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2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMA 4.- PROGRAMACIÓN LINEAL ACTIVIDADES PROPUESTAS RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- INECUACIONES LINEALES Y SISTEMAS CON DOS INCÓGNITAS. PROGRAMACIÓN LINEAL 1 Sea la región factible definida por las siguientes inecuaciones:

x + y ≤ 20 ; x − y ≥ 0 ; 5x −13y + 8 ≤ 0 a) Represéntela gráficamente y calcule sus vértices.

Solución

b) Razone si el punto (3 ; 2,5) está en la región factible.

Solución Comprobamos si cumple todas las inecuaciones : 3 2,5 20 (sí la cumple)

3 2,5 0 (sí la cumple) 5.3 13.2,5 8 0 (sí la cumple). Luego, (3;2,5) está en la región factible

+ ≤

− ≥ − + ≤

c) Determine el valor máximo y el mínimo de la función F(x, y) = x − y + 6 en esa región y los puntos en los que se alcanzan

(Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución F(A) 1 1 6 6 F(B) 14 6 6 14 F(C) 10 10 6 6

Luego, el mínimo es 6 y se alcanza en el segmento AC y el máximo es 14 y se alcanza enB(14 ,6) (x 14, y 6)

= − + = = − + = = − + =

= =


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2 Dadas las inecuaciones y ≤ x + 5 , 2x + y ≥ – 4 , 4x ≤ 10 – y , y ≥ 0 a) Represente el recinto que limitan y calcule sus vértices.

Solución

b) Obtenga el máximo y el mínimo de la función 1

( , )2

f x y x y= + en el recinto anterior, así como los

puntos en los que se alcanzan. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

1 5 1 5 1 1f(A) 2 . 0 2 f(B) . 0 f(C) 1 . 6 4 f(D) 3 . 2 2

2 2 2 2 2 2Luego, el mínimo es 2 y se alcanza en el segmento AD y el máximo es 4 y se alcanza en C(1 ,6) (x 1, y 6)

= − + = − = + = = + = = − + = −

− = =


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3 Represente gráficamente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices: x + 2y ≤ 3 , x – y ≤ 1 , x ≥ –1 , y ≥ 0

Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo F(x, y) = 2x + 4y en la región anterior y los puntos donde se alcanzan. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

5 2F(A) 2 .( 1) 4 . 0 2 F(B) 2 .1 4 . 0 2 F(C) 2 . 4 . 6 F(D) 2 .( 1) 4 . 2 6

3 3Luego, el mínimo es 2 y se alcanza en A(1 ,0) (x 1, y 0) y el máximo es 6 y se alcanza en el segmento CD

= − + = − = + = = + = = − + =

− = =

4 Si A(0, 2) , B(2, 0) , C(4, 0) , D(6, 3) y E(3, 6) son los vértices de una región factible, determine, en esa región, el valor mínimo y el valor máximo de la función F(x, y) = 4x – 3y + 8 e indique los puntos donde se alcanza. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución F(A) 4 .0 3 . 2 8 2 F(B) 4 .2 3 . 0 8 16 F(C) 4 .4 3 . 0 8 24 F(D) 4 .6 3 . 3 8 23

F(E) 4 .3 3 . 6 8 2. Luego, el máximo es 24 y se alcanza en C(4 ,0) (x 4, y 0) ; el mínimo es 2 y se alcanza en el segmento AE

= − + = = − + = = − + = = − + =

= − + = = =


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5 Represente el recinto que determinan las inecuaciones 2x ≥ 10 + y x ≤ 2(5 – y) , x ≥ 0 , y ≥ 0 (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

6 Se considera el recinto R del plano determinado por las siguientes inecuaciones:

5x – 4y ≤ 20 , x + 8y ≤ 48 , x ≥ 2 , y ≥ 0 a) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices.

Solución

b) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y) = 2x + 12y en este recinto e indique dónde se alcanzan.

Solución 23

F(A) 2 . 2 12 . 0 4 F(B) 2 . 4 12 . 0 8 F(C) 2 . 8 12 . 5 76 F(D) 2 . 2 12 . 734

Luego, el mínimo es 4 y se alcanza en A (x 2,y 0) y el máximo es 76 y se alcanza en C (x 8,y 5)

= + = = + = = + = = + =

= = = =

c) Razone si existen valores (x, y) pertenecientes al recinto para los que F(x, y)=100


: No, porque 100 no está comprendido entre el valor mínimo , que es 4 y el máximo, que es 76Solución


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7 a) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices: x + 3y ≤ 12 ; x/3 + y/5 ≥ 1 ; y ≥ 1 ; x ≥ 0

Solución

b) Calcule los valores extremos de la función F (x, y) = 5x + 15y en dicha región y dónde se alcanzan.

(Propuesto PAU Andalucía 2009) Solución

12 3 15F(A) 5 . 15 . 1 27 F(B) 5 . 9 15 . 1 60 F(C) 5 . 15 . 60

5 4 412

Luego, el mínimo es 27 y se alcanza en A (x ,y 1) y el máximo es 60 y se alcanza en el segmento BC5

= + = = + = = + =

= =

8 a) Dibuje el recinto definido por las siguientes restricciones: x + y ≥ 2 , x – y ≤ 0 , y ≤ 4 , x ≥ 0 Solución

b) Determine el máximo y el mínimo de la función F (x, y) = x + y en el recinto anterior y los puntos donde se alcanzan.

Solución F(A) 1 1 2 F(B) 4 4 8 F(C) 0 4 4 F(D) 20 2 2

Luego, el mínimo es 2 y Dse alcanza en el segmento A y el máximo es 8 y se alcanza en B (x 4,y 4)

= + = = + = = + = = + =

= =

c) ¿Pertenece el punto (1/3 , 4/3) al recinto anterior? Justifique la respuesta. (Propuesto PAU Andalucía 2009)

Solución 1 4

Pertenecerá si cumple todas las inecuaciones : 2 (No la cumple).3 3

1 4Luego no hay que seguir comprobando. Por tanto, , no pertenece al recinto

3 3

+ ≥


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9 De un problema de programación lineal se deducen las siguientes restricciones:

4x + 3y ≥ 60, y ≤ 30, 10 y

x2

+≤ , x ≥ 0, y ≥ 0

a) Represente gráficamente la región factible del problema y calcule sus vértices. Solución

b) Maximice en esa región factible la función objetivo F(x, y) = x + 3y

Solución F(A) 9 3.8 33 F(B) 20 3.30 110 F(C) 0 3.30 90 F(D) 0 3.20 60

Luego, el máximo es 110 y se alcanza en B (x 20,y 30)

= + = = + = = + = = + =

= =

c) ¿Pertenece el punto (11, 10) a la región factible? (Propuesto PAU Andalucía 2007)

Solución

( )

Para que pertenezca debe cumplir todas las inecuaciones : 4 . 11 3 . 10 60 (sí la cumple)

10 1010 30 (sí la cumple) 11 (No la cumple). Luego, (3;2,5) está en la región factible

2Luego no hay que seguir comprobando. Por tanto, 11,10 no perten

+ ≥

+≤ ≤

ece al recinto

10 Sea el sistema de inecuaciones siguiente: x + y ≤ 120 , 3y ≤ x , x ≤ 100 , y ≥ 10 a) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.

Solución

b) ¿En qué punto de esa región, F(x, y) = 25x + 20y alcanza el máximo?


F(A) 25. 30 20.10 950 F(B) 25. 100 20.10 2700 F(C) 25. 100 20.20 2900

F(D) 25. 90 20.30 2850. Luego, el máximo es 2900 y se alcanza en C (x 100,y 20)

= + = = + = = + =

= + = = =


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11 En un examen de Matemáticas se propone el siguiente problema: "Indique dónde se alcanza el mínimo de la función F(x, y) = 6x + 3y – 2 en la región determinada por las restricciones 2x + y ≥ 6 ; 2x + 5y ≤ 30 ; 2x – y ≤ 6." a) Resuelva el problema.

Solución

F(A) 6.3 3.0 2 16 F(B) 6.5 3.4 2 40 F(C) 6.0 3.6 2 16

Luego, el mínimo es 16 y se alcanza en el segmento AC

= + − = = + − = = + − =

b) Ana responde que se alcanza en (1, 4) y Benito que lo hace en (3, 0). ¿Es cierto que el mínimo se alcanza en (1, 4)? ¿Es cierto que se alcanza en (3, 0)?


Si a las dos cuestiones, porque ambos puntos pertenecen al segmento determinado por A(3,0) y C(0,6) 12 Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones:

3x + y ≥ 4 , x + y ≤ 6 , 0 ≤ y ≤ 5 a) Represéntelo gráficamente. b) Calcule los vértices de dicho recinto.

Solución

c) En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 5x + 3y ¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?


4 20 1 40F(A) 5 . 3 . 0 6,67 F(B) 5 . 6 3 . 0 30 F(C) 5 . 1 3 . 5 20 F(D) 5 . 3 . 5 13,33

3 3 3 320 4

Luego, el mínimo es y se alcanza en A (x , y 0) y el máximo es 30 y se alcanza en B (x 6,y 0)3 3

−= + = ≅ = + = = + = = + = ≅

= = = =


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13 a) Represente gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x ≥ 3(y – 3) , 2x + 3y ≤ 36 , x ≤ 15 , x ≥ 0 , y ≥ 0

b) Calcule los vértices del recinto. Solución

c) Obtenga el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto e indique dónde se alcanza.


F(A) 8 . 0 12 . 0 0 F(B) 8 . 15 12 . 0 120 F(C) 8 . 15 12 . 2 144

F(D) 8 . 9 12 . 6 144 F(E) 8 . 0 12 . 3 36. Luego, el máximo es 144 y se alcanza en el segmento CD

= + = = + = = + =

= + = = + =

14 Sea la región definida por las siguientes inecuaciones: x y

12 3+ ≥ , – x + 2y ≥ 0 , y ≤ 2

a) Represente gráficamente dicha región y calcule sus vértices. Solución

b) Determine en qué puntos la función F(x, y) = 3x – 6y + 4 alcanza sus valores extremos y cuáles son éstos.


3 3 2F(A) 3 . 6 . 4 4 F(B) 3 . 4 6 . 2 4 4 F(C) 3 . 6 . 2 4 6

2 4 32

Luego, el máximo es 4 y se alcanza en el segmento AB y el mínimo es 6 y se alcanza en C (x ,y 2)3

= − + = = − + = = − + = −

− = =


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2.- PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN LA VIDA REAL

15 Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para la elaboración de una unidad se necesita un trabajo manual de 2 horas para el primer tipo y de 3 horas para el segundo y de un trabajo de máquina de 2 horas para el primer tipo y de 1 hora para el segundo. Por cuestiones laborales y de planificación, se dispone de hasta 600 horas al mes para el trabajo manual y de hasta 480 horas al mes para el destinado a la máquina. Si el beneficio por unidad de cada tipo de alfombra es de 150 € y 100 €, respectivamente, ¿Cuántas alfombras de cada tipo debe elaborar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende el mismo? (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución Representamos en una tabla los datos del problema:

se d ispo ne de hasta 600 ho ras m ensua les de traba jo m anua l 2x 3y 600

restricc io nes : se d ispo ne de hasta 480 ho ras m ensua les de traba jo de m áquina 2x y 480

el nº de a lfo m bras es no negativo x 0 , y 0

funció n o b jetivo (a m ax im izar ) :

→ + ≤

→ + ≤ → ≥ ≥

benefic io F(x , y ) 150 x 100 y= +

F(A) 150 . 0 100 . 0 0 F(B) 150 . 240 100 . 0 36 000

F(C) 150 . 210 100 . 60 37 500 F(D) 150 . 0 100 . 200 20000

Luego, el máximo es 37 500 y se alcanza en C (x 210, y 60).

