2º bachillerato – matemÁticas aplicadas a...

2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

TEMA 5.- FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD ACTIVIDADES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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2.- FUNCIONES ELEMENTALES

1 Consideremos la función 2x 6x 5 , si 2 x 4

f(x)2x 11 , si 4 x 5

Represente gráficamente la función f(x) e indique dónde alcanza su máximo y su mínimo absolutos. ¿Cuál es el valor del máximo? ¿Y del mínimo? (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución

El máximo absoluto se alcanza en x 3 y el mínimo absoluto en x 5

El valor de la función en el máximo absoluto es 4 y en el mínimo absoluto es 1

2 Sea la función real de variable real x 1 , si x 1

f(x)x 1 , si x 1

Represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 2009) Solución

3 Se considera la función definida por 2

2

2x 8x 6 , si x 1f(x)

2x 8x 6 , si x 1

. Represente la gráfica de f .

(Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución



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4 Consideremos la función 2x 1 , si x 1

f(x)x 1 , si x 1

. a) Determine la monotonía de f.

b) Represente gráficamente esta función. (Propuesto PAU Andalucía 2006) Solución

a) f es creciente en (0, ) y decreciente en ( , 0)

5 El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próximos ocho años viene

dado por la función B definida por 2t 7t , si 0 t 5

B(t)10 , si 5 t 8

donde t indica el tiempo

transcurrido en años. a) Represente gráficamente la función B y explique cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años b) Calcule cuándo el beneficio esperado es de 11,25 millones de euros. (Propuesto PAU Andalucía 2006)

Solución

3,5 , min 5 tan 8

) 2,5 4,5

El beneficio aumenta hasta los años luego dis uye hasta los años y se mantiene cons te hasta los años

b A los años y a los años



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6 Sea la función

1, si x 0

xf(x)1

, si x 0x

. Dibuje la gráfica de f y estudie su monotonía.


f es creciente en (0, ) y decreciente en ( , 0)

7 Sea la función 2

2

x , si x 1f(x)

x 4x 2 , si x 1

a) Estudie la monotonía, determine sus extremos y analice su curvatura. b) Represente la gráfica de la función. (Propuesto PAU Andalucía 2004)

Solución a) f es creciente en el intervalo (0, 2) y decreciente en ( , 0) (2, ) ; el máximo relativo es (2, 2)

y el mínimo relativo (0, 0) ; es convexa en ( , 1) y cóncava en (1, )

∪



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8 Sea la función 2

5 , si x 2

f(x) x 6x 10 , si 2 x 5

4x 15 , si x 5

. Represéntela gráficamente.


9 Dada la función

x, si 0 x 2

4f(x)1

, si 2 xx

Dibuje la gráfica de esta función. (Propuesto PAU Andalucía 2000) Solución



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10 Sea

2

2

x 2x 1 , si x 1

f(x) 2x 2 , si 1 x 2

x 8x , si x 2

Represente gráficamente la función y, a la vista de su gráfica, determine sus máximos y mínimos relativos, así como el crecimiento y decrecimiento. (Propuesto PAU Andalucía 1999)

Solución

El máximo relativo es (4, 16)y el mínimo relativo ( 1, 0)

f es creciente en el intervalo ( 1, 2) (2, 4) y decreciente en ( , 1) (4, )

∪ ∪

11 Dada la función 2

2

0 , si x 0

f(x) x 4x , si 0 x 4

(x 4) 1 , si 4 x

Represente gráficamente f. (Propuesto PAU Andalucía 1998) Solución

12 Dada la función x

2

3e , si 3 x 0f(x)

x 2x 3, si 0 x 3

Represéntela gráficamente. (Propuesto PAU Andalucía 1998) Solución



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3.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

13 Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máximo de seis millones de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad

invertida, x, por la siguiente expresión: 2

x 2 , si 1 x 2R(x)

x 10x 16 , si 2 x 6

donde tanto x, como R(x),

están expresadas en millones de euros. a) Estudie la continuidad de la función R. b) Esboce la gráfica de la función. c) ¿Qué cantidad debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y a cuánto asciende ésta? ¿Para qué valores de x la rentabilidad es positiva? (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

x 2 x 2

2

x 2x 2

lim R(x) lim (x 2) 0

a) lim R(x) lim ( x 10x 16) 0 . Por tan to, R es continua en x 2 R es continua

R(2) 0

c) 5 millones de € con una rentabilidad de 9 millones de € ; La rentabilidad es positiva para x 2 14 Determine el valor de a para que sea continua en x = –1 la función

3 2

ax, si x 1

x 1f(x)

x 3x 6x 2 , si x 1

. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución

11, lim ( ) ( 1)

xComo debe ser continua en x entonces f x f

1 1

3 2 3 2

1 1

.( 1)lim ( ) lim

1 1 1 2; ( 1)

2lim ( ) lim ( 3 6 2) ( 1) 3.( 1) 6.( 1) 2 12

1 12 242

x x

x x

ax a af x

axf

f x x x x

aPara que f sea continua en x debe ser a



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15 Sea la función

2(x 1) , si x 1f(x) 4

, si x 1x

. Determine sus asíntotas, en caso de que existan.


x x

2

x x

4lim f(x) lim 0 La A.H. en es la recta y 0

x

lim f(x) lim (x 1) No hay A.H. en ; Tampoco hay A.O. en

4x 0 anula el denominador de pero esta fracción sólo se define para x 1

xLuego, no hay A.V. pues f no tiene discontinu

idad de salto inf inito

Por tanto, f sólo tiene una A.H. en , que es la recta de ecuación y 0

16 En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador

depende de los días trabajados según la función 11t 17

M(t)2t 12

, t ≥ 1, donde t es el número de días

trabajados. a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente?


11 . 1 17a) t 1 M(1) 2 montajes el 1er día

2 . 1 12

11t 17Para hacer 5 montajes M(t) 5 5 11t 17 5(2t 12) t 43 días

2t 12

t

11b) lim M(t) 5,5 El nº de montajes tiende a 5,5

2

17 Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años

viene dado por la función 2at t , si 0 t 6

B(t)2t , si 6 t 10

, siendo t el tiempo transcurrido en años.

a) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua. b) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá. c) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.


2

t 6 t 6

t 6t 6

lim B(t) lim (at t ) 6a 36

a) lim B(t) lim (2t) 12 Para que sea continua debe ser 6a 36 12 a 8

B(6) 6a 36



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28t t , si 0 t 6b) Para a 8, B(t)

2t , si 6 t 10

Crece de 0 a 4 años y de 6 a 10 años ; decrece de los 4 a los 6 años c) A los 4 años y es de 16 millones de € 18 En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km2,

viene dada por la función 11t 20

f(t)t 2

, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a

observarla. a) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?


211 . 0 20a) t 0 f(0) 10 km

0 2

2

t

11b) lim f(t) 11 La superficie de la mancha tiene como límite 11 km

1

19 Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función 4x

f(x)2x 1


x

1x

2

4xPuntos de corte con el eje X : 0 x 0 ; (0, 0)1

D(f) R ; 2x 12 Punto de corte con el eje Y : (0, f(0)) (0, 0)

4x 4lim 2 La A.H. en es la recta y 2

2x 1 24x 2 1

lim La A.V. es la recta x2x 1 0 2



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20 Se considera la función dada por

2, si x 0

x 2f(x)2

, si x 0x 2

Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función. (Propuesto PAU Andalucía 2011) Solución

x x

x x

x 2 x 2

x 2 x 2

2lim f(x) lim 0 La A.H. en es la recta y 0

x 22

lim f(x) lim 0 La A.H. en es la recta y 0x 2

2 2lim f(x) lim Una A.V. es la recta x 2

x 2 02 2

lim f(x) lim La otra A.V. es la recta x 2x 2 0

21 Sea la función

2

2

2

1 2x , si x 1

f(x) x 2ax 3 , si 1 x 3

x 8x 15 , si x 3

.

Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2011) Solución

2 2

x 1 x 1

2 2

x 1x 1

2

lim f(x) lim (1 2x ) 1 2 .1 1

lim f(x) lim (x 2ax 3) 1 2a .1 3 4 2a .

f(1) 1 2 .1 1

5Por tan to, para que sea continua en x 1 debe ser 4 2a 1 a

2

22 Sea la función definida de la forma x

2

e , si x 0f(x)

x x 1 , si x 0

¿Es f continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio? (Propuesto PAU Andalucía 2008) Solución

x

x 0 x 0

2

x 0x 0

0

lim f(x) lim e 1

lim f(x) lim (x x 1) 1 . Por tanto, f es continua en x 0 f es continua en su dominio

f(0) e 1

23 Se considera la función 2

2x 3, si x 0

x 1f(x)

x 2x 3 , si x 0

Determine si existen asíntotas y obtenga sus ecuaciones. (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución

2

x x

x x

x 1 x 1

lim f(x) lim (x 2x 3) No hay A.H. en , no tiene tampoco A.O.

2x 3lim f(x) lim 2 La A.H. en es la recta y 2

x 12x 3 5

lim f(x) lim La A.V. es la recta x 1x 1 0



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24 Sea la función 2

x k, si x 0

x 1f(x)

x 2x 1 , si x 0

Para k = 0, calcule xlim f(x)

y xlim f(x)

. (Propuesto PAU Andalucía 2007)

Solución

x x

22x x

x 1x lim f(x) lim 1, si x 0 x 1 1x 1Para k 0, f(x)lim f(x) lim (x 2x 1)x 2x 1 , si x 0

25 Dada la función

2ax 2 , si x 2

f(x) a , si 2 x 2

x , si x 2

(a R)

Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 2. (Propuesto PAU Andalucía 2001) Solución

x 2 x 2

x 2x 2

lim f(x) lim a a

lim f(x) lim x 2 ; Por tanto, para que sea continua en x 2 debe ser a 2

f(2) a

26 Dada la función 2

2x a , si x 1

f(x) x 2 , si 1 x 1

L(x) , si x 1

Calcule el valor de “a” para que f sea continua en x = –1. (Propuesto PAU Andalucía 2000)

Solución

x 1 x 1

2 2

x 1x 1

lim f(x) lim (2x a) 2.( 1) a a 2

lim f(x) lim ( x 2) ( 1) 2 1 . Por tanto, para que sea continua en x 1 debe ser a 2 1 a 3

f( 1) 2.( 1) a a 2

27 Sea la función

xe , si x 1

4f(x) , si 1 x 1

x 31 ln(x) , si x 1

. Estudie su continuidad.


x 1

x 1 x 1

x 1x 1

1lim f(x) lim e e

e4

lim f(x) lim 2x 3

f( 1)

Luego, f no es continua en x 1

x 1 x 1

x 1x 1

4lim f(x) lim 1

x 3lim f(x) lim [1 ln(x)] 1

4f(1) 1

1 3Luego, f es continua en x 1

f es continua en R 1



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28 Calcule m para que la función 2x 6 , si x 0

f(x)ln(x 1) m , si x 0

sea continua

Solución 2

x 0 x 0

x 0x 0

2

lim f(x) lim (x 6) 6

lim f(x) lim [ln(x 1) m] m . Por tanto, para que sea continua en x 0 debe ser m 6

f(0) 0 6 6

29 Estudie la continuidad de la función f, determine sus asíntotas y la posición de la gráfica respecto de ellas:

a) 3

2x

f(x)1 x

x 1 x 1

x 1 x 1

a) Continua sólo enR 1 , 1

A.O.en : y x , (la gráfica está por encima de la asíntota en y por debajo en )

1 1lim f(x) lim f(x)

0 0A.V. : x 1 : A.V. : x 1 :1 1

lim f(x) lim f(x)0 0

b) 2(x 1)

f(x)x 2

x 2

x 2

b) Continua sólo en R 2

A.O.en : y x 4 , (la gráfica está por encima de la asíntota en

9lim f(x)

0y por debajo en ) A.V. : x 2 :9

lim f(x)0

c) 2

23x

f(x)x 2x 3

x 3 x 1

x 3 x 1

c) Continua sólo en R 3 , 1

A.H.en : y 3 , (la gráfica está por encima de la asíntota en y por debajo en )


0 0A.V.: x 3 : A.V.: x 1 :27 3


d) 2(x 3)

f(x)x(x 2)

x 0 x 2

x 0 x 2

d) Continua sólo en R 0 , 2

A.H.en : y 1 , (la gráfica está por debajo de la asíntota en y por encima en )


0 0A.V.: x 0 : A.V.: x 2 :9 1




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e) 2

4 2xf(x)

x

x 0

x 0

e) Continua sólo en R 0

A.H.en : y 0 , (la gráfica está por debajo de la asíntota en y por encima en )

4lim f(x)

0A.V.: x 0 :4

lim f(x)0

f) 2

2(x 1)

f(x)x 1

f) Continua todo R. Luego, no hay A.V.

A.H.en : y 1 , (la gráfica está por encima de la asíntota en )

g)

41 , si x 0

x 2f(x)1

, si x 0x 1

x 2

x 2

g) Continua sólo en R 0 , 2



4lim f(x)

0A.V.: x 2 :4

lim f(x)0

h)

x

2

e , si x 0f(x) 3 3x

, si x 0x 4x 3

x 1 x 3

x 1

h) Continua sólo en R 1 , 3




0 0A.V.: x 1 : A.V.: x 3 :6

lim f(x)0

x 3

12lim f(x)

0

i) 2

x 2, si x 2

x 1f(x)

3x 2x, si x 2

x 2

x 1

x 1

i) Continua sólo en R 1 , 2

A.O.en : y 3x 8 , (la gráfica está por encima de la asíntota en )

A.H.en : y 1 , (la gráfica está por debajo de la asíntota en )

3lim f(x)

0A.V.: x 1 :3

lim f(x)0

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