1

Determinantes Ejercicio nº 1.- Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado b), calcula , además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:

Ejercicio nº 2.- a) Calcula el valor del determinante:

b) Resuelve la ecuación:

Ejercicio nº 3.- Calcula el valor de los siguientes determinantes.

Ejercicio nº 4.- Calcula cuánto vale el primer determinante y halla los valores de t que anulan el segundo determinante:

t

t

t

42

01

111b)

041

211

312a)

113

132

121

0

31

21

31

x

x

x

x

x

x

110

111

011b)

233

102

324a)

tt

t

t

1

02

22b)

124

320

212a)

2

Ejercicio nº 5.- Calcula el valor del determinante propuesto en a) y resuelve la ecuación propuesta en b):

Ejercicio nº 6.-

Ejercicio nº 7.-

Ejercicio nº 8.- Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

Ejercicio nº 9.- Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

Ejercicio nº 10.-

0

110

11

1b)

111

201

012a)

a

aa

:tesdeterminan siguientes los de valor el calcula 3 Si ,dc

ba

dc

ba

ddc

bba

db

ca

22

22

22

22;;

:esdeterminat siguientes los de valor el halla 4 que Sabiendo ,yx

ba

yx

ba

ba

yx

byax

ba 33c)b)a)

0b)

22

1122a)

32

2

aa

aa

yxyx

ba

yx

ba

yxba

yx

ba

yx3

33

33b)

22

22a)

:calcula ,4 y2 que tales 2,2 matrices dos son y Si BABA

12 2 AAABAAA t ;;;;;

3

Ejercicio nº 11.- Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:

Ejercicio nº 12.- Estudia el rango de la matriz:

Ejercicio nº 13.- Calcula el rango de la matriz:

Ejercicio nº 14.- Halla el rango de la siguiente matriz:

Ejercicio nº 15.- Obtén el rango de esta matriz:

711121

1321

5132

M

355

430

111

132

A

1123

3101

4312

A

3010

2321

0211

M

3010

1121

3212

M

4

Ejercicio nº 16.- Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

Ejercicio nº 17.- Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:

Ejercicio nº 18.- Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:

Ejercicio nº 19.-

Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de :

Ejercicio nº 20.- Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

014

030

0101

a

aA

231

040

2401

t

tM

23381

231

1321

t

tM

020

200

1111

A

aa

a

a

M

522

121

031

5

Ejercicio nº 21.- a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:

no es inversible.

b) Calcula A1 para a 2.

Ejercicio nº 22.-

Halla una matriz, X, tal que AX B 0, siendo:

Ejercicio nº 23.- Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:

Para los casos en los que a 2 y a 0. Ejercicio nº 24.-

Halla X tal que AX B, siendo:

Ejercicio nº 25.-

a) Calcula para qué valores de existe la inversa de la matriz:

222

11

11

a

a

a

A

14

44

12

y

111

102

011

BA

aa

a

A

11

111

111

213

105

126

y

111

320

112

BA

21

12

21

A

0. para Calcula b) 1 A

6

Soluciones Determinantes Ejercicio nº 1.- Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado b), calcula , además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:

Solución:

b) Calculamos el valor del determinante:

Veamos para qué valores de t se anula el determinante:

Ejercicio nº 2.- a) Calcula el valor del determinante:

b) Resuelve la ecuación:

t

t

t

42

01

111b)

041

211

312a)

1

041

211

312a)

47322441214

42

01

111

2222

tttttttttttt

t

t

t

16

6

3

4

6

8

6

17

6

484970473 2

t

t

ttt

.1 cuando y 3

4 cuando cero vale tedeterminan El tt

113

132

121

0

31

21

31

x

x

x

7

Solución:

b) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:

Ejercicio nº 3.- Calcula el valor de los siguientes determinantes.

Solución:

Ejercicio nº 4.- Calcula cuánto vale el primer determinante y halla los valores de t que anulan el segundo determinante:

7

113

132

121a)

1101 1

1

100

21

31

31

21

31

22

aa

a

a

23

2

1

FILAS

xxxx

xx

x

x

x

x

1;1:soluciones dosHay 21 xx

x

x

x

110

111

011b)

233

102

324a)

20

233

102

324a)

211121111

110

111

011b)233

xxxxxxx

x

x

x

131212211 2322 xxxxxxxxx

tt

t

t

1

02

22b)

124

320

212a)

8

Solución:

Ejercicio nº 5.- Calcula el valor del determinante propuesto en a) y resuelve la ecuación propuesta en b):

Solución:

b) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:

(1) Desarrollamos por la 2ª columna

Ejercicio nº 6.-

12

124

320

212a)

022424

1

02

22b)

233 tttttttt

tt

t

t

2202

0

22 ttt

t

2;2;0:soluciones tresHay 321 ttt

0

110

11

1b)

111

201

012a)

a

aa

1

111

201

012a)

101

1

1

110

01

10

110

11

1

21

3

12

1

COLUMNAS

a

aa

a

aaa

aa

a

a

aa

1;1:soluciones dosHay 21 aa

:tesdeterminan siguientes los de valor el calcula 3 Si ,dc

ba

dc

ba

ddc

bba

db

ca

22

22

22

22;;

9

Solución:

(1) El segundo determinante es 0, pues tiene dos columnas proporcionales.

Ejercicio nº 7.-

Solución: a) Sumamos la 2ª fila la 1ª.

Ejercicio nº 8.- Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

3dc

ba

db

ca

63202

2

2

2

2

22

22 1

dc

ba

dd

bb

dc

ba

ddc

bba

1234222

222

dc

ba

dc

ba

:esdeterminat siguientes los de valor el halla 4 que Sabiendo ,yx

ba

yx

ba

ba

yx

byax

ba 33c)b)a)

4 yx

ba

byax

ba

4b)

yx

ba

ba

yx

1243333c)

yx

ba

yx

ba

0b)

22

1122a)

32

2

aa

aa

yxyx

10

Solución:

Ejercicio nº 9.- Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

Solución:

Por tanto, la igualdad es verdadera.

Luego, es falsa. Ejercicio nº 10.-

Solución:

Sabemos que, si A y B son dos matrices 22, entonces:

Por tanto:

cierta. es igualdad Laiguales Son

2222

11

2222a)

xyyx

xyyx

igualdad. esta cierta es También0b) 44

32

2

aaaa

aa

ba

yx

ba

yxba

yx

ba

yx3

33

33b)

22

22a)

ba

yxyaxb

ay

bxba

yx

2

22

2

22

22a)

ba

yxayxbayxb

ba

yx9999

33

33b)

:calcula ,4 y2 que tales 2,2 matrices dos son y Si BABA

12 2 AAABAAA t ;;;;;

AAAkAkBABA t )3)2)1 2

42222 AAAAAA

21112

AAAAA

11

Ejercicio nº 11.- Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:

Solución:

Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

Así, la 3ª fila es combinación lineal de las dos primeras.

Por tanto, ran (M) 2. Ejercicio nº 12.- Estudia el rango de la matriz:

824422 2 AAA

842 BAAB

2 AAt

, existe que y que cuenta en tener a vamos , hallar Para 111 AIAAA

Así:.02A que puesto

2

111 111

AAAAIAA

711121

1321

5132

M

0721

32:nulo no 2 orden de menor un Tomamos

0

7121

121

532

;0

11121

321

132

355

430

111

132

A

12

Solución:

Luego, ran (A) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

Por tanto, ran (A) 3. Ejercicio nº 13.- Calcula el rango de la matriz:

Solución:

Por tanto, ran (A 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

Luego, ran (A) 3

Ejercicio nº 14.- Halla el rango de la siguiente matriz:

0511

32:nulo no 2 orden de menor un Tomamos

ntes.independie elinealment son filas primeras tres Las017

430

1

1

11

32

1123

3101

4312

A

0101

12:nulo no 2 orden de menor un Tomamos

ntes.independie elinealment son filas tres Las014

123

1

3

01

12

3010

2321

0211

M

13

Solución:

Tomamos un menor de orden 2 no nulo:

Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:

Las tres primeras filas son linealmente independientes.

Por tanto, ran (M) 3.

Ejercicio nº 15.- Obtén el rango de esta matriz:

Solución:

Observamos que la 1ª y la 3ª columna son iguales. Luego podemos prescindir de la 3ª columna para calcular el rango de M. Tomamos un menor de orden 2 no nulo:

Por tanto, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes (y las dos primeras columnas). Veamos si la 4ª columna depende linealmente de las dos primeras:

3010

23

02

21

11

M

2 0423

02 Mran

01531

213

300

231

021

3010

1121

3212

M

0321

12

14

Ejercicio nº 16.- Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

Solución: Podemos prescindir de la 3ª columna, pues no influye en el rango.

Luego, ran (A) 2.

Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

Si a 1 y a 3 ran(A) 3

Si a 1 o a 3 La 2ª fila depende linealmente de las otras dos ran(A) 2

Ejercicio nº 17.- Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:

Solución:

3 014

310

121

312

Mran

014

030

0101

a

aA

01 14

01 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomemos

3

1

2

24

2

12164034

14

30

101

2

a

aaaa

a

a

231

040

2401

t

tM

15

Observamos que la 4ª columna es el doble de la 1ª. Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango.

Así, ran (M) 2.

Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

Si t 2 y t 6 ran(M) 3

Si t 2 o t 6 La 2ª columna depende linealmente de la 1ª y 3ª.

Por tanto, ran (M) 2.

Ejercicio nº 18.- Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:

Solución:

Observamos que la 3ª columna es proporcional a la 1ª (es su triple); por tanto, podemos prescindir de ella para calcular el rango.

Luego, ran (M) 2.

Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:

Por tanto, la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras para cualquier valor de t.

Así, ran (M) 2.

04 40

41 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos

6

2

2

84

2

481640124

31

40

401

2

t

tttt

t

t

23381

231

1321

t

tM

01 21

11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos

. de valor cualquier para043824382

2381

21

121

ttttt

t

t

16

Ejercicio nº 19.-

Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de :

Solución:

Luego, ran (A) 2.

Buscamos los valores de que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:

Si 1 La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:

Si 2 La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:

Por tanto, ran (A) 3 para cualquier valor de .

020

200

1111

A

020

200

1111

A

02 20

11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos

222122 2

11 2

02

200

111

2

1

2

31

2

811022 2

3 ran 2 y 1 Si A

3 ran01

010

201

111

A

3 ran08

020

202

111

A

17

Ejercicio nº 20.- Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

Solución:

Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a. Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:

Si a 1 Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª columna:

Por tanto, ran (M) 2.

Si a 3 Sabemos que la 1ª columna depede linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª columna:

Ejercicio nº 21.- a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:

aa

a

a

M

522

121

031

03 12

03 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos

03403426823562

5

12

03

2

12222 aaaaaaaaa

a

a

1

3

2

24

2

12164

a

aa

últimas. dos las de elinealment depende columna 2 La0

15

12

03

2

1

1

a

3 ran tanto, Por .08

35

12

03

6

3

1

M

222

11

11

a

a

a

A

18

no es inversible.

b) Calcula A1 para a 2.

Solución:

Calculamos el determinante de A:

Ejercicio nº 22.-

Halla una matriz, X, tal que AX B 0, siendo:

Solución:

Despejamos X en la ecuación dada:

1a) La condición necesaria y suficiente para que exista es que 0 . A A

0253222222

222

11

11

22 aaaaaaa

a

a

a

A

3

2

1

6

15

6

24255

a

a

a

.3

2 para y 1 para inversible es no matriz la tanto, Por aa

:queda matriz La . 4 que tenemos , 2 Parab) AAa

342

142

102

311

440

222

220

121

112t

AAdjAAdjA

342

142

102

4

1

1 1 t

AAdjA

A

14

44

12

y

111

102

011

BA

: existe si ver para Calculamos 1AA

1 Existe02

111

102

011

AA

BAXBAAXABAXBAX 1110

19

Hallamos la matriz inversa de A:

Obtenemos la matriz X:

Ejercicio nº 23.- Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:

Para los casos en los que a 2 y a 0. Solución:

Para a 2, queda:

Para a 0, queda:

202

111

111

211

011

211t

AAdjAAdj

202

111

111

2

1

202

111

111

2

11 1 t

AAdj A

A

02

11

21

04

22

42

2

1

14

44

12

202

111

111

2

11BAX

aa

a

A

11

111

111

231

111

113

A

:calculamos La . existe sí caso, este En .2 Entonces, 1 AA

282

251

011

220

851

211t

AAdj AAdj

141

12

5

2

1

02

1

2

1

11 t

AAdjA

A

20

Ejercicio nº 24.-

Halla X tal que AX B, siendo:

Solución:

Despejamos X de la ecuación dada:

Hallamos la matriz inversa de A:

Obtenemos la matriz X:

011

111

111

A

. 0 iguales, son filas primeras dos las Como A

. existe no caso, este en tanto, Por 1A

213

105

126

y

111

320

112

BA

: existe si ver para A Calculamos 1A

1 Existe05

111

320

112

AA

BAXBAAXABAX 111

412

613

505

465

110

235

t

AAdjAAdj

412

613

505

5

1

11 tAAdj

AA

101

201

113

505

1005

5515

5

1

213

105

126

412

613

505

5

1X

21

Ejercicio nº 25.-

a) Calcula para qué valores de existe la inversa de la matriz:

Solución:

Calculamos el determinante de A:

b) Para 0, la matriz es:

21

12

21

A

0. para Calcula b) 1 A

1a) La condición necesaria y suficiente para que exista es que 0 . A A

2222 1336342142

21

12

21

A

1 01 013 02

A

.1 para existe tanto, Por 1 A

210

423

120

241

122

030

201

102

210t

AAdjAAdjA

3A

210

423

120

3

1

11 tAAdj

AA