Solución : 210 alfombras de seda y 60 de lana con unos beneficios de 37 500 €

= + = = + =

= + = = + =

= =

nº de

alfombras nº de horas de trabajo manual

nº de horas de trabajo de máquina

beneficio (en €)

alfombra de seda

x 2x 2x 150x

alfombra de lana

y 3y 1y 100y

total x + y 2x + 3y 2x + y 150x + 100y


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16 Un supermercado tiene almacenados 600 kg de manzanas y 400 kg de naranjas. Para incentivar su venta elabora dos tipos de bolsas: A y B. Las bolsas de tipo A contienen 3 kg de manzanas y 1 kg de naranjas; las bolsas de tipo B incluyen 2 kg de cada uno de los productos. El precio de venta de la bolsa A es de 4 € y de 3 € el de la bolsa de tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas preparadas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe haber elaborado para maximizar los ingresos? ¿A cuánto asciende el ingreso máximo?



s e d is p o n e d e 6 0 0 k g d e m a n z a n a s 3 x 2 y 6 0 0

r e s t r ic c io n e s : s e d is p o n e d e 4 0 0 k g d e n a r a n ja s x 2 y 4 0 0

e l n º d e b o ls a s e s n o n e g a t iv o x 0 , y 0

fu n c ió n o b je t iv o ( a m a x im iz a r ) : in g r e s o s F ( x , y ) 4 x 3 y

→ + ≤

→ + ≤ → ≥ ≥

= +

F(A) 4 . 0 3 . 0 0 F(B) 4 . 200 3 . 0 800 F(C) 4 . 100 3 . 150 850

F(D) 4 . 0 3 . 200 600 Luego, el máximo es 850 y se alcanza en C (x 100, y 150).

Solución : 100 bolsas tipo A y 150 de tipo B con unos ingresosde 850 €

= + = = + = = + =

= + = = =

número kg de manzanas kg de naranjas ingresos (en €) bolsa tipo A x 3x 1x 4x bolsa tipo B y 2y 2y 3y

total 3x + 2y x +2y 4x + 3y


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17 Se dispone de 160 m de tejido de pana y 240 m de tejido de lana para hacer trajes y abrigos. Se usa 1 m de pana y 2 m de lana para cada traje, y 2 m de pana y 2 m de lana para cada abrigo. Cada traje se vende a 250 € y cada abrigo a 350 €. a) ¿Cuántos trajes y abrigos se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?


s e d is p o n e d e 1 6 0 m d e t e j id o d e p a n a x 2 y 1 6 0

r e s t r ic c io n e s : s e d is p o n e d e 2 4 0 m d e t e j id o d e la n a 2 x 2 y 2 4 0

e l n º d e p r e n d a s e s n o n e g a t iv o x 0 , y 0

fu n c ió n o b je t iv o ( a m a x im iz a r ) : b e n e f ic io s F ( x , y ) 2 5 0 x 3 5 0 y

→ + ≤

→ + ≤ → ≥ ≥

= +

F(A) 250 . 0 350 . 0 0 F(B) 250 . 120 350 . 0 30 000 F(C) 250 . 80 350 . 40 34 000

F(D) 250 . 0 350 . 80 28 000. Luego, el máximo es 34 000 y se alcanza en C (x 80, y 40).

Solución : 80 trajes y 40 abrigos con un beneficio de 34 000 €

= + = = + = = + =

= + = = =

b) ¿Pueden hacerse 60 trajes y 50 abrigos con esas cantidades de tejido? En caso afirmativo, ¿obtendría el máximo beneficio al venderlo todo?


Solución Para que se pueda se deben cumplir las restricciones : 60 0, 50 0, 60 2.50 160 (sí la cumple)

2.60 2.50 240 (sí la cumple). Luego, si se puede y el beneficio sería 250 . 60 350 . 50 32 500 €

(que no es el máximo, pues el máximo era 34 000 €)

≥ ≥ + ≤

+ ≤ + =

número metros de pana metros de lana beneficio (en €) trajes x 1x 2x 250x

abrigos y 2y 2y 350y total x + 2y 2x + 2y 250x + 350y


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18 Con motivo de su inauguración, una heladería quiere repartir dos tipos de tarrinas de helados. El primer tipo de tarrina está compuesto por 100 g de helado de chocolate, 200 g de helado de straciatella y 1 barquillo. El segundo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella y 2 barquillos. Sólo se dispone de 8 kg de helado de chocolate, 10 kg de helado de straciatella y 100 barquillos. ¿Cuántas tarrinas de cada tipo se deben preparar para repartir el máximo número posible de tarrinas?



se d ispone de 8 kg (8 000 g) de helado de choco late 100 x 150 y 8 000

se d ispone de 10 kg (10 000 g) de helado de straciatella 200 x 150 y 10 000restricciones :

se d ispone de 100 barquillos x 2 y 100

el nº de tarrinas es no negativo x 0 , y 0

→ + ≤ → + ≤

→ + ≤

→ ≥ ≥

función ob jetivo (a m ax im izar ) : to ta l de tarrinas F(x , y ) x y

= +

F(A) 0 0 0 F(B) 50 0 50 F(C) 20 40 60 F(D) 0 50 50.

Luego, el máximo es 60 y se alcanza en C (x 20, y 40).

Solución : 20 tarrinas del 1er tipo y 40 del 2º tipo (en total, 60 tarrinas)

= + = = + = = + = = + =

= =

número g de helado de chocolate g de helado de straciatella nº de barquillos tarrina tipo I x 100x 200x 1x tarrina tipo II y 150y 150y 2y

total x + y 100x + 150y 200x + 150y x + 2y


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19 Un nutricionista receta a una de sus pacientes una dieta semanal especial basada en lácteos y pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6 € y proporciona 3 unidades de proteínas y 1 de calorías; cada kg de pescado cuesta 12 €, aportando 1 unidad de proteínas y 2 de calorías. La dieta le exige no tomar más de 4 kg, conjuntamente, de lácteos y pescado, y un aporte mínimo de 4 unidades de proteínas y 3 de calorías. a) Plantee el problema para obtener la combinación de ambos alimentos que tenga el coste mínimo.


se exige no tom ar m ás de 4 kg entre lácteos y pescado x y 4

se exige un aporte m ínim o de 4 unidades de proteinas 3x y 4restricciones :

se exige un aporte m ínim o de 3 unidades de calo rías x 2 y 3

el nº de kg es no negativo x 0 , y 0

func

→ + ≤ → + ≥

→ + ≥ → ≥ ≥

ión ob jetivo (a m in im izar ) : cos te F(x , y ) 6 x 12 y= +

b) Dibuje la región factible y determine la solución óptima del problema. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

F(A) 6 . 1 12 . 1 18 F(B) 6 . 3 12 . 0 18 F(C) 6 . 4 12 . 0 24

F(D) 6 . 0 12 . 4 48. Luego, el mínimo es 18 y se alcanza en el segmento AB.

= + = = + = = + =

= + =

nº de kg aportación en proteínas

(unidades) aportación en calorías

(unidades) coste (en €)

lácteos x 3x 1x 6x pescado y 1y 2y 12y

total x + y 3x + y x + 2y 6x + 12y


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20 Un fabricante de tapices dispone de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 225 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se necesita 1 kg de hilo de seda y 2 kg de hilo de plata, y para los del tipo B, 2 kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vende a 2000 euros y cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Si se vende todo lo que se fabrica, a) ¿Cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio?


se d isp o n e d e 5 0 0 k g d e h ilo d e se d a x 2 y 5 0 0

se d isp o n e d e 4 0 0 k g d e h ilo d e p la ta 2 x y 4 0 0re s tr ic c io n e s :

se d isp o n e d e 2 2 5 k g d e h ilo d e o ro y 2 2 5

e l nº d e ta p ic e s e s n o n e g a t iv o x 0 , y 0

fu n c ió n o b je t iv o (a m a x im iz a r ) : b e n e fic io F

→ + ≤ → + ≤

→ ≤ → ≥ ≥

( x , y ) 2 0 0 0 x 3 0 0 0 y= +

F(A) 2000 . 0 3000 . 0 0 F(B) 2000 . 200 3000 . 0 400 000

F(C) 2000 . 100 3000 . 200 800 000 F(D) 2000 . 50 3000 . 225 775 000

F(E) 2000 . 0 3000 . 225 675 000. Luego, el máximo es 800 000y se alcanza

en C (x 100, y 200). Solución : 100 tapices

= + = = + =

= + = = + =

= + =

= = tipo A y 200 tipo B con un beneficio de 800 000 €

b) ¿Qué cantidad de hilo de cada clase quedará cuando se fabrique el número de tapices que proporciona el máximo beneficio? (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución 100 tapices de tipo A equivalen a 1·100 = 100 kg de hilo de seda y 2·100 = 200 kg de hilo de plata. 200 tapices de tipo B equivalen a 2·200 = 400 kg de hilo de seda, 1·200 = 200 kg de hilo de plata y

1·200 = 200 kg de hilo de oro. Hilo de seda gastado = 100 + 400 = 500. Quedan 500 – 500 = 0 kg de hilo de seda. Hilo de plata gastado = 200 + 200 = 400. Quedan 400 – 400 = 0 kg de hilo de plata. Hilo de oro gastado = 200. Quedan 225 – 200 = 25 kg de hilo de oro.

número kg de hilo de seda

kg de hilo de plata

kg de hilo de oro

beneficio (en €)

tapices tipo A x 1x 2x 0x 2000x tapices tipo B y 2y 1y 1y 3000y

total x + 2y 2x + y y 2000x + 3000y


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21 Un fabricante elabora dos tipos de anillos a base de oro y plata. Cada anillo del primer tipo precisa 4 g de oro y 2 de plata, mientras que cada uno del segundo necesita 3 g de oro y 1 de plata. Sabiendo que dispone de 48 g de oro y 20 de plata y que los precios de venta de cada tipo de anillo son 150 euros el primero y 100 euros el segundo, ¿cuántos anillos de cada tipo tendría que producir para obtener los ingresos máximos? ¿A cuánto ascenderían estos ingresos?


Representamos en una tabla los datos del problema:

s e d is p o n e d e 4 8 g d e o r o 4 x 3 y 4 8

r e s t r ic c io n e s : s e d is p o n e d e 2 0 g d e p la t a 2 x y 2 0

e l n º d e a n i l lo s e s n o n e g a t iv o x 0 , y 0

fu n c ió n o b je t iv o ( a m a x im iz a r ) : in g r e s o s F ( x , y ) 1 5 0 x 1 0 0 y

→ + ≤

→ + ≤ → ≥ ≥

= +

F(A) 150 . 0 100 . 0 0 F(B) 150 . 10 100 . 0 1500

F(C) 150 . 6 100 . 8 1700 F(D) 150 . 0 100 . 16 1600


Solución : 6 anillos del 1er tipo y 8 del 2º tipo con unos ingresos de 1700 €

= + = = + =

= + = = + =

= =

número g de oro g de plata ingresos (en €) anillos del 1er tipo x 4x 2x 150x anillos del 2º tipo y 3y 1y 100y

total 4x + 3y 2x + y 150x + 100y


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22 Un empresario fabrica camisas y pantalones para jóvenes. Para hacer una camisa se necesitan 2 metros de tela y 5 botones, y para hacer un pantalón hacen falta 3 metros de tela, 2 botones y 1 cremallera. La empresa dispone de 1050 metros de tela, 1250 botones y 300 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una camisa es de 30 euros y el de un pantalón es de 50 euros. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número de camisas y de pantalones que debe confeccionar para obtener el máximo beneficio, y determine este beneficio máximo. (Propuesto PAU Andalucía 2012)


s e d isp o n e d e 1 0 5 0 m d e te la 2 x 3 y 1 0 5 0

s e d isp o n e d e 1 2 5 0 b o to n e s 5 x 2 y 1 2 5 0re s t r ic c io n e s :

