MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

2º BACHILLERATO

ÁLGEBRA

1) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.)

• DEFINICIONES BÁSICAS

• RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS

2) MATRICES.

• DEFINICIONES

• OPERACIONES CON MATRICES

• RANGO DE UNA MATRIZ

3) DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

• MATRIZ INVERSA

• CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

4) RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON DETERMINANTES

• TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS

• RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER

5) PROGRAMACIÓN LINEAL

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.)

Definiciones básicas:

Una ecuación es una igualdad en la que aparecen una o varias incógnitas.

(1) (2) (3)321 xx 512 x 32 yx

(4) (5) (6)032 zyx 5yx 35432 4321 xxxx

Una ecuación es lineal si es una suma de términos. Cada término consiste en un número multiplicado por una incógnita.

En los ejemplos anteriores, son ecuaciones lineales:

no son ecuaciones lineales:

1,3,4,6

2 y 5

Ejemplos:

EJEMPLOS:

62532

yyx

6325yx

yx

5224yx

yx

Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) es un conjunto de ecuaciones lineales.

Llamaremos solución del sistema a una serie de números que al sustituirlos por las incógnitas en las ecuaciones dan lugar a igualdades numéricas ciertas. Resolver un sistema es hallar TODAS las soluciones del sistema

Despejamos en la segunda ecuación y=3 y sustituimos en la primera ecuación: 2x+3·3=5, 2x=5-9 Solución: x=-2, y=3

Por el método de reducción, multiplicamos por -2 la primera ecuación y sumamos: 5y=-4; y=-4/5. Sustituyendo en la primera x=21/5

Por el método de reducción, multiplicamos por 2 la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una igualdad falsa 0=13. ¿Qué significa esto?

Por el método de reducción, multiplicamos por 2 la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una igualdad cierta 0=0. ¿Qué significa esto?

Se puede eliminar la segunda ecuación. El sistema tiene infinitas soluciones x=9+2y

El sistema no tiene solución

184292yx

yx

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

No tiene solución:SISTEMA INCOMPATIBLE:

S.I.

Tiene solución:SISTEMA COMPATIBLE

Solución única:SISTEMA COMPATIBLE

DETERMINADOS.C.D.

Infinitas soluciones:SISTEMA COMPATIBLE

INDETERMINADOS.C.I.

SISTEMAS EQUIVALENTES: Diremos que dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones

Transformaciones de un sistema que dan lugar a otro equivalente:

•Trasponer términos de un miembro a otro, cambiando el signo.

•Multiplicar una ecuación por un número distinto de 0

•Eliminar una ecuación igual (o múltiplo) de otra

• Sustituir una ecuación por ella misma más otra multiplicada por un número

• Cambiar el orden de las ecuaciones o de las incógnitas

El método de Gauss consiste en aplicar estas transformaciones hasta obtener un sistema “triangular” o “escalonado” (todos los coeficientes por debajo de la diagonal son cero) como este:

82

42

22

z

zy

zyxQue resolvemos, despejando la z en la última ecuación, y sustituyendo en la anterior y así sucesivamente “hacia arriba”. z=4, y=12, x=-7

MÉTODO DE GAUSS

2435

123

1

zyx

zyx

zyx

E2-3E1

E3-5E1

392

24

1

zy

zy

zyx

E3-2E2

1

24

1

z

zy

zyx

Pivote. Preferiblemente, coeficiente 1

Pivote, se puede multiplicar por -1 SCD. Solución: (-4,6,1)

32

0

6

zyx

zyx

zyx

E2-E1

E3-2E1

93

62

6

zy

z

zyx

62

93

6

z

zy

zyx

SCD. Solución: (1,2,3)

445

2322

777

zyx

zyx

zyx

E2-2E1

E3+E1

111112

121112

777

zy

zy

zyx

E3+E2

10

121112

777

zy

zyx

Igualdad numérica falsa Sistema Incompatible SI

445

3322

777

zyx

zyx

zyx

E2-2E1

E3+E1

111112

111112

777

zy

zy

zyx

E3+E2

00

111112

777

zy

zyx

Igualdad numérica cierta ¿?

Una igualdad numérica cierta se puede eliminar y continuamos resolviendo el sistema. En el caso del último ejemplo hemos acabado en un sistema triangular pero tenemos un “exceso” de incógnitas. Lo que haremos será “pasar” la z al otro miembro y resolver el sistema en función de z

111112

777

zy

zyx

zy

zyx

111112

777

zy12

11

12

11 zx

12

7

12

7

Para cada valor de z obtenemos unos valores de x e y. Por tanto el sistema tiene infinitas soluciones. (SCI). Para que quede más elegante, hacemos:

12

7

12

7,

12

11

12

11, xyz

x -y +z +4t =6

2x +3y -z -11t =-7

y +z +t =1

x +y -z =1

3x +2y +z =1

5x +3y +4z =2

-2x -y +5z =6

2x -y -z =2

3x -2y +4z =1

Resuelve:

1 2 3

,33,22,1 Sistema incompatible SI ,114,63

Soluciones:

Resuelve el siguiente sistema

2 5 0 16

1 3 -2 -2

1 0 1 4

1 0 1 4

1 3 -2 -2

2 5 0 16

E2-E1

E3-2E1

1 0 1 4

0 3 -3 -6

0 5 -2 8

E2:3

1 0 1 4

0 1 -1 -2

0 5 -2 8 E3-5E2

1 0 1 4

0 1 -1 -2

0 0 3 18 z=6

y=4

x=-2

2x +5y =16

x +3y -2z =-2

x +z =4

Puesto que los cálculos los hacemos con los coeficientes, las incógnitas se pueden no poner, obteniendo así una tabla numérica que tenemos que triangularizar operando con las filas exactamente igual que operábamos con las ecuaciones. Cuando hayamos llegado a la tabla triangular, recomponemos el sistema y resolvemos.

Disposición práctica del método de Gauss

1 -2 1 0 11

2 -1 0 1 9

5 -1 1 1 24

5 -2 -1 2 0

x -2y +z =11

2x -y +t =9

5x -y +z +t =24

5x -2y -z +2t =0

1 -2 1 0 11

0 3 -2 1 -13

0 9 -4 1 -31

0 8 -6 2 -55

E2-2E1

E4-5E1

E3-5E1 E3-3E2

3E4-8E2

1 -2 1 0 11

0 3 -2 1 -13

0 0 2 -2 8

0 0 -2 -2 -61

1 -2 1 0 11

0 3 -2 1 -13

0 0 2 -2 8

0 0 0 -4 -53453t

4

694

453822 zztz

4

11

4

53

4

1381331323 yytzy

43x

SCD. Solución(-3/4,11/4,69/4,53/4)

Resuelve el siguiente sistema

SISTEMAS HOMOGÉNEOS: Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero

2 -3 1 0

3 -1 0 0

4 1 -1 0

2x -3y +z =0

3x -y =0

4x +y -z =0

2E2-3E1

E3-2E1

2 -3 1 0

0 7 -3 0

0 7 -3 0

2x -3y +z =0

7y -3z =0

SCI: (t/7, 3t/7, t)

x -2y +z =0

x -y -2z =0

4x +y -z =0

SCD (0,0,0)

Un sistema homogéneo ¿puede ser incompatible?¿Por qué?

Resolución de un sistema según los valores de un parámetro

Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro a

x +y +2z =2

2x -y +3z =2

5x -y +az =6!

No de trata de un único sistema. Son infinitos sistemas (uno para cada valor de a) y tenemos que decir cómo es cada uno de estos sistemas (SI; SCD ó SCI) y resolverlo en los casos de compatibilidad

Empezamos a resolver el sistema por el método de Gauss

1 1 2 2

2 -1 3 2

5 -1 a 6

1 1 2 2

0 -3 -1 -2

0 -6 a-10 -4

1 1 2 2

0 3 1 2

0 0 a-8 0

x +y +2z =2

3y +z =2

(a-8)z =0

Normalmente, para acabar de resolver el sistema hay que dividir. Y aquí es donde aparecen las alternativas porque, recuerda: NO SE PUEDE DIVIDIR ENTRE 0

3

4

3

20

8

08

xya

za

x +y +2z =2

3y +z =28a

SCD

SCI. Solución:

,3

2,

3

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Planteamiento de sistemas

Un hombre se encarga de transportar vasos de porcelana a condición de pagar, por cada vaso que rompa, tanto como recibiría por llevar en buen estado un vaso de igual tamaño. La siguiente tabla muestra el resultado de sus tres primeros viajes:

Pequeño mediano grande Rompe.. Recibe

2 4 9 los medianos 28€

7 3 5 Los grandes 3€

9 10 11 Los grandes 4€

¿Cuánto se le paga por el transporte de cada tipo de vaso?

RECUERDA: debes asignar un valor real a cada variable

2x -4y +z =28

7x +3y -5z =3

9x +10y -11z =4

Sol: por cada vaso pequeño: 2€; mediano:3€, grande: 4€.

Un administrador tiene que repartir una herencia de 8600€ entre tres personas: A, B, C pero de forma que por cada dos euros que le dé a A debe darle 3€ a B, y por cada 5€ que le toquen a B debe darle 6€ a C. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

Sol: a A le corresponden 2000€, a B 3000 y a C 3600€