EJRCICIOS DE PROBABILIDAD

1) Ante un examen, un alumno slo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la

materia del mismo. ste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

2) Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue

despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

a) Si va a realizar el examen, cul es la probabilidad de que haya odo el despertador?

Si no realiza el examen, cul es la probabilidad

de que no haya odo el despertador?

3) Tenemos dos dados A y B, ambos trucados. En el dado A hay tres "1" y tres "2" y en el

dado B hay dos "1" y cuatro "2". Se elige un dado al azar y se tira. a. Cul es la probabilidad de obtener un "1"? b. Sabiendo que se ha obtenido un "2", Cul es la probabilidad de que se haya elegido el

dado B?

a) 125

62

21

63

211)(1)()1( =+=

+

=

BB

AA DPDPDPDPP

b) 127

1251)1(1)2( === PP ;

54

125

64

21

)2(

2)(2 =

=

=

PDPDPDP B

BB

4) En una urna se tienen 5 bolas azules, 4 rojas y 3 amarillas en una bolsa. Se extraen 3 bolas al azar. Calcula la probabilidad de:

a) Obtener bolas de diferente color en las tres extracciones Sol: b) Obtener solo bolas de un color. Sol: c) Obtener 2 azules y una roja. Sol: d) Que la primera sea azul, la segunda amarilla y la tercera roja.

Sol:

1136

884

33

103

114

125

==

068,02201

551

221

101

112

123

102

113

124

103

114

125

=++=++

1123

104

114

125

=

221

104

113

125

=

5) Sean A y B dos sucesos tales que: 32)( =BP ;

43)( = BAP ;

41) = BPA . Calcula:

a) )(AP b) )(BP c) )( BAP d) ( )BAP b)

31

321)(1)( === BPBP

a) 32

41

31

43)()()()( =+=+= BAPBPBAPAP

c) 121

41

31)()()( === BAPBPBAP

d) ( )43

)()(

=

=

BPBAP

BAP

6) En un espacio probabilstico se consideran los sucesos Ay B tales que: 3,0)( =AP y

6,0)( =BP . Calcula )( BAP en los siguientes casos: a) 2,0)( = BAP b) A y B son independientes. Sol:

a) 1,02,03,0)()()( === BAPAPBAP b) A y B independientes 18,06,03,0)()()( === BPAPBAP , por lo que 7) En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes

probabilidades de ser extradas: P(REY)=0.15 ; P(BASTOS)=0.3; P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6. a) Est entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad. b) Cuntas cartas hay?

Sol: a) P( ni REY ni BASTOS )=P( ) P( REY BASTOS ) = 1 - 0.6 = 0.4 P( REY BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REY BASTOS )=

0.4 = 0.15 + 0.3 - P( REY BASTOS ) P( REY BASTOS ) = 0.05 Por tanto, el REY de BASTOS est y su probabilidad es: P( REY de BASTOS ) = P( REY BASTOS ) = 0.05 = 1/20 b) Una porcin de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la

probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montn la probabilidad del rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas

8) Se lanzan dos dados equilibrados a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea

mltiplo de tres. b) Cul es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de

dos? El espacio muestral del experimento es: E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}

12,018,03,0)()()( === BAPAPBAP

y est formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el nmero de casos posibles del experimento. Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:

a) Si llamamos A al suceso "obtener una suma mltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:

A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.

Por lo que: 31

3612)( ==AP

b) Llamamos B al suceso valores obtenidos difieren en 2 unidades. Los casos favorables son: A={(1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,6), (4,1), (5,1), (5,2), (6,1), (6,2), (6,3)}

Por lo que: 31

3612)( ==AP

9) Se lanzan dos dados: a) Cul es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b) Si la suma de puntos ha sido 7, cul es la probabilidad de que en alguno de los dados

haya salido un tres? Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un

tres". a) Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis

siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A )=6/36=1/6 b) En este caso, el suceso B/A es salir en algn dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que

esta situacin ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3

10) Para una siembra de trigo mezclaron granos de cuatro tipos I, II, III y IV. En las siguientes proporciones: 96% de I, 1% de II, 2% de III y 1% de IV. Por otro lado se sabe que el 50% de las semillas del tipo I, el 20% del tipo II, el 15% del tipo III, y el 5% del tipo IV germina. Determine: a) La probabilidad de que una semilla cualquiera germine. (sol: probabilidad total. P(germinar)=0,4855) b) La probabilidad de que si se sabe que una semilla germin, aquella sea del tipo I. (sol: Bayes.

=)min( arGerTipoIP 0,9886)

11) En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla ingls, 1/4 habla francs y 1/10 habla los dos idiomas. Cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable slo un

idioma?. Sol: 109

12) En un congreso asisten 100 congresistas. Un 30% son japoneses y un 70%, alemanes. Si el 70% de los japoneses y el 60% de los alemanes saben ingls, cul es la probabilidad de que al elegir dos congresistas al azar, se entiendan? (sol: 0,7539)

13) Se consideran los sucesos A y B tales que: 4,0)( =AP ; 7,0)( =BP ; 1,0)( = BAP . Calcula: a) )( BAP (sol: 0,6) b) )( BAP (sol: 0,9) c) ( )BAP (sol: 31 )