s e d isp o n e d e 3 0 0 c re m a lle ra s y 3 0 0

e l n º d e c a m is a s y p a n ta lo n e s e s n o n e g a t iv o x 0 , y 0

fu n c ió n o b je t iv o (a m a x im iz a r ) : b e n e f ic io s

→ + ≤ → + ≤

→ ≤ → ≥ ≥

F( x , y ) 3 0 x 5 0 y= +

F(A) 30 . 0 50 . 0 0 F(B) 30 . 250 50 . 0 7500

F(C) 30 . 150 50 . 250 17000 F(D) 30 . 75 50 . 300 17250

F(E) 30 . 0 50 . 300 15000. Luego, el máximo es 17250 y se alcanza

en D (x 75, y 300). Solución : 75 camisas y 300 pantalones con un beneficio

= + = = + =

= + = = + =

= + =

= = de 17250 €

número m de tela nº de botones nº de cremalleras beneficios (en €) camisas x 2x 5x 0x 30x

pantalones y 3y 2y 1y 50y total 2x + 3y 5x + 2y y 30x + 50y


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23 Un comerciante dispone de 1200 euros para comprar dos tipos de manzanas A y B. Las del tipo A las compra a 0.60 euros/kg y las vende a 0.90 euros/kg, mientras que las del tipo B las compra a 1 euro/kg y las vende a 1.35 euros/kg. Sabiendo que su vehículo a lo sumo puede transportar 1500 kg de manzanas, ¿cuántos kilogramos de cada tipo deberá adquirir para que el beneficio que obtenga sea máximo? ¿Cuál sería ese beneficio? (Propuesto PAU Andalucía 2012)


s e d is p o n e d e 1 2 0 0 € 0 , 6 x y 1 2 0 0

re s t r ic c io n e s : p u e d e t ra n s p o rta r s ó lo 1 5 0 0 k g x y 1 5 0 0

e l n º d e m a n z a n a s e s n o n e g a t iv o x 0 , y 0

fu n c ió n o b je t iv o (a m a x im iz a r ) : b e n e f ic io s F ( x , y ) 0 , 3 x 0 , 3 5 y

→ + ≤

→ + ≤ → ≥ ≥

= +

F(A) 0,3 . 0 0,35 . 0 0 F(B) 0,3 . 1500 0,35 . 0 450

F(C) 0,3 . 750 0,35 . 750 487,5 F(D) 0,3 . 0 0,35 . 1200 420

Luego, el máximo es 487,5 y se alcanza en C (x 750, y 750).

Solución : 750 kg de manzanas tipo A y otros 750 kg de las de tipo B con un b

= + = = + =

= + = = + =

= =

eneficio de 487,50 €

nº de kg coste de la compra (en €) dinero obtenido de la venta (en €) beneficios (en €) manzana

tipo A x 0,60x 0,90x 0,90x – 0,60x = 0,30x

manzana tipo B

y 1y 1,35y 1,35y – 1y = 0,35y

total x + y 0,6x + y 0,9x + 1,35y 0,3x + 0,35y


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24 Una empresa elabora dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en una máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B necesita 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Semanalmente se dispone de 100 horas en la primera máquina y de 110 horas en la segunda. Si la empresa obtiene un beneficio de 70 euros por cada unidad de A, y de 50 euros por cada unidad de B, ¿qué cantidad semanal de cada producto debe producir con objeto de maximizar el beneficio total? ¿Cuál es ese beneficio? (Propuesto PAU Andalucía 2011)


s e d is p o n e d e 1 0 0 h o ra s e n la 1 ª m á q u in a 2 x 4 y 1 0 0

re s t r ic c io n e s : s e d is p o n e d e 1 1 0 h o ra s e n la 2 ª m á q u in a 5 x 3 y 1 1 0

e l n º d e u n id a d e s e s n o n e g a t iv o x 0 , y 0

fu n c ió n o b je t iv o (a m a x im iz a r ) : b e n e f ic io F ( x , y ) 7 0 x 5 0 y

→ + ≤

→ + ≤ → ≥ ≥

= +

F(A) 70 . 0 50 . 0 0 F(B) 70 . 22 50 . 0 1540

F(C) 70 . 10 50 . 20 1700 F(D) 70 . 0 50 . 25 1250


Solución : 10 unidades del producto A y 20 del producto B con un beneficio de 1700 €

= + = = + =

= + = = + =

= =

nº de

unidades nº de horas en la 1ª

máquina nº de horas en la 2ª máquina beneficios (en €)

producto A x 2x 5x 70x producto B y 4y 3y 50y

total 2x +4y 5x + 3y 70x + 50y


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25 Un comerciante quiere dar salida a 400 kg de avellanas, 300 kg de nueces y 400 kg de almendras. Para ello hace dos tipos de lotes: los de tipo A contienen 2 kg de avellanas, 2 kg de nueces y 1 kg de almendras; y los de tipo B contienen 3 kg de avellanas, 1 kg de nueces y 4 kg de almendras. El precio de venta de cada lote es de 20 euros para los del tipo A y de 40 euros para los del tipo B. ¿Cuántos lotes de cada tipo debe vender para obtener el máximo ingreso y a cuánto asciende éste? (Propuesto PAU Andalucía 2010)


se quieren vender 400 kg de avellanas com o m áxim o 2x 3y 400

se quieren vender 300 kg de nueces com o m áxim o 2x y 300restricciones :

se quieren vender 400 kg de alm endras com o m áxim o x 4 y 400

el nº de lo tes es no negativo x 0 , y 0

→ + ≤ → + ≤

→ + ≤ → ≥ ≥

función ob jetivo (a m ax im izar ) : ingresos F(x , y ) 20 x 40 y= +

F(A) 20 . 0 40 . 0 0 F(B) 20 .150 40 . 0 3000

F(C) 20 . 125 40 . 50 4500 F(D) 20 . 80 40 . 80 4800

F(E) 20 . 0 40 . 100 4000. Luego, el máximo es 4800 y se alcanza en D (x 80, y 80).

Solución : 80 lotes de cada tipo con unos ingresos de 4800 €

= + = = + =

= + = = + =

= + = = =

nº de lotes kg de avellanas kg de nueces kg de almendras ingresos (en €) lote tipo A x 2x 2x 1x 20x lote tipo B y 3y 1y 4y 40y

total 2x +3y 2x + y x + 4y 20x + 40y


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26 Un supermercado se abastece de gambas y langostinos a través de dos mayoristas, A y B, que le envían contenedores con cajas completas de ambos productos. El mayorista A envía en cada contenedor 2 cajas de gambas y 3 de langostinos, al precio de 350 euros el contenedor, mientras que el mayorista B envía en cada uno 1 caja de gambas y 5 de langostinos, al precio de 550 euros el contenedor. El supermercado necesita, como mínimo, 50 cajas de gambas y 180 de langostinos pudiendo almacenar, como máximo, 50 contenedores. ¿Cuántos contenedores debería pedir el supermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades con el menor coste posible? Indique cuál sería ese coste mínimo.


Representamos en una tabla los datos del problema:

se necesi tan com o m ínim o 50 cajas de gam bas 2x y 50

se necesi tan com o m ínim o 180 cajas de langostinos 3x 5 y 180restricciones :

se pueden alm acenar com o m áxim o 50 contenedores x y 50

el nº de contenedores es no negativo x 0 , y 0

→ + ≥ → + ≥

→ + ≤

→ ≥ ≥

función ob jetivo (a m in im izar ) : cos te F(x , y ) 350 x 550 y

= +

F(A) 350 . 10 550 . 30 20000 F(B) 350 . 35 550 . 15 20500

F(C) 350 . 0 550 . 50 27500. Luego, el mínimo es 20000 y se alcanza en A

(x 10, y 30). Solución : 10 contenedores del mayorista A y 30 del B con un coste de 20000 €

= + = = + =

= + =

= =

nº de

contenedores nº de cajas de

gambas nº de cajas de langostinos

coste (en €)

contenedor del mayorista A x 2x 3x 350x contenedor del mayorista B y 1y 5y 550y

total x + y 2x +y 3x + 5y 350x + 550y


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27 Un agricultor posee 10 hectáreas (ha.) y decide dedicarlas al cultivo de cereales y hortalizas. Por las limitaciones de agua no puede destinar más de 5 ha a hortalizas. El cultivo de cereales tiene un coste de 1000 euros/ha y el de hortalizas de 3000 euros/ha, no pudiendo superar el coste total la cantidad de 16000 euros. El beneficio neto por ha de cereales asciende a 2000 euros y el de hortalizas a 8000 euros. Halle la distribución de cultivos que maximiza el beneficio y calcule dicho máximo. (Propuesto PAU Andalucía 2009)


hay 10 ha x y 10

com o m áxim o se destinan 5 ha a horta lizas y 5restricciones :

el cos te to ta l no sup era los 16 000 € 1000 x 3000 y 16 000

el nº de hectáreas es no negativo x 0 , y 0

función ob jetivo (a m ax im izar ) : benefic ios F(x , y )

→ + ≤ → ≤

→ + ≤ → ≥ ≥

= 2000 x 8000 y+

F(A) 2000 . 0 8000 . 0 0 F(B) 2000 . 10 8000 . 0 20000 F(C) 2000 . 7 8000 . 3 38000

F(D) 2000 . 1 8000 . 5 42000 F(E) 2000 . 0 8000 . 5 40000. Luego, el máximo es 42000

y se alcanza en D (x 1, y 5).

Solución : 1 hectárea de cereales y 5 hectárea

= + = = + = = + =

= + = = + =

= =

s de hortalizas conunbeneficio de 42000 €

hectáreas coste (en €) beneficio (en €) cereales x 1000x 2000x

hortalizas y 3000y 8000y total x + y 1000x + 3000y 2000x + 8000y


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28 Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla para hacer dos tipos de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartas del tipo A se necesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada de tartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Sabiendo que el beneficio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 € y de 30 € al vender una hornada del tipo B, determine cuántas hornadas de cada tipo debe hacer y vender para maximizar sus beneficios.



s e d is p o n e d e 1 5 0 k g d e h a r in a 3 x 6 y 1 5 0

s e d is p o n e d e 2 2 k g d e a z ú c a r x 0 , 5 y 2 2r e s t r ic c io n e s :

s e d is p o n e d e 2 6 k g d e m a n t e q u i l la x y 2 6

e l n º d e h o r n a d a s e s n o n e g a t iv o x 0 , y 0

fu n c ió n o b je t iv o ( a m a x im iz a r ) : b e n e f ic io s F ( x , y

→ + ≤ → + ≤

→ + ≤ → ≥ ≥

) 2 0 x 3 0 y= +

F(A) 20 . 0 30 . 0 0 F(B) 20 .22 30 . 0 440

F(C) 20 . 18 30 . 8 600 F(D) 20 . 2 30 . 24 760

F(E) 20 . 0 30 . 25 750. Luego, el máximo es 760 y se alcanza en D (x 2, y 24).

Solución : 2 hornadas de tartas tipo A y 24 de tipo B con un beneficio de 760 €

= + = = + =

= + = = + =

= + = = =

número kg de harina kg de azúcar kg de mantequilla beneficios (en €) hornada de tartas tipo A x 3x 1x 1x 20x hornada de tartas tipo B y 6y 0,5y 1y 30y

total 3x + 6y x + 0,5y x + y 20x + 30y


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29 Una empresa fabrica sofás de dos tipos, A y B, por los que obtiene un beneficio, por unidad, de 1500 y 2000 euros, respectivamente. Al menos se deben fabricar 6 sofás del tipo A y 10 del tipo B, por semana, y además, el número de los del tipo A no debe superar en más de 6 unidades al número de los del B. ¿Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtener beneficio máximo, si no se pueden fabricar más de 30 sofás semanalmente?

(Propuesto para PAU Andalucía 2003)

Solución

Nº de sofás tipo A: x Nº de sofás tipo B: y

se fabricán al menos 6 sofás tipo A x 6

se fabricán al menos 10 sofás tipo B y 10

restricciones : el nº de sofás tipo A es menor o igual que los de tipo B más 6 x y 6

no se pueden fabricar más de 30 sofás x y 30

el nº de sofás es no negativo x 0 , y 0

→ ≥

→ ≥

→ ≤ +

→ + ≤

→ ≥ ≥

función objetivo (a max imizar) : beneficio F(x, y) 1500x 2000y

= +

F(A) 1500 . 6 2000 . 10 29000 F(B) 1500 . 16 2000 . 10 44000

F(C) 1500 . 18 2000 . 12 51000 F(D) 1500 . 6 2000 . 24 57000

Luego, el máximo es 57000 y se alcanza en D (x 6, y 24).

Solución : 6 sofás tipo A y 24 de tipo B con un beneficio de 57000 €

= + = = + =

= + = = + =

= =


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30 Una empresa gana 150 euros por cada Tm de escayola producida y 100 euros por cada Tm de yeso. La producción diaria debe ser como mínimo de 30 Tm de escayola y 30 Tm de yeso. La cantidad de yeso no puede superar en más de 60 Tm a la de escayola. El triple de la cantidad de escayola, más la cantidad de yeso, no puede superar 420 Tm. Calcule la cantidad diaria que debe producirse de cada material, para obtener la máxima ganancia y determine dicha ganancia. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución

Nº de Tm de escayola: x Nº de Tm de yeso: y

se fabricá al menos 30 Tm de escayola x 30

se fabricá al menos 30 Tm de yeso y 30

restricciones : el nº de Tm de yeso es menor o igual que las de escayola más 60 y x 60

el triple de las Tm de escayola más las de yeso es menor o igual a 420 3x y 420

el

→ ≥

→ ≥

→ ≤ +

→ + ≤

nº de Tm es no negativo x 0 , y 0

función objetivo (a maximizar) : ganancia F(x,y) 150x 100y

→ ≥ ≥

= +

F(A) 150 . 30 100 . 30 7500 F(B) 150 . 130 100 . 30 22500

F(C) 150 . 90 100 . 150 28500 F(D) 150 . 30 100 . 90 13500


Solución : 90 Tm de escayola y 150 Tm de yeso con una ganancia de 28500

= + = = + =

= + = = + =

= =

€


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31 Un ahorrador dispone de 10 000 € para invertir en fondos de dos tipos: A ó B. La inversión en fondos A debe superar los 5 000 € y, además, ésta debe doblar, al menos, la inversión en fondos B. La rentabilidad del pasado año de los fondos A ha sido del 2,7% y la de los B ha sido del 6,3%. Suponiendo que la rentabilidad continúe siendo la misma, determine la inversión que obtenga el máximo beneficio. Calcule este beneficio. (Propuesto PAU Andalucía 2002)

Solución

dinero que se invierte en el fondo A (en €): x dinero que se invierte en el fondo B (en €): y

el total para invertir es 10000 € x y 10000

la inversión en A debe superar los 5000 € x 5000restricciones :

la inversión en A debe doblar al menos la de B x 2y

el dinero invertido es no negativo x 0 , y 0

función objetivo (a maximiz

→ + ≤ → >

→ ≥ → ≥ ≥

ar) : rentabilidad o beneficio F(x,y) 0,027x 0,063y= +

F(A) 0,027 . 5000 0,063 . 0 135 F(B) 0,027 . 10000 0,063 . 0 270

20000 10000F(C) 0,027 . 0,063 . 390 F(D) 0,027 . 5000 0,063 . 2500 292,5

3 320000 10000

Luego, el máximo es 390 y se alcanza en C (x 6666,67 ; y 3333,33).3 3

Solución : 66

= + = = + =

= + = = + =

= ≅ = ≅

66,67 € en A y 3333,33 € en B con una rentabilidad de 390 €


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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1 Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x + y ≤ 3 , – x + y ≤ 3 , x ≤ 2 , y ≥ 0

a) Represéntelo gráficamente. b) Calcule los vértices de dicho recinto. Solución

El recinto tiene por vértices A(–3, 0), B(0, 3), C(2, 1) y D(2, 0) c) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función objetivo F(x, y) = – 2x – y. ¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?


El máximo absoluto de la función F en la región es 6 y se alcanza en el punto A y el mínimo absoluto de F es –5 y se alcanza en el punto C.

2 a) Represente gráficamente la región factible definida por las siguientes restricciones: 4x + 2y ≥ 5 ; 2x + 5y ≤ 10 ; 2x + 2y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 y calcule sus vértices.

Solución

La región factible tiene por vértices A(5/4,0), B(3,0), C(5/3,4/3) y D(5/16,15/8). b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo F(x, y) = x + 2y en la región anterior y los puntos donde se alcanzan.


Solución El máximo absoluto de la función F en la región es 13/3 y se alcanza en el punto C y el mínimo

absoluto de F es 5/4 y se alcanza en el punto A.

3 Sea el siguiente conjunto de inecuaciones: x – 3y ≤ 8 , 3x + 2y ≥ 15 , x + 3y ≤ 12 , x ≥ 0 , y ≥ 0

a) Dibuje el recinto del plano determinado por estas inecuaciones. b) Determine los vértices de este recinto. Solución

El recinto tiene por vértices A(5, 0), B(0, 8), C(10, 2/3) y D(3, 3) c) Maximice la función F(x, y) = 5x + 9y en este recinto, indicando el punto o puntos donde se alcanza ese máximo. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución El máximo absoluto de la función F en el recinto es 56 y se alcanza en el punto C.

4 Represente la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones: 2x + 5y ≤ 15 , x + y ≤ 6 , 5x – 7y ≤ 42 , x ≥ 0

Halle los vértices de la región anterior. En esa región, halle el valor mínimo de la función F(x, y) = –2x – 2y + 3 y dónde lo alcanza. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución La región tiene por vértices A(0, – 6), B(7, – 1), C(5, 1) y D(0, 3)

El mínimo absoluto de la función F en la región es – 9 y se alcanza en segmento BC.

5 Dado el recinto limitado por las inecuaciones y ≥ 30 , 3x – y ≥ 150 , 6x + 7y ≤ 840 halle en qué puntos de ese recinto la función F(x, y) = 4x – 3y + 8 alcanza su valor mínimo.


El recinto tiene por vértices A(60, 30), B(105, 30) y C(70, 60) El mínimo absoluto de la función F en el recinto es 108 y se alcanza en C.


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6 Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: 3x + 4y ≥ 28 , 5x + 2y ≤ 42 , x – y ≥ 0 a) Razone si el punto de coordenadas (7, 3) pertenece al recinto.

Solución Sí pertenece porque cumple todas las inecuaciones

b) Represente dicho recinto y halle sus vértices. Solución

El recinto tiene por vértices A(8, 1), B(4, 4) y C(6, 6) c) Calcule el valor máximo de la función F(x, y) = 3x – 2y + 6 en el recinto, indicando el punto o puntos donde se alcanza ese máximo. (Propuesto PAU Andalucía 2012)

Solución El máximo absoluto de la función F en la región es 28 y se alcanza en el vértice A.

7 a) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones 7x – y ≥ – 10 , x + y ≤ 2 , 3x – 5y ≤ 14 y determine sus vértices.

Solución El recinto tiene por vértices A(– 2, – 4), B(– 1, 3) y C(3, – 1)

b) Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y) = 2x + 3y en dicha región. (Propuesto PAU Andalucía 2012)

Solución El máximo absoluto de la función F en la región es 7 y se alcanza en el punto B y el mínimo absoluto

de F es – 16 y se alcanza en el punto A. 8 Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debe ingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Para ello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro. Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el de máximo coste diario?

(Propuesto Selectividad 2008) Solución

El mayor beneficio es 0’88 € y se obtiene elaborando 4 píldoras del tipo P y 8 píldoras del tipo Q 9 Un joyero fabrica dos modelos de anillos. El modelo A se hace con 1 gramo de oro y 1.5 gramos de plata. El modelo B lleva 1.5 gramos de oro y 1 gramo de plata. El joyero sólo dispone de 750 gramos de cada metal y piensa fabricar, al menos, 150 anillos del tipo B que ya tiene encargados. Sabiendo que el beneficio de un anillo del tipo A es de 50 € y del tipo B es de 70 €, ¿cuántos anillos ha de fabricar de cada tipo para obtener el beneficio máximo y cuál será éste?


El beneficio máximo es 36000 € y se obtiene haciendo 300 anillos del tipo A y 300 anillos del tipo B. 10 Una empresa produce botellas de leche entera y de leche desnatada y tiene una capacidad de producción máxima de 6000 botellas al día. Las condiciones de la empresa obligan a que la producción de botellas de leche desnatada sea, al menos, la quinta parte de las de leche entera y, como máximo, el triple de la misma. El beneficio de la empresa por botella de leche entera es de 20 céntimos y por botella de leche desnatada es de 32 céntimos. Suponiendo que se vende toda la producción, determine la cantidad de botellas de cada tipo que proporciona un beneficio máximo y el importe de este beneficio.


El beneficio máximo es 1740 € y se obtiene haciendo produciendo 1500 botellas de leche entera y 4500 botellas de leche desnatada.


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11 Un Ayuntamiento concede licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B. Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A de 100000 euros y la de tipo B 300 000 euros. Si el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20 000 euros y por una de tipo B a 40 000 euros, ¿cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener un beneficio máximo?


El beneficio máximo es 2 700 000 € y se obtiene construyendo 105 casas del tipo A y 15 del tipo B. 12 Una empresa fabrica lunas para coches. Cada luna delantera requiere 2,5 m2 de cristal, mientras que cada luna trasera requiere 2 m2. La producción de una luna delantera precisa 0,3 horas de máquina de corte y cada luna trasera 0,2 horas. La empresa dispone de 1750 m2 de cristal por semana y 260 horas semanales de máquina de corte. Para adaptarse a la demanda habitual, la empresa fabrica siempre, como mínimo, el doble de lunas delanteras que de lunas traseras. Determine cuántas lunas de cada tipo debe fabricar semanalmente la empresa para que el número total de lunas sea máximo. (Propuesto PAU Andalucía 2007)

Solución El número máximo de lunas es de 750 y se obtiene fabricando 500 delanteras y 250 traseras. 13 Una fábrica produce bombillas de bajo consumo que vende a 1 euro cada una, y focos halógenos que vende a 1,5 euros. La capacidad máxima de fabricación es de 1000 unidades, entre bombillas y focos, si bien no se pueden fabricar más de 800 bombillas ni más de 600 focos. Se sabe que la fábrica vende todo lo que produce. Determine cuántas bombillas y cuántos focos debe producir para obtener los máximos ingresos posibles y cuáles serían éstos. (Propuesto PAU Andalucía 2007)

Solución El beneficio máximo es de 1300€ y se alcanza fabricando 400 bombillas y 600 focos halógenos. 14 Una imprenta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico necesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de tinta negra y dos de color. Si sólo dispone de 800 cartuchos de tinta negra y 1 100 de color, y si no puede imprimir más de 400 revistas, ¿cuánto dinero podrá ingresar como máximo, si vende cada periódico a 0,90 € y cada revista a 1,20 € ?


El beneficio máximo es de 810 € y se alcanza editando 500 periódicos y 300 revistas. 15 Un laboratorio farmacéutico vende dos preparados, A y B, a razón de 40 y 20 € el kg, respectivamente. Su producción máxima es de 1 000 kg de cada preparado. Si su producción total no puede superar los 1 700 kg, ¿cuál es la producción que maximiza sus ingresos? Calcule dichos ingresos máximos.


El beneficio máximo es 54 000 € y se alcanza vendiendo 1000 preparados del tipo A y 700 del tipo B.

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