geometrÍa del espacio competencias -...

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Competencias:

Reconoce a la recta y el plano en R.

Describir las posiciones relativas entre dos planos y entre una recta y un Plano.

Describir el Teorema de las tres perpendiculares.

Definir un ángulo Diedro.

Describir y describir los poliedros regulares e irregulares.

Describir a los sólidos y superficies de revolución: Cilindro, Cono y Esfera.

Modelar diversas aplicaciones en los que intervienen los elementos de la geometría del espacio.

Parte I: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Indicar y Justificar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:

1. Una recta que es paralela a dos planos que se cortan es paralela a su intersección.

2. Una recta y un plano perpendiculares a otra recta son paralelos.

3. Una recta que forma ángulos iguales con otras tres rectas que pasan por su pie en el plano, es paralela a dicho plano.

4. La proyección de un segmento paralelo a un plano tiene igual longitud que el segmento.

5. Si una recta es perpendicular a dos rectas distintas de un plano, es perpendicular al plano.

6. La intersección de tres planos no paralelos es un punto.

7. Por una recta oblicua a un plano no se puede trazar un plano perpendicular al primero.

8. Si un plano es perpendicular a una recta, es paralelo a un plano cualquiera que pasa por dicha recta.

9. Toda recta perpendicular a la intersección de dos planos, es perpendicular a uno de los dos planos.

10. Por un punto de un plano sólo se puede trazar un plano que le sea perpendicular.

11. Por una recta cualquiera del espacio, siempre se puede trazar un plano paralelo a un plano dado.

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Matemáticas 2– MA 111

1

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Matemáticas 2– MA 111_________________________________________________________________________________________________________

1

PROBLEMAS:

Resuelva los siguientes problemas:

1. Por el vértice B de un cuadrado ABCD de lado “a” se levanta BF perpendicular al plano del cuadrado tal que BF = a. Si M es punto medio de CD , hallar el área del triángulo DMF.

2. En un plano R se ubica una circunferencia de centro “O” en la cual se traza la cuerda ABde 8 cm. de longitud que dista 2 cm. del centro. Se levanta AE perpendicular a R siendo AE = 4 cm. hallar EO.

3. La distancia de un punto P a un plano R es 12. Las distancias de P a los extremos de un segmento AB de longitud 8 contenido en R son 13. Hallar la distancia de P a AB.

4. En la figura, los planos P , Q y R son paralelos. Si MB = 12 y ND = 9, calcular AB sabiendo que excede a CD en 7m.

5. Se tiene dos triángulos equiláteros ABC y ABD de lado “L” que se encuentran en planos perpendiculares. Hallar CD.

6. Se tiene una circunferencia de diámetro 8 cm contenida en un plano P y un punto exterior A que dista 3 cm del plano. Si la distancia mínima del punto A a la circunferencia es 5, hallar la distancia máxima de dicho punto a la circunferencia.

7. Por el centro M de un cuadrado ABCD de 1 cm de lado se levanta la perpendicular MP al lado del cuadrado. Hallar la longitud de MP sabiendo que la distancia de P a uno de los

vértices del cuadrado es 3 .

8. Un plano P tiene una inclinación de 60º sobre un plano Q. ¿A qué distancia del plano Q se debe trazar otro plano paralelo que corte a P , tal que sus intersecciones disten 42 cm?

9. En un plano T se encuentra una circunferencia de diámetro AB = 2 a. Por A se levanta AFperpendicular a T tal que AF = AB. Si M es punto medio de AB. Hallar el área del triángulo FMB.

P

Q

R

A C

N

DB

M


2


2

10. Un triángulo PBC rectángulo en P se proyecta sobre un plano que pasa por BC de modo que ABC es el triángulo proyectado. Si AD es la altura, BD = 6.4 cm DC = 3.6 cm y AD = 2.4 cm, calcular la medida del diedro BC.

11. Se tiene un triángulo ABC rectángulo en B tal que AB = 15m y BC = 20m. Por B se

levanta la perpendicular BP = 312 al plano del triángulo. Si se une P con A y C, hallar la medida del diedro AC.

12. Sobre una circunferencia se toman los puntos A y B tales que AB = 120º. Por B se levanta

BP perpendicular al círculo siendo BP = 4. Si AB = 34 y O es el centro del círculo, hallar el área del triángulo AOP.

13. En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 8 y AC = 10. Por A se levanta AD perpendicular al

triángulo. Si M es punto medio de BC y AD = 52 , hallar el ángulo que forman

DMyAB al cruzarse.

14. Desde un punto A exterior a un plano P se trazan AB, AC y AD oblicuas a P formando ángulos de 45º, 60º y 30º respectivamente. Si AB = 6, hallar AC y AD.

15. Por el vértice B de un triángulo ABC recto en B se levanta BD perpendicular al triángulo. Si AB = 8, BC = 3/38 y BD = 3, hallar la medida del diedro AC.

16. En la figura, el diedro AB mide 60º. Hallar PQ si AB = 3m, AP = 4m y BQ = 2m.

17. En la figura P1 y P2 son dos planos perpendiculares. AB es un segmento tal que A

pertenece a P1 y B pertenece a P2, si AB = 8 u , la medida del ángulo entre AB y P1 es

igual a 30, la medida del ángulo entre AB y P2 es igual a 45, calcule la distancia entre AB y CD .

A

B

P

Q

A

BC

DP1

P2


3


3

Parte I : POLIEDROS

Resuelva los siguientes problemas:

1. Se da un hexaedro regular de 2 m de arista. Hallar la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta.

2. Se da un hexaedro regular de 3 m de arista. Hallar la distancia de un vértice a la diagonal del sólido que no contenga a dicho vértice.

3. Se tiene un tetraedro regular de 2 m de arista. Hallar la altura de dicho poliedro.

4. En la figura, la arista del cubo mide “a” . Hallar el área del triángulo sombreado.

5. Hallar el ángulo formado por dos diagonales cuales quiera de un octaedro regular.

6. Si partiendo de cierto vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos caras contiguas, hallar el ángulo que forman.

7. Hallar el área de la región sombreada, si el sólido es un cubo de arista “a”.

8. Calcular el área de la región sombreada en el tetraedro regular de arista “a”, siendo P y Q puntos medios de las aristas AB y BC respectivamente.

PA

V

C

B

Q


4


4

9. En el cubo ABCD – EFGH, M es punto medio de AE , P es punto medio de GH . Una hormiga está en el punto M y se dirige hacia el vértice C , luego al punto P y finalmente al punto M . Si “l” es la longitud de la arista del cubo, determine la mínima longitud que caminó la hormiga.

10. Se quiere empapelar un cuarto cuya longitud es de 9.25 m la anchura 4.75 m y la altura 4.80 m, las aberturas no empapeladas representan una superficie total de 12.25 m2. ¿Cuántos rollos de 12 m por 50 cm se necesitarán, y cual será el gasto si el rollo vale 3.75 dólares?

11. Hay que demoler la pared que tiene 46 m de largo 1.50 m de alto y 0.70 m de espesor. Reedificada tendrá 80 cm. de espesor y 1 m. de alto. Por la demolición de la pared antigua, extracción de piedras y acarreo de escombros se pagan 1.40 dólares por m3 y 4.50 por la construcción de 1 m3 de la nueva. ¿Cuánto costará el trabajo?

12. En una pared de ladrillo, los espacios vacíos están valuados en un 20% del volumen total. ¿Qué cantidad de argamasa se necesitará para llenar esos vacíos, si la pared tiene 2.40 m de alto, 9.50 m de largo y 20 cm de espesor?

13. Se quieren fundir en uno solo dos cubos de latón cuyas aristas respectivas miden 15cm. y 24 cm. ¿Cuál será la arista del cubo?

