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Matemáticas 2º Bachillerato. Álgebra Lineal

1

TEMA 9: DETERMINANTES

1. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

3. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ

CUADRADA

4. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA

5. MENORES EN UNA MATRIZ

6. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTE

7. DETERMINANTE DE VANDERMONDE

8. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA MATRIZ INVERSA

1. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Es un número real asociado a cada matriz cuadrada, veremos cómo se calcula. INVERSIONES DE UNA PERMUTACIÓN Consideremos un ejemplo. Sean 3 números cualesquiera, {1, 2, 3}, se entiende por permutación de esos 3 números a las distintas formas que tenemos de ordenar ese conjunto. De esta forma podemos decir que este conjunto tiene las siguientes permutaciones: {1, 2, 3}, {1, 3, 2},{2, 3, 1}, {2, 1, 3}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1} es decir un total de 6 permutaciones, número que coincide con 3! En general si tenemos un total de n-elementos y deseamos obtener todas las permutaciones que podemos obtener al ordenar esos n-elementos, podremos conseguir un total de n! permutaciones. Una inversión de una permutación es el cambio de orden entre dos elementos de una permutación con respecto a la permutación principal: Ejemplo: {1, 2, 3} es la permutación principal, entonces la permutación {1, 3, 2} presenta una inversión. {1, 2, 3} es la permutación principal, entonces la permutación {3, 1, 2} presenta dos inversiones. Una permutación se dice que es par cuando presenta un nº par de inversiones e impar cuando presenta un nº impar de inversiones (con respecto a la permutación principal). DEFINICIÓN GENERAL DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define el determinante de A y se suele denotar por |A| o bien det(A) a la suma de los n! productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un solo elemento de cada fila y columna de A.


2

(j1, j2,..., jn) es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,....,n} sk es el número de trasposiciones requeridos para reordenar la permutación {j1,j2,...,jn} en el orden de {1,2,...,n}, si la permutación es par será sk también par, e impar en caso contrario. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2 El es producto de los elementos que están en la diagonal principal menos el producto de los elementos que están en la diagonal secundaria.

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 3. REGLA DE SARROS Los términos están formados por productos de tres elementos de la matriz, siguiendo esta regla:

233211332112312213

213213312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

Observaciones: Un determinante es un número. Los determinantes se escriben entre barras para diferenciarlos de las matrices. Sólo tienen determinante las matrices cuadradas. Las matrices que no son cuadradas no tienen determinante.

2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. Si todos los elementos de una línea de una matriz son suma de dos sumados, el

determinante de dicha matriz es igual a la suma de dos determinantes: uno, formado por los primeros sumandos, y otro, por los segundos, y las demás líneas de partida. Demostración para el caso de un determinante de orden 2:

Con el signo que le corresponda

a cada producto

Se cambia el signo que le corresponda a

cada producto


3

2221

1211

2221

1211

222121

121111

ab

ab

aa

aa

aba

aba

2221

1211

2221

1211

2112221121122211

2112211222112211212112221111

222121

121111

ab

ab

aa

aabaabaaaa

baaaabaabaaabaaba

aba

2. Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz por un mismo

número real, el determinante de dicha matriz queda multiplicado por el número.

2221

1211

2221

1211

aa

aak

aak

aak

2221

1211

2112221121122211

2221

1211

aa

aakaaaakaakaak

aak

aak

3. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los

determinantes. BABA

4. Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz, su determinante cambia de signo.

2122

1112

2221

1211

aa

aa

aa

aa

2122

1112

2211211221122211

2221

1211

aa

aaaaaaaaaa

aa

aa

5. Si una línea de una matriz es nula, su determinante es cero.

00

0

21

11

a

a 000

0

02111

21

11 aa

a

a

6. Si una matriz tiene dos líneas iguales, su determinante es nulo.

02121

1111

aa

aa 021112111

2121

1111 aaaa

aa

aa

7. Si una matriz tiene dos líneas proporcionales, su determinante es nulo.

02121

1111

aka

aka 0

2121

1111

2121

1111

aa

aak

aka

aka

8. Si una línea de una matriz es combinación lineal de otras varias, su determinante es nulo.

0

0

212121

232221

131211

0

111111

232221

131211

212121

232221

131211

111111

232221

131211

211121112111

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaaaaa

aaa

aaa


4

9. Si una línea de una matriz se le suma a otra paralela, su determinante no varía.

2221

1211

222221

121211

aa

aa

aaa

aaa

2221

1211

21122211

2212211222122211222112221211

222221

121211

aa

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

10. Si a una línea de una matriz se le suma otra multiplicada por un número su

determinante no varía.

2221

1211

222221

121211

aa

aa

aaka

aaka

2221

1211

2112221122122112

22122211222112221211

222221

121211

aa

aaaaaaaakaa

aakaaakaaaakaaaka

aaka

EJERCÍCIOS

1. Calcular los siguientes determinantes:

734312223

12

36182331227412

134

113

311

2

164

123

321

228

200

020

111

8

111

111

111

8

111

111

111

42

421

421

421

364313

400

430

121

3

460

430

121

3

541

511

121

3

543

513

123


5

2. Calcular el valor del determinante:

00

11

11

11

1

1

1

1

1

1

32

acb

ba

cb

ac

acb

babac

cbcba

acacb

bac

cba

acb

CC

3. Justifica, sin desarrollar, que los siguientes determinantes son nulos:

0

111

111

5

111

5

111

5

555

0

0270

1151

4254

5

1102

0270

10152

40258

5

1

0270

235/2

40258

5

15

0270

235/2

40258

0

0

cbacba

bcacbacba

cba

bacacb

cba

bacacb

cba

4. Prueba, sin desarrollar, que A es múltiplo de 3 y que B es múltiplo de 5:

322

674

125

5

151010

674

125

697346

674

125

936

674

125

525

174

232

3

5215

1712

236

52528

17174

23231

528

174

231

B

A

5. Si 7

zyx

rqp

cba

, calcula el valor de los siguientes determinantes:

7111

zyx

rqp

cba

yzx

qrp

bca

yxz

qpr

bac


6

zyx

rqp

cba

cba

rqp

cba

czbyax

rqp

cba

czbyax

rqp

cba

czbyax

cba

cba

czbyax

rcqbpa

cba

czbyax

rcqbpa

cba

0

0

33

3

3

333

2113

7

zyx

rqp

cba

142

222

2

222

2

222

222

222

222222

222

222

70

0

zyx

rqp

cba

zyx

rqp

cba

zyx

rqp

zyx

zyx

rqp

zcybxa

zyx

rqp

zcybxa

zyx

rqp

zcybxa

rqp

rqp

zcybxa

rzqypx

rqp

zcybxa

6. Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz

azzk

ayyk

axxk

33

22

1


7

0

3

2

1

33

22

11

33

22

11

33

22

1

00

azz

ayy

axx

z

y

x

k

azz

ayy

axx

k

azzk

ayyk

axxk

7. Si 2

ihg

fed

cba

A , calcula el valor de los siguientes determinantes

indicando las propiedades que utilices:

54227233

333

333

333

333

ihg

fed

cba

ihg

fed

cba

A

Para calcular el determinante de la inversa 1A , tenemos en cuenta que:

2

11

1

11

1111

AA

A

AAIAAIAAIAA

422

222

2

ihg

fed

cba

ghi

def

abc

ghi

def

abc

21

20

ihg

fed

cba

ihg

fed

cba

ihg

fed

cba

ghg

ded

aba

ighg

fded

caba

8. Considera la matriz

011

111

201

A

Calcular el determinante de las matrices 131312

A,A,A

1122

011

111

201

011

111

201

AA


8

11

11

11..........

822

022

222

402

011

111

201

22

31

131131

3131

factores 31

3131

3

AAA

AAAAAAA

AAA

9. Determina una matriz simétrica A sabiendo que su determinante vale -7 y que

31

124

31

62A

12

42

12336

12

421236

42

31

124

362

362

31

124

31

62

31

124

31

62

cb

ba

cbcb

cb

baba

ba

cbcb

baba

cb

baA

cb

baA simétrica ser que tiene A Como

32

211

2

42

2

4312212

21891449

1424821421247122

4

7122

4

12A

7- valetedeterminansu como pero R,bcon 12

momento De

1212

2

442

2222

224

24

Aluegob

abc

bbb

bbbbbbbbbb

bbb

bb

b

bb

b

cb

baA

bccb

baba

b

b

10. Sean 321 C,C,C las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente,

de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

El determinante de 3A .

12555 333 AAAAAAAAA


9

El determinante de 1A .

5

115

11

1

1111

AAA

AAAAAAIAA

El determinante de A2 . 3 35 2 2 2 5 40A A A

El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda

y tercera son respectivamente 2331 23 C,C,CC .

0

3

3

3

2

3

3

3

2

23

23

23

5

hii

eff

bcc

hig

efd

bca

hiig

effd

bcca

hiig

effd

bcca

B

ihg

fed

cba

A

30563232

3

3

3

2

ihg

fed

cba

hig

efd

bca

hig

efd

bca

11. Sabiendo que 2

hig

efd

bca

. Calcula, indicando las propiedades que utilices,

los siguientes determinantes:

3025353

5

5

5

3

5

5

1533

hig

efd

bca

hig

efd

bca

hig

efd

bca

3 3 3

3 3 3 1 3 2 6

d f e d f e d e f a c b

a b c a b c a c b d e f

g i h g i h g h i g h i

2

0

hig

efd

bca

hig

hig

bca

hig

efd

bca

hig

heifgd

bca


10

12. Sabiendo que

dc

baA y que 4)Adet( , calcula los siguientes

determinantes:

3633322

)Adet()Adet()Adet( tt

24323233

22

dc

ba

cd

ab

cd

ab

Sea I la matriz unidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que IB 3

Calcula )Bdet(

1

1133

B

BBBBIBBBIBBBIB

Sea C una matriz cuadrada tal que tCC 1 , ¿Puede ser 3)Cdet( ?

111 211 CCCC

CCCC tt

El valor del )Cdet( tendría que ser 1 o -1.

13. Sabiendo que 6

cba

vut

zyx

. Calcula, indicando las propiedades que utilices,

los siguientes determinantes:

183

3

3

3

cba

vut

zyx

cba

vut

zyx

1222

2

2

2

cba

vut

zyx

cab

vtu

zxy

cab

vtu

zxy

6

222222

0

cba

vut

zyx

cba

vut

zyx

cba

vut

zyx

zyx

vut

zyx

czbyax

vut

zyx


11

3. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ CUADRADA

El menor complementario asociado a un elemento i ja de una matriz cuadrada A es el

determinante de la matriz que resulta al suprimir la fila “i” y la columna “j” de la matriz de partida correspondiente a dicho elemento.

Ejemplo: dada la matriz

132

413

321

A entonces los menores asociados a los

elementos siguientes son:

1313

41

713

21

512

43

1111

3333

1212

Mesa elemento al asociado ariocomplement menorEl

M esa elemento al asociado ariocomplement menorEl

M esa elemento al asociado ariocomplement menorEl

El adjunto de un elemento i ja es el menor complementario del mismo elemento con

signo + o – según sea par o impar la suma fila+columna.

ij

ji

ij MA

1

Ejemplo: dada la matriz

132

413

321

A entonces los adjuntos asociados a los

elementos siguientes son:

131 elemento al asociado Ajunto



1111

11

1111

3333

33

3333

1212

21

1212

MMAesa

MMAesa

MMAesa

4. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA

Supongamos que tenemos una matriz de orden 3, entonces, el desarrollo del determinante por los elementos de una línea, por ejemplo, por la 2ª fila es:

232322222121

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A

Si fuera por ejemplo por los elementos de la 1ª columna, sería:

313121211111

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A


12

Ejemplo: si consideramos la matriz

312

410

231

A , el desarrollo de su determinante

por los elementos de la 1ª columna sería:

21287142707141

232

31

230

31

411

201201

312

410

231

312111312111

MMMAAAA

Ejemplos: calcular los siguientes determinantes desarrollando por los elementos de una línea: Desarrollamos este determinante por la segunda fila:

12186421286211621232623

421286211621232623

113

212

412

1

143

212

412

3

113

212

412

11

143

212

412

3

1413

2112

0130

4112

B

Desarrollamos este determinante por la segunda columna:

1951132121812312496618312121

313

124

312

11

313

210

312

1

313

210

124

11

3103

2110

1214

3112

C

MÉTODO DE CHIO Consiste en, utilizando las propiedades de los determinantes, convertir toda una línea del determinante dado en ceros, excepto un elemento llamado pivote o base de desarrollo. Elegida esa línea para desarrollar por los adjuntos de sus elementos, el determinante dado será igual al producto del pivote por su adjunto correspondiente. Se procura que el pivote valga uno. Ejemplo:


13

3083614

2332

312

232

3120

230

371

2

322

141

371

2

322

282

371

3220

2820

3710

1211

3220

3235

1134

1211

3220

1211

1134

3235

31F

F

A

Ejemplo:

10220

4310

7550

5321

0422

4310

2231

5321

0422

5321

2231

4310

0224

5123

2132

4013

1313 FFCC

A

7236212

1802

511

120

1800

2

511

431

755

2

1022

431

755

5. MENORES EN UNA MATRIZ

Sea una matriz de dimensión , si suprimimos m - h y n - h columnas, el determinante de la matriz resultante es un menor de orden h de dicha matriz.

hhhh

h

h

mnmhmmm

hnhhhhh

nh

aaa

aaa

M

:sería horden de menorUn

aaaaa

aaaaa

aaaaa

A

21

11211

321

321

11131211

Ejemplo: Consideremos la matriz

201314

231110

121302

411031

A


14

1314

1110

1302

1031

M

:son matriz ésta de 4orden de menores Algunos

201

231

121

M

314

110

302

M

201

231

411

M

:son matriz ésta de 3orden de menores Algunos

4

321

MENOR ORLADO Dado un menor de orden h de una matriz de dimensión m x n, si le adjuntamos la fila i y la columna j a dicho menor, el menor resultante de orden h+i se llama menor orlado del primero con la fila i y la columna j.

6. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES Es el orden del mayor menor no nulo. Para calcular el rango por éste método se elige un menor de orden 2 de la matriz, si es cero, se elige otro, si ninguno de los menores de orden 2 son no nulos, el rango es 1, y se acaba el proceso. Si, por el contrario, existe un menor de orden 2 distinto de cero se orla con cualquier fila y cualquier columna, si es cero, se vuelve a orlar, si todos los orlados de orden 3 son nulos, el rango es 2 y se acaba el proceso; si, por el contrario, existe uno de orden 3 distinto de cero, el rango es, por lo menos, 3. Dicho menor se vuelve a orlar, si todos los de orden 4 son nulos, el rango es 3, y se acaba el proceso, en caso contrario, se reitera el método sucesivamente. Ejemplo: Hallar el rango de la matriz

743423

231110

121302

411031

A

:nulo no 4orden demenor un buscamosy él departir a Orlamos

30336

110

302

031

M


20602

31M

:nulo no 2orden demenor un buscamosy izquierdasuperior esquina lapor Empezamos

2

1

Arg

Arg


15

0108310241

153

212

141

1153

1000

1212

1141

3423

1110

1302

1031

M3

4015

4560306912453

163

532

131

1463

0100

5332

1031

7423

2110

1302

4031

09999

42489126324

863

732

131

8463

0100

7332

1031

4423

3110

2302

1031

)A(rg

M

: nulo nosea que 4 orden de menorotro buscamos

M

: nulo nosea que 4 orden de menorotro buscamos

4

4

Ejemplo: Hallar el rango de la matriz

A

11031

2112

4114

10221

3 tantolopor orlar, para 4orden de menores máshay No

02713265412332

1131

313

643

2

1131

626

643

11031

2112

6026

6043

11031

2112

4114

10221

M


3018184841

112

114

221

M


20914

21M

:nulo no 2orden demenor un buscamosy izquierdasuperior esquina lapor Empezamos

3

2

1

Arg

Arg

Arg


16

7. DETERMINANTE DE VANDERMONDE

El determinante de Vandermonde viene dado por: 222

111

cba

cba

A cada fila le sumamos la anterior multiplicada por –a:

bcacabcb

acab

accabb

acab

cacabb

acab

cacabb

acab

cba

cba

11

0

0

111111

22

22222

Ejercicio: obtener el valor del siguiente determinante:

bcacab

cbacab

accabb

acab

cacabb

acab

acab

acab

cba

cba

cba

cba

eVandermond

5011

5050

50

0

0

111

50

111

510555

101010

22

2222222222

Ejercicio: obtener el valor del siguiente determinante:

1713441

131

401

1301

014

413

1315

014

2

12

826

1315

014

2

1

8260

13150

0140

4121

2

1

4103

1213

4261

4121

2

1

4103

1213

213

4121

4121

1213

213

4103

21

21

A

8. PROPOSICIÓN

La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos correspondientes a una paralela a ella es cero. Por ejemplo, para un determinante de orden 3:

231322122111

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A

Ejemplo: consideremos la matriz

131

122

311

A calculamos los adjuntos asociados por ejemplo a la 3ª columna:


17

0414241

422

114

31

114

31

22

332123211311

332313

AaAaAa

:columna1ª la de elementos los paralela línea como ejemplo por doconsideran sComprobamo

AAA

9. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA MATRIZ INVERSA

La condición necesaria y suficiente para que una matriz A tenga inversa, es que su determinante sea distinto de cero.

0 AA es esto inversa, tiene A cuadrada matrizLa -1

OBTENCIÓN DE LA INVERSA

t

ijAA

A 11

Demostración si se multiplica la matriz A por la matriz traspuesta de la adjunta se tiene:

t

ij

AdjA

AA

AIAA

A

A

A

AaAaAaAaAaAaAaAaAa

AaAaAaAaAaAaAaAaAa

AaAaAaAaAaAaAaAaAa

AAA

AAA

AAA

aaa

aaa

aaa

t

11

100

010

0011

00

00

001

333332323131333332323131333332323131

332332223121132312221121132312221121

331332123111231322122111131312121111

332313

322212

312111

333231

232221

131211

Vamos a deducir cuánto valdrá el determinante de 1A :

otro del inverso el es uno A

AAAIAA

IAAIAA A de inversa la es A Si

1-1-1-

-1-1-1

11

Ejemplo: calcular la inversa de la matriz A

131

122

311

A

10123261812

131

122

311

A

A


18

444

521

7101

12

1

422

115

12

317

12

31

431

112

11

3110

13

31

431

221

11

121

13

12

:elemento cada de adjuntos los Calculamos

1

333231

232221

131211

A

AAA

AAA

AAA

100

010

001

1200

0120

0012

12

1

444

521

7101

131

122

311

12

1

444

521

7101

12

1

131

122

3111AA

:ónComprobaci

Ejemplo: calcular la inversa de la matriz A

101963418

310

221

413

310

221

413

AA

A

721

132

21

4310

22

41

310

139

30

437

31

41

110

213

30

214

31

22

310

221

413

:elemento cada de adjuntos los Calculamos

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

A


19

100

010

001

1900

0190

0019

19

1

731

293

1074

310

221

413

19

1

731

293

1074

19

1

310

221

413

:

731

293

1074

19

1

1

1

AA

ónComprobaci

A

TEOREMA DE UNICIDAD Si existe inversa, es única. Efectivamente, supongamos que existiesen dos matrices B y C tales que:

BC

CABCABCABCABcomo ACy AB

II

-1-1

tema 9: determinantes - matematicasmariajose · determinante de dicha matriz es igual a la suma de...

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