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2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 4.- VECTORES EN EL ESPACIO PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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- Página 1 -

1.- VECTORES. OPERACIONES

Vector fijo

Un vector fijo AB es un segmento orientado con origen en el punto A y extremo en B

Todo vector fijo

AB tiene tres elementos:

Módulo: Es la longitud del segmento AB . El módulo del vector AB se representa por

AB

Dirección: Es la que determina la recta que pasa por A y B. Sentido: Es el que va del punto A al punto B. Viene determinado por la punta de flecha. - El vector nulo

0 es el que tiene igual el origen y el extremo: tiene módulo 0 y carece de dirección y sentido

- Se dice que un vector es unitario si su módulo es 1 - Dos vectores no nulos, y

u v , con la misma dirección se dice que son paralelos.

En tal caso , y u v son proporcionales: existe k R tal que k

u v

Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes si tienen el igual módulo, dirección y sentido

Por ejemplo, los vectores AB ,

CD y

EF son equipolentes

Vector libre

Un vector libre es un conjunto de vectores fijos equipolentes entre sí. Cada uno de estos vectores se llama representante del vector libre. Para representar un vector libre tomamos cualquiera de sus representantes. Los vectores libres se suelen representar con letras minúsculas:

u ,

v , w , etc

De ahora en adelante cuando hablemos de vector sin especificar el origen y el extremo nos estamos refiriendo a un vector libre.

Suma de vectores Se puede hacer de dos formas:


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- Página 2 -

Vectores opuestos

Son vectores que tienen igual módulo y dirección pero sentidos opuestos

Por ejemplo, a y

a son vectores opuestos

Resta de vectores

Para restar vectores se le suma al primero el opuesto del segundo: ( ) u v u v

Producto de un número real por un vector

Dado un vector v y un escalar, k R, el vector k

v es un vector paralelo a

v con el mismo sentido que

v , si

k > 0 y con sentido opuesto si k < 0. Su módulo o medida es |k| |v |

Propiedades de las operaciones con vectores

Si α, R y u , v y

w vectores, se cumplen las siguientes propiedades:

1) u+

v =

v +

u 2) (

u +

v ) +

w =

u + (

v +

w ) 3)

u+

0 =

u 4) ( )

u u =

0

5) α(

u+

v ) = α

u + α

v 6) (α + )

u = α

u +

u 7) α(

u ) = (α)

u 8) 1.

u =

u 9) 0.

u =

0

El conjunto de todos los vectores del espacio con estas operaciones se representa por V3.

Lo llamamos espacio vectorial tridimensional.

Combinación lineal de vectores

Dado un conjunto de vectores u

1, u

2, u

3, …,

u

n, una combinación lineal (c.l.) de ellos es un

vector x = a

1

u

1 + a

2

u

2 + a

3

u

3 +… a

n

u

n, siendo a

1, a

2, a

3, …, a

n números reales no todos nulos

Por ejemplo, 2 1 x u v es c.l. de y

u v

Vectores linealmente dependientes y linealmente independientes

Un conjunto de vectores u

1, u

2, u

3, …,

u

n, son linealmente dependientes (l.d.) si alguno de ellos se puede

expresar como c.l. de los restantes.

Si los vectores u

1, u

2, u

3, …,

u

n, son linealmente dependientes, entonces existen a

1, a

2, a

3, …, a

n números

reales no todos nulos tal que a1

u

1 + a

2

u

2 + a

3

u

3 +… a

n

u

n= 0

Cuando los vectores no son l.d. se dice que son linealmente independientes (l.i.)


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- Página 3 -

Dos vectores no nulos, no paralelos son l.i. pero más de dos vectores coplanarios (están en el mismo plano) son l.d.

También dos o más vectores paralelos (proporcionales) son l.d.

Tres vectores no nulos y no coplanarios (no están en el mismo plano) son l.i.

pero si fuesen más de tres serían l.d.

Base del espacio vectorial V3

Una base de V3 es un conjunto de tres vectores l.i. , es decir tres vectores no nulos y no coplanarios Si B = {

u

1, u

2, u

3} es una base de V3, según las definiciones anteriores, cualquier vector

v de V3 se puede

expresar como combinación lineal de los vectores de la base: v = a

1

u

1 + a

2

u

2 + a

3

u

3.

Se puede demostrar que la expresión de v como c.l. de los vectores de la base es única.

Los números (a1, a

2, a

3) se llaman componentes del vector

v en la base B y se escribe

v = (a

1, a

2, a

3)B.

De esta forma a cada vector de V3 le corresponde una terna de números de R3

1 2 3( , , )a a a

v

3 3V R

Por ejemplo, si B = { u

1, u

2, u

3} es una base de V3 y nos dan el vector

v = 5

u

1 – 3

u

2 + u

3, las componentes

de v en la base B son (5, – 3, 1)

Si las componentes de un vector respecto a una base son ( , , )a b cv , los números (a, b, c) sirven para pasar

desde el origen al extremo del vector. “a” son las unidades que me he de desplazar sobre la dirección X (hacia adelante si a es positivo y hacia atrás si a es negativo). “b” son las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Y (hacia la derecha si b es positivo y hacia la izquierda si b es negativo). “c” son las unidades que me he de desplazar sobre la dirección Z (hacia arriba si c es positivo y hacia abajo si c es negativo).

Los vectores 1,0,0 0,1,0 0,0,1, ,

i j k son vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados y

por tanto forman una base llamada base canónica. Observa que: ( , , ) aa b c b c

v i j k .

Las componentes del vector nulo son (0,0,0)

0


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- Página 4 -

Independencia lineal de vectores dados por sus componentes

B = { u , v , w } es una base de V3

u , v y

w son l.i. rg (

u , v , w ) = 3 det (

u , v , w ) ≠ 0

Operaciones con vectores dados por sus componentes

Sean los vectores u= (a

1, a

2, a

3) ,

v = (b

1, b

2, b

3)

Suma:

u+

v = (a

1+ b

1 , a

2 + b

2 , a

3+ b

3) Resta:

u –

v = (a

1 – b

1 , a

2 – b

2 , a

3 – b

3)

Producto por un número real: k

u== (ka

1 , ka

2 , ka

3)

ACTIVIDADES

1 Calcula el valor de m para que los vectores 3 2 6 2A m y B

i j k i j k sean paralelos 2 Determina los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores

(3, , 6) ( 2,1, 3) y (1, 2,4)k k k u v w .

3 Comprueba que B = {

v

1, v

2, v

3} es una base de V3 , siendo

1v = (1, –2, 1) ,

2v = (0, 1, 3)

y 3v = (1 , 5, 1) . Halla las componentes del vector, cuyas componentes en la base canónica son

v = (1, 1, 1),

en la base B

2.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Definición

Dados dos vectores y u v , se define el producto escalar de

u y

v como el número

. . . cos , u v u v u v , siendo ,

u v el ángulo que forman los vectores y

u v

Por ejemplo, si y

u v son vectores que miden 3 y 4, respectivamente y forman un ángulo de 60º entonces su

producto escalar es 1. . . cos , 3 . 4 . cos60º 3 . 4 . 6

2

u v u v u v

Ángulo entre dos vectores

Observa que si y u v son vectores no nulos se puede despejar de la fórmula anterior

.( , )

| | .

| |cos

u vu vu v

→ .( , ) ar cos

| | .| |

u vu vu v

Si ( , ) u v es agudo, cos ( , ) 0

u v y por tanto: 0.

vu

Si ( , ) u v es obtuso, cos ( , ) 0

u v y por tanto: 0.

vu Por ejemplo, si y

u v son vectores cuyo producto escalar es 6 y que miden 3 y 4, respectivamente

entonces el ángulo que forman es 6( , ) ar cos 30º

3 . 4

u v


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- Página 5 -

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Medida de la proyección del vector

u sobre v

(OA´)

Como . . . | |( , )

| | | | .| |

proycateto contiguoproy

hipotenusacos

vv

u u v u v uu v u

u u v | |u

.

| |.| |proy

v

u vu

vv

Análogamente, la medida de la proyección del vector v

sobre u

es .

| |proy

u

u vv

u

Propiedades del producto escalar.

1)

uvvu .. 2) ( . ) ( ). .( )u v u v u v

3)

wuvuwvu ...

siendo u , v y

w vectores y R

Vectores perpendiculares u ortogonales

Dos vectores no nulos u y v

son ortogonales, u v , si su producto escalar vale 0.

, , ( , ) 90º . . .cos90º . .0 0. , . 0u v no nulos u v u v u v u v Luego u v u v

u v

Módulo de un vector

2

. . . cos 0º .1 .Como u u u u u u u u

Vectores unitarios

Dado un vector no nulo v se puede calcular un vector unitario

v´ paralelo a

v .

.

1v´ vv

Se dice que hemos normalizado el vector v

Vectores ortonormales. Base ortogonal y ortonormal

Dos vectores son ortonormales si son unitarios y ortogonales Una base del espacio vectorial V3 es ortogonal si sus vectores son ortogonales dos a dos y se dice que es ortonormal si además sus vectores son unitarios.


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- Página 6 -

Expresión analítica del producto escalar y del módulo de un vector

Si consideramos una base ortonormal del espacio tridimensional,

kjiB ,, , llamada base canónica.

Es fácil comprobar que:

1.

ii ; 1.

jj ; 1.

kk 0.

ji ; 0.

ki ; 0.

kj

Si las coordenadas de los vectores

u y

v en la base

kjiB ,, son: , , , ,u a b c v a b c

.u v a a b b c c

2 2 2u a b c

Dado un vector no nulo , ,u a b c , un vector ortogonal con u

es ´ (0, c,b)u

, pues como puedes

comprobar . ´ 0u u

Cosenos directores En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector

u= (x, y, z), a los cosenos de los ángulos que

forma el vector u con los vectores de la base.

ACTIVIDADES

4 Si 3, 4,12 5, 2, 6 7, , 2u v w k en la base

kjiB ,,

Calcula: a)

vu . b)

u y

v c) El ángulo que forman

u y

v d) La proyección de

u sobre

v

e) El valor de k para que

wu . 5 Se consideran los vectores

u = (k , 1 , 1) ,

v = (2 , 1 , −2) y

w = (1 , 1 , k), donde k es un número real.

(a) Determina los valores de k para los que u , v y

w son linealmente dependientes.

(b) Determina los valores de k para los que y u v v w son ortogonales.

6 Si vu

y son dos vectores del plano con vu

, probar que los vectores vu

y vu

son ortogonales.

7 Encuentra un vector b paralelo al eje Z tal que 5proy

c a b , siendo 3, 5, 2 (2, 1, 2)y

a c

8 Halla R tal que 8

a b sea ortogonal a 8

a b y ba 2 ( a y b no nulos).

9 Si vu

y son dos vectores ortogonales y de módulo 1, hallar los posibles valores del parámetro real a para

que los vectores vau

y vau

formen un ángulo de 60º. 10 Los vectores

a y

b forman entre si un ángulo de /4 . Si el módulo de

a es 3, ¿cuál debe ser la

longitud de b para que

a b sea perpendicular a

a ?

11 Los vectores

a y

b forman entre si un ángulo de /3 . Si el módulo de

a es 3 y el módulo de

b es 5,

calcula | |

a b . 12 Sean 1 2 3, y

v v v tres vectores no nulos perpendiculares dos a dos. Demuestra que si

c1 1

v + c2 2

v + c3 3

v = 0

entonces c1 = c2 = c3 = 0 .


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- Página 7 -

3.- PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

Definición

El producto vectorial de dos vectores u y v

es otro vector que se representa por u x v

y cumple:

1)

vxusenvuvxu 2)

uvxu )( y

vvxu )(

3) Si ( , ) 180º u v entonces u x v

tiene sentido hacia arriba y si ( , ) 180º

u v entonces u x v

tiene sentido

hacia abajo

Propiedades del producto vectorial

1) Si u y v

son paralelos entonces 0u x v

2) 0u x u

3) 0 0 0u x x u

4) u x v v x u

5)

wxuvxuwvxu y u v x w u xw v x w

6)

vaxuvxuavxua siendo a una constante cualquiera.

7) ( )u x v x w u x v x w

8) Los vectores de una base ortonormal

kjiB ,, cumplen las igualdades:

a)

kjxi b)

ikxj c)

jixk d) ( ) 0 0 )i x i x j x j e i x i x j i x k j

9) Un vector unitario en la dirección de u x v

es: 1

. u x v

u x v

Expresión analítica del producto vectorial

Si , , , ,u a b c v a b c

son las coordenadas en la base

kjiB ,, entonces

i j k

u x v a b c

a b c

Aplicaciones geométricas del producto vectorial

Área del paralelogramo = | |u x v

Área del triángulo = | |

2

u x v


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- Página 8 -

ACTIVIDADES

13 Halla un vector de módulo 3 perpendicular a los vectores 2, 1, 0 3, 2, 1u y v

14 Dados los vectores 3, 1, 1 2, 3, 4y

u v , halla:

a) Los módulos de y u v b) El producto vectorial de y

u v c) Un vector unitario ortogonal a y

u v

d) El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y u v

15 Calcula el valor de a para que el producto vectorial de los vectores (a, −a, 2) y (2, a, 1) sea proporcional al vector (1, 1, 0).

4.- PRODUCTO MIXTO DE VECTORES

Definición

Se define el producto mixto de tres vectores

wvu ,, y se escribe

wvu ,, como el número

, , .u v w u v x w

Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, su producto mixto vale 0.

Interpretación geométrica del producto mixto

, , . cos cos . ( , , )paralelepípedou v w u v x w u v x w v x w u área dela base altura V u v w

, , ( , , )paralelepípedou v w V u v w

Además, como el paralelepípedo puede descomponerse en 6

tetraedros:, ,

6tetraedro

u v wV

Expresión analítica del producto mixto de tres vectores

Sean los vectores , , , , , , ,u a b c v a b c y w a b c

en la base

kjiB ,, .

Entonces: , ,

a b c

u v w a b c

a b c


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- Página 9 -

ACTIVIDADES

16 Determina el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores

3, 5,1 2,1, 1 1,4,u v y w k sea 311u

17 Considera los vectores

u = (1,−1, 0),

v = (0, 1, 2),

w = (1 + α, 2α, 2 − 3α). Halla los valores de α en cada

uno de los siguientes casos:

a) ,u v y w

están en el mismo plano. b) w es perpendicular a u y a

v .

c) El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores ,u v y w

es 1/6.

18 Suponiendo que .u v x w

= 2, halla: a) .v u x w

b) .u w x v

c) .u x v v

d) .u x u w

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1.- VECTORES. OPERACIONES

1 Si u = (1, 2, 3) ,

v = (2, 2, –1) y

w = (4, 0, –4), calcula: a) 2

u + 4

v –

w b) 5

u – 3

v – 1

2

w

2 ¿Para qué valores de “a” los vectores (1,1,1) (1, ,1) y (1,1, )a a

u v w forman una base?

Escribe u como combinación lineal de y

v w , siendo “a” el valor calculado.

3 Averigua si los vectores (2, 3, –1) , (1, –1, 3) y (1, 9, –1) son coplanarios 4 Determina cuáles de los siguientes vectores son paralelos al vector 3, 2, 5

a

3 1012, 8, 20 , 2, , , 6 4 10 3 2 10

4 3y

u v w i j k h i j k

5 Considera los vectores

u = (1, 1, m),

v = (0, m, −1) y

w = (1, 2m, 0).

(a) Determina el valor de m para que los vectores u, v y w sean linealmente dependientes. (b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w como combinación lineal de los vectores u y v. 6 Siendo

u= (1, 0, 1),

v = (1, 1, 0) y w

= (0, 1, 1), demuestra que dichos vectores son linealmente

independientes y expresa el vector m = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.

2.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

7 Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1). 8 Respecto de una base ortonormal, las coordenadas de tres vectores

son 3, 1,5 4,7,11 2, ,3u v w k .

a) Calcula

vu . b) Determina k para que

v y

w sean perpendiculares 9 Determina los cosenos directores del vector (1, 2, −3).


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- Página 10 -

10 Sean

u = (x , 2 , 0),

v = (x , −2 , 1) y

w = (2 , −x , −4x) tres vectores de R3.

(a) Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes. (b) Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos. 11 Considera los vectores

u = (1, 1, 1),

v = (2, 2, a) y

w = (2, 0, 0)

(a) Halla los valores de a para que los vectores , y u v w sean linealmente independientes.

(b) Determina los valores de a para que los vectores y u v u w son ortogonales.

12 Determina un vector

u paralelo a

v = 3

i + 2

j + 2

k que verifique .

u v = 3.

13 Dados

a = (2 , 1 , 2) y

b= (−3, 4 , 5), halla un vector unitario que tenga la misma dirección que 3

a b

14 Si

v = (2, 2 −1) y

w = (4, 0, −4), calcula | | .

z v w

15 Demuestra que si el vector

w es ortogonal a los vectores y

u v , también lo es cualquier combinación

lineal de y u v

16 Dados los vectores (3, 1, 1), (2, 0, 3) (2, 1, 2)y

u v w , halla la proyección de

u v sobre

w

17 Determina el ángulo que forman los vectores (8, 4, 3) ( 8, 5, 3)y

a b

3.- PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

18 Halla un vector de módulo 2 perpendicular al plano de los vectores 2, 1, 0 3, 2, 1u y v

19 Dados los vectores 3, 1, 0 , 4, 2, 1 2, 1, 2a b y c .

Halla un vector v

ortogonal a y

a b tal que 6proy

c v

20 Calcula el área del triángulo definido por los vectores: 3, 5, 1 4, 7, 6u y v

21 Halla un vector perpendicular a 2, 3, 4 1, 3, 5y

u v y que sea unitario.

22 Se consideran los vectores

v = (2 , 1 , −2) y

w = (1 , 1 , k), donde k es un número real.

Para k = −1, determina aquellos vectores que son ortogonales a y v w y tienen módulo 1.

23 Sean los vectores 1 2 3(0, 1, 0) , (2, 1, 1) y (2, 3, 1)

v v v :

(a) ¿Son los vectores 1 2 3, y v v v linealmente dependientes?

(b) ¿Para qué valores de a el vector (4 , a + 3 , −2) puede expresarse como combinación lineal de los vectores

1 2 3, y v v v ? (c) Calcula un vector unitario y perpendicular a 1 2 3, y

v v v .

4.- PRODUCTO MIXTO DE VECTORES

24 Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por: 1,2,3 2,1,0u v y w u x v

25 Halla x para que el volumen del paralelepípedo definido por 1,1,1 1,0, 2, 1,1u v x y w


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- Página 11 -

sea 7.

26 Halla el volumen del paralelepípedo determinado por , ,i j j k i k

27 Calcula el producto mixto x , x ,u v v w w x u

, siendo 1,0,1 0,1,1 1,1,0u v w

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 1 Explica por qué cualquier vector del espacio puede escribirse como combinación lineal de los vectores 1v = (1, –2, 1) ,

2v = (0, 1, 3) y

3v = (–2 , 5, 1)

2 Dados los vectores

u= (1, 2, 3),

v = (2, 1, 0) y

w = (−1, −1, 0), demuestra que dichos vectores forman una

base y calcula las coordenadas del vector (1, −1, 0) respecto de dicha base. 3 Halla el producto escalar de los vectores (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1). 4 Calcula el valor de m para que los vectores 2, 3,5 ,2,3y m sean ortogonales 5 Sabiendo que B = {

u , v , w } es una base ortonormal de V3, halla el valor del parámetro k para que los

vectores 2 3 e kk

u v w u v wx y sean: a) Ortogonales. b) Paralelos.

6 Determina el valor de a, para que los vectores (2, , 3) (1, 2, )a y a

u v sean ortogonales.

7 Determina la medida de la proyección del vector sobre

a b y de sobre

b a en los siguientes casos:

a) a = −5

i +5

j

b = −3

i + 4

j b)

a = −

i − 2

j +7

k

b = 6

i − 3

j − 2

k

8 Dados los vectores (3, 2, 5) (1, 0, 1)y u v , calcula , y

u v u v y comprueba que

u v u v

9 Halla el ángulo que forman los vectores: a) (1,1, 1)u

y (2,2,1)v

b) )6,2,3(u

y )1,5,4(v

10 Halla dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).

11 Calcula u x v

y comprueba que es ortogonal a y u v .

Halla además el área del paralelogramo determinado por y u v .

a) u

= (2, −3, 1) v

= (1, −2, 1) b) u

= (12, −3, 0) v

= (−2, 5, 0)

12 Dados los vectores 2,1,3 1,2,3 1, 1,0u v w , halla el producto mixto , ,u v w

.

¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados?

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