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PROBABILIDADES

2

¿Por qué probabilidades?

n  Característica del entorno en el cual se toman decisiones: incertidumbre

n  Probabilidad es el lenguaje para describir y tratar la incertidumbre

3

El lenguaje puede ser ambiguo....

Asigne probabilidades numéricas que cada una de las siguientes frases:

Probabilidad Es muy probable que ocurra ________

Es posible que ocurra ________

Es poco probable que ocurra ________

Es casi imposible que ocurra ________

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Experimentos o fenómenos aleatorios

Son experimentos o fenómenos que dan lugar a varios resultados, sin que se pueda predecir con certeza cuál de éstos va a ser observado en cada realización del mismo.

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Ejemplos

§  Número de accidentes de tránsito ocasionados por el exceso de velocidad en un día, en la ciudad de Lima.

n  Número de personas que acudirán a un supermercado en la próxima hora.

n  La inflación del próximo mes.

n  Tipo de cambio bancario (para compra de dólares).

n  Ingreso mensual por venta de refrigeradoras.

n  Tiempo, en minutos, que tardará un vuelo Lima – Cajamarca.

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Espacio muestral: Ω

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplos:

1. Lanzar un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Extraer al azar un naipe: Ω ={1T, 2T, 3T, ..., 13D}

(52 posibles resultados)

7

Espacio muestral: Ω

3. Plantar dos tipos de semillas y observar si cada una germina o no: Ω = {GG, NG, GN, NN}

4. Evaluar artículos en una línea de producción hasta encontrar el primer defectuoso: Ω = {D, BD, BBD, BBBD, ...}

5. Observar tiempo de vida útil de una batería (en horas): Ω=[0, T]

6. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos : Ω ={LLL, LLN, LNL, NLL, LNN, NLN, NNL, NNN}

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Los espacios muestrales pueden ser:

Ø  Discretos finitos: Ejemplos: 1, 2, 3, 6

Ø  Discretos infinitos: Ejemplo 4

Ø  Continuos: Ejemplo 5

Tipos de espacio muestral

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Eventos

Ø  Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral Ω.

Ø  Al realizar un experimento, diremos que el evento A ocurre si el resultado obtenido es un elemento del evento.

Ø  Ø es el evento imposible y Ω es el evento siempre cierto.

Ø  Ac ocurre si A no ocurre

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Ejemplo

Experimento aleatorio: Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos:

n  Espacio muestral Ω={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

n  En Ω se definen los siguientes eventos: A = La suma de puntos es múltiplo de 5 = {5, 10, 15} B = La suma de puntos es mayor o igual que 12 = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}

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Tipos de eventos

§  Evento elemental o simple: Se llama así a cada uno de los elementos del espacio muestral Ω

§  Evento conjunto: Formado por dos o más eventos simples.

§  Evento contrario o complemento del evento A: Ac Ac está formado por todos los elementos del espacio muestral Ω que no pertenecen a A

§  Evento imposible: Ø §  Evento seguro o siempre cierto: Ω

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Operaciones con eventos

Ø  Union : A∪B = {w∈ Ω / w∈A ∨ w ∈B}

La unión se lee: Al menos uno de los dos eventos A o B ocurren

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Operaciones con eventos

Intersección : A∩B = {w∈ Ω / w∈A ∧ w ∈B}

La intersección se lee: Ambos eventos A y B ocurren a la vez Si A∩B = Ø, decimos que A y B son mutuamente

excluyentes (A y B no ocurren a la vez)

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Operaciones con eventos

La diferencia se lee: Ocurre A y no ocurre B

Diferencia: A - B = {w∈ Ω / w∈A ∧ w∉B} A – B = A∩Bc

A B

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Algebra de Eventos

1) A∪ A = A A∩ A = A2) A∪B = B ∪ A A∩B = B ∩ A3) A∪ Ac =Ω A∩ Ac =∅4) A∪∅ = A A∩∅ =∅

5) A∪Ω =Ω A∩Ω = A6) Ωc =∅ ∅c =Ω (Ac )c = A7) A∩ (B ∪C ) = (A∩B )∪ (A∩C ) A∪ (B ∩C ) = (A∪B )∩ (A∪C )8) (A∪B )c = Ac ∩B c (A∩B )c = Ac ∪B c

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Ejemplo

Alberto y Bruno deben asistir a una reunión de negocios.

Definamos los eventos: A = Alberto asiste a la reunión

y B = Bruno asiste a la reunión

Describa en términos de A y B los eventos siguientes:

o  C = Alguno de los dos asiste a la reunión

o  D = Ambos asisten a la reunión

o  E = Sólo Alberto asiste a la reunión

o  F = Solamente uno asiste a la reunión

o  G = Ninguno asiste a la reunión

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Ejemplo

n  Dados los n eventos A1, A2, …,An se define: n  A = al menos uno de los eventos Ai ocurre

n  B = todos los eventos Ai ocurren a la vez

A = Aii=1

n

= A1∪A2∪A3∪...∪An

B = Aii=1

n

= A1∩A2∩A3∩....∩An

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Ejercicio

Un inspector revisa un proceso de producción de tres etapas. Cada una de las etapas puede o no haber concluido satisfactoriamente. Definamos los eventos Ai = la etapa i del proceso concluyó satisfactoriamente, i = 1,2,3. Describa en términos de los eventos Ai : §  B = Las tres etapas concluyeron satisfactoriamente. §  C = Por lo menos una de las etapas del proceso concluyó

satisfactoriamente. §  D = Solo la etapa 3 concluyó satisfactoriamente §  E = Solo dos etapas concluyeron satisfactoriamente.

