problema de la moneda frobenius

Residuos Cuadraticos y el Problema del Cambio de Moneda

Residuos Cuadraticos y el Problema del Cambio deMoneda

Sergio Alejandro Angulo

10 Diciembre 2014

Contenido

1 Introduccion

2 Consideraciones Iniciales

3 Teorema

4 DemostracionLema 1Lema 2Lema 3Conclusiones

5 Bibliografa

Introduccion

El Problema del Cambio de Moneda, se puede interpretar de lasiguiente manera:

Suponga que en un pas se tienen billetes de todas lasdenominaciones enteras, pero unicamente se tiene un numero finitode monedas de denominaciones enteras m1,m2, . . . ,mk, que sonprimos relativos entre s, entonces el problema del cambio demoneda consiste en encontrar el billete de mayor denominacion queno puede cambiarse utilizando estas monedas.

Introduccion

El problema de Frobenius

Dados los enteros positivos m1,m2, . . . ,mk, primos relativos entresi, calcular el mayor entero que no se pueda representar como unacombinacion lineal no negativa de los enteros m1,m2, . . . ,mk.

Introduccion

Historia

El caso particular de un par de enteros positivos primosrelativos a1, a2 fue resuelto por J.J Silvester en 1884.

Selmer y Beyer en 1978 resolvieron el caso de tres enterosprimos relativos entre s, utilizando un algoritmo de fraccionescontinuas.

No se conocen formulas precisas para el calculo del numero deFrobenius cuando se tienen mas de 3 enteros primos relativos.

Introduccion

Historia

Introduccion

Historia

Introduccion

El hecho de que un primo impar p tiene p12 residuos cuadraticos

modulo p y que para p y q primos, tenemos (p1)(q1)2 numeros no

representables. La presencia de p12 en ambos expresiones resultainteresante. Lo que nos lleva a la pregunta

Hay alguna relacion entre los residuos cuadraticos y los numerosno representables que da cuenta de la presencia de p12 en los dos

expresiones?

Introduccion

El hecho de que un primo impar p tiene p12 residuos cuadraticos

modulo p y que para p y q primos, tenemos (p1)(q1)2 numeros no

representables. La presencia de p12 en ambos expresiones resultainteresante. Lo que nos lleva a la pregunta

Hay alguna relacion entre los residuos cuadraticos y los numerosno representables que da cuenta de la presencia de p12 en los dos

expresiones?

Introduccion

Resulta que s existe una relacion entre estas dos expresiones. Loscuadrados de los numeros no representables para p y q, modulo p,constan de q 1 copias de cada uno de los residuos cuadraticosmod p, y, mod q, consisten en p 1 copias de cada uno de losresiduos cuadraticos mod q.

Consideraciones Iniciales

Definiciones

Numero representable.

Sean p, q P, un entero n es representable por p y q si existena, b Z con a, b 0 tales que ap+ bq = n.

Conjunto de numeros representables.

Sean p, q P

F (p, q) = {xZ+ | (a, bZ a, b 0|x = ap+ bq)}

Definiciones

Numero representable.

Sean p, q P, un entero n es representable por p y q si existena, b Z con a, b 0 tales que ap+ bq = n.

Conjunto de numeros representables.

Sean p, q P

F (p, q) = {xZ+ | (a, bZ a, b 0|x = ap+ bq)}

Numero no representable.

Sean p, q P, un entero n es no representable por p y q si paratodo a, b Z tal que ap+ bq = n se tiene que o bien a < 0 ob < 0.

Conjunto de numeros no representables.

Sean p, q P

FN(p, q) = {xZ+ | (a, bZ a, b 0 |x = ap+ bq)}

Numero no representable.

Sean p, q P, un entero n es no representable por p y q si paratodo a, b Z tal que ap+ bq = n se tiene que o bien a < 0 ob < 0.

Conjunto de numeros no representables.

Sean p, q P

FN(p, q) = {xZ+ | (a, bZ a, b 0 |x = ap+ bq)}

Residuo Cuadratico.

Sea a,mZ, m>0, am=1

a es residuo cuadratico modulo m (x | : x2 m= a)

Conjunto de Residuos cuadraticos.

Sea p P, el conjunto de residuos cuadraticos modulo p es

RCp = {x : x [0 :p] | a2p=x}

Residuo Cuadratico.

Sea a,mZ, m>0, am=1

a es residuo cuadratico modulo m (x | : x2 m= a)

Conjunto de Residuos cuadraticos.

Sea p P, el conjunto de residuos cuadraticos modulo p es

RCp = {x : x [0 :p] | a2p=x}

Lema

Sea p P entonces

#RCp =p 12

Teorema

Sean p, qP, rpRCp, rqRCq

(#x |xFN(p, q) : x2 p= rp) = q 1

Los cuadrados de los numeros no representables por p y q, modulop, constan de q 1 copias de cada uno de los residuos cuadraticosmod p.

(#x |xFN(p, q) : x2 q= rq) = p 1

Los cuadrados de los numeros no representables por p y q, moduloq, constan de p 1 copias de cada uno de los residuos cuadraticosmod q.

