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Factorización LU Álgebra Lineal - p. 1/53

Álgebra LinealMa1010

Factorización LU

Departamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionFactorizacion LUUso de LUAlgoritmoEjemplo claveComplejidadPA=LUNotas


Introducción

La factorización LU de una matriz es unafactorización que resume el proceso deeliminación gaussiana aplicado a la matriz y quees conveniente en terminos del número total deoperaciones de punto flotante cuando se deseacalcular la inversa de una matriz o cuando seresolverá una serie de sistemas de ecuacionescon una misma matriz de coeficientes. En lalectura, primeramente consideraremos lafactorización LU sin intercambio basada enmatrices elementales y que es conocida como deDoolittle y posteriormente veremos el algoritmoque da la factorización PA = LU .



Factorización LU

Suponga que la matriz A es una matriz m× n sepuede escribir como el producto de dos matrices:

A = LU



Factorización LU


A = LU

Entonces para resolver el sistema:

Ax = b,



Factorización LU


A = LU

Entonces para resolver el sistema:

Ax = b,

escribimos

Ax = (LU) x = L (Ux) .



Una posible estrategia de solución consiste entomar y = Ux y resolver para y:

Ly = b.



Una posible estrategia de solución consiste entomar y = Ux y resolver para y:

Ly = b.

Como la matriz L es triangular superior estesistema puede resolverse mediante sustituciónhacia abajo, lo cual se hace fácilmente en m2

FLOPS.



Una vez con los valores encontrados de y, lasincógnitas al sistema inicial se resuelvedespejando x de

Ux = y.



Una vez con los valores encontrados de y, lasincógnitas al sistema inicial se resuelvedespejando x de

Ux = y.

Nuevamente, como U es escalonada, estesistema puede resolverse en caso de tenersoución mediante sustitución hacia atrás, lo cuales sencillo.



Uso de la factorización LU

Ejemplo

Use la factorización LU de A:

A =

4 −2 1

20 −7 12

−8 13 17

=

1 0 0

5 1 0

−2 3 1

4 −2 1

0 3 7

0 0 −2

= LU

para despejar x del sistema:

Ax =

11

70

17

= b



Soluci onSea y = (y1, y2, y3) un nuevo vector de incógnitas.Primero resolveremos el sistema triangular inferiorLy = b:

1 0 0

5 1 0

−2 3 1

y =

11

70

17



Soluci onSea y = (y1, y2, y3) un nuevo vector de incógnitas.Primero resolveremos el sistema triangular inferiorLy = b:

1 0 0

5 1 0

−2 3 1

y =

11

70

17

Este sistema escrito en su forma de ecuacionesqueda:

y1 = 11

5 y1 + y2 = 70

−2 y1 + 3 y2 + y3 = 17



Por eliminación directa de la:■ primera ecuación:y1 = 11,

■ segunda ecuación:y2 = 70− 5 y1 = 70− 5 (11) = 15,

■ y de la tercera:y3 = 17 + 2y1 − 3 y2 = 17 + 2 (11)− 3 (15) = −6.



Ahora el sistema Ux = y:

4 −2 1

0 3 7

0 0 −2

x =

11

15

−6



Ahora el sistema Ux = y:

4 −2 1

0 3 7

0 0 −2

x =

11

15

−6

El cual escrito en su forma de ecuaciones queda:

4 x1 − 2 x2 + x3 = 11

3 x2 + 7 x3 = 15

− 2 x3 = −6



El cual al ser resuelto por sustitución hacia atrásqueda:■ de la última ecuación:x3 = 3,

■ segunda ecuación:x2 = 5− 7/3 x3 = 5− 7/3 (3) = −2,

■ y de la primera:x1 = 11/4 + 1/2x2 − 1/4 x3 =11/4 + 1/2 (−2)− 1/4 (−3) = 1 �



Obtención de la factorización LU con elementales

Ejemplo

Determine una factorización LU de la matriz:

A =

2 3 −1

−6 −6 5

4 18 6

−2 −9 −3



Soluci onLa idea del método es ir acumulando las inversasde las operaciones hechas sobre los renglones lamatriz para irla trasnformando en una matrizescalonada.



Soluci onLa idea del método es ir acumulando las inversasde las operaciones hechas sobre los renglones lamatriz para irla trasnformando en una matrizescalonada. Y más que propiamente las inversasde las operaciones sobre los renglones, lasmatrices elementales involucradas.



Soluci onLa idea del método es ir acumulando las inversasde las operaciones hechas sobre los renglones lamatriz para irla trasnformando en una matrizescalonada. Y más que propiamente las inversasde las operaciones sobre los renglones, lasmatrices elementales involucradas. Así porejemplo el primer cálculo que se realiza es hacerun cero debajo de el elemento (1, 1) que es elelemento 2, para ello debemos realizar laoperación R2 ← R2 + 3R1,



Soluci onLa idea del método es ir acumulando las inversasde las operaciones hechas sobre los renglones lamatriz para irla trasnformando en una matrizescalonada. Y más que propiamente las inversasde las operaciones sobre los renglones, lasmatrices elementales involucradas. Así porejemplo el primer cálculo que se realiza es hacerun cero debajo de el elemento (1, 1) que es elelemento 2, para ello debemos realizar laoperación R2 ← R2 + 3R1, esta operación tienecomo matriz elemental la matriz:

E1 =

1 0 0 0

3 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



Así la situación está:

E1 A =

2 3 −1

0 3 3

4 18 6

−2 −9 −3

= B1




E1 A =

2 3 −1

0 3 3

4 18 6

−2 −9 −3

= B1

En el siguiente paso del proceso de eliminaciónes R3 ← R3 − 2R1,




E1 A =

2 3 −1

0 3 3

4 18 6

−2 −9 −3

= B1

En el siguiente paso del proceso de eliminaciónes R3 ← R3 − 2R1, esta operación tiene comomatriz elemental la matriz:

E2 =

1 0 0 0

0 1 0 0

−2 0 1 0

0 0 0 1




E2 E1 A =

2 3 −1

0 3 2

0 12 8

−2 −9 −3

= B2




E2 E1 A =

2 3 −1

0 3 2

0 12 8

−2 −9 −3

= B2

En el siguiente paso del proceso de eliminaciónes R4 ← R4 +R1,




E2 E1 A =

2 3 −1

0 3 2

0 12 8

−2 −9 −3

= B2

En el siguiente paso del proceso de eliminaciónes R4 ← R4 +R1, esta operación tiene comomatriz elemental la matriz:

E3 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1




E3 E2 E1 A =

2 3 −1

0 3 2

0 12 8

0 −6 −4

= B3




E3 E2 E1 A =

2 3 −1

0 3 2

0 12 8

0 −6 −4

= B3

Observamos que el hipotético caso de que en

E3 E2 E1 A = B3

La matriz B3 ya fuera escalonada, es decir la U

buscada, entonces:




E3 E2 E1 A =

2 3 −1

0 3 2

0 12 8

0 −6 −4

= B3

Observamos que el hipotético caso de que en

E3 E2 E1 A = B3

La matriz B3 ya fuera escalonada, es decir la U

buscada, entonces:

A = E1−1 E2

−1E3−1 U



Lo cual indica que lo que debemos acumular sonlas inversas de las matrices elementales utilizadas.La forma sistemática de ir acumulando lasinversas de las Eis es ir contruyendo la matriz L:



Lo cual indica que lo que debemos acumular sonlas inversas de las matrices elementales utilizadas.La forma sistemática de ir acumulando lasinversas de las Eis es ir contruyendo la matriz L:

L =

1 0 0 0

−3 1 0 0

2 ? 1 0

−1 ? ? 1



Así, en el avance de la conversión a escalonadade A:

A ∼

2 3 −1

0 3 2

0 12 8

0 −6 −4

, L =

1 0 0 0

−3 1 0 0

2 ? 1 0

−1 ? ? 1

∼

2 3 −1

0 3 2

0 0 0

0 0 0

= U, L =

1 0 0 0

−3 1 0 0

2 4 1 0

−1 −2 ? 1



En este caso la matriz U está en la formaescalonada y por consiguiente el proceso sedetiene haciendo cero aquellos valoresdesconocidos. Por consiguiente una factorizaciónde A será:

A = LU =

1 0 0 0

−3 1 0 0

2 4 1 0

−1 −2 0 1

2 3 −1

0 3 2

0 0 0

0 0 0

�



Factorización LU: ejemplo clave

Ejemplo

Determine una factorización LU de la matriz:

A =

2 3 −1

−6 −6 5

4 18 6

−2 −9 −3



Soluci onEl método procede así.■ La matriz L inicialmente es la matriz identidad

con el mismo número de renglones de A. Si seutilizó la operación Ri → Ri + cRj entonces en laposición (i, j) de L se coloca −c.

■ La matriz U es la matriz que queda en alescalonar A.

■ Si hubo necesidad de intercambiar renglonespara escalonar, A NO admite una factorizaciónLU.

Digamos que con las operaciones siguientes1. R2 → R2 + 3R1

2. R3 → R3 − 2R1

3. R4 → R4 + 1R1

4. R3 → R3 − 4R2

5. R → R + 2R



Complejidad

Observe que para la obtención de la factorizaciónLU se realiza la fase 1 del método de eliminacióngaussiana.



Complejidad

Observe que para la obtención de la factorizaciónLU se realiza la fase 1 del método de eliminacióngaussiana. Por consiguiente, la complejidad delalgoritmo de factorización LU será O(2/3n3).



Complejidad

Observe que para la obtención de la factorizaciónLU se realiza la fase 1 del método de eliminacióngaussiana. Por consiguiente, la complejidad delalgoritmo de factorización LU será O(2/3n3).Teniendo la factorización LU, la aplicación de lasustición hacia atrás o hacia adelante toman cadauno n2.



Complejidad

Observe que para la obtención de la factorizaciónLU se realiza la fase 1 del método de eliminacióngaussiana. Por consiguiente, la complejidad delalgoritmo de factorización LU será O(2/3n3).Teniendo la factorización LU, la aplicación de lasustición hacia atrás o hacia adelante toman cadauno n2. Por ello es que para resolver un solosistema de ecuaciones no hay ventaja en utilizar lafactorización LU.



Complejidad

Observe que para la obtención de la factorizaciónLU se realiza la fase 1 del método de eliminacióngaussiana. Por consiguiente, la complejidad delalgoritmo de factorización LU será O(2/3n3).Teniendo la factorización LU, la aplicación de lasustición hacia atrás o hacia adelante toman cadauno n2. Por ello es que para resolver un solosistema de ecuaciones no hay ventaja en utilizar lafactorización LU. La ventaja aparece cuando sedesean resolver varios sistemas de ecuacionescon la misma matriz de coeficientes.



Complejidad

Observe que para la obtención de la factorizaciónLU se realiza la fase 1 del método de eliminacióngaussiana. Por consiguiente, la complejidad delalgoritmo de factorización LU será O(2/3n3).Teniendo la factorización LU, la aplicación de lasustición hacia atrás o hacia adelante toman cadauno n2. Por ello es que para resolver un solosistema de ecuaciones no hay ventaja en utilizar lafactorización LU. La ventaja aparece cuando sedesean resolver varios sistemas de ecuacionescon la misma matriz de coeficientes. En la primerasolución se determina la factorización LU, y en lassiguientes bastará sustitución hacia adelante yhacia atrás. O sea que cada siguiente solucióntomará sólo 2n2 FLOPs contrario a los 2/3n3 deeliminación gaussiana.



Factorización de PA = LU

Frecuentemente, no es posible escalonar unamatriz sólo con operaciones de eliminación. Enestos casos se requiere realizar intercambio derenglones. Para este tipo de matrices no existe lafactorización LU. Lo que aplica es la factorizaciónPA = LU. Donde la matriz P es una matriz depermutación. Estas matrices de permutación seobtienen de la matriz identidad intercambiandorenglones. La factorización PA = LU se obtienede forma análoga a la factorización LU pero selleva un registro de los renglones que seintercambian y se efectuan los intercambios enuna matriz que registra los inversos de lasoperaciones de eliminación.



Algoritmo de PA = LU

Entrada:■ Matriz A n×mSalida:■ P matriz de permutación n× n,■ L matriz triangular superior unitaria n× n

(lii = 1),■ U matriz escalonada n×mque cumplen:

PA = LU



1. Tome P = In, L = 0, y U = A.2. Mientras que U no sea escalonada hacer

2.1. Aplicar una operación R de eliminación o deintercambio a U.

2.2. Si R es de la forma Ri ↔ Rj, entonces aplicarR a P y a L.

2.3. Si R es de la forma Ri ← Ri − aRj,entoncesmodificar L haciendo lij = a.

3. Tome L = L+ In.



Ejemplo

Determine una factorización PA = LU de lamatriz

A =

1 2 −2 1

4 5 −7 6

5 25 −15 −3

6 −12 −6 22



Ejemplo

Determine una factorización PA = LU de lamatriz

A =

1 2 −2 1

4 5 −7 6

5 25 −15 −3

6 −12 −6 22

Soluci onTomemos U0 = A, P0 = I4 y L0 = 0.



1. Si aplicamos sobre U0 las operaciones de eliminaciónR2 → R2 − 4R1,R3 → R3 − 5R1 y R4 → R4 − 6R1 se obtiene a lanueva matriz U1:

U1 =

1 2 −2 1

0 −3 1 2

0 15 −5 −8

0 −24 6 16

Estos cambios se registran en L1 y hasta el momento se tiene:

L1 =

0 0 0 0

4 0 0 0

5 0 0 0

6 0 0 0

,P = I



2. Si aplicamos sobre U1 las operaciones de eliminaciónR3 → R3 +5R2 y R4 → R4 − 8R2 se obtiene a la nueva matriz U2:

U2 =

1 2 −2 1

0 −3 1 2

0 0 0 2

0 0 −2 0


L2 =

0 0 0 0

4 0 0 0

5 −5 0 0

6 8 0 0

,P2 = P1



3. Si aplicamos sobre U2 la operación de intercambio R3 ↔ R4 seobtiene la nueva matriz U3:

U3 =

1 2 −2 1

0 −3 1 2

0 0 −2 0

0 0 0 2

Aplicando la operación de intercambio a L2 y a P2, se tiene:

L3 =

0 0 0 0

4 0 0 0

6 8 0 0

5 −5 0 0

,P3 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0



4. Puesto que la matriz U3 ya es escalonada, el procedimientotermina y finalizamos haciendo L = L3 + I y se tiene:

U = U3 =

1 2 −2 1

0 −3 1 2

0 0 −2 0

0 0 0 2

,L =

1 0 0 0

4 1 0 0

6 8 1 0

5 −5 0 1

P = P3 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

Como ejercicio, compruebe que PA = LU �



Ejemplo

Determine una factorización PA = LU de la matriz

A =

0 −3 1 2 2

0 0 0 0 2

1 2 −2 1 1

4 2 −8 8 9

5 1 −5 13 11



Ejemplo


A =

0 −3 1 2 2

0 0 0 0 2

1 2 −2 1 1

4 2 −8 8 9

5 1 −5 13 11

Soluci on

Tomemos U0 = A, P0 = I5 y L0 = 0.



1. Si aplicamos sobre U la operación de intercambio R1 ↔ R3 seobtiene la nueva matriz U:

U1 =

1 2 −2 1 1

0 0 0 0 2

0 −3 1 2 2

4 2 −8 8 9

5 1 −5 13 11


L1 =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

,P1 =

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1



2. Si aplicamos sobre U1 las operaciones de eliminaciónR4 → R4 − 4R1 y R5 → R5 − 5R1 se obtiene a la nueva matriz U2:

U2 =

1 2 −2 1 1

0 0 0 0 2

0 −3 1 2 2

0 −6 0 4 5

0 −9 5 8 6


L2 =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

4 0 0 0 0

5 0 0 0 0

,P2 =

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1




U3

1 2 −2 1 1

0 −3 1 2 2

0 0 0 0 2

0 −6 0 4 5

0 −9 5 8 6


L3 =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

4 0 0 0 0

5 0 0 0 0

,P3 =

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1



Si aplicamos sobre U3 las operaciones de eliminaciónR4 → R4 − 2R2 y R5 → R5 − 3R2 se obtiene a la nueva matriz U4:

U4 =

1 2 −2 1 1

0 −3 1 2 2

0 0 0 0 2

0 0 −2 0 1

0 0 2 2 0


L4 =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

4 2 0 0 0

5 3 0 0 0

,P4 =

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1




U5 =

1 2 −2 1 1

0 −3 1 2 2

0 0 −2 0 1

0 0 0 0 2

0 0 2 2 0


L5 =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

4 2 0 0 0

0 0 0 0 0

5 3 0 0 0

,P5 =

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 1



6. Si aplicamos sobre U5 la operación de eliminaciónR5 → R5 + 1R3 se obtiene a la nueva matriz U6:

U6 =

1 2 −2 1 1

0 −3 1 2 2

0 0 −2 0 1

0 0 0 0 2

0 0 0 2 1


L6 =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

4 2 0 0 0

0 0 0 0 0

5 3 −1 0 0

,P6 =

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 1




U7 =

1 2 −2 1 1

0 −3 1 2 2

0 0 −2 0 1

0 0 0 2 1

0 0 0 0 2


L7 =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

4 2 0 0 0

5 3 −1 0 0

0 0 0 0 0

,P7 =

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 1 0 0 0




U = U7 =

1 2 −2 1 1

0 −3 1 2 2

0 0 −2 0 1

0 0 0 2 1

0 0 0 0 2

,L =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

4 2 1 0 0

5 3 −1 1 0

0 0 0 0 1

P = P7 =

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 1 0 0 0




Ejemplo


A =

0 −18 0 14 16 7

8 16 −18 8 9 −16

9 3 −13 21 20 −14

1 2 −2 1 1 −2

0 −3 1 2 2 1

10 −1 −21 28 32 −12



Ejemplo


A =

0 −18 0 14 16 7

8 16 −18 8 9 −16

9 3 −13 21 20 −14

1 2 −2 1 1 −2

0 −3 1 2 2 1

10 −1 −21 28 32 −12

Soluci on

Tomemos U0 = A, P0 = I5 y L0 = 0.



1. Si aplicamos sobre U la operación de intercambio R1 ↔ R4 seobtiene la nueva matriz U:

U1 =

1 2 −2 1 1 −2

8 16 −18 8 9 −16

9 3 −13 21 20 −14

0 −18 0 14 16 7

0 −3 1 2 2 1

10 −1 −21 28 32 −12


L1 =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

,P1 =

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1



2. Si aplicamos sobre U1 las operaciones de eliminaciónR2 → R2 − 8R1, R3 → R3 − 9R1 y R6 → R6 − 10R1 se obtiene ala nueva matriz U2:

U2 =

1 2 −2 1 1 −2

0 0 −2 0 1 0

0 −15 5 12 11 4

0 −18 0 14 16 7

0 −3 1 2 2 1

0 −21 −1 18 22 8


L2 =

0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

,P2 =

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0




U3 =

1 2 −2 1 1 −2

0 −3 1 2 2 1

0 −15 5 12 11 4

0 −18 0 14 16 7

0 0 −2 0 1 0

0 −21 −1 18 22 8


L3 =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0

,P3 =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1



4. Si aplicamos sobre U3 las operaciones de eliminaciónR3 → R3 − 5R2, R4 → R4 − 6R2 y R6 → R6 − 7R2 se obtiene a lanueva matriz U4:

