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CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
13 DE JUNIO DEL 2014
ALFONSO AGAMA CARLOS CEVALLOS JUAN DOMNGUEZ FREDDY MAQUILN JORGE OVIEDO BERNICA ROJAS JOS SANDOYA
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CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
Contenido
1. INTRODUCCIN .................................................................................................................................... 4
1.1 Estrategia del MPC .......................................................................................................................... 5
1.2 Perspectiva hisrica. .......................................................................................................................... 6
1.3 Tecnologa Industrial. ........................................................................................................................ 9
2. FORMULACION DEL PROBLEMA ........................................................................................................ 9
2.1 Modelo de Funcin de Transferencia ................................................................................................... 9
2.2 Modelo de Convolucin .................................................................................................................... 11
2.3 Modelo en el Espacio de Estados ...................................................................................................... 12
2.4 Perturbaciones Medibles .................................................................................................................. 13
3. RESTRICCIONES EN CONTROLPREDICTIVO .................................................................................. 13
3.1 Forma general de las restricciones............................................................................................................. 15
3.2 Optimizacin y restricciones .................................................................................................................... 15
3.3 Gestin de restricciones ........................................................................................................................... 16
3.4 MPC Multiobjetivo ............................................................................................................................... 17
4. IMPACT: ................................................................................................................................................ 19
4.1. Introduccin ........................................................................................................................................ 19
4.2. Instalacin .......................................................................................................................................... 19
4.3. Interfaz de usuario ............................................................................................................................... 19
4.4. Sistema de archivos fuente de impact ....................................................................................................... 20
4.4.1. Carima Modelo. ............................................................................................................................. 20
4.4.2. Paso Modelo de Respuesta............................................................................................................... 20 4.4.3. Espacio Modelo de Estado .............................................................................................................. 20
5. CONTROL PREDICTIVO ROBUSTO ................................................................................................... 24
5.1. Mejoras y formulacin con norma 1 ................................................................................................... 25
5.2. Robustez y restricciones ................................................................................................................... 26
5.3. Predicciones en Bucle Cerrado ........................................................................................................... 27
6. CONTROL PREDICTIVO Y SISTEMASHBRIDOS .............................................................................. 29
6.1 Sistemas Dinmicos con variables lgicas. .......................................................................................... 29
6.2 Control Predictivo de Sistemas MLD ................................................................................................ 30
6.3 Sistemas afines a trozos ................................................................................................................... 30
6.4 Control Predictivo de Sistemas PWA ................................................................................................. 31
7. METODOS RAPIDOS PARA IMPLEMENTAR CONTROLADORES PREDICTIVOS ....................... 31
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8. MPC NO LINEAL .................................................................................................................................. 32
9. ESTABILIDAD ........................................................................................................................................ 33
10. TEMAS ABIERTOS .............................................................................................................................. 34
11. RECONOCIMIENTOS ........................................................................................................................ 34
12. ANEXOS .............................................................................................................................................. 35
Implementacin de un Control Predictivo Basado en Modelo Aplicado a un Sistema de Control de Caudal de Agua
Didctico. .................................................................................................................................................. 36
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CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
RESUMEN: El control predictivo basado en modelo (Model Predictive Control, MPC) se ha desarrollado considerablemente en las ltimas
dcadas tanto en la industria como en la comunidad de investigacin.
Este xito se debe a que el Control Predictivo basado en Modelo es
quizs la forma ms general de formular el problema de control en el
dominio del tiempo. El control predictivo integra control ptimo,
control de procesos con tiempos muertos, procesos multivariables y
utiliza las referencias futuras cuando estn disponibles. Al utilizar una
estrategia con horizonte de control finito permite la consideracin de
restricciones y procesos no lineales. Este artculo describe el control
predictivo y sus posibilidades y pretende actuar como motivacin para
su utilizacin.
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CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
1. INTRODUCCIN
El Control Predictivo (Model Predictive
Control, MPC) se desarroll al finales de
los setenta y ha tenido un desarrollo
considerable desde entonces. El
trmino Control Predictivo no designa a
una estrategia de control particular sino
a un conjunto de mtodos de control
que hacen uso explcito de un modelo
del proceso para obtener la seal de
control minimizando una funcin
objetivo. Estos mtodos de control
llevan a controladores que tienen
bsicamente la misma estructura y los
mismos elementos:
Uso explcito de un modelo para
predecir la evolucin del proceso
en los instantes futuros,
Minimizacin de una funcin
objetivo y
Utilizacin de un horizonte de
control finito y deslizante que
implica el clculo de la secuencia
de control para todo el horizonte
pero con la aplicacin de la
primera seal de la secuencia y la
repeticin de todo el proceso en el
siguiente instante de muestreo.
Los distintos algoritmos de control
predictivo difieren en el tipo de modelo
utilizando para representar al proceso y
a las perturbaciones y la funcin
objetivo consideradas. Existen
aplicaciones de control predictivo a
diversos procesos que van desde
procesos tan diversos como robots
(Gmez Ortega y Camacho, 1996) a la
anestesia clnica (Linkers y Mahfonf,
1994). Aplicaciones en la industria de
cemento, desecadoras, brazos
robticos se pueden encontrar descritas
en (Clarke, 1988), mientras que
desarrollos para columnas de
destilacin, plantas de PVC,
generadores de vapor y servos se
presentan en (Richalet, 1993) y
(Richalet et al, 1978). El control
predictivo presenta una serie de
ventajas sobre otros mtodos, entre las
que se pueden citar las siguientes:
Es una tcnica particularmente
atractiva para los operadores que
requiere pocos conocimientos de
control porque los conceptos son
muy intuitivos y la sintonizacin
relativamente simple,
Se puede utilizar para controlar una
gran variedad de procesos, desde
procesos muy simples hasta
procesos con dinmicas complejas
como procesos con grandes
tiempos muertos, procesos de fase
no mnima, procesos inestables o
procesos multivariables.
Su carcter predictivo lo hace
compensar intrnsecamente los
tiempos muertos,
Introduce un control anticipativo
(feed forward) y de forma natural se
compensan las perturbaciones
medibles.
La ley de control resultante es
fcilmente implementable.
Es muy til cuando se conocen las
referencias futuras, como ocurre en
el caso de robtica o procesos por
lotes y
Permite tratar las restricciones de
una forma sistemtica y
conceptualmente muy simple
durante la fase de diseo.
Como es lgico, tiene tambin sus
inconvenientes. El principal es que,
aunque su implementacin no es
compleja, resulta ms difcil que la de
los clsicos controladores PID. Si la
dinmica del proceso no cambia y no
existen restricciones, la mayor parte de
los clculos se puede realizar fuera de
lnea y el controlador resultante es
simple, pudindose aplicar a procesos
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de dinmicas rpidas; en caso
contrario, los requisitos de clculo son
mucho mayores. Aunque hay que
decir que debido a la potencia de los
computadores actuales esto no es
realmente una dificultad insalvable. La
mayor dificultad que presenta para su
aplicacin es la necesidad de un
modelo apropiado del proceso cuya
obtencin requiere unos conocimientos
mnimos de control. El control
predictivo ha demostrado ser en la
prctica una estrategia razonable de
control y ha sido aplicado con xito a
numerosos procesos industriales.
1.1 Estrategia del MPC
La metodologa de todos los
controladores pertenecientes a la
familia MPC se caracteriza por la
siguiente estrategia, representada en la
figura 1:
1) Las salidas futuras para un horizonte determinado N, llamado horizonte
de prediccin, se predicen cada
instante t utilizando el modelo del
proceso. Estas predicciones de la
salida y(t+k|t) [La notacin indica
el valor predicho de la variable en
el instante t+k calculada en el
instante t] para k = 1 . . . N
dependen de los valores conocidos
hasta el instante t (entradas y
salidas conocidas) y de las seales
de control u(t+k|t), k= 0 . . . N-1, que
han de ser calculadas y enviadas al
sistema.
2) La secuencia de seales de control
futuras se calcula minimizando un
criterio para mantener al proceso o
ms cerca posible de la trayectoria
de referencia w(t+k). Este criterio
toma normalmente la forma de una
funcin cuadrtica del error entre la
salida predicha y la trayectoria de
referencias futuras. En la mayor
parte de los casos se incluye
tambin el esfuerzo de control
dentro de la funcin objetivo. La
solucin explcita se puede obtener
cuando el criterio es cuadrtico y el
modelo lineal; en caso contrario se
ha de utilizar un mtodo numrico
para buscar la solucin.
3) La seal de control u(t | t) se enva
al proceso mientras que el resto de
las seales calculadas no se
consideran, ya que en el instante
siguiente de muestreo y(t+1) es ya
conocida y los pasos anteriores se
repiten con este nuevo valor. Por lo
que u(t+1 | t+1) se calcula con
informacin diferente y en principio
ser tambin diferente de u(t+1| t).
La Figura 2 muestras la estructura bsica
necesaria para implementar el control
predictivo. Se usa un modelo para
predecir la evolucin de la salida o
estado del proceso a partir de las
seales de entrada y salidas conocidas.
Las acciones de control futuras se
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calculas con el optimizador, que
considera la funcin del coste y las
posibles restricciones.
El modelo de proceso juega, en
consecuencia, un papel decisivo en el
controlador. El modelo elegido debe
ser capaz de capturar la dinmica del
proceso para predecir de forma precisa
la evolucin del sistema. Al mismo
tiempo, debe ser suficientemente
simple de implementar y entender. Las
distintas metodologas del control
predictivo difieren fundamentalmente
en el tipo de modelo utilizado.
El optimizador es otra parte
fundamental de la estructura ya que
permite obtener las acciones de control
a aplicar. Si la funcin de coste es
cuadrtica, el modelo lineal y no
existen restricciones, se puede obtener
una solucin explcita. Si ste no es el
caso se ha de acudir a un algoritmo
numrico de optimizacin que requiere
mayor capacidad de clculo. El
tamao del problema resultante
depende del nmero de variables, de
los horizontes de control y prediccin y
del nmero de restricciones, aunque se
puede decir que en general problemas
de optimizacin resultantes en este
contexto son problemas ms bien
modestos.
Ntese que la estrategia de control
predictivo es muy similar a la estrategia
que se utiliza cuando se conduce un
automvil. El conductor conoce la
trayectoria de referencia deseada para
un horizonte de control finito. Tomando
en consideracin las caractersticas del
automvil (modelo mental del
automvil) decide qu accin de
control tomar (acelerador, frenos,
volante, marchas) para seguir la
trayectoria deseada. Slo la primera
accin de control de la secuencia
calculada mentalmente es aplicada
por el conductor en cada instante y el
procedimiento se repite en los sucesivos
instantes utilizando el concepto de
horizonte deslizante. Ntese que
cuando se utiliza un esquema de
control clsico como PID se utilizan slo
las seales pasadas. Esta forma de
conducir el automvil sera como
conducir utilizando el espejo retrovisor
tal como se muestra en la figura 3. Esta
analoga no es totalmente justa con los
PIDs, porque el control predictivo utiliza
ms informacin (trayectoria de
referencia). Ntese que si se le
proporciona al PID como referencia un
punto en la trayectoria futura la
diferencia entre ambas estrategias de
control no parecera tan abismal.
1.2 Perspectiva hisrica.
Desde el final de la dcada de los 70
aparecieron varios artculos mostrando
un inters incipiente en el control
predictivo en la industria,
principalmente en (Richalet et al, 1976),
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(Richalet et al., 1978) presentando el
control predictivo heurstico basado en
modelo (Model Predictive Heuristic Control, MPHC) (ms tarde conocido como control algortmico basado en
modelo (Model Algorihmic Control, MAC)) y (Cutler y Ramaker, 1980) sobre
control con matriz dinmica
(Dynanmic Matrix Control, DMC). Ambos algoritmos utilizan
explcitamente un modelo dinmico del
proceso (la respuesta impulso en el
primer caso y la respuesta escaln en el
segundo) para predecir el efecto de las
futuras seales de control en las
variables a controlar. Estas
formulaciones eran heursticas e
hicieron uso del potencial cada vez
mayor de los computadores digitales en
aquellos tiempos.
Estos controladores estaban
ntimamente ligados al problema de
control ptimo en tiempo mnimo y a la
programacin lineal (Zadeh y Whalen,
1962). El concepto de horizonte
deslizante, una de las ideas centrales
del control predictivo, fue propuesto
por Propoi ya en el 1963 (Propoi, 1963),
en el marco de realimentacin ptima
en bucle abierto (open-loop optimal
feedback) que fue utilizada
extensamente en los aos 70.
El control predictivo lleg a ser popular,
y particularmente en la industria de
procesos qumicos, debido a la
simplicidad del algoritmo y a la
utilizacin del modelo de respuesta
ante impulso que, aunque requiriendo
muchos ms parmetros que las
formulaciones en el espacio de estado
o en el dominio de entrada y salida,
resulta ms intuitivo y requiere mucha
menos informacin a priori para la
identificacin. Un informe bastante
completo sobre las aplicaciones del
control predictivo en el sector
petroqumico durante los aos 80 se
puede encontrar en (Garca et al.,
1989).
La mayora de estas aplicaciones se
llevaron a cabo en sistemas
multivariables que incluan restricciones.
A pesar de este xito, estas
formulaciones carecan de una teora
formal para proveer resultados sobre la
estabilidad y robustez. De hecho, el
caso de horizonte finito pareca
demasiado difcil de analizar excepto
en casos muy especficos.
Otra lnea de trabajo se desarroll
independientemente en torno a las
ideas de control adaptativo,
desarrollndose estrategias de control
predictivo para sistemas monovariables
y formulada sobre modelos de entrada
y salida. El control autosintonizado
basado en predictores (Predictor- Based Self Tuning Control) (Peterka, 1984) y el control adaptativo de
horizonte extendido (Extended Horizon Adaptive Control EHAC ) (Ydstic, 1984), el controlador autosintonizado
(Extended Prediction Self Adaptive Control EPSAC) (Keyser y Cuawenberghe, 1985), y el control
predictivo generalizado (Generalized
Preddictive Control GPC) desarrollado
por Clarke et al en 1987 (Clarke et al ,
1987) pueden ser mencionado en este
contexto. El GPC utiliza ideas de los
controladores de mnima varianza
generalizada (Generalized Minimun Variance GMV) (Clarke y Gawthrop, 1979) y es en la actualidad uno de los
mtodos ms utilizados a nivel
acadmico.
Existen numerosas formulaciones de
control predictivos basadas en las
mismas ideas comunes, entre las que se
puede incluir control adaptativo
multipaso (Multistep Multivariable Adaptive Control MUSMAR) (Greco et al, 1984), control predictivo funcional
(Predictive Funcional Control PFC) (Richalet et al., 1987). El MPC ha sido
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formulado en el espacio de estados
(Morari, 1994), lo que permite una
utilizacin de resultados bien conocidos
sobre estabilidad y tambin la
generalizacin a casos ms complejos
como procesos multivariables, procesos
no lineales y sistemas con
perturbaciones estocsticas. Aunque
los primeros trabajos sobre GPC
contienen algunos resultados de
estabilidad para el caso nominal, la
falta de resultados generales sobre la
estabilidad de los controladores de
horizontes finito y deslizante constituy
un inconveniente para su utilizacin al
principio. Para hacer frente a esto,
apareci en los 90s una nueva lnea de
trabajo sobre controladores predictivos
con estabilidad garantizada. Se
pueden citar dos mtodos el CRHPC
(Clarke y Scattolini, 1991) y el SIORHC
(Mosca et al, 1990) que fueron
desarrollados independientemente y
garantizaban estabilidad, para el caso
nominal, imponiendo que la seal de
salida alcanzar a la referencia al final
del horizonte.
Para el caso de restricciones, el anlisis
de estabilidad pareca ser un problema
demasiado complicado de resolver.
An en el caso de que el optimizador
fuera capaz de encontrar una solucin,
no estaba garantizada la estabilidad
del bucle cerrado. La utilizacin de
penalizaciones terminales y/o
restricciones, funciones de Lyapunov, o
conjuntos invariantes han dado lugar a
una familia de tcnicas que garantizan
la estabilidad del sistema. Este
problema ha sido atacado de distintos
puntos de vista y han aparecido
numerosas contribuciones en aos
recientes, casi siempre analizando el
problema del regulador (llevar el
estado al reposo) y normalmente en el
espacio de estaos. Las principales
formulaciones propuestas que
garantizan estabilidad estn resumidas
en (Mayne et al., 2000) donde se dan
condiciones suficientes para disear un
regulador predictivo con garantas de
estabilidad.
Otra de las lneas de investigacin
abiertas en los ltimos aos es el control
predictivo robusto. La idea bsica es
tener en cuenta las incertidumbres
sobre el proceso de una manera
explcita y disear el controlador
predictivo para optimizar la funcin
objetivo ante la peor situacin posible
de las incertidumbres.
Estos resultados prometedores permiten
pensar que el control predictivo
experimentar una mayor diseminacin
tanto en el mundo acadmico como
en la comunidad industrial. En este
contexto uno de los mayores
fabricantes de sistema de control
distribuido, Honeywell, incorpora control
predictivo robusto en uno de sus
productos (Robust Multivariable Predictive Control RMPC) para el TDC 3000
El control predictivo se puede
considerar una tcnica madura para
sistemas lineales y no muy rpidos como
los encontrados normalmente en la
industria de procesos. Sistemas ms
complejos, tales como sistemas no
lineales, hbridos, y o sistemas muy
rpidos, eran considerados como fuera
del alcance de los controladores
predictivos. Durante los ltimos aos se
han producido resultados
espectaculares en estos campos. Se ha
demostrado (Bemporad et al., 2002)
que un controlador predictivo con
restricciones lineales resulta ser un
controlador afn a trozos que puede ser
implementado con poca carga de
computacin. Recientemente han
aparecido en la literatura aplicaciones
de los controladores predictivos a
sistemas no lineales o hbridos.
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1.3 Tecnologa Industrial.
Aunque hay compaas que hacen uso
de controladores predictivos que han
desarrollado la tecnologa dentro de sus
empresas y no la ofrecen
externamente, existe un nmero de
ellas que suministran controladores
predictivos, entre las que podemos
destacar las siguientes con el acrnimo
del producto que suministran:
AspenTEch: Dynamic Matrix Control
(DMC)
Andersa: Identification and
Command (ID-COM), Hierarchical
Constraint Control (HIECON) and
Predictive Functional Control (PFC)
Honeywell Profimatics: Robust
Model Predictive Control
Technology (RMPCT) and Predictive
Control Technology (PCT)
Setpoint Inc.: Setpoint Multivariable
Control Architecture (SMCA) and
IDCOM-M (multivariable)
Treiber Controls: Optimum
Predictive Control (OPC)
ABB: 3dMPC
Pavillion Technologies Inc.: Process
Perfecter
Simulation Sciences: Connoisseur
Ntese que cada producto no es
solamente un algoritmo, sino que viene
acompaado por paquetes
adicionales para la identificacin de la
planta o realizacin de pruebas.
Existen miles de aplicaciones de control
predictivo en la industria. La mayor
parte de las aplicaciones estn en el
sector petroqumico (Qin y Badgwell,
1997) (Qin y Badgwell, 1998) en el rea
de refino pero tambin existen
numerosas aplicaciones en los sectores
de pulpa y papel, procesado de
alimentos, gas, minera, hornos,
metalurgia, industria aerospacial e
industria del automvil. Una excelente
revisin sobre MPC dirigida
principalmente a personal de la
industria con experiencia en control se
puede encontrar en (Rawlings, 2000).
2. FORMULACION DEL PROBLEMA
La forma genrica de resolver el
problema MPC, consiste bsicamente
en minimizar la funcin de coste
haciendo uso del modelo del sistema
para calcular las predicciones. La
solucin del problema depende
principalmente del tipo de modelo que
se use para capturar la dinmica del
proceso.
2.1 Modelo de Funcin de Transferencia
La formulacin ms conocida que usa
este tipo de modelo es sin duda el
Control Predictivo Generalizado
(Generalized Predictive Control, GPC),
funcionando con xito en muchas
aplicaciones industriales, pudiendo
tratar plantas inestables y de fase no
mnima a la vez que incorpora la idea
de horizonte de control y la
consideracin de pesos en los
incrementos de la seal de control.
El modelo de la planta viene dado por
una funcin de transferencia discreta
en la forma de un modelo CARIMA
(Controller AutoRegressive Integrated
Moving-Average):
El algoritmo GPC consiste en aplicar la
secuencia de control que minimiza una
funcin de coste de la forma:
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CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
Se observa los valores futuros de la
salida como:
La mejor prediccin viene dada por:
Para resolver el problema del GPC, es
necesario obtener la secuencia de
seales de control
Los horizontes se pueden definir por
tanto como:
Considrese el siguiente conjunto de
predicciones de j pasos:
Puede escribirse como:
Con:
Vector f (respuesta libre)
Si se aplica un escaln unitario a la
entrada en el instante t
La primera columna de la matriz G se
puede calcular como la respuesta de la
planta cuando se aplica un escaln
unitario en la variable manipulable.
Considerando que no hay restricciones:
Al usar una estrategia de horizonte
deslizante, la seal de control que
verdaderamente se enva al proceso es
el primer elemento del vector u.
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2.2 Modelo de Convolucin
Engloban los modelos de respuesta
impulsional y respuesta ante escaln, y
se destaca por lo siguiente:
- xito en la Industria
- Muy intuitivos -Procedimiento de identicacion
relativamente sencillo
- Dynamic Matrix Control (DMC) - Model Algorithmic Control (MAC)
Del Controlador DMC se puede decir
que:
-Aceptado por la industria petroqumica
-Procesos multivariables -Se usa un modelo de respuesta ante
escaln para capturar la dinmica del
proceso
-La perturbacin se considera constante a lo largo del horizonte.
Modelo de respuesta ante escaln
Valores predichos de la salida a lo largo
del horizonte
Se considera que las perturbaciones son
constantes en el futuro
Se puede escribir:
La prediccin viene dada por:
Se puede considerar que:
Ahora se pueden calcular las
predicciones a lo largo del horizonte de
prediccin (k = 1, . . . , p), considerando
m acciones de control:
G es la matriz dinmica del sistema
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f depende del vector de estados x(t)
Las variables manipuladas se calculan,
de forma que minimicen la siguiente
funcin objetivo cuadrtica, que
incluye el esfuerzo de control
Minimizacin de la funcin de coste:
e = vector de errores futuros a lo largo
del horizonte
2.3 Modelo en el Espacio de Estados
Usada tanto para problemas
monovariables como multivariables y se
puede extender fcilmente al caso no
lineal
Teniendo en cuenta que
Nuevo vector de estados
Modelo Incremental
Las predicciones necesitan una
estimacin insesgada del vector de
estados x(t). Si este no es accesible sera
necesario incluir un observador
Predicciones a lo largo del horizonte
En forma vectorial
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La secuencia de control u se calcula
minimizando la funcin objetivo
Si no hay restricciones
La ley de control es una realimentacin
del vector de estado que necesita un
observador.
2.4 Perturbaciones Medibles
Las perturbaciones conocidas pueden
ser consideradas de forma explcita en
MPC. Si se conoce el efecto de estas
perturbaciones en la salida del sistema
entonces pueden ser incluidas en las
predicciones, ya que pueden ser
tratadas como entradas al sistema.
Cualquiera que sea el controlador
usado, la prediccin viene dada por:
D es una matriz similar a G que contiene
los coecientes de la respuesta del sistema a un escaln en la perturbacin
d es el vector de incrementos en la
perturbacin.
fd es la parte de la respuesta que no
depende de la perturbacin.
El termino Dd depende de las
perturbaciones futuras.
La prediccin viene dada en la forma
genrica de respuesta libre y forzada.
3. RESTRICCIONES EN
CONTROLPREDICTIVO
El problema de control se ha formulado
en las secciones anteriores
considerando que todas las
Seales poseen un rango ilimitado. Esta
suposicin no es demasiado realista, ya
que en la prctica todos los procesos
estn sometidos a restricciones. Los
actuadores tienen un rango limitado de
actuacin y una velocidad de
movimiento limitadas, como ocurre con
las vlvulas de control.
Que estn limitadas por la posicin
correspondiente a su cierre total o a su
apertura total. Por
Razones constructivas o de seguridad
las variables de proceso estn tambin
limitadas, tal es el caso, por ejemplo, de
los niveles en tanques o caudales en
tuberas o la presin en depsitos. Ms
an, en muchos casos, el punto de
operacin de la planta se elige para
satisfacer objetivos econmicos que
suelen estar situados en los lmites de
operacin del proceso, por lo que es
previsible que el proceso operando en
esos entornos y debido a las
perturbaciones se salga de lmites.
La forma usual de tratar ese problema
es calcular la seal de control u(t) y
aplicarla al proceso. Si u(t) viola las
restricciones, se satura a su lmite bien
por el programa de control que vigila
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este aspecto o por el propio actuador
que no puede dar mayor actuacin
que la mxima.
El caso en que la violacin se vaya a
producir en los instantes de tiempo
futuro u(t + 1), u(t + N) ni siquiera se
considera. Esta forma de operar no
garantiza la optimizacin del problema
cuando las restricciones son violadas,
por lo que el principal objetivo del
control predictivo que es calcular la
mejor seal de control posible
optimizando un ndice de
funcionamiento no se cumple.
Para ilustrar ese punto considrense los
casos de violacin de restricciones de
la figura 5 de un controlador predictivo
con horizonte dos. La figura 5(a)
muestra el caso donde u(t) > umax.
En este caso lo normal ser aplicar
umax al proceso en lugar de uc que es
el verdadero mnimo cuando se
consideran restricciones. En el caso que
se muestra en la _gura 5(b), u(t) no viola
las restricciones y ser aplicada al
sistema en lugar de la seal que es la
que se deba haber aplicado.
El no considerar plenamente las
restricciones en las variables
manipuladas puede resultar en mayores
valores de la funcin objetivo y por lo
tanto peores resultados. En cualquier
caso las variables manipuladas pueden
ser siempre acotadas por el programa
de control o por los propios actuadores
que no van ms all de sus lmites.
El principal motivo para considerar
restricciones consiste en que violar las
variables controladas puede ser mucho
ms costoso y peligroso ya que esto
puede originar daos en los equipos y
perdidas en la produccin. Por ejemplo,
en la mayora de los reactores por lotes,
la calidad de la produccin requiere
que las variables del proceso se
mantengan dentro de lmites durante la
reaccin; violar estos lmites puede
llevar a una produccin de calidad
inferior a la requerida.
Cuando los limites han sido impuestos
debido a razones de seguridad, la
violacin de estos lmites puede
producir daos en los equipos,
derrames de productos nocivos, o en la
mayora de los casos que se activen los
enclavamientos de seguridad
produciendo paradas de emergencia
con las perdidas aparejadas de
produccin y costosos procesos de
puesta en marcha.
Al contrario de lo que ocurre con las
variables manipuladas, que en el ltimo
extremo podemos saturar para
mantenerlas dentro de lmites, las
variables de proceso son dejadas por
este y no podemos manipularlas a
voluntad. Ms an, la violacin de las
restricciones en una variable de
Proceso puede ser debida a acciones
previamente tomadas. Una de las
ventajas del control predictivo es su
capacidad de prediccin y anticiparse
a la violacin de las restricciones.
Las restricciones que normalmente
actan en un proceso sobre las
variables manipuladas, la velocidad de
cambio de las variables manipuladas y
las variables de proceso se pueden
expresar como:
Ntese que el _ultimo conjunto de
restricciones fuerza a las variables a
seguir trayectorias dentro de bandas
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CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
(normalmente formadas por una
trayectoria nominal a seguir ms una
banda de tolerancia).
En algunos casos, el estado del
proceso (estado que se debe alcanzar
al final del horizonte de prediccin) se
fuerza a alcanzar un conjunto terminal
con el fin de satisfacer condiciones de
operacin o de estabilidad.
Es fcil ver que el conjunto terminal
induce un conjunto de restricciones
sobre el vector de acciones de control.
3.1 Forma general de las restricciones
La mayor parte de las restricciones que
pueden actuar sobre un proceso
pueden ser descritas por:
Las matrices R, r, y V dependen de los
parmetros del proceso y de los valores
lmites de las variables del proceso, por
lo que solo tienen que ser calculadas
cada vez que los parmetros o los
limites cambien (lo que suele ocurrir con
poca frecuencia).
El ltimo sumando de la expresin
depende del estado del proceso y ha
de ser recalculado cada instante de
muestreo.
El problema completo puede
expresarse como
Este problema recibe el nombre de
problema de programacin cuadrtica
(qp). Desafortunadamente no existe
una solucin explicita del problema
anterior como en el caso de mpc sin
restricciones.
El problema qp se tiene que resolver
aplicando algn algoritmo numrico.
Aunque los algoritmos ap. son muy
eficientes y algunos de ellos tienen un
tiempo de ejecucin garantizado, la
solucin del problema con restricciones
es mucho ms compleja que el caso sin
restricciones
3.2 Optimizacin y restricciones
La implementacin del control
predictivo es ms difcil que la de los
esquemas de control clsicos basados
en controladores pid, requiriendo ms
tiempo y personal con ms
conocimiento de control.
Para empezar hay que encontrar un
modelo del sistema, lo que requiere un
conjunto de pruebas sobre el proceso
que en muchos casos implican
perturbar las condiciones normales de
operacin del proceso. Los equipos de
control que se requieren son ms
complicados, con computadores ms
potentes, y software de control ms
caros.
A pesar de todas estas dificultades, el
control predictivo ha demostrado que
es econmicamente rentable,
reduciendo los costes de operacin y
aumentando la produccin y la
calidad. La razn de este xito radica
en que el control predictivo opera
optimizando funciones de costo y
teniendo en cuenta las restricciones
explcitamente, lo que permite:
Optimizar el punto de operacin,
optimizar las transiciones del proceso de
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
un punto, otro minimizar la varianza de
operacin del proceso.
Una varianza ms pequea permite
aumentar la calidad del producto y
tambin operar ms cerca de las
restricciones. Como la mayora de los
procesos estn sometidos a
restricciones el punto ptimo suele estar
en la interseccin del conjunto de
restricciones, el operar ms cerca de
estos puntos implica operar ms cerca
del ptimo. Considrese, por ejemplo,
un proceso donde la produccin
(caudal, por ejemplo) depende de la
presin de operacin como se ilustra en
la figura 6. Al estar la presin de
operacin
Limitada a pmax es evidente que para
maximizar la produccin se tendr que
operar en ese punto. Cuando el
proceso est sometido a
perturbaciones, no podemos operar en
ese punto porque cualquier
perturbacin positiva hara al proceso
salir de la zona permitida y
posiblemente disparar los
enclavamientos que haran parar al
proceso en el mejor de los casos. Si el
controlador es capaz de mantener la
varianza pequea, el punto de
consigna se puede situar mucho ms
cercano tal como se ilustra en la figura
6.
La consideracin explicita de las
restricciones permite eliminar o al
menos reducir el nmero de violaciones
de restricciones y de paradas de
emergencia por lo que el proceso
puede operar ms cerca del ptimo.
3.3 Gestin de restricciones
En algunos casos, a la hora de
optimizar, la regin detenida por las
restricciones est vaca, es decir, el
problema de optimizacin no es
factible y no se puede encontrar una
solucin. En algunos casos la falta de
factibilidad est provocada por unos
objetivos de control (en forma de
restricciones) demasiado estrictos en
otras porque una perturbacin aleja al
proceso de la regin permitida y no
existe ninguna secuencia de control
capaz de meter a las variables del
proceso en la regin permitida en los
prximos instantes de muestreo.
La no-factibilidad puede aparecer por
las especificaciones del rgimen
estacionario cuando los valores de
consigna que se dejan no son
alcanzables debido a que las variables
manipuladas estn acotadas. Cuando
las variables manipulables estn
acotadas por un poliedro (en general
un hipercubo), la regin alcanzable en
rgimen permanente es el poliedro
cuyos vrtices se obtienen a partir de
los vrtices del poliedro delimitando las
variables manipulables por la matriz de
ganancia estticas del proceso.
Para evitar problemas de factibilidad
debido a puntos de consigna
inalcanzables solo hay que verificar que
el vector de consignas est incluido
dentro del poliedro de valores
alcanzables por las variables a controlar
en rgimen permanente.
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
La no factibilidad puede aparecer en el
rgimen transitorio; en algunos casos
cuando una perturbacin aparta al
proceso de la zona admisible, tal que es
imposible introducirla de nuevo en la
zona permitida en los instantes de
muestreo prximos con una seal
manipulable de energa limitada. En
otros casos, el operador puede variar
los lmites operacionales de las
variables, haciendo tambin el
problema no factible.
Dado que las circunstancias descritas
pueden ocurrir y que los algoritmos de
optimizacin utilizados por los
controladores predictivos necesitan que
existan soluciones factibles, es
necesario tratar los problemas de
factibilidad. En (Camacho y Bordons,
2004) se dan algunas ideas para tratar
los problemas de no factibilidad que se
puede resumir en lo que sigue:
Desconexin del controlador predictivo
y utilizacin de un controlador backup
(2) Eliminacin de restricciones hasta
que el problema sea factible. La
eliminacin es temporal y se suele
realizar de forma jerarquizada.
(3) Relajacin de restricciones: algunas
de las restricciones duras ((Ru < a)) se
convierten en restricciones blandas (Ru
< a + ) introduciendo variables de holgura () que se incluye en la funcin objetivo aadiendo una fuerte
penalizacin.
(4) Modificacin de los horizontes de
control: se utiliza cuando la no-
factibilidad ocurre en los primeros
instantes debido a que una
perturbacin ha sacado al proceso de
la zona factible. El horizonte de control
(a efectos de cumplir restricciones) se
desliza; eliminndose de esta forma las
restricciones imposibles de cumplir.
3.4 MPC Multiobjetivo
Todas las estrategias mpc analizadas
hasta ahora se basan en optimizar una
nica funcin de coste, usualmente
cuadrtica, con objeto de determinar
la secuencia de control futura que
consigue el mejor comportamiento de
la planta. Sin embargo, en muchos
problemas de control el
comportamiento del proceso no se
puede representar por una simple
funcin objetivo, sino que, la mayora
de las veces, existen objetivos de
control diferentes y a veces conictivos.
Las razones para objetivos mltiples son
variadas. La operacin del proceso
puede ser diferente en distintos puntos
de trabajo (por ejemplo, tiempo mnimo
en el arranque y varianza mnima en
rgimen nominal) e incluso en un mismo
punto de trabajo, el objetivo de control
puede depender del valor de las
variables (en el caso de que una
variable controlada se salga de lmites,
puede ser prioritario minimizar su error
en detrimento de otras variable).
Adems, en muchos casos, el objetivo
de control no es optimizar la suma de
los errores al cuadrado, sino mantener
ciertas variables dentro de los lmites
marcados. Este tipo de objetivos se
puede expresar como una penalizacin
de la cantidad que la variable se
excede de su lmite.