Teorema

Sean p, qP, rpRCp, rqRCq

(#x |xFN(p, q) : x2 p= rp) = q 1

Los cuadrados de los numeros no representables por p y q, modulop, constan de q 1 copias de cada uno de los residuos cuadraticosmod p.

(#x |xFN(p, q) : x2 q= rq) = p 1

Los cuadrados de los numeros no representables por p y q, moduloq, constan de p 1 copias de cada uno de los residuos cuadraticosmod q.

Demostracion

Lema 1

Sean p, q, aZ, pq, a>0, y sea

C = {i | 0 i

Demostracion

Demostracion Lema 1:

(#k | k C : k q= 0)= { Definicion del conjunto C }(#i | 0 i

Demostracion

Lema 2

Sean p, qP, p, q 2=1, rpRCp, rqRCqSea S [1 :pq] que cumple

xS xp

6=0 xq

6=0

xp

6=0 xq

6=0 xS Y pqxS entonces,

(#k | kS k2 p=rp) = q 1

(#k | kS k2 q=rq) = p 1

Demostracion

Lema 2

xS xp

6=0 xq

6=0

xp

6=0 xq

6=0 xS Y pqxS

entonces,

(#k | kS k2 p=rp) = q 1

(#k | kS k2 q=rq) = p 1

Demostracion

Lema 2

xS xp

6=0 xq

6=0

xp

6=0 xq

(#k | kS k2 p=rp) = q 1

(#k | kS k2 q=rq) = p 1

Demostracion

Lema 2

xS xp

6=0 xq

6=0

xp

6=0 xq

(#k | kS k2 p=rp) = q 1

(#k | kS k2 q=rq) = p 1

Demostracion

Lema 2

xS xp

6=0 xq

6=0

xp

6=0 xq

(#k | kS k2 p=rp) = q 1

(#k | kS k2 q=rq) = p 1

Demostracion

Lema 2

Sea T = S {x |x [1 : pq] pq x S}, entonces

T = {x |x [1 :pq] xp

6= 0 xq

6= 0}

ademas podemos escribir [1 : pq] como

[1 : pq] = { i, j : i [1 :p] j [0 :q 1] | i+jp}

De la observacion anterior para cada kT se tiene

(#i |i [1 :p 1] : k p= i)= { Lema 1, Observacion anterior }

q 1

Demostracion

Lema 2

T = {x |x [1 :pq] xp

6= 0 xq

6= 0}

[1 : pq] = { i, j : i [1 :p] j [0 :q 1] | i+jp}

(#i |i [1 :p 1] : k p= i)= { Lema 1, Observacion anterior }

q 1

Demostracion

Lema 2

T = {x |x [1 :pq] xp

6= 0 xq

6= 0}

[1 : pq] = { i, j : i [1 :p] j [0 :q 1] | i+jp}

(#i |i [1 :p 1] : k p= i)= { Lema 1, Observacion anterior }q 1

Demostracion

Lema 2

T = {x |x [1 :pq] xp

6= 0 xq

6= 0}

[1 : pq] = { i, j : i [1 :p] j [0 :q 1] | i+jp}

(#i |i [1 :p 1] : k p= i)= { Lema 1, Observacion anterior }q 1

Demostracion

Lema 2

Demostracion Lema 2(Continuacion):

Ahora veamos el siguiente calculo, en particular tenemos pararp RCp

(#i | i [1 :p1] : k p= i) = q1 { Los cuadrados producen dos copias de cada residuo cuadratico }

(#k | kT : k2 p=rp) = 2(q1)

{ x2 p= (pq x)2, Definicion del conjunto S }(#k | kS : k2 p=rp) = (q1)

De manera similar procedemos con q y obtenemos

(#k | kS k2 q=rq) = p 1

Demostracion

Lema 2

(#k | kT : k2 p=rp) = 2(q1) { x2 p= (pq x)2, Definicion del conjunto S }

(#k | kS : k2 p=rp) = (q1)

(#k | kS k2 q=rq) = p 1

Demostracion

Lema 2

(#k | kS : k2 p=rp) = (q1)

(#k | kS k2 q=rq) = p 1

Demostracion

Lema 2

(#k | kS : k2 p=rp) = (q1)

(#k | kS k2 q=rq) = p 1

Demostracion

Lema 3

Sean p, qZ y pq, x [0 :pq], xp

6=0, xq

6=0,

x F (p, q) pqx FN(p, q)

Si x es representable por p y q, entonces pq x no esrepresentable por p y q.

x FN(p, q) pqx N(p, q)

Si x no es representable por p y q, entonces pq x esrepresentable por p y q.

Demostracion

Lema 3

6=0, xq

6=0,

Demostracion

Lema 3

6=0, xq

6=0,

Demostracion

Lema 3

Primero veamos que si xF (p, q) , es decir existen a, bZ cona, b0 tales que x = ap+ bq y ademas x

p

6=0, xq

6=0 y x [0 :pq]entonces a(0 : p) y b(0 : q)

xF (n, p) { Definicion de F (p, q) }x = ap+ bq a, b Z a, b 0

{ xp

6= 0, xq

6= 0 }a > 0 b > 0

Demostracion

Lema 3

p

6=0, xq

xF (n, p) { Definicion de F (p, q) }x = ap+ bq a, b Z a, b 0 { x

p

6= 0, xq

6= 0 }a > 0 b > 0

Demostracion

Lema 3

p

6=0, xq

xF (n, p) { Definicion de F (p, q) }x = ap+ bq a, b Z a, b 0 { x

p

6= 0, xq

6= 0 }a > 0 b > 0

Demostracion

Lema 3

Demostracion Lema 3 (Continuacion)

Ademas,

x = ap+bq { x [0 :pq] }

ap+bq < pq { Algebra }

ap < pqbq

{ Factor Comun (p b) 0 }

a < q

De manera similar llegamos a que b < p.

Demostracion

Lema 3

Ademas,

x = ap+bq { x [0 :pq] }

ap < pqbq { Factor Comun (p b) 0 }a < q

Demostracion

Lema 3

Ademas,

x = ap+bq { x [0 :pq] }

ap < pqbq { Factor Comun (p b) 0 }

a < q

Demostracion

Lema 3

Ademas,

x = ap+bq { x [0 :pq] }

a < q

Demostracion

Lema 3

Ademas,

x = ap+bq { x [0 :pq] }

a < q

Demostracion

Lema 3

xF (p, q) { Definicion de F (p, q) }

x=ap+bq { Algebra }pqx = pqapbq

{ Factor comun }pqx = (qa)pbq = ap+ (pb)q { k Z, Sumo y resto kpq }

pqx = (qakq)p+ (kpb)q = (kqa)p+ (pbkp)q { a=qakq , b=kpb a=kqa , b= pbkp }

pqx = ap+bq { a (0 : q) b (0 : p) }

pqx = ap+bq a

Demostracion

Lema 3

x=ap+bq { Algebra }

pqx = pqapbq { Factor comun }

pqx = (qa)pbq = ap+ (pb)q

{ k Z, Sumo y resto kpq }pqx = (qakq)p+ (kpb)q = (kqa)p+ (pbkp)q { a=qakq , b=kpb a=kqa , b= pbkp }

pqx = ap+bq { a (0 : q) b (0 : p) }

pqx = ap+bq a

Demostracion

Lema 3

x=ap+bq { Algebra }

pqx = (qa)pbq = ap+ (pb)q { k Z, Sumo y resto kpq }pqx = (qakq)p+ (kpb)q = (kqa)p+ (pbkp)q

{ a=qakq , b=kpb a=kqa , b= pbkp }pqx = ap+bq

{ a (0 : q) b (0 : p) }pqx = ap+bq a

Demostracion

Lema 3

x=ap+bq { Algebra }

pqx = (qa)pbq = ap+ (pb)q { k Z, Sumo y resto kpq }pqx = (qakq)p+ (kpb)q = (kqa)p+ (pbkp)q { a=qakq , b=kpb a=kqa , b= pbkp }

pqx = ap+bq

{ a (0 : q) b (0 : p) }pqx = ap+bq a

Demostracion

Lema 3

x=ap+bq { Algebra }

pqx = ap+bq { a (0 : q) b (0 : p) }pqx = ap+bq a

Demostracion

Lema 3

x=ap+bq { Algebra }

Demostracion

Lema 3

x=ap+bq { Algebra }

Demostracion

Lema 3

Para la segunda implicacion, sea x FN(p, q), sin perdida degeneralidad tomemos a = min{ a | a > 0 : x = ap+ bq}

x FN(p, q) { Definicion de FN(p, q),Definicion de a }

x = ap+bq 0

Demostracion

Lema 3

x = ap+bq 0

Demostracion

Lema 3

x = ap+bq 0

Demostracion

Lema 3

x = ap+bq 0

Demostracion

Lema 3

x = ap+bq 0

Demostracion

Lema 3

x = ap+bq 0

Demostracion

Conclusiones

Como el lema 3 nos muestra que los numeros no representablestienen la propiedad descrita en el conjunto S del lema 2 podemosconcluir el teorema inicial.

Teorema

Sean p, q P, rRCp, sRCq

(#x |xFN(p, q) : x2 p= r) = q 1

(#x |xFN(p, q) : x2 q= s) = p 1

Demostracion

Conclusiones

Como el lema 3 nos muestra que los numeros no representablestienen la propiedad descrita en el conjunto S del lema 2 podemosconcluir el teorema inicial.

Teorema

Sean p, q P, rRCp, sRCq

(#x |xFN(p, q) : x2 p= r) = q 1

(#x |xFN(p, q) : x2 q= s) = p 1

Bibliografa

SPIVEY, Michael Z. Quadratic Residues and the Frobenius CoinProblem. University of Puget Sound, 2007.STRAYER, James K. Elementary Number Theory. Waveland PrInc, 2001.

IntroduccinConsideraciones InicialesTeoremaDemostracinLema 1Lema 2Lema 3Conclusiones

Bibliografa

problema de la moneda frobenius

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