EJERCICIOS CAPTULO 11.- Proporcione una descripcin razonable del espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios. Utilice un diagrama de rbol.

a.- Lanzar tres veces una moneda y observar la serie de sellos o caras que aparecen.R//

MonedaCaraSelloCaraSelloSelloCaraCaraSelloCaraSelloSelloSelloCaraCaraCCCCCSCSCCSSSCCSCSSSCSSS

b.- Tirar un dado, si el resultado es un nmero par lanzar una moneda, si el resultado es un nmero impar lanzar una moneda dos veces.R//

DadoParImpar123456CaraSelloCaraSelloCaraSelloCaraSelloCaraSelloCaraSelloCaraSelloCaraSelloCaraSello

2.- Se desea observar una familia que posee dos automviles y para cada uno observamos si fue fabricado en Colombia, si es americano o si es Europeo.

a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento?R//C= Fabricado en ColombiaA= Fabricado en AmricaE= EuropeoR= Resultados del Experimento

b.- Defina el evento A: Los dos automviles no son fabricados en Colombia

B: Un automvil es colombiano y el otro no.

c.- Defina los eventos y .

3- La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto texto en reserva, Dos ejemplares (1 y 2) son primera edicin y los otros tres (3, 4 y 5) son segundas ediciones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio, y se detiene cuando selecciona una segunda impresin. Ejemplos de resultados son: 5, 213.

a.- haga una lista de los elementos de SR//S es el conjunto de elementos que incluye a todos los elementos que existen o el conjunto universal. Luego:

b.- Liste los eventos A: el libro 5 es seleccionado, B: exactamente un libro debe ser examinado, C: el libro 1 no es examinadoR//A={5}

- Uno de los libros debe ser examinado. B puede ser cualquier valor. Pero como anteriormente se selecciono el libro 5 y este corresponde a la segunda edicin, se puede asumir que este es el libro examinado.B={5}

- Todos los libros se seleccionan menos el primero. Entonces:C={2,3,4,5}

c.- Encuentre: , ., y .

El libro que A utiliza es {5} y como B es el quinto libro tambin, entonces la unin es solamente el quinto libro.

Tanto como A y B son el quinto libro, la intercepcin es este. Es el valor que est en ambos.

Todos los elementos de a y todos los elementos de c.

El nico elemento que esta tanto el B como en C, es el quinto libro.

4.- Dos estaciones de gasolina se encuentran en un cierto cruce de la ciudad, en cada una hay 4 bombas para despacho de gasolina. Considere el experimento en que el nmero de bombas en uso en un da particular se determina para cada una de las estaciones. Un resultado experimental especifica cuantas bombas estn en uso en la primera estacin y cuantas estn en uso en la segunda.

a.- Cuales son los posibles resultados del experimentoR//Los posibles resultados son R = {0, 1, 2, 3, 4} para cada estacin. Luego los posibles resultados para ambas estaciones vienen dados por el producto cartesiano de RxR, es decir:

{(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (1,0), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}

b.- Defina el evento A: el nmero de bombas en uso es el mismo en ambas estaciones, R//Evento A: {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

el evento B: el nmero de bombas en uso es mximo dos en cada estacin, R//Evento B: {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}

el evento C: el nmero total de bombas en uso en ambas estaciones es cuatro.R//Evento C: {(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)}.

c.- Defina A u B, R//A u B = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (2, 0), (2, 1) }

B n CR//B n C = {(2, 2)}

5.- El siguiente diagrama de Venn contiene tres eventos. Reproduzca la figura y sombree la regin que corresponde a cada uno de los siguientes eventos:

a. AR//

b. A n BR//

c. (A n B) u CR//

d. (B u C) R//

e. (A n B) u CR//

6.- Una mujer es portadora de hemofilia clsica. Esto significa que, aunque la mujer no tenga hemofilia, puede transmitir la enfermedad a sus hijos. Ella tiene tres hijos. Describa el espacio muestral de este experimento.R//Llamamos H al nino enfermo de hemofilia y N al nino normal.S={HHH , HHN , HNH , HNN , NHH , NHN , NNH , NNN }

7.- En una encuesta realizada entre 200 inversionistas activos, se hall que 120 utilizan corredores por comisin, 126 usan corredores de tiempo completo y 64 emplean ambos tipos de corredores. Determine el nmero de inversionistas tales que:a. Utilizan al menos un tipo de corredor.b. Utilizan exactamente un tipo de corredor.c. Utilizan slo corredores por comisin.d. No utilizan corredores.Represente con un diagrama de Venn este espacio muestral y los eventos relacionados. Indique el nmero de resultados en cada regin del diagrama.

R//

a) 120+126-64 = 182b) (120-64)+(126-64)= 118c) 120-64=56d) 200-182= 188.- La tabla siguiente presenta un resumen de las caractersticas solicitadas en100 rdenes de compra de computadores.

Sean:A: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional y sin procesador opcional de alta velocidad.B: evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional.Determine el nmero de muestras en A n B, B y A u B. Dibuje un diagrama de Venn que represente estos datos.R//A`= (25)A` n B= (10)B`= (15)AUB= (85)

9.- Se le pidi a 110 comerciantes que dijeran que tipo de programa de televisin preferan. La tabla muestra las respuestas clasificadas a la vez segn el nivel de estudios de los comerciantes y segn el tipo de programa preferido.

Especifique el nmero de elementos en cada uno de los siguientes eventos y defnalos con palabras:a) D,R//Preferencia programa deportivo (D), total 30, nivel de estudio, colegio, universitario, Postgrado.b) A u MR// Preferencias programa de Drama en nivel de estudio colegio total 5, Universidad 5, Postgrado 15.c) W `R// Complemento a Preferencias de programas en comedia, total 95, programas Deportes, Noticia y Drama. d) C n NR// Interseccin Nivel de postgrado en preferencias en noticias total 10. e) D n BR// Interseccin tipo de programa de deportes en nivel universitario total 8.f) (M n A) R// Complemento a interseccin en Preferencias de programas de drama en el nivel de colegio, estn el nivel de universidad con 5 y nivel de postgrado con15.

EJERCICIOS CAPTULO 2.1.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la ciudad de Medelln. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de all puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero ms cercano a su oficina. De cuntas maneras o rutas distintas podra tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero ms prximo a su oficina?R//

Nmero de rutas para llegar a la autopista: N1 3 Nmero de rutas para llegar al centro de la ciudad: N2 3 Nmero de rutas para llegar al parqueadero: N3 4 Aplicando el principio de la multiplicacin tenemos: N1 X N2 x N3 (3) (3) (4) 36

Por lo tanto se pueden realizar 36 rutas distintas para llegar de la casa al parqueadero.

2.- En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos de carne con la bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. De cuntas maneras puede un comensal elegir su men que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y un postre?R//

Tipos de sopa: N1 3 Tipos de carne: N2 4 Tipos de bebida: N3 4 Tipos de postre: N4 2

Aplicando el principio de la multiplicacin tenemos: N1 X N2 x N3 x N4 (3) (4) (4) (2) 96

Un comensal puede elegir su men de 96 maneras diferentes.

3.- Si un futbolista conoce 7 jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que juegue las 7 sin que ninguna se repita, qu libertad le queda a ese jugador?R//

7! 7X6X5X4X3X2X1 5.040

Que es lo mismo que: Siete permutado siete, es decir: 7P7 7! (7-7) 7! 0! 7! 1 7! 5.040

Por lo tanto el jugador le queda la libertad de realizar 5.040 jugadas diferentes.

4.-Cuntas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S={a,b,c,d}? Describa cada una de las permutaciones posibles.

R//nPr n! (n-r)! 4! (4-4)! 4! 0! 4! 1 4! 4x3x2x1 24 permutaciones

Las 24 permutaciones son: 5 {a, b, c, d}

a b c a b d a c d b c d a c b a d b a d c b d c b a c b a d c a d c b d b c a b d a c d a c d b c a b d a b d a c d c b c b a d b a d c a d b c

5.- Cuntas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra PROBABILIDAD?

R//En este caso encontramos que hay varios elementos que se repiten, entonces utilizamos la definicin de:

Permutaciones con repeticin: La p se repite 1 vez -- N1 1 La r se repite 1 vez -- N2 1 La o se repite 1 vez -- N3 1 La b se repite 2 veces -- N4 2 La a se repite 2 veces -- N5 2 La i se repite 2 veces -- N6 2 La l se repite 1 vez -- N7 1 La d se repite 2 veces -- N8 2 Total: n 12

Por lo tanto: n! n1.n2!n1! 12! 1! 1!1!2!2!2!1!2! 12! 1.1.1.(2x1)(2x1)(2x1)1(2x1) 12! 2x2x2x2 12! 16 12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x116 47900160016 29, 937,600 permutaciones.

Se puede realizar 29, 937,600 permutaciones distintas con la palabra probabilidad.

6.- Dados los siguientes seis nmeros: 2, 3, 5, 6, 7, 9; y si no se permiten repeticiones, resuelva:

Cuntos nmeros de tres dgitos se pueden formar con estos seis dgitos?R//6P3 6! (6-3)! 6! 3! 6x5x4x3! 3! 120 nmeros

Cuntos de estos son menores de 400?R//1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 2 5 4 entonces 2x5x4 40 nmeros

Explicacin: Para que el nmero sea menor a 400 debe empezar por 2 3, es decir se tienen dos posibilidades. Para la primera cifra, como en la primera cifra ya se coloca un nmero y no hay repeticin, entonces solo quedan 5 nmeros para el segundo digito. Por ltimo solo quedaran 4 nmeros para ocupar la ltima cifra.

Cuntos son pares?R//1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 4 5 2 entonces 4x5x2 40 nmeros

Cuntos son impares?R//1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 4 5 4 entonces 4X5X4 80 nmeros

Cuntos son mltiplos de cinco?R//1 Cifra | 2 Cifra | Ultima cifra | 4 5 1 entonces 4X5X1 20 nmeros

7.- Una tarjeta de circuito impreso tiene ocho posiciones diferentes en las que puede colocarse un componente. Si se van a colocar cuatro componentes distintos sobre la tarjeta, cul es el nmero de diseos diferentes posible?

R//nPr Vrn n! (n-r)!

8P4 Vrn 8! (8-4)! 8! 4! 8x7x6x5x4!4! 1680 diseos

El nmero de diseos diferentes posibles es 1.680

8.- En una pizzera se anuncia que ofrecen ms de 500 variedades distintas de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una combinacin de uno o ms de los siguientes nueve ingredientes: jamn, championes, pia, pimentn, salchicha, cebolla, peperoni, salami y aceitunas. Es cierto lo que afirma su publicidad?R//

Si por ejemplo se elige pia y salchicha, es lo mismo que elegir salchicha y pia. Pero si se elige salchicha y peperoni, no es lo mismo que salchicha y jamn.

En este caso se tienen elementos, (ingredientes), para ordenar una pizza con uno ms de estos ingredientes, por lo tanto utilizamos combinatorias.

( nr ) n! (n-r)r! ( 91 ) 9! 1!( 9-1)! 9! 8! 9 ( 92 ) 9! 2!( 9-2)! 9! 2!7! 36 ( 93 ) 9! 3!( 9-3)! 9! 3!6! 84 ( 94 ) 9! 4!( 9-4)! 9! 4!5! 126 ( 95 ) 9! 5!( 9-5)! 9! 5!4! 126 ( 96 ) 9! 6!( 9-6)! 9! 6!3! 84 ( 97 ) 9! 7!( 9-7)! 9! 7!2! 36 ( 98 ) 9! 8!( 9-8)! 9! 8!1! 9 ( 99) 9! 9!( 9-9)! 9! 9!0! 1

Entonces: ( 91)+ ( 92)+ ( 93)+ ( 94)+ ( 95)+ ( 96)+ ( 97)+ ( 98)+ ( 99) 9+36+84+126+126+84+36+9+1 511

Las variedades distintas de pizza es la suma de todas las combinaciones posibles. Por lo tanto es cierto lo que anuncia la publicidad, porque evidentemente si son ms de 500 variedades distintas de pizza.

9.- El itinerario de un recorrido turstico por Europa incluye cuatro sitios de visita que deben seleccionarse entre diez ciudades. En cuntas formas diferentes puede planearse este recorrido si:

Es importante el orden de las visitas?R//nPr n! (n-r)! n 10 y r 4 10P4 10! (10-4)! 10! 6! 3628800720 5040 formas

No importa el orden de las visitas?R// ( nr ) n! r! (n-r)! n 10 y r 4 ( 104 ) 10! 4!10-4)! 10! 4!6! 210 formas

10.- El muy conocido BALOTO electrnico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 nmeros de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuntos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendr el boleto ganador. La empresa del BALOTO asegura tambin que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o 5 veces, calcule tambin cuntos boletos debe comprar para asegurar 3, 4 y 5 aciertos.

Todava cree en el BALOTO?R//Nmero de elementos del espacio muestral n(5) 45 ( 456 ) 45! 6!(45-6)! 45! 6!39! 8,145060 boletos Se necesitaran 8,145060 boletos para asegurar el boleto ganador.

Para 3 aciertos: ( 453 ) 45! 3!(45-3)! 45! 3!42! 14.190 boletos

Para 4 aciertos: ( 454 ) 45! 4!(45-4)! 45! 4!41! 148.995 boletos

Para 5 aciertos: ( 455 ) 45! 5!(45-5)! 45! 5!40! 1.221.759 boletos

11.- En una sala de espera se encuentran 5 personas: 3 hombres y 2 mujeres.

De cuntas maneras pueden sentarse en una fila?R//5! 5x4x3x2x1 120 formas o maneras Es decir: El primer lugar se puede ocupar de 5 formas distintas, el segundo de 4, el tercero de 3, el cuarto de 2 y el quinto de solo una.

De cuntas maneras pueden sentarse en fila si los hombres se sientan juntos y las mujeres tambin?R//Supongamos que primero s acomodan las mujeres: Habran 2x1 formas de acomodarse. Los hombres tendran 3x2x1 formas de sentarse, es decir seis formas. Entonces combinando los resultados de mujeres y hombres tenemos:

MUJERES HOMBRES (2X1) X (3X2X1) 2 X 6 12 maneras de sentarsen

De cuntas maneras pueden sentarse en fila si justamente las mujeres se sientan juntas?R//Permutaciones circulares 5P5 (5-1)! 4! 4x3x2x1 24 formas.

12.- En una urna se tienen 10 bolitas: 5 rojas, 3 blancas y 2 azules. Si se toman 3 con reemplazo, de cuntas maneras se pueden sacar las tres bolitas de modo que todas sean del mismo color?

R//Para que todas sean del mismo color entonces puede ser que, las tres sean rojas, olas tres blancas o las tres azules. 1. B B B 2. R R R 3. A A A Habra 3 maneras de sacar las 3 bolitas de modo que todas sean del mismo color.

13.- Una prueba de opcin mltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas, de las cuales slo debe marcar una. En cuntas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas?

R//Corresponde a variaciones con repeticin de 3 elementos tomados de 15 en 15, es decir; 315 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 14.348.907 formas.

14.- Cuntas placas vehiculares se pueden elaborar en Colombia? Recuerde que stas constan de tres letras del alfabeto y tres dgitos. Tome 26 letras del alfabeto.