Algunas veces todos los objetivos de
control se pueden representar con una
sola funcin objetivo. Considrese, por
ejemplo, un proceso con una serie de
objetivos de control J1, J2, Jm, cada
uno de ellos con restricciones lineales.
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
Alguno de los objetivos puede ser
mantener algunas variables lo ms
cerca posible de sus referencias
mientras que otros pueden estar
relacionados con mantener ciertas
variables dentro de ciertas regiones. La
secuencia de control se obtendr
resolviendo el siguiente problema de
optimizacin:
La importancia de cada objetivo se
puede ponderar con la eleccin de los
i. Desde luego esto no es trivial, ya que es muy difcil determinar el conjunto de
pesos que representaran la importancia
relativa de los objetivos de control.
Adems, los objetivos de control en la
prctica son a veces cualitativos,
haciendo muy difcil la tarea de
determinar los pesos.
En algunos casos, la importancia
relativa de los objetivos de control se
puede establecer mediante
priorizacin. Es decir, los objetivos de
mayor prioridad (por ejemplo los
relacionados con la seguridad) deben
ser satisfechos antes de considerar otros
de prioridad menor. Ntese que
aunque los objetivos se pueden priorizar
dndole mayor valor a los pesos, esto
resulta una tarea complicada.
Considrese un proceso con una serie
de m objetivos de control priorizados,
Oi, de tal manera que el objetivo Oi
tiene mayor prioridad que el Oi+1 y que
los objetivos se pueden expresar como:
El procedimiento para tener en cuenta
dicha prioridad consiste en introducir
variables enteras Li
que toman valor 1 cuando el objetivo
se cumple y 0 en caso contrario. Los
objetivos se expresan como:
Donde Ki es un lmite superior
conservador de Riu ai. Si se cumple el objetivo Oi , Li = 1 y el objetivo
reformulado coincide con el objetivo
de control original. Al introducir Ki, el
objetivo reformulado (restriccin) se
satisface siempre incluso cuando no lo
hace el correspondiente objetivo de
control Oi (L1 = 0).
La priorizacin de los objetivos se
establece imponiendo las siguientes
restricciones:
El problema es maximizar el nmero de
objetivos de control satisfechos:
Si el modelo del proceso es lineal, el
problema se puede resolver mediante
programacin lineal mixta (Mixed
Integer Linear Programming, milp). El
nmero de variables enteras se puede
reducir tal como se indica en (Tyler y
Morari, 1996). La idea es usar la misma
variable Li para restricciones que no
pueden ser violadas al mismo tiempo,
como es el caso de los lmites inferior y
superior de la misma variable. Aunque
hay algoritmos eficientes para resolver
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
este tipo de problemas, la carga de
clculo es mucho mayor que la de
problemas del tipo lp o qp.
4. IMPACT:
Integrado a mltiples herramientas
de control de algoritmo predictivo.
Herramienta para la condicin
Segundo E del libro MPC
Por EF Camacho y C. Bordons
4.1. Introduccin
El objetivo de este programa es mostrar
varios controladores predictivos lineales
dentro de una nica interfaz de usuario
que permite a los sistemas que simulan
de una manera tan fcil y rpido. Le da
la oportunidad de cambiar los
parmetros de una simulacin para
analizar las diferencias producidas.
Los controladores implementados bajo
la interfaz son:
(Control Predictivo Generalizado)
SPGPC (GPC con Smith Predictor)
DMC (Dynamic M Atrix Control)
PFC (Control Predictivo Funcional)
SSMPC (estado S ritmo Modelo
Predictivo de Control)
Los algoritmos para todos estos
controladores se han programado para
un caso multivariable genrico para
trabajar con sistemas SISO y MIMO.
La interfaz le permitir seleccionar el
sistema para simular, el controlador
para ser utilizado, y los parmetros de
diseo de este control. En lo que
respecta a los parmetros relativos a la
experimento, ser posible establecer su
duracin, la referencia a alcanzar, y las
limitaciones de campos adicionales,
tales como el ruido y perturbaciones.
El resultado de la simulacin ser un
grfico, tiempo frente a salidas, y ser
posible aadir otros para obtener ms
informacin sobre el experimento.
4.2. Instalacin
1. Descomprimir el IMPACT.ZIP archivo
en un directorio, esto se traducir
en los archivos necesarios para
este programa (archivos p), y
algunos subdirectorios con los
ejemplos (archivos m).
2. Hay que agregar la ruta de este
directorio en la ruta MATLAB para
ejecutar IMPACT correctamente.
4.3. Interfaz de usuario
Escriba impact en la ventana de
comandos de MATLAB nos lleva a la
interfaz de IMPACT con la siguiente
figura:
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
La interfaz se divide en tres partes bien
diferenciadas:
SISTEMA: Esta parte se carga el
archivo de sistema que se desea
simular, cambia sus propiedades
(matrices) y grava el sistema creado
por el usuario en un archivo.
CONTROLADOR: Establece el tipo de
controlador MPC a utilizar, y permite
cambiar los parmetros de ajuste
especficos, como horizontes o
matrices de ponderacin.
EXPERIMENTO: Establece las
caractersticas principales de la
simulacin: el tiempo, parmetros de
referencia, las limitaciones, los ruidos,
perturbaciones y grficos para ser
mostrado.
Aplicar y cancelar son los botones que
comienzan la simulacin o cerrar la
interfaz respectivamente. Aplique hace
todos los clculos del experimento
verificado el correcto llenado de los
campos en la interfaz, con el
asesoramiento a travs de las ventanas
de advertencia o error acerca de
posibles errores.
4.4. Sistema de archivos fuente de impact
Un archivo fuente del sistema en
IMPACT contendr diferentes matrices
que modelan el comportamiento de un
sistema.
Las siguientes formas de modelado de
un sistema son aceptadas por IMPACT.
4.4.1. Carima Modelo.
A y B representan las matrices del
modelo del sistema, y el factor de
retardo (z-d) se han integrado en B.
Por ejemplo, un modelo con d = 3 dada
por:
Se describe en el archivo de sistema en
la siguiente forma:
A = [1 A]; B = [0 0 0 b0 b1];
Este modelo es utilizado por
controladores de GPC, SPGPC y DMC,
para este caso con una transformacin
previa de CARIMA en un modelo de
Respuesta a paso.
4.4.2. Paso Modelo de Respuesta
Si usamos DMC, es implementado por la
matriz de g en el archivo. La longitud de
la matriz establece el valor superior del
horizonte de prediccin en el
controlador de DMC. La variable
gninputs contiene las entradas del
sistema, que son necesarias para que
IMPACT trabaje con el escaln (paso)
como como entrada para la respuesta
del modelo.
