Solución de Sistemas de EcuacionesAngel Rivera | Tema Semana 3

ObjetivosSOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES, SISTEMAS HOMOGENEOSLA INVERSA DE UNA MATRIZ Y ESTUDIO PREVIO AL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

• Estudio de los Sistemas Homogéneos• Transformar una matriz dada en una matriz escalonada reducida• Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de

reducción de Gauss-Jordan.• Identificar matrices invertibles.• Encontrar la inversa de una matriz dada, si dicha matriz es invertible.• Aplicar las propiedades de la inversa de una matriz en la resolución de

problemas• Relacionar la inversa de una matriz con sistemas de ecuaciones lineales

Método de reducciónPara utilizar el método de reducción se realiza las operaciones elementales sobre renglón que son:

1. Intercambio de dos renglones en una matriz.2. Suma de un múltiplo de un renglón de una matriz a un

renglón diferente de esa matriz.3. Multiplicación de un renglón de una matriz por un escalar

diferente de cero.Estas operaciones elementales sobre renglones corresponden a las tres operaciones elementales utilizadas en el método algebraico de eliminación. Cuando se describan operaciones elementales sobre renglones, por conveniencia utilizaremos la notación siguiente:

Notación Operación sobre renglón correspondienteIntercambiar los renglones y Multiplicar el renglón por la constante Sumar veces el renglón al renglón (pero el renglón permanece igual)

Matriz reducidaUna matriz se dice que es una matriz reducida si se satisface lo siguiente:

1. Si un renglón no consiste solamente en ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en el renglón, llamada la entrada principal, es 1, mientras que todas las demás entradas en la columna en la que el 1 aparece son ceros.

2. En cada renglón, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero de cada renglón arriba de él.

3. Todos los renglones que consistan únicamente en ceros están en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo:

Ejemplo de Reducción de una matrizReducir la matriz

Estrategia: para reducir la matriz, debemos hacer que la entrada principal sea 1 en el primer renglón, un 1 en el segundo renglón y así sucesivamente, hasta llegar a renglones de ceros, si los hay. Además, debemos trabajar de izquierda a derecha ya que el 1 inicial en cada renglón debe encontrarse a la izquierda de los otros unos iniciales en los renglones de abajo.

Ejemplo de Reducción de una matriz

𝑅1↔𝑅2

13 𝑅1

−6 𝑅1+𝑅3

(1 ) 𝑅2+𝑅1

−8𝑅2+𝑅3

− 15 𝑅3

−2𝑅3+𝑅1

−2𝑅3+𝑅2

Ejemplo de resolución de un sistemaPor el método de reducción de Gauss-Jordan, resuelva el sistema de ecuaciones:

Para ello construimos la matriz aumentada y operamos sobre renglón para llevarlo a la matriz reducida.

Resolución

[1 −3 −114 3 9 ]

Inversa de una matrizDefinición:Si es una matriz cuadrada y existe una matriz tal que entonces se llama inversa de , y se dice que es invertible (o no singular).Ejemplo:Sea y . Como

La matriz es una inversa de

Uso de la inversa para resolver un sistemaSi es una matriz invertible, entonces la ecuación matricial tiene la solución única , donde denota la inversa de Ejemplo:Resuelva es sistema de ecuaciones utilizando la inversa.

En forma matricial , donde

Uso de la inversa para resolver un sistema

Determinando la inversa,

Uso de la inversa para resolver un sistemaDeterminando la inversa,

DeterminantesAhora introducimos una nueva función, la función determinante. Aquí las entradas serán matrices cuadradas, pero las salidas serán números reales.Definición:Si es una matriz cuadrada de orden 1, entonces Definición:Si es una matriz cuadrada de orden 2, entonces

Determinante de una matriz cuadrada

Para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada de orden n seleccione cualquier renglón ( o columna) de y multiplique cada entrada en el renglón (columna) por su cofactor. La suma de estos productos será el determinante de llamado determinante de orden n.Ejemplo: El cofactor de 2 es:

EjemplosEvalúe el determinante.

REALIZADO POR:LIC. ANGEL ROBERTO RIVERA

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