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Fundamentos de

Probabilidades

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Modelo Probabilístico

ü  Experimento aleatorio Observar el resultado de un negocio ü  Espacio muestral {E, F} E: éxito, F: fracaso ü  Eventos {E}, {F}, {E,F}, Φ ü  Probabilidad

Asignación de un número entre 0 y 1 a cada evento. Este número

cuantifica la posibilidad de ocurrencia del evento

Improbable

Probable

Cierto

Imposible

0.5

0

1

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Fundamentos de probabilidades

Conceptualmente existen tres maneras de determinar la posibilidad de ocurrencia de un evento:

§  Probabilidad clásica

§  Probabilidad frecuentista

§  Probabilidad subjetiva

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§  Supone que el espacio muestral Ω es finito y que cada uno de sus eventos elementales es igualmente probable.

§  La probabilidad del evento A, se denota P(A), y está dada por:

Probabilidad clásica

)()(

ºº)(

Ω=

Ω=

nAn

deelementosdeNAdeelementosdeNAP

10/8/13 23

Ejemplo

n  Se lanza un dado, encontrar la probabilidad de que salga: n  A = un punto n  B = un número par n  C = un número menor que 5 n  D = un número par y menor que 5 n  E = un número par o menor que 5

10/8/13 24

Solución n  El espacio muestral

n  Sale un punto

n  Sale un número par

n  Sale un número menor que 5

6)(}6,5,4,3,2,1{ =Ω→=Ω n

63)(3)(}6,4,2{ =→=→= BPBnB

( )611)(}1{ =→=→= APAnA

64)(4)(}4,3,2,1{ =→=→= CPCnC

10/8/13 25

… sigue solución

n  Sale un número par y menor que 5

n  Sale un número par o menor que 5 62)(2)(}4,2{ =→=→=∩= DPDnCBD

65)(5)(}6,4,3,2,1{ =→=→=∪= EPEnCBE

26

Ejemplo

§  Se sabe que en determinada urbanización viven 120 familias, de las cuales 90 son propietarias y el resto inquilinas. Si se escoge una familia al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea inquilina?

§  Evento A = la familia seleccionada es inquilina

P(A) = n(A)n(Ω)

=N ºde familias inquilinasN º total de familias

=30120

= 0,25

27

Ejemplo

Se entrevistó a 3500 clientes de una empresa de telefonía celular que adquirieron un paquete promocional que permitía llamar ilimitadamente a otros dos celulares de la misma empresa durante tres meses. La siguiente tabla muestra la distribución de los clientes entrevistados por sexo y por su intención de renovar el paquete promocional.

Sí renueva

No renueva

Masc.

1000

900

Fem.

1200

400

28

… sigue ejemplo

Si se selecciona al azar uno de los clientes entrevistados, calcule la probabilidad de que el cliente seleccionado:

a)  A = Sea mujer

b)  B = Tenga intención de renovar el paquete promocional

c)  C = Sea hombre y no tenga intención de renovar el paquete promocional.

d)  D = Sea mujer o no tenga intención de renovar el paquete promocional.

Sí renueva

No renueva

Masc.

1000

900

1900

Fem.

1200

400

1600

2200

1300

3500

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§  La probabilidad de ocurrencia de un evento se determina por observación de la proporción de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado (frecuencia relativa).

n  Si un experimento se realiza un número n muy grande de veces y si en nA de ellos ocurre el evento A, la probabilidad de A es:

Probabilidad frecuentista

nnAP A

n ∞→= lim)(

30

Ejemplo

Se lanza un dado. Ω = {1,2,3,4,5,6} A = {1}

n nA fA = nA / n10 2 0,2100 15 0,151000 168 0,16810000 1661 0,1661↓ ↓

∞ P(A) = 0,16667 ≈1/ 6

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Ejemplo

n  De un almacén donde hay miles de cajas de cereal de avena, se extraen al azar 500 cajas y se observa que 8 de ellas presentan algún defecto. Aproximar la probabilidad de que una caja de cereal de avena del almacén sea defectuosa.

A = {caja presenta algún defecto}

n = 500, nA = 8

fA = 0.016 P(A) ≈ 0.016

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Probabilidad subjetiva

n  Es la valoración que hace un individuo de las posibilidades de obtener un resultado, basado en su experiencia, opinión personal y análisis que él hace de la situación particular que se evalúa (estado de información de una persona).

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Ejemplos

n  La probabilidad de que apruebe el curso de Estadística es ……

n  La probabilidad de que mi negocio genere utilidades este año es …..

n  Mi probabilidad de conseguir un empleo mejor al actual antes de fin de año es ……

n  La probabilidad de que Perú clasifique para el mundial de fútbol del 2018 es ……