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Introducción al Cálculo con Matrices —

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Introducción al Cálculo con Matrices

02 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016® Nota Técnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas. Su difusión, reproducción o uso total o parcial para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

Índice 1 Concepto de Matriz o Tabla .................................................................................................................................. 4

1.1 Listas Numéricas ............................................................................................................................................. 4

1.2 Tablas Numéricas ........................................................................................................................................... 4

1.3 Matrices ................................................................................................................................................................. 4

2 Tipos de Matrices ......................................................................................................................................................... 5

2.1 Atendiendo a la Forma ............................................................................................................................... 5

2.2 Atendiendo a los Elementos .................................................................................................................. 6

3 Operaciones con Matrices y sus Propiedades ........................................................................................ 7

3.1 Suma y Resta de Matrices ........................................................................................................................ 7

3.2 Producto de Matrices .................................................................................................................................. 9

3.3 Propiedades de las Matrices ................................................................................................................ 10

4 Rango de una Matriz o Característica ........................................................................................................... 11

5 Ejercicios para Practicar ......................................................................................................................................... 12

6 Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral ....................................................................................................... 14



Introducción

Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por James Joseph Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático y astrónomo William Rowan Hamilton y a Arthur Cayley este último introdujo la notación matricial como forma abreviada de representación de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Actualmente, muchos programas de ordenador, utilizan el concepto de matriz, por ejemplo las hojas de cálculo de Excel. Estos programas funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas casillas se pueden introducir datos y fórmulas a partir de las cuales realizan los cálculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices que definiremos en este capítulo.

Objetivos

En esta lectura estudiaremos el concepto y características de las matrices así como las operaciones con matrices.



1 Concepto de Matriz o Tabla

1.1 Listas Numéricas

Las listas numéricas son un conjunto de números que se disponen uno a continuación de otro, de forma ordenada.

3 4 -3 1 120

A(1) A(2) A(3) A(4) A(5)

La lista numérica se designa por A (I) donde I (índice), identifica cada una de las posiciones de la lista. Siendo A (1) la primera posición y A (5) la última para este ejemplo.

También se suele definir a la lista numérica con el símbolo (ai) donde ai es un elemento genérico de la lista e i indica su posición.

1.2 Tablas Numéricas

Una tabla numérica es una combinación de filas y columnas que forman casillas, es decir cada casilla de la tabla queda determinada por un par de números, uno que indica la fila y otro que indica la columna.

Ejemplo:

1 2 3 4 5

1

2

3 4

4

5

El conjunto de las casillas o posiciones de la tabal se designa por A (I, J), donde I, J son los índices, I recorre los números correspondientes a las filas y J, los números correspondientes a las columnas. En el ejemplo vemos que el elemento representado correspondería a A (3,4)=4 fila 3 columna 4.

Al igual que las listas numéricas, las tablas también se representan con el símbolo (ai, j).

1.3 Matrices

Tanto las listas como las tablas de elementos reciben el nombre genérico de matrices.



Si m y n son los valores mayores que toman I y J, respectivamente es posible disponer de los elementos de la matriz en una tabla rectangular de m filas y n columnas de la siguiente forma:

(

)

El símbolo (ai,j), designa la matriz completa mientras que ai,j representa un elemento cualquiera de la misma.

El número de filas por el de columnas recibe el nombre de dimensión de la matriz, y se designa por .

Si m=n se dice que la matriz es de orden n

En número total de elementos de la matriz (ai,j) es

Matrices iguales

La igualdad de matrices generaliza la igualdad de vectores.

Si escribimos los vectores en forma matricial se tiene:

( ) ( )

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Ejemplo: dadas las siguientes matrices:

(

) (

)

Son iguales si se da que 1=c, a=3, b=2, 1=d

2 Tipos de Matrices

A continuación se muestran los tipos de matrices más usuales.

2.1 Atendiendo a la Forma

a) Matriz fila: es aquella que tiene sólo una fila.

( )

b) Matriz columna: es aquella que solo tiene una columna.



( )

c) Matriz cuadrada: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas; en caso contrario se llama matriz rectangular.

(

)

(

)

El conjunto formado por todos los elementos de la matriz cuadrada se llama diagonal principal.

El conjunto formado por todos los elementos con i+j=n+1 de una matriz cuadrada de orden n reciben el nombre de diagonal secundaria.

(

)

d) Matriz traspuesta: dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por , a la matriz que se obtiene cambiado filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de y así sucesivamente

(

) (

)

De la definición se deduce fácilmente que si A es de dimensión m x n entonces la matriz traspuesta será de dimensión n x m. La traspuesta de una matriz fila es una columna, y recíprocamente.

e) Matriz simétrica: se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada tal que

Ejemplos de matrices simétricas:

(

) (

)

2.2 Atendiendo a los Elementos

a) Matriz nula: es aquella que todos son elementos son 0. La matriz nula se representa 0 y se llama también matriz 0.

Diagonal principal Diagonal secundaria



(

)

(

)

b) Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos

(

)

c) Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales.

(

)

d) Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1 por ejemplo:

(

) (

)

e) Matriz triangular: es una matriz cuadrada en la que todos los términos por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos.

(

)

(

)

3 Operaciones con Matrices y sus Propiedades

3.1 Suma y Resta de Matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).

El número de filas y columnas de la primera matiz ha de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.

Dos matrices se pueden sumar si son de la

misma dimensión



La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Ejemplo 1: dadas las siguientes matrices realiza la suma de A+B=C

(

) (

)

Primero tenemos que estudiar su dimensión:

La matriz A2x2 es una matriz 2x2 (m=2 filas y n=2 columnas)

La matriz B2x2 es una matriz 2x2 (p=2 filas y q=2 columnas)

Como puedes observar ambas matrices tienen la misma dimensión y como resultado se obtendrá una matriz C2x2, de la misma dimensión.

(

) (

) (

) (

)

Los elementos de la matriz C se obtienen de la siguiente manera

c11=a11+b11=1+5=6 c12=a12+b12=2+6=8 c21=a21+b21=3+7=10 c22=a22+b22=4+8=12

Ejemplo 2: dadas las siguientes matrices realiza la resta de A-B=C

(

) (

)

Primero tenemos que estudiar su dimensión:

La matriz A2x3 es una matriz 2x3 (m=2 filas y n=3 columnas)

La matriz B2x3 es una matriz 2x3 (p=2 filas y q=3 columnas)

(

) (

) (

) (

)

Los elementos de la matriz C se obtienen de la siguiente manera

c11=a11-b11=1 - 2=-1 c12=a12-b12=0 - 1=-1 c13=a13-b13=3 - 3=0 c21=a21 - b21=2 - 4=-2 c22=a22 - b22=5 - 3=2 c23=a23 - b23=6 - 2=4

Recuerda: Se suman o restan los elementos que ocupan la misma posición.



3.2 Producto de Matrices

Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz; dicho de otro modo: si A tiene dimensión y b tiene dimensión , para realizar el producto de A B es necesario que n=p. Así pues:

El producto de una matriz A ( ) de dimensión por la matriz b ( ) de dimensión , es otra matriz ( ) de dimensión de modo que cada elemento se obtiene multiplicando escalarmente la fila i por de la primera matriz por la columna j de la segunda.

Ejemplo 1: Sea las matrices:

(

) (

)

Determinar A B

1º Estudiamos sus dimensiones

(

) Ttiene 2 filas y 3 columnas; es decir m=2 y n=3

(

) Tiene 3 filas y 2 columnas p=3 y q=2

¿Coincide el número de columnas de la primera matriz n=3 con el número de filas de la segunda matriz p=3? Sí, luego estas matrices se pueden multiplicar, y se realiza de la siguiente forma:

(

) (

) (

)

(

)

Recuerda: Siempre se multiplican las filas de la pirmera matriz por las columnas de la segunda, elemento a elemento.La primera fila (rodeada en rojo) por la primera columna rodeada en azul, nos daría como resutado el elemeno a11, de la matriz resultante (rodeado en verde)

El primer elemento de la fila por el primer elemento de la columna 1x7

El segundo elemento de la fila por el segundo elemento de la columna 2x8

El tercer elemento de la fila por el primer tercer de la columna 3x9

a11=1x7+2x8+3x9=50

Dos matrices son multiplicables si el número

de columnas de la 1º matriz coincide con el

número de filas de la 2º matriz.



Ejemplo 2: Dada las matrices:

(

) (

)

Determinar A B

1º Estudiamos sus dimensiones

(

)

(

)

¿Coincide el número de columnas de la primera matriz n=2 con el número de filas de la segunda matriz p=2? Sí, luego estas matrices se pueden multiplicar, y se realiza de la siguiente forma:

(

) (

) ( ( ) ( ) ( )

) (

)

3.3 Propiedades de las Matrices

El producto de matrices verfica las siguientes propiedades

1. Propiedad asociativa

Respecto de la suma: A+(B+C)=(A+B)+C

Respecto del producto: A(BC)=(AB)C

2. Propiedad conmutativa

La suma de dos matrices es conmutativa A+B=B+A

El producto de dos matrices en general no es conmutativo; es decir AB BA.

Ejemplo: dadas las matrices (

) (

)

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene

Siendo , la matriz identidad de orden n.



4. Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que:

Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por

Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n.

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es invertible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.

5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:

( )

4 Rango de una Matriz o Característica

El rango de una matriz M es el número de filas o de columnas linealmente independientes.

Ejemplo si consideramos la matriz 3 x 4

(

)

Las filas pueden tomarse como un conjunto de 3 vectores con 4 componentes:

( )

( )

( )

Análogamente las columnas pueden tomarse como un conjunto de 4 vectores con 3 componentes:

( )

( )

( )

( )

Dos matrices de orden n son inversas si su

producto es la matriz unidad de orden n



Por tanto si consideramos las filas o columnas de una matriz como vectores, podemos hablar de dependencia e independencia lineal, y por lo tanto podemos hablar de rango por filas y de rango por columnas.

5 Ejercicios para Practicar

Ejercicio 1: Dadas las siguientes matrices determina el producto A.B y la suma de A+B

(

) (

)

Solución: Producto A*B=C

(

) (

) (

)

Las componentes de la matriz C se calculan de la siguiente forma

c11=a11*b11+a12*b21=1*1+2*1=3

c12=a11*b12+a12*b22=1*6+2*1=8

c21=a21*b12+a22*b21=3*1+0*1=3

c22=a21*b12+a22*b22=3*6+0*1=18

Solución: Suma A+B=D

Ejercicio 2: Dadas las siguientes matrices realiza el producto A.B

(

) (

)

Solución

(

) (

) (

)

Las componentes de la matriz C se calculan de la siguiente forma

c11=a11*b11+a12*b21+a13*b31=1*0+2*2+0*0=4 c12=a11*b12+a12*b22+a13*b32=1*0+2*2+0*2=4 c13=a11*b13+a12*b23+a13*b33=1*1+2*1+0*1=3

c21=a21*b11+a22*b21+a23*b31=0*0+3*2+1*0=6 c22=a21*b12+a22*b22+a23*b32=0*0+3*2+1*2=8 c23=a21*b13+a22*b23+a23*b33=0*1+3*1+1*1=4

c31=a31*b11+a32*b21+a33*b31=1*0+2*2+2*0=4 c32=a31*b12+a32*b22+a33*b32=1*0+2*2+2*2=8



c33=a31*b13+a32*b23+a33*b33=1*1+2*1+2*1=5

Ejercicio 3: Dadas las siguientes matrices realiza el producto A.B

(

) (

)

Solución

(

) (

) (

)

c11=a11*b11+a12*b21+a13*b31=1*2+0*2+1*1=3 c12=a11*b12+a12*b22+a13*b32=1*1+0*1+1*2=3

c21=a21*b11+a22*b21+a23*b31=1*2+1*2+1*1=5 c22=a21*b12+a22*b22+a23*b32=1*1+1*1+1*2=4

Ejercicio 4: Dadas las siguientes matrices, realiza el producto de A.B

(

) (

)

Solución:

Estas matrices no se pueden multiplicar, para que dos matrices se puedan multiplicar, el número de columnas de A ha de ser igual al número de filas de B.

En este caso tenemos que el número de columnas de A es 3 y el número de filas de B es 2. Por ello es imposible realizar el producto de estas matrices.



6 Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral

Ejercicio 1.

Una empresa decide premiar con un viaje a su mejor comercial. Para ello analiza las ventas y beneficios de toda la plantilla de comerciales, y entre los finalistas se encuentran Marcos, Raquel y Carolina.

Las bases del concurso son las siguientes, durante el fin de semana se analizarán las ventas que obtenga cada uno de los tres comerciales durante el sábado y el domingo y en los turnos de mañana y tarde. El ganador será el que mayor beneficio obtenga de las ventas teniendo en cuenta que obtendrá un beneficio del 12% por las ventas que realicen en el turno de mañana y un 18% por las ventas que realicen en el turno de tarde.

Los resultados son los siguientes:

Marcos obtiene:

El sábado 300um turno de mañana y 700um turno de tarde.

El domingo: 500um turno de mañana y 900 um turno de tarde.

Raquel obtiene:



Lucia obtiene:



Cuestiones:

a) Ordena la información en 3 matrices, matriz de ventas el sábado, matriz de ventas el domingo y matriz de comisión.

b) Obtén las ventas totales de cada comercial.

c) ¿Quién es el ganador del concurso?

Solución:

a) Ordena la información en 3 matrices, matriz de ventas el sábado matriz de ventas el domingo y matriz de comisión.

Matriz de ventas en sábado:

(

)

Matriz de ventas en Domingo:



(

)

Matriz de comisión:

(

)

b) Obtén las ventas totales de cada comercial.

(

) (

) (

)

c) ¿Quién es el ganador del concurso?

El ganador según las bases del concurso será el que mayor beneficio obtenga en función de las ventas y de la comisión.

(

) (

)

(

)

El ganador del viaje es Raquel, con un beneficio obtenido de 450um

Ejercicio 2.

Un taller de ebanistería, fabrica tres tipos de muebles A,B,C en dos tamaños diferentes grandes y pequeños. Produce diariamente 10 muebles grandes y 8 pequeños del modelo A, del modelo B produce 8 grandes y 6 pequeños y del modelo C produce 4 grandes y 6 pequeños cada mueble grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada mueble pequeño lleva 12 tornillos y 4 soportes

a) Representa esta información en dos matrices.

b) Halla la matriz que represente la cantidad de tornillos y soportes para cada uno de los modelos A,B, C.

Solución:

a) Representa esta información en dos matrices.

Matriz de Muebles

(

)

Matriz de Material necesario



(

)

b) Halla la matriz que represente la cantidad de tornillos y soportes para cada uno de los modelos A,B, C.

Para obtener la cantidad de tornillos y soportes para cada modelo multiplicamos las dos matrices anteriores.

(

) (

)

(

) (

)

Para la producción diaria de cada modelo necesita:

Modelo A tamaño grande necesita 160 tronillos y 60 soportes.

Modelo A pequeño necesita 96 tonillos y 32 soportes

Modelo A necesita un total de 256 tronillos y 92 soportes

Modelo B tamaño grande necesita 128 tronillos y 48 soportes.

Modelo B pequeño necesita 72 tonillos y 24 soportes

Modelo B necesita un total de 200 tronillos y 72 soportes

Modelo C tamaño grande necesita 64 tronillos y 24 soportes.

Modelo C pequeño necesita 72 tonillos y 24 soportes

Modelo C necesita un total de 136 tronillos y 48 soportes

Ejercicio 3.

Tres agentes comerciales a comisión, V1, V2 y V3, venden tres productos P1,P2, P3. Las matrices E,F,M reflejan los ingresos del trimestre del año 2016 expresados en unidades monetarias.

(

) (

) (

)

(

)

a) Calcula los ingresos totales del trimestre.

b) Calcula el incremento de ingresos entre el mes de Enero y el mes de febrero.

c) Si los vendedores reciben un 8% de los ingresos por ventas en concepto de comisión ¿Cuánto ganó cada agente comercial en este trimestre?



Solución 3

a) Calcula los ingresos totales del trimestre

Los ingresos totales del trimestre será la suma de los ingresos del mes de Enero más los del mes de Febrero más los del mes de Marzo.

(

) (

) (

)

(

)

b) Calcula el incremento de ingresos entre el mes de Enero y el mes de febrero.

El incremento de ingresos denominado como lo obtenemos restando los ingresos del mes de Febrero menos los ingresos del mes de Enero, para obtener la diferencia de ingresos en estos dos meses.

(

) (

) (

)

c) Si los vendedores reciben un 8% de los ingresos por ventas en concepto de comisión ¿Cuánto ganó cada agente comercial en este trimestre?

Para obtener lo que gana cada vendedor sumamos los ingresos totales de cada vendedor por cada uno de los productos y aplicamos el 8%

En el apartado a) hemos obtenido los ingresos totales el trimestre

(

)

Luego los ingresos totales de cada vendedor serán

Vendedor 1 =p1+p2+p3 =395+722+305=1422

Vendedor 2 =p1+p2+p3=620+644+310=1574

Vendedor 3 =p1+p2+p3=375+780+299=1454

Si aplicamos una comisión del 8% obtenemos los beneficios de cada vendedor.

Vendedor 1 = 1422 * 0,08=113,76um

Vendedor 2 =1574 * 0,08=125,92um

Vendedor 3 =1454 * 0,08=116,32um

Ejercicio 4.



Una fábrica de coches, produce dos modelos de coches diferentes W1= coche deportivo y W2= coche familiar. Estos dos modelos se fabrican en tres gamas diferentes Ga=Gama alta, Gm= Gama media y Gb= gama básica.

La línea 1 de producción produce las siguientes unidades:

W1=40 unidades en Ga

W1=100 unidades en Gm

W1=200 unidades en Gb

La línea 2 de producción produce las siguientes unidades:

W2=10 unidades en Ga

W2=40 unidades en Gm

W2=100 unidades en Gb

Se ha realizado una estimación de las horas de taller y las horas de administración que se han destinado para la fabricación de cada unidad de producto, obteniendo para cada gama los siguientes resultados:

Ga= gama alta 30h de taller y 2h de administración

Gm= Gama media 45h de taller y 3h de administración

Gb= Gama básica 60h de taller y 4h de administración

a) Representa la información en dos matrices, matriz de producción y matriz de costo en horas.

b) Hallar la matriz que exprese las horas de taller y administración empleadas para cada producto.

Solución

a) Representa la información en dos matrices, matriz de producción y matriz de costo en horas.

Matriz de producción

(

)

Matriz de costo en horas

(

)

b) Hallar la matriz que exprese las horas de taller y administración empleadas para cada producto.



(

) (

) (

)

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