4.4.3. Espacio Modelo de Estado
M, N y Q describen el sistema. En el
archivo constan los nombres de las
variables Mm, Nm y Qm. Son utilizados
por los PFC (Dynamic Matrix Control) y
SSMPC (State Space Model Predictive
Control)
Estos modelos se utilizan por el simulador
del proceso, pero es posible que el
controlador utilice un modelo diferente
del sistema, es decir, un Modelado n de
error, que puede ser habilitado en la
)()(1
itugtyi
i
)1()1()( tuNtXMtX
)()( tXQty
)()(1
)1()()()( 111 tezCtuzztyz d
)()(1
)1()()()( 111 tezCtuzztyz d
)e(1)u(t)zb(bzy(t))az(1 11031 t
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
interfaz. En este caso el archivo
contendr otras matrices del sistema
nombrados por Ap y Bp para el
CARIMA, gp para la Respuesta a
escaln, y Mp, Np y Qp para el modelo
de espacio de estado.
Una informacin sobre el sistema en el
archivo se encuentra en la celda o
matriz Sinfo.
El archivo de sistema tambin contiene
dos variables que son la entrada y la
referencia para el sistema:
1. constante de Referencia: vrefc, que
contiene una referencia constante
para las salidas. Es un vector columna
con los valores establecidos, en el caso
de utilizar una referencia constante en
el experimento. Tenga en cuenta que
su tamao ser el nmero de salidas del
sistema.
2 Referencia Variable: vrefv, construida
por el creador del archivo de sistema
para describir cambios en el Set-Point.
Es una matriz cuyos vectores son los
valores establecidos para cada salida.
La longitud de estos vectores se puede
adaptar para el tiempo de simulacin
del experimento.
Un ejemplo de la estructura de un
archivo-m que aceptada IMPACT es la
siguiente (sistema SISO):
% E1s1d0.m % Matrices Modelo A = [1 -0.8]; B = [0,2]; % Matrices Error Modelo: Ap = [1 -0,875]; Bp = [0.154]; Modelo de respuesta% Paso y error
de modelado g = [0; 0,2; 0,36; 0,488; 0,5904;
0,67232; 0.737856; 0,7902;
0,83222;...
0,865782272; 0,8926258176;
0,91410065408; 0.9312805; 0.945]; gp = g; gninputs = 1;% Necesario si el sistema slo funciona con g % Modelo en Espacio de Estado Mm = 0,8; Nm = 0,5; Qm = 0,4; % Estado de error de espacio de
modelado Pf = 0,9; Np = 0,5; Qp = 0,35; % Informacin del sistema Sinfo = {'SISTEMA DE PRIMER ORDEN SIN DEMORA'}; % SP Constant vrefc = [0,5]; SP Variable% Construido construido
sobre vrefv INTT = 50; totalt = 100; % Las variables locales a vrefv
construido vrefv = [0,5 queridos * (1, INTT),
0,25 * queridos (1, (totalt-INTT)
1)];
Hay varias opciones para los archivos
del sistema que se describen en el
Apndice I. Estos seres estn
especficamente diseados para
cargar un experimento directamente
con el archivo de sistema. Se han
utilizado con el ejemplo y el ejercicio
archivos que acompaan a este
software, que corresponden a los
captulos del libro de MPC.
A pesar de ello, estas opciones pueden
ser utilizadas por el usuario para crear su
sistema y experimentar los archivos.
4. 5. Sistema
La parte del sistema presente
inicialmente dos campos:
Un men de la lista que incluye los
archivos-m del directorio
Un botn que permite cambiar el
directorio que los archivos de sistema se
incluyen en.
Al pulsar este botn aparece la
siguiente ventana:
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
En el campo "Directorio" es posible
escribir directamente la raz del archivo
de sistema de ubicacin. Para buscarla,
presione el botn para ir al directorio
superior de elegir en el men de la lista
de algunos de los subdirectorios para
continuar. Cuando el directorio raz est
lista, pulse el botn Aplicar.
A continuacin, la ventana principal de
carga los nombres de todos los
archivos-m en la raz en el campo
Archivo. Se puede visualizar y elegir
algunos de los archivos del sistema.
ATENCIN 1: Cuando se selecciona un
archivo, el programa ejecuta el
archivo-m, por lo que ste debe tener
almacenado los parmetros requeridos
por la interfaz. Sin embargo, si usted
elige otro tipo de sistema, los resultados
podran ser impredecibles, provocando
errores. En este caso, cierre la interface
IMPACT y cargarlo de nuevo,
seleccionando el archivo de un sistema
apropiado.
ATENCIN 2: Escriba el nombre de la
unidad en el campo editable si desea
cambiar de C: \ la unidad que
almacena los archivos del sistema.
Al seleccionar uno de los archivos del
sistema del sistema se completa con los
siguientes campos:
En el caso de seleccionar un archivo
de sistema con la posibilidad de cargar
un experimento desde el archivo, como
los archivos con ejemplos y ejercicios
del libro, aparece un nuevo botn.
Pulsando ensayo Cargar todos los
parmetros del experimento y el control
se cargan (ver Apndice I para ms
informacin).
Este paso es suficiente para continuar
con la seleccin del controlador
acondicionado y el experimento.
Si quieres ver ms detalles del sistema,
cambiarlo de gravar a nuevo sistema
en un archivo, pulse el botn de
informacin del sistema para abrir la
ventana de archivos de sistema.
4.6. Ventana sistema de archivos
Todos los campos indicados en el punto
anterior se podran mostraron pulsando
la informacin del sistema en el men
principal.
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
Los campos entradas, salidas y retrasos
se calculan automticamente por el
impact a travs del modelo dado.
Entonces, es posible cambiar el sistema
por algunos de sus descripciones de
modelos, escribir directamente sobre los
campos de edicin. En este caso los
campos de entradas, salidas y retardos,
pueden ser automticamente
seleccionados o cargados y as
cambiar las matrices del sistema.
Pulse Cancelar si no desea cargar los
cambios. Los cambios se activarn
pulsando en "Guardar cambios y
cerrar".
Si queremos guardar los cambios en el
sistema presionamos Guardar en un
archivo, aparece una nueva ventana
que, preguntando por el nombre y la
raz del archivo.
Cambie el directorio o el nombre del
archivo deseado. Una informacin
general sobre el sistema (comentarios,
descripcin, 5 lneas mximo) se podra
agregar tambin. Al pulsar el botn
GUARDAR los cambios se completan y
se guarda el archivo.
4.7. Controlador
Esta parte permite cargar el tipo de
controlador para ser utilizado, y la
posibilidad de considerar un error de
modelado para la carga del sistema
por encima.
El botn de error de modelado permite
que para la Prediccin de modelo, Ap,
Bp, o Mp, Np y Qp en lugar del modelo
representado por A, B o Mm, Nm y Qm.
Este modo ser posible slo si el archivo
contiene un sistema de modelado de
error, en otro caso se mostrar una
ventana de advertencia.
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
5. CONTROL PREDICTIVO ROBUSTO
Los modelos matemticos son
necesariamente simplificados de la
realidad, especialmente en el caso de
los modelos de control que han de
tener estructuras simples (lineal en la
mayor parte de los casos) y con un
orden suficientemente pequeo.
La mayor parte de las tcnicas de
diseo de control necesitan un modelo
de la planta, con estructuras y
parmetros conocidos (modelo
nominal), que se usa en el diseo. Si el
modelo de control fuera exacto, en
lugar de aproximado y no hubiera
perturbaciones externas podra ser
controlado por un controlador en bucle
abierto. La realimentacin es necesaria
en control debido a las perturbaciones
externas y a los errores de modelado. El
objetivo de un controlador robusto es
hacer frente a los errores en el modelo.
Aunque la realimentacin hace frente
a estos problemas de forma implcita el
trmino Control Robusto se utiliza en la
literatura para aquellos controladores
que tiene en cuenta las incertidumbres
en forma implcita.
Normalmente se supone que existe una
familia de modelos y que la planta se
puede describir exactamente por un
modelo de esa familia. Las tcnicas de
control ms utilizadas en el contexto de
Control Robusto son incertidumbres en
las respuestas frecuenciales o
incertidumbre en los parmetros de la
funcin de transferencia del proceso.
Ambos modelos asumen que la planta
es lineal con una respuesta de
frecuencia dentro de la banda de
incertidumbre en el primer caso y en el
segundo caso que la planta es del
mismo orden. En el caso de control
predictivo, las incertidumbres afectan a
la capacidad de prediccin del
modelo, la prediccin en lugar de ser
una trayectoria es una banda
alrededor del modelo nominal.
Considrese un sistema discreteado en
el tiempo cuya dinmica viene definida
por:
Donde Yty )( y Utu )( son vectores
de salida y entradas de dimensiones n y
m respectivamente, es un vector
de parmetros y Ztz )( es un vector
de variables exgenas (fuera o
alrededor).
Considrese una familia de modelos
definida por:
^^^
,,...,,...,,,...,1 nbna ntututuntytyty f
(18)
Donde 1^
ty es la prediccin de la
salida para el instante 1t generada
por los modelos de la familia; ^
f es una
funcin vector, usualmente una
simplificacin de f ; nan y nbn son el
nmero de salidas y entradas pasadas
consideradas por el modelo; y es un vector de incertidumbres sobre el
modelo. Ntese que las variables tz que afectan a la respuesta del proceso
no se consideran por el modelo.
La dinmica del proceso (17) est
completamente descrita por la familia
de modelos (18) si para cada posible
,),...,( yntyty ,),...,( Untutu u ,),...,( zntztz y existe un
valor del vector de parmetros i
tal que 11^
tyty . La forma de
definir los parmetros de incertidumbres
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
y su dominio depende de la
estructura de f y ^
f y el grado de
certeza sobre el modelo. Usualmente se
consideran que los parmetros del
modelo estn definidos dentro de una
banda de incertidumbre alrededor de
los parmetros nominales. Lo ms
prctico es considerar todos los errores
globalizados de forma que la planta se
describe por la siguiente familia de
modelos:
tntututuntytyty nbnaf
^^^
,...,,...,,,...,1
Con nt dim . Aunque esta descripcin es ms conservadora, es
ms fcil de obtener y mucho ms
intuitiva y refleja lo buena que es la
prediccin a un paso del modelo. Otra
ventaja a destacar de esta descripcin
es que la ecuacin de prediccin es
afn en el vector de incertidumbre
pudindose escribir como:
txGGuGy xu
Ntese que al utilizar esta descripcin
no se asume que el proceso sea lineal,
aunque el modelo lo sea, como es el
caso de las incertidumbres
paramtricas o frecuenciales. Esta
descripcin asume nicamente que el
modelo puede predecir con toda
certeza cul va a ser el valor de las
variables de salida del proceso en el
prximo instante de muestreo con un
grado de tolerancia determinado. Se
podra argumentar que estas
incertidumbres son en realidad
perturbaciones no medibles por la
forma que afectan al modelo. Pero
aqu la hiptesis que se hace es que las
incertidumbres estn acotadas; de
hecho, t podran ser funciones de las entradas y salidas pasadas (estado).
La forma normal de operar al
considerar incertidumbres estocsticas
es minimizar la funcin objetivo J para
la situacin ms esperada. En el caso
de control robusto, la estrategia ms
extendida es considerar la peor de las
situaciones posibles, que en el contexto
de control predictivo equivale a
minimizar la funcin objetivo en el peor
de los caso. Es decir,
Uumin
max ,uJ
Si se utilizan normas o normas 1, el problema puede expresarse como un
problema LP resultante es mucho ms
complejo que el caso nominal porque
el nmero de restricciones aumenta
considerablemente.
5.1. Mejoras y formulacin con norma 1
El trabajo original de Campo and Morari
(1987) fue desarrollado por Allwright y
Papavasiliou, en una serie de trabajos
en los que se mejora la formulacin
basada en la norma (Allwright and Papavasilou, 1991) y se extiende la
estrategia original a funciones de coste
basadas en la norma 1 (Allwright and
Papavasilou, 1992; Allwright, 1994).
Tambin se presenta un algoritmo
eficiente (no de programacin lineal)
para resolver el problema min-max con
una funcin de coste basada en la
norma 1 (Papavasilou and Allwright,
1991).
Uno de los inconvenientes del MMMPC
de Campo y Morari es la gran cantidad
de restricciones que aparecen en el
problema LP (en principio una por cada
vrtice del politopo sobre el cual varan
los coeficientes de la respuesta
impulsional). En (Allwright and
Papavasilou, 1991) se presenta un
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
mtodo para reescribir el problema LP,
de manera que se evita tener que
manejar un nmero de restricciones
que depende de manera exponencial
del nmero de coeficientes del modelo.
En lugar de eso, el nmero de
restricciones que aparecen depende
linealmente del nmero de coeficientes
del modelo, sin tener que eliminar
restricciones redundantes.
En (Papavasilou and Allwright, 1991) se
describe un algoritmo del tipo de
direcciones factibles para resolver el
problema minn-max que aparece
cuando se considera la siguiente
funcin de coste basada en la norma 1:
1|,^
trtjtyuJ
La norma 1 para un vector kc se
puede calcular como:
cmxc TVk
1
kjV jkk ,...,1,11:
Donde, por convexidad, el mximo se
alcanzara en uno de los vrtices de kV .
La seal de control se calculara
mediante el algoritmo que se describe
a continuacin. La seal de control se
obtendr minimizando una funcin que
tiene la forma:
buamxuJ Tnw
,..,1
Para minimizar esta clase de funcin,
Papavasilou and Allwrigth (1191)
proponen emplear el siguiente
algoritmo:
1. Determinar el conjunto de
hiperplanos en los que se alcanza el
mximo para kuu , es decir:
ikTikk buauJiuI | 2. Determinar la direccin de
descenso ks resolviendo:
smn t (2.6)
..as
tsaTi ki uI
1
s (2.7)
Sea ks^
, la solucin del problema
(2.6) y kt^
el valor mximo alcanzado
de t . Parar el proceso de
optimizacin si kk
t par un 0 y pequeo.
3. Calcular:
kkkk suIuImx | 4. Mejorar la solucin candidata
tomando:
kkkkk suu^
1
Incrementar k e ir al paso 1.
El trabajo presentado en (Papavasilou
and Allwright, 1991) tiene como inters
ser el primero que aborda la
formulacin MMMPC basada en la
norma 1. Sin embargo la solucin
propuesta no es satisfactoria,
pudindose plantear esta estrategia de
una manera ms eