DETERMINANTES

• Determinante de una matriz cuadrada• Propiedades• Cálculo del rango de una matriz• Resolución de S.E.L con determinantes

– Teorema de Rouché– Regla de Cramer

• Cálculo de la matriz inversa

Determinante de una matriz cuadrada

1) Determinante de una matriz de orden 2:

Sea A una matriz cuadrada . Llamaremos determinante de A y lo designaremos por det(A) o |A| a un número que definiremos de la siguiente forma:

211222112221

1211 aaaaaa

aaA

34

12 A

04)·1()2·(224

12

A

Ejemplos:

=2·3-(-1)·4=10

2) Determinante de una matriz de orden 3 o superior:Para definir el determinante de una matriz de orden 3 o superior hay que definir previamente los siguientes conceptos:

Menor complementario del elemento aij (se designa por Mij) es el determinante que resulta al suprimir en la matriz A la fila i y la columna j

361

254

321

3121536

2511 M 14212

31

24

Adjunto del elemento aij (se designa por Aij)

En el ejemplo anterior: A11=(-1)2·3=3 A12=(-1)3·14=-14 A23=-8

Aij=(-1)i+j .Mij

M12=

M23= M22= M33= -308

El adjunto coincide con el menor complementario, tan solo cambia el signo: tendrá igual signo o signo contrario según el siguiente esquema:

...............

...

...

...

...

Determinante de una matriz cuadrada es el número que se obtiene al multiplicar los elementos de la primera fila por sus respectivos adjuntos:

|A|=a11A11+a12A12+a13A13+….+a1nA1n

Más adelante veremos que se puede obtener el mismo resultado si utilizamos cualquier otra fila o columna

361

254

321

61

54)·3(

31

24)·1·(2

36

25·1

111

201

002

·1

111

120

200

·1

1111

1201

2002

1001

Ejemplos:

a11A11+a12A12+a13A13=

=3-2·14-3·29=-112

=(-2)·(-2)-2·(-2)=8

2197

6328

0502

0003

=-750

Regla de Sarrus (para determinantes de matrices de orden 3)

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A 112332332112312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Productos positivos: Productos negativos:

Ejemplo

363·1·23·2·2)3·(1)·3()3·(2·2)3·(2·13·1·3

323

211

323

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Por ejemplo, el determinante de una matriz de orden 4 desarrollado por la 3ª fila, quedaría:

|A|=a31A31+a32A32+a33A13+a34A34

1. Un determinante se puede desarrollar por cualquier fila o columna:

1101

1251

2002

1001

Ejemplo: para calcular el determinante siguiente lo haremos por la 2ª columna (que es la que tiene más ceros)

20)22·(5

111

202

101

·5

2. El determinante de una matriz coincide con el determinante de su transpuesta:

|A|=|At|

En consecuencia, todas las propiedades que se enuncien para filas serán también válidas para columnas

4. Si permutamos dos filas, el determinante cambia de signo

6. Un determinante con dos filas (o dos columnas) iguales vale 0

7. Si multiplicamos todos los elementos de una fila por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número

18·43

48·32

18·23

143

432

123

·8

3. Si una matriz tiene una fila (columna) de ceros, el determinante vale 0

5. Si en un determinante una fila es proporcional a otra fila entonces dicho determinante vale 0.

=8·84=672

8. Si descomponemos una fila (o columna) en suma de dos vectores, el determinante se puede obtener como suma de dos determinantes, de la siguiente forma:

33323231

23222221

13121211

acba

acba

acba

A

333231

232221

131211

aba

aba

aba

333231

232221

131211

aca

aca

aca

9. Si a una fila le sumamos una combinación lineal del resto de las filas, el determinante no varía. La misma operación se puede hacer con las columnas.

Esta propiedad nos servirá para “hacer ceros” en una fila o columna de un determinante antes de desarrollarlo

8271

11615

3602

9147

6940036

11615

3602

3523013

1628

694036

362

352313

)·1(

12. |A·B|=|A|·|B|

10. Si en un determinante, una fila (columna) es combinación lineal de las otras filas (de las otras columnas), el determinante vale 0

11. Recíprocamente: si un determinante vale 0, hay una fila que es combinación lineal de las demás filas. Y también hay una columna que es combinación lineal de las demás columnas.

0

213

145

321

Ya que la tercera columna es la suma de las dos primeras

Esta propiedad es la que utilizaremos para el cálculo del rango. Calcula los siguientes determinantes. ¿Qué puedes decir del rango de las respectivas matrices?

352

6135

013

A312

125

013 B

|A|=0 . Por tanto hay una fila C.L. de las otras; rang(A)<3

|B|=28 . Por tanto las tres filas son L.I. rang(B)=3

Cálculo del rango de una matriz con determinantes.RE

CUER

DA

El rango de una matriz es el mayor nº de filas (columnas) Linealmente independientes

La propiedad 11 nos dice que si un determinante vale 0 hay una C.L. entre sus filas. De aquí se deduce la siguiente propiedad:

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo

Llamamos menor a un determinante formado por algunas filas y algunas columnas de la matriz A

En la práctica, buscaremos un menor no nulo (de orden 2, por ejemplo). Le añadiremos una fila y una columna (“orlamos” el menor). Si todos los menores orlados que podemos hacer con una fila fija y todas las columnas son cero, entonces esa fila es C.L. de las otras (a efectos de rango, se podría suprimir). Si, por el contrario, hay alguno no nulo, pasamos a orlar éste y así sucesivamente.