U4 =

1 2 −2 1 1 −2

0 −3 1 2 2 1

0 0 0 2 1 −1

0 0 −6 2 4 1

0 0 −2 0 1 0

0 0 −8 4 8 1


L4 =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

9 5 0 0 0 0

0 6 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0

,P4 =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0




U5 =

1 2 −2 1 1 −2

0 −3 1 2 2 1

0 0 −2 0 1 0

0 0 −6 2 4 1

0 0 0 2 1 −1

0 0 −8 4 8 1


L5 =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0

0 6 0 0 0 0

9 5 0 0 0 0

10 7 0 0 0 0

,P5 =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1




U6 =

1 2 −2 1 1 −2

0 −3 1 2 2 1

0 0 −2 0 1 0

0 0 0 2 1 1

0 0 0 2 1 −1

0 0 0 4 4 1


L6 =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0

0 6 3 0 0 0

9 5 0 0 0 0

10 7 4 0 0 0

,P6 =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1




U7 =

1 2 −2 1 1 −2

0 −3 1 2 2 1

0 0 −2 0 1 0

0 0 0 2 1 1

0 0 0 0 0 −2

0 0 0 0 2 −1


L7 =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0

0 6 3 0 0 0

9 5 0 1 0 0

10 7 4 2 0 0

,P7 =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1




U8 =

1 2 −2 1 1 −2

0 −3 1 2 2 1

0 0 −2 0 1 0

0 0 0 2 1 1

0 0 0 0 2 −1

0 0 0 0 0 −2


L8 =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0

0 6 3 0 0 0

10 7 4 2 0 0

9 5 0 1 0 0

,P8 =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0




U = U8 =

1 2 −2 1 1 −2

0 −3 1 2 2 1

0 0 −2 0 1 0

0 0 0 2 1 1

0 0 0 0 2 −1

0 0 0 0 0 −2

,L =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

8 0 1 0 0 0

0 6 3 1 0 0

10 7 4 2 1 0

9 5 0 1 0 1

P = P8 =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0




Notas generales

A continuación hacermos algunos comentariosgenerales sobre la factorización LU y su uso.



Nota 1

Existen maneras de programar el algoritmo anterior de forma talque la matriz U y la matriz L queden en una misma matrizcuadrada. Un truco radica en que siendo todos los elementos de ladiagonal de U unos, no se requiere el espacio para almacenarlos.También hay forma de programar el algoritmo para que la matriz depermutaciones P se represente por un sólo vector con n valores,con números de 1 al n, que indican cómo deben permutarse losrenglones de la identidad. Esto es muy conveniente pues la matrizP es tal que de sus n2 valores todos son cero excepto n que son 1.Usando estas ideas el almacenamiento requerido por el algoritmode factorización LU puede reducirse de 3n2 a n2 + n números depunto flotante. Significando un ahorro de espacioaproximandamente 66%.



Nota 2

Si se posee una factorización A = LU de una matriz cuadradainvertible, entonces la inversa de A puede calcularse mediante

A−1 = U

−1L

−1

El costo de invertir una matriz triangular es de n3 FLOPs lo cual es

más económico que invertir una matriz n× n cualquiera que es de8

3n3 FLOPs. Además de los costos para calcular L−1 y U

−1, habría

que calcular el producto el cual tiene un costo de n3 FLOPs. Esto

nos hace llegar a la conclusión de que el calculo unico de A−1

haciendo uso de la factorización LU toma 3n3 FLOPs que es más

grande que los 8

3n3 FLOPs que toma el procedimiento tradicional.

Por ello es que no es conveniente esta estrategia de cálculo.



Nota 3

Si se desea calcular A−1B y se posee una factorización LU de A

entonces puede aplicarse eliminación gaussiana en la reducción

[L|B] → [I|D] aquí D = L−1

B

lo cual tiene un costo computacional de n3 FLOPs utilizando que L

es triangular. Seguido de esto, se aplica también eliminacióngaussiana en la reducción

[U|D] → [I|E] aquí E = U−1

D = U−1

L−1

B = A−1

B

lo cual tiene un costo computacional de n3 FLOPs utilizando que U

es triangular. Esto da como resultado un proceso de cálculo para

A−1

B con un costo 2n3 FLOPs teniendo disponible una

factorización LU.



Nota 4

Las matrices de permutación P son fácilmente invertibles al cumplirla relación:

P−1 = P

T

Además, normalmente no es conveniente realizar el producto PB

que tiene un costo de n3 FLOPs sino más bien realizar el

movimiento de renglones correspondiente. Y más que realizar el

movimiento de renglones, se hacen trucos de programación para

evitar tales movimientos teniendo un vector que refiere a los

renglones de diferentes posiciones.

Álgebra lineal ma1010cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-26a.pdf · introduccion´...

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