Sistemas de Ecuaciones Lineales

Pro. Quintana Mario E.

Teorema de Rouché FrobeniusEn un sistema de m ecuaciones con n incógnitas

mnmnnmnmm

mnnmnnmmm

nnnn

nnnn

bxaxaxaxabxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

112211

11111212111

22112222121

11111212111

....................

................................................................................................................................................................

..........

..........

Definimos como matriz de coeficientes (A), a la matriz conformada por todos los coeficientes de las variables del sistema, ordenados

según el mismo orden del sistema

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

.....................................

.....

.....

21

22212

11211

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

A

..................................................

......

......

´

21

222212

111211

Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna de los resultados de l sistema como última

columna, tenemos la matriz ampliada (A´)

1a 1b 1c 1d 1e 1f 6 7 8a 8b

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

.....................................

.....

.....

21

22212

11211

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

A

..................................................

......

......

´

21

222212

111211

La matriz A es de clase (m x n) )(mxnA

La matriz A´ es de clase m x (n+1)))1((́ nmxA

Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método

apropiado, ver TP)´)()( AA rr El sistema tiene

soluciónsi además

incógnitasdenrr AA º´)()( El sistema es Compatible determinadoadmite solución

únicaincógnitasdenrr AA º´)()( El sistema es Compatible

indeterminadoadmite infinitas soluciones

´)()( AA rr El sistema es IncompatibleNO tiene solución

1a 1b 1c 1d 1e 1f 6 7 8a 8b

1 a) Para resolver

32358221

zyx

zyx

zyx

sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para aplicar las operaciones

elementales, conformamos primero la matriz de

coeficientes

235212

111 y le agregamos la columna de

resultados para conformar la matriz ampliada3

81

00

111 131

121

3

41122

4

101128

)(

10 21153

2

31152

81

153

)(

3 8

003410

01

310

3411 )(

31

341

31

31011

37

3101

37

3

423 )(31

383

31

31028 3

43

208 34

1 d1 c1 b

310034103101

34310

37

100010001

431

34

4

3134

34

310 23

6316

310

3134

31

37 13

334

37

2

1

El rango de la matriz coeficientes

es 3 Y el rango de la matriz ampliada también es 3

´)A()A( rr el número de incógnitas es igual al rango de ambas matricesincógnitasºnrr ´)A()A( Sistema compatible

determinado1x 2y 4zTe sugerimos que verifiques estos resultados . . .

(admite un solo conjunto solución)

1 d1 c1 b

1 b) Para resolver

133425436

zy

yx

zx

sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitasescribimos el sistema completo y ordenado

133402504360

zyx

zyx

zyx

Para aplicar las operaciones elementales, conformamos

primero la matriz de coeficientes

Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada

340043101

13256

00

101 641

034

4 31130

3 7 71

6325

41004

431

103

3 131

6013

13

004310

01 47 11

301

)(

161

706

6

04343

)(0 2047413

20

1 d1 c

0004310

101

2047

6

El próximo pivote debe elegirse en la 3º fila 3º

columna, pero ese elemento es 0 (no puede

ser pivote)

Significa que las operaciones elementales posibles concluyeronY quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0)

2)A(r

3´)A(r pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)

´)A()A( rr Sistema incompatible

Este sistema no tiene solución

1 d1 c

1 c) Para resolver

74233332

102

tzyx

tzyx

tzyx

sistema de tres ecuaciones con cuatro

incógnitas Para aplicar las operaciones elementales, conformamos

primero la matriz de coeficientes

Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada

14233312

2111

73

10

00

2111 1011

121

)(

1

11123

171

223

7

2311023

23

11132

)(1 11134

1

71231

7

2311037

23

1 d

71107110

2111

2323

10

007110

01 23

21111

2

51712

)(

5131

23110

)(13

01111

0 01717

)(0 0123123

)(0

El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó 4ta columna, pero esos elementos son 0

(no pueden ser pivote)Significa que las operaciones

elementales posibles concluyeron

quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)

2)A(r

2´)A(r y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)

1 d

Si

´)A()A( rr Sistema compatible

Este sistema admite infinitas soluciones

2)A(r 2´)A(r

pero incógnitasdeºnrr ´)A()A( Sistema compatible indeterminado

000071105201

02313

2371352

tzy

tzx

despejamos y tzy 723

despejamos x tzx 5213

confeccionamos una tabla de valores para

encontrar diferentes soluciones,

asignándole valores a z y t,

encontramos x e y

x y z tS1 0 0-13 -23S2 1 1-10 -17S3 0 1-8 -16

Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de ecuaciones con las matrices coeficiente

y ampliadas halladas

1 d

1 d) Para resolver

44106223253tuzyx

tuzyx

sistema de tres ecuaciones con cuatro

incógnitasPara aplicar las operaciones elementales,

conformamos primero la matriz de coeficientes

41062225311

43

025311 3

01122

)(

0

01326

001

5210

)(

001

224

0

21324

2El próximo pivote debe elegirse en la 2da fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos

elementos son 0 (no pueden ser pivote)

Significa que las operaciones elementales posibles

concluyeronY queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)

1)A(r

2´)A(r pero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)

´)A()A( rr Sistema incompatible

Este sistema no tiene solución

y la matriz ampliada

1 e) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal

0202302

zyx

zyx

zyx

Sabiendo que el sistema homogéneo

será siempre compatible

Solo nos queda analizar si admite soluciones diferentes

de la trivial (todas las variables igual a cero)

sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitasAnalizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para visualizar mejor el rango de ellas

211123112

000

21100

0

11121

)(

1

11121

1

01020

0

51132

)(

5

11231

1

01030

0

4 b

000

211150110

0100

110

41151

)(

40

01050

11112

)()(

0

1

01010

)(

0

001100010

0

04010

)(

0

04010

0

El rango de la matriz de coeficientes es 3

3)( ArPor ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre)

incógnitasdeºnr )A(

Este sistema homogéneo admite solamente solución trivial

0 zyx1 f

1 f) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal

zyx

zyx

yzx

9870654

23

ordenamos el sistema

09870654

032

zyx

zyx

zyx

987654321

000

31245

00

321 03

61346

6

01040

0 61278

6

121379

12

01070

0

00210

01

0

13623

)(

1 0

0

36612 )()(

3

361212

00

El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra columna, pero esos elementos

son 0 (no pueden ser pivote)

las operaciones elementales

posibles concluyeron

03020

03060

000002100101

Recomponemos el sistema de ecuaciones, proponiendo un sistema de ecuaciones equivalente

020

zy

zx

del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z zx

zy 2

El rango de la matriz de coeficientes es 2

2)A(rpor ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre)

incógnitasdeºnr )A(

Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial Este sistema admite infinitas

soluciones

Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones; asignándole valores a z , encontramos

x e yx y z

S1 11 -2S2 -

1-1 2

S3 00 0

6) Para determinar, si existen los valores de m R, tales que el sistema sea : a) compatible determinado, b)Incompatible y c) Compatible indeterminado

01

1

zymx

mzyx

zyx Efectuamos transformaciones elementales por

Gauss-Jordan11

11111

m

m

01

1

00

111 1 01111

011

11

mm

1m

21111

2mm

1111m1 mm

1111m1 mm

110m

1100001

mm

1

011)1(1

mm0 mm

mmm

m

11

11

111

m11

mmmm

1)1(

)1()1(0m1

mmmm

mmm

2)1(

)1(2)1()1(2

m 2

Transcribimos el resultado de la última transformación

110

010

001

m

mm

m

m

1

2

11

Podemos apreciar claramente que:

Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de coeficientes

Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º filaPor lo que si m = 1 ´)()( AA rr Sistema incompatible

Para cualquier otro valor de m

incógnitasdenrr AA º´)()(

Sistema compatible determinado

7) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?

Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos

2) El promedio de sus edades es 18,5.

3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años

1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años

Si la cantidad de estudiantes

que tiene 18 años es x19 años es y20 años es z

32 zyx

51832 ,

multiplicamos cada una de las edades por la cantidad de

estudiantes que tienen esas edades y sumamos los

productoszyx 201918 y dividimos por el total de estudiantes para hallar el promedio de las edades

6 zyxCon las tres ecuaciones planteadas, puedo conformar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

651832

20191832

zyx

,zyxzyx

que ordenado queda :

6592201918

32

zyx

zyx

zyx

6592201918

32

zyx

zyx

zyx

111201918111

659232

00

111 32 1111819

121

11820

2

1613218592

16

21111

2

21111

2

2613216

26

00210

0116

11211

1

16116132

16

21222

2

6116226

6

100010001

3

1926116

19

1026216

10

Las matrices coeficientes y ampliada equivalentes luego de las transformaciones elementales resultan:

31019

100010001 El rango de la matriz de coeficientes es 3

3)A(rEl rango de la matriz ampliada también es 3

3´)A(r

´)A()A( rr el número de incógnitas es igual al rango de ambas matricesincógnitasºnrr ´)A()A( Sistema compatible

determinado

19x

10y

3z

Te sugerimos que verifiques

estos resultados . . .

(admite un solo conjunto solución)Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con

la matriz de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones elementales

30010001900

zyx

zyx

zyx

8) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ?

Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas :

que sean iguales que no sean iguales´)A()A( rr ´)()( AA rr

Si los rangos no son iguales, lo que puede suceder en un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas 

El sistema es incompatible no tiene

soluciónSi los rangos son iguales, con seguridad, al ser menor el número de ecuaciones que el número de incógnitas

incógnitasdenrr AA º´)()(

El sistema es compatible indeterminado tiene múltiples

soluciones7 b

7 b) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas y además es homogéneo

Por ser homogéneo, sabemos que los rangos no pueden ser

diferentes, luego los rangos son iguales

´)()( AA rr

Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número de incógnitas

incógnitasdenrr AA º´)()(

Entonces el sistema es compatible determinado, al ser homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la

trivial

BIBLIOGRAFÍA

•Garcia Venturini, A. E. (1993).ALGEBRA con Aplicaciones Económica. - Bs.As. - Argentina.Editorial Secretaría de Cultura C.E.C.E. UBA •GILBERT STRANG. Algebra Lineal. Madrid – España. Ediciones Pirámides. •Rojo, A. (1973). Álgebra I y II. (11° edición). Bs As – Argentina. Ed. El Ateneo. •Stanley I. Grossman (2008). Álgebra Lineal. (6º Ed.).México. Editorial McGRAW-HILL. •Seymour Lipschutz. Álgebra Lineal. Editorial McGRAW-HILL.COMPLEMENTARIA•Howard, A. (2000).Introducción al álgebra lineal. México. Noriega Editores.•Kleiman, A. y de Kleiman, Elena K. (1.991) Matrices, aplicaciones matemáticas en economía y administración. México. Ed. Noriega-Limusa.•.

Lograremos cosas

importantes

Algún día en cualquier parte, en cualquier lugar indefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y esa, sólo esa, puede ser la más feliz ó la mas amarga de tus horas.

Pablo Neruda

Yo creo bastante en la suerte. He constatado que cuanto más trabajo, mas suerte tengo.

Thomas Jefferson