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3º ESO ACADÉMICAS – UNIDAD 12.- FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- FUNCIONES LINEALES Y AFINES

1 La presión aumenta con la profundidad según la gráfica:

a) Calcula la pendiente, m, de la recta 2 1

: (0,1) (10,2), 0,110 0

Como la recta pasa por y la pendiente es m mSolución

b) Indica cuál es la ordenada en el origen, n : (0,1) , 1Como la recta corta al eje Y en el punto nSolución

c) Halla la fórmula de la función. 0,1 , 1: , 0,1 1

m nComo es una función lineal su fórmula es y mx n y xSolución

2 La siguiente gráfica representa la velocidad en función del tiempo

1 2 3 4 5 6

123456789

1011121314

t (tiempo en min)

v (velocidad en m/min)

a) Calcula la pendiente, m, de la recta 5 3: (0,3) (1,5), 2

1 0


b) Indica cuál es la ordenada en el origen, n : (0,3) , 3Como la recta corta al eje Y en el punto nSolución c) Halla la fórmula de la función.

2 , 3: , 2 3


d) Determina la velocidad al cabo de 35 min 35: 2 3 2.35 3 73 /min

xy x y mSolución

e) ¿Al cabo de cuánto tiempo la velocidad es de 123 m/min? 123: 2 3 123 2 3 123 3 2 120 2 60 min 1

yy x x x x x hSolución

3 Un bidón se vacía a razón de 3 litros cada 5 minutos. Al principio tiene 24 litros a) Completa la siguiente tabla de valores de la función tiempo-litros Solución

x = tiempo (en min) 0 5 10 15 y = litros que hay en el bidón 24 21 18 15

b) Dibuja la gráfica de la función

c) Calcula la pendiente, m, de la recta

21 24: (0,24) (5,21), 0,6

5 0



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d) Indica cuál es la ordenada en el origen, n : (0,24) , 24Como la recta corta al eje Y en el punto nSolución

e) Halla la fórmula de la función. 0,6 , 24: , 0,6 24


4 Un sastre, por hacer un traje, cobra 15 € fijos más 10 € por cada metro de tela que utilice.

a) Completa la siguiente tabla: b) Halla la pendiente : 10Soluc m c) Indica cuál es la ordenada en el origen : 15Soluc n d) Escribe la fórmula de esta función : 10 15Soluc y x e) Si el sastre ha cobrado 65 €, usa la fórmula para hallar los metros de tela ha utilizado Solución : 65 = 10x + 15 x = 5 metros

5 La altura inicial de un líquido contenido en una probeta es 18 cm. Es muy volátil y al evaporarse baja el nivel a razón de 3 cm cada 2 días. a) Siendo x = nº de días, y = altura del líquido (en cm), construye una tabla de valores para x = 0, 2, 4 Solución

x 0 2 4 y 18 15 12

b) Halla la fórmula de la función que expresa la altura del líquido (y) según del número de días (x).

15 18Sol.: Como la pendiente es m 1,5

2 0y la ordenada en el origen n 18, la fórmula es y 18 1,5x

c) Dibuja la gráfica de la función. Solución

d) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que desaparezca el líquido?

Solución : 0 = 18 – 1,5x x = 12 días

Metros de tela 0 1 2 3

Precio (en euros) 15 25 35 45


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6 Una pequeña empresa de informática quiere contratar un nuevo vendedor para su tienda. Ofrece una cantidad fija mensual 300 € y 20 € por ordenador vendido. Sea x = nº de ordenadores vendidos, y = dinero que gana en total al mes a) Haz una tabla de valores para x = 0, 1, 2 Solución

x 0 1 2 y 300 320 340

b) Halla la fórmula de la función que relaciona las variables “x” e “y”. Solución y = 300 + 20x c) Usando la fórmula calcula cuántos ordenadores debería vender al mes para ganar 1200 € Solución 1200 = 300 + 20x → 1200 – 300 = 20x → 900 = 20x → x = 45 ordenadores 7 Al apuntarnos en un gimnasio, hemos tenido que pagar una cantidad fija en concepto de

matrícula. Después tendremos que ir pagando las mensualidades. Si estamos 6 meses, nos cuesta en total 246 €, y si estamos 15 meses, nos costará 570 €. Calcula cuánto nos gastaríamos en total si estuviéramos yendo durante un año

Solución Sea x = nº de meses, y = precio, en €. La fórmula que relaciona x con y es afín.

Si x = 6 → y = 246. Luego, la recta pasa por el punto A(6, 246) Si x = 15 → y = 570. Luego, la recta pasa por el punto B(15, 570)

Pendiente de la recta: 570 246

m 3615 6

Ecuación de la recta punto-pendiente: y = m(x – x0) + y

0.

Usamos que la recta pasa por A(6, 246), luego x0 = 6, y

0 = 246 y tiene pendiente m = 36

y = 36(x – 6) + 246 → y = 36x + 30

Entonces, como 1 año = 12 meses x = 12 → y = 36 . 12 + 30 = 462 € 8 Estudia la posición relativa de las siguientes parejas de rectas. En caso de que sean secantes

calcula el punto de corte y dibújalas en los mismos ejes. a) r: x + y = 0 s: x – y + 4 = 0

:: sec int

: 4

4 4 2 2 ( 2) 2. tan ( 2, 2)4

r y xLas rectas son antes porque tienen dist a pendiente

s y x

y xx x x x y Se cor en el punto

y x

Solución

b) r: 2x – y = 3 s: 8x – 4y = 12

: 2 3 : 2 3: 8 12

: 8 12 4 : 2 34

r x y r y xx

s x y y s y x

Las rectas son coincidentes porque tienen la misma ecuación

Solución


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9 Dos depósitos de agua iguales, A y B, tienen una capacidad para 21 litros. El depósito A está lleno y se vacía a razón de 2 litros/min. El depósito B está vacío y se llena con una velocidad de 1,5 litros/min. Considera la función que relaciona las variables x = tiempo, en minutos, y = volumen, en litros a) Completa la siguiente tabla Solución

x 0 2 4 6 8 10 fórmula y (depósito A) 21 17 13 9 5 1 y = 21 – 2x y (depósito B) 0 3 6 9 12 15 y = 1,5x

b) Haz la gráfica de las dos funciones usando los datos de la tabla y los mismos ejes de coordenadas Solución

c) ¿En qué minuto los dos depósitos tienen la misma agua? Solución minuto 6 ¿Cuánta agua tienen? Solución 9 litros

d) ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el depósito B? Solución 21 = 1,5x → 21

x 14 minutos1,5

e) ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse el depósito A?

Solución 0 = 21 – 2x → 21 = 2x → 21

x 10,5 minutos2

f) Cuándo el depósito A está vacío, ¿cuántos litros tiene el depósito B? x = 10,5 → y = 1,5 . 10,5 = 15,75 litros

1 1 2 2

Solución : a) como la recta r pasa por ( 3, 1) y (0, 1) la pendiente es m r : y 1 (x 0)0 ( 3) 3 3

2 2b) como la recta r pasa por ( 1, 2) y (1, 2) la pendiente es m 2 r : y 2 2(x 1)

1 ( 1)


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r : y x 3 y x 3

3Solución : a) como tienen distinta pendiente, pues 1 , r y s son secantes.3x 4 3x 4

2s : y y2 2

3x 4x 3 2(x 3) 3x 4 5x 10 x 2 y 2 3 1. Se cor tan en P( 2, 1)

2r : y 2x 5

b) 6x 9s : y y 2x 3

3

como tienen la misma pendiente,que es 2, y 5 3, r y s son paralelas.

3x 4 1 2r : y y x

1 2 76 2 3c) como tienen la misma pendiente,que es , y , r y s son paralelas.2x 7 1 7 2 3 4

s : y y x4 2 4

x 1 1 1r : y y x

2 2 2d)8

s : y y 24

1 1y x1

como tienen distinta pendiente, pues 0, r y s son secantes. 2 22 y 2

x 12 x 1 2.2 x 3. Se cor tan en P(3, 2)

2

Solución : Si x tiempo (en segundos), y espacio (en metros) observamos que y 7x

50a) x 5 y 7.5 35 m b) y 50 50 7x x 7 segundos

7


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6Solución : Observa que l(t) 5 60.10 t 0,00006t 5

a) La pendiente es m 0,00006 y la ordenada en el origen es n 5 b) t 30 l(30) 0,00006.30 5 5 m

0,0054c) l(t) 5,0054 5,0054 0,00006t 5 0,0054 0,00006t t 90 ºC

0,00006

Solución : Sea x nº de km, y precio (en €) observamos que y mx n siendo m precio de 1 km

para x 10, y 15 15 m.10 ny n precio de la bajada de bandera. Entonces

para x 8, y 12,5 12,5 m.8 n

15 10m n. Restando las ecuacione

12,5 8m n

s, 2,5 2m m 1,25 15 10.1,25 n n 2,5

a) La bajada de bandera es n 2,5 € b) La función es y 1,25x 2,5

2.- FUNCIONES CUADRÁTICAS

1 La temperatura y, en ºC, que adquiere una pieza sometida a un proceso de calentamiento viene

dada en función del tiempo x, en horas, por la función: y = 40x −10x2. a) Calcula el vértice de la parábola.

240: 2 40 . 2 10 . 2 80 40 40 (2, 40)

2 2( 10)

bx x y V

aSolución

b) Halla los puntos de corte de la parábola con el eje X 2 2, 0: 40 10 0 40 10

00 (40 10 ) (0, 0) y (4, 0)

40 10 0 4

como en el eje X la yy x x x xx

x x Corta enx x

Solución


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c) Dibuja la gráfica.

d) Indica en qué momento alcanza la temperatura máxima y cuál es esa temperatura

: (2, 40) 2 40 ºComo V es el máximo La temperatura máxima se alcanza a las h y es CSolución

e) Indica en qué horas la temperatura de la pieza es de 0 ºC. : 0 4 0 º 0 4Como corta al eje X en y La temperatura es C a las h y a las hSolución

f) ¿En qué momentos la temperatura es de 35 ºC? (redondea a las décimas)

2 2 x 2,7 h40 1600 4.10.35 40 14,1Solución : y 35 35 40x 10x 10x 40x 35 0 x

x 1,3 h2.10 20

2 Se lanza una pelota desde al suelo hacía arriba. Se sabe que la altura que alcanza viene dada por

la función y = 20x – 5x2, siendo x = tiempo en segundos, y = altura en metros. a) Calcula el vértice de la parábola.

220: 2 20 . 2 5 . 2 40 20 20 (2, 20)

2 2( 5)

bx x y V

aSolución

b) Halla los puntos de corte de la parábola con el eje X 2 2, 0: 20 5 0 20 5

00 (20 5 ) (0, 0) y (4, 0)

20 5 0 4

como en el eje X la yy x x x xx

x x Corta enx x

Solución

c) Dibuja la gráfica.

d) Indica en qué momento alcanza la altura máxima y cuál es esa altura

: (2, 20) 2 20Como V es el máximo La altura máxima se alcanza a las seg y es mSolución

e) Indica en qué segundos la altura de la pelota es 0. : 0 4 0 0 4Como corta al eje X en y La altura es a los seg y a los segSolución

f) ¿En qué momentos la pelota está a 6 m de altura? (redondea a las décimas)

2 2 x 3,7 seg20 400 4.5.6 20 16,7Solución : y 6 6 20x 5x 5x 20x 6 0 x

x 3,3 seg2.5 10


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Solución

v

Solución : como la gráfica es una parábola cóncava ( ), el vértice es el máximo

b 2800x 20 Debe vender 20 unidades

2a 2( 70)

2 2

v

Solución : 1er número : x 2º número : 20 x. Función a minimizar : f(x) x 2(20 x) x 2x 40

como la gráfica es una parábola convexa ( ), el vértice es el mínimo

b 2x 1 Los números son 1 y 19

2a 2.1

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