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Clase No. 7:
Matrices bandadasCálculo de la inversa y determinante
MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresCIMAT A.C.e-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/
Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]
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Matrices bandadas
• Una matriz n× n se dice que es bandada si existen p,q ∈ N y1 < p,q,< n, tales que aij = 0 si p ≤ j− i o q ≤ i− j.
• El ancho de banda es w = p+ q+ 1.
• Si p = q, entonces la condición es p ≤ |i− j|.
−1 0 1 2 3 4 5 6
−1
01
23
45
6
c(−1, 6)
c(−
1, 6
)
• Si p = q = 2, la matriz es tridiagonal.
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Matrices tridiagonales
Consideremos el sistema
Ax = d
donde A ∈ Rn tal que
A =
b1 c1 0 · · · 0 0 0a2 b2 c2 · · · 0 0 00 a3 b3 · · · 0 0 0...
......
. . ....
......
0 0 0 · · · bn−2 cn−2 00 0 0 · · · an−1 bn−1 cn−10 0 0 · · · 0 an bn
,
es decir, es tridiagonal.
• El algoritmo de solución es un caso particular de eliminación Gaussiana.
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Solución del sistema tridiagonal (I)
Tenemos que
b1x1 + c1x2 = d1,
aixi−1 + bixi + cixi+1 = di, i = 2, ...,n− 1
anxn−1 + bnxn = dn
De las dos primeras ecuaciones
b1( a2x1 +b2x2 +c2x3) = b1d2−a2( b1x1 +c1x2 ) = −a2d1
(b1b2 − a2c1)x2 +b1c2x3 = b1d2 − a2d1
Si b2 = b1b2 − a2c1, c2 = b1c2, d2 = b1d2 − a2d1,
b2x2 + c2x3 = d2.
Con esto eliminamos x1. Continuamos de esta forma.Supongamos que ya hemos reducido las ecuaciones para i = 2, ...,k, demodo que tenemos
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Solución del sistema tridiagonal (II)
bixi + cixi+1 = di.
Entonces para i = k + 1 < n, tenemos
bk( ak+1xk +bk+1xk+1 +ck+1xk+2) = bkdk+1−ak+1( bkxk +ckxk+1 ) = −ak+1dk
(bkbk+1 − ak+1ck)xk+1 +bkck+1xk+2 = bkdk+1 − ak+1dk
Sia1 = 0, b1 = b1, c1 = c1, d1 = d1,
bixi + cixi+1 = di i = 2, ...,n− 1
bi = bi−1bi − aici−1
ci = bi−1ci
di = bi−1di − aidi−1
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Solución del sistema tridiagonal (III)
Finalmente, para i = n,
bn−1( anxn−1 +bnxn) = bn−1dn−an( bn−1xn−1 +cn−1xn) = −andn−1
(bn−1bn − ancn−1)xn = bn−1dn − andn−1
Si definimos bn = bn−1bn − ancn−1, dn = bn−1dn − andn−1.
xn =dn
bn
xi =di − cixi+1
bii = n− 1, ...,1
bi = bi−1bi − aici−1
ci = bi−1ci
di = bi−1di − aidi−1
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Una condición suficiente
La hipótesis de que podemos dividir entre bi es esencial.
Una condición suficiente es que la matriz sea diagonal dominante, es decir,
|b1| ≥ |c1|, |bn| ≥ |an|, |bi| ≥ |ai|+ |ci| i = 1,2, ...,n,
y que además se cumpla ai,ci 6= 0. Esto garantiza que bi 6= 0:
Tenemos que |b1| = |b1| ≥ |c1| = |c1| > 0. Supongamos que |bi| ≥ |ci| > 0 parai = 1, ...,k < n. Entonces
|bk+1| = |bkbk+1 − ak+1ck | ≥ |bk | |bk+1| − |ak+1| |ck |≥ |bk |(|ak+1|+ |ck+1|) − |ak+1| |ck | = |ak+1|(|bk | − |ck |) + |bk ||ck+1|≥ |bk ||ck+1| > 0
Como |bk ||ck+1| = |ck+1|, se tiene que
|bk+1| ≥ |ck+1| > 0.
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Una condición suficiente
La hipótesis de que podemos dividir entre bi es esencial.
Una condición suficiente es que la matriz sea diagonal dominante, es decir,
|b1| ≥ |c1|, |bn| ≥ |an|, |bi| ≥ |ai|+ |ci| i = 1,2, ...,n,
y que además se cumpla ai,ci 6= 0. Esto garantiza que bi 6= 0:
Tenemos que |b1| = |b1| ≥ |c1| = |c1| > 0. Supongamos que |bi| ≥ |ci| > 0 parai = 1, ...,k < n. Entonces
|bk+1| = |bkbk+1 − ak+1ck | ≥ |bk | |bk+1| − |ak+1| |ck |≥ |bk |(|ak+1|+ |ck+1|) − |ak+1| |ck | = |ak+1|(|bk | − |ck |) + |bk ||ck+1|≥ |bk ||ck+1| > 0
Como |bk ||ck+1| = |ck+1|, se tiene que
|bk+1| ≥ |ck+1| > 0.
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Cálculo de la inversa de la matriz
Supongamos que tenemos una matriz A de tamaño n y su factorización LU:
A = LU.
Sea xi el vector solución del sistema lineal
Axi = LUxi = ei.
para i = 1, ...,n, donde ei es el i’esimo vector canónico. Si X = [x1 · · · xn ],entonces
AX = [Ax1 · · · Axn ] = [e1 · · · en ] = I.
Esto es, X es la inversa de A. Así, si tenemos la factorización LU de matriz,solo tenemos que resolver n sistemas de ecuaciones lineales para obtenerlas columnas de la matriz inversa.
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Cálculo del determinante de la matriz
Supongamos que tenemos una matriz A de tamaño n y su factorización LU:
A = LU.
Entonces por propiedades del determinante
detA = det(LU) = detL detU.
Como las matrices L y U son triangulares, su determinante es igual alproducto de los elementos de su diagonal. Además, para la factorización deDoolittle, se debe tener que detL = 1, por lo que
detA = detU =n∏
i=1
uii.
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