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2º BACHILLERATO B – MATEMÁTICAS II – RESOLUCIÓN EJERCICIOS DE ANÁLISIS SELECTIVIDAD 2016 (Profesor: Rafael Núñez)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 1

1 [2’5 puntos] Sea f: R → R la función definida por f(x) = (eax + b)x, con a ≠ 0. Calcula a y b sabiendo que f tiene un extremo relativo en x = 0 y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es x = 1.

Resolución

.0

.1

´( ) ( 1) ; ´´( ) ( 1) ( 2)

0 ´(0) 0

inf 1 ´´(1) 0

1

1 0( .0 1) 0

( 2) 0( .1 2) 0

= + + = + + = + + = +

= → =

= → =

= −

+ = + + = =⇒ ⇒

+ =+ =

ax ax ax ax ax ax

a

aa

f x e a x e b e ax b f x e a ax e a e a ax

f tiene un extremo relativo en x f

f tiene un punto de lexión en x f

b

be a b a

e a ae a a

00 2 , 1

2

≠ ⇒ = − = − = −

pero como a a bó

a

2 [2’5 puntos] Calcula el valor de a > 0 para el que se verifica 20

12

a xdx

x=

+∫

Resolución

]

2

2 2

2 2 2

20

2 2 22 2 2

0

1 2 1ln (2 )

2 2 2 2

1 11 ln (2 ) ln (2 a ) ln (2 0 )

2 2 2

1 1 2 2 2ln (2 a ) ln (2) ln 2 ln 2 2

2 2 2 2 2

= = + ++ +

= = + = + − + = +

+ + + = + − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = −

∫ ∫

∫a

a

x xdx dx x k

x x

xdx x

x

a a ae a e

3 [2’5 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12 800 m2 dividido en 3 parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

Resolución

2

2 2

3

min : 4 2

1280012800 12800

12800 51200, ( ) 4. 2 ( ) 2 , 0

51200 51200(́ ) 2 0 2 ; 160

102400´́ ( ) ´́ (160) 0, 160

= +

→ = → =

= + → = + >

−= + = ⇔ = =

= ⇒ > =

Función a imizar L y x

Como el área del solar es m xy yx

Luego la función es L x x L x x con xx x

L x xx x

L x L luego para xx

, ( )

1280080.

160

160dim 160 80 80

3

= =

L x alcanza el mínimo

y

Las ensiones del solar son m x m y las de cada parcela m x m


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 2

4 [2’5 puntos] Considera la función f: R → R dada por f(x) = −x2 + mx siendo m > 0. Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y = −mx y calcula el valor de m para que el área de dicho recinto sea 36.

Resolución

2 2

2

int ( ) .

2 0 0 , 2= −

⇒ − = − + ⇒ − = ⇒ = == − +

Para dibujar el rec o podemos basarnos en que la gráfica de f x es una parábola

Los puntos de corte entre la recta y la parábola se calculan resolviendo el sistema

y mxmx x mx x mx x x m

y x mx

]

2 2 2

2 3 3 2 32

2 3 2 3 2 3 3 3 323

0

2

0

( x ) ( mx) ; ( x ) ( mx) (2 )

32

2 3 3 3

3 3 (2 ) (2 ) 3 .0 0 12 8 436 27 3

3 3 3 3 3

= − + − − − + − − = − =

−= − + = − + = +

− − − −= = = − = = ⇒ = → =

∫ ∫ ∫

m

m

A mx dx mx dx mx x dx

x x x mx xm k mx k k

mx x m m m m m m mA m m

5 [2´5 puntos] Sabiendo que 20

ln( 1) ( ) cos(3 )limx

x a sen x x x

x→

+ − + es finito, calcula a y el valor del límite

Resolución

2 20

( )

( )

ln( 1) ( ) cos(3 ) ln(0 1) (0) 0cos(0) 0lim , aplicamos la regla de ´Hôpital

0 0

1 1f (́x) .( 1)´ a cos(x) cos(3x) x[ sen(3x)].3 acos(x) cos(3x) 3 sen(3x)

1 1

→

+ − + + − += =

= + − + + − = − + −+ +

��

��

x

f x

g x

x a sen x x x a senL

x

x xx x

g

0 0

(́ ) 2

1acos(0) cos(3.0) 3.0sen(3.0)

( ) (́ ) 1 1 0 20 1lim lim( ) (́ ) 2.0 0 0

2, 2 , 2 , .

0

→ →

=

− + − − + − −+= = = =

−= ≠ = ±∞

x x

x x

f x f x a a

g x g x

aComo el límite tiene que ser finito debe ser a pues si a


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 3

2 2

0 0

0Llegamos de nuevo a la indeterminación . Aplicamos la regla de ´Hôpital :

0

1 1f ´́ (x) .( 1)´ a (x) 3 (3x) 3sen(3x) 3xcos(3x) .3 a (x) 6 (3x) 9xcos(3x)

( 1) ( 1)

´́ ( ) 2

( ) (́lim lim

( )→ →

− −= + + − − − = + − −

+ +

=

=x x

otra vez L

x sen sen sen senx x

g x

f x f x

g x

2

0

1a (0) 6 (3.0) 9.0cos(3.0)

) ´́ ( ) 1(0 1)lim

(́ ) ´́ ( ) 2 2→

−+ − −

−+= = =

x

sen senf x

g x g x

6 [2’5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto

de abscisa x = 1 sabiendo que f(0) = 0 y 2( 1)

(́ )1

xf x

x

−=

+ para x > −1.

Resolución

0 0 0

2

0 0 0

2

2 22

: (́ ).( ) ( )

(1 1), 1 ; ( ) (1) (́ ) (́1) 0

1 1

(1) tenemos que hallar primero f(x), que es la primitiva de f (́x) :

12 1( 1) 2 1

( ) (́ )1 1

= − +

−= = = = =

+

+− +− − +

= = = → − −+ +∫ ∫ ∫

rtg y f x x x f x

En este caso x f x f f x f

Para calcular f

xx xx x x

xf x f x dx dx dx x xx x

2

2

2

2

3

___________

3 1

3 3

___________

4

4( ) ( 3) 3 4 ln | 1|

1 2

0(0) 0 3.0 4 ln | 0 1| 0 0

2

tan , ( ) 3 4 ln | 1|2

1 5f(1) 3.1 4 ln |1 1| 4 ln(2)

2 2

5: 0.( 1) 4ln(2) :

2

− =

− +

+

=

= − + = − + + ++

= ⇒ − + + + = ⇒ =

= − + +

= − + + = −

= − + − →

∫ ∫

C

x

x

R

xf x x dx dx x x c

x

Como f c c

xPor to f x x x

rtg y x rtg5

4ln(2)2

= −y


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 4

7 Sea f: R → R la función definida por 2

( )1

xf x

x=

+

a) [0’75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f. b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f.

Resolución 2

2

22

22 2

) ( ) , 1 0

, tan

10

lim ( ) lim lim lim 0,111 11

,

→±∞ →±∞ →±∞ →±∞

= + ≠

= = = = =+ ++

±∞

x x x x

a Como D f R porque x para todo x

Luego f es continua en R y por to no tiene asíntotas verticales

xx x xComo f x

xxxx x

la función f tiene una asíntota horizontal en qu

22

2

0 ( )

:

0 0.( 1) 0. (0,0)11

0

=

=⇒ = ⇒ + = ⇒ =+

+ =

e es la recta de ecuación y el eje X

No hay asíntotas oblicuas

El punto de corte de la asíntota y la gráfica de f se calcula resolviendo el sistema

xy x

x x x El punto de corte es Oxx

y

2 2 2 22

2 2 2 2 2 2

´( 1) ( 1)´ 1 .2 1) (́ ) 0 1 0 1

( 1) ( 1) ( 1)

( , 1) ( 1,1) (1, ) : ( 1, ( 1)) ( 1,

´( )

( )

+ − + + − −= = = = ⇔ − = ⇔ = ±

+ + +

−∞ − − ∞ − − → −− + −

x x x x x x x xb f x x x

x x x

Intervalo Mínimo relativo M f M

Signo de f x

Comportamiento de f x decreciente creciente decreciente

1)

2

1: (1, (1)) (1, )

2

− →Máximo relativo N f N

)c


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 5

8 Sea f : (0, +∞) → R la función dada por f(x) = ln(x). a) [0’5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y = x − 1 y la recta x = 3. Calcula su área.

Resolución

0 0 0

0 0 0

1) ( ) ln( ) (́ ) : (́ ).( ) ( )

1, 1 ; ( ) (1) ln(1) 0 (́ ) (́1) 1

1

: 1.( 1) 0 : 1

= = = − +

= = = = = = =

= − + → = −

a f x x f x rtg y f x x x f xx


rtg y x rtg y x

[ ]

[ ]

3

1

2

1

1

2 2

2

1

1 ln( )

1ln( )

1 ln( ) ln( ) ;2

1.

1ln( ) ln( ) 1 ln( )

I ln(x) c I ln(x) c2 2

Por tanto, A ln(x)2

= − −

= == − − = − − →

= = =

= − = − = − = −

= − − + + ⇒ = − +

= −

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

��

Por partes

I

A x x dx

u x du dxxI x x dx x x dx I x

dv dx dx v x

I uv vdu x x x dx x x dx x x xx

x xx x x x

xx ] 2 23

9 13 1 23ln(3) 1ln(1) 3ln(3) 4 3ln(3) 0,712 22 21

= − − − = − − ⇒ = − ≅

A u


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 6

9 [2'5 puntos] Sabiendo que ( )

20

cos( ) . 1 cos( )lim

( )x

x a x

sen x

π π→

+ es finito, calcula “a” y el valor del límite.

Resolución

( ) ( )2 20

( )

( )

cos( ) . 1 cos( ) cos( .0) . 1 cos( .0) 1.(1 ) 1lim

( ) (0 ) 0 0

1, 1 0 1 , 1 , .

0

Llegamos de nuevo a la indetermi

π π π π→

+ + + += = =

++ = → = − ≠ − = ±∞

��

��

x

f x

g x

x a x a a a

sen x sen

aComo el límite tiene que ser finito debe ser a a pues si a

[ ] ( ) [ ]

( )

2

´

( ) . ( ))

( ) [ ( ) [

0nación . Aplicamos la regla de ´Hôpital :

0

´f´(x) cos( ) . 1 cos( ) cos( ) . 1 cos( )

1 cos( ) cos( ) .(

1 cos( ) cos( )] 1 2 cos( )]

´( ) 2 cos( )

lim

π π π π

π π π π

π π π π

π π

π π π

→

=

= − − =

= − −

= + + +

+ +

+ + = +

=

x

sen x asen x

sen x sen x

L

x a x x a x

a x x

a x a x a x

g x x x

20 0

2

2 2 2 2 2

( .0) [

cos( ) [ ( )

cos( )

( ) ´( ) 1 2 cos( .0)] 0lim

( ) ´( ) 2.0.cos(0 ) 0

Aplicamos la regla de ´Hôpital :

f ´´(x) 1 2 cos( )] ( 2 ( )

2 cos ( ) 2 ( )

´´( ) 2 o

π π

π π π π

π π π

π

π π π

π π π

→

−

− −

−

+= = =

= + + − =

= − +

=

x

sen

x sen x

x

f x f x a

g x g x

otra vez L

a x a sen x

a x a sen x

g x c 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 20 0 0

2 2 2 2 21

cos( .0)

s( ) 2 ( ( ) ) . 2 x 2 os( ) 4 ( )

( ) ´( ) ´´( ) 2 cos ( .0) 2 ( .0)lim lim lim

( ) ´( ) ´´( ) 2 os(0 ) 4.0 (0 )

2 2

2 2 2

π π π

π π π π π

π π π→ → →

= −

−

− +

+ − = −

− += = = =

−

− −= → =

x x x

como a

x x sen x c x x sen x

f x f x f x a a sen

g x g x g x c sen

a


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 7

10 Considera la función f dada por ln( )

( )x

f x xx

= + para x > 0.

a) [1’5 puntos] Halla todas las primitivas de f.

b) [0’5 puntos] Halla 3

1( )f x dx∫

c) [0’5 puntos] Determina la primitiva de f que toma el valor 3 para x = 1.

Resolución

12

12

22

1 1

32 2

3 2

1

1

12

ln( ) ln( ))

ln( )1

: ln ( )12 2

1 1ln ( ) ln ( )

32 22

2 1Inf int ( ) ln ( ) ,

3 2

1

+

= + = + =

→ = = =

=

= = +

⇒ = +

+ ++

+

∫ ∫ ∫

∫

��I

x xa I x dx x dx dx

x x

t xt

I Se sustituye I t dt xdt dx

x

xI x x c

initas primitivas o egral indefinida de f F x x x c co

x

∈n c R

33 2 3 2 3 2

1

2 2

3

1

2 1 2 1 2 1) ( ) ln ( ) 3 ln (3) 1 ln (1)

3 2 3 2 3 2

2.3 1 2 1 23 ln (3) 2 3 ln (3)

3 2 3 2 3

= − =

= − = −

+ = + +

+ +

∫ b f x dx x x

3 2

3 2

3 2

2 1) Inf int ( ) ln ( )

3 2

2 1 2 7(1) 3 1 ln (1) 3 3

3 2 3 3

2 1 7tan , ( ) ln ( )

3 2 3

⇒ = +

= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

= +

+

+

+

c initas primitivas o egral indefinida de f F x x x c

Como F c c c

Por to F x x x


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 8

11 [2'5 puntos] Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir una caja sin tapadera a partir del cartón. Para ello, se corta un cuadrado de x cm de lado en cada una de las esquinas. Halla el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen.

Resolución

( )2

2

2

max : ( ) arg . . (50 2 )(50 2 ). ( ) 50 2 .

(́ ) 2(50 2 ).( 2). (50 2 ) .1 (50 2 )( 4 50 2 ) (50 2 )(50 6 )

2500 400 12

50 2 0 25 ( ,

V (́x) 0

= = − − ⇒ = −

= − − + − = − − + − = − − =

= − +

− = → =

= ⇔

Función a imixar V x l o ancho alto x x x V x x x

V x x x x x x x x x

x x

x x no válido porque si recortamos

2

25 )

2550 6 0

3

25 25´́ ( ) 400 24 ´́ ( ) 400 24. 200 0 ( )

3 3

25

3

25 25 250 2. .

3 3

− = → =

= − + ⇒ =− + = − <

=

= = −

cuadraditos

de cm no podemos formar una caja

ó

x x

V x x V máximo

El volumen máximo se alcanza para x

El volumen será entonces V V

2

35 100 25 250000. 9259,26

3 3 3 27

= = ≅

cm


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 9

12 Sea f: R → R la función dada por 2 2

2( )

( 1)

xf x

x=

+. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica

de f, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 1. Resolución

2 2

1

0

(0,0), pues f(x) 0 2x 0 x 0

2Además, para x 0, f(x) 0,

( 1)

tan , ( )

= ⇔ = ⇔ =

> = >+

= ∫

La gráfica de f corta a los ejes de coordenadas sólo en O

xpor ser el cociente de números positivos

x

Por to el área pedida es A f x dx

2

2 2 2 2

12 1 1 1( ) :

( 1) 12

= + − −= = → = = + = +

+ +=∫ ∫ ∫

t xxI f x dx dx Se sustituye I dt c c

x t t xdt x dx

12

2 2 20

1

0

1 1 1 1 1( ) 1

1 1 1 0 1 2 2

− − − −= = − = + =

+ + +=∫ A f x dx u

x

13 Sea la función f : (0,+∞) → R definida por ln

( )x

f xx

= , donde ln denota logaritmo neperiano.

a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [1’5 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

Resolución

00 0

ln 1) lim ( ) lim lim ln . . . tan , ,

0 ( )

1lim ( ) lim ln . .

,

→ → →

→∞ →∞

+ += = = −∞ ∞ = −∞

=

= = ∞ ∞ = ∞

∞

xx x

x x

xa f x x Por to f tiene una asíntota vertical

x x

que es la recta de ecuación x el eje Y

f x xx

La función f tiene una asíntota horizontal en que es la recta de ec 0 ( )

,

=uación y el eje X

No hay asíntotas oblicuas pues ya hay una asíntota horizontal

2

1 ln( )) (́ ) 0 1 ln( ) 0 ln( ) 1

−= = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

xb f x x x x e

x

(0, ) ( , )

(́ )

(x)

Intervalo e e

Signo de f x

Comportamiento de f creciente decreciente

∞

+ −

ln( ) 1 1; ( ) ( , )

eEl máximo se alcanza en x e y f e M e

e e e= = = = ⇒


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 10

14 De la función f : R → R definida por f(x) = aex −bx, donde a, b ∈ R se sabe que su gráfica tiene

tangente horizontal en x = 0 y que 1

0

3( )

2f x dx e= −∫ . Halla los valores de a y b.

Resolución

]

0

2

2 2 211 0

0

1

0

( ) (́ )

tan 0 (́0) 0 0 0

( ) ( )2

3 1 0( )

2 2 2 2 2

2

= − = −

= ⇒ = → − = → − = → =

= − = − +

− = = − = − − − = − −

= ⇒ − − = −

∫ ∫

∫

x x

x x

x

f x ae bx f x ae b

Como la gráfica tiene gente horizontal en x f ae b a b a b

xf x dx ae b dx ae b k

x be f x dx ae b ae b ae b ae a

aComo b a ae a a e

3 3 31

2 2 2

⇒ − = − → = =

e a e a b

15 [2’5 puntos] Sea f: R → R la función definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Determina a, b, c sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto de abscisa x = 1 y un punto de inflexión en (−1, 5).

Resolución

2

2

3 2

tan 1 (́1) 0

(́ ) 3 2 ; ´́ ( ) 6 2 ; ´́ ( 1) 0( 1,5) inf

( 1) 5

3.1 2 .1 0 2 3 9

6.( 1) 2 0 3

1 5( 1) ( 1) ( 1) 5

= → =

= + + = + − =− → − =

+ + = + = − = −

− + = ⇒ = ⇒ − + − + =− + − + − + =

f tiene gente horizontal en x f

f x x ax b f x x a fes un punto de lexión

f

a b a b b

a a a

a b ca b c

3 tan , 3 , 9 , 6

6

= = = − = − − + =

Por to a b c

a b c

16 [2’5 puntos] Considera la función f: R → R definida por 3

3 (2 )( )

x m xf x

m

−= , con m > 0.

Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de f y el eje OX.

Resolución

3

int ( ) .

( ) 0

3 0 03 (2 )0 3 (2 ) 0

2 0 2

=

= = −= ⇔ − = ⇔ ⇔

− = =

Para dibujar el rec o podemos basarnos en que la gráfica de f x es una parábola

Los puntos de corte con el eje OX se calculan resolviendo la ecuación f x

x xx m xx m x

m x x mm


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 11

]

2 32

3 3 3

3 2 3 2 32

3 3 3

2 3 2 3 2 3 3 322

3 3 3 30

2

0

2

0

3 (2 ) 3 3( ) ; (2 ) 2

2 3

3 3 3 3

3 3

3 3 (2 ) (2 ) 3 .0 0 12 8( ) 4

−= = − = − + =

− −= − + = + = +

− − − −= = = − = =

∫ ∫ ∫

∫m

m

m

x m x x xA f x dx dx mx x dx m k

m m m

x mx x mx xmx k k k

m m m

mx x m m m m m mA f x dx u

m m m m

17 [2'5 puntos] Sabiendo que 0

1lim

21xx

m

xe→

− −

es finito, calcula “m” y el valor del límite.

Resolución

0

00 0

0 0

0

( )

( )

1 2 ( 1) 2.0 ( 1) 0lim lim Aplicamos la regla de ´Hôpital :

1 2 2 ( 1) 2.0( 1) 0

f (́x) 2 ´( ) 2( 1) 2 2 2 2

( ) (́ ) 2lim lim

( ) ´( )

→ →

→ →

− − − − − = = = − − −

= − = − + = − +

−= =

��

��

x

x xx x

x x

x x x x x

f x

g x

m x m e m eL

e x x e e

me g x e xe e xe

f x f x me

g x g x 0 0

2

2 2 2.0. 0

2, 2 0 2 , 2 , .

0

−=

− +

−− = → = ≠ = ±∞

m

e e

mComo el límite tiene que ser finito debe ser m m pues si m


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 12

0 0 0

0

0

2

0Llegamos de nuevo a la indeterminación . Aplicamos la regla de ´Hôpital :

0

f ´́ (x)

´ (́ ) 2 2 2 4 2 2 (2 )

( ) (́ ) ´́ ( )lim lim lim

( ) ´( ) ´ (́ ) 2 (2 0) 4→ → →

=

= −

= + + = + = +

− − −= = = = →

+x x x

x

x x x x x x

Como m

otra vez L

me

g x e e xe e xe e x

f x f x f x me m

g x g x g x e

1

2

18 [2'5 puntos] Sea f:R → R la función definida por f(x) = x4. Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de f formando con ella un recinto con área 8/5

Resolución :

* ,

* lim ( )

( )* lim

*

→ ± ∞

→ ± ∞

→

= ∞ →

= ±∞ →

x

x

Para dibujar la gráfica de f podemos basarnos en que

f es continua en R por ser una función polinómica no hay asíntotas verticales

f x no hay asíntotas horizontales

f xno hay asíntotas oblicuas

x

La gráfic

( ) ( )

3

(0,0)

* (́ ) 4 0 0

( ,0) (0, )

(́ ) : 0, f(0) 0,0

(x)

= = ⇔ =

−∞ ∞

− + =

a de f corta a los ejes de coordenadas sólo en O

f x x x

Intervalo

Signo de f x Mínimo relativo M M

Comportamiento de f decreciente creciente

( ) [4

4

0

4 45 444

54

4

0

5 55

5

582 2

5 5

8

5 5 5

1 1 1 . tan , 1

2 2

= = − = −

− = − =

= ⇒ = ⇒ = =

=

=

∫ aa x

A a x dx ax

a aa a a a

a a a Por to la recta es y


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 13

19 Sea f: R → R la función definida por 22( ) xf x x e−=

a) [0’75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f.

Resolución

2 2 2

2

) tan

2 1 1lim ( ) lim ´ lim lim 0

2→±∞ →±∞ →±∞ →±∞

∞= = → = = =

∞ ∞x x xx x x x

a f es continua en R por ser producto de funciones continuas y por to no tiene asíntotas verticales

x xf x Aplicamos la regla de L Hôpital

e xe e

la función f tiene una asíntota hor , 0 ( )±∞ =izontal en que es la recta de ecuación y el eje X

No hay asíntotas oblicuas

2 2 2

2

2 2

2

2

) ´( ) 2 ( 2 ) 2 (1 ) 0

2 0

0 0 , 1

1 0

( , 1) ( 1,0) (0,1) (1, )

´( )

( )

( 1) ( 1)

− − −

−

= + − = − =

=

⇔ > ⇔ = = ± − =

−∞ − − ∞

+ − + −

− = −

x x x

x

b f x xe x e x xe x

x

ó pues e para todo x x x

x

Intervalo

Signo de f x

Monotonía de f x creciente decreciente creciente decreciente

f2

2

2

( 1) 1

1

2 1 1

2

2 0

1 1: ( 1, )

1 1(1) 1 : (1, )

(0) 0 0 : (0,0)

− − −

− −

−

= = → −

= = = →

= = →

e e Máximo relativo Me e

f e e Máximo relativo Me e

f e Mínimo relativo N


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 14

20 [2’5 puntos] Calcula 1

xdx

x+∫ (sugerencia t = x ).

Resolución

2 32

: 2 21 11 2

= → == → = =

+ ++ =∫ ∫ ∫

x t tt x t xI dx Se sustituye I tdt dt

t tx tdt dx

3

3 2 2

2

2

1

1

___________

___________

1

__________

1 R

+

− − − + =

−

+

− −

− =

tt

t t t t C

t

t t

t

t

2

3 2

32

3

12 ( 1) 2

1

2 22 2ln 1 c

3 2

22 2ln 1 c

3

22 2ln 1 c

3

−= − + + =

+

= − + − + + =

= − + − + + =

= − + − + +

∫ ∫I t t dt dtt

t tt t

xx x x

xx x x

21 [2’5 puntos] Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.

Resolución


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 15

2

3 2

2

2 2

2

3 3 32 2

33

min : 2 2

11 1 1

1 2, ( ) 2 2 ( ) 2 , 0

2 2 2 1´( ) 4 0 4 4 2 0,54

4 2

4 1´´( ) 4 ´´

2

π π

ππ

π π ππ

π π ππ π

ππ

= +

= → = → =

= + → = + >

= − = ⇔ = ⇔ = → = ⇒ = ≅

= + ⇒

Función a imizar S r rh

Como el volumen es litro dm r h hr

Luego la función es S r r r S r r con rr r

S r r r r r r dm dmr r

S r Sr

3

3

333 3

2 2

10, , ( )

2

1 1 1 41, 08

1

4 44

π

πππππ π

> =

= = = ⇒ = ≅

luego para r S r alcanza el mínimo

h h dm dm

22 [2’5 puntos] Calcula 2 1

2 1 2 1

xdx

x x

+

+ + +∫ (sugerencia : 2 1t x= + )

Resolución 2

2

2 1 2 1 2 1:

( 1)2 1 2 1 2 2

1 1 1 1 11 ln | 1|

1 1 1 1 1

2 1 ln 2 1 1

+ = + → = += → = =

+ ++ + + = → =

+ − += = = − = − = − + +

+ + + + +

= + − + + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x t tt x t xI dx Se sustituye I tdt tdt

t t t tx x tdt dx tdt dx

t t tI dt dt dt dt dt dt t t k

t t t t t

I x x k

23 Sea f: R → R la función definida por f(x) = |x2 − 4|. a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = −1.

Resolución 2 2

2

2 2

4, 4 0( ) 4

( 4), 4 0

− − ≥= − =

− − − <

x si xf x x

x si x

2 4= −Usando la gráfica de y x

2

2

4, 2 2( )

4 , 2 2

− ≥ ≤ −=

− − < <

x si x ó xf x

x si x


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 16

2

2 02 , 2 2

) 2, 2 , (́ ) ´( ) 0 02 , 2 2

2 0

( , 2) ( 2,0) (0, 2) (2, )

(́ )

( )

( 2) ( 2) 4 0

=> < −

≠ − = = ⇔ ⇔ = − − < < − =

−∞ − − ∞

− + − +

− = − − = →

xx si x ó x

a Para x f x f x ó xx si x

x

Intervalo

Signo de f x

Monotonía de f x decreciente creciente decreciente creciente

f Mínimo r 1

2

2

2

: ( 2,0)

(2) 2 4 0 : (2,0)

(0) 0 4 4 : (0, 4)

−

= − = →

= − = →

elativo M

f Mínimo relativo M

f Máximo relativo N

0 0 0 0 0

0

2

0 0 0

1) : (́ ).( ) ( ) : .( ) ( )

(́ )

, 1 ; ( ) ( 1) ( 1) 4 3 (́ ) (́ 1) 2( 1) 2

1 5: 2( 1) 3 : 2 5 : .( 1) 3 :

2 2

−= − + = − +

= − = − = − − = = − = − − =

− −= + + → = + = + + → =

b rtg y f x x x f x rn y x x f xf x


xrtg y x rtg y x rn y x rn y

24 [2’5 puntos] Determina la función f: R → R tal que f′′(x) = −2 sen(2x), f(0) = 1 y ( ) 0

2f

π=

Resolución

[ ]

(́ ) ´́ ( ) 2 (2 ) 2 (2 ) 2 (2 )

cos (2 )2 cos (2 )

2

(2 )( ) (́ ) cos (2 )

2

(2.0).0 1(0) 1 2

0 (2. )2 2 . 0

2 2

π ππ

= = − = − = − =

−= − + = +

= = + = + +

+ + ==

⇒ = + + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

f x f x dx sen x dx sen x dx sen x dx

xa x a

sen xf x f x dx x a dx ax b

sena bf

Se tiene que cumplir quef sen

a b

1

. 02

1 2 (2 ) 2. 1 0 . tan , ( ) 12 2

2

π

ππ π π

=

⇒ + =

− −+ = ⇒ = ⇒ = = − +

b

a b

sen xa a a Por to f x x

resolución - i.e.s. ariceliesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-mat2-16... · 2º...

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