apuntes de probabilidad[1]

5/17/2018 Apuntes de Probabilidad[1] - slidepdf.com

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DEL ORIENTE DEL ESTADO DE HIDALGO

Conjunto: es una colección de elementos que deben tener características encomún.

Y se representa de la siguiente manera.

A= {,} o con el diagrama de Venn.

Intersección: son los elementos que tienen en común los conjuntos

Unión: como una suma de dos conjuntos.

Unión: es toda la unión de los conjuntos

Complemento: se define como los elementos que pertenecen al conjunto

Ejemplo:

Cuantas personas participan en la encuesta?

12

Cuantas personas toman te?

6

Cuantas personas toman café?

9

Cuantas personas no toman ninguna de las 2 bebidas?

1

Cuantas personas no toman café?

3

A B



Eventos mutuamente excluyentes,

Diagrama de Venn.

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}Ʊ

A= {2, 4, 6, 8,10}

B= {1, 2, 3, 4,5}

C= {6, 7, 8, 9,10}

A b= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}ʊ

Anc= {6, 8,10}

Anb= {2,4}

C

= {1, 2, 3, 4,5}

u a u b

ā a)

Conjunto en diagrama de Venn

a u b

b)

A



La intersección y unión de dos conjuntos en un diagrama de Veen.

a) La intersección sombreada

b) La unión sombreada

Que son los métodos combinatorios?

Espacio muestra y eventos

Se le llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultadosindividuales de un experimento aleatorio y se representa con ώ

Su propósito es modelar matemáticamente el fenómeno del azar y la aleatoriedad.

El conjunto s de todos los posibles resultados posibles de un elemento sedenomina espacio muestral

S espacio muestral.

S evento:

Conjunto que consta de todos los posibles puntos muéstrales y normal mente sedenota con s.

1. A u b: es el evento que ocurre si a ocurre o b ocurre o si ambos ocurren.

2. A n b: es el evento que ocurre si a ocurre y b ocurre.

3. Ac es el complemento de a. Es el evento que ocurre se a no ocurre.

Ejemplo

Se lanza un dado observe el numero que aparece en la cara superior, verifique elespacio maestral, agá el experimento bajo las siguientes restricciones

A. El evento en que ocurren números pares

B. El evento que ocurren números imparesC. El evento en que ocurren números mayores de tres

S: {1,2,3,4,5,6} aub= {1,2,3,4,5,6}

A: {2, 4,6} bna= 0

C: {4, 5,6} bc= {2, 4,6}



Métodos combinatorios.

Existen 2 tipos de conteo, a partir de los cuales se deducen varias formulas,dichos principios son los siguientes.

Multiplicativo: si una tarea consta de n eventos y de m pasos distintos y si ambosno son incluyentes

Si no que es posible relazarlos juntos o en sucesión entonces el total de pasosdistintos en que puede concretarse es de n*m

Principio aditivo: bajo las mismas premisas que el conjunto anterior, si las dostareas en cuestión no son viables de realizar juntos o en sucesión, por ser mutuamente excluyentes entonces el total de formas será n+m

Diagrama de árbol: ciertos problemas y situaciones en la teoría de la probabilidadpueden resolverse mediante un diagrama de árbol, el cual es una sucesión devértices y aristas conectados entre si, las ramas seguirán extendiéndose según lasnecesidades y se visualizaran todos los resultados posibles en un experimentofinito.

Ejemplo:

Consiste en lanzar una moneda y después lanzarlo una segunda vez si saleáguila, si sale sol en el primer lanzamiento se lanza un dado una vez

¿Determine el número de elementos posibles que se pueden obtener?

1

a

2

s 3

4

5



7 6

8

Ejercicio

Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta 5 veces en cada juego gana opierde 1 peso el hombre empieza con un peso y deja de jugar si antes de la quintavez pierde todo o si gana 3 veces consecutivamente?

R= 11

Formula de combinaciones

Ncr= n!/(n-r)!r!

Formula de permutaciones

Npr= n!/(n-r)!

Nota: siempre n debe de ser mayor que r para combinaciones y permutaciones

Ejemplo

N=8 ( 8!)/ (3!)(5!)= 56

r=3

nota: las permutaciones siempre deben ser mayor que las combinaciones

Encuentra el número de permutaciones de 6 objetos por ejemplo a, b, c, d, e, f tomando de a cada vez.

En otras palabras encuentre el número de palabras que se pueden formar con 3letras

N=6

R=36p3= 120

Encuentra el número n de comités que pueden formarse con 8 personas, cadacomité es esencialmente una combinación de 8 personas tomando 3 a la vez.

N=8 8c3= 56



R=3

Un agricultor compre 3 vacas ,2 cerdos, 5 gallinas a una persona que tiene6 vacas, 5 cerdos y 9 gallinas. Cuantas opciones tiene para escoger el agricultor?

N=6 r=3 vnc3=20 cn=5 nc2=10 n=99c5= 126

R=6 r=2 r=5

C20*10*126= 25,200

Probabilidad condicional.

Espacio maestral y eventos

Espacio maestral: conjunto s que consta de todos los resultados posibles de unexperimento aleatorio se llama espacio maestral y cada resultado se denominapunto maestral.

Con frecuencia habrá más de 1 espacio maestral que puede descubrir losresultados de un experimento, pero generalmente habrá uno que provee mayor información

Es el conjunto de los resultados posibles de un experimento

Evento: es cualquier colección subconjunto de resultados contenida en el espaciomaestral s. Se dice ue un evento es simple si consiste en exactamente unresultado y compuesto si consta de mas de uno.

Ejemplo:

Cuantas apuestas de lotería primitiva de una columna han de llenarse paraasegurarse el acierto de los seis resultados de 49?

N=49. R=6. C=49!/(49-6)!6!= 13983816

p =49!/(49-6)!= 1.00683475 x10'°

A una reunión asistirán 10 personas y se intercambian saludos entre todos.

Cuantos saludos serán intercambiados?

N=10. R=2. C=10!/(10-2)!2!= 45



p =10!/(10-2)!= 90

De cuantas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una filade butacas?

N=8. R=8. C=8!/(8-8)!8!= 1n donde se ha definidop =8!/(8-8)!= 40,320

Cuantos números de 5 cifras se pueden formar con estos dígitos 1, 2, 3,4,5. ?

N=5. R=5.

p =5!/(5-5)!= 120

Probabilidad condicional

Sea s un espacio maestral en donde se ha definido e, donde p (e) >0, sideterminamos la probabilidad de que con esta ocurra un evento a que también esdefinida en el mismo espacio maestral. Dada que e ya ocurrió entonces determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina.

Desviación estándar.

Para un conjunto de n números x1, x2 ,,,, se denota con la letra s

Donde x representa la desviación de xi respecto de n numero totalẋ

La desviación típica o estándar para datos agrupados que ocurre con frecuencias

Frecuencia relativa s/n s= espacio maestral

s= evento

0= nulo o inexistente



LA PROBABILIDAD:

Es moldear matemáticamente el fenómeno del azar y la aleatoriedad

Axioma: es una verdad demasiado evidente, fácil de comprobar

Teorema de bayes

P=(a/b). P(a).p(b/a)/p(a): p(a/a)+(pa2).p(a/a2)+ p(an).p(a/an)

Tres maquinas producen el 45,30 y 25% respectivamente del total de laproducción los porcentajes de piezas defectuosas son de 3, 4,5%respectivamente.

¿Si sacamos una pieza al azar cual es la probabilidad de que dicha pieza sedefectuosa?

¿Si tomamos una pieza al azar y resulta defectuosa cual es la probabilidad de quesea de la maquina b?

¿Qué maquina tiene la mayor probabilidad de sacar piezas defectuosas

Maquinas buena producción defectuosa

a 45% .03%b 30% .04%

c 25% .05%

Pd=p(a).p(d/a)+p(b)*p(d/b)_p(c).p(d/c)

Pd=(.45).(.03)+(.30)(.04) +(.25)(.05) = 0.038

P(d/b)= p(b).p(d/b)/.038=P(d/a)=(.45)(.03)/.038= 35.5%

P(d/c)=(.25)(.05)/.038 = 32.8%



UNIDAD II

Estadística:

Es la rama de las matemáticas que se ocupa de reunir , organizar y analizar losdatos que nos ayudan a resolver problemas como el diseño de experimentos ytoma de decisiones , la estadística se divide en 2 estadística descriptiva einferencial.

Estadística descriptiva

Estadística

Rama de las matemáticas que se ocupa de reunir organizar y analizar los datosque nos ayudan a resolver problemas como el diseño de experimentos y toma dedecisiones .

La estadística se divide en descriptiva e inferencial

Descriptiva = parte del estudio que incluye la optencion como organización,presentación y descripción de toda la información.

Inferencial: técnicas mediante las cuales se obtienen generalizaciones o se tomandecisiones en base a información parcial o incompleta

Campo de aplicación de la estadística actualmente

Se aplica en las ciencias sociales, ciencias naturales, en la industria, en laadministración, economía, finanzas, agricultura, medicina etc...

Muestreo subconjunto extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población

Población: conjunto de todos los elementos que pertenecen al objeto de estudiodel análisis estadístico

Datos estadísticos: son agrupaciones de cualquier número de observacionesrelacionadas y deben de tener relación con el objeto de estudio.

Obtención de datos: la manera más formal de obtener o proceder a la búsquedade información es seguir los lineamientos del método científico



La estadística resulta de gran utilidad en el manejo de información y el procesoconsiste en la recopilación, análisis y presentación.

Estadística descriptiva:

Es recopilar, ordenar y presentar información para saber que decisión tomar, pararecopilar datos: para que la información sea comprobable y confiable

Ordenar datos:

Por medio de graficas (h histogramas o polígonos de frecuencias, ojiva)

Definición estadística descriptiva

Parte del estudio que incluye la obtención organización , presentación ydescripción de toda la informacióninferencial : técnica mediante la cual se obtienen generalizaciones o se tomandecisiones en base a la información parcial o completa.

Campo de la aplicación de la actual estadística:

Se aplica en las ciencias sociales, ciencias sociales en la industria, administraciónen la industria en la economía en las finanzas, agricultura, comercios medicinaetc...

Población: conjunto de todos los elementos que son objeto del estudio estadístico

Muestreo: es un subconjunto extraído de la población, cuyo estudio sirve parainferir características de toda la población

Dato estadístico: son agrupaciones de cualquier número de observacionesrelacionadas y deben tener dos características que sean comprobables y quetengan alguna relación con el estudio

Obtención de datos: la manera más formal de obtener o proceder a la búsquedade la información es seguir los lineamientos del método científico.

La estadística resulta de gran utilidad en el manejo de la información y el proceso

consiste en recoger la información, presentar y analizar la información



Métodos de recolección: encuestas registros y censos

Técnicas de recolección: entrevistas, aplicación de cuestionarios y observaciones

Método para el recuento: listas, tarjetas simples, mecanizados

Medidas de tendencia central

Media (promedio). Mediana (m). Moda es el número que mas se repite.

Dado un experimento aleatorio, los posibles resultados que puedan ocurrir sonsucesos que dependen del azar y que dan lugar a una variable cuyos valorestendrán una cierta probabilidad de repetirse. Estas nuevas variables se llamanvariables aleatorias.

Por contra, si tomamos muestras en un experimento realizado, esos resultadosreales conforman lo que se denomina variable estadística.

Los conceptos variable aleatoria y probabilidad son conceptos teóricos queresultan de una abstracción hecha sobre los conceptos de variable estadística yfrecuencia, conceptos estos últimos que se consideran después de la ejecucióndel experimento, mientras que los primeros se consideran antes de la ejecución.

Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar un número finito devalores.

Medidas de centralización

Una medida de centralización es un valor, que es representativo de un conjunto dedatos y que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos, ordenados segúnsu magnitud.

Mediana

Es el valor de la variable estadística que divide en dos partes iguales a losindividuos de una población, supuestos ordenados en orden creciente. En general,es el valor donde la función de distribución f(x) toma el valor 1/2, pero así definida

puede no ser única en cuyo caso se toma la media aritmética de los valores demediana, o no existir en cuyo caso se toma como mediana el valor de la poblaciónmás cercano a esa mediana 'ideal'.



Moda

Es el valor más frecuente de la variable estadística; valor que se corresponde almáximo del histograma.

Si la variable es discreta, puede darse el caso de que haya más de una mediana.Media aritmética

Es la suma de los productos de los posibles valores que tome la variable x i , entreel número de valores que esa variable contenga.

Medidas de dispersión

Son medidas que representan el grado en el que los valores numéricos tienden aextenderse alrededor de un valor medio.

Recorrido

Es la diferencia entre el mayor y menor valor de una variable estadística.

Varianza.

Una forma natural de medir la dispersión en torno a la media es calcular la mediade las diferencias:

Pero como habrá valores por encima y por debajo de la media que secompensarán, calcularemos mejor el cuadrado de las diferencias. Se define asívarianza de una variable estadística, como la media de los cuadrados de las

desviaciones de sus valores respecto a su media. Se representa por s2

:

Se distingue aquí entre los casos de variable estadística y variable aleatoria. En elprimer caso, tendremos una serie de valores concretos, de los que vamos acalcular su varianza, la varianza muestral .



La fórmula es la que se acaba de expresar. En el caso de variable aleatoria,estaremos calculando una varianza estimada, ya que no estamos tomandomuestras de un conjunto de datos inmenso y por lo tanto la media y varianza son

estimadas, no conocidas. La expresión que la define cambia en un pequeñodetalle: en vez de dividir el resultado de la suma entre (n-1), se divide entre (n),así:

Desviación típica (o estándar).

Es la raíz cuadrada de la varianza.

Al igual que con la varianza, se distinguen los casos de variables aleatorias yestadísticas. En esta fórmula se expresa también la desviación típica muestral,que es la que usaremos.

Formula de la varianza y desviación estándar

Varianza: es la medida aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a lamedida de una distribución estadística

A²= (x,-x)² + (x²- x)² +…… (-x

) ²/n

A²=∑

(x1-x)²/ n a²=√∑(xi - x

)²/n

Varianza para datos agrupados:

A²= (xi - x

)² f, +(x²- x)² f2 +(xn - x

) ² fn/n

A²=∑

(x1-x)² fi / n



Para simplificar el cálculo de la varianza, vamos a utilizar las siguientesexpresiones que son equivalentes a las anteriores

A²= xi² + x2² +…+ x2² - x²/n a²= ∑

x²/n -x

²

Desviación. S= √∑(xi -x

)² / n-1

Varianza. S² =∑(xi- x

)²/n-1

Lista a= (7,9,9,10,10,11,14) x

= 10

S²= (7-10)²+(9-10)² + (9+10)²+(10 -10)²+ (10 -10)² +(11-10)² +(14-10)²

S²= (-3)² +(-1)² + (-1²)+ (0)² + (1)² + (4)² / 6S²= 9+1+1+1+16/ 6 = 28/6 s²= 4.6 s= 2.14

Moda = al numero que mas se repiteẋ

R = rango

= mediaẌ

= modaẌ

S= desviación estándar

S²= varianza

Ejemplo



En una compañía que se dedica los préstamos de dinero tiene 45 registrosque son los siguientes

400 500 575 700 725 825 900 1050 1300450 500 625 700 750 850 925 1050 1450

450 550 675 700 750 850 925 1125 1650475 550 675 725 750 850 925 1125 1650475 575 700 725 775 850 925 1150 1750

Agrupar dichos datos con un intervalo de w= 200, empezando desde 400,encontrar media, mediana moda, marca de clase, frecuencia relativa, frecuencia r acumulada.

Media = 37600/45 = 839.55

= n+1/2 = 45 +1 /2 =46/2 = 23Ẍ

Mediana = 750

moda = 700, 850, 925

W= 200 n=45

400-600 600-800 800-1000 1000-1200

1200-1400

1400-1600

1600-1800

500 700 900 1100 1300 1500 170011 14 10 4 2 4 311 25 35 39 41 42 45



En la siguiente tabla se muestran los pesos de 40 estudiantes de universidadvarones con precisión de una libra, calcule su mdc y fr.

119 135 138 144 146 150 156 165125 135 140 144 147 150 157 165126 135 140 145 147 152 158 168128 136 142 145 148 153 161 173132 138 142 146 149 154 163 176



R= 176 -119= 57

Media = 146.8

Mediana =146

Moda = 135

S= 13.05

S²= 170.31

UNIDAD III

Ensayo de Bernoulli

Teoría de probabilidad un ensayo de Bernoulli es un experimento en el cual suresultado es aleatorio y debe de encuadrarse en uno de do posibles resultadosque denominamos éxitos o fracasos.



La practica se refiere a un simple evento que puede tener dos resultadosexpresados en si o no.

La distribución binomial, en la estadística la distribución binomial es unaprobabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n

ensayos, independientes de una posibilidad fija de ocurrencia de éxitos entre losensayos

Un ensayo de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico en la distribuciónbinomial, el experimento se repite n veces de forma independiente y se trata dedeterminar la posibilidad de un determinado número de éxitos

Para que un problema pueda ser de tipo hipergeometrico debe cubrir lassiguientes condiciones

• Los ensayos no son independientes

• El experimento se debe hacer un numero finito de veces

• La Posibilidad de ensayo en ensayo cambia

Distribución geométrica

Esta distribución es un caso especial de la binomial ya que se desea que ocurraun éxito por primera y única vez

P(x) = qx-1x p .

Binomial hipergeometica

N total de eventos n tamaño del lote

X éxitos deseados n tamaño de muestra

P éxito k numero de defectuosos

Q fracaso x éxitos deseados

A menudo es útil aproximar una distribución con otra en particular cuando laaproximación se puede manejar con más facilidad.

P=k/n



Las aproximaciones que consideramos son:

Aproximación de la binomial a la hipergeometrica

Aproximación de poisson a la binomial

Distribución de Poisson

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad deárea tiempo o piezas etc... Como por ejemplo el número de defectos de una telapor metro cuadrado.

Para determinar la probabilidad de que ocurra n éxitos por unidad de tiempo, áreao producto se utiliza la siguiente formula

P= λx . E-³/ x!

Λ medida promedio de éxitos deseados

E= 2.7182

X= numero de éxitos

Un experimento aislado no nos sirve, pero si en cambio lo repetiremosvarias veces, ya tendríamos un espacio muestral, para si poder determinar unresultado

• Ensayo de Bernoulli

En la teoría de la probabilidad y la estadística un ensayo de Bernoulli, es unexperimento en el cual su resultado es aleatorio y debe encuadrarse en uno dedos posibles resultados denominados éxitos o fracasos, la practica se refiere aunsimple evento que pueden tener dos resultados expresados en si o no.

• Distribución binomial

En la estadística la distribución binomial es una distribución de probabilidaddiscreta que mide el número de éxitos de una secuencia de n ensayosindependientes.



En la distribución binomial el experimento se repite n veces de formaindependiente y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número deéxitos

Donde:

P= éxito q= fracaso

N= tamaño de la muestra k= numero de éxitos

1- Un examen consta de 10 preguntas a los que hay que contestar suponiendo que a la personas que ha las personas que se le plica dichoexamen, no saben contestar ninguna de las preguntas y en consecuencialas responden al azar.

Calcula la probabilidad de que obtengan 5 aciertos.

• B= (10/5). .5°. .5^5 = .2460 x 100 = 24.60%

Calcule la posibilidad de que no obtenga ningún acierto

b= (10/0). .5°. .5'°= 0.0009765 x 100 = .097 %

Calcula la posibilidad de que obtenga al menos 5 aciertos.

P= .5 q=.5 n= 10 k = 5

• B= (10/6). .5^6 x .5^4 = 0.2050 x 100 = 20.50 %

• B= (10/7). .5^7 x .5^3 = .1171 x 100 = 11.71 %

• B= (10/8). .5^8 x .5^2 = .0439 x 100 = 4.39 %

• B= (10/9). .5^9 x .5^1 = .0097 x 100 = .97 %

• B= (10/0). .5^10 x .5^0 = .00097 x 100 = .097 %

•

= 62.267%

Distribución hipereometrica

H= (k/x) ((n-k) (n-x)/(n/n)



N = tamaño de lote

N = tamaño de muestra

K = numero de defectuosos


Para que un problema sea de tipo hipergeometrico debe cumplir las siguientescondiciones

• Los ensayos no son indispensables

• El experimento se debe hacer un numero finito de veces

• La probabilidad de ensayo en ensayo cambia

Cual es la probabilidad de obtener tres artículos defectuosos en una muestra detamaño 8, tomada de un lote de tamaño 10, donde hay 5 defectuosos.

N=10 n=8 k=5 x= 3

H =(5/3) ((10-5)(8-3)) / (10)(8) = (10)(1)/45 = 10/45 = .2222 %

Cual es la probabilidad de obtener 2 unidades defectuosas en una muestra detamaño 10 , de un lote de 20 unidades que contiene 5 defectuosas.

N=20 n=10 k=5 x= 2

H =(5/2) ((20-5)(10-2)) / (20)(10) = 10(6.435)/184.75 = 64.35

Aproximaciones



A menudo es útil aproximar una distribución con otra, en particular cuando laaproximación se puede manejar con más facilidad, las dos aproximaciones queconsideramos son

• Aproximación de la binomial a la hipergeometrica

• La aproximación de Poisson a la distribución binomial

Distribución de Poisson

En este tipo de experimentos, los experimentos son expresados por unidades deárea, tiempo, piezas, etc.

Por ejemplo

Numero de defectuosos de una tela por m²

Numeró de aviones que aterrizan en un aeropuerto por hora, día o minuto.

Λ= promedio de éxitos deseados

E= 2.7182


Poisson p=λ^x . E^-λ / x!

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar, y que cada intervalo detiempo es independiente del otro intervalo dado.

Si un banco recibe 6 cheques sin fondos en un día, cual es la probabilidad de quereciba.

• 4 cheques si fondos en un día

• 10 cheques si fondos en cualquiera de 2 días consecutivos

Λ = 6…. X 2 = 12

X= 4…. 10 p= 6^4. E^-6/4! = 0.1338 %

E= 2.7182 p= 12^10. E^-12 /10! = 0.1338 %



Calcule la probabilidad de que un remate particular en la superficie del ala de unavión este defectuoso es de .001% hay 4000 remaches.

Cual es la probabilidad de que se instalen 6 remaches defectuosos.

N=4000 x= 6 p=.001 q= 1- .001 = .999Binomial

B= (4000/6) . .001^6 . .999^3994 = .1042

Poisson

4^6 . E^-4 / 6! = 0.1042

Una fabrica de tarea gubernamental sospecha que alunas fabricas violan losreglamentos contra la contaminación ambiental, 20 empresas están bajo sospecha

pero no todos se pueden inspeccionar, supongamos que tres de las empresasviolan los reglamentos

Cual es la probabilidad que de la inspección de 5 empresas 2 violen elreglamento?

N= 20 n= 5 k=3 x = 2

Hipergeometrica

h = ( 3/2) ( 20-3)(5-2) / (20/5) = 3 (15.504 -3) = 3(12.504) /

15.504

2.040/ 15.504 = 0.1315

Binomial

N=5 x=2 p=.15 q= 1- .15= .85

b= (5/2)(.15)² . .85^3 = .1381 x 100 = 13.81 %

Poisson

Λ =.75

E= 2.7182 .75² . E^-75/ 2!= .1328 = 13.28%

X= 2



UNIDAD IV

Distribución normal

La distribución normal es en muchos aspectos la piedra angular de la estadística.

Se afirma que una variable x tiene una distribución normal con media u(-∞ <u -∞) yvarianza ² >oᵟ

Se dice que la variable es continua si sigue una distribución normal de mediana my desviación típica.

Puede tomar valores de infinito hasta menos infinito, la forma de la campanadepende de sus parámetros (mu y gama)

La función presenta un máximo en x= mu y dos puntos de inflexión ( + ,-) teniendoal eje de las “x” como asíntota

La curva f(x) es simétrica con respecto a su medida y por lo tanto u medida y sumoda son coincidentes

Existen 7 casos y son los siguientes.

1- .68 = .7517 - .5 = .2517

2- 1.2 = .8849 - .5 = .3899



3- .46 = 6772 -.5 = .1772 2.21= .9864 - .5 = 49.84 = .6636

4- .94 = .9738 .81 = .7910 = .9738 – .7910 = .1828

5- 1-.7257 = .2742

6- .8997 = .8997



7- 1.44 = .9250 - .5 = .4250 2.05 =. 9798 - .5 = .4798 = .9048

• La forma de la campana depende de sus parámetros m y σ, la funciónde densidad presenta un máximo de x= m y dos puntos de inflexión en x= m – σ y x= m +σ

•

Teniendo el eje de las x como asíntota• La f(x) es simétrica

• Su media y su moda son coincidentes.

Cierto tipo de baterías duran un promedio de 3 años con desviación estándar de .5, suponiendo que la distribución normal. Encuentra la posibilidad de que unabatería tomada al azar dure menos de 2.3 años

Z= 2.3 – 3 / .5 = - 1.4



2.3 3 3.5

1-9192= 8.08 %

8

7

6

5

4

3

2

1

115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175

120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180

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