re exiones teóricas aplicadas al Álgebra lineal
TRANSCRIPT
Traballo Fin de Grao
Re�exiones teóricas aplicadas alÁlgebra Lineal
Sandra Abel Grandío
2018/2019
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
Traballo Fin de Grao
Re�exiones teóricas aplicadas alÁlgebra Lineal
Sandra Abel Grandío
2018/2019
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
Trabajo propuesto
Área de Coñecemento: Álgebra
Título: Re�exiones teóricas aplicadas al Álgebra Lineal
Breve descrición do contido
El objetivo del trabajo es analizar programas de Álgebra Lineal de
algunas Universidades Españolas para, centrándose en alguno de ellos,
elaborar un catálogo de ejercicios resueltos que ilustre y complemente
dicho programa.
Recomendacións
El trabajo está recomendado para aquellos estudiantes que en el fu-
turo piensen dedicarse a la docencia.
Outras observacións
Se recomienda la lectura del presente trabajo a estudiantes que estén
cursando una asignatura elemental de Álgebra Lineal en una titu-
lación superior o alumnos del bachillerato cientí�co-tecnológico que
deseen profundizar en este campo.
iii
Índice general
Resumen vii
Introducción ix
1. Espacios Vectoriales 1
2. Independencia lineal y dimensión 11
3. Aplicaciones lineales 21
4. Calculo Matricial 35
5. Sistemas de Ecuaciones lineales 51
Bibliografía 57
v
Resumen
El Álgebra Lineal es un instrumento de gran aplicación en casi todas las ramas de la
matemática moderna, tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. También es
considerada una herramienta de gran utilidad en el estudio de muchas otras disciplinas,
como la física, la computación, la ingeniería, la economía o incluso las ciencias naturales y
sociales. Por esta razón, es un ámbito del conocimiento matemático que está presente en
todos los estudios superiores de la rama cientí�co-tecnológica. El objetivo de este trabajo
es facilitar el estudio de esta materia a través de la selección de un programa de Álgebra
Lineal de una universidad española para, posteriormente, elaborar un catálogo de ejerci-
cios resueltos que lo ilustre y lo complemente. Cada capítulo comienza con una serie de
de�niciones y resultados que facilitarán la comprensión del mismo y permitirán uni�car la
notación de las diferentes fuentes consultadas.
Abstract
Linear Algebra is an instrument of great application in almost all branches of modern
mathematics, both in pure and applied mathematics. It is also considered a very useful tool
in the study of many other disciplines, such as physics, computing, engineering, economics
or even natural and social sciences. For this reason, it is an area of mathematical knowledge
that is present in all higher-level studies of the scienti�c-technological branch. The objective
of this proyect is to facilitate the study of this subject through the selection of a Linear
Algebra program of a Spanish university to, subsequently, develop a catalog of solved
exercises that illustrate and complement it. Each chapter begins with a series of de�nitions
and results that will facilitate the understanding of it and will allow to unify the notation
of the di�erent sources consulted.
vii
Introducción
� Es completamente utópico esperar aprender Matemáticas, ya sean elementales o
superiores, sin resolver ejercicios� (Godement, (1967))
Actualmente el Álgebra Lineal forma parte de las herramientas matemáticas utilizadas no
solo en las propias matemáticas sino en áreas de conocimiento muy diversas tales como la
física, las ciencias de la naturaleza, la economía, la ingeniería, las ciencias de la comunica-
ción o de la información. Precisamente por esto, es un ámbito del conocimiento matemático
que está presente en todos los estudios superiores de la rama cientí�co-tecnológica.
Como exponen Ángela Rojas y Alberto Cano (2009), �el Álgebra Lineal se encuentra
detrás de muchas actividades de nuestra vida diaria: cuando hacemos una búsqueda en
Google, cuando utilizamos el formato JPEG, o cuando oímos un CD de música". También
es cierto que una gran parte de los conceptos tratados en esta asignatura ya forman parte
del programa de la asignatura de Matemáticas en el segundo curso de bachillerato, sin
embargo, no con la profundidad con la que se pretende en este proyecto.
El objetivo de este trabajo es, sobre la base de un programa de la asignatura de Álgebra
Lineal, elaborar un catálogo de ejercicios que de manera completa y efectiva complemente
dicho programa.
Inicialmente partimos del programa de la asignatura de Álgebra Lineal de la facultad
de Matemáticas de Santiago de Compostela:
Grado: Matemáticas
Materia: Espacios Vectoriales y Cálculo Matricial
ECTS: 6
Contenidos del programa:
Espacios Vectoriales
Independencia Lineal y dimensión
Aplicaciones Lineales
ix
x INTRODUCCIÓN
Cálculo Matricial
Sistemas de ecuaciones lineales
Con el objetivo de con�rmar que este programa es representativo de la formación en el
área de interés, revisaremos algunos ejemplos de programas de otras universidades.
El sistema universitario español está integrado por un total de 82 universidades. De todas
ellas elegimos una muestra de seis, priorizando las que imparten esta asignatura en el pri-
mer curso e incluyendo ejemplos de grados de ciencias a�nes a las matemáticas.
En concreto, se han seleccionado los siguientes programas de Álgebra Lineal de diferentes
Universidades Españolas:
Universidad de Oviedo
Grado: Matematicas
Materia: Álgebra Lineal y Geometría
ECTS: 12
Contenidos del programa:
1. Sistemas de ecuaciones lineales.
2. Espacios vectoriales.
3. Aplicaciones lineales.
4. Endomor�smos. Valores y vecto-
res propios.
5. Formas bilineales.
6. Espacios vectoriales euclídeos.
7. Espacios a�nes euclídeos.
8. Cónicas y cuádricas.
Universidad de Cantabria
Grado: Física
Materia: Matemáticas I: Álgebra Li-
neal y Geometría
ECTS: 6
Contenidos del programa:
1. Espacios Vectoriales.
2. Aplicaciones Lineales y Matrices.
3. Teoría del Endomor�smo.
4. Geometría Euclídea.
Universidad de Murcia
Grado: Matemáticas
Materia: Álgebra Lineal
ECTS: 6
Contenidos del programa:
1. Espacios vectoriales
2. Aplicaciones lineales
3. Sistemas de ecuaciones lineales
4. Determinantes.
5. Diagonalización de endomor�s-
mos y matrices.
Universidad de Málaga
Grado: Ingeniería Mecánica
Materia: Álgebra Lineal
ECTS: 6
Contenidos del programa:
1. Espacios vectoriales y sistemas de
ecuaciones.
2. Aplicaciones lineales. Diagonali-
zación de endomor�smos.
INTRODUCCIÓN xi
3. Espacios afín y euclídeo.
4. Geometría ortogonal.
5. Cónicas y Cuádricas.
6. Álgebra lineal numérica.
7. Ecuaciones Diferenciales Linea-
les.
8. Uso de paquetes informáticos.
Universidad Complutense de Ma-
drid
Grado: Matematicas
Materia: Álgebra Lineal
ECTS: 18
Contenidos del programa:
1. Sistemas de ecuaciones lineales.
Matrices. Determinantes.
2. Espacios vectoriales. Espacios
vectoriales euclídeos.
3. Aplicaciones lineales. Espacio
dual.
4. Clasi�cación de endomor�smos.
Forma de Jordan.
5. Formas bilineales y formas cua-
dráticas. Clasi�cación.
6. Espacios a�nes y a�nes euclídeos.
7. Movimientos en el plano y en el
espacio.
8. Cónicas y cuádricas.
Universidad de Valencia
Grado: Matematicas
Materia: Álgebra Lineal y Geometría
ECTS: 12
Contenidos del programa:
1. Sistemas de ecuaciones lineales y
matrices.
2. Espacio vectorial. Bases. Subes-
pacios. Ecuaciones.
3. Aplicaciones lineales. Matrices
coordenadas. Teoremas de iso-
morfía
4. Rangos. Grupo lineal. Equivalen-
cia de matrices.
5. Endomor�smos. Semejanza. Va-
lores y vectores propios.
6. Formas bilineales. Matrices coor-
denadas. Congruencia.
En primer lugar, descartamos los programas de 12 ECTS o más, pues al tratarse de
asignaturas anuales, su estudio superaría la dimensión del presente Trabajo de Fin de Gra-
do. Buscamos entonces un programa de menor extensión, para poder tratarlo en mayor
profundidad.
Se puede apreciar que, de entre los programas mejor dimensionados, todos tienen una base
común con el programa elegido, di�riendo en algunos casos en el último tema.
Concluimos que el programa de la USC, es una opción adecuada para impartir los principios
básicos del Álgebra Lineal, y que, por lo tanto, es apropiado para ser sujeto de este proyecto.
xii INTRODUCCIÓN
A continuación, para cada uno de los temas incluidos en el programa de la materia �Es-
pacios Vectoriales y Cálculo Matricial� de la USC, presentaremos un conjunto de ejercicios
resueltos que faciliten la asimilación y aprendizaje del los conceptos referidos.
Así, cada capítulo comienza con una serie de de�niciones y resultados que facilitarán
la comprensión del tema tratado. Posteriormente, se presenta una propuesta de ejercicios
planteados y desarrollados para ilustrar cada uno de los conceptos. Cuando el tema aborda-
do lo requiera, se ampliará con la información complementaria que se considere necesaria.
Capítulo 1
Espacios Vectoriales
Para facilitar el estudio de los Espacios Vectoriales, en este capítulo, se plantean y
desarrollan una serie de ejercicios orientados al conocimiento del tema y que se agrupan
en los siguiente apartados:
Espacios y subespacios vectoriales
Espacio vectorial cociente
Intersección y suma de subespacios
Sistema generador de un espacio vectorial
El capítulo comienza con una serie de de�niciones y resultados que facilitarán la com-
prensión de este tema.
De�nición 1.1. Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (o K-espacio vectorial) esun conjunto no vacío V (cuyos elementos llamamos vectores), en el que se han de�nido una
operación interna que denominaremos suma (+) y otra externa, que llamaremos producto
por escalares.
V × V −→ V
(u, v) 7−→ u+ v
K× V −→ V
(α, u) 7−→ αu
Estas dos operaciones estarán sujetas a los siguientes axiomas, que han de ser válidos
para todos los vectores u, v, w ∈ V y todos los escalares α, β ∈ K.
1
2 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
u+ v = v + u.
(u+ v) + w = u+ (v + w).
∃0V ∈ V (vector nulo) | v + 0V = v.
∀v ∈ V ∃(−v) ∈ V | v + (−v) = 0V .
α(u+ v) = αu+ αv.
(α+ β)u = αu+ βv.
(αβ)u = α(βu).
1 ∈ K (elemento unidad) | 1v = v.
De�nición 1.2. Un subconjunto no vacío U de unK-espacio vectorial V es un subespacio de V
si:
u+ v ∈ U ∀u, v ∈ U ,
αu ∈ U ∀u ∈ U,∀α ∈ K.
De�nición 1.3. Sean V un espacio vectorial sobre K y U ⊂ V un subespacio. Si tomamos
la relación de equivalencia de�nida como v ∼ w ⇔ v − w ∈ U , el conjunto V/U de las
clases de equivalencia es un espacio vectorial con las operaciones:
V/U × V/U −→ V/U
(v + U,w + U) 7−→ (v + U) + (w + U) = (v + w) + U
K× V/U −→ V/U
(α, v + U) 7−→ α(v + U) = αv + U
Este conjunto se conoce como espacio vectorial cociente.
Proposición 1.4. Sean {Ui | i ∈ I} una familia cualquiera de subespacios de un espacio
vectorial V . Su interseccion⋂i∈I Ui es de nuevo un subespacio de V.
De�nición 1.5. Si V1 y V2 son subespacios de un espacio vectorial V , entonces se de�ne
el subespacio suma (o suma de subespacios) de V1 y V2 como:
V1 + V2 = {v1 + v2 | v1 ∈ V1, v2 ∈ V2}
El conjunto V1 + V2 es el mejor subespacio de V conteniendo a V1 y V2.
Proposición 1.6. Sea V un K-espacio vectorial y S un subconjunto de V . El conjunto
de combinaciones lineales formadas con los vectores de S, que denotaremos por 〈S〉, es elmenor subespacio de V conteniendo al conjunto S. Decimos que 〈S〉 es el espacio vectorial
generado por S, o equivalentemente que S es un conjunto de generadores de 〈S〉.
3
Proposición 1.7. Sean U yW dos subespacios de un espacio vectorial V y sean {u1, . . . , ur}y {v1, . . . , vs} conjuntos de generadores de U y V , respectivamente. Entonces, el conjunto
{u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} genera U + V .
Los siguientes ocho ejercicios servirán para fortalecer la comprensión de las de�niciones
de espacio y subespacio vectorial, aportar ejemplos y alguna propiedad, involucrando ambos
conceptos.
Ejercicio 1.1. Demuestra que los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre el
cuerpo K con las operaciones indicadas.
(a) Kn, ∀n ≥ 1, con las operaciones:
Kn ×Kn −→ Kn
(x, y) = ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) 7−→ x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
K×Kn −→ Kn
(α, x) = (α, (x1, . . . , xn)) 7−→ αx = (αx1, . . . , αxn)
En particular, Rn será espacio vectorial sobre R, con las operaciones dadas.
(b) El cuerpo K′, donde K es un subcuerpo de K′, y con las operaciones:
K′ ×K′ −→ K′
(z, z′) 7−→ z + z′K×K′ −→ K′
(α, z) 7−→ αz
En particular, con estas operaciones C será espacio vectorial sobre R, y del mismo
modo, Cn lo será sobre R.
Fuente: Arvesú, Álvarez y Marcellán (2003), p. 30. Ejercicio 3.1.
Solución. (a) Sean x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) elementos de Kn y
λ, µ ∈ R.Dado que K es un cuerpo, Kn es un grupo abeliano, y sólo nos queda comprobar las
últimas cuatro condiciones de espacio vectorial sobre K:
Propiedad asociativa del producto por escalar (·):
λ · (µx) = λ(µx1, . . . , µxn) = (λ(µx1), . . . , λ(µxn))
= ((λµ)x1), . . . , (λµ)xn) = (λµ) · (x1, . . . , xn)
= (λµ)x
4 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Propiedad distributiva del producto por escalares respecto de la suma:
λ(x+ y) = λ((x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)) = λ(x1 + y1, . . . , xn + yn)
= (λ(x1 + y1), . . . , λ(xn + yn)) = (λx1 + λy1, . . . , λxn + λyn)
= (λx1, . . . , λxn) + (λy1, . . . , λyn) = λ(x1, . . . , xn) + λ(y1, . . . , yn)
= λx+ λy
Propiedad distributiva del producto por escalares respecto de la suma de escalares:
(λ+ µ)x = (λ+ µ)(x1, . . . , xn) = ((λ+ µ)x1, . . . , (λ+ µ)xn)
= (λx1 + µx1, . . . , λxn + µxn)
= λ(x1, . . . , xn) + µ(x1, . . . , xn) = λx+ µx
Existencia del elemento unidad:
Sea 1 ∈ K el elemento unidad del cuerpo K, éste veri�cará: 1·x = 1·(x1, . . . , xn) =(1x1, . . . , 1xn) = (x1, . . . , xn) = x
(b) z + z′ ∈ K′, ∀z, z′ ∈ K′por ser K ′ cuerpo y λz ∈ K′, ∀λ ∈ K pues K ⊂ K′.Tomando como elementos nulo y unidad aquellos que dan estructura de cuerpo a K′
(que son los mismos que se la dan a K, pues K es un subcuerpo), el resto de condiciones
de espacio vectorial sobre K son sencillas de comprobar.
Ejercicio 1.2. Sea Pn el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n con
coe�cientes reales.¾Es Pn un espacio vectorial sobre R con las operaciones siguientes?
Pn × Pn −→ Pn(∑n
i=0 aixi,∑n
i=0 bixi) 7−→
∑ni=0 aix
i +∑n
i=0 bixi =
∑ni=0(ai + bi)x
i
R× Pn −→ Pn(α,∑n
i=0 aixi) 7−→ α ·
∑ni=0 aix
i =∑n
i=0 αaixi
Fuente: Gerber (1992), p. 257. Ejemplo 10.
Solución. Pn es no vacío, pues 0 ∈ Pn. Además, es fácil comprobar que si tomamos como
elemento nulo el polinomio cuyos coe�cientes ai son nulos ∀i ∈ {1, . . . , n}, Pn = {a0 +a1x + · · · + anx
n | ai ∈ R∀i ∈ {1, . . . , n}}, Pn cumple todas las condiciones de espacio
vectorial real.
Nota. Este ejercicio sería análogo si en lugar de R tomamos cualquier otro cuerpo K.
Ejercicio 1.3. ¾Es el conjunto de los polinomios de grado exactamente n con coe�cientes
reales subespacio del espacio vectorial del ejercicio anterior?
5
Fuente: Arvesú et al. (2003), p. 79.
Solución. Sea G = {a0 + a1x + · · · + anxn | an 6= 0, ai ∈ R,∀i ∈ {1, . . . , n}} ⊂ Pn. G 6= ∅
pues xn ∈ G. Sin embargo, G no es un espacio vectorial sobre R con la suma de�nida
para P2, pues si tomamos por ejemplo los polinomios xn + 1,−xn + 1 ∈ G, tenemos que
xn+1+ xn+1 = 2 /∈ G. En consecuencia, G no es subespacio de Pn, porque no es cerrado
para la suma.
Ejercicio 1.4. ¾Es Q[√
5]= {a + b
√5 | a, b ∈ Q} subespacio de R sobre Q con la suma
y el producto por escalar usuales?
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 123. Ejercicio 11.
Solución. Por de�nición Q[√
5]⊂ R. Además, Q ⊂ Q
[√5], por lo tanto Q
[√5]6= ∅.
Por último, comprobamos que Q[√
5]es cerrado para la suma y el producto por escalar
usuales en R:
(a+ b√5) + (a′ + b′
√5) = a+ a′ + (b+ b′)
√5 ∈ Q
[√5], ∀a, a′, b, b′ ∈ Q,
α(a+ b√5) = αa+ αb
√5 ∈ Q
[√5],∀a, b, α ∈ Q.
Concluimos que Q[√
5]es subespacio vectorial de R.
Ejercicio 1.5. ¾Es Z[√
5]= {a + b
√5 | a, b ∈ Z} subespacio del espacio vectorial del
ejercicio anterior?
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 123. Ejercicio 11.
Solución. Vemos que Z[√
5]no es cerrado para el producto por escalar, tomando α =
1/2, a = 0 y b = 1.
α(a+ b√5) = αa+ αb
√5 =
1
2
√5 /∈ Z
[√5], pues
1
2
√5 no pertenece a Z
En consecuencia, Z[√
5]no es un subespacio de Q
[√5].
Ejercicio 1.6. Sean W1,W2 subespacios del espacio vectorial W . Probar que:
W1 ∪W2 subespacios de W ⇔W1 ⊂W2 ∨W2 ⊂W1
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 140. Ejercicio 55.
Solución. Si suponemos falsas las inclusiones, entonces ∃v ∈W2/v /∈W1. Además, sabemos
que ∃w ∈ W1/w /∈ W2. El vector v + w es combinación lineal de vectores de W1 y W2,
pero v + w /∈ W1 ∪W2, pues v + w /∈ W2 porque w /∈ W2, ni v + w /∈ W1 porque v /∈ W1.
En consecuencia, W1 ∪W2 no sería un espacio vectorial. Concluimos que necesariamente
W1 ⊂W2 o W2 ⊂W1. El resultado recíproco se obtiene de forma trivial.
6 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
Ejercicio 1.7. Estudia si son subespacios o no los siguiente subconjuntos de R3.
(a) W = {(a, b, c) ∈ R3 | c = 0}.
(b) W = {(a, b, c) ∈ R3 | a+ b+ c = 0}.
(c) W = {(a, b, c) ∈ R3 | a2 + b2 + c2 = 1}.
Fuente: Merino y Santo (2006), p. 140. Ejercicio 53.
Solución. (a) Veamos que W = {(a, b, c) ∈ R3 | c = 0} es cerrado para la suma y el
producto por escalar:
(a, b, 0) + (a′, b′, 0) = (a+ a′, b+ b′, 0) ∈W, ∀a, a′, b, b′ ∈ R
α(a, b, 0) = (αa, αb, 0) ∈W, ∀a, b, α ∈ R
Dado que el resto de condiciones son de sencilla de comprobación, concluimos que W
es un subespacio vectorial de R3.
(b) Veamos que la suma no es cerrada en W = {(a, b, c) ∈ R3 | a+ b+ c = 0} :
(a, b, c) + (a′, b′, c′) = (a+ a′, b+ b′, c+ c′) ∈W, ∀a, a′, b, b′ ∈ R
pues a+ a′ + b+ b′ + c+ c′ = a+ b+ c+ a′ + b′ + c′ = 0 + 0 = 0.
α(a, b, c) = (αa, αb, αc) ∈W, ∀a, b, α ∈ R
pues αa+ αb+ αc = α(a+ b+ c) = α0 = 0.
Dado que el resto de condiciones son de sencilla de comprobación, concluimos que W
es un subespacio vectorial de R3.
(c) Para ver que la suma no es cerrada en W , nos basta tomar un ejemplo:
(1, 0, 0) + (1, 0, 0) = (2, 0, 0), pero (2, 0, 0) no pertenece a W y (1, 0, 0) ∈W .
Ejercicio 1.8. ¾Son espacios vectoriales los siguientes conjuntos con las operaciones in-
dicadas?
El conjunto de las matrices de la forma
(1 a
b 1
)con la suma y el producto por
escalares usuales.
El conjuntos de las matrices de la forma
(0 a
b 0
)con la suma y el producto por
escalares usuales.
7
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 139. Ejercicio 46.
Solución. Denotamos por V el conjunto de dichas matrices. Consideramos la suma
de dos matrices en este conjunto:(1 a
b 1
)+
(1 a′
b′ 1
)=
(2 a+ a′
b+ b′ 2
)
La matriz obtenida no pertenece a V , es decir, que V no es cerrado para la suma y
por tanto no es espacio vectorial.
Denotamos por U el conjunto de matrices descrito. Veamos que es cerrado para la
suma y para el producto por un escalar:
(0 a
b 0
)+
(0 a′
b′ 0
)=
(0 a+ a′
b+ b′ 0
)
α
(1 a
b 1
)=
(0 αa
αb 0
)El resto de condiciones para que U sea espacio vectorial son fácilmente comprobables.
Los siguientes dos ejercicios irán orientados reforzar el concepto de espacio vectorial
cociente.
Ejercicio 1.9. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K y F un subespacio de E. Sea
(E/F,+) el correspondiente grupo cociente, cuya operación interna está de�nida mediante:
(x + F ) + (y + F ) = (x + y) + F y su operación externa: λ(x + F ) = (λx) + F,∀λ ∈K, ∀(x+ F ) ∈ E/F (De�nición 1.3). Demostrar que E/F es espacio vectorial sobre K con
las operaciones mencionadas.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 99.
Solución. Veamos que la operación externa está bien de�nida, es decir que depende de la
clase, y no de sus representantes. En efecto, si x+F = x′+F , entonces x− x′ ∈ F . Como
F subespacio de E: λ(x−x′) = λx−λx′ ∈ F ∀λ ∈ K, y por tanto: λ(x+F ) = (λx)+F =
(λx′) + F = λ(x′ + F ).
Veamos ahora que se veri�can los cuatro últimos axiomas de la De�nición 1.1, para todo
λ, µ ∈ K y todo x+ F, y + F ∈ E/F :
λ[(x+ F ) + (y + F )] = λ[(x+ y) + F ] = λ(x+ y) + F = λx+ λy + F = (λx+ F ) +
(λy + F ) = λ(x+ F ) + λ(y + F )
8 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
(λ + µ)(x + F ) = (λ + µ)x + F = (λx + µx) + F = (λx + F ) + (µx + F ) =
λ(x+ F ) + µ(x+ F )
(λµ)(x+ F ) = (λµ)x+ F = λ(µx) + F = λ(µx+ F ) = λ(µ(x+ F ))
1(x+ F ) = 1x+ F = x+ F
Ejercicio 1.10. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K y F un subespacio de E, y sean
GF = {u1, . . . , ur} y GE = {u1, . . . , ur, ur+1, . . . , un} conjuntos generadores de F y E,
respectivamente. Demostrar que G = {ur+1 + F, . . . , un + F} genera el espacio vectorial
E/F .
Fuente: Merino y Santos (2006), página 99.
Solución. Sea x + F ∈ E/F . Como x ∈ E y GE genera a E, existen escalares x1, . . . , xn,
tales x = x1u1 + · · ·+ xnun. Entonces, x+ F = (x1u1 + · · ·+ xnun) + F = [(x1u1 + · · ·+xrur) + F ] + [(xr+1ur+1 + · · ·+ xnun) + F ] = [0 + F ] + [(xr+1ur+1 + · · ·+ xnun) + F ] =
(xr+1ur+1 + · · ·+ xnun) + F = xr+1(ur+1 + F ) + · · ·+ xn(un + F ), es decir, G es sistema
generador de E/F .
Dedicaremos los últimos cuatro ejercicios de este capítulo a la suma e intersección
de subespacios. Para trabajar con ellos, utilizaremos la idea de espacio generado por un
conjunto de vectores.
Ejercicio 1.11. Sea M2 el espacio vectorial de las matices cuadradas de orden 2 y sean S y
T los subespacios de M2, tales que S = {A ∈M | A = At} y T =
⟨(1 0
2 −1
),
(1 0
1 0
)⟩.
Hallar S ∩ T .
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 128. Ejercicio 19.
Solución. El conjunto S es el conjunto de las matrices simétricas de orden dos, por lo tanto:
S = {
(a b
c d
)∈M2 | c = b}
Por otro lado los elementos de T se pueden escribir como combinación lineal de sus
generadores: (a b
c d
)= α
(1 0
2 −1
)+ β
(1 0
1 0
)=
(α+ β 0
2α+ β −α
)
Ahora, para que
(α+ β 0
2α+ β −α
)pertenezca a S, se tiene que cumplir que 2α + β = 0,
luego β = −2α y obtenemos que las matrices de S ∩ T serán de la forma:
9
(α− 2α 0
2α− 2α −α
)=
(−α 0
0 −α
)= −α
(1 0
0 1
)
En consecuencia, S ∩ T =
⟨(1 0
0 1
)⟩.
Ejercicio 1.12. ¾Constituyen las matrices A1,A2 y A3 un sistema generador de las ma-
trices simétricas de M2?
A1 =
(1 0
0 0
), A2 =
(0 1
1 0
)y A3 =
(0 0
0 1
)
Fuente: Arvesú, Álvarez y Marcellán (2003), p. 83. Ejercicio 3.7.
Solución. Consideramos una matriz A enM2. A será de la forma
(a b
b d
), por ser simétrica.(
a b
b d
)= a
(1 0
0 0
)+ b
(0 1
1 0
)+ d
(0 0
0 1
)Es decir: A = aA1 + bA2 + dA3
Concluimos que cualquier matriz simétrica cuadrada de orden dos se puede expresar
como combinación de A1, A2 y A3, y por lo tanto {A1, A2, A3} es un sistema generador del
conjunto de las matrices simétricas de M2.
Ejercicio 1.13. Dados los siguientes subespacios de R3, S = {(x, y, z) | x − 3z = 0} y
T = {(x, y, z) | x+ y − z = 0}, hallar un sistema de generadores de S + T .
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 128. Ejercicio 19.
Solución. Dado que S = {(x, y, z) | x = 3z}, podemos expresar sus elementos como:
(x, y, z) = (3z, y, z) = z(3, 0, 1) + y(0, 1, 0). Luego, S = 〈(3, 0, 1), (0, 1, 0)〉. Por otro lado,
los elementos de T son de la forma: (x, y, z) = (x, y, x+ y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1). Luego,
T = 〈(1, 0, 1), (0, 1, 1)〉.Por la Proposición 1.7, tenemos que: S+T = 〈(1, 0, 1), (0, 1, 1), (3, 0, 1), (0, 1, 0)〉 ⊂ R3.
Ejercicio 1.14. Dado el subespacio de R3 W = {(a, b, c) ∈ R3 | a+ b+ c = 0}, comprueba
si generan este subespacio los siguientes conjuntos:
{(1, 0− 1), (0, 1,−1)}
{(1,−1, 0), (0,−1, 1)}
10 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES
{(1,−2, 1), (0, 1,−1)}
Fuente: Arvesú et al. (2003), p. 98. Ejercicio 3.20.
Solución. 〈(1, 0− 1), (0, 1,−1)〉 ⊂ W , pues sus vectores cumplen la ecuación que
de�ne W . Veamos entonces que cualquier elemento de W puede expresarse como
combinación lineal de los vectores de 〈(1, 0− 1), (0, 1,−1)〉. Sea (a, b, c) ∈W :
(a, b, c) = (a, b,−a− b) = a(1, 0,−1) + b(0, 1,−1)
Concluimos que 〈(1, 0− 1), (0, 1,−1)〉 =W .
〈(1,−1, 0), (0,−1, 1)〉 ⊂ W , ya que sus vectores cumplen la ecuación que determina
W . Sea (a, b, c) ∈W :
(a, b, c) = (a,−a− c, c) = a(1,−1, 0) + c(0,−1, 1)
Concluimos que 〈(1,−1, 0), (0,−1, 1)〉 =W .
〈(1,−2, 1), (0, 1,−1)〉 ⊂W , por cumplir la ecuación deW . Veamos que este conjunto
genera W . Sea (a, b, c) ∈W :
(a, b, c) = (a, b,−a− b) = a(1,−2, 1)+ (b+2a)(0, 1,−1) = (a, b+2a− 2a, a− b− 2a)
Entonces, 〈(1,−2, 1), (0, 1,−1)〉 =W .
Capítulo 2
Independencia lineal y dimensión
Para facilitar el estudio del presente tema, plantearemos en primer lugar una serie de
de�niciones y resultados básicos que facilitarán la comprensión de los conceptos principa-
les. A continuación, presentaremos una serie de ejercicios y detallaremos su solución para
reforzar el aprendizaje de las nociones de independencia lineal y dimensión. Los ejercicios
se agrupan en los siguiente apartados:
Dependencia e independencia lineal
Base y dimensión
Ecuaciones implícitas
Coordenadas de un vector según una base
Espacio suplementario
Según indicábamos, comenzaremos con las de�niciones y resultados fundamentales de
este capítulo.
De�nición 2.1. Sea V 6= ∅ un espacio vectorial. Un conjunto de vectores de V se dice
linealmente independiente si dada una combinación lineal de ellos igualada al vector
cero, todos los coe�cientes son necesariamente nulos. Cuando no ocurre esto, se dice que
es un conjunto linealmente dependiente.
De�nición 2.2. Sea V 6= ∅ un espacio vectorial. Un subconjunto ordenado B ⊆ V es una
base de V si es un conjunto linealmente independiente que genera el espacio V .
Teorema 2.3 (Teorema de ampliación de la base). Sea V 6= ∅ un espacio vectorial sobre
K de dimensión n y sea {v1, . . . , vs} un conjunto de vectores linealmente independientes.
11
12 CAPÍTULO 2. INDEPENDENCIA LINEAL Y DIMENSIÓN
Entonces existen vectores {vs+1, . . . , vn} tales que {v1, . . . , vs, vs+1, . . . , vn} es una base de
V .
Teorema 2.4 (Teorema de existencia de la base). Todo espacio vectorial V 6= ∅ tiene unabase.
Teorema 2.5. Sea V un espacio vectorial �nitamente generado, entonces todas las bases
de V son �nitas y tienen igual número de vectores.
De�nición 2.6. Sea V un espacio vectorial y sea B una base. Al cardinal del conjunto Ble llamaremos dimensión del espacio vectorial V .
Teorema 2.7 (Teorema de Steinitz). Sea V un espacio vectorial de dimensión n, B =
{u1, . . . , un} base de V y L = {e1, . . . , er} un subconjunto de vectores linealmente indepen-
dientes, entonces podemos sustituir r vectores de B por los r vectores de L para obter unha
nueva base de V .
Proposición 2.8. Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n. Si B es una base
de V , entonces todo vector x ∈ V se escribe de forma única como combinación lineal de
los vectores de B. Los coe�cientes de esa combinación lineal se denominan coordenadas
de un vector respecto de una base B.
Proposición 2.9. El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de n incógnicas con
coe�cientes en K es un subespacio de Kn.
Proposición 2.10. Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n. Si B es una base
de V , entonces B es un conjunto minimal de generadores de V y un conjunto maximal de
vectores linealmente independientes en V .
Proposición 2.11. Sea V un espacio vectorial sobre K, S un subconjunto de V linealmente
independiente y v un elemento de V tale que v /∈ 〈S〉 , entonces el conjunto S ∪ {v} es
linealmente independiente.
Proposición 2.12. Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n y S = {u1, . . . , un}un subconjunto de V . Entonces,
S conjunto linealmente independiente de V ⇔ S base de V ⇔ S conjunto generador de V.
De�nición 2.13. Dados dos subespacios U,W de un espacio vectorial V . Se dice que su
suma es directa, y se representa como U ⊕ V , cuando U ∩ V = {0}.
De�nición 2.14. Dos subespacios U y W de un espacio vectorial V son suplementarios
si U ⊕W = V , es decir, si U ∩ V = {0} y U +W = V .
13
Proposición 2.15. Sea V un espacio vectorial sobre K y sea B = {v1, . . . , vn} una base
de V , ∀i < n los subespacios de V 〈{v1, . . . , vi}〉 y {〈{vi+1, . . . , vn}〉 son suplementarios.
Teorema 2.16 (Fórmula de Grassmann). Sea V un espacio vectorial de dimensión �nita
y sean U y W subespacios de V . Entonces, dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ).
Los primeros dos ejercicios de este capítulo nos servirán para asentar la noción de
conjunto de vectores linealmente independientes, que usaremos constantemente a lo largo
de todo el tema.
Ejercicio 2.1. Demuestra que los vectores u = (1,−1), v = (0, 1) y w = (1, 0) son lineal-
mente dependientes.
Fuente: Gerber (1992), p. 199. Ejemplo 2.
Solución. Igualando una combinación lineal a cero, obtenemos:
αu+ βv + γw = 0⇒ α(1,−1) + β(0, 1) + γ(1, 0) = 0⇒
{α+ γ = 0
− α+ β = 0⇒ α = β = −γ.
Por lo tanto, se incumple la condicion para que {u, v, w} sea un conjunto linealmente
dependiente y en consecuencia, u, v y w son linealmente dependientes.
Podríamos resolver este ejercicio de un modo más e�ciente, viendo podemos expresar
el vector w como suma de los otros do: w = u+ v, y por lo tanto se trata de un conjunto
de vectores linealmente dependiente.
Ejercicio 2.2. Sea V un K-espacio vectorial. Sea {v1, · · · , vn} ⊂ V un conjunto de vectores
linealmente independientes. Probar que el sistema {u1, · · · , un} también lo es, siendo: u1 =
v1, u2 = v1 + v2 y un = v1 + v2 + · · ·+ vn.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 139. Ejercicio 47.
Solución. Tomamos una combinación lineal de {u1, · · · , un}:α1v1 + α2(v1 + v2) + · · ·+ αi(v1 + v2 + · · ·+ vi) + · · ·+ αn(v1 + v2 + · · ·+ vn) = 0⇒⇒ (α1 + α2 + · · ·+ αn)v1 + (α2 + · · ·+ αn)v2 + · · ·+ (αi + · · ·+ αn)vi + · · ·+ αnvn = 0⇒
⇒ 1
α1 + α2 + · · ·+ αn−1 + αn = 0
α2 + · · ·+ αn−1 + αn = 0...
αi + · · ·+ αn−1 + αn = 0...
αn−1 + αn = 0
αn = 0
1Aplicamos que {v1, · · · , vn} es un conjunto lineamente independiente
14 CAPÍTULO 2. INDEPENDENCIA LINEAL Y DIMENSIÓN
Luego, α1 = α2 = · · · = αi = · · · = αn = 0 y, en consecuencia, {u1, · · · , un} es un
conjunto linealmente independiente.
Nota. Este ejercicio se resolverá de un modo alternativo en el Tema 3, Ejercicio 3.12.
Sin dejar de estar presente la independencia lineal, pasamos a los siguientes cuatro
ejercicios, en los que trabajaremos sobre la de�nición de base de un espacio vectorial y su
dimensión.
Ejercicio 2.3. Sean e1, . . . , en vectores de Rn. ¾Es E = {e1, . . . , en} una base de Rn?
(a) Para n = 3: e1 = (2, 1,−3), e2 = (3, 2,−5), e3 = (1,−1, 1)
(b) Para n = 4: e1 = (1, 2,−1, 2), e2 = (2, 3, 0,−1), e3 = (1, 3,−1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 139, Ejercicio 51.
Solución. (a) ¾Es E un subconjunto de R3 linealmente independiente?
αe1 + βe2 + γe3 = 0⇒
(1o) 2α+ 3β + γ = 0
(2o) α+ 2β − γ = 0
(3o) − 3α− 5β + γ = 0
⇒
⇒
{(1o+2o) 3α+ 5β = 0⇒ α = −5/3γ(1o-3o) 5α+ 8β = 0⇒ α = −8/5β
}⇒ α = β = 0
Sustituyendo en (2o), obtenemos que γ = 0 también.
Luego, α = β = γ = 0. Como E es un conjunto de tres vectores linealmente indepen-
dientes en un espacio de dimensión 3, concluimos que E es una base de R3 (Proposición
2.12).
(b) ¾Es E un subconjunto de R4 linealmente independiente?
αe1 + βe2 + γe3 + νe4 = 0⇒
(1o) α+ 2β + γ = 0
(2o) 2α+ 3β + 3γ = 0
(3o) − α− γ = 0⇒ α = −γ(4o) 2α− β + ν = 0
⇒
⇒
{(1o+3o) 2β = 0⇒ β = 0
(2o) − 2γ + 3β + 3γ = 0⇒ γ = −3β
}⇒ α = β = γ = 0
Luego, como E es un conjunto de cuatro vectores linealmente independientes en R4 y
en virtud de la proposición 2.12, concluimos que E es una base de R4.
15
Ejercicio 2.4. Sean U y W subespacios de dimensión m ∈ N y n ∈ N respectivamente de
un espacio vectorial de dimensión �nita. Sea U+W el espacio vectorial suma. Pruébese que
si el único elemento que tienen en común es 0, entonces: dim(U +W ) = dimU + dimW .
Fuente: Gerber (1992), p. 290. Ejercicio 19.
Solución. Para probar este resultado nos apoyamos en el Teorema 2.16, así que en primer
lugar, veremos su demostración.
Teorema de Grassmann (2.16). Sea i = dim(U ∩W ) y suponemos BU∩W = {u1, ·, ui} unabase de V ∩W . Podemos ampliar BU∩W a bases de V y W :
BU = {u1, . . . , ui, v1, . . . , vn−i}
BW = {u1, . . . , ui, w1, . . . , wm−i}
Ahora, el sistema S = {u1, . . . , ui, v1, . . . , vn−i, w1, . . . , wm−i} genera U +W . Veamos
que es un sistema linealmente independiente:
i∑α=1
λαuα +
n−i∑β=1
µβvβ +
m−i∑γ=1
νγwγ = 0
El vector∑m−i
γ=1 νγwγ , que pertenece a W , también pertenece a V por ser combinación
lineal de los elementos de BV , y por tanto pertenece a V ∩W .
Pero U ∩ W y < w1, · · · , wm−i > son suplementarios en W (por la proposición 2.15),
luego∑m−i
γ=1 νγwγ = 0⇒ νγ = 0 ∀γ ∈ {1, · · · ,m− i}, pues {w1, · · · , wm−i} es un sistema
linealmente independiente.
Tenemos entonces que:i∑
α=1
λαuα +
n−i∑β=1
µβvβ = 0
Al ser BV base y, por lo tanto, un conjunto linealmente independiente, se tiene que
λα = µβ = 0 ∀α ∈ {1, . . . , i} y ∀β ∈ {1, . . . , n− i} y, así, S es linealmente independiente.
Luego S es base de V +W .
Se tiene que:
dim(V +W ) = card(S) = i+(n− i)+(m− i) = n+m− i = dimV +dimW −dim(V ∩W ).
La dimensión de la intersección de U yW es el conjunto {0}, por lo tanto dim(U∩W ) =
dim{0} = 0. Por lo tanto, usando la fórmula da Grassmann:
dim(U +W ) = dimU + dimW − dimU ∩W = dimU + dimW
16 CAPÍTULO 2. INDEPENDENCIA LINEAL Y DIMENSIÓN
Ejercicio 2.5. Sea V espacio vectorial de dimensión �nita y U subespacio vectorial de V .
Probar que dimU ≤ dimV .
Fuente: Gerber (1992), p. 90. Ejercicio 23.
Solución. Por el Teorema 2.4, existe un conjunto {u1, . . . , ur} base del subespacio vectorialU y, en virtud del Teorema 2.3, podemos ampliarlo a una base de V : B = {u1, . . . , ur, wr+1, . . . , wn}.Por el Teorema 2.15, el conjunto generado por los vectores {wr+1, . . . , wn} será un suple-
mentario de U en V . Sea W dicho subespacio de V . Aplicando de nuevo la Fórmula de
Grassmann (Teorema 2.16), tenemos:
dimU ≤ dimU+dimW = dimU+dimV−dim(U∩W ) = dim(U+V ) = dim(U⊕V ) = dimV
En consecuencia, dimU ≤ dimV .
Ejercicio 2.6. Extender el conjunto {(1, 1,−1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 2, 1, 1)} a una base de R4.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 141. Ejercicio 62.
Solución. En primer lugar, comprobamos que se trata de un conjunto de vectores lineal-
mente independientes:
¾α(1, 1,−1, 1) + β(1, 1, 0, 1) + γ(1, 2, 1, 1) = 0⇔ α = β = γ = 0?
α(1, 1,−1, 1) + β(1, 1, 0, 1) + γ(1, 2, 1, 1) = 0⇒
(1o) α+ β + γ = 0
(2o) α+ β + 2γ = 0
(3o) − α+ γ = 0⇒ α = γ
(4o) α+ β + γ = 0
Por (1o) y (2o), tenemos que γ = 0 y, en consecuencia, α = β = γ = 0. Ahora buscamos
un vector (a, b, c, d) ∈ R4 linealmente independiente a éstos.
¾α(1, 1,−1, 1) + β(1, 1, 0, 1) + γ(1, 2, 1, 1) + ν(a, b, c, d) = 0⇔ α = β = γ = ν = 0?
α(1, 1,−1, 1)+β(1, 1, 0, 1)+γ(1, 2, 1, 1)+ν(a, b, c, d) = 0⇒
(1o) α+ β + γ + νa = 0
(2o) α+ β + 2γ + νb = 0
(3o) − α+ γ + νc = 0⇒ α = γ + νc
(4o) α+ β + γ + νd = 0
Restando (1o)-(4o) obtenemos: α+β+γ+νa−α−β−γ−νd = 0⇒ νa = νd⇒ ν(a−d) = 0
Por otro lado, tenemos:{(1o-2o) α+ β + γ + νa− α− 2β − γ − νb = 0⇒ γ − 2γ + aν − bν = 0⇒ γ = (a− b)ν(3o) α = γ + νc⇒ α = (a− b)ν + cν ⇒ α = (a− b+ c)ν
17
Despejamos β en (1o):
β = −α−γ−aν = −(a−b+c)ν−(a−b)ν−aν ⇒ β = (−a+b−c−a+b−a)ν = (−3a+2b−c)ν.Concluimos que (a, b, c, d, e) será independiente del conjunto dado si y sólo si cumple las
siguiente condiciones: (i) a− b+ c 6= 0
(ii) − 3a+ 2b− c 6= 0
(iii) a− b 6= 0
(iv) a− d 6= 0
Por lo tanto podemos tomar el vector (1, 0, 0, 0) y tenemos entonces que el conjunto
{(1, 1,−1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 0, 0, 0)} es una base de R4.
Esta ha resultado ser una forma muy tediosa de resolver este ejercicio.Veamos una
alternativa:
Sea S = {(1, 1,−1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 2, 1, 1)}. Entonces 〈S〉 = {(α+β+γ, α+β+2γ,−α+
γ, α+β+γ) ∈ R4 | α, β, γ ∈ R3}. Podemos apreciar que la primera y la cuarta coordenada
de los elementos de S son iguales. Por lo tanto, sólo tenemos que elegir un vector en
R4 incumpliendo esta condición. Por la Proposición 2.11, S ∪ {(1, 0, 0, 0)} es un conjunto
linealmente independiente, y por el resultado 2.12, es una base de R4.
Hasta ahora hemos visto que, dado un subespacio vectorial de un cierto Kn (con Kcuerpo), éste puede ser determinado por una base (o, simplemente, por un conjunto de
generadores). Además de estas dos opciones, los subespacios de Kn se pueden expresar
mediante un sistema de ecuaciones lineales, llamadas ecuaciones implícitas, (como anti-
cipaba la Proposición 2.9) o utilizando una serie de parámetros y de�niendo ecuaciones
paramétricas. Veamos un ejemplo.
En el subespacio vectorial U ⊂ R3 con conjunto de generadores {(−1, 1, 0), (0, 0, 1)}, se
cumple para sus elementos que (x, y, z) = α(−1, 1, 0)+β(0, 0, 1), entonces U ≡
x = −αy = α
z = β
.
También podemos expresar U como {(x, y, z) ∈ R3 | x = −y} = {(x, y, z) ∈ R3 | x+y = 0}.Los siguientes dos ejercicios van orientados a estas dos formas de determinar un subespacio.
Ejercicio 2.7. Sea U un subespacio vectorial de R4 con ecuaciones paramétricas:
x1 = α
x2 = β
x3 = α+ β
x4 = αCalcula sus ecuaciones implícitas.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 93. Ejemplo 33.
18 CAPÍTULO 2. INDEPENDENCIA LINEAL Y DIMENSIÓN
Solución. Ya que x1 = α, obtenemos:
x2 = β
x3 − x1 = β
x4 − x1 = 0
Si ahora utilizamos que x2 = β, reducimos en una ecuación:
{x3 − x1 − x2 = 0
x4 − x1 = 0En este punto ya no tenemos ningún parámetro, por lo tanto, tenemos las ecuaciones
implícitas del espacio U ≡
{x1 + x2 − x3 = 0
x1 − x4 = 0
Ejercicio 2.8. Hallar unas ecuaciones paramétricas del subespacio de R4 formado por los
vectores (x1, x2, x3, x4) tales que:
{3x1 + x3 + 2x4 = 0
x1 + x2 + x4 = 0
Determinar una base de este subespacio y expresar el vector (1,1,1,-2) en dicha base.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 93, Ejemplo 33.
Solución. Establecemos x4 = α y x2 = β, y a continuación despejamos x1 y x3:{3x1 + x3 + 2α = 0
x1 + β + α = 0
}⇔
{x3 = −2α− 3x1
x1 = −α− β
}⇔
{x3 = −2α− 3(−α− β)⇒ x3 = α+ 3β
x1 = −α− β
Tenemos entonces las ecuaciones paramétricas:
x1 = −α− βx2 = β
x3 = α+ 3β
x4 = α
, es decir:
(x1, x2, x3, x4) = (−α− β, β, α+ 3β, α) = α(−1, 0, 1, 1) + β(−1, 1, 3, 0)
En consecuencia, {(−1, 0, 1, 1), (−1, 1, 3, 0)} será un conjunto de generadores del subespaciode R4. Además, dado que no podemos escribir un vector como múltiplo del otro, es también
una base de dicho subespacio.
Ahora igualamos (1, 1, 1−2) a (x1, x2, x3, x4) para obtener los valores de los parámetros
α y β:
(1, 1, 1− 2) = (−α− β, β, α+ 3β, α)⇒
{α = −2β = 1
Efectivamente, α + 3β = −2 + 3 = 1 y −α − β = −(−2) − 1 = 1 y, por lo tanto,
concluimos que las coordenadas del vector (1, 1, 1,−2) son (−2, 1).
Las coordenadas de un vector respecto de una base son una herramienta que nos per-
mitirá trabajar en cualquier espacio vectorial de dimensión �nita. Veamos cómo calcularlas
con este ejemplo:
19
Ejercicio 2.9. Calcula las coordenadas de x ∈ Rn en la base E = {e1, . . . , en} de Rn del
Ejercicio ??, para cada uno de los casos.
Para n = 3: x = (6, 2,−7)
Para n = 4: x = (7, 14,−1, 2)
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 139, Ejercicio 51.
Nota. Este ejercicio se puede resolver de un modo alternativo empleando el cálculo matricial
que se verá en el Capítulo 4 (Ejercicio 4.13).
Solución. Igualamos x a una combinación lineal de los elementos de la base y despe-
jamos:
x = αe1 + βe2 + γe3 ⇒
(1o) 2α+ 3β + γ = 6
(2o) α+ 2β − γ = 2
(3o) − 3α− 5β + γ = −7
⇒⇒
{(1o+2o) 3α+ 5β = 8⇒ α = 8/3− 5/3β
(1o-3o) 5α+ 8β = 13⇒ α = 13/5− 8/5β
Igualando ambas ecuaciones, obtenemos: 83 + −5
3 β = 135 + −8
5 β ⇒4015 + −39
15 = 2515β +
−2415 β ⇒
40−3915 = 25−24
15 β ⇒ β = 1⇒ α = 8/3− 5/3 = 3/3⇒ α = 1
Substituyendo en (2o): −3− 5 + γ = −7⇒ γ = 1.
Luego, las coordenadas del vector x en la base E serán (1, 1, 1).
Igualamos, de nuevo, x a una combinación lineal de los elementos de la base y des-
pejamos:
x = αe1 + βe2 + γe3 + νe4(1o) α+ 2β + γ = 7
(2o) 2α+ 3β + 3γ = 14
(3o) − α− γ = −1⇒ α = 1− γ(4o) 2α− β + ν = 2
⇒
⇒
{(1o+3o) 2β = 6⇒ β = 3
(1o) 2− 2γ + 9 + 3γ = 14⇒ γ = 3⇒ α = 1− 3 = −2
Finalmente, substituimos en (4o): ν = 2+ 3− 2(−2)⇒ ν = 9 Tenemos entonces que
las coordenadas del vector x en la base E serán (−2, 3, 3, 9).
Terminamos este capítulo con un ejemplo de cálculo de un espacio suplementario.
Ejercicio 2.10. Se considera el subespacio de R5 generado por (0, 2,−1, 1, 0), (0, 3, 0, 0, 1)y (0, 1, 1,−2, 1). Obtener un subespacio suplementario.
20 CAPÍTULO 2. INDEPENDENCIA LINEAL Y DIMENSIÓN
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 141. Ejercicio 61.
Solución. Sea U = 〈(0, 2,−1, 1, 0), (0, 3, 0, 0, 1), (0, 1, 1,−2, 1)〉 ⊂ R5. Para calcular la di-
mensión de U veremos si se trata de un conjunto de vectores linealmente independientes:
α(0, 2,−1, 1, 0) + β(0, 3, 0, 0, 1) + γ(0, 1, 1,−2, 1) = 0⇒
(1o) 2α+ 3β + γ = 0
(2o) − α+ γ = 0⇒ α = γ
(3o) α− 2γ = 0⇒ α = 2γ
(4o) β + γ = 0⇒ β = −γ
{
(2o) α = γ
(3o) α = 2γ
}⇒ α = β = γ = 0
Por ser {(0, 2,−1, 1, 0), (0, 3, 0, 0, 1), (0, 1, 1,−2, 1)} un conjunto de vectores linealmen-
te independientes, se tiene que dimU = 3. En consecuencia necesitamos dos vectores más
para completar una base de R5.
Como (1, 0, 0, 0, 0) /∈ U , luego {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 2,−1, 1, 0), (0, 3, 0, 0, 1), (0, 1, 1,−2, 1)} esun conjunto linealmente independiente, por la Proposición 2.11. Denotamos U ′ = 〈{(1, 0, 0, 0, 0), (0, 2,−1, 1, 0), (0, 3, 0, 0, 1), (0, 1, 1,−2, 1)}〉.Combinando los vectores que generan U ′, obtenemos que U ′ = 〈{(1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 1,−2, 1), (0, 0,−3, 5,−2), (0, 0, 0, 1, 0)}〉Ahora es fácil ver el U ′∪〈{(0, 0, 0, 1, 0)}〉 = R5. En consecuencia, 〈{(1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0)}〉es un espacio suplementario de U .
Ejercicio 2.11. Sea H = {a + bsqrt2 + csqrt3 | a, b, c ∈ Q} un subespacio de R como
Q-espacio vectorial. Encuentra un suplementario de Q en H.
Fuente: De Diego, B., Gordillo, E. y Valeiras, G. (1982), p. 138. Ejercicio 2.60.
Solución. Es claro que Q ⊂ H, luego es un subespacio de H. Como {1,√2,√3} es una base
de H y 〈{1}〉 = Q,⟨{√2,√3}⟩= {b
√2 + c
√3 | b, c ∈ Q} es un subespacio suplementario
de Q en H.
Capítulo 3
Aplicaciones lineales
En el presente capítulo revisaremos la noción de Aplicaciones Lineales. Para ello, re-
cordaremos en primer lugar una serie de de�niciones y resultados en los que sustentar el
desarrollo posterior. A continuación, los ejercicios planteados y su resolución justi�cada
paso a paso, facilitarán la comprensión de los conceptos básicos. Dividiremos los citados
ejercicios en los siguientes apartados:
De�nición de aplicación lineal
Subespacios asociados a una aplicación lineal
El espacio vectorial de las aplicaciones lineales
Matriz asociada a una aplicación lineal
Matriz de cambio de base
Como punto de partida, tomamos la de�nición que da título a este tema.
De�nición 3.1. Dados K-espacios vectoriales V y V ′, una aplicación f : V −→ V ′ se dice
que es una aplicación lineal si veri�ca:
f(u+ v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V
f(αu) = αf(u), ∀α ∈ K,∀u ∈ V
De�nición 3.2. Sea f : A −→ B es una aplicación y A′, B′ subconjuntos de A y B,
respectivamente. Entonces llamamos imagen de A′ por f al subconjunto de B: f(A′) =
{f(a′) ∈ W | a′ ∈ A′}. El subconjunto de A: f−1(B′) = {a ∈ A | f(a) ∈ B′} será la
imagen inversa de B′ por f .
21
22 CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
De�nición 3.3. Si f : V −→ W es una aplicación lineal, entonces llamamos núcleo al
conjunto Ker f = {x ∈ V | f(x) = 0W } = f1({0W }).
Proposición 3.4. Si f : V −→W es una aplicación lineal, entonces:
Si V1 es un subespacio de V , entonces f(V1) es un subespacio de W . En particular,
Im f es un subespacio W .
SiW1 es un subespacio deW , entonces f−1(W1) es un subespacio de V . En particular,
Ker f es un subespacio de V .
Proposición 3.5. Si f : V −→W es una aplicación lineal, entonces:
f inyetiva ⇔ Ker f = {0}.
f sobreyectiva ⇔ Im f =W
Proposición 3.6. Si f : V −→W es una aplicación lineal y B = {v1, . . . , vn} una base de
V , entonces {f(v1), . . . , f(vn)} es un sistema de generadores de Im f .
Teorema 3.7. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K, B = {v1, . . . , vn}una base de V y {w1, . . . , wn} un subconjunto de W , entonces existe una única aplicación
lineal f : V −→W tal que f(vi) = wi ∀i ∈ {1, . . . , n}.
Proposición 3.8. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Entonces, unaaplicación lineal f : V −→W queda completamente determinada si se conocen las imágenes
de los vectores de una base de V .
Proposición 3.9. Dada una aplicación lineal f : V −→W , se veri�ca:
f inyectiva ⇔ Para todo conjunto {v1, . . . , vr} linealmente independiente, el conjunto
{f(v1), . . . , f(vr)} también lo es.
f sobrectiva ⇔ Para todo conjunto de generadores de V {v1, . . . , vr}, el conjunto{f(v1), . . . , f(vr)} también es un conjunto de generadores de V .
f biyectiva⇔ Existe una base de V , {v1, . . . , vn}, tal que el conjunto {f(v1), . . . , f(vn)}es una base de W .
Proposición 3.10. Sea f : V −→ W una aplicación lineal entre espacios vectoriales de
dimensión �nita, entonces se veri�ca:
dimV = dim(Ker f) + dim(Im f).
23
De�nición 3.11. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo K. Denotamos por
LK(V,W ) al espacio vectorial de las aplicaciones lineales de V en W , con las aplicaciones:
LK(V,W )× LK(V,W ) −→ LK(V,W )
(f, g) 7−→ f + g
K× LK(V,W ) −→ LK(V,W )
(α, f) 7−→ αf
Donde las aplicaciones f + g y αf se de�nen como:
f + g : x ∈ V 7−→ (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∈W
αf : x ∈ V 7−→ (αf)(x) = αf(x) ∈W
De�nición 3.12. Sean V y U dos espacios vectoriales de dimensión �nita sobre el cuer-
po K, f ∈ LK(V,U) y sean BV = {v1, . . . , vn} y BU = {u1, . . . , um} bases de V y U ,
respectivamente. Entonces si x ∈ V se cumple:
↑coord.
de f(x)
resp.
base BU↓
=
↑ ↑coord. · · · coord.
de f(v1) · · · de f(vn)
resp. · · · resp.
base BU · · · base BU↓ ↓
↑coord.
de x
resp.
base BV↓
= (f)BV BU
↑coord.
de x
resp.
base BV↓
Llamamosmatriz asociada af respecto de las bases BV y BU a la matriz (f)BV BU .
Proposición 3.13. Sean V , U y W tres espacios vectoriales de dimensión �nita sobre
el cuerpo K, f ∈ LK(V,U) y g ∈ LK(U,W ) y sean BV , Bu y BW bases de V , U y W ,
respectivamente. Si (f)BV BU es la matriz asociada a f respecto de las bases BV y BU y
(g)BUBW es la matriz asociada a g respecto de las bases BU y BW , entonces la matriz
asociada a g ◦ f respecto de las bases BV y BW es (g ◦ f)BV BW = (g)BUBW (f)BV BU .
De�nición 3.14. Sean A = {a1, . . . , an} y B = {b1, . . . , bn} dos bases del K-espaciovectorial V . La matriz de cambio de base de A a B es la matriz de Mn cuyas columnas
son vectores columna de las coordenadas de los vectores b1, . . . , bn en la base A, es decir:
(Id)AB =
↑ ↑
coord. de b1 · · · coord. de bn
resp. base B · · · resp. base B↓ ↓
.
24 CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
Dado un vector x ∈ V , esta matriz nos permite calcular sus coordenadas en la base B, apartir de sus coordenadas en la base A:
↑coord. de x
resp. base B↓
=
↑ ↑
coord. de b1 · · · coord. de bn
resp. base B · · · resp. base B↓ ↓
↑coord. de x
resp. base A↓
A continuación, desarrollaremos una serie de ejercicios para facilitar el aprendizaje del
concepto de aplicación lineal, así como la de sus subespacios asociados.
Ejercicio 3.1. Veri�ca que son lineales las siguientes aplicaciones.
(a)f : Rn −→ Rn
x = (x1, x2, . . . , xn) 7−→ f(x) = ((−x1, x2, . . . , xn))
(b)g : R3 −→ R3
x = (x1, x2, x3) 7−→ f(x) = (x1, x2,−x3)
Fuente: Arvesú et al. (2003), p. 102. Ejemplos 1 y 2.
Solución. (a)
f(x+ y) = (f(x1 + y1, . . . , xn + yn) = (−x1 − y1, . . . , xn + yn)
= (−x1, . . . , xn) + (−y1, . . . ,−yn) = f(x) + f(y)
f(αx) = f((αx1, . . . , αxn)) = (−αx1, . . . , αxn) = α(−x1, . . . , xn) = αf(x)
Concluimos que f es una aplicación lineal.
(b)
g(x+ y) = g(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) = (x1 + y1, x2 + y2,−x3 − y3)
= (x1, x2,−x3) + (y1, y2,−y3) = g(x) + g(y)
g(αx) = (x1, x2, α− x3) = α(x1, x2,−x3) = αg(x)
Concluimos que g es una aplicación lineal.
Ejercicio 3.2. Estudia si son lineales o no las siguientes aplicaciones.
(a)f : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ f(x, y) = (x+ y, x)(b)
g : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ g(x, y) = (xy, x)
25
(c)h : R2 −→ R3
(x, y) 7−→ h(x, y) = (x, y, x+ y)
(d)k : R2 −→ R
(x, y) 7−→ k(x, y) = x2y2
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 195. Ejercicio 87.
Solución. (a) Sean x, y, x′, y′ ∈ R
f((x, y) + (x′, y′)) = f(x+ x′, y + y′) = (x+ x′ + y + y′, x+ x′)
= (x+ y, x) + (x′ + y′, x′) = f(x, y) + f(x′, y′)
Sean x, y ∈ R y α ∈ R
f(α(x, y)) = f((αx, αy)) = (αx+ αy, αx) = α(x+ y, x) = αf(x, y)
Luego f es una aplicación lineal.
(b) g no es una aplicación lineal, pues si tomamos (1, 1), (1, 2) ∈ R2 tenemos:
g((1, 1) + (1, 2)) = g(2, 3) = (6, 2) 6= (3, 2) = (1, 1) + (2, 1) = g(1, 1) + g(1, 2)
(c) h es aplicación lineal por analogía con el apartado a).
(d) k no es aplicación lineal, pues si cogemos (2, 1), (1, 0) ∈ R2, tenemos
k((2, 1) + (1, 0)) = k(3, 1) = 9 6= 4 = 22 + 0 = k(2, 1) + k(1, 0)
Ejercicio 3.3. Sean E1 y E2 subespacios del espacio vectorial E, consideramos el espacio
vectorial producto E1 × E21. ¾Es la aplicación f lineal? Calcula Ker f y Im f .
f : E1 × E2 −→ E
x = (x1, x2) 7−→ f(x) = x1 + x2
Fuente: Arvesú et al. (2003), p. 116. Ejercicio 4.10.
1Dados E1 y E2 dos espacios vectoriales �nitos sobre el mismo cuerpo K. Sobre el producto cartesiano
E1 × E2 de�nimos las operaciones:
E1 × E2 −→ E1 × E2
(x, y) = (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) 7−→ x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
K× E1 × E2 −→ E1 × E2
(α, x, y) = (α, x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) 7−→ αx = (αx1, . . . , αxn)
Con estas operaciones, E1 × E2 es un espacio vectorial sobre K, que denominamos espacio vectorial
producto y denotamos por E1 × E2.
26 CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
Solución. En primer lugar, comprobamos que f es una aplicación lineal.
Sean x, y ∈ E1 × E2.
f(x+ y) = x1 + y1 + x2 + y2 = f(x) + f(y)
f(αx) = αx1 + αx2 = αf(x)
Calculemos ahora sus subespacios asociados:
Ker f = {x ∈ E1×E2 | f(x) = 0} = {x ∈ E1×E2 | x1+x2 = 0} = {(x1,−x1) | x1 ∈ E1∩E2}
Im f = f(E1×E2) = {f(x) ∈ E | x ∈ E1×E2} = {x1 + x2 ∈ E | x ∈ E1×E2} = E1 +E2
Ejercicio 3.4. Indica si es verdadero o falso y justi�ca tu respuesta:
(a) Si f : R3 −→ R6 es aplicación lineal, entonces f no puede ser sobreyectiva.
(b) Si f : R3 −→ R2 es aplicación lineal, entonces Ker f = {0}.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 196. Ejercicio 98.
Solución. (a) Resulta sencillo comprobar la veracidad de este enunciado usando la Propo-
sición 3.6. Veamos, en primer lugar, su demostración:
Demostración. Tomamos un elemento w en la imagen de f, entonces existe u ∈ V tal
que f(u) = w. Por ser {v1, . . . , vn} base de V , podemos escribir u =∑n
i=1 αivi, y luego
w = f(∑n
i=1 αivi) =∑n
i=1 αif(vi), por ser f lineal.
Supongamos f sobreyectiva, es decir, Im f = W . Entonces, dada {v1, v2, v3} una base
de R3, por la Proposición 3.9, {f(v1), f(v2), f(v3)} debería ser una conjunto de genera-dores de R6, pero como vimos en el Capítulo 2 (Proposición 2.12), no podemos generar
un espacio de dimensión 6 con menos de seis vectores. Por lo tanto {f(v1), f(v2), f(v3)}no generan R6, y en consecuencia, f no puede ser sobreyectiva.
(b) Sea B = {e1, e2, e3} una base de R3. Por la proposición 3.6, {f(e1), f(e2), f(e3)} es unconjunto de generadores de R2.
Por ser B base, es un conjunto linealmente independiente. Por otro lado, {f(e1), f(e2), f(e3)}es un conjunto de tres vectores en R2, por lo tanto no pueden ser linealmente indepen-
dientes.
Por la Proposición 3.9, vemos que f no puede ser inyectiva y en virtud de la Proposición
3.5, concluimos que el enunciado es falso.
Ejercicio 3.5. Demuestra la Proposición 3.10.
27
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 149.
Demostración. Sea dimV = n y dimKer f = r. Tomamos una base del núcleo, {k1, . . . , kr}y (por el Teorema 2.3) la ampliamos a una base de V : {k1, . . . , kr, kr+1, . . . , kn}.Se tiene que f(k1) = f(k2) = · · · = f(kr) = 0 y, en consecuencia, el conjunto {f(kr+1), . . . , f(kn)}genera Im f .
Además, se trata de un conjunto de vectores linealmente independientes, pues:
n∑i=r+1
αif(ki)⇒ f(n∑
i=r+1
αiki) = 0⇒n∑
i=r+1
αiki ∈ Ker f
Dado que un vector del núcleo puede expresarse como combinación lineal de {k1, . . . , kr},y que un vector sólo se puede expresar de una única forma como combinación lineal
de los vectores de una base, tenemos que αi = 0 ∀i ∈ {r + 1, . . . , n} y, por lo tanto,
{f(kr+1), . . . , f(kn)} forman una base de Im f .
Ejercicio 3.6. Estudia si son lineales las siguientes aplicaciones, y en caso a�rmativo
calcula el núcleo y la imagen dando una base de cada uno de dichos subespacios.
(a)f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ f(x, y, z) = (z, x+ y,−z)
(b)g : R3 −→ R2
(x, y, z) 7−→ g(x, y, z) = (x+ y, 0)
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 195. Ejercicio 88.
Solución. (a) La aplicación f es lineal por analogía con el Ejercicio 3.2, apartado (a).
Los elementos del núcleo de f son los (x, y, z) ∈ R3 tales que f(x, y, z) = 0, es decir:z = 0
x+ y = 0
− z = 0
⇒{x = −yz = 0
Concluimos que Ker f = 〈{(−1, 1, 0)}〉.
Im f = {f((x, y, z)) ∈ R3 | (x, y, z) ∈ R3} = {(−z, x+ y, z) ∈ R2 | (x, y, z) ∈ R3}
= {(x+ y)(0, 1, 0) + z(−1, 0, 1) ∈ R3 | x, y, z ∈ R} = 〈{(−1, 0, 1), (0, 1, 0)}〉 .
Por ser {(−1, 0, 1), (0, 1, 0)} un conjunto linealmente independiente (ya que (−1, 0, 1) /∈{(0, 1, 0)}), es base de la imagen de f .
28 CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
(b) La aplicación g es lineal por analogía con el Ejercicio 3.2, apartado (a).
Los elementos del núcleo de g son los (x, y, z) ∈ R3 tales que g(x, y, z) = 0, es decir:
x+ y = 0. Entonces, Ker g = 〈{(−1, 1, 0), (0, 0, 1)}〉.Por ser un conjunto linealmente independiente, {(−1, 1, 0), (0, 0, 1)} es base del núcleode g.
Im g = {g((x, y, z)) ∈ R2 | (x, y, z) ∈ R3} = {(x+ y, 0) ∈ R2 | (x, y, z) ∈ R3}
= {(x+ y)(1, 0) ∈ R2 | x, y, z ∈ R} = 〈{(1, 0)}〉
Ejercicio 3.7. ¾Existe una aplicación lineal f : R3 −→ R4 de forma que su núcleo es el
subespacio generado por {(1, 0, 1), (1, 1, 1)} y cuya imagen está generada por {(1, 0, 0, 0), (1, 2, 0, 0)}?
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 189. Ejercicio 37.
Solución. No, puesto que no se veri�caría la fórmula de la Proposición 3.10, que a�rma
que dimV = dim(Ker f) + dim(Im f), siendo en nuestro caso V = R3 y dim(Ker f) =
dim(Im f) = 2.
Ejercicio 3.8. Sea {e1, e2} la base canónica de R2.¾Cuál es la única aplicación lineal
f ∈ LR(R2,R2) cumpliendo que f(e1) = (3, 0) y f(e2) = (1, 1)?
Fuente: Rojo (2007), p. 103. Ejemplo 3.1.8.
Solución. La aplicación f vendrá dada por:
f(x, y) = f(xe1 + ye2) = xf(e1) + yf(e2) = x(3, 0) + y(1, 1) = (3x+ y, y)
Ejercicio 3.9. Sea {e1, e2, e3} la base canónica de R3 y sea F la única aplicación li-
neal de mathbbR3 en R4 que cumple: f(e1) = (1, 0, 0, 1), f(e2) = (0,−1, 0, 0) y f(e3) =
(−1, 0, 0,−1). Calcular la imagen por f de un vector (x, y, z) ∈ R3. Hallar bases de Ker f
y Im f .
Fuente: Rojo (2007), p. 109. Ejemplo 3.
Solución. Sea (x, y, z) ∈ R3, la aplicación f viene dada por:
f(x, y, z) = f(xe1 + ye2 + ze3) = xf(e1) + yf(e2) + zf(e3)
= x(1, 0, 0, 1) + y(0,−1, 0, 0) + z(−1, 0, 0,−1) = (x− z,−y, 0, x− z)
El núcleo de f será {(x, y, z) ∈ R3 | f(x, y, z) = 0} = {(x, y, z) ∈ R3 | x = z, y = 0}. Esdecir, Ker f = 〈{(1, 0, 1)}〉. Por otro lado, la imagen de f estará generada por el conjunto
{(1, 0, 0, 1), (0,−1, 0, 0)}.
29
Ejercicio 3.10. Sea f : R3 −→ R3 la aplicación lineal de�nida por f(x, y, z) = (2x, x +
y, x − z)y S = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y = 0} un subespacio de R3. Calcula la imagen de S
por la aplicación f .
Fuente: Jerónimo, Sabia y Tesauri (2008), p. 70.
Solución. Los vectores de S son de la forma (x, y, x) ∈ R3, entonces los vectores de f(S)
serán de la forma: f(x, y, x) = (2x, x + y, 0) = x(2, 1, 0) + y(0, 1, 0), luego f(S) será el
subespacio de R3 generado por {(2, 1, 0), (0, 1, 0)}.
Ejercicio 3.11. Sea f : R3 → R3 la aplicación lineal de�nida por f(x, y, z) = (x+y, y, x−z)y T = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 0} un subespacio de R3. Calcula la imagen inversa de T por la
aplicación f .
Fuente: Jerónimo et al. (2008), página 71.
Solución. La imagen inversa de T por f será f−1(S) = {(x, y, z) ∈ R3 | f(x, y, z) =
(x + y, y, 0)} = {(x, y, z) ∈ R3 | x − z = 0} = {(x, y, z) ∈ R3 | x = z}, luego, f−1(T ) seráel subespacio de R3 generado por {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}.
Ejercicio 3.12. Sean {v1, · · · , vn} un conjunto de vectores linealmente independientes.
Probar que el sistema {u1, . . . , un} también lo es, siendo: u1 = v1, u2 = v1 + v2, un =
v1 + v2 + · · ·+ vn.
Fuente: Arvesú et al. (2006), p. 83. Ejemplo 3.7.
Solución. Consideramos la aplicación lineal f : V =< v1, · · · , vn >−→ V tal que f(v1) =
u1, f(v2) = u2, · · · , f(vn) = un. Entonces, la matriz asociada a f respecto de {v1, · · · , vn}y {u1, . . . , un} es:
fBvBu =
1 1 · · · 1
0 1 · · · 1...
.... . .
...
0 0 · · · 1
∈Mn
Es fácil ver Kerf = {0}, luego por la proposición 3.10 dim(Im f) = dimV , y en virtud
de la proposicón 3.9 f sobreyectiva. En consecuencia, {u1, · · · , un} es un sistema de gene-
radores de V con n elementos. Luego, {u1, · · · , un} es una base de V y por lo tanto, un
conjunto de vectores linealmente independiente.
30 CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
A continuación, prestamos atención al grupo de las trasformaciones lineales para ver
que, efectivamente, tiene estructura de espacio vectorial.
Ejercicio 3.13. Comprueba que LK(V,W ) es un espacio vectorial con las operaciones
dadas en la De�nición 3.11.
Solución. Dado que LK(V,W ) es cerrado tanto para la suma como para el producto por
escalares, nos quedan por comprobar las propiedades relativas a cada una de las operacio-
nes. Veamos primero aquellas que involucran a la operación interna.
Sea x ∈ V :
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)⇒ f + g = g + f .
((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + (g + h)(x) =
(f + (g + h))(x)⇒ (f + g) + h = f + (g + h).
Tomamos como elemento nulo la aplicación lineal 0: V 7−→ W que lleva cualquier
elemento de V al 0W ∈ W : (0 + f)(x) = 0(x) + f(x) = 0W + f(x) = f(x). Luego,
0 + f = f + 0 = f .
Sea (−f) ∈ V la aplicación lineal de�nida como (−f) : x ∈ V 7−→ (−f)(x) = −f(x) ∈W . Entonces: (f + (−f))(x) = f(x) + (−f)(x) = f(x) − f(x) = 0 ⇒ f + (−f) =
(−f) + f = 0.
Estas propiedades se cumplen ∀f, g, h ∈ LK(V,W ). Veamos ahora las propiedades relativas
a la operación externa, ∀α, β ∈ K y ∀f, g ∈ LK(V,W ):
α(f + g)(x) = α(f(x) + g(x)) = αf(x) + αg(x)⇒ α(f + g) = αf + αg
((α+ β)f)(x) = (α+ β)f(x) = αf(x) + βf(x)⇒ (α+ β)f = αf + βf
(α(βf))(x) = α(βf(x)) = (αβ)f(x)⇒ α(βf) = (αβ)f
(1Kf)(x) = 1Kf(x) = f(x)⇒ 1Kf = f
Concluimos que LK(V,W ) es un espacio vectorial con las operaciones dadas.
En esta última sección del capítulo trabajaremos con las matrices asociadas a las apli-
caciones lineales así como con la matriz de cambio de base.
Ejercicio 3.14. Calcular la matriz asociada a la aplicación f : R3 −→ R2 dada por
f(x, y, z) = (x− y, y − z) respecto de las bases canónicas.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 190. Ejercicio 49.
31
Solución. Aplicamos f sobre la base canónica de R3 y obtenemos las imágenes de los
elementos de C: f(1, 0, 0) = (1, 0), f(0, 1, 0) = (−1, 1) y f(0, 0, 1) = (0,−1). Colocando
estas imágenes en vertical, obtenemos la matriz asociada a f : (f)CC =
(1 −1 0
0 1 −1
).
Ejercicio 3.15. Sea f : R3 −→ R2 la aplicación lineal dada por f(e1) = (−1, 0), f(e2) =(2, 1) y f(e3) = (3, 3). Calcular la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas, su
núcleo y su imagen.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 197. Ejercicio 100.
Solución. Teniendo en cuenta las imágenes por f de la base canónica de R3, la matriz
asociada a f respecto de las bases canónicas será: (f)C3C2 =
(−1 2 3
0 1 3
). Pasamos ahora
a calcular el núcleo de f. Dado (x, y, z) ∈ R3, éste pertenecerá al núcleo de f si cumple:
f((x, y, z)) =
(−1 2 3
0 1 3
)x
y
z
=
0
0
0
Es decir,
{− x+ 2y + 3z = 0
y + 3z = 0⇒ y = −3z
}⇒ −x− 6z + 3z = 0⇒ x = −3z
Concluimos que el núcleo de f será el subespacio de R3 generado por el vector (−3,−3, 1).Calculamos ahora la imagen de f .
Im f 〈f(e1), f(e2), f(e3)〉 == 〈{(−1, 0), (2, 1), (3, 3)}〉
Ejercicio 3.16. En R3 se considera el endomor�smo f dado por f(0, 0, 1) = (0, 0, 1),
f(1,−1, 0) = (1,−1, 0) y f(1, 1, 0) = (0, 0, 0). Calcular la matriz asociada a las bases
canónicas y comprobar que Ker f ⊕ Im f = R3.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 196. Ejercicio 109.
Solución. Vemos que f está bien de�nida porque los vectores {(0, 0, 1), (1,−1, 0), (1, 1, 0)}forman una base de R3 (puesto que son tres vectores linealmente independientes en R3).
En primer lugar, calculamos las imágenes de los elementos de la base canónica de R3:f(e1) =
12f(1, 1, 0) +
12f(1,−1, 0) =
12(0, 0, 0)−
12(1,−1, 0) = (−1
2 ,12 , 0)
f(e2) =12f(1, 1, 0)−
12f(1,−1, 0) =
12(0, 0, 0)−
12(1,−1, 0) = (−1
2 ,12 , 0)
f(e3) = (0, 0, 1)
32 CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
La matriz asociada a f en las bases canónicas será: (f)CC =
−1
2 −12 0
12
12 0
0 0 1
.
Los elementos del núcleo de f serán aquellos cuya imagen sea cero, es decir:−1
2 −12 0
12
12 0
0 0 1
x
y
z
=
0
0
0
⇒− 1
2x−12y = 0⇒ y = −x
12x+ 1
2y = 0⇒ y = −xz = 0
Luego,Ker f = 〈(1,−1, 0)〉. La imagen de f está generada por el conjunto {f(0, 0, 1), f(1,−1, 0), f(1, 1, 0)},luego Im f = 〈{(−1, 1, 0), (0, 0, 1)}〉. Como (−1, 1, 0) /∈ 〈{(0, 0, 1)}〉, {(−1, 1, 0), (0, 0, 1)} esun conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, es una base de Im f .
Es fácil comprobar que {(1,−2, 0), (−1, 1, 0), (0, 0, 1)} es un conjunto linealmente indepen-
diente. En consecuencia, tenemos que {(1,−2, 0), (−1, 1, 0), (0, 0, 1)} es base de R3 y queda
entonces probado que Ker f ⊕ Im f = R3.
Ejercicio 3.17. La aplicación lineal f : R3 −→ R2 respecto de las bases B = {e1, e2, e3} yB′ = {v1, v2}, viene dada por: f(e1 + e2) = v1 + v2, f(e1 + e3) = v1 + v2 y f(e2 + e3) = v1.
Calcular la matriz asociada a f en las bases B y B′.
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 196. Ejercicio 98
Solución. En primer lugar, hallemos las imágenes de los elementos de la base B. Tenemos
que e1 = 12(e1 + e2) +
12(e1 + e3)− 1
2f(e2 + e3), entonces:
f(e1) =1
2f(e1 + e2) +
1
2f(e1 + e3)−
1
2f(e2 + e3) =
1
2(v1 + v2) +
1
2(v1 + v2)−
1
2v1
=1
2v1 +
1
2v2 +
1
2v1 +
1
2v2 −
1
2v1 =
1
2v1 + v2
Ahora, f(e3) = f(e1 + e3)− f(e1) = v1 + v2 − 12v1 − v2 =
12v1.
Y entonces: f(e2) = f(e2 + e3)− f(e3) = v1 − 12v1 =
12v1.
La matriz asociada a la aplicación f respecto de las bases B y B′ será: fBB′ =
(12
12
12
1 0 0
).
Ejercicio 3.18. Sea f el endomor�smo de R3 cuya matriz asociada respecto de la base B =
{e1, e2, e3} es fBB. Calcula la matriz asociada a f respecto de la base B′ = {e1, f(e2), f2(e3)}de R3.
fBB =
3 2 −1−2 −1 0
4 3 1
33
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 195. Ejercicio 91.
Solución. Calculamos, en primer lugar, los vectores de B′.
f(e2) =Mfe2 = (2,−1, 3)
f(e3) =Mfe3 = (−1, 0, 1)⇒ f2(e3) = f(f(e3)) = f(−1, 0, 1) = (−4, 2,−3)
Luego, B′ = {(1, 0, 0), (2,−1, 3), (−4, 2,−3)}.Calculamos ahora las imágenes de {e1, f(e2), f2(e3)}.
f(e1) = f(1, 0, 0) = (3,−2, 4) = (−1)(1, 0, 0) + 23(2,−1, 3)−
23(−4, 2,−3)
f(f(e2)) = f(2,−1, 3) = (1,−3, 8) = 0(1, 0, 0) + 1(2,−1, 3) + 0(−4, 2,−3)
f(f2(e3)) = f(−1, 0, 1) = (−4, 2,−3) = 0(1, 0, 0) + 0(2,−1, 3) + 1(−4, 2,−3)
En consecuencia, la matriz asociada a f respecto de la base B′ es: fB′B′ =
−1 0 023 1 0−23 0 1
.
Ejercicio 3.19. Consideramos las bases de R2: B = {(1, 0), (1, 3)} y B′ = {(0, 1), (1, 1)}.Hallar la matriz de cambio de base IdBB′ .
Fuente: Gerber. (1992), p. 324. Ejercicio 11.
Solución. Calculamos las coordenadas en base B′ de los vectores de la base B.
(1, 0) = (−1)(0, 1)+1(1, 1) y (1, 3) = 2(0, 1)+1(1, 1). En consecuencia: IdBB′ =
(−1 2
1 1
).
Ejercicio 3.20. Sean las aplicaciones f : R2 −→ R3 tal que f(x, y) = (x−y, 2x−y, x+3y)
y g : R3 −→ R2 tal que g(1, 0, 0) = (−1, 2), g(0, 1, 0) = (1, 1) y g(0, 0, 1) = (0,−3). Hallarla matriz asociada a g◦f respecto de las bases canónicas de R2 y R3, C2C3, respectivamente.
Fuente: De Diego et al. (2007), p. 209. Ejemplo 3.
Solución. Vemos que f(1, 0) = (1, 2, 1) y f(0, 1) = (−1,−1, 3), luego (f)C2C3 =
1 −12 1
1 3
.
Por otro lado, (g)C3C2 =
(−1 1 0
2 1 −3
). Por la Proposición 3.13, (g◦f)C2C2 = (g)C3C2(f)C2C3 .
Luego,
(g ◦ f)C2C2 =
(−1 1 0
2 1 −3
)1 −12 1
1 3
=
(1 2
1 −10
)
34 CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
Ejercicio 3.21. Sean B y B′ bases de R2 tales que (Id)BB′ =
(1 1
0 −3
)es la matriz de
cambio de base de B a B′. Si las coordenadas del vector u ∈ R2 en la base B son (−1, 4),calcula las coordenadas de u en la base B′.
Funte: Larson, Edwards y Falvo. (2004), p. 394. Ejercicio 6.
Solución. Por la De�nición 3.14:↑
coord. de u
resp. base B′
↓
= (Id)BB′
↑
coord. de u
resp. base B↓
=
(1 1
0 −3
)↑
coord. de u
resp. base B↓
=
(3
−12
).
Ejercicio 3.22. En el espacio vectorial R3 se consideran las bases B = {(5, 3, 1), (1,−3,−2), (1, 2, 1)}y B′ = {(−2, 1, 0), (−1, 3, 0), (−2,−3, 1)}. Calcular la matriz de cambio de base de B a B′.
Fuente: Larson, Edwards y Falvo. (2004), p. 395. Ejercicio 9.
Solución. Para hallar la matriz asociada debemos expresar las coordenadas de los vectores
de la base B′ respecto de la base B′:
(−2, 1, 0) = (−5)(5, 3, 1) + 6(1,−3,−2) + 17(1, 2, 1)
(−1, 3, 0) = −10(5, 3, 1) + 13(1,−3,−2) + 36(1, 2, 1)
(−2,−3, 1) = 12(5, 3, 1)− 17(1,−3,−2)− 45(1, 2, 1)
Tenemos entonces que (Id)BB′ =
−5 −10 17
6 13 −1717 36 −45
.
Capítulo 4
Calculo Matricial
El Cálculo Matricial es una de las herramientas del álgebra de más amplia utilización
en el campo de las tecnologías de la información y la comunicación, entre otras. En este
capítulo abordaremos su estudio partiendo de una serie de de�niciones y resultados bá-
sicos estructurados según el siguiente esquema. A continuación, mediante un conjunto de
ejercicios pretendemos fortalecer la comprensión de las matrices y su sistema de cálculo.
Operaciones con matrices
Matrices no singulares
Matrices elementales
Equivalencia de matrices
Rango de una matriz
Comenzamos el capítulo revisando algunos conceptos que nos serán de utilidad. Por su
sencillez, se obviarán las de�niciones de matriz, suma y producto de matrices, así como sus
propiedades más básicas (éstas podrán ser consultadas en Gerber (1992), p. 49-68).
De�nición 4.1. Sea A = (aij) ∈Mn×n, entonces la traspuesta de A, denotada por At,
es una matriz n×m tal que At = (aji).
Proposición 4.2. Para cualquier par de matrices A y B (con los órdenes adecuados en
cada caso y coe�cientes en K) y para todo escalar α ∈ K, se cumple:
(At)t = A.
(A+B)t = At +Bt.
35
36 CAPÍTULO 4. CALCULO MATRICIAL
(αA)t = α(At).
(AB)t = BtAt.
De�nición 4.3. Sean A y B matrices en Mn y In la matriz identidad de orden n. Si
AB = BA = In, entonces decimos que A es la inversa de B y que B es la inversa de A,
es decir, A = B−1 y B = A−1. Decimos que A (y también B) es una matriz invertible (o
no singular). Cuando A no tiene inversa, diremos que es no invertible o singular.
Proposición 4.4. Si una matriz es invertible, entonces su inversa es única.
Proposición 4.5. Sen A y B matrices invertibles en Mn. Entonces, (AB)−1 = B−1A−1.
De�nición 4.6. Dada una matriz, las siguientes se denominan operaciones elementales
por �las:
Intercambiar dos �las.
Multiplicar una �la por un escalar distinto de cero.
Sumar a una �la, otra �la multiplicada por un escalar.
Se dice que una matriz E es elemental si se obtiene a partir de la identidad mediante
una única transformación lineal. Los tres tipos de matriz elemental son:
La matriz EFiFj resultante de la identidad al permutar la �la i con la �la j (que
coincide con la permutación de las columnas i y j ECiCj ).
La matriz EbFi= EbCi
que resulta de multiplicar a �la i por b (coincide con multi-
plicar la columna i por b).
La matriz EFi+bFj= ECj+bCi
que resulta de la identidad al sumarle a la �la i la �la
j multiplicada por b (coincide con sumarle a la columna j la comuna i multiplicada
por b).
Proposición 4.7. Toda matriz elemental es invertible y su inversa es también una matriz
elemental.
Proposición 4.8. Sea A = (aij) ∈Mn×m y E una matriz elemental (del orden conveniente
en cada caso), entonces el producto EA da como resultado la matriz resultante de aplicarle
a las �las de A la misma transformación elemental que le aplicamos a las �las de la matriz
identidad (In) para obtener E. Del mismo modo, el producto AE da como resultado la
matriz resultante de aplicarle a las columnas de A la misma transformación elemental que
le aplicamos a las columnas de la matriz identidad (Im) para obtener E.
37
De�nición 4.9. Se dice que dos matrices A y B son equivalentes por �las si podemos
pasar de una a otra mediante una serie de transformaciones elementales por �las.
Proposición 4.10. Si A y B son matrices equivalentes por �las de Mn×m, entonces existen
una serie de matrices elementales E1, E2, . . . , Er tales que ErEr−1 · · ·E2E1A = B.
De�nición 4.11. Una matriz se dice en escalera si cumple:
Las �las nulas, si las hay, están de últimas.
El primer elemento no nulo de cada �la vale 1.
Dadas dos �las sucesivas, no nulas, el uno de la �la superior estará más a la izquierda
que el 1 de la �la inferior.
Una matriz en escalera se dice reducida si las columnas que tienen un 1 tienen todas
las demás entradas iguales a 0.
Proposición 4.12. Toda matriz A ∈M se puede factorizar de la forma A = LU , donde
L es invertible y U es de la forma escalonada reducida por �las.
Teorema 4.13. Toda matriz es equivalente a una única matriz en forma escalonada redu-
cida.
Teorema 4.14. Una matriz A ∈Mn es invertible si y sólo si es equivalente por �las a la
matriz identidad In. Cualquier sucesión de operaciones elementales �la que reduzca A a la
identidad In, aplicada sobre la identidad, produce A−1.
De�nición 4.15. Sea A ∈M. El número de �las de A (o columnas) que son linealmente
independientes se denomina rango de A y se denota por rang(A).
Proposición 4.16. Para una matriz A ∈Mn×m el rango de A coincide con el número de
�las no nulas de la matriz en forma escalonada reducida.
Proposición 4.17. Sea A ∈Mn. Son equivalentes:
A es una matriz singular.
rang(A) < n.
Con este primer ejercicio, revisamos los conceptos de subespacio vectorial, base y di-
mensión, aplicados al espacio vectorial de las matrices Mn, para así refrescar la forma de
operar con ellas.
38 CAPÍTULO 4. CALCULO MATRICIAL
Ejercicio 4.1. Comprueba que el conjunto de las matrices antisimétricas de Mn es un
subespacio vectorial. Halla una base y la dimensión de dicho subespacio.
Fuente: Arvesú et al. (2003), p.83. Ejemplo 3.7.
Solución. Consideramos dos matrices antisimétricas en Mn:
A =
0 −a21 · · · −an1a21 0 · · · −an2...
.... . .
...
an1 an2 · · · 0
B =
0 −b21 · · · −bn1b21 0 · · · −bn2...
.... . .
...
bn1 bn2 · · · 0
Veamos que el conjunto considerado, que denotaremos por A, es cerrado para la suma y el
producto por escalar. Para todo A+B ∈ A y todo αA ∈ A:
A+B =
0 −(a21 + b21) · · · −(an1 + bn1)
a21 + b21 0 · · · −(an2 + bn2)...
.... . .
...
an1 + bn1 an2 + bn2 · · · 0
αA =
0 −α(a21) · · · −α(an1)
αa21 0 · · · −α(an2)...
.... . .
...
αan1 αan2 · · · 0
Para A+B ∈ A vemos que, además, la suma es conmutativa:
A+B =
0 −(a21 + b21) · · · −(an1 + bn1)
a21 + b21 0 · · · −(an2 + bn2)...
.... . .
...
an1 + bn1 an2 + bn2 · · · 0
=
0 −(b21 + a21) · · · −(bn1 + an1)
b21 + a21 0 · · · −(bn2 + an2)...
.... . .
...
bn1 + an1 bn2 + an2 · · · 0
= B +A
39
Hallemos ahora una base para este subespacio de Mn.
Toda matriz A ∈ A se puede expresar de la siguiente forma:
A =
0 −a21 · · · −an1a21 0 · · · −an2...
.... . .
...
an1 an2 · · · 0
= a12
0 −1 · · · 0
1 0 · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · 0
+ an1
0 0 · · · −10 0 · · · 0...
.... . .
...
1 0 · · · 0
+
+ · · ·+ an2
0 0 · · · 0
0 0 · · · −1...
.... . .
...
0 1 · · · 0
+ · · ·+ an,n−1
0 · · · 0 0...
.... . .
...
0 · · · 0 −10 · · · 1 0
(∗)
Denotamos por Aij a las matrices que acompañan a los escalares aij .
Sea B = {A21, · · · , An1} ∪ {A32, · · · , An2} ∪ · · · ∪ {An,n−1}. Entonces, A =< B >. Lo cual
demuestra que B es un conjunto de generadores del espacio A. B es además un sistema
linealmente independiente pues la combinación lineal (∗) igualada a la matriz nula implica
necesariamente que aij = 0 y en consecuencia, que B es una base de A.
Contemos, ahora, el número de vectores de B:
dimA = (n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 2 + 1 =n−1∑i=1
i =n(n− 1)
2=
(n
2
)Hemos empleado la fórmula de la suma de una progresión aritmética de n− 1 términos
consecutivos, es decir:n∑i=1
i =(a1 + an)n
2
Como en nuestro caso el mayor índice es'n− 1', tenemos:
n−1∑i=1
i =(a1 + an−1)(n− 1)
2=
((1) + (n− 1))(n− 1)
2=n(n− 1)
2.
A continuación incluimos un par de ejercicios sencillos para acabar de familiarizarnos
con el trabajo con matrices.
Ejercicio 4.2. Sea A =
(2 −6−1 3
). Encuentra la expresión de las matrices B ∈M2 que
veri�can A ·B = 02, donde 02 es la matriz nula de orden 2.
40 CAPÍTULO 4. CALCULO MATRICIAL
Fuente: Arvesú et al. (2003), p. 70. Ejercicio 2.2.
Solución. Sea B =
(b1 b2
b3 b4
).
A ·B =
(2 −6−1 3
)·
(b1 b2
b3 b4
)=
(2b1 − 6b3 −(2b2 − 6b4)
−(−b1 + 3b3) −b2 + 3b4
)= O2 ⇒
⇒
(1o) 2b1 − 6b3 = 0⇒ b1 = 3b3
(2o) − 2b2 + 6b4 = 0⇒ b2 = 3b4
(3o) b1 − 3b3 = 0⇒ b1 = 3b3
(4o) − b2 + 3b4 = 0⇒ b2 = 3b4
⇒{b1 = 3b3
b2 = 3b4
Luego, la matriz B será de la forma: B =
(3α 3β
α β
)∀α, β ∈ R
Ejercicio 4.3. Demuestra los siguientes resultados para A ∈Mn.
(a) La matriz 12(A+At) es simétrica .
(b) La matriz 12(A−A
t) es antisimétrica.
(c) Toda matriz A ∈Mnxn se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y otra
antisimétrica.
Fuente: Gerber (1992), p. 108. Ejercicio 6.
Solución. (a) 12(A + At) simétrica ⇔ A + At simétrica ⇔ (A + At)t = A + At, pero
efectivamente: (A+At)t = At + (At)t = At +A = A+At.
(b) 12(A−A
t) antisimétrica ⇔ A−At antisimétrica ⇔ (A−At)t = −(A−At) = A−At,pero efectivamente: (A−At)t = At − (At)t = −(A+At).
(c) Sea A1 =12(A+At) simétrica y A2 =
12(A−A
t) antisimétrica. Es fácil ver que la suma
es A: A1 +A2 =12(A+At) + 1
2(A−At) = 1
2A+ 12A
t + 12A−
12A
t = A.
Desarrollamos, a continuación, una serie de ejercicios para practicar con la de�nición
de matriz singular, matriz invertible e inversa de una matriz, introduciendo también las
trasformaciones elementales.
Ejercicio 4.4. Comprueba que A es la inversa de B, siendo A =
1 2 3
2 3 4
3 4 6
y
B =
−2 0 1
0 3 −21 −2 1
.
41
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 65. Ejercicio 18.
Solución. Calculemos la inversa de A y veamos que ésta coincide con B.
(A I3
)=
1 2 3 1 0 0
2 3 4 0 1 0
3 4 6 0 0 1
∼
1 2 3 1 0 0
0 −1 −2 −2 1 0
0 −2 −3 −3 0 1
∼
∼
1 2 3 1 0 0
0 −1 −2 −2 1 0
0 0 1 1 −2 1
∼
1 2 3 1 0 0
0 −1 0 0 −3 2
0 0 1 1 −2 1
∼
∼
1 2 3 1 0 0
0 1 0 0 3 −20 0 1 1 −2 1
∼
1 2 0 −2 6 −30 1 0 0 3 −20 0 1 1 −2 1
∼
∼
1 0 0 −2 0 1
0 1 0 0 3 −20 0 1 1 −2 1
=(
I3x3 A−1)⇒ A−1 =
−2 0 1
0 3 −21 −2 1
= B
Otra forma de resolver este ejercicio es comprobar si B veri�ca la de�nición de inversa
de A, es decir:
{A ·B = I3x3
B ·A = I3x3
•
A ·B =
1 2 3
2 3 4
3 4 6
·−2 0 1
0 3 −21 −2 1
=
=
1 · (−2) + 2 · 0 + 3 · 1 1 · 0 + 2 · 3 + 3 · (−2) 1 · 1 + 2 · (−2) + 3 · 12 · (−2) + 3 · 0 + 4 · 1 2 · 0 + 3 · 3 + 4 · (−2) 2 · 1 + 3 · (−2) + 4 · 13 · (−2) + 4 · 0 + 6 · 1 3 · 0 + 4 · 3 + 6 · (−2) 3 · 1 + 4 · (−2) + 6 · 1
= I3x3
•
B ·A =
−2 0 1
0 3 −21 −2 1
·
1 2 3
2 3 4
3 4 6
=
=
(−2) · 1 + 0 · 2 + 1 · 3 (−2) · 2 + 0 · 3 + 1 · 4 (−2) · 3 + 0 · 4 + 1 · 60 · 1 + 3 · 2 + (−2) · 3 0 · 2 + 3 · 3 + (−2) · 4 0 · 3 + 3 · 4 + (−2) · 61 · 1 + (−2) · 2 + 1 · 3 1 · 2 + (−2) · 3 + 1 · 4 1 · 3 + (−2) · 4 + 1 · 6
= I3x3
42 CAPÍTULO 4. CALCULO MATRICIAL
Ejercicio 4.5. Comprueba que la matriz A es singular, con A =
1 2 0
3 −1 2
−2 3 −2
.
Fuente: Larson et al. (2004), p.76. Ejercicio 4.
Solución. Buscamos una �la de ceros en la matriz A, y colocamos la identidad al lado
apara ver las transformaciones que vamos aplicando:
(A I3
)∼
1 2 0 1 0 0
3 −1 2 0 1 0
−2 3 −2 0 0 1
∼
1 2 0 1 0 0
0 −7 2 −3 1 0
−2 3 −2 0 0 1
∼
∼
1 2 0 1 0 0
0 −7 2 −3 1 0
0 7 −2 2 0 1
∼
1 2 0 1 0 0
0 −7 2 −3 1 0
0 0 0 −1 1 1
Luego A no es equivalente por �las a la identidad por tanto es singular.
Ejercicio 4.6. Identi�ca las transformaciones elementales que se aplican a la matriz A ∈M3 en cada caso:
(a) 1 0 0
0 1 0
−2 0 1
·A(b)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
·A(c)
1 0 0
0 2 0
0 0 1
·AFuente: Merino y Santos (2006), p. 64. Ejercicio 12.
Solución. (a) En virtud de la Proposición 4.8, concluimos que esta multiplicación restará
a la tercera �la de A el doble de la primera �la.
(b) Por la Proposición 4.8, obtendremos la matriz A con la primera y tercera �la inter-
cambiadas.
(c) Por 4.8, este producto multiplicará la segunda �la de A por 2.
Ejercicio 4.7. ¾Son singulares estas matrices? Si es posible, halla su inversa.
43
(a)
(−3 6
−1 3
)(b)
1 4 −3−2 −7 6
1 7 −2
(c)
1 5 0
−2 −7 6
1 3 −4
Fuente: Arvesú et al. (2003), p. 70. Ejercicio 2.3.
Solución. (a) Aplicamos operaciones elementales por �las a la matriz en cuestión con el
objetivo de obtener la matriz identidad.(A I2
)∼
(−3 6 1 0
−1 6 0 1
)∼
(1 0 1 −2−1 6 0 1
)∼
(1 0 1 −20 3 1 −1
)∼
∼
(1 0 1 −20 1 1/3 −1/3
)=(
I2x2 A−1)
Como obtuvimos que A es equivalente por �las a la matriz identidad, A es no singular
y su inversa es:
A−1 =
(1 −21/3 −1/3
)(b) Procedemos como en el apartado (a):
(B I3
)∼
1 4 −3 1 0 0
−2 −7 6 0 1 0
1 7 −2 0 0 1
∼
1 4 −3 1 0 0
0 1 0 2 1 0
0 3 1 1 0 −1
∼
∼
1 0 −3 −7 −4 0
0 1 0 2 1 0
0 0 1 −7 −3 1
∼
1 0 0 −28 −13 3
0 1 0 2 1 0
0 0 1 −7 −3 1
=(
I3x3 B−1)⇒
⇒ B−1 =
−28 −13 3
2 1 0
−7 −3 1
(c)
(C I3
)∼
1 5 0 1 0 0
−2 −7 6 0 1 0
1 3 −4 0 0 1
∼
0 0 0 1 −2 −3−2 −7 6 0 1 0
1 3 −4 0 0 1
En consecuencia, C no es equivalente por �las a la identidad. Luego, es singular y no
tiene inversa.
44 CAPÍTULO 4. CALCULO MATRICIAL
Ejercicio 4.8. Calcula la inversa de la matriz A =
1 + a 1 1 · · · 1
1 1 + a 1 · · · 1
1 1 1 + a · · · 1...
......
...
1 1 1 · · · 1 + a
,
donde a ∈ R \ {0}.
Fuente: Rojo (2007), p.141. Ejercicio 3.4.37.
Solución.
1 + a 1 1 · · · 1 1 0 0 0 0
1 1 + a 1 · · · 1 0 1 0 0 0
1 1 1 + a · · · 1 0 0 1 0 0...
......
... 0 0 0 1 0
1 1 1 · · · 1 + a 0 0 0 0 1
∼
∼
n+ a n+ a n+ a · · · n+ a 1 1 1 1 1
1 1 + a 1 · · · 1 0 1 0 0 0
1 1 1 + a · · · 1 0 0 1 0 0...
......
... 0 0 0 1 0
1 1 1 · · · 1 + a 0 0 0 0 1
∼
∼
1 1 1 · · · 1 1n+a
1n+a
1n+a
1n+a
1n+a
1 1 + a 1 · · · 1 0 1 0 0 0
1 1 1 + a · · · 1 0 0 1 0 0...
......
... 0 0 0 1 0
1 1 1 · · · 1 + a 0 0 0 0 1
∼
∼
1 1 1 · · · 1 1n+a
1n+a
1n+a
1n+a
1n+a
0 a 0 · · · 0 − 1n+a 1− 1
n+a − 1n+a − 1
n+a − 1n+a
0 0 a · · · 0 − 1n+a − 1
n+a 1− 1n+a − 1
n+a − 1n+a
......
...... − 1
n+a − 1n+a − 1
n+a 1− 1n+a − 1
n+a
0 0 0 · · · a − 1n+a − 1
n+a − 1n+a − 1
n+a 1− 1n+a
∼
∼
1 1 1 · · · 1 aa(n+a)
aa(n+a)
aa(n+a)
aa(n+a)
aa(n+a)
0 1 1 · · · 1 −1a(n+a)
n+a−1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)
0 0 1 · · · 1 −1a(n+a)
−1a(n+a)
n+a−1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)
......
...... −1
a(n+a)−1
a(n+a)−1
a(n+a)n+a−1a(n+a)
−1a(n+a)
0 0 0 · · · 1 −1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)a
−1a(n+a)
n+a−1a(n+a)
∼
45
∼
1 0 0 · · · 0 n+a−1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)
0 1 0 · · · 0 −1a(n+a)
n+a−1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)
0 0 1 · · · 0 −1a(n+a)
−1a(n+a)
n+a−1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)
......
...... −1
a(n+a)−1
a(n+a)−1
a(n+a)n+a−1a(n+a)
−1a(n+a)
0 0 0 · · · 1 −1a(n+a)
−1a(n+a)
−1a(n+a)a
−1a(n+a)
n+a−1a(n+a)
Luego, A−1 = 1a(n+a)
n+ a− 1 −1 −1 · · · −1−1 n+ a− 1 −1 · · · −1−1 −1 n+ a− 1 · · · −1...
......
...
−1 −1 −1 · · · n+ a− 1
.
Ejercicio 4.9. Estudia si las siguientes matrices A y B son equivalentes:
A =
1 1 0 3
1 2 2 1
3 5 4 5
, B =
2 1 0 2
4 1 2 6
3 1 1 4
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 66. Ejercicio 31.
Solución. Comenzamos simpli�cando las matrices. Para ello obtenemos matrices escalona-
das equivalentes a las iniciales.
(A)∼
1 1 0 3
1 2 2 1
3 5 4 5
∼
3 5 4 5
1 2 2 1
1 1 0 3
∼
∼
3 5 4 5
0 13
23 −2
3
1 1 0 3
∼
3 5 4 5
0 13
23 −2
3
0 −23 −4
343
∼
3 5 4 5
0 13
23 −2
3
0 0 0 0
(B)∼
2 1 0 2
4 1 2 6
3 1 1 4
∼
4 1 2 6
2 1 0 2
3 1 1 4
∼
∼
4 1 2 6
0 12 −1 −1
3 1 1 4
∼
4 1 2 6
0 12 −1 −1
0 14 −1
2 −13
∼
4 1 2 6
0 12 −1 −1
0 0 0 0
No es posible transforma una las matrices obtenidas en la otra mediante transformaciones
elementales por �las. En consecuencia, A y B no son equivalentes por �las.
46 CAPÍTULO 4. CALCULO MATRICIAL
Para terminar este capítulo, trabajaremos con la noción de rango de una matriz.
Ejercicio 4.10. Proporciona ejemplos de matrices A,B ∈Mmxn tales que:
(a) rang(A+B) = rang(A) = rang(B)
(b) rang(A+B) = rang(A) + rang(B)
(c) rang(A+B) > rang(A), rang(B)
(d) rang(A+B) < rang(A), rang(B)
Fuente: Gerber (1992), p. 250. Ejercicio 9.
Solución. (a) Si tomamos A =
(1 0
0 0
)y B =
(2 0
0 0
), entonces, A + B =
(3 0
0 0
), y
rang(A) = 1, rang(B) = 1 y rang(A+B) = 1.
(b) Si tomamos A =
(1 0
0 0
)y B =
(0 0
0 1
), entonces, A+B =
(1 0
0 1
), y rang(A) = 1,
rang(B) = 1 y rang(A+B) = 2.
(c) Tomamos ahora A =
(1 2
0 0
)y B =
(0 0
1 0
), entonces, A + B =
(1 2
1 0
), donde
rang(A) = 1, rang(B) = 1 y rang(A+B) = 2.
(d) Si tomamos A =
(1 0
0 0
)y B =
(−1 0
0 0
), entonces, A + B =
(0 0
0 0
), donde
rang(A) = 1, rang(B) = 1 y rang(A+B) = 0.
Ejercicio 4.11. Calcula el rango de la matriz: A =
1 4 −3−2 −7 6
1 7 −2
.
Fuente: Arvesú et al. (2003), p. 70. Ejercicio 2.3.
Solución. Veamos que las �las de A es un conjunto de vectores linealmente independiente.
¾α(1, 4,−3) + β(−2,−7, 6) + γ(1, 7, 2) = 0⇔ α = β = γ = 0?
α(1, 4,−3) + β(−2,−7, 6) + γ(1, 7, 2) = 0⇒
(1o) α− 2β + γ = 0⇒ α = 2β − γ(2o) 4α− 7β + 7γ = 0
(3o) − 3α+ 6β + 2γ = 0
⇒Substituyendo en (2o): 4α−7β+7γ = 0⇒ 4(2β−γ)−7β+7γ = 0⇒ 8β−4γ−7β+7γ =
0 ⇒ β + 3γ = 0 ⇒ β = 3γ ⇒ α = 2(3γ)− γ = −7γ Obtenemos β = 3γ y α = −7γ, y las
47
aplicamos en (3o):
−3(−7γ) + 6(−3γ) + 2γ = 0⇔ (−21− 18 + 2)γ = 0⇔ γ = 0
En consecuencia, alpha = β = γ = 0 y por lo tanto las �las de B son un conjunto de
vectores linealmente independiente. Por lo tanto, rang(A) = 3.
Ejercicio 4.12. Calcula el rango de la matriz A =
1 −1 −11 −1 2
2 1 k
, para cada valor del
parámetro k ∈ R.
Solución. (A)∼
1 −1 −11 −1 2
2 1 k
∼
1 −1 −10 0 3
2 3 k + 2
Podemos comprobar que independientemente del valor tomado por k, ninguna �la será
dependiente de las otras dos, por lo tanto rang(A) = 3.
Por último, utilizaremos el cálculo matricial para la revisión del Ejercicio 2.9 que vimos
en el Tema 2: Independencia lineal y dimensión. Observamos que el uso de matrices para
el cálculo de coordenadas según una base, hace más sencilla la resolución de este ejercicio.
Ejercicio 4.13. Sea V un K-espacio vectorial. Sean e1, e2, · · · , en y x elementos de V .
¾Es E = {e1, . . . , en} base de Rn? Calcular las coordenadas de x en base E.
(a) Para n = 3: e1 = (2, 1,−3), e2 = (3, 2,−5), e3 = (1,−1, 1), x = (6, 2,−7)
(b) e1 = (1, 2,−1, 2), e2 = (2, 3, 0,−1), e3 = (1, 3,−1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)x = (7, 14,−1, 2)
Fuente: Merino y Santos (2006), p. 139, Ejercicio 51.
Solución. (a) Hallemos ahora las coordenadas del vector x = (6, 2,−7) en la base E, que
denotaremos por x′.
x1
x2
x3
=
↑ ↑ ↑e1 e2 e3
↓ ↓ ↓
·x′1
x′2
x′3
=
2 3 1
1 2 −1−3 −5 1
·x′1
x′2
x′3
= P ·
x′1
x′2
x′3
⇔
⇔
x′1
x′2
x′3
= P−1 ·
x1
x2
x3
=
2 3 1
1 2 −1−3 −5 1
−1
·
x1
x2
x3
48 CAPÍTULO 4. CALCULO MATRICIAL
Estas ecuaciones nos proporcionan el cambio de base de B a E.
Calculamos entonces la inversa de la matriz P :
(P I3x3
)∼
2 3 1 1 0 0
1 2 −1 0 1 0
−3 −5 1 0 0 1
∼
2 3 1 1 0 0
0 1 −3 −1 2 0
0 −1 5 3 0 2
∼
∼
2 3 1 1 0 0
0 1 −3 −1 2 0
0 0 2 2 2 2
∼
2 3 1 1 0 0
0 1 −3 −1 2 0
0 0 1 1 1 1
∼
2 3 0 0 −1 −10 1 0 2 5 3
0 0 1 1 1 1
∼
∼
2 0 0 −6 −16 −100 1 0 2 5 3
0 0 1 1 1 1
∼
1 0 0 −3 −8 −50 1 0 2 5 3
0 0 1 1 1 1
∼ ( I3x3 P−1)⇒
⇒ P−1 =
−3 −8 −52 5 −31 1 1
Por lo tanto:x′1
x′2
x′3
= P−1 ·
x1
x2
x3
=
−3 −8 −52 5 −31 1 1
·x1
x2
x3
=
−3 −8 −52 5 −31 1 1
·
6
2
−7
=
1
1
1
(b) Hallemos ahora las coordenadas del vector x = (7, 14,−1, 2) en la base E, que deno-
taremos por x′.
x1
x2
x3
x4
=
↑ ↑ ↑ ↑e1 e2 e3 e4
↓ ↓ ↓ ↓
·x′1
x′2
x′3
x′4
=
1 2 1 0
2 3 3 0
−1 0 −1 0
2 −1 0 1
·x′1
x′2
x′3
x′4
= P ·
x′1
x′2
x′3
x′4
⇔
⇔
x′1
x′2
x′3
x′4
= P−1 ·
x1
x2
x3
x4
=
1 2 1 0
2 3 3 0
−1 0 −1 0
2 −1 0 1
−1
·
x1
x2
x3
x4
49
Estas ecuaciones nos proporcionan el cambio de base de B a E.
Tenemos que calcular la inversa de la matriz P . Para ello empleamos Matlab (Soto,
M.J. y Vicente Córdoba, J.L. (2001)), introduciendo el siguiente código:{P = [1 2 1 0; 2 3 3 0;-1 0 -1 0; 2 -1 0 -1]
inv(P)
Por lo tanto:
⇔
x′1
x′2
x′3
x′4
= P−1 ·
x1
x2
x3
x4
=
3/2 −1 −3/2 0
1/2 0 1/2 0
−3/2 1 1/2 0
−5/2 2 7/2 1
·x1
x2
x3
x4
=
−23
3
9
50 CAPÍTULO 4. CALCULO MATRICIAL
Capítulo 5
Sistemas de Ecuaciones lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales forman parte de los contenidos de las asignaturas
de matemáticas desde los cursos de la Educación Obligatoria. En este capítulo estudiare-
mos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales más complejos y e�cientes,
siguiendo el esquema siguiente.
Sistemas de ecuaciones lineales
Eliminación de Gauss
Teorema de Rouché-Frobenius
De�nición 5.1. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, . . . , xn y con
coe�cientes en el cuerpo K, es:a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
siendo aij ∈ K el coe�ciente de la incognita xj de la ecuación i y bi ∈ K el término
independiente de la ecuación i. Se de�ne la matriz de coe�cientes del sistema anterior
como: a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...
am1 am2 · · · amn
51
52 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Y la matriz de incógnitas y la de términos independientes como: x =
x1
x2...
xn
y b =
b1
b2...
bm
,
respectivamente.
Un sistema de ecuaciones lineal puede ser representado de forma matricial como: Ax = b.
De las matrices anteriores se de�ne la matriz ampliada de sistema como la matriz por
bloques: A∗ = A|b.
De�nición 5.2. La solución general de un sistema de ecuaciones es el conjunto de todas
las soluciones del sistema. Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen la misma solución
general, es decir, tienen las mismas soluciones.
Teorema 5.3. Sea un sistema de ecuaciones lineales con matriz ampliada A∗ = A|b y sea
B∗ cualquier matriz equivalente por �las a A∗. Entonces, el sistema de�nido por B∗ es
equivalente al de�nido por A∗.
De�nición 5.4. Según su número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se
clasi�can en:
Sistema incompatible: no tiene soluciones.
Sistema compatible determinado: tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado: tiene in�nitas soluciones.
De�nición 5.5. Llamamos matriz de Gauss a una matriz que veri�ca:
Las �las nulas, si la hay, están todas de últimas.
Dadas dos �las sucesivas no nulas, el primer elemento no nulo de la �la superior está
más a la izquierda que el primer elemento no nulo de la �la inferior.
Es decir: una matriz de Gauss tiene el mismo formato que una matriz en escalera pero sin
exigir que el primer elemento de cada �la no nula sea 1.
Proposición 5.6. Toda matriz es equivalente a una matriz de Gauss.
Método de Gauss. Este método sirve para resolver cualquier sistema de ecuaciones
lineales. Consiste en transformar un sistema en otro, escalonado (y por lo tanto más senci-
llo), y resolver éste último. El procedimiento es sencillo. La idea esencial consiste en hacer
ceros bajo la diagonal principal, ayudándonos de cada una de las columnas.
53
Teorema 5.7 (Teorema de Rouché-Frobenius). Sea Ax = b un sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas (sobre un cuerpo K), con m,nN \ {0}. Entonces:
Si rang(A) 6= rang(A∗)⇒ el sistema es incompatible
El sistema es compatible indeterminado ⇔ rang(A) = rang(A∗) < n
El sistema es compatible determinado ⇔ rang(A) = n = rang(A∗).
En este capítulo realizaremos ejercicios combinando el Método de Gauss y el Teorema
de Rouché-Frobenius 5.7.
Ejercicio 5.1. Discute el siguiente sistema y calcula sus soluciones.
y + z = 0
2y + 2z = 2
−x+ y = −1
x+ z = 2
Fuente: Rojo (2007), p. 237. Ejercicio 5.1.8.
Solución. Consideramos la matriz ampliada del sistema:
A∗ =
0 1 1 0
0 2 2 2
−1 1 0 −11 0 1 2
∼−1 1 0 −10 2 2 2
0 1 1 0
1 0 1 2
∼−1 1 0 −10 2 2 2
0 1 1 0
0 1 1 1
∼
∼
−1 1 0 −10 2 2 2
0 0 0 −10 1 1 1
∼−1 1 0 −10 2 2 2
0 0 0 −10 0 0 0
Vemos que rang(A∗) > rang(A), por lo tanto se trata de un sistema incompatible.
Ejercicio 5.2. Resuelve el siguiente sistema.
x− y + 2z = 4
x+ z = 6
2x− 3y + 5z = 4
3x+ 2y − z = 1
54 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Fuente: Larson (2004), p. 20. Ejercicio 6.
Solución. Consideramos la matriz ampliada del sistema:
A∗ =
1 −1 2 4
1 0 1 6
2 −3 5 4
3 2 −1 1
∼
1 −1 2 4
0 1 −1 2
2 −3 5 4
3 2 −1 1
∼
1 −1 2 4
0 1 −1 2
0 −1 1 −43 2 −1 1
∼
∼
1 −1 2 4
0 1 −1 2
0 −1 1 −40 5 −7 11
∼
1 −1 2 4
0 1 −1 2
0 0 0 −20 5 −7 11
De nuevo, rang(A∗) > rang(A), por lo tanto estamos ante un sistema incompatible.
Ejercicio 5.3. Utiliza la elikminación de Gauss para resolver el sistema:
x− 2y + 3z = 9
−x+ 3y = −4
2x− 5y + 5z = 17
Fuente: Larson (2004), p. 22. Ejercicio 7.
Solución. Consideramos la matriz ampliada:
A∗ =
1 −2 3 9
−1 3 0 −42 −5 5 17
∼
1 −2 3 9
0 1 3 5
2 −5 5 17
∼
1 −2 3 9
0 1 3 5
0 −1 −1 −1
∼
∼
1 −2 3 9
0 1 3 5
0 0 2 4
∼
1 −2 3 9
0 1 3 5
0 0 1 2
Es sencillo ahora resolver el sistema:
x− 2y + 3z = 9
y + 3z = 5
z = 2
Concluimos que la única solución del sistema es x = 1, y = −1, z = 2.
55
Ejercicio 5.4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2x+ 4y − 2z = 0
3x+ 5y = 1
Fuente: Larson (2004), p.23. Ejercicio 8.
Solución. Consideramos la matriz ampliada:
A∗ =
(2 4 −2 0
3 5 0 1
)∼
(3 5 0 1
2 4 −2 0
)∼
(1 1 2 1
2 4 −2 0
)∼
∼
(1 1 2 1
0 2 −4 −2
)∼
(1 1 2 1
0 1 −2 −1
)Es sencillo ahora resolver el sistema:
x+ y + 2z = 1
y − 2z = −1
Podemos ver que rang(A∗) = rang(A) <número de incógnitas, luego estamos ante un
sistema compatible indeterminado, cuyas soluciones (in�nitas) serán: x = 2 − 4t, y =
−1 + 2t, z = t donde t ∈ R.
Ejercicio 5.5. Discute y resuelve este sistema en función del parámetro k ∈ R.
2x− y = 4
−x+1
2y = −2
x+ ky = 2
Fuente: Larson (2004), p. 27. Ejercicio 44.
Solución. Obtenemos la matriz ampliada:
A∗ =
2 −1 4
−1 12 −2
1 k 2
∼
2 −1 4
0 0
0 2k + 1 0
Veamos que ocurre en función de los valores de k:
56 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Si k = −12 , es decir, 2k + 1 = 0, entonces el sistema es compatible indeterminado,
con solución x = t, y = 2t− 4 (t ∈ R).
Si k 6= −12 , es decir, 2k + 1 6= 0, entonces el sistema es compatible determinado
Ejercicio 5.6. Discute y resuelve este sistema en función del parámetro a ∈ R.
x− 2y + z = 3
y + 2z = 0
3y + 7z = a
Fuente: Larson (2004), p. 27. Ejercicio 43.
Solución. Consideramos la matriz ampliada:
A∗ =
1 −2 1 3
0 1 2 0
0 3 7 a
∼
1 −2 1 3
0 1 2 0
0 0 1 a
Para todo valor del parámetro a, se trata de un sistema compatible determinado, con
solición: x = 3− 5a, y = −2a, z = a.
Ejercicio 5.7. Discute y resuelve este sistema en función del parámetro a ∈ R.
4x− 4z = 0
x− y + bz = 0
−x−my − z = 0
Fuente: Larson (2004), p. 27. Ejercicio 43.
Solución. Consideramos la matriz ampliada:
A∗ =
4 0 −4 0
1 −1 b 0
−1 −b −1 0
∼
4 0 −4 0
1 −1 b 0
0 −b− 1 −b− 1 0
∼
4 0 −4 0
0 −4 4b+ 4 0
0 0 4b2 + 4b+ 8 0
Veamos que ocurre en función de los valores de k:
Si k = −12 , es decir, 4b2+4b+8 = 0, entonces el sistema es compatible indeterminado,
ie, tendrá in�nitas soluciones que dependerán del valor de b.
Si k 6= −12 , es decir, 4b2 + 4b+ 8 6= 0, entonces el sistema es compatible determinado
con solución x = y = z = 0.
Bibliografía
[1] Arvesú Carballo, J., Álvarez Nodarse, R. y Marcellán Español, F.(2003) Álgebra Lineal
y aplicaciones. España: Editorial Síntesis.
[2] De Diego, B., Gordillo, E. y Valeiras, G. (1982). Problemas de Álgebra y Geometría.
España: Deimos.
[3] Gerber, H. (1992)Álgebra Lineal. México: Grupo Editorial Iberoamérica.
[4] Godement, R. (1967) Álgebra. España: Tecnos.
[5] Jerónimo, G., Sabia, J. y Tesauri, S. (2008). Álgebra Lineal. Argentina.
[6] Larson, Edwards y Falvo. (2004). Álgebra Lineal. España: Pirámide.
[7] Merino, L. y Santos, E.(2006). Álgebra Lineal con métodos elementales. España: Thom-
son.
[8] Rojas Matas, A. y Cano Rojas, A. (2009) Aplicaciones del Álgebra Lineal en la vida
cotidiana. Presentada en la XIV Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las
Matemáticas. Girona, España.
[9] Rojo, J. (2007) Álgebra Lineal. España: McGrawHill
[10] Soto Prieto, M. J. y Vicente Córdoba, J. L. (2001). Álgebra Lineal con MATLAB R©y
Maple R©. España: Prentice Hall.
57