NOTA: hablamos ahora de una matriz de cualquier dimensión, no necesariamente cuadrada

0 1 2 3

-1 4 1 7

1 -2 -3 3

0 1

-1 4=1

0 1 2

-1 4 1

1 -2 -3=0

0 1 3

-1 4 7

1 -2 3=4≠0

rang(A)=3

654113

01213

32150

21031

A

0

213

150

031

050

31

Por tanto, rang(A)≥2. De hecho, podemos afirmar que las dos primeras filas son L.I.

Añadimos al menor la fila 3 y las columnas 3, 4 y 5:

0

113

250

131

0

013

350

231

Podemos afirmar

que las fila 3 es CL de las filas 1 y 2

Añadimos al menor la fila 4 y las columnas 3, 4 y 5:

0

4113

150

031

0

5113

250

131

0

6113

350

231

Ejemplo. Vamos a calcular el rango de la matriz A

Rang(A)=2

60423

03213

32150

21031

A

0

213

150

031

050

31

Por tanto, rang(A)≥2. De hecho, podemos afirmar que las dos primeras filas son L.I.

Añadimos al menor la fila 3 y las columnas 3, 4 y 5 :

010

313

250

131

Podemos afirmar que las

tres primeras filas son L.I. rang(A)≥3

Añadimos al nuevo menor no nulo la fila 4 y las columnas 3 y 4 :

Otro ejemplo. Vamos a calcular el rango de la matriz A

rang(A)=4

0423

3213

2150

1031

80183

1093

2150

1031

018

8183

193

131

Resolución de sistemas con determinantes

Teorema de Rouche: Un S.E.L. es compatible ↔ rang(A)=rang(A’)

RECU

ERD

A

Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales:

2435

123

1

zyx

zyx

zyx

2

1

1

·

435

123

111

z

y

x

A · X = B

A: Matriz de coeficientes o matriz del sistemaB: Vector de términos independientes

A’: matriz ampliada [A|B] matriz de los coeficientes a la que se le añade una columna a la derecha, la columna de los términos independientes

En el ejemplo: rang(A)=rang(A’)=3. El sistema es compatible

El rango de una matriz es el mayor número de columnas L.I. Como la matriz A’ es tiene las mismas columnas de A más una (la de los términos independientes), el rango de A’ será igual al rango de A (S.C.) ó será mayor (en concreto, una unidad más, ya que sólo añadimos un vector); en este caso el sistema será S.I.

Además del teorema de Rouche, si el rango de la matriz coincide con el rango de la ampliada, podemos asegurar que:

- Si coincide con el número de incógnitas el sistema será determinado.

- En caso contrario, será indeterminado

RESUMEN

•Si rang(A)=rang(A’)= nº de incógnitas SCD (compatible determinado)•Si rang(A)=rang(A’) < nº de incógnitas SCI (compatible indeterminado)•Si rang(A)≠rang(A’) SI (incompatible)

Regla de Cramer

• El nº de ecuaciones es igual al nº de incógnitas•|A|≠0

Definición:Un sistema es de Cramer si:

Regla de Cramer

Un sistema de Cramer es compatible determinado (S.C.D.) y su solución viene dada por las siguientes fórmulas:

A

Ax x

A

Ay

yA

Az z

Donde Ax, Ay, Az,… son las matrices que resultan al sustituir la columna de la incógnita correspondiente (1ª, 2ª, 3ª,…) por la columna de los términos independientes

2435

123

1

zyx

zyx

zyx

435

123

111

A

0112310598

435

123

111

APor tanto es un sistema de Cramer: SCD

11

1235

123

111

A

z61

6425

113

111

A

y41

4432

121

111

A

x

Solución:

5

232

1

zx

zyx

zyx02 A

2

21105

322

111

A

x 4y2

11z

SCD

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA

Una matriz cuadrada tiene inversa |A|≠0

En este caso diremos que la matriz A es regular . En cambio, si |A|=0 entonces diremos que A es singular

Cálculo de la matriz inversa:

tAAdjA

A )(11

Donde Adj(A) es la matriz que resulta de sustituir cada elemento de A por su adjunto

3 9

1 4Ejemplo1: Calcula la inversa de la matriz A

4 -1

-9 3Adj(A)= 4 -9

-1 3Adj(A)t

|A|=3Por tanto, A tiene inversa. Para calcularla, calculamos primero los adjuntos de todos los elementos:

tAAdjA

A )(11 4/3 -3

-1/3 1==

Ejemplo2:

016

102

211

A |A|=-4+6-1=1 Adj(A)=

-1 6 -2

-2 12 -5

-1 5 -2

Adj(A)t

-1 -2 -1

6 12 5

-2 -5 2

=A-1

-1 -2 -1

6 12 5

-2 -5 2

=

Aplicaciones: ecuaciones matriciales

1) Resuelve la ecuación AX=B, siendo:

016

102

211

A

-3 6

2 0

-4 1

B=

2) Resuelve la ecuación: XB=C, siendo:

3 9

1 4B=

-1 2

4 6C=

A=

21-

32=C

14

63=B

21

32

3) Resuelve la ecuación: AXB=C, siendo: