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2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMA 5.- FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS

Definición de función

Una función real de variable real f es una forma de hacerle corresponder a un número real “x” un único número real “y = f(x)”. Se suele representar así: f: R R , y = f(x)

Si en la función f sustituimos el valor x = a obtenemos el valor y = f(a), llamado imagen de “a”. El conjunto de todos los puntos del plano (x, y) que cumplen la fórmula o ecuación y = f(x) se llama gráfica de la función f.

Ejemplo:

Si f es la función dada por la expresión o fórmula f(x) = 3x +2, la imagen de x = 4 es

f(4) = 3.4 + 2 = 14 La gráfica de esta función f es el conjunto de puntos (x, y) que cumplen y = 3x + 2 (que es una recta)

Dominio de una función

El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores “x” para los que exista f(x). Se representa por D(f).

Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

D(f) = R – { – 4}

Si sólo tenemos la fórmula y queremos calcular el dominio tenemos que averiguar los valores de la “x” para los que se puede calcular la fórmula.

Ejemplo:

Si 3x 2

f(x)2x 1

, la fórmula no se puede calcular cuando el denominador es cero.

Como 2x – 1 = 0 x = 1

2 D(f) = R – {

1

2}

Puntos de corte de dos gráficas

Para calcular los puntos de corte de las gráficas de dos funciones f(x) y g(x) resolvemos

el sistema y f(x)

y g(x)

. Si el sistema no tiene solución entonces las gráficas no se tocan

Puntos de corte de una función con el eje X

Como la ecuación del eje X es y = 0, para calcular los puntos de corte de la gráfica de una función f(x)

con el eje X resolvemos el sistema y f(x)

y 0

. Obtenemos entonces la ecuación f(x) = 0.

Si la ecuación no tuviese solución, entonces la gráfica no corta al eje X


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Si conocemos los puntos de corte con el eje X podemos saber en qué intervalo del eje X es f(x) > 0.

Por ejemplo, esta función corta al eje X en los puntos (– 1, 0) y (3, 0).

La función es positiva en el intervalo (– 1, 3) pues en este intervalo la gráfica está por “encima” del eje X

Puntos de corte de una función con el eje Y Como la ecuación del eje Y es x = 0, para calcular el punto de corte con el eje Y resolvemos el sistema

y f(x)

x 0

. Obtenemos entonces x = 0 , y = f(0), que da lugar al punto (0, f(0)).

Si no existe f(0) entonces la gráfica no corta al eje Y

Continuidad de una función Una función es continua cuando su gráfica no tiene ninguna

“rotura” y, por tanto, se puede dibujar de un solo trazo.

Ejemplos:

Esta gráfica corresponde a una

función continua

Esta gráfica corresponde a una función discontinua.

Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 3

Monotonía de una función

Estudiar la monotonía de una función es averiguar los intervalos del eje X donde la función es creciente, decreciente o constante.

Ejemplo

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

Es creciente en el intervalo (– 2 , 1), pues la gráfica correspondiente es ascendente Es decreciente en (– 4 , – 2) U (1 , ∞) pues aquí su gráfica es descendente Es constante en el intervalo (– ∞ , – 4) pues su gráfica en este intervalo es horizontal


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Extremos de una función Estudiar los extremos de una función es determinar los máximos y mínimos relativos de la función.

Una función tiene un máximo relativo en un punto A(a,b), si en dicho punto la función es continua y pasa de creciente a decreciente.

Se suele decir que la función alcanza un máximo relativo en x = a y el valor máximo que alcanza es b.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto A(a,b), si en dicho punto la función es continua y pasa de decreciente a creciente.

Se suele decir que la función alcanza un mínimo relativo en x = a y el valor mínimo que alcanza es b.

Si el máximo relativo corresponde al mayor valor de la función se dice que el máximo es absoluto y si el mínimo relativo corresponde al menor valor se dice que el mínimo es absoluto

Ejemplo

Máximos relativos: A y B (A es un máximo absoluto). La función alcanza un máximo en x = 8 y en x = 16 .

Mínimo relativo: C (no es mínimo absoluto). La función alcanza un mínimo en x = 12

2.- FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones cuya gráfica es una recta

Todas las funciones cuya fórmula es del tipo f(x) = mx + n, con m, n ∈ R tienen como gráfica una línea recta. Por ser una función polinómica, su dominio de definición es R. El coeficiente de x se llama pendiente de la recta Si la pendiente es positiva, la función es creciente, si es negativa decreciente y, si es 0, es constante Estas funciones se pueden clasificar en tres tipos:

- Funciones lineales: Son del tipo f(x) = mx , con m 0. La gráfica de estas funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas O(0,0).


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Por ejemplo: f(x) = 3x , f(x) = –2x son funciones lineales.

X

Y

Función creciente

y = 3x 3

1

m = 3 > 0

Si la pendiente es positiva la función es creciente.

X

YFunción

decrecientey = -2x

-2

1

m = -2 < 0

Si la pendiente es negativa la función es decreciente

- Funciones afines: Son del tipo f(x) = mx + n , con m , n 0. La gráfica de estas funciones es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas O(0,0). El término independiente de la fórmula, n, se llama ordenada en el origen.

La recta corta la eje Y en el punto (0, n)

Por ejemplo: f(x) = 2x – 5 , f(x) = –3x + 1 son funciones afines.

X

Y

y = 2x - 5

-5

1

-3

La pendiente es 2 y la ordenada en el origen –5

X

Y

y = -3x + 1

-2

11

La pendiente es –3 y la ordenada en el origen 1

- Funciones constantes: Son del tipo f(x) = n. La gráfica de estas funciones es la recta horizontal que pasa por el punto (0, n). Por ejemplo: f(x) = 1 , f(x) = –5 son funciones constantes.

X

Y

y = 1

1

X

Y

y = -5-5


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Funciones cuadráticas Las funciones cuadráticas son aquellas cuya fórmula viene dada por un polinomio de 2º grado.

Estas funciones se expresan de la forma f(x) = ax2 + bx + c , siendo a ≠ 0 y su gráfica es una parábola. Por ser una función polinómica, su dominio de definición es R. Si a > 0 , la parábola tiene las ramas hacía arriba. Decimos entonces que la función es convexa

V(xv , yv)

e: x = xv

V = vértice

e = eje de simetría

El vértice V es un mínimo absoluto

Si a < 0 , la parábola tiene las ramas hacía abajo. Decimos entonces que la función es cóncava

V(xv , yv)

e: x = xv

V = vértice

e = eje de simetría

El vértice V es un máximo absoluto

El vértice de la parábola, V(xv , yv) , se calcula por las fórmulas: f( )

v

v v

bx =

2a

y = x

−

Funciones de proporcionalidad inversa

Son aquellas del tipo k

f(x)x

, siendo k ≠ 0. En estas funciones, D(f) = R – { 0 }

La gráfica de este tipo de funciones es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas. Las asíntotas son rectas hacía las que tiende a acercarse la gráfica de la función sin llegar a tocarlas.

Si k > 0 , la función es decreciente y la gráfica es una hipérbola situada en el I y III cuadrantes.

Ejemplo:

Si k < 0 , la función es creciente y la gráfica es una hipérbola situada en el II y IV cuadrantes.

Ejemplo:

Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta a los ejes de coordenadas

Funciones exponenciales de base a Son aquellas cuya fórmula es del tipo f(x) = ax , con a > 0, a ≠ 1

La gráfica de este tipo de funciones y que corta al eje Y en el punto (0,1) y tiene como asíntota horizontal al eje X.

En estas funciones, D(f) = R , Im(f) = (0, ∞)


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Si a > 1 , es creciente.

Ejemplo: X

Yy = 2x

1

Si a < 1 , es decreciente.

Ejemplo:

X

Yy = (⅓)x

1

Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta al eje X La función exponencial más importante en matemáticas es la de base el número “e”:

f(x) = ex , siendo 1

lim 1 2,718281828....n

n

en

número irracional.

Funciones logarítmicas de base a

Su fórmula es del tipo y = loga (x) [logaritmo en base a de x] , con a > 0, a ≠ 1. En estas funciones

D(f) = (0, ∞) Recuerda: y = loga (x) ay = x

Si la base es 10, entonces log10

(x) se escribe simplemente log (x) y se llama logaritmo decimal de x

Si la base es el número “e”, entonces loge (x) se escribe simplemente ln (x) ó L (x) y se llama

logaritmo neperiano o logaritmo natural de x

- Si queremos calcula log x ó ln x podemos hacerlo directamente con la calculadora usando las teclas log y ln, respectivamente Por ejemplo, log 7 =0,84509804… ln 60 = 4,094344562… (compruébalo) - Si queremos calcular log

a x (siendo a 10) podemos proceder así:

loga x = y ay = x ln(ay) = ln(x) y. ln(a) = ln(x)

ln( ) ln( )log ( )

ln( ) ln( ) a

x xy x

a a

Por ejemplo, para calcular log2 6, lo haríamos así:

log2 6 = y 2y = 6 ln(2y) = ln(6) y. ln(2) = ln(6)

ln(6)2,584962501... ( )

ln(2) y compruébalo

La gráfica de la función logarítmica de base a es una curva que corta al eje X en el punto (1, 0) y tiene como asíntota vertical al eje Y.

Si a > 1 , es creciente. Ejemplo:

X

Yy = log2 (x)

1

Si a < 1 , es decreciente. Ejemplo:

X

Y

y = log1/3 (x)

1

La función logarítmica más importante es la función logaritmo neperiano: f(x) = ln(x)


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Funciones definidas a trozos

Son aquellas cuya fórmula está formada por dos o más expresiones, cada una definida en un

intervalo diferente. Por ejemplo, y = x 3 , si x 4

x , si x 4

− <− ≥

es una función definida en dos intervalos:

En ( – ∞ , 4 ) la gráfica es la semirrecta abierta y = x – 3 de extremo A(4,1)

En [ 4 , ∞ ) la gráfica es la gráfica es la semirrecta cerrada y = –x de extremo B(4,– 4)

X

Y

4y = x - 3

y = - x

Ejercicio de clase 1 Sea la función 2

2

1 , si x 0

f(x) x 1 , si 0 x 4

x 8x 17 , si x 4

.

Represente gráficamente la función f. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución


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- Página 8 -

Ejercicio de clase 2 El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año,

viene dado por la función B(t) expresada a continuación

21t t 5 , si 0 t 6

8B(t)t 1

, si 6 t 122

, t es el tiempo

transcurrido en meses. Represente gráficamente la función B(t). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió? (Propuesto PAU Andalucía 2011)

Solución

El beneficio fue máximo a los 12 meses (1 año)y ascendió a 6,5 miles de € (6500 €)


2, si x 1

xf(x)

x 4x 5 , si x 1

. Represéntela gráficamente.

(Propuesto PAU Andalucía 2010) Solución


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Ejercicio de clase 4 El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la

función

25x 40x 60 , si 0 x 6f(x) 5x

15 , si 6 x 102

donde x representa el gasto en publicidad, en miles de €.

a) Represente la función f . b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas. c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos? d) Calcule el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál es ese beneficio máximo?


) 2000 € 10000 € c) 2000 € 6000 € ) 4000 € 20000 €b A partir de hasta Para y d con un beneficio de

Ejercicio de clase 5 Sea la función

2x2x , si x 4f(x) 22x 8 , si x 4

. Represéntela gráficamente e indique,

a la vista de la gráfica, su monotonía y sus extremos. (Propuesto PAU Andalucía 2005) Solución

creciente en ( , 2) (4, ) ; decreciente en el intervalo (2, 4)

máximo (relativo) : V(2, 2) ( x 2, y 2) ; mínimo (relativo): (4, 0) ( x 4, y 0)

∪


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Ejercicio de clase 6 El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversión de x

millones de pesetas produce una ganancia de f(x) millones de pts, siendo: 2x 8x 8

, si 0 x 550 25 5f(x)5

, si x 52x

a) Represente la función f(x) b) Halle la inversión que produce máxima ganancia c) Halle el valor de la inversión que produce ganancia nula. (Propuesto PAU Andalucía 2001)

Solución

b) 5 millones de ptas c) 4 millones de ptas

Ejercicio de clase 7 Sea

x

2

2 , si x 1

f(x) x 3 , si 1 x 2

x 3 , si x 2

Represente gráficamente la función y, a la vista de su gráfica, determine sus máximos y mínimos relativos, así como su crecimiento y decrecimiento. (Propuesto PAU Andalucía 2000)

Solución

máximo (relativo): (0, 3) ( x 0, y 3) ; mínimo (relativo) y absoluto : (2, 1) ( x 2, y 1)

creciente en ( , 0) (2, ) ; decreciente en el intervalo (0, 2)

∪


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Ejercicio de clase 8 Dada la función 2

2x 3 , si x 1

f(x) x 2 , si 1 x 1

L(x) , si x 1

Represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 2000) Solución

3.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Tomemos, por ejemplo, la función f dada por la expresión 2x 1 , si x 3

y f(x) 1, si x 3

x 3

Concepto de límite por la izquierda

Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x menores que 3, cada vez más próximos a 3. Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores:

Observamos que y tiende a 5.

Se dice entonces que cuando “x” tiende a 3, por la izquierda, la ”y” tiende a 5.

Se simboliza así:

x 3

lim f(x) 5 . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a 3 por la izquierda, es igual a 5”

En general, el límite de una función cuando x tiende a “a” por la izquierda es el valor al que tiende la “y” cuando se toman valores de “x” menores que “a” cada vez más próximos a “a”.

Se representa así:

x a

lim f(x)

En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞.

x 3– 2,8 2,9 2,99 …

como x < 3, y = 2x – 1 4,6 4,8 4,98 …


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Concepto de límite por la derecha

Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x mayores que 3 y cada vez más próximos a 3 Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores:

Observamos que y tiende a ∞.

Se dice entonces que cuando “x” tiende a 3, por la derecha, la”y” tiende a ∞

Se simboliza así:

x 3

lim f(x) . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a 3 por la derecha, es igual a ∞”

En general, el límite de una función cuando x tiende a “a” por la derecha es el valor al que tiende la “y” cuando se toman valores de “x” mayores que “a” cada vez más próximos a “a”.

Se representa así: x a

lim f(x)

En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞ .

Los límites por la izquierda y por la derecha se llaman límites laterales

Interpretación sobre la gráfica

Gráficamente significa que: - La gráfica que hay a la izquierda de 3 tiende al punto de valor y = 5 al acercarnos cada vez más al 3 - La gráfica que hay a la derecha de 3 se dirige hacia arriba al acercarnos cada vez más al 3

Límite de una función f en un punto x = a

Decimos que una función f tiene límite en un punto x = a cuando los límites laterales coinciden:

x a

lim f(x) = x a

lim f(x)

El límite de la función f cuando x tiende a “a”, x alim f(x) , es el valor común de los límites laterales.

En la función del ejemplo anterior, x 3lim f(x) pues los límites laterales no coinciden:

x 3

lim f(x) 5 ,

x 3

lim f(x)

Observaciones - Si sólo se puede calcular uno de los límites laterales, diremos que la función tiene límite.

- Para poder calcular los límites laterales en el punto x = a no es necesario que exista f(a). Fíjate que en la función del ejemplo no existe f(3).

Asíntotas verticales

Decimos que una función f tiene una asíntota vertical en un punto x = a si alguno de los límites laterales, o los dos, son ∞ ó –∞. La ecuación de la asíntota vertical es A.V. : x a

x 3+ 3,01 3,001 3,0001 …

como x > 3, y = 1

x 3 10 100 1000 …


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En el ejemplo anterior, la recta de ecuación x = 3 es una asíntota vertical, pues

x 3

lim f(x)

Propiedades fundamentales de los límites puntuales.

x a x a x alim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)

x a x a x alim f(x).g(x) lim f(x) . lim g(x)

x a

x ax a

lim f(x)f(x)

limg(x) lim g(x)

Cálculo de límites puntuales usando la fórmula

Basándose en las propiedades de los límites puntuales, si la función f viene dada por una fórmula, para calcular

x alim f(x) , se sustituye “x” por “a” en la expresión de f(x).

Por ejemplo,

x 2lim (3x 1 ) 3. ( 2 )1 7

* Si la función es constante entonces el límite es el mismo número. Por ejemplo,

x 3lim 7 7

* Si la función es definida a trozos y “a” es el punto donde cambia de expresión la función, tenemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden.

* Si al calcular x alim f(x) , sustituyendo “x” por “a”, obtenemos L

0 , siendo L 0, debemos calcular los

límites laterales y ver si ambos coinciden. Los valores de los límites laterales siempre van a ser ∞ ó – ∞ pues al dividir un número no nulo, L, entre números que tienden a cero obtenemos valores que tienden a ∞ ó a –∞.

* Si al calcular x a

p(x)lim

q(x), obtuviéramos

00

, debemos dividir ambos polinomios por (x – a)

Continuidad a partir del límite puntual

Recuerda que para que una función sea continua, su gráfica no puede tener ninguna rotura. Por ejemplo, la siguiente función no es continua en x = a porque las ramas no “conectan” , fíjate que los límites laterales en x = a son distintos, o dicho de otra forma, no existe

x alim f(x)


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Tampoco es continua, en x = a, la siguiente función, porque aunque las ramas conectan (existe

x alim f(x)= b), no coincide con f(a). Por eso su gráfica tiene un “agujero”

Luego, para que una función f sea continua en x = a se debe cumplir que

x alim f(x)= f(a)

O lo que es lo mismo, se tienen que dar las siguientes condiciones:

C1: Debe existir f(a) C2: x a

lim f(x) =x a

lim f(x)= f(a)

Se puede demostrar que todas las funciones, que no sean definidas a trozos, son continuas en su dominio de definición.

Tipos de discontinuidades

Discontinuidad asintótica o de salto infinito

Se da cuando

x a

lim f(x) y/o

x a

lim f(x) .

Ejemplos:

x a

lim f(x)

x a

lim f(x)

x a

lim f(x)

x a

lim f(x) L

x a

lim f(x)

x alim f(x)

( f(a) ) ( f(a) ) (f(a) = b )

En todos los casos, la asíntota vertical es la recta de ecuación A.V. : x = a


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Discontinuidad de salto finito

Se da cuando

x a

lim f(x) b ,

x a

lim f(x) c , pero b ≠ c

Ejemplos:

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) c

x a

lim f(x) c

x a

lim f(x) c

(f(a) = c ) ( f(a) ) (f(a) = d )

Discontinuidad evitable

Se da cuando

x alim f(x) b , pero b ≠ f(a)

Ejemplos:

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

x a

lim f(x) b

(f(a) = c) ( f(a) )

Concepto de límite en +∞

Sea f la función dada por la expresión y = 6x 13x

Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x muy grandes y cada vez más grandes. Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores

x ∞ 100 200 300 …

y = 6x 13x

2,0033 2,0017 2,0011 …

Observamos que y tiende a 2. Se dice entonces que cuando “x” tiende a ∞, la ”y” tiende a 2.

Se simboliza así:

xlim f(x) 2 . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a ∞, es igual a 2”


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En general, el límite de una función cuando x tiende a ∞ es el valor al que tiende la “y” cuando se toman valores de “x” infinitamente grandes. En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞. Se representa así:

xlim f(x) .


X

Y

2

Gráficamente significa que la gráfica, por el extremo de la derecha, se aproxima cada vez más a la recta horizontal de ecuación y = 2.

Concepto de límite en – ∞

Sea f la función dada por la expresión y = 3x2 Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x negativos y que en valor absoluto sean muy grandes y cada vez más grandes. Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores

x – ∞ –100 –200 –300 … y = 3x2 30 000 120 000 270 000 …

Observamos que y tiende a ∞.

Se dice entonces que cuando “x” tiende a –∞, la ”y” tiende a ∞. Se simboliza así:

xlim f(x) . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a –∞, es igual a ∞”

En general, el límite de una función cuando x tiende a –∞ es el valor al que tiende la “y” cuando se toman valores de “x” negativos e infinitamente grandes en valor absoluto. En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞. Se representa así:

xlim f(x) .


X

Y

Gráficamente significa que la gráfica, por el extremo de la izquierda, tiende hacia arriba


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Asíntotas horizontales Decimos que una función f tiene una asíntota horizontal si alguno de los límites en ∞ ó –∞, o los dos, son un número, L. La ecuación de la asíntota horizontal es A.H : y = L

Por ejemplo, la función cuya gráfica es X

Y

2

tiene una asíntota

horizontal, que es la recta de ecuación A.H.: y = 2 , porque

xlim f(x) 2

Propiedades fundamentales de los límites en el infinito.

x x xlim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)

x x xlim f(x).g(x) lim f(x) . lim g(x)

x

xx

lim f(x)f(x)

limg(x) lim g(x)

Límite en el infinito de una función polinómica

Fíjate:

4

xlim ( 5x 2x 3 ) =

4

44x

5x 2x 3lim .xx

=

44

4 4 4x

5x 2x 3lim .xx x x

=

��

tiendea0 tiendea0 tiendeatiendea 54

3 4x

2 3lim 5 . x 5.x x

Se puede demostrar que,

n n

x xlim p(x) lim ax , siendo ax el término principal del polinomio p(x)

Razonando de igual forma:

n n


En general:

n n


Por ejemplo,

3 3 3

x xlim ( 2x 7x 1 ) lim ( 2x ) 2. ( ) 2. ( )

Como

xlim p (x ) , las funciones polinómicas no tienen asíntotas

Límite en el infinito de una función racional

Fíjate:

4

4 2

4 2 4 4 4 2 4dividimosporlamayorpotenciadex,queesx3 3x x x

3 44 4 4

3x 2x 1 2 133x 2x 1 3x x x x xlim lim lim

2 1 42x x 4 2x x 4 0x x xx x x


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De otra forma,

4 2 44 2 4

x x3 3 3 3x x x

x x

lim ( 3x 2x 1 ) lim ( 3x )3x 2x 1 3x 3 3lim lim lim x .2 22x x 4 lim (2x x 4 ) lim (2x ) 2x

Se puede demostrar que

mm n

nx x

p(x) axlim lim , siendo ax y bx los términos principales de los polinomio p(x) y q(x)

q(x) bx

Razonando de igual forma:

mm n

nx x


q(x) bx

En general:

mm n

nx x


q(x) bx

Se pueden demostrar las siguientes reglas:

Sea p(x)

f(x)q(x)

; axm = término principal de p(x); bxn = término principal de q(x)

x

0, si m n. En este caso, hay una A.H. de ecuación A.H. : y 0

lim f(x) a a, si m n. En este caso, hay una A.H. de ecuación A.H. : y

b b

Si m > n,

xlim f(x) y, por tanto, no hay A.H.

Sin embargo, si m – n =1 hay una asíntota oblicua de ecuación A.O.: y = mx + n

siendo

x x

f(x)m lim , n lim f(x) mx

x

Posición de la gráfica respecto de la asíntota

La gráfica está por encima de la asíntota en +∞ cuando ygráfica > yasíntota

.

Es decir, cuando f(x) – yasíntota

> 0

La gráfica estará por debajo de la asíntota en +∞ cuando ygráfica < yasíntota

.

Es decir, cuando f(x) – yasíntota

< 0

El mismo razonamiento se puede hacer en –∞


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- Página 19 -

Ejercicio de clase 9 Sea f(t) el porcentaje de ocupación de un determinado complejo hotelero en

función del tiempo t, medido en meses, transcurrido desde su inauguración: 25

t 20t , si 0 t 62f(t)

90t 240, si t 6

t 4

a) ¿Evoluciona la función f de forma continua? b) ¿Cuál sería el porcentaje de ocupación al finalizar el segundo año? c) ¿En qué momentos el porcentaje de ocupación sería del 40%? d) ¿Llegaría en algún momento a estar completo en caso de que estuviese abierto indefinidamente?


a) Nos piden averiguar si f es continua. Observamos que f está definida en el intervalo [0, )

90t 240y está compuesta por funciones continuas en su dominio. Observamos que en ,

t 4t 4 anula el denominador ; pero esta fracción sólo se defin

2 2

t 6 t 6

t 6t 6

2

e para t 6.

Por tanto, para t 6, la función es continua.

5 5lim f(t) lim t 20t .6 20.6 30

2 290t 240 90.6 240

Veamos el caso t 6 lim f(t) lim 30 . Por tanto, f es contint 4 6 4

5f(6) .6 20.6 30

2

ua en t 6

Luego, f evoluciona de forma continua

90 . 24 240b) Como 2 años 24 meses, nos piden f(24) 68,57%

24 4

2

2 2

5t 20t 40 , si 0 t 6

2c) Nos piden encontrar los valores de t para que f(t) 4090t 240

40 , si t 6t 4

5 5* t 20t 40 t 20t 40 0 .

2 2Resolviendo obtenemos t 4 (al estar entre 0 y 6 es una solución válida)

90t 240* 40 90t

t 4

240 40(t 4) .

Resolviendo obtenemos t 8 (al ser mayor que 6 también es una solución válida)

Por tanto, la respuesta es a los 4 meses y a los 8 meses

�

�

tiende a 0

t t t t t

tiende a 0

90t 240 2409090t 240 90t t tc) Nos piden averiguar si lim f(t) 100. lim f(t) lim lim lim 90

t 4 4t 4 11t t t

Por tanto, la respuesta es no. Porque como máximo llegaría al 90%


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- Página 20 -


1, si x 0

x 4f(x) x 3 , si 0 x 2

x 1 , si x 2

Estudie la continuidad de la función en su dominio y clasifique sus discontinuidades, en caso de que exista alguna.


x 0 x 0

xx 0

1Observamos que f está definida en R, pues. no se puede calcular si x 4, pero esta fracción sólo

x 4se define para x 0.

Los úni cos puntos donde pudiera no ser continua son x 0 y x 2

1 1 1lim f(x) lim

x 4 0 4 4x 0 lim f(x) lim

0

x 2 x 2

2 2

x 2x 2

2

(x 3) 0 3 3 . Por tanto, f tiene una discontinuidad de salto finito en x 0

1 1f(0)

0 4 4

lim f(x) lim (x 3) 2 3 5

x 2 lim f(x) lim (x 1) 2 1 5 . Por tanto, f tiene es continua en x 2

f(2) 2 1 5

Ejercicio de clase 11 La cantidad, C, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su

liquidez, x, según la función

150 5x, si 10 x 50

100C(x)200 10x

, si x 5025 3x

donde C y x están expresadas en miles

de euros. a) Justifique que C es una función continua. b) Calcule la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución ) 50, ( ) exp

( 25 3 0 50)

a Para x C x es continua porque sus resiones corresponden a funciones continuas

observese que x cuando x

50 50

50 50

50

150 5 150 5 . 50lim ( ) lim 4

100 100 150 5 . 5050 ; (50) 4

200 10 200 10 . 50 100lim ( ) lim 4

25 3 25 3 . 50

lim ( ) (50), 50

x x

x x

x

xC x

Si x Cx

C xx

Como C x C en x también es continua

200 10 10 10 10) lim ( ) lim lim . . en :

25 3 3 3 3

x x x

x xb Como C x La asíntota horizontal en es A H y

x x

10inf , 3,333 3333 €

3Cuando la liquidez del Banco tiende a ser initamente grande la cantidad dedicada a créditos tiende a


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- Página 21 -

Ejercicio de clase 12 Sea la función 3 2

2x 5, si x 2

x 4f(x)

x 3x , si x 2

. Determine y represente gráficamente

sus asíntotas. Calcule el punto donde la gráfica de la función f corta al eje de ordenadas. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución 2.( 4) 5 13

4 0 4, ( 4)4 4 0

Como x x f

4

13lim ( ) , . .: 4

0

xy f x la asíntota vertical es AV x

3 2 3lim ( ) lim ( 3 ) limx x x

Como f x x x x No hay asíntota horizontal en

2 5 2lim ( ) lim lim 2 . . en : 2

4x x x

x xComo f x La asíntota horizontal en es AH y

x x

2.0 5 5

( ) : (0, (0)) (0, ) (0, )0 4 4

Punto de corte con el eje de ordenadas eje Y f

Ejercicio de clase 13 Se considera la función f, definida a trozos por la expresión

2x x 6 , si x 2f(x)

x 2 , si x 2

a) Estudie la continuidad de la función. b) Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de corte con los ejes. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución ) 2, ,a Para x f es continua porque se compone de funciones polinómicas que son continuas

2

2 2

2 2

2

lim ( ) lim ( x 6) 4

; (2) 4 2. ,lim ( ) lim (x 2) 4

x x

x x

Estudio de la continuidad en x

f x x

f f es continua en x Luego f es continua en Rf x

b) Puntos de corte con los ejes: Eje Y: (0, f(0)) ; corta al eje Y en (0, 6)

Eje X: f(x) = 0 ;2 x 6 0 2, 3 ( , 2)

( 2,0)2 0 2

x x x no válido pues debe ser xcorta al eje X en

x x


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- Página 22 -

Ejercicio de clase 14 Se considera la función

2x 2 , si 0 x 2f(x) 8x a

, si x 2x 1

a) Determine el valor de a para que la función sea continua. b) Halle sus asíntotas para a = – 10. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución

2) 2, . 2 lim ( ) (2)

xa Para x f es continua Debemos imponer que sea continua en x Se debe cumplir f x f

2 2

2 2

2 2

lim ( ) lim ( 2) 2 2 6

; (2) 68 8.2

lim ( ) lim 161 2 1

2 6 16 10

x x

x x

f x x

fx a a

f x ax

Para que f sea continua en x debe ser a a

1

2

22, 0 2

) 10, ( ) ; 1 0 1, (1) 1 2 3 lim ( ) 3.8 10, 2

1

tan ,

8 10 8lim ( ) lim lim 8

1

x

x x x

x si x

b Para a f x x x pero f y f xxsi x

x

Por to no hay asíntotas verticales

x xf x

x xComo , . . : 8

lim ( ) porque f sólo está definida en [0, )

x

la asíntota horizontal en es A H y

f x

Ejercicio de clase 15 Halle las asíntotas de la función 7x

p(x)3x 12

. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución 7.4 28

3 12 0 4, (4)3.4 12 0

Como x x p4

28lim ( ) , . . : 4

0

xy p x la asíntota vertical es AV x

7 7 7lim ( ) lim , . . :

3 3 3x x

xComo p x la asíntota horizontal es A H y

x

Ejercicio de clase 16 Para la función f definida de la forma ax

f(x)x b

, determine, razonadamente,

los valores de a y b sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación x = –2 y como asíntota horizontal la de ecuación y = 3. (Propuesto PAU Andalucía 2012)

Solución

�

x x x

tiende a 0

x 2

como a 0

axa axComo una A.H. es la recta y 3 lim f(x) 3 lim 3 lim 3 3 a 3

x b b 11x x x

2aComo una A.V. es la recta x 2 lim f(x) 2 b 0 b 2

2 b


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- Página 23 -

Ejercicio de clase 17 Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un

cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:

2t , si 0 t 5P(t) 100t 250

, si t 5t 5

a) Estudie la continuidad de la función P. b) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? (Propuesto PAU Andalucía 2012)

Solución

2 2

t 5 t 5

t 5t 5

100t 250a) Observamos que P(t) está definida en [0, ), pues no se puede calcular si t 5, pero

t 5esta fracción sólo se define para t 5.

El úni co punto donde pudiera no ser continua es t 5

lim P(t) lim t 5 25

lim P(t) lim

2

100t 250 100 . 5 25025 . Por tanto, P(t) es continua en t 5

t 5 5 5

P(5) 5 25

Luego, P(t) es continua en su dominio

2

2

t 50 , si 0 t 5b) Nos piden encontrar, si existiesen, los valores de t para que P(t) 50 100t 250

50 , si t 5t 5

* t 50 t 50 7,07. Como t NO está entre 0 y 5, ninguna solución es válida

100t 250* 50 100t 250 50(t 5) .

t 5Resolv

iendo obtenemos t 10 (al ser mayor que 5, es una solución válida)

Por tanto, la respuesta es a los 10 meses


2

x 2ax 3 , si x 1f(x)

ax 6x 5 , si x 1

Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2010)

Solución

2 2

x 1 x 1

2 2

x 1x 1

2

lim f(x) lim ( x 2ax 3) 1 2a.1 3 2 2a

lim f(x) lim (ax 6x 5) a.1 6.1 5 a 1 .

f(1) 1 2a.1 3 2 2a

Por tanto, para que sea continua en x 1 debe ser 2 2a a 1 a 1


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 24 -

Ejercicio de clase 19 Sea la función f: R R definida mediante x

3

e , si x 0f(x)

x x 1 , si x 0

¿Es f continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio? (Propuesto PAU Andalucía 2009) Solución

x 0

x 0 x 0

3 3

x 0x 0

0

lim f(x) lim e e 1

lim f(x) lim (x x 1) 0 0 1 1. Luego, f es continua en x 0

f(0) e 1

Como D(f) R y f está compuesta de funciones continuas f es continua en R

Ejercicio de clase 20 Sea la función 2x 4 , si x 1

f(x)ax b , si x 1

Calcule a y b, sabiendo que f(2) = 7 y que f es continua en x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2008) Solución

2 2

x 1 x 1

x 1x 1

2

lim f(x) lim (x 4) 1 4 5

lim f(x) lim (ax b) a.1 b a b para que sea continua en x 1 debe ser a b 5. Por tanto, .

para que f(2) 7 debe ser 2a b 7f(1) 1 4 5

Como f(2) 7 a.2 b 7 2a b 7

Resolviendo el si

stema obtenemos : a 2 , b 3

Ejercicio de clase 21 Deduzca razonadamente las asíntotas de la función g definida de la forma

3 xg(x)

x 2

y determine la posición de la gráfica de la función g respecto de sus asíntotas.


�

�

tiende a 0

x x x

tiende a 0

x 2

3 x 31 1x x xlim g(x) lim lim 1 La A.H. en es la recta y 1

x 2 2 11x x x

3 2 1Como x 2 anula el denominador y lim g(x) La A.V. es la recta x 2

0 0

3 x 1

Posición de la gráfica respecto de la A.H. : g(x) ( 1) 1x 2 x 2

1Si x , 0, luego la gráfica está por encima de la A.H. en

x 21

Si x , 0, luego la gráfica está por debajo de la A.H. enx 2

x 2

x 2

1lim g(x)

0Posición de la gráfica respecto de la A.V.: .1

lim g(x)0


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- Página 25 -

Ejercicio de clase 22 Sea la función

x2 , si x 1f(x) 2

, si x 1x

. Calcule sus asíntotas.


x x

x

x x

2lim f(x) lim 0 La A.H. en es la recta y 0

x

lim f(x) lim 2 0 La A.H. en es la recta y 0

2x 0 anula el denominador de pero esta fracción sólo se define para x 1

xLuego, no hay A.V. pues f no tiene discontinuidad de salto inf

inito

Ejercicio de clase 23 Calcule a y b para que la función

2

2

2x a , si x 1

f(x) 3x b , si 1 x 1

logx a , si x 1

sea continua

Solución 2 2

x 1 x 1 x 1 x 12

x 1 x 1x 1 x 1

lim f(x) lim (2x a) 2 a lim f(x) lim ( 3x b) b 3

lim f(x) lim ( 3x b) b 3 lim f(x) lim (logx a) log 1 a a

f( 1) 2 a f(1) log 1 a a

para que sea continua en x 1 debPor tanto,

e ser 2 a b 3

para que sea continua en x 1 debe ser b 3 a

Resolviendo el sistema obtenemos : a 1 , b 4

Ejercicio de clase 24 Estudie la continuidad de la función f, determine sus asíntotas y la posición de

la gráfica respecto de ellas:

a) 23x

f(x)x 2

b) 26

f(x)x 1

c) 3

2x

f(x)x 9

d)

x

3

2

e , si x 0

f(x) x, si x 0

(x 2)

Solución

�

�

2

tiende a 0

2

2x x x22 2

tiende a 0

3xa) Al ser f(x) una función racional, f es continua en su dominio, que es R 2

x 2

No es continua en x 2

3x 30x xlim f(x) lim lim 0 La A.H. en es la recta y 0

2 1x 2 1xx x

Como x 2 anula el denomina

x 2

3. 2 3 2dor y lim f(x) Las A.V. son las rectas x 2

0 0


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 26 -

2

2

2

3 xP o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A .H . : f ( x ) 0

x 23 x

S i x , 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r e n c i m a d e l a A .H . e nx 2

3 xS i x , 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r d e b a j o d e l a A .H . e n

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

3 2l i m f ( x )

0P o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A . V . x 2 :

3 2l i m f ( x )

0

3 2l i m f ( x )

0P o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A . V . x 2 :

3 2l i m f ( x )

0

�

�

2

t ie n d e a 0

2 2

2x x x22 2

t ie n d e a 0

6b ) A l s e r f ( x ) u n a fu n c ió n ra c io n a l , f e s c o n t in u a e n s u d o m in io , q u e e s R . L u e g o , n o h a y A .V .

x 1

6 60x xlim f ( x ) lim lim 0 L a A .H . e n e s la re c ta y 0

1 1x 1 1xx x

2

P o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A .H . :

6S i x , f ( x ) 0 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r e n c i m a d e l a A .H . e n y e n

x 1

3

2

3

x 3

xc ) A l se r f ( x ) u n a fu n c ió n ra c io n a l , f e s co n tin u a en su d o m in io , q u e es R 3

x 9N o es co n tin u a en x 3

3 2 7C o m o x 3 a n u la e l d en o m in a d o r y lim f ( x ) La s A .V . so n la s rec ta s x 3

0 0

P o s ic ió n d e la g rá fica re sp ec to d e la A .V . x 3

� �

x 3

x 3

x 3

x 3

3

3

2x x x33 3

tien d e a 0 tien d e a 0

2 7lim f ( x )

0:2 7

lim f ( x )0

2 7lim f ( x )

0P o s ic ió n d e la g rá fica re sp ec to d e la A .V . x 3 :2 7

lim f ( x )0

x1 1xlim f ( x ) lim lim

1 9 0x 9x xx x

2 3

2 2 2x x x x x

N o h a y A .H.

f ( x ) x x 9 xm lim lim 1 ; n lim f ( x ) m x lim x lim 0

x x 9 x 9 x 9

C o m o la A .O . e s la rec ta d e ecu a c ió n y m x n La A .O . en es la rec ta y x

3

2 2

2

2

x 9 xP o s i c i ó n d e l a g r á f i c a r e s p e c t o d e l a A . O . : f ( x ) x x

x 9 x 99 x

S i x , 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r e n c i m a d e l a A . O . e nx 9

9 xS i x , 0 , l u e g o l a g r á f i c a e s t á p o r d e b a j o d e l a A . O . e n

x 9


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 27 -

3

2x x

2

2x x x

d) Al ser f(x) una función definida a trozos, los úni cos puntos donde puede no ser continua son x 0,

y x 2 (porque anula el deno minador)

x* lim f(x) lim No hay A.H. en

(x 2)

f(x) xm lim lim 1 ; n lim f(x) mx

x (x 2)

3 2

2 2x x

x

x x

x 4x 4xlim x lim 4

(x 2) (x 2)

Como la A.O. es la recta de ecuación y mx n La A.O. en es la recta y x 4

* lim f(x) lim e 0 La A.H. en es la recta de ecuación y 0

3

2 2x 12x 16

Posición de la gráfica respecto de la A.O. : Si x , f(x) (x 4) x 4 0,(x 2) (x 2)

luego la gráfica está por encima de la A.O. en

xPosición de la gráfica respecto de la A.H. : Si x , f(x ) 0 e 0, luego

la gráfica está por encima de la A.H. en

x 0

x 0 x 0

3

2x 0x 0

lim f(x) lim e e 1

x 0lim f(x) lim 0. Luego, f no es continua en x 0

4(x 2)0

f(0) 04

3

2x 2 x 2

x 8* Como x 2 anula el deno min ador y lim f(x) lim La A.V. es la recta x 2

0(x 2)

x 2

x 2

8lim f(x)

0Posición de la gráfica respecto de la A.V. x 2 :8

lim f(x)0

Ejercicio de clase 25 El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la

función: 2

215 t

P(t)(t 1)

donde t se mide en años transcurridos desde t = 0. Calcúlese:

a) La población inicial. b) El tamaño de la población a largo plazo Solución

2

215 0

a) Población inicial es P(0) 15.Luego, es de 15 millones(0 1)

2 2

2 2t t t

15 t 15 tb) Nos piden lim P(t) lim lim 1. Luego, será de 1 millón

(t 1) t 2t 1

Ejercicio de clase 26 Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b g(x) = – x2 + c. Determínese a, b y c,

sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (–2, –3) y (1, 0) Solución

2

2

La gráfica de f pasa por ( 2, 3) f( 2) 3 ( 2) a . ( 2) b 3 2a b 7

La gráfica de g pasa por ( 2, 3) g( 2) 3 ( 2) c 3 c 1

2

2

L a g rá fic a d e f p a sa p o r (1 , 0 ) f (1 ) 0 1 a .1 b 0 a b 1

L a g rá fic a d e g p a sa p o r (1 , 0 ) g(1 ) 0 1 c 0 c 1

2a b 7Re so lviendo el sistem a obtenem os a 2 , b 3 . Luego , a 2 , b 3, c 1

a b 1

----------------------------------------------------------iesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-ccss2-17-18/2...

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