Clase No. 4 (Parte 2):

Factorización LUMAT–251 Dr. Alonso Ramírez Manzanares

Depto. de MatemáticasUniv. de Guanajuatoe-mail: alram@cimat.mxweb: http://www.cimat.mx/salram/met_num/

Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: joaquin@cimat.mx

Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 26.08.2013 1 / 10

Matrices triangulares inferiores (I)

Consideremos el sistema

Lx = b, donde L =

l11 0 · · · 0l21 l22 · · · 0...

... · · ·...

ln1 ln2 · · · lnn

Proposición.

Sea L una matriz triangular inferior. El sistema Lx = b tiene solución si y sólosi los elementos de su diagonal son diferentes de cero.

Notemos que

l11x1 = b1l21x1 + l22x2 = b2

... =...

ln1x1 + ln2x2 + · · ·+ lnnxn = bn

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Matrices triangulares inferiores (II)

Podemos calcular

x1 =b1

l11

Supongamos que tenemos calculadas x1,x2, ...,xi−1. Entonces

xi =1

lii

bi −

i−1∑

j=1

lijxj

• Como el sistema Lx = b tiene solución única para cada b, la matriz L esno singular.

• Al método de solución utilizado se le llama sustitución hacia adelante.

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Eliminación Gaussiana vista como producto dematrices (I)

Sea A la matriz

A =

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

,

y definamos

L1 =

1 0 0 0−l21 1 0 0−l31 0 1 0−l41 0 0 1

, li1 =ai1

a11, i = 2,3,4.

Entonces

L1A =

a11 a12 a13 a140 a′22 a′23 a′240 a′32 a′33 a′340 a′42 a′43 a′44

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Eliminación Gaussiana vista como producto dematrices (II)Si definimos

L2 =

1 0 0 00 1 0 00 −l32 1 00 −l42 0 1

, li2 =a′i2a′22

, i = 3,4.

entonces L2L1A =

a11 a12 a13 a140 a′22 a′23 a′24

0 0 a′′33 a′′34

0 0 a′′43 a′′44

L3 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 −l43 1

=⇒ L3L2L1A =

a11 a12 a13 a140 a′22 a′23 a′24

0 0 a′′33 a′′34

0 0 0 a′′′44

con l43 = a′′43/a′′33.

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Eliminación Gaussiana vista como producto dematrices (III)

• A las matrices Li se les llama matrices triangulares inferioreselementales.

• El proceso de eliminación Gaussiana es una reducción a una formatriangular por medio de matrices triangulares inferiores elementales.

En general, tenemos que

Ln−1 · · ·L2L1A =U

donde U es una matriz triangular superior.

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Factorización LU

• Como los elementos de la diagonal de cada matriz Li es diferente decero, Li es no singular.

• El producto Ln−1 · · ·L2L1 es no singular, de modo que

Ln−1 · · ·L2L1 = L−1

• Tenemos entonces que

L−1A =U =⇒ A = LU

• La matriz L es triangular inferior,

L =

1 0 · · · 0 0l21 1 · · · 0 0l31 l32 · · · 0 0...

... · · ·...

...ln−1,1 ln−1,2 · · · 1 0ln1 ln2 · · · ln,n−1 1

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Factorización LU

• Como los elementos de la diagonal de cada matriz Li es diferente decero, Li es no singular.

• El producto Ln−1 · · ·L2L1 es no singular, de modo que

Ln−1 · · ·L2L1 = L−1

• Tenemos entonces que

L−1A =U =⇒ A = LU

• La matriz L es triangular inferior,

L =

1 0 · · · 0 0l21 1 · · · 0 0l31 l32 · · · 0 0...

... · · ·...

...ln−1,1 ln−1,2 · · · 1 0ln1 ln2 · · · ln,n−1 1

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Factorización LU

• Como los elementos de la diagonal de cada matriz Li es diferente decero, Li es no singular.

• El producto Ln−1 · · ·L2L1 es no singular, de modo que

Ln−1 · · ·L2L1 = L−1

• Tenemos entonces que

L−1A =U =⇒ A = LU

• La matriz L es triangular inferior,

L =

1 0 · · · 0 0l21 1 · · · 0 0l31 l32 · · · 0 0...

... · · ·...

...ln−1,1 ln−1,2 · · · 1 0ln1 ln2 · · · ln,n−1 1

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Factorización LU

• Como los elementos de la diagonal de cada matriz Li es diferente decero, Li es no singular.

• El producto Ln−1 · · ·L2L1 es no singular, de modo que

Ln−1 · · ·L2L1 = L−1

• Tenemos entonces que

L−1A =U =⇒ A = LU

• La matriz L es triangular inferior,

L =

1 0 · · · 0 0l21 1 · · · 0 0l31 l32 · · · 0 0...

... · · ·...

...ln−1,1 ln−1,2 · · · 1 0ln1 ln2 · · · ln,n−1 1

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Solución del sistema lineal de ecuaciones

De esta forma, el método de eliminación Gaussiana calcula ladescomposición LU de la matriz.

Supongamos que A tiene una factorización LU. Entonces para resolver

Ax = b

hacemos lo siguiente. Tenemos que

LUx = b

Definimos y =Ux y entonces resolvemos

Ly = b (usando sustitución hacia atrás)

Ux = y (usando sustitución hacia adelante)

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Solución del sistema lineal de ecuaciones

De esta forma, el método de eliminación Gaussiana calcula ladescomposición LU de la matriz.

Supongamos que A tiene una factorización LU. Entonces para resolver

Ax = b

hacemos lo siguiente. Tenemos que

LUx = b

Definimos y =Ux y entonces resolvemos

Ly = b (usando sustitución hacia atrás)

Ux = y (usando sustitución hacia adelante)

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Sobre la unicidad de la factorización LU

• Hay que notar que si D es una matriz diagonal no singular, entonces

A = LU = LDD−1U = (LD)(D−1U)

LD es triangular inferior y D−1U es triangular superior, por lo quepodemos tener varias descomposiciones.

• Hacemos el convenio de que por factorización LU nos referimos a lafactorización en la que la matriz L es triangular inferior y que loselementos de su diagonal son iguales a 1.

Proposición.

Si A es no singular y tiene una factorización LU, entonces la factorización esúnica.

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Sobre la unicidad de la factorización LU

• Hay que notar que si D es una matriz diagonal no singular, entonces

A = LU = LDD−1U = (LD)(D−1U)

LD es triangular inferior y D−1U es triangular superior, por lo quepodemos tener varias descomposiciones.

• Hacemos el convenio de que por factorización LU nos referimos a lafactorización en la que la matriz L es triangular inferior y que loselementos de su diagonal son iguales a 1.

Proposición.

Si A es no singular y tiene una factorización LU, entonces la factorización esúnica.

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Sobre la unicidad de la factorización LU

• Hay que notar que si D es una matriz diagonal no singular, entonces

A = LU = LDD−1U = (LD)(D−1U)

LD es triangular inferior y D−1U es triangular superior, por lo quepodemos tener varias descomposiciones.

• Hacemos el convenio de que por factorización LU nos referimos a lafactorización en la que la matriz L es triangular inferior y que loselementos de su diagonal son iguales a 1.

Proposición.

Si A es no singular y tiene una factorización LU, entonces la factorización esúnica.

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Sobre la unicidad de la factorización LU

• Hay que notar que si D es una matriz diagonal no singular, entonces

A = LU = LDD−1U = (LD)(D−1U)

LD es triangular inferior y D−1U es triangular superior, por lo quepodemos tener varias descomposiciones.

• Hacemos el convenio de que por factorización LU nos referimos a lafactorización en la que la matriz L es triangular inferior y que loselementos de su diagonal son iguales a 1.

Proposición.

Si A es no singular y tiene una factorización LU, entonces la factorización esúnica.

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Existencia de la factorización LU

Aun cuando A sea no singular, la matriz podría no tener una factorizaciónLU. Por ejemplo,

A =

�

0 11 0

�

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