Universidad Autónoma del Carmen

Dependencia Académica de Ciencias Químicas y PetrolerasLicenciatura en Ingeniería Petrolera

Profesor: Ing. Elda Noelia Robles TorresEquipo 1

Integrantes: Eduardo Roberto Deara

Ramírez Bernal José Antonio

Materia: Probabilidad y Estadística

Temas:

IntroducciónAntecedentesConceptos Básicos Regla de sumaRegla de multiplicaciónAxiomasConclusiónBibliografía

Contenido:

El concepto de probabilidad tuvo origen en los juegos de azar como los dados, las cartas y el tiro de la moneda. Luego se implementó en problemas sociales y económicos. Las probabilidades son muy frecuentes y útiles para tomar decisiones de posibles resultados futuros. Para utilizarlas es necesario seguir ciertas reglas generales establecidas.

Introducción:

El cálculo tuvo un notable desarrollo con el trabajo del suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Durante el siglo XX, un matemático ruso, Andrei Kolmogorov, propuso una definición de probabilidad, que es la que seguimos utilizando hoy en día.

Antecedentes:

Conceptos Básicos de Probabilidad

Proceso mediante el cual se obtiene una observación, el aleatorio puede dar lugar a resultados variados, y el probabilístico da lugar a resultados certeros y fáciles de predecir.

Experimentos Aleatorios y Probabilísticos:

Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico y se representa con el símbolo S y dentro de este se encuentran los puntos muestrales donde son cada uno de los resultados del espacio muestral.

Espacio Muestral y Punto Muestral:

Discretos: Son los espacios muestrales donde sus datos constan solo de números enteros.Continuos: Son los cuales constan de todos los números reales, ya sean enteros o fraccionales o letras.

Discretos y continuos:

Subconjunto de un espacio muestral.Sucesos complementarios.Suceso seguro Suceso posibleSuceso imposible

Evento o Suceso:

Es una representación gráfica de los eventos y el correspondiente espacio muestral de un experimento. Se representa el espacio muestral como un rectángulo y los eventos como círculos trazados dentro del rectángulo. Y el de árbol es una representación gráfica que resulta útil para entender un experimento y enumerar los resultados de varias etapas.

Diagramas de Venn y de Árbol :

La unión de sucesos, A U B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.A = {2, 4, 6}B = {3, 6}A U B = { 2, 3, 4, 6}

Unión e intersección de evento:La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.A = {2, 4, 6}B = {3, 6}A  B= {6}

Reglas de la Suma o Ley aditiva de la probabilidad.

Para la solución de una probabilidad es necesario tener en cuenta que esta debe poseer un intervalo.

Regla:

Regla de la suma

Eventos excluye

ntesP(A U B)= P(A)+P(B)

Eventos no

excluyentes

P(A U B)= P(A)+P(B)-P(A ∩ B)

Resumen:

Las leyes simplifican el cálculo de probabilidades, la primera, denominada regla aditiva, se aplica a uniones de 2 o más eventos.

Ley aditiva:

Dados dos eventos, A y B, la probabilidad de su unión, A B, es igual a P(A U B)= P(A)+ P(B) -P(A ∩ B)

Observando en el diagrama de Venn, podemos denotar que P(A) P(B) cuenta dos veces los eventos simples que son comunes a A y B. La resta de P(A ∩ B) da el resultado correcto.

No excluyentes:

Cada año se llevan a cabo exámenes físicos de rutina como parte de un programa de servicios de salud para los empleados de Motora, Se descubrió que el 20% tiene sobre peso, y el 16% requiere tratamiento dental y el 4% esta en sobre peso y requiere tratamiento dental. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar este con sobre peso o requiera tratamiento dental?

Ejemplo 1:

P(A o B) =P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A U B)= 0.20+0.16-0.04= 0.32

Cuando dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos, significa que cuando ocurre A; B no puede ocurrir, y viceversa. Esto significa que la probabilidad de que ambos ocurran, P(A ∩ B), debe ser cero. Tenemos una representación de un diagrama de Venn de dos de estos eventos sin ningún evento simple en común.

Mutuamente excluyentes o disjuntos:

Un compañía de exploración petrolera planea perforar dos pozos de exploración. Se emplea evidencia del pasado para tener acceso a los posibles resultados

Ejemplo 2:

P(A U B)= P(A) + P(B)= .80 + .18 = .98

P(B U C)= P(B) + P(C) = .18 + .02 = .20

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

La regla de la multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independentes.

Dos eventos A y B si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

La regla a seguir es:

P(A y B) = P(A)P(B).

Regla de la multiplicación:

• La regla general de la multiplicación es utilizada para encontrar la probabilidad conjunta de que dos eventos ocurran.

• La regla establece que dados dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentran multiplicando la probabilidad de que suceda A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B.

Puntos importantes de la regla de multiplicación:

Considerando el ejemplo de dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 5 en un dado y otro 5 en el otro dado?Evento A: Obtener 5 en el dado 1

Evento B: Obtener 5 en el dado 2.            Aplicando la fórmula tenemos que:

Ejemplo:

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces:

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A), siempre que P(A) > 0.

Por consiguiente, la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad condicional de que ocurra B, dado que ocurre A. Como los eventos A ∩ B y B ∩ A son equivalentes, se deduce que también podemos escribir:

P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B)P(A|B).

Objetivos:

Una urna contiene 5 pelotas rojas y 5 pelotas azules. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una pelota roja en un primer evento y una segunda pelota roja en un segundo evento?

Utilizando la regla general de multiplicación, obtenemos:Evento A: Obtener una pelota roja en un primer intento.Evento B: Obtener una pelota roja en un segundo intento.            Aplicando la fórmula tenemos que:

Otro ejemplo:

Diagrama:P (A y B)

Regla de la Multiplicación

¿Son A y Bindependientes?

Si

No

P (A y B) = P (A) ·P (B)

P (A y B) = P (A) · P (B|A)

La probabilidad de cualquier suceso A es positiva o cero. Es decir: 0≤ P(A) ≤ 1. La probabilidad del suceso seguro es 1 si y solo si A = E. Es decir, P (Ω)=1. La probabilidad de la unión de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles

dos a dos es la suma de las probabilidades de los sucesos. P (A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C).

Axiomas:

Ejemplo: