1.- determinante de una matriz cuadrada -...

2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 2.- DETERMINANTES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1 , A = (a), se define det A = det (a) = a

Determinante de una matriz cuadrada de orden 2

Dada una matriz cuadrada de orden 2 , a b

Ac d

=

, se define det A = ad – bc

Es decir, det A = producto de diagonal principal – producto de diagonal secundaria

Por ejemplo, 3 5 3 5

det 3.4 2.( 5) 222 42 4

− − = = − − =

Determinante de una matriz cuadrada de orden 3

Consideremos una matriz cuadrada A de orden 3. El determinante de A se define como sigue:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11

31 32 33

min min

det

Tér os sumando Tér os restandoa a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

= + + − − −

��

Para recordar cómo se calcula el determinante, se usa una regla nemotécnica llamada regla de Sarrus:

Términos que van sumando Términos que van restando

ACTIVIDADES

1 Sea y sea I la matriz identidad de orden dos. Calcula los valores λ∈ R tales que |A – λI| = 0.

2 Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que

3 Resuelve la ecuación: −1 1 0

m m+1 m

2m 2m+1 2m+1

= 0

Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada Si tomamos un elemento cualquiera a

i j de una matriz cuadrada A y eliminamos su fila y su columna, se obtiene una

submatriz cuadrada. El determinante de esta submatriz se llama menor complementario de a

i j y se representa por α

i j

Se llama adjunto de ai j

al valor Ai j

= (-1)i+j. αi j .

Es decir, si i +j es par, se deja el mismo signo y si es impar se cambia de signo. Matriz adjunta: Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

La matriz adjunta se representa por adj(A) ó �A

- Si A es de orden 2, entonces �A se obtiene cambiándole de signo a la diagonal secundaria de la matriz de menores complementarios

- Si A es de orden 3, entonces �A se obtiene cambiándole de signo a los elementos de fuera de las diagonales de la matriz de menores complementarios

ACTIVIDADES

4 Calcula la matriz adjunta de cada matriz: a)2 5

3 1

−

b)

2 1 1

1 6 3

4 5 0

− − − −

Cálculo de determinantes desarrollando por los elementos de una línea

Si los elementos de una fila o columna se multiplican por sus respectivos adjuntos y luego se suman, entonces se obtiene el determinante de dicha matriz. Se puede desarrollar por la fila o columna que se quiera y el resultado es el mismo.


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Ejemplo: Sea A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Si tomamos, por ejemplo, la 2ª fila, entonces el determinante se calcularía así:

| A | =a21

.A21

+ a22

.A22

+ a23

.A23

Este método nos permite calcular, por ejemplo, determinantes de orden superior a 3

ACTIVIDADES

5 Halla los siguientes determinantes, desarrollando por la fila o columna que quieras:

a) 4 1

7 5

− −

− b)

1 1 1

8 7 6

1 0 1

−

− −

c)

1 -2 0 1

0 1 2 1

2 1 1 0

-1 1 -1 2

2.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1) Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un mismo número, entonces el determinante queda multiplicado por dicho número

ka kb a bk

c d c d=

Se suele decir que se ha sacado factor común de k en esa fila fila

2) |k.A| = kn|A| , siendo n el orden de la matriz A.

2ka kb a bk

kc kd c d=

3) Si una fila o columna vale 0, entonces el determinante vale 0: 00

ba= a.0 – b.0 = 0

4) Si dos filas o columnas son iguales o proporcionales, el determinante vale 0:

b

b

a

a = ab – ab = 0

kb

b

ka

a = kab – kab = 0

5) Si cambiamos de orden dos filas/columnas, el determinante cambia de signo

c d a b

a b c d= −

6) Si la matriz es triangular o diagonal, entonces el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal

principal. Como consecuencia, det In = 1

0 1 01

0 0 0 1

a b aad ad

d d= = =

7) Si los elementos de una fila o columna se pueden descomponer en dos sumandos, entonces el determinante se puede descomponer en dos determinantes según la siguiente regla: det (F

1+F´

1, F

2, F

3) = det (F

1, F

2, F

3) + det (F´

1, F

2, F

3)

a a b b c c a b c a b c

e f g e f g e f g

h i j h i j h i j

′ ′ ′ ′ ′ ′+ + +

= +

8) Si a una fila/columna se le suma otra fila/columna multiplicada por un número, entonces el determinante no varía

d

b

c

a =

kbd

b

kac

a

++

9) det (A.B) = det (A) . det (B). Como consecuencia, det (An) = [det(A)]n y det (A–1)= 1

det (A).

10) det (A) = det (At)


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ACTIVIDADES

6 Considera las matrices

Halla el determinante de una matriz X que verifique la igualdad X2AX = B.


Halla el determinante de A2013BtB(A−1)2013.

8 Se sabe que el determinante de la matriz es −3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los

siguientes determinantes:

a) det(−2A) y det(A−1) b)

9 Sean C1, C

2 y C

3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo

determinante vale 5. Calcula indicando las propiedades que utilices:

(a) El determinante de A3. (b) El determinante de A-1. (c) El determinante de 2A.

(d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente 3C1 – C

3,

2C3 y C

2.

10 Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz y enuncia las propiedades que hayas

utilizado

11 Se sabe que Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

(a) 11 12 13

21 22 23

31 32 33

3a 3a 15a

a a 5a

a a 5a

(b) 21 22 23

11 12 13

31 32 33

3a 3a 3a

a a a

a a a

(c) − − −11 12 13

21 31 22 32 23 33

31 32 33

a a a

a a a a a a

a a a

12 Usa propiedades de los determinantes y el método del desarrollo por los elementos de una línea para calcular:

a)

2 1 1

1 6 3

4 5 0

− − − −

b)

1 -2 0 1

0 1 2 1

2 1 1 0

-1 1 -1 2

3.- RANGO DE UNA MATRIZ Combinación lineal (c.l.) de filas: Una fila es c.l. de otras filas si es el resultado de multiplicar cada fila por un número y luego sumarlas Filas linealmente independientes (l.i.): Dos o más filas son l.i. cuando ninguna de ellas se puede poner como c.l. de las demás

Rango de una matriz: El rango de una matriz A es el número de filas l.i. Se representa por rg(A) En cualquier matriz, el número de filas l.i. coincide con el número de columnas l.i. El rango de una matriz coincide con el orden del mayor subdeterminante distinto de cero Se pueden usar las siguientes reglas y se obtiene una matriz con el mismo rango: 1) Cambiar de orden dos filas o dos columnas 2) Multiplicar o dividir una fila o columna por un número distinto de cero 3) Sumarle o restarle a una fila o columna otra multiplicada por un número 4) Eliminar una fila o columna que sea igual o proporcional a otra 5) Eliminar una fila o columna con todo ceros


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ACTIVIDADES

13 Calcula el rango de las siguientes matrices:

a)3 1

2 5

−

b) 2 3 7

4 6 14

− −

c)

1 3 2

2 1 4

3 1 2

−

d)

1 2 1

2 4 2

3 6 3

− − −

e)

1 2 5 1

3 1 0 4

5 5 10 6

− −

14 Dada la matriz

Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α.

15 Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det (M) = 2. Calcula el rango de M3.

16 Obtén un vector no nulo v = (a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

17 Considera la matriz

Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3

4.- CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA USANDO DETERMINANTES Sea A una matriz cuadrada - Si |A| = 0 , entonces A no es invertible

- Si |A| ≠ 0 , entonces A es invertible y 1 1 tA .[adj(A)]

| A |

− =

ACTIVIDADES

18 Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea

Halla los valores de x para los que la matriz A – xI no tiene inversa.

19 Dada la matriz , se pide:

(a) Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. (b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2.

20 Sea

a) Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes. b) Estudia el rango de M según los valores de m. c) Para m = 1, calcula la inversa de M.

21 Considera la matriz , donde x es un número real.

(a) ¿Para qué valores de x existe (M(x))– 1? Para los valores de x obtenidos, calcula la matriz (M(x))–1.

(b) Resuelve, si es posible, la ecuación M(3).M(x) = M(5).


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5.- ECUACIONES MATRICIALES CON PRODUCTOS

Veamos algunas reglas útiles para despejar: 1

1 1 1. (por la derecha)1) ( . ). . .

AXA B X A A B A X B A

−− − −= → = ⇒ =

11 1 1. (por la )

2) ( )A izquierda

AX B A AX A B X A B−

− − −= → = ⇒ =

11 1 1.( )

3) ( ) X ( ) ( ) X ( ) ( )Sacando factor común X A B

AX BX C A B C A B A B A B C X A B C− − − −++ = → + = → + + = + ⇒ = +

ACTIVIDADES

22 Considera las siguientes matrices:

Determina la matriz X para la que AtXB−1 = C, (At es la traspuesta de A).

23 Sean A y B las matrices

Halla la matriz Z que verifica B2 +ZA + Bt = 3I

24 Halla la matriz X que verifica la igualdad AXA−1 + B = CA−1 sabiendo que

25 Sean A y B dos matrices que verifican:

Resuelve la ecuación matricial XA − XB − (A + B)t = 2I

26 Sea la matriz . Para λ = −2, resuelve la ecuación matricial AX = 2X + I.

27 Resuelve

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

1 Resuelve la ecuación

1 3 5

4 2 x x

1 1 3

−

+

− −

= 0


Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.


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3 Calcula la matriz adjunta de cada matriz: a) 3 1

2 5

−

b)

2 2 2

2 1 0

3 2 2

− −

4 Halla el siguiente determinante, desarrollando por la fila o columna que quieras:

2 3 -2 4

3 -2 1 2

3 2 3 4

-2 4 0 5

2.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

5 Sabiendo que el determinante de la matriz es 3, halla los siguientes determinantes indicando, en cada

caso, las propiedades que utilices: a) det(A3), det(A−1), det(A + At) b) det

c) det

6 Considera las siguientes matrices: . Calcula el determinante de B−1(CtC)B

7 Sean F1, F

2 , F

3 , las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante

vale −2. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

(a) El determinante de B−1. (b) El determinante de (Bt)4 (c) El determinante de 2B.

(d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5 F1− F

3, 3 F

3, F

2.

8 Sabiendo que calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

(a) − − −3x y z

3t u v

3a b c

(b) −

−

−

2y x z

2u t v

2b a c

(c) − − −

x y z

t u v

2x a 2y b 2z c

9 Considera las matrices . Halla el determinante de AB2013At

3.- RANGO DE UNA MATRIZ

10 Calcula el rango de las siguientes matrices:

a) 2 2

9 9

− −

b) 1 3 5

2 1 4

−

c) 2 1 3 1

6 3 9 3

− −

d)

1 1 2 4

3 2 1 5

5 0 3 3

− −

11 Dada la matriz . Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k.


Halla el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2.


Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.


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4.- CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA USANDO DETERMINANTES

14 Se consideran las matrices y B= A – kI , donde k es una constante.

a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa. b) Calcula B– 1 para k = –1

15 Sea la matriz

(a) Determina los valores de α para los que A tiene inversa. (b) Calcula la inversa de A para α = 1.

16 Dada la matriz , ¿para qué valores de λ la matriz 3B + B2 no tiene inversa?


(a) Calcula la matriz inversa de A. (b) Calcula A127 y A128. (c) Determina x e y tal que AB = BA

5.- ECUACIONES MATRICIALES CON PRODUCTOS


Determina, si existe, la matriz Y que verifica la igualdad A2Y B−1 = A.

19 Considera las matrices, . Halla la matriz X que verifica que AtX + B = I


. Halla la matriz X que verifica A−1XA = B − A.

21 Considera las matrices . Calcula Z tal que AZ = BZ + A.

Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA+A3B = A, siendo

22 Resuelve ABtX = −2C, siendo

23 Determina una matriz X que verifique la ecuación AX = X – B siendo


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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Apartado 1 1 Calcula los siguientes determinantes:

a) 4 1

7 5

− −

− b)

10 6

5 3

−

− c)

1 0 3

2 1 4

1 3 1−

d)

3 2 1

0 2 5

2 1 4

−

− e)

3 2 1

4 2 1

0 1 2

−

−

f)

1 1 1

8 7 6

1 0 1

−

− −

2 Calcula la matriz adjunta de cada matriz: a)1 2

2 4

b) 7 17

2 5

c)

1 0 2

2 1 3

4 1 8

−

d)

2 4 1

1 2 3

5 0 1

− −

3 Halla el siguiente determinante, desarrollando por la fila o columna que quieras:

1 0 -1 2

2 3 2 -2

2 4 2 1

3 1 5 -3

Apartado 2

4 De la matriz se sabe que det(A) = 4. Se pide:

(a) Halla det(−3At) y . Indica las propiedades que utilizas. (b) Calcula det(A−1At).

(c) Si B es una matriz cuadrada tal que B3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det (B).


Calcula el determinante de la matriz (A2B−1)2015.

6 Sabiendo que el determinante de una matriz es 4, calcula los siguientes determinantes indicando,

en cada caso, las propiedades que utilizas:

a) det(−2A) y det(A−1). b)

7 Sabiendo que el determinante de la matriz es 2, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada

caso, las propiedades que utilices:

a) det(3A) b) det(A−1) c) d)

8 Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det(M) = 2. Calcula:

a) El determinante de 2Mt b) El determinante de (M−1)2.

c) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M.

9 Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = 1/2 y |B| = −2

Halla: (a) |A3| (b) |A−1| (c) |−2A| (d) |ABt|.

10 Sean A, B, C y X matrices que verifican AXB = C. Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es −1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X


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11 Considera , siendo a un número real. Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y At

12 Sabiendo que , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes: (a) | – 3 A | (b) | A– 1

| (c) c b a

f e d

2i 2h 2g

(d) −

−

−

a b a c

d e d f

g h g i

13 Denotamos por Mt a la matriz transpuesta de una matriz M.

(a) Sabiendo que y que det(A) = 4; calcula det (– 3A) y 2 2

3 3

b a

d c− −

(b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B3 = I. Calcula det (B).

(c) Sea C una matriz cuadrada tal que C– 1 = Ct. ¿Puede ser det (C) = 3? Razona la respuesta.

14 Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale –2. ¿Cuánto vale el determinante de la matriz 4A?

Apartado 3

15 Calcula el rango de las siguientes matrices: a) ( )1 4 2− b)3 4

3 4

− −

c) 3 3 1

5 5 3

−

16 Sabiendo que la matriz tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a?

Apartado 4

17 Dadas las matrices

Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B.

18 Dada la matriz

Justifica que A es invertible y halla su inversa.

19 Dada la matriz Determina los valores de λ para los que la matriz A2 + 3A no tiene inversa.

20 Sea la matriz

¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta.


¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa?

22 Sea la matriz . Determina los valores de λ para los que la matriz A – 2I tiene inversa.

23 Sea la matriz . Indica los valores de m para los que A es invertible.


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(a) Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa. (b) Calcula B−1 para λ = 1.


Razona cuáles de las matrices A, B, C y AB tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.

26 Sea A la matriz e I la matriz identidad de orden 3.

(a) Calcula los valores de λ para los que el determinante de A − 2I es cero. (b) Calcula la matriz inversa de A − 2I para λ = −2.

27 Dada la matriz

Para k = 0, halla la matriz inversa de A.

Apartado 5


Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A.


Halla la matriz X que verifica AX − B = I.


Determina, si existe, la matriz X que verifica AX + B = A2.


Para m = 1, calcula A−1 y la matriz X que satisface AX − B = AB.


a) Halla A−1 b) Calcula la matriz X que satisface AX = BtC .


a) Halla, si es posible, A−1 y B−1. b) Calcula la matriz X que satisface AX − B = AB


Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB = Ct

35 Dada la matriz , sea B la matriz que verifica que

(a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. (b) Resuelve la ecuación matricial A−1X − B = BA.


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- Página 11 -

36 Sea la matriz . Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X + I) ·A = At

37 Dada la matriz . Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la

matriz identidad de orden 2.

38 Considera las matrices .

Para λ = 1, resuelve la ecuación matricial A−1XA = B.


Para α = 2, resuelve la ecuación matricial AX = B.

40 Sean las matrices

Para α = −3, determina la matriz X que verifica la ecuación AtX = B

41 Dada la matriz . Calcula la matriz X que verifica la ecuación A2 + XA + 5A = 4I.


Resuelve la ecuación matricial XA − Bt = C para m = 0.


Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C.

44 Considera las siguientes matrices

Resuelve la ecuación matricial AXAt − B = 2I

45 Sean A, B, C y X matrices que verifican AXB = C. Si calcula la matriz X

46 Sean las matrices:

Determina la matriz X que verifica AX – Bt = 2C

47 Dadas las matrices .

Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales XA = A + 2B y AY = A + 2B


Calcula la matriz P que verifica AP − B = CT


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- Página 12 -

49 Dadas las matrices . Resuelve la ecuación matricial AX + B = A + I.

50 Sean I la matriz identidad de orden 2 y

Para m = 2, halla la matriz X tal que AX − 2AT = O


(a) Determina los valores de λ para los que la matriz A tiene inversa.

(b) Para λ = 1, calcula A−1 y resuelve la ecuación matricial AX = B.

52 Sea

(a) Determina los valores de m ∈ R para los que la matriz A tiene inversa. (b) Para m = 0 y siendo X = (x, y, z), resuelve X A =(3, 1, 1)


(a) Halla el valor de m ∈ R para el que la matriz A no tiene inversa. (b) Resuelve AX = O para m = 3.


Determina la matriz X que cumple que AX + CBt = BBt

55 Halla la matriz X que cumple que siendo

56 Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea

Para b = 2 halla la matriz X que cumple que AX – 2At = O


(a)¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A.X + 2B = 3C ? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1.

58 Dadas las matrices , halla la matriz X que cumple que A.X = (B.At)t .

1.- determinante de una matriz cuadrada -...

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