimentacin. Tambin,como nota aclaratoria, estaremos interesados fundamentalmente en el estudio de experimen-tos aleatorios, aunque eventualmente consideraremos experimentos determinsticos, vindolos

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    1.2. EVENTOS 15

    como casos extremos de experimentos aleatorios en los cuales slo se admite un posible resul-tado. Finalmente, cabe mencionar que en todo problema de probabilidad est involucrado unexperimento aleatorio, aunque no sea explcitamente.

    Definicin1.9 (Realizacin de un experimento aleatorio).A cada repeticin particular

    de un experimento aleatorio la llamaremos una realizacin de ste.1.2. Eventos

    A partir de esta seccin consideraremos algunos experimentos aleatorios cuya descripcinconviene sealar de una vez. En ocasiones consideraremos un experimento aleatorio consistenteen lanzar cierto nmero de dados y anotar los nmeros que se obtienen. En ese caso debeentenderse, a menos que se diga otra cosa, que se trata en primer lugar de dados usuales, esdecir cubos con seis caras marcadas con nmeros del 1 al 6; adems se entender tambinque se trata de dados perfectamente simtricos y balanceados y que el lanzamiento de ellosse realiza tambin de la manera en que se hace usualmente en un juego con dados, es decirse agitan de manera arbitraria y se hacen caer sobre una mesa; finalmente se considera queel resultado que se obtiene con cada dado es el nmero que aparece en su cara superior. Unadescripcin semejante puede hacerse de un experimento aleatorio consistente en lanzar una ovarias monedas y anotar el resultado que se obtiene; en ese caso, los dos posibles resultados dellanzamiento de una moneda sern llamados cara y cruz. En muchas ocasiones consideraremosun experimento aleatorio consistente en seleccionar al azaruno o varios elementos deuna coleccin de objetos, que bien pueden ser cosas, animales, personas, etc.; en esos casospodemos hablar en general de la eleccin al azar de individuos de una poblacin yla eleccin al azar se refiere, por el momento, a que sta se realiza de manera arbitraria,es decir sin que haya predileccin por elegir algunos de los individuos de la poblacin. Msadelante definiremos el trmino al azarde una manera ms precisa.

    Hechas estas aclaraciones, consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar undado 3 veces en forma consecutiva, anotando los nmeros que se obtienen. Cada posibleresultado de este experimento lo podemos representar por una terna de nmeros; as, la terna(2, 5, 3) significa que en el primer lanzamiento se obtiene 2, en el segundo 5 y en el tercero3. Cada posible resultado de este experimento tiene determinadas propiedades, por ejemplo,el resultado (2, 6, 1) tiene la propiedad de que nos da una suma igual a 9, tambin tiene lapropiedad de que los 3 nmeros son distintos, otra es que el nmero ms grande es el 6,etc.; estas propiedades no son las mismas para todos los posibles resultados del experimento,aunque algunas de ellas pueden coincidir para varios resultados, por ejemplo, el resultado(3, 2, 6)tiene como propiedad comn, con el resultado anterior, el que su nmero ms grandees el6, tambin es comn la propiedad de estar formado por 3 nmeros distintos, en cambio

    la propiedad de que la suma es 9 no se presenta aqu.Con cada posible resultado del experimento descrito podemos asociar entonces determinadaspropiedades. Supongamos ahora que an no hemos realizado el experimento y fijemos unadeterminada propiedad, por ejemplo, el que la suma de los 3 nmeros que se obtienen sea 12.Antes de realizar el experimento, no sabemos si esta propiedad se presentar o no al realizarlo,nicamente realizando el experimento podemos decir si se presenta o no.En general, diremos que una propiedad es relativa al experimento aleatorio si una vez realizadoste podemos decir si se presenta o no, es decir, si el experimento aleatorio determina la

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    16 1. EL MODELO MATEMTICO

    presencia o no de esa propiedad. Dado un experimento aleatorio, a cada propiedad relativa aese experimento la llamaremos un evento relativo al experimento, o simplemente un evento,si no hay confusin sobre el experimento aleatorio al que se refiere.

    Definicin 1.10 (Propiedad relativa a un experimento aleatorio). Diremos que una

    propiedad es relativa a un experimento aleatorio si una vez realizado ste podemos decir si sepresenta o no

    Definicin1.11 (Eventos).Un evento es una propiedad relativa a un experimento aleatorio.

    Cuando, al realizar un experimento, la propiedad que define a un evento se presenta, diremosque el evento ocurre, en caso contrario, diremos que no ocurre. Un evento tiene entonces lacaracterstica de que una vez realizado el experimento podemos decir si ocurre o no ocurre.

    Definicin 1.12 (Ocurrencia de un evento). Se dice que un evento ocurre al realizar unexperimento aleatorio si la propiedad que lo caracteriza se presenta en esa realizacin.

    Los eventos relativos a un experimento aleatorio sern denotados por letras maysculas A,B, C,. . .; as, en el ejemplo descrito antes, podemos definir a Acomo el evento: se obtienenresultados distintos en cada uno de los 3 dados.A manera de ilustracin, consideremos los siguientes ejemplos:

    Ejemplo1.13. Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar3 veces un dadoen forma consecutiva y en anotar el nmero resultante en cada lanzamiento. Los siguientesson eventos relativos a este experimento:A: Se obtiene una suma igual a9.B: Se obtiene por lo menos un5.C: En el segundo lanzamiento se obtiene3.

    Ejemplo1.14. De una urna en la cual hay2 bolas rojas, 4 bolas blancas y7 bolas negras, seextraen3bolas al azar. Los siguientes son eventos relativos a este experimento:A: Se obtienen3bolas de distinto color.B: Ninguna de las3bolas seleccionadas es blanca.

    Ejemplo1.15. Se elige al azar un matrimonio de una cierta poblacin y se cuenta el nmerode hijos e hijas que ha tenido. Los siguientes son eventos relativos a este experimento:A: El matrimonio seleccionado tiene2nios y una nia.B: El matrimonio seleccionado tiene en total4hijos.C: El matrimonio seleccionado tiene ms nios que nias.D: El matrimonio seleccionado tiene nicamente un nio.

    Ejemplo 1.16. De una determinada poblacin humana se eligen al azar 10 personas y seanota su sexo, edad, peso y estatura. Los siguientes son eventos relativos a este experimento:A: Todas las personas elegidas son mayores de21aos.B: Todas las personas elegidas menores de10aos pesan menos de30kilos.C: La estatura promedio de las personas elegidas es un nmero entre1.5m. y2.0m.

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    1.3. PRINCIPIO DE REGULARIDAD DE LAS FRECUENCIAS 17

    1.3. Principio de regularidad de las frecuencias

    Algo que hace interesante el estudio de los experimentos aleatorios es el hecho de que, apesar de su aleatoriedad, presentan tambin una regularidad, aunque de un tipo distinto ala del ejemplo del movimiento de un cuerpo sujeto a la accin de ciertas fuerzas, en el cual

    la regularidad consiste en que, siempre que se repitan las condiciones establecidas para elexperimento, el cuerpo seguir la misma trayectoria.En el caso de un experimento aleatorio, cuando, de ser posible, ste se realiza varias veces,se obtienen diferentes resultados; sin embargo, se puede observar que se manifiesta una re-gularidad en la frecuencia relativa de ocurrencia de cada posible resultado, mantenindoseaproximadamente constante cuando el nmero de realizaciones del experimento es grande.Porfrecuencia relativa de un posible resultado o, en general, de un evento relativo a unexperimento, entenderemos la fraccin que resulta de dividir el nmero de veces que el eventoocurre en una serie de realizaciones del experimento entre el nmero total de veces que elexperimento se realiza en esa serie. Esta frecuencia relativa se puede expresar tambin comoun porcentaje simplemente multiplicando por 100 la fraccin descrita.

    Por ejemplo, consideremos el experimento aleatorio consistente en observar el sexo de unrecin nacido elegido arbitrariamente en un cierto hospital. El resultado de una realizacinde este experimento no est nicamente determinado, pudiendo ser una de dos alternativas:hembra o varn. Sin embargo, si se mide la frecuencia relativa con que cada una de estasdos alternativas se ha presentado, se observar que la proporcin de hembras y varones semantiene aproximadamente constante.La misma regularidad se puede observar en la frecuencia relativa de ocurrencia de cualquierevento relativo a un experimento aleatorio repetible. As, por ejemplo, al realizar muchas vecesel experimento aleatorio consistente en lanzar 3 dados y anotar los nmeros que resultan,se podr observar que, a medida que crece el nmero de repeticiones del experimento, la

    frecuencia relativa con que se obtiene una suma igual a 8 se mantiene aproximadamenteconstante.A esta propiedad de regularidad de la frecuencia relativa con que ocurre cada uno de losposibles resultados de un experimento aleatorio repetible o, en general, cada evento relativo alexperimento, la llamaremosprincipio de regularidad de las frecuencias. Este principiono es un principio absoluto que se cumple en cualquier serie de repeticiones de un experimentoaleatorio; por ejemplo, supongamos que tenemos a la mano un dado perfectamente simtrico ybalanceado y consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar ese dado de maneraarbitraria sobre una mesa y en observar el nmero que muestra la cara superior del dadoal estabilizarse sobre la mesa. Supongamos adems que el experimento aleatorio descrito lohemos ya realizado un milln de veces, observando que el nmero 1 resulta en 15% de los

    casos. Si el mismo experimento lo realizamos un milln de veces ms, no necesariamentese obtendr una frecuencia relativa de ocurrencia del nmero 1 cercana al 15%, en realidadcualquier frecuencia de ocurrencia es perfectamente aceptable. Sin embargo, basndonos en elprincipio de regularidad de las frecuencias, podemos decir que en muchas series de un millnde realizaciones del experimento aleatorio descrito, una desviacin grande de la frecuenciacon que ocurre el nmero 1 de un determinado porcentaje, ocurrir raramente, es decir enproporcin pequea. La cadena de razonamientos en este sentido es interminable, nuevamentela ltima afirmacin no debe tomarse como algo absoluto, siendo perfectamente aceptable

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    18 1. EL MODELO MATEMTICO

    que en diferentes series de un milln de realizaciones del experimento aleatorio se obtenganporcentajes de ocurrencia del nmero1 completamente distintos.Abundando un poco ms en el anlisis del ejemplo anterior, supongamos que en la segundaserie de un milln de realizaciones del experimento descrito, se observe que el nmero 1 seobtiene nicamente10veces, es decir que el nmero1se obtiene slo en0.001% de los casos envez de un porcentaje cercano al15%. Significa eso que podemos estar seguros que el nmero1se presentar en un porcentaje muy superior al 15% en una serie posterior de realizacionesdel mismo experimento, de manera que, tomando las dos series juntas, el porcentaje con quese presente el nmero 1sea ya cercano al 15%? La respuesta es un no. De hecho, dos seriesde repeticiones del experimento descrito son totalmente independientes, es decir lo que ocurraen una de ellas no tiene ninguna influencia en lo que ocurra en la otra. Esto no contradiceel que el porcentaje con que se presenta el nmero 1se pueda estabilizar a la larga, pues loque ocurre en una serie de un milln de realizaciones del experimento tiene poca influenciaen el porcentaje de ocurrencia del nmero 1 digamos en un billn de realizaciones del mismoexperimento.

    As, el principio de regularidad de las frecuencias debe interpretarse con cuidado. Expresaque la frecuencia con que se presenta cada posible resultado de un experimento aleatorio, enuna serie grande de realizaciones, se mantiene aproximadamente constante, pero, una eventualdesviacin de esa constante, si bien es algo que ocurre raramente, es perfectamente aceptable.

    1.4. El concepto de probabilidad

    Consideremos un determinado experimento aleatorio y eventos A, B, C, ...relativos a eseexperimento. Al considerar una realizacin del experimento, podemos decir si cada uno delos eventos en consideracin ocurre o no, pero antes de realizar el experimento no podemos,en general, determinar si un evento ocurrir o no al realizarlo. Sin embargo, cuando un

    experimento aleatorio se realiza varias veces, se puede observar que la frecuencia relativa conque ocurre cada evento, relativo a ese experimento, no es la misma para todos los eventos.La manera ms simple de verificar esto es observando que en una serie de realizaciones deun experimento aleatorio hay eventos que ocurren muy raramente y otros que ocurren casisiempre. Por ejemplo, si consideramos el experimento consistente en lanzar 10 dados y lorealizamos varias veces, se podr observar que el evento se obtiene un1en cada uno de los10dadosocurre muy raramente, mientras que el evento la suma de los nmeros que se obtienenen los10dados es mayor que10ocurre casi siempre. En general, la diferencia en la frecuenciarelativa de ocurrencia de un par de eventos no ser tan marcada como en este ejemplo, peros se podr observar que, en general, son distintas para eventos distintos. Esta diferencia enla frecuencia relativa con que ocurre cada evento relativo a un experimento aleatorio puede

    interpretarse diciendo que, entre todos los eventos, hay unos que ocurren ms fcilmente

    que otros. Ms an, con base en el principio de regularidad de las frecuencias, en una seriegrande de realizaciones de un experimento aleatorio, la frecuencia relativa con que ocurre cadaevento se mantiene aproximadamente constante. Esa constante puede interpretarse como unamedida del que tan fcilmenteesperamos que el evento correspondiente ocurra.El problema que se plantea en el Clculo de Probabilidades consiste en encontrar una maneraque permita medir el que tan fcilmentese presentar un evento en futuras realizaciones deun experimento aleatorio. As, se trata de asignar un nmero a cada evento, el cual exprese esa

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    1.5. ESPACIOS MUESTRALES 19

    medida. De acuerdo con lo dicho anteriormente, esperamos que, en el caso de experimentosaleatorios repetibles, los nmeros asignados a los diferentes eventos sean tales que, mientrasms grande sea el nmero asignado a un evento, ms grande ser la frecuencia relativa conque ste ocurre en una serie grande de realizaciones del experimento.A ese nmero que mide la facilidad con que un evento ocurre al realizar el experimentoaleatorio correspondiente lo llamaremos la probabilidad del evento correspondiente.

    Definicin 1.17 (Probabilidad de un evento). La probabilidad de un evento relativo aun experimento aleatorio es un nmero que mide la facilidad con que el evento ocurre alrealizar el experimento.

    1.5. Espacios muestrales

    En general, dado un experimento aleatorio, no es difcil precisar y denotar de alguna maneraa cada uno de sus posibles resultados. Por ejemplo, vimos que en el caso del experimento

    aleatorio consistente en lanzar un dado 3veces en forma consecutiva, anotando los nmerosque se obtienen, cada posible resultado puede representarse mediante una terna de nmeroscon la convencin de que, por ejemplo, la terna(2, 5, 3)significa que en el primer lanzamientose obtiene 2, en el segundo 5 y en el tercero3.A manera de notacin, utilizaremos la letra con un subndice para denotar a cada posibleresultado de un experimento aleatorio. As, en el caso del lanzamiento de dados descritoarriba, podramos denotar con 1al resultado (1, 1, 1), con2 al resultado(1, 1, 2),. . .Al conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le llamael espacio muestral de ese experimento y se le denota con la letra . As, en el ejemplo dadoarriba, el espacio muestral est dado por:

    ={(1, 1, 1), (1, 1, 2),...}

    O bien, si hemos definido a los posibles resultados usando s, podemos escribir:

    ={1, 2, . . .}

    Definicin 1.18 (Espacio muestral). El espacio muestral de un experimento aleatorio esel conjunto formado por todos sus posibles resultados.

    El espacio muestral de un experimento aleatorio puede ser un conjunto muy grande e inclusopuede contener una infinidad de elementos. Un ejemplo tpico de esa situacin es el siguiente:

    Ejemplo 1.19. Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda alaire tantas veces como sea necesario hasta obtener por primera vez cruz, anotando el resultadode cada lanzamiento. Los posibles resultados de este experimento pueden representarse porsucesiones de As y Cs, en donde A representa la obtencin de cara y C la obtencin decruz en un lanzamiento. As, la sucesin CCCCCCA representa un posible resultado delexperimento aleatorio descrito. Utilizando s, podramos definir:

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    20 1. EL MODELO MATEMTICO

    1 = C2 = CA3 = CCA

    ... ...

    ...

    El nmero de cruces que resultan antes de la obtencin de una cara puede ser cualquiernmero entero no negativo, es decir, en este caso el espacio muestrales un conjunto infinitonumerable.

    Como se muestra en el ejemplo siguiente, el espacio muestral de un experimento aleatoriopuede incluso ser ms grande que un conjunto infinito numerable.

    Ejemplo 1.20. Considrese el experimento aleatorio consistente en elegir al azar una lm-para de la produccin de una cierta fbrica y en medir su tiempo de vida, es decir, el tiempoque permanece iluminando continuamente antes de fundirse. Aunque el tiempo de vida lopodramos dar mediante un mltiplo entero de una unidad de tiempo elegida previamente,

    tericamente ese tiempo de vida puede ser cualquier nmero real no negativo. En otras pa-labras, en este caso, cada posible resultado del experimento aleatorio puede representarse conun nmero real no negativo, que representa el tiempo de vida de la lmpara seleccionada, y ={x R :x 0}. As, en este caso, es un conjunto infinito no numerable.

    1.6. Representacin de eventos

    Consideremos un experimento aleatorio y un evento A relativo a ese experimento. Antesde realizar el experimento, no sabemos si el evento Aocurrir o no. Siendo el evento Aunapropiedad relativa al experimento, solo podemos saber si ocurre o no realizando el experimento.Es decir, el queAocurra o no depende de cual sea el resultado del experimento. Para algunos

    resultados, la propiedad que define al evento A se presentar y para otros resultados no sepresentar. El evento A divide entonces al conjunto de todos los posibles resultados delexperimento en dos clases; una clase est formada por todos aquellos resultados de los cualesse deduce la ocurrencia de A y la otra por todos aquellos resultados de los cuales se deduce lano ocurrencia deA. Al conjunto formado por los resultados de la primera clase lo llamaremosel conjunto de resultados favorables a la ocurrencia de A.

    Definicin 1.21 (Resultados favorables a un evento). Los resultados favorables a unevento A, relativo a un experimento aleatorio, son todos aquellos posibles resultados del expe-rimento de los cuales se deduce la ocurrencia deA.

    De esta manera, cada eventoArelativo a un experimento aleatorio puede representarse como

    un subconjunto del espacio muestral de dicho experimento, el formado por los posiblesresultados que le son favorables.

    Ejemplo 1.22. Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar 3 dados sobreuna mesa, anotando los nmeros que se obtienen, y llamemos A al evento: se obtiene elmismo nmero en los3 dados, entonces podemos escribir:

    A= {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)}

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    1.6. REPRESENTACIN DE EVENTOS 21

    Por otra parte, cada subconjunto Adel espacio muestral representa un evento, a saber, elevento: ocurre alguno de los resultados que conforman A2.Dado un evento especfico, el subconjunto del espacio muestral que lo representa queda ni-camente determinado; por otra parte, dado un subconjunto del espacio muestral, se le puedenasociar diferentes eventos, los cuales, formalmente, son distintos; por ejemplo, si considera-mos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado 3veces en forma consecutiva, alsubconjunto del espacio muestral A = {(1, 1, 1)}se le pueden asociar los eventos la suma delos nmeros que se obtienen es igual a 3 y se obtiene 1 en cada uno de los lanzamientos.Sin embargo, puede observarse que todos los posibles eventos que pueden asociarse con unsubconjunto del espacio muestral tienen la caracterstica de que uno de ellos ocurre en unarealizacin del experimento si y slo si ocurren los otros. Esto motiva la siguiente definicin:

    Definicin 1.23 (Equivalencia de eventos).Dos eventos son equivalentes si la ocurrenciade cualquiera de ellos implica la ocurrencia del otro en cualquier realizacin del experimento.

    Con base en esta definicin, la familia de eventos queda partida en clases formadas por eventos

    que son equivalentes entre s. Todos los eventos de una clase son esencialmente el mismo yas lo consideraremos en lo sucesivo. De esta manera, hay una correspondencia uno a unoentre los eventos relativos a un experimento aleatorio y los subconjuntos del correspondienteespacio muestral.En particular, cada posible resultado representa un evento, consistente en la ocurrenciade . A esta clase particular de eventos, que se representan por un elemento de , losllamaremos eventos elementales.

    Definicin 1.24 (Eventos elementales). Un evento elemental relativo a un experimentoaleatorio es un evento consistente en la ocurrencia de un especfico posible resultado del expe-rimento.

    De la misma manera, el mismo espacio muestral representa un evento, el cual tiene laparticularidad de ocurrir siempre que se realiza el experimento aleatorio correspondiente,razn por la cual es llamado el evento seguro.

    Definicin 1.25 (Evento seguro). El evento seguro relativo a un experimento aleatorio esun evento que siempre ocurre al realizar el experimento.

    Finalmente, el conjunto vaco representa tambin un evento, el cual no tiene asociadosresultados favorables y que podra definirse como: no ocurre ninguno de los posibles resultadosdel experimento. Evidentemente este evento nunca ocurre, razn por la cual es llamado el

    evento imposible.

    Definicin 1.26 (Evento imposible).El evento imposible relativo a un experimento aleato-rio es un evento que nunca ocurre al realizar el experimento.

    2En la formulacin moderna de la Teora de la Probabilidad se restringe la familia de eventos de tal maneraque se pueda garantizar que la funcin de probabilidad satisfaga determinadas propiedades. Este punto seranalizado ms adelante.

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    22 1. EL MODELO MATEMTICO

    1.7. Composicin de eventos

    Consideremos un experimento aleatorio, digamos lanzar3veces un dado en forma consecutiva.Con relacin a un experimento de este tipo, hemos dicho que podemos definir eventos, loscuales tienen la caracterstica de ocurrir o no ocurrir cuando realizamos el experimento. En

    el ejemplo en consideracin, los siguientes son eventos:A: Se obtiene una suma igual a 7.B: Se obtiene3 nmeros iguales.C: Se obtiene por lo menos un 5.D: Se obtiene una suma igual a3.E: En el primer lanzamiento se obtiene 6.F: En el segundo lanzamiento se obtiene 3.G: No se obtiene ningn 5.H: Se obtiene una suma menor que 20.

    Estos eventos se pueden comparar unos con otros, por ejemplo, al comparar el evento A conel evento B , podemos decir que, al realizar el experimento, es imposible que ocurran ambos;al comparar el evento Ccon el evento G, podemos decir que, al realizar el experimento, unoocurre si y slo si el otro no ocurre; al comparar el evento Econ el evento F, podemos decir quela ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no influye sobre la ocurrencia o no ocurrencia delotro; comparando los eventosB y D, podemos decir que la ocurrencia de Den una realizacindel experimento implica la ocurrencia de B .Tambin a partir de los eventos dados, podemos definir nuevos eventos. Por ejemplo, a partirdeCy B podemos considerar un evento definido por la propiedad de que ocurre en la reali-zacin de un experimento si y slo si ocurre alguno de los dos eventos considerados o ambos,en este caso, el nuevo evento as definido ocurre slo cuando se obtienen 3nmeros iguales,

    o bien cuando los 3 nmeros no son iguales pero se obtiene por lo menos un 5; tambinpodemos considerar otro evento definido por la propiedad de que ocurre en la realizacin deun experimento si y slo si ocurren ambos eventos, en este caso, el nuevo evento as definidoocurre nicamente cuando se obtienen tres cincos.Las consideraciones anteriores nos llevan a las siguientes definiciones, para las cuales supon-dremos que se tiene definido un experimento aleatorioEy eventosA,B ,C,. . .relativos a eseexperimento.

    Definicin1.27 (Unin de eventos).SiAyB son dos eventos, definimos un nuevo eventocaracterizado por la propiedad de que ocurre en la realizacin de un experimento si y slo siocurre alguno de los eventosA o B , o ambos. A este nuevo evento lo llamaremos la unin de

    AyB y lo denotaremos porA B.Definicin1.28 (Interseccin de eventos).SiA yB son dos eventos, definimos un nuevoevento caracterizado por la propiedad de que ocurre en la realizacin de un experimento si yslo si los dos eventosAyB ocurren. A este nuevo evento lo llamaremos la interseccin deAyB y lo denotaremos porA B.Definicin 1.29 (Complemento de un evento). SiA es un evento, definimos un nuevoevento caracterizado por la propiedad de que ocurre en la realizacin de un experimento si y

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    1.7. COMPOSICIN DE EVENTOS 23

    slo siA no ocurre. A este nuevo evento lo llamaremos el complemento o la negacin deAylo denotaremos porAc.

    Ejemplo1.30. Considerando el experimento y los eventos definidos al inicio de esta seccin,tenemos:

    EF: se obtiene6 en el primer lanzamiento o se obtiene3 en el segundo lanzamiento, o biense obtienen ambos resultados.A C: Se obtiene un5y2unos.Bc: No se obtienen3nmeros iguales.

    La terminologa de la Teora de Conjuntos utilizada en las definiciones anteriores no es for-tuita pues hemos visto que hay una correspondencia uno a uno entre los eventos relativos a unexperimento aleatorio y los subconjuntos del correspondiente espacio muestral, de tal maneraque las operaciones entre conjuntos se traducen inmediatamente en operaciones entre eventosy resulta evidente que las definiciones anteriores corresponden precisamente a las correspon-dientes operaciones entre conjuntos. De esta manera, todas las propiedades que se tienen para

    las operaciones entre conjuntos se traducen inmediatamente en propiedades de las operacionesentre eventos. Entre estas propiedades podemos destacar la conmutatividad, la asociatividad,la distributividad y las leyes de Morgan.Todas las operaciones entre conjuntos se traducen en operaciones entre eventos, por ejemplo,dados dos eventosA y B , se puede definir la diferenciaA Bcomo el eventoA Bc, es decircomo el evento que ocurre si y slo si ocurre el evento A pero no el evento B .De la misma manera, las relaciones que se pueden establecer entre conjuntos se traducen enrelaciones entre eventos; por ejemplo, se puede decir que el evento A est contenido en elevento B , y denotarse por A B, si, vistos como subconjuntos del espacio muestral, A y Btienen esa relacin; es decir si la ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento B .

    Ejemplo 1.31. SeanA yB dos eventos, entonces el evento ocurreA pero no Bse puederepresentar porA Bc; el evento ocurre exactamente uno de los dos eventosA yBse puederepresentar porA B A B; el evento no ocurre ninguno de los eventosAyBse puederepresentar porAc Bc o bien por(A B)c.En la Teora de Conjuntos se tiene el concepto de eventos ajenos, lo cual significa que stostienen una interseccin vaca. Como veremos ms adelante, este concepto es especialmenteimportante en la Teora de la Probabilidad. Cuando dos eventos se representan mediante dosconjuntos ajenos se dice que dichos eventos son mutuamente excluyentes; en otras palabras,se tiene la siguiente definicin.

    Definicin 1.32 (Eventos mutuamente excluyentes). Diremos que dos eventosA yB

    son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de ambos en cualquier realizacin del experimentoes imposible.

    Este concepto, si bien simple, en ocasiones se vuelve confuso al compararlo con el de inde-pendencia, el cual se define ms adelante (ver seccin 2.7). Por tal motivo conviene ilustrarloaqu con un ejemplo:

    Ejemplo 1.33. Un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado dos veces en formaconsecutiva. El resultado del experimento consiste en la pareja ordenada de nmeros que

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    24 1. EL MODELO MATEMTICO

    muestran las caras superiores de los dados. Los eventosAyB que se definen a continuacinson entonces mutuamente excluyentes:A: Se obtiene6en el primer lanzamiento.B: Se obtiene5 en el primer lanzamiento.

    Sin embargo, siCes el evento se obtiene6 en el segundo lanzamiento, los eventosA yCnoson mutuamente excluyentes:Esto es as porque los eventosA y B no pueden, en ningn caso, ocurrir ambos en algunarealizacin del experimento aleatorio; en cambio, es posible que los eventos A y C ocurranambos en alguna realizacin del experimento.

    Definicin 1.34 (Eventos mutuamente excluyentes).Diremos queneventosA1, . . . , Anson mutuamente excluyentes si los eventos Ai y Aj son mutuamente excluyentes para todai, j {1, . . . , n}, coni 6=j.

    Un problema de particular importancia consiste en expresar un evento dado en trminos de

    otros eventos ms simples. Por ejemplo, como veremos ms adelante, en muchas ocasiones sebusca expresar un evento dado en trminos de una unin de eventos ms simples que el eventodado y de tal manera que estos ltimos sean mutuamente excluyentes.

    Ejemplo1.35.En una cierta compaa el esquema para aprobar una propuesta es el siguiente:tres personasA, B y Canalizan la propuesta y sta es aprobada nicamente si por lomenos dos de las tres personas dan su visto bueno. Consideremos una determinada propuestay seanA, B, C yD los eventos la persona A da su visto bueno, la persona B da su vistobueno, la persona C da su visto buenoy la propuesta es aprobada, respectivamente. Dpuede expresarse como una unin de eventos mutuamente excluyentes, cada uno de los cualesest dado en trminos deA,ByC, a saber,D = (A B Cc)(A Bc C)(Ac B C)(A

    B

    C).

    1.8. Funciones de probabilidad

    Como hemos dicho antes, el problema que se plantea en el Clculo de Probabilidades consisteen encontrar una manera que permita asignar a cada evento un nmero, el cual mida el quetan fcilmentese presentar el evento en futuras realizaciones de un experimento aleatorio.Ese nmero que se asigna a un evento es llamado, como ya dijimos tambin, la probabilidaddel evento. Dicho de otra manera, lo que se busca es una funcin con valores reales definidasobre la familia de eventos; a tal funcin la llamaremos lafuncin de probabilidad.Al asignar probabilidades a cada evento, relativo a un experimento aleatorio dado, lo que

    estamos haciendo es definir un modelo que nos permitir estudiar el experimento aleatorio.En un problema real cada probabilidad asignada tendr una interpretacin prctica y conbase en esa interpretacin se podr decidir sobre la fidelidad con que el modelo representa alfenmeno aleatorio en consideracin. La asignacin de probabilidades es as, en un cierto sen-tido, arbitraria, pues se puede proponer una cierta asignacin, desarrollar el modelo con baseen ella y ms adelante, de acuerdo a la interpretacin prctica que demos a la probabilidad,decidir sobre la validez del modelo como representacin del experimento aleatorio. Sin em-bargo, como veremos en los ejemplos desarrollados en este libro, para nosotros la probabilidad

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    1.8. FUNCIONES DE PROBABILIDAD 25

    de un evento refleja siempre determinadas caractersticas del experimento aleatorio en con-sideracin, es decir, tiene un sentido objetivo. De esta manera, al desarrollar un modelo paraun experimento aleatorio buscaremos que la asignacin de probabilidades no sea arbitraria,debiendo reflejar de alguna manera las caractersticas del experimento aleatorio.La interpretacin prctica de la probabilidad de un evento que se utiliza ms frecuentementees la basada en el principio de regularidad de las frecuencias. Segn esta interpretacin, laprobabilidad de un evento A, relativo a un experimento aleatorio repetible, es un nmero quedebe ser aproximadamente igual a la frecuencia relativa con que el evento A ocurre en unaserie grande de realizaciones del experimento aleatorio. A lo largo de este texto, utilizaremosesta interpretacin en diferentes situaciones, en particular, en lo que sigue, la usaremos paradeducir algunas reglas que impondremos sobre nuestros modelos.Si interpretamos a la probabilidad de un evento de acuerdo con el principio de regularidad delas frecuencias, se imponen algunas restricciones sobre el modelo que queremos construir. Enparticular, siendo la frecuencia relativa con que ocurre un evento una cantidad no negativa,la probabilidad de un evento cualquiera debe tener entonces la misma propiedad. En otras

    palabras, podemos escribir la siguiente regla:Si A es un evento y denotamos por P(A)a su probabilidad de ocurrencia, entoncesP(A) 0.Por otro lado, el evento seguro tiene, en cualquier caso, una frecuencia relativa igual a 1pues siempre ocurre. Es decir, podemos escribir P() = 1.Supongamos ahora que un cierto eventoCes la unin de dos eventos mutuamente excluyentesA y B y que hemos logrado de alguna manera asignar las probabilidades P(A) y P(B) alos eventos A y B respectivamente. De acuerdo a la interpretacin que estamos dando a laprobabilidad de un evento, P(A)yP(B)representan las frecuencias relativas con que ocurrenlos eventos A y B, respectivamente, en una serie grande de realizaciones del experimentoaleatorio. Resulta entonces claro que la suma P(A) +P(B)representa la frecuencia relativacon que ocurre el evento Cy se tiene entonces P(C) =P(A) + P(B).Hemos derivado las 3 propiedades anteriores del supuesto de que podemos interpretar a laprobabilidad de un evento como un nmero que debe ser aproximadamente igual a la fre-cuencia relativa con que el evento ocurre en una serie grande de realizaciones del experimentoaleatorio. Sin embargo, las propiedades mismas no involucran el uso de la frecuencia relativacon que ocurre cada uno de los eventos en consideracin. Ms an, si pensamos a la funcinde probabilidad que buscamos como una medida definida sobre los eventos relativos al ex-perimento aleatorio en consideracin, las propiedades primera y tercera pueden considerarsecomo las mnimas que se pueden pedir, mientras que la segunda puede verse simplementecomo una normalizacin de dicha medida. En otras palabras, esas 3 propiedades parecen serlo suficientemente razonables como para ser compatibles con cualquier interpretacin prctica

    que se d a la probabilidad. Con base en esto, tomaremos esas propiedades como punto departida en la construccin del modelo que estamos buscando. En otras palabras, se tiene lasiguiente definicin:

    Definicin 1.36 (Funcin de probabilidad). Dado un experimento aleatorio cualquiera,denotando porA a la familia de eventos relativos a ese experimento, diremos que una funcinP :A 7 Res una funcin de probabilidad si se satisfacen las siguientes propiedades:

    (i) P(A) 0para todo evento A.

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    26 1. EL MODELO MATEMTICO

    (ii) P() = 1.(iii) Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces:

    P(A B) =P(A) + P(B)

    EJERCICIOS

    Ejercicio1.1 (Problema de los 3jugadores).Tres jugadoresP,Q y Rjuegan partidaspor parejas, comenzando P contra Q. Quien gane una partida juega con el otro jugador, hastaque uno de los jugadores gane dos partidas consecutivas, ganando entonces el juego. Describael espacio muestral de este juego.

    Ejercicio 1.2. Un experimento aleatorio consiste en elegir al azar3 nmerosa, b ycen el intervalo [0, 1], para formar la ecuacinax2 + bx + c= 0. SeaA el evento las dos racesde la ecuacin son reales y distintas. Represente como un conjunto al espacio muestral deeste experimento y al evento Acomo un subconjunto de.

    Ejercicio1.3. Dos personas, P y Q, juegan un juego de azar, el cual consiste en ir lanzandoun par de dados por turnos, comenzando por P, de tal manera que, si P obtiene una sumaigual a7, se acaba el juego, ganando P, mientras que, si Q obtiene una suma igual a6, seacaba el juego, ganando Q. SeaA el evento el jugador P gana el juego. Represente como unconjunto al espacio muestral de este juego y al evento A como un subconjunto de.

    Ejercicio 1.4. SeanAyB dos eventos y seanEyF los eventos ocurre exactamente unode los dos eventosA yB yocurre a lo ms uno de los dos eventosA yB, respectivamente.Exprese los eventosEyFen trminos deA yB.

    Ejercicio 1.5. Un trabajador producenpartes de un artculo. SeaAi el evento la i-sima

    parte est defectuosa. Exprese en trminos de losAi cada uno de los siguientes eventos: a)ninguna de lasnpartes est defectuosa, b) al menos una de lasnpartes est defectuosa, c)exactamente una de lasnpartes est defectuosa.

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    CAPTULO 2

    LAS REGLAS BSICAS

    Mientras ms difcil parezca determinar por la razn loque es incierto y est sometido al azar, la ciencia quelogre ese resultado parecer ms admirable.

    Christiaan Huygens

    2.1. Algunas propiedades elementales

    De las 3 propiedades que estamos pidiendo a cualquier funcin de probabilidad se derivanotras, entre las que destacan las siguientes:

    Proposicin 2.1. SiAes cualquier evento, entoncesP(A) 1yP(Ac) = 1 P(A).DemostracinLos eventos A y Ac son mutuamente excluyentes y su unin es el evento seguro , as que1 =P() =P(A) + P(Ac), de lo cual se sigue el resultado.

    Proposicin 2.2. P() = 0.DemostracinSiendo y complementarios, se tiene, por la proposicin anterior, P() = 1 P() =1 1 = 0.

    Proposicin2.3.SiA yB son eventos tales queA BentoncesP(B A) =P(B)P(A).DemostracinSe tiene B =A

    (B

    A)y los eventos A y B

    Ason mutuamente excluyentes, de manera

    que se tiene, P(B) =P(A) + P(B A), de lo cual se sigue el resultado.

    Proposicin 2.4. SiAyB son eventos tales queA B, entoncesP(A) P(B).DemostracinPor la proposicin anterior, se tieneP(B)P(A) =P(BA), de manera que, siendo P(BA)un nmero real no negativo, se tiene el resultado.

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    28 2. LAS REGLAS BSICAS

    2.2. Propiedad de la aditividad finita

    Una propiedad especialmente importante de la funcin de probabilidad est dada en la si-guiente proposicin:

    Proposicin2.5 (Propiedad de la aditividad finita).SeanA1, . . . , An neventos mutua-mente excluyentes, entonces, P(

    Snk=1Ak) =

    Pnk=1 P(Ak).

    DemostracinLa demostracin es por induccin sobre el nmero de eventos n. Para n= 2el resultado seobtiene directamente de la definicin 1.36.Supongamos ahora que la propiedad es vlida para el caso de cualesquiera n 1 eventosmutuamente excluyentes y sean A1, . . . , An n eventos mutuamente excluyentes. Los eventosSn1k=1Ak yAnson entonces mutuamente excluyentes, as que se tiene:

    P(Snk=1Ak) =P(

    Sn1k=1Ak) + P(An) =

    Pn1k=1(P Ak) + P(An) =

    Pnk=1(P Ak)

    La propiedad de la aditividad finita puede considerarse como la propiedad bsica de la fun-cin de probabilidad pues sta permite establecer un mtodo para calcular probabilidades deeventos. Mediante este mtodo, dado un eventoA, cuya probabilidad se busca, se trata deencontrar una descomposicin de Aen una unin de eventos mutuamente excluyentes cuyasprobabilidades sean ms simples de calcular; entonces la probabilidad deAse obtiene como lasuma de esas probabilidades. Numerosos ejemplos de esta situacin se presentarn a lo largodel texto.De manera general,el mtodo para asignar probabilidades a los eventos relativos acualquier experimento aleatorio va de lo simple a lo complejo: primero se encuen-tra la probabilidad de una clase particular de eventos y, a partir de ah, utilizandolas propiedades de la funcin de probabilidad, se extiende sta a una clase msamplia de eventos y despus a familias cada vez ms extensas. ste ser el mtodoque utilizaremos a los largo de este texto.

    Proposicin 2.6 (Subaditividad finita o desigualdad de Boole). Sean A1, . . . An neventos, entonces, P(

    Snk=1Ak)

    Pnk=1 P(Ak).

    DemostracinSea B1 = A1 y, para k {2, . . . , n}, Bk = Ak

    Sk1j=1Aj, entonces

    Snk=1Ak =

    Snk=1Ak,

    Bk Akpara cualquierk {1, . . . , n}y los eventosB1, . . . , Bnson mutuamente excluyentes,as que:

    P(S nk=1Ak) =P(S nk=1Bk) =Pnk=1 P(Bk) P

    nk=1 P(Ak)

    2.3. Regla de la suma

    Al igual que la propiedad de la aditividad finita, la siguiente propiedad generaliza la propiedadiiide la funcin de probabilidad y es tambin particularmente importante:

    Proposicin 2.7 (Regla de la suma para 2 eventos). Si A y B son dos eventos cua-lesquiera, entonces:

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    2.4. ELECCIONES AL AZAR Y RESULTADOS EQUIPROBABLES 29

    P(A B) =P(A) + P(B) P(A B)DemostracinSe tieneA B= A (B A B)y los eventosA y B A Bson mutuamente excluyentes,as que se tiene, P(A B) =P(A) + P(B A B) =P(A) + P(B) P(A B).

    La siguiente proposicin, cuya demostracin se deja como ejercicio, generaliza la proposicin2.7 para el caso de n eventos cualesquiera.

    Proposicin 2.8 (Regla de la suma para n eventos). SeanA1, . . . , An n eventos cua-lesquiera, entonces:P(nk=1Ak) =

    Pnk=1 P(Ak)

    P{i,j{1,...,n},:i6=j} P(Ai Aj)

    +P

    {i,j,k{1,...,n},:i6=j,j6=k,i6=k} P(Ai Aj A2k) . . . + (1)n+1P(A1 A2 . . . An)Ejemplo 2.9. Dos eventosAyB son tales queP(A) = 0.3, P(B) = 0.4yP(A B) = 0.1.Encuentre la probabilidad de que a) ocurra exactamente uno de los dos eventosA yB y b) noocurra ninguno de los dos eventos.Solucin

    a. P(A A B) + P(B A B) = 0.3 0.1 + 0.4 0.1 = 0.5b. P(Ac Bc) =P((A B)c) = 1 P(A B) = 1 P(A) P(B) + P(A B)= 1 0.3 0.4 + 0.1 = 0.4Para implementar el mtodo para asignar probabilidades, descrito en la seccin 2.2, se requiereobviamente de una manera que permita iniciar el proceso, lo cual es objeto de parte delsiguiente tema. Adems, con el objeto de tener todas las herramientas que permiten extenderla funcin de probabilidad, se tratarn tambin los temas de la probabilidad condicional yotros relacionados.

    2.4. Elecciones al azar y resultados equiprobables

    En una clase bastante amplia de problemas, la asignacin de probabilidades a los eventos deun experimento aleatorio puede iniciarse gracias al concepto de eleccin al azar.La eleccin al azar se refiere a experimentos aleatorios en los cuales se dispone de una coleccinde objetos, los cuales pueden ser bolas, cajas, tarjetas, personas, etc., y se define el experimentoaleatorio precisamente como la eleccin al azar de uno o varios objetos de la coleccin. Eltrminoelegir al azarque se utiliza en esos casos se entiende en el sentido de que,