14. Hallar el volumen de la mayor de las pirámides de Egipto cuya base es un cuadrado de 230 metros de lado, sabiendo que las caras laterales son triángulos equiláteros.

15. El volumen de un obelisco es de 128.102 m3; este obelisco tiene la forma de un tronco de pirámide de bases cuadradas y paralelas de 2.40 m y 72 cm de lado. Calcula su altura y la longitud de la arista lateral

16. La base de concreto de un poste de luz está construida en forma de una pirámide truncada cuadrangular regular, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen de la base del poste? ¿Cuál será la masa de dicho soporte si la densidad del concreto es concreto = 0.085 lb/pulg3?

A B

CD

E F

GH P

M

12

15

24


5


5

17. Ingeniería Civil. La figura muestra la sección transversal de un camino. Encuentre el número de yardas cúbicas de concreto necesarias para pavimentar 1 milla de ese camino (1 yd = 3 pies, 1 milla = 1760 yd)

18. En la figura se muestra el esquema de una campana extractora de una cocina. Si las dimensiones están en pulgadas, calcular cuántos pies cuadrados de plancha metálica se necesitarán para fabricar toda la campana incluyendo el ducto prismático de sección

cuadrada. (1 pie = 12”)

24’

12”18”

72”36”

6”

12”

36”

18”


6


6

Parte III: SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Resolver los siguientes problemas:

1. Se ha cavado un pozo de forma cilíndrica de 12.80 metros de profundidad por 1.90 metros de diámetro. ¿Cuál es su volumen?. Se construye después en esa excavación una pared de mampostería alrededor y verticalmente. Concluida la obra, el pozo cilíndrico tiene 1.50 m de diámetro. ¿A cuánto asciende el gasto total si se han dado 80 dólares por metro cúbico de tierra extraída y 250 dólares por metro cúbico de mampostería?

2. ¿Cuántos ladrillos se necesitarán para construir un pozo de 3.45 m de profundidad y de 1.10 m de diámetro, si los ladrillos tienen 12 cm de ancho y 6 cm de alto? La longitud del ladrillo representa el espesor de la pared.

3. ¿Cuántos metros cuadrados de hojalata se necesitan para hacer un vaso cuya forma es la de un tronco de cono con tapa, si las dos bases tienen 30 y 40 cm de radio y la profundidad es 50 cm?

4. Hallar el área interior y exterior de la base superior de una chimenea que mide 22 m, de altura y cuyos radios interior y exterior de la base superior tienen 30 y 40 cm y los de la base inferior 1m y 1.20 m

5. Una cuba llena de vino tiene la forma de un cono truncado de 1m. de profundidad; el diámetro del fondo es de 85 cm, el de la abertura de 1.25 m ¿Cuántos toneles de 108 litros de capacidad se podrán llenar con el vino de la cuba?

6. Desde el vértice de una hojalata rectangular de lados a y b (a < b) se describe un arco de circunferencia con un radio igual al lado menor; y se construye un cono con el sectorobtenido. Halla la altura y el volumen de este cono?

7. Una caldera de vapor de forma cilíndrica termina en sus extremos en una semiesfera de 40 cm de radio. Hallar el área externa de esta caldera, si el cilindro tiene un radio igual al de las esferas y la longitud es el dublo del diámetro.

8. Una esfera hueca tiene 43 cm de radio exterior y 4 cm de espesor. Halla el radio de otra esfera maciza de igual volumen.

9. Un cubo y una esfera tienen igual área que es de 2.4 m2 ¿Qué diferencia de volumen hay entre ambos cuerpos?

10. Un barril de vino en forma de tronco de cono tiene una base cuyo diámetro es 90 cm y la otra base mide 80 cm de diámetro. ¿Cuántos litros contiene si su altura es 1.5m?

11. ¿Cuántos pies cuadrados de plancha de acero se necesitarán para fabricar un recipiente en forma de cono (sin tapa) como se muestra en la figura?

5”

13


7


7

geometrÍa del espacio competencias -...

Documents