R//Primer caso: se pueden repetir dgitos y letras:

Para la primera letra se tienen 26 posibilidades. Para la segunda letra se tienen 26 posibilidades. Para la tercera letra se tienen 26 posibilidades. Para la primera cifra se tienen 10 opciones, para la segunda 10 y para la tercera tambin.Aqu suponemos que la placa puede empezar por cero.

Entonces aplicando el principio de la multiplicacin tenemos:

1ra. letra | 2da. letra | 3. letra | 1er.nmero | 2do.nmero | ltima cifra |

26 26 26 10 10 10 26x26x26x10x10x10 11232000 placas. Una placa podra ser: ABC 234; OTRA BKL 043.

15.- Cuantas formas hay de seleccionar 3 candidatos de un total de 8 recin egresados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una empresa?

R//El objetivo es seleccionar tres candidatos de un total de 8 egresados de un total de ocho egresados. Por lo tanto no importa el orden de seleccin.

Por ejemplo, (Pedro, Carlos y Beto) (Beto, Pedro y Carlos), es decir que el problema se resuelve por medio de combinatoria.

( nr ) n! r!(n-r)! ( 83 ) 8! 3!(8-3)! 8! 3!5! 8x7x6x53x2x1.5! 56 Hay 56 formas de seleccionar los 3 candidatos de los 8 egresados.

16.- En un estudio realizado en California, se concluyo que al seguir 7 reglas sencillas de salud la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 aos. Las 7 reglas son no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir 7 horas , conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. En cuantas formas puede una persona adoptar 5 de estas reglas, a) si actualmente las viola todas; b)Si nunca toma bebidas alcohlicas y siempre desayuna.

R//Corresponde a combinaciones de 7 reglas tomadas. a) si actualmente las viola todas. De 5 en 5 ( 75 ) 7! 5!(7-5)! 7! 5!2! 7x6x5! 5!.2x1 422 21 Si actualmente las viola todas, las puede adoptar de 21 formas.

b) Si nunca toma bebidas alcohlicas y siempre desayuna. Corresponde a combinaciones de (7-2). Reglas tomadas de 3 en 3. ( 53 ) 5! 3!(5-3)! 5! 3!2! 10 formas

17.- Un Testigo de un accidente de trnsito en el que el causante huy le indica al polica que el numero de matricula tenia las letras RHL seguida por tres dgitos el primero de los cuales era cinco, el testigo no puede recordar los otros dos pero est seguro que los tres nmeros eran diferentes, encuentre el nmero mximo de registros que debe verificar la polica

R//Principio de multiplicacin 5 | | | PLACAS: RHL 9 8 9x8 72 registros. Es decir para el segundo dgito tenemos 9 opciones y para el tercero 8, ya que no hay repeticin.

18.- Seis alumnos de ltimo ao de bachillerato participan en un concurso de ensayo literario. No puede haber empates. Cuntos resultados diferentes son posibles?Cuntos grupos de primero, segundo y tercer puesto puede haber?

Cuntos resultados diferentes son posibles?R//Como no pueden haber empates, entonces tendramos del primer (1) puesto hasta el sexto (6). Entonces aplicando el principio de la multiplicacin tenemos: 6! 6x5x4x3x2x1 720 resultados diferentes 6P3 6! (6-3)! 6! 3! 6x5x4x3! 3! 120 grupos.

19.- Un psiclogo tiene 14 pacientes entre los cuales debe seleccionar nueve para un experimento en grupo. Cuntos grupos de nueve se puede hacer?

R//No importa el orden de seleccin No hay repeticin de pacientes. Entonces utilizamos combinatorias:

(nr) n! r!(n-r)! n 14 ; r 9 (149) 14! 9!(14-9)! 14! 9!5! 2002

Se pueden hacer 2002 grupos de nueve.

EJERCICIOS CAPITULO 31- Sea P(A) = 0.6 P(ApB) = 0.25 P(B)= 0.7

a.- Encontrar P (B/A) R//P (B/A) = P (AB) P (A) P (A/B) = P (AB) P (B) entonces: 0.25= P (AB)* 0.3 dado que P (B)=1- P (B)=1 - 0.7=0.3 Luego P (AB)=0.25/0.3=0.833 Aplicando en la formula P (B/A) = P (AB) P (A), hallemos: P (B/A) = P (AB) P (A) = (0.25/0.3)*0.6 = 0.5

b.- Son A y B independientes, compruebe?.R//no. Porque si fuesen independientes P (AB) = P (A) P (B) =0.6*0.3=0.18 0.833

c.- Encontrar P( A )R//P (A) = 1- P (A) = 1 - 0.6 = 0.4

2.- Se extrae una carta al azar de una baraja de 40 cartas.

a.- Cul es la probabilidad de que sea dos o sea un siete? R// 2/40 + 7/40 = 0,05 + 0,175 = 0,225 = 22,5%

b.- Cual es la probabilidad de que sea oro o un 6?R//1/40 + 6/40 = 0,025 + 0,15 = 0,175 = 17,5%

3.- Consideremos el lanzamiento de un dado, usted gana si el resultado es impar o divisible por dos. Cul es la probabilidad de ganar?

R//= (1, 2, 3, 4, 5,6) A = (1, 3, 5) A=el resultado es impar P(A) = 3/6 = =0.5 = 50% B = (2, 4, 6) B=el resultado es divisible por dos P(A) = 3/6 = = 0.5 = 50%

Como los eventos no son mutuamente excluyentes por la regla de la adicin:

P (AuB) = P (A) + P (B) P (AnB) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1

4.- En el curso de estadstica la probabilidad de que los estudiantes tengan computador es de 0.60, la probabilidad de que tengan auto es de 0.25 y ambas cosas es de 0.15. Cual es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga computador o auto?

R//A --> tener computador B --> tener auto P(A)=0.60 P(B)=0.25 P(A y B) = 0.15 P(A o B) = P(A) +P(B) - P(AyB) P(A o B) = 0.60 + 0.25 - 0.15 = 0.7

5.- De entre 20 tanques de combustible fabricados para el transbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente 4 tanques:

a.- cual es la probabilidad de que ninguno de los tanques sea defectuoso R//Solucin: A=el tanque no sea defectuoso P(A) = 1720 B=el tanque es defectuoso P (B) = 320 a.- S=ningun tanque sea defectuoso S=AAAA

Como los eventos son independientes la probabilidad total es la multiplicacin de las probabilidades marginales:

P(S) = P (A) P (A) P (A) P (A) = 1720*1619*1518*1417 = 0.4912

b.- Cual es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos.R//Existen 4 posibilidades para el evento: AAAB AABA ABAA BAAA H=uno de los tanques sea defectuoso

P (H)= P (AAAB) + P (AABA) + P (ABAA) + P (BAAA) = 1720*1619*1518*320+1720*1619*320*1518+1720*320*1619*1518+ 320*1720*1619*1518 = 0.3578

6.- En la tabla aparecen 1000 estudiantes universitarios clasificados de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en un examen de admisin a la universidad. Tambin muestra la clasificacin de los colegios en donde se graduaron de bachilleres:

Calcular la Probabilidad de que un estudiante escogido al azar:

a) haya obtenido un puntaje bajo en el examen. R//P(A) = 200 = 0.2= 20%

b) Se haya graduado en un colegio de nivel superior R//P(B)= 500 = 0.5= 50% P(CnD) = 50= 0.05= 5%

c) haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado en un colegio de nivel superiorR//P(CnD) = 50= 0.05= 5%

d) haya obtenido un puntaje bajo en el examen dado que se haya graduado en un colegio de nivel inferior R//P(G)= 75= 0.075 = 7.5%

e) si el estudiante escogido termino en un colegio de grado regular encontrar la probabilidad de que tenga un puntaje alto en el examen.R//P(A)= 75= 0.075 = 7.5%

7.- Fabin y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Fabin no pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%.

a) Cual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia. R//Solucin: A=fabian pierda materia B= pilar no pierda ninguna materia B=pilar pierda materia P (A) = 0.85 P (B) = 0.90 Como los eventos son independientes: P (AB) = P (A) P (B) = 0.85*0.90 = 0.765

b) Cual es la probabilidad de que Fabin pierda una materia y Pilar ninguna. R//P (AB) = P (A) P (B) = (1-0.85)*0.90=0.135

C) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia.R//P (AB) = P (A) P (B) = (1-0.85)*(1-0.90) =0.015

8.- Cuatro amigos se dirigen a un lugar y toman 4 rutas diferentes de acuerdo al riesgo de tener un accidente. Las probabilidades de riesgo de cada ruta son 0.2, 0.15, 0.25, 0.10 respectivamente. Cul es la probabilidad de que ninguno sufra un accidente.

R//0.20 + 0.15 + 0.25 + 0.10 = 0.70

9.- El consejero escolar de un colegio estim las probabilidades de xito en la universidad para tres alumnos de ltimo ao en 0.9, 0.8 y 0.7 respectivamente. Cul es la probabilidad de que los tres tengan xito en la universidad?

R//Solucin: A=el alumno 1 tiene exito B=el alumno 2 tiene exito C=el alumno 3 tiene exito

P (A) = 0.9 P (B) = 0.8 P (C) = 0.7

Como los eventos son independientes: P (ABC) = P (A) P (B) P (C) = 0.9*0.8*0.7 = 0.504

10.- Una maquina que produce un determinado artculo fue adquirida bajo la condicin de que el 3% de los artculos producidos son defectuosos. Si el proceso se realiza bajo control, es decir independiente cual es la probabilidad de que

a.- dos artculos seguidos sean defectuosos, R//p (2) = 0.03^2 * 0.97^1 = 0,000873

b.- dos artculos seguidos no sean defectuosos, R//p (2) = 0.97^2 * 0.03^1 = 0,028227

c.- el primero sea defectuoso y el segundo bueno.R//p1 (1) = 0.03^1 * 0.97^0 = 0.03 p2 (1) = 0.97^1 * 0.03^0 = 0.97

P (p1 p2) = 0.03 * 0.97 = 0,0291

11.- La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que un paciente presenta una demanda es de 0.9.

Cul es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda?R//Solucin: C=el doctor diagnostica en forma correcta una determinada enfermedad C=el doctor diagnostica en forma incorrecta una determinada enfermedad D= el paciente presenta una demanda D= el paciente no presenta una demanda

P (D/C) = 0.90

Como P (D/C) = P (DC)P (C) entonces: 0.90= P (DC)0.30 luego despejamos y tenemos: P DC = 0.90*0.30 = 0.27

12.- En una empresa, la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga ms de 30 aos es de 0.55. Cul es la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga 30 aos o menos?

R//La probabilidad de x > 30 aos = 0.55 La probabilidad de x 30 es el complemento, es decir 1 - 0.55 = 0.45

13.- En una ciudad grande el 70% de los hogares compra un peridico matutino y el 90% uno vespertino. Si se supone que los dos eventos son independientes cual es la probabilidad de que un hogar escogido al azar sea uno de los que compra ambos peridicos?

R//Solucin: A=compran peridico matutino B=compran peridico vespertino P (A) = 0.7 P (B) = 0.9

P (AB) = P (A) P (B) P (C) = 0.7*0.9 = 0.63

14.- La tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta. Los datos se clasificaron segn el sector de la ciudad donde se aplico el cuestionario.

Si se selecciona un cuestionario. Cul es la probabilidad de

a) No se haya contestado R//65 / 500 x 100 = 13%

b) La persona no estaba en casa R//135 / 500 x 100 = 27%

c) el cuestionario se haya contestado y la persona viva en el sector N R//115 / 125 x 100 = 92%

d) Dado que la persona viva en el sector O, no haya contestado el cuestionario R//15 / 125 x 100 = 12%

e) La persona viva en el sector M Conteste el cuestionario. R//100 / 125 x 100 = 80%

F) Si la persona no estaba cual es la probabilidad de que viva en el sector O.R//60 / 125 x 100 = 48%

15.- En el ejercicio anterior, el resultado de la entrevista es independiente del sector de la ciudad donde vive la persona? Comprobar la respuesta

R//El resultado de la encuesta es dependiente del sector, esto es, los eventos son dependientes entre s, la ocurrencia de uno de ellos afecta el que pueda producirse el otro:

Sea A=el sector M conteste la encuesta B=el sector N conteste la encuesta P (B/A) = P (AB)P (A) = 215100 = 2.15

Para que los eventos sean independientes es necesario que: P (B/A) = P (B) lo que no ocurre en este caso.

16.- El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y el 60% aprueba otra asignatura B. Sabemos adems, que el 35% del total de los estudiantes aprueba ambas.Elegido un estudiante al azar, calcular las probabilidades de:

a.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la AR//A --> aprueba A B --> aprueba B

P(A)=0.70 P(B)=0.60 P(A y B) = 0.35

P(B|A) = P(A y B) / P(A) = 0.35 / 0.70 = 0.5

b.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la AR//P(B| no A) = P(no A y B) / P(A) **P(no A y B) = P(B) - P(AyB) = 0.60 - 0.35 = 0.25 /// P(no A) = 1-P(A) = 1-0.70 = 0.30 P(B| no A) = P(no A y B) / P(no A) = 0.25 / 0.30 = 0.8333 --> 83.33%

c.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la AR//P(no B|A) = P(A y no B) / P(A)P(A y no B) = P(A) - P(AyB) = 0.70 - 0.35 = 0.35 P(no B|A) = P(A y no B) / P(A) = 0.35 / 0.60 = 0.5833 --> 58.33%

d.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la AR//P(no A|no B) = P(no A y no B) / P(no B) **P(no B) = 1-0.60 = 0.40 **P(no A y no B) = 1-P(AoB) = 1 - ( P(A) + P(B) - P(AyB)) = 1 - (0.70 +0.60 - 0.35) = 0.05 P(no A|no B) = P(no A y no B) / P(no B) = 0.05/0.40 = 0.125 --> 12.5%

17.- Los pedidos nuevos de los productos de una compaa varan en valor monetario, segn el siguiente cuadro

a) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $2.000R//P (x >2.000) = P (2.001 3.000/ x > 2.000) = P( [x > 3.000] [x > 2.000]) P(x > 2.000) = P([x > 3.000]) P(x > 2.000) = 0.300.55 =0.5454

Hay aproximadamente, un 55% de probabilidad de que el nuevo pedido sea mayor que $3000, dado que las ventas exceden a $ 2000.

18.- Una compaa encontr que el 82% de las personas seleccionadas para su programa de entrenamiento de vendedores termino el curso. De estos solamente 60% se convirtieron en vendedores productivos. Si un aspirante nuevo llega al curso cual es la probabilidad de que termine el curso y se convierta en un vendedor productivo.

R//P(AuB)=P(A) * P(B) P(AuB)=0.82 * 0.6= 0.492 0.492=49.2%

19- En un centro mdico, los fumadores que se sospecha tenan cncer pulmonar, el 90% lo tena, mientras que el 5% de los no fumadores lo padeca. Si la proporcin de fumadores es del 45%

Definamos los siguientes sucesos o eventos. A: la persona es fumadora. A: la persona no es fumadora. B: la persona tiene cncer pulmonar. B: la persona no tiene cncer pulmonar.

Datos. P (A) = 0,45 P (BA) = 0,90 P (BA') = 0,05 Sabemos que P A)+P (A) = 1 P (A) = 1-P (A) = 1-0,45 = 0,55

a) Cul es la probabilidad de que un paciente con cncer seleccionado al azar sea fumador? R//P (AB) = ? Luego por el Teorema de Bayes tenemos: P (AB) = P(A)P(BA) P(B) = P(A)P(B/A)[ P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A) ] = 0,45*0,90 ( 0,45*0,90 + 0,55*0,05 ) = 162/173 = 0,936416

B) Cual es la probabilidad de que la persona tenga cncer..R//P (B) =? Por definicin de la probabilidad total tenemos: P (B) = P(A) P (B/A) + P (A) P (B/A) P (B) = 0,45*0,90 + 0,55*0,05 = 173/400 = 0,4325

20.- Un investigador de una clnica de especialistas ha descubierto que durante un periodo de varios aos, el 20% de los pacientes que llegaron a la clnica tenan la enfermedad D1, el 30% la enfermedad D2, y el 50% la enfermedad D3. El investigador descubri tambin que un conjunto de sntomas bien definidos al que denomino S, se encontraba en un 25% de los pacientes con la enfermedad D1, 60% de los que tenan la enfermedad D2, y 80% de los que tenan la enfermedad D3. El investigador quiere utilizar esta informacin para hacer rpidamente el diagnostico a los pacientes recin llegados.Supongamos que ha sido admitido un paciente con el conjunto de sntomas S, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D3, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D1.

R//D1 = 0.20 S = 0.25 D2 = 0.30 S = 0.60 D3 = 0.50 S = 0.80 Teorema de Bayes cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D3 P(D3) = (0.25 x 0.50) + (0.60 x 0.50) + (0.80 x 0.50) = 0.825 cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D1 P(D1) = (0.25 x 0.20) + (0.60 x 0.20) + (0.80 x 0.20) = 0.33

21.- Un cientfico ha descubierto en un hospital para enfermedades crnicas que el 15% de los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 das, mientras que el 85% de los pacientes permanece 30 das o ms. Tambin ha descubierto que el 20% de los que se quedan menos de 30 das y el 60% de los que se quedan 30 das o ms, presentan cierto grupo de caractersticas. Cual es la probabilidad de que un paciente que llega al hospital con esas caractersticas permanezca menos de 30 das?.

R//Definamos los eventos o sucesos. A: los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 das. A: los pacientes permanecen en el hospital 30 das o ms. B: los pacientes presentan cierto tipo de caractersticas. B: los pacientes no presentan cierto tipo de caractersticas.

P (A) = 0,15 P (A) = 0,85 P (B/A) = 0,20 P (B/A) = 0,60 P (A/B) =?

Por el teorema de bayes tenemos: P (A/B) = P(AB) P(B) = P(A).P(B1/A) [ P(A).P(B/A) + P(A).P(B/A) ] P (A/B) = ( 0,15*0,20 ) (0,15*0,20 + 0,85*0,60) = 118= 0, 0556

22.- A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en 90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la persona es inocente. En otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1% de los inocentes se juzgan culpables. Si el sospechoso se escogi de un grupo del cual solo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable, cual es la probabilidad de que sea inocente?

R//Sea SI={Suero lo encuentra Inocente} SC=SIc={Suero lo encuentra Culpable} I={El sujeto es Inocente} C=Ic={ El sujeto es Culpable} P(SC/C)=0.9 P(SI/I)=0.99 P(SC/I)=0.01 P(I)=0.95 P(C)=0.05 P(I/SC)= P(SC/I) * P(I) + P(SC/C) * P(C) P(SC/I) * P(I) = 0.01 * 0.95 + 0.9 * 0.05 0.01 * 0.95 =0.1743

23.- Con los jugadores de un club de ftbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se renen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero.

a.- Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido.R//Definamos: D=se lesione un delantero M=se lesione un medio Df=se lesione un defensa P=se lesione un portero L=se lesione cualquiera de los jugadores del equipo P (D) =0.22 P (M) =0.11 P (Df) =0.055 P (P) =0 P (L) = 622*0.22 + 822*0.11 + 622*0.055 + 222*0.22 = 0.015+0.04+0.06 = 0.115

b.- Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa.R//Aplicando el teorema de Bayes: P (Df/L) = P(Df L) P(L) = 622 * 0.055 0.115 = 0.0150.115 = 0.1304

23.- Tras un estudio estadstico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide:

a.- Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco.R//A=motoristas varones B=Llevan casco p(B) = 54/100 = 0.54 (54 de la suma del 70% de varones y 30% de mujeres que llevan casco; 100, del nmero de personas en total)

b.- Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. Cul es la probabilidad de que sea varn?R//p(AnB) = (70/100) x (42/70) = 0.42 La frmula para la interseccin es P(AnB) = p(A) x p(B/A) El (70/100) sale de la probabilidad que sea varn (hay 70 varones de 100 motoristas) el (60/70) sale de que de 70 motoristas varones, el 60% (o sea 42) usan casco.

24.- Los alumnos de Primero de Biologa tienen que realizar dos pruebas, una terica y otra prctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte terica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte prctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

a.- Son independientes los sucesos aprobar la parte terica y la parte prctica?R//Si son independientes: p(AB)=P(A) x P(B) ; 0.5=0.6 x 0.8 ; 0.50.48 Por lo tanto no son independientes.

b.- Cul es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exmenes?R//P(E)=1 1- P(A) P(B) + P(AB)= 0.1=Probabilidad de no aprobar ningn examen

c.- Cul es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exmenes?R//P(AUB)= P(A) + P(B) P(AB)=0.9 P(AB)= 0.4 Probabilidad de aprobar un nico examen.

d.-Se sabe que un alumno aprob la teora. Cul es la probabilidad de que apruebe tambin la prctica?R//P(B|A)= P(AB)/P(A)= 0.5/0.6 = 0.83

25.- En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2. Calcula el nmero de bolas blancas que debe tener la caja.

R//En la caja hay x+1 bolas: x blancas y 1 roja. Sea: B=sacar una bola blanca R=sacar una bola roja P (B) = xx+1 P (R) = 1x+1 P(BB) = xx+1* x-1x = 12 Entonces: xx+1* x-1x = 12 de aqui tenemos: 2*x-1=x+1 2x-2=x+1 x=3 Hay 3 bolas blancas en la caja.

26.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tambin, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. Cul es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

R//ingenieros 20% = 20 (15 - directivo(75%) + 5 no directivo(25%) economistas 20% = 20 (10 - directivo(50%) + 10 no directivo(50%) no ingenieros y no economistas = 60 (12 - directivo(20%) + 48 no directivo(80%) P(empleado directivo sea ingeniero) = ingenieros directivos / total directivos = P(empleado directivo sea ingeniero) = 15 / (15 + 10 + 12) = 15/37 P(empleado directivo sea ingeniero) = 15/37 Respuesta = 15/37 = ~40,57%

AUTOEVALUACION UNIDAD 11.- Una Vendedora tiene 10 productos y los desea exhibir en una feria nacional.Sin embargo, no puede exhibir sino cuatro. Entre cuantas muestras diferentespuede escoger si el orden en que va a exhibir los productos no tiene importancia?2.- En un depsito hay almacenados 503 equipos de televisin. En la tabla sehallan clasificados segn la marca y el modelo.

Con los datos, encontrar:a) P (B1) b) P (B2 S4) c) P ( S1 B1)d) La probabilidad de que un equipo seleccionado aleatoriamente sea de marcaB1, dado que su modelo es S4e) La probabilidad de que un equipo seleccionado sea de marca B1 o B33.- Cinco amigos quedan de reunirse el sbado en la tarde en el restaurante elsombrero sucede que hay cinco restaurantes en la ciudad con el mismo nombre yno acordaron a cual de ellos iban a ir. Cual es la probabilidad de que los cincovayan a restaurantes diferentes?4.- En los archivos de una compaa de seguros se han registrado que en losltimos aos de un total de 949171 jvenes de 21 aos, solo 577882 llegaron a laedad de 65 aos. Si tomamos estos datos como representativos de la realidada) cul es la probabilidad de que un joven de 21 aos viva para pensionarse a los65 aos? b) Si en una ciudad pequea hay en la actualidad 2000 jvenes cuantosde ellos se puede esperar que se pensionen.5.- Un seor reemplazo las dos pilas inservibles de su linterna por dos nuevas,pero se le olvido tirar las pilas usadas a la basura. Su hijo pequeo que estabajugando con la linterna, saco las pilas y revolvi las pilas nuevas con las usadas.Si el seor coloca nuevamente pilas a su linterna cul es la probabilidad de quefuncione? Por supuesto, se supone que la linterna no puede funcionar con una pilanueva y una inservible.6.- Un seor tena cinco maquinas de afeitar desechables las cuales ya estabanmuy usadas, las puso en un cajn con la intencin de botarlas a la basura. Su hijopequeo no lo saba y las revolvi con tres nuevas que saco de un paquete. Si el

seor prueba dos maquinas de afeitar una tras otra Cul es la probabilidad deque las dos estn usadas?7.- La probabilidad de que Juan llegue tarde a su cita con Rosy es de 0.3. Laprobabilidad de que ambos lleguen tarde es de 0.2. Cul es la probabilidad deque Juan la este esperando?8.- En un examen de matemticas solo 75% de una clase respondi todas laspreguntas. De aquellos que lo hicieron, 80% aprob, pero de los que norespondieron todo, slo aprobaron 50%. Si un estudiante paso, Cul es laprobabilidad de que haya respondido todas las preguntas?9.- Se ha observado que hombres y mujeres reaccionan diferente a unmedicamento; 70% de las mujeres reaccionan bien, mientras que el porcentaje enlos hombres es solamente de 40%. Se realizo una prueba a un grupo de 20personas, 15 mujeres y 5 hombres para analizar sus reacciones. Una respuestaelegida al azar de las 20 resulto negativa. Cul es la probabilidad de que hayacontestado un hombre?10.- Ernesto y Lus estn enamorados de Silvia. Si Ernesto le pide que sea sunovia, tiene 70% de probabilidad de que le diga que s y Luis 30%. Si Ernesto es elnovio de Silvia hay una probabilidad del 40% de que se casen y si es Luis del30%. Si Silvia se cas Cul es la probabilidad de que haya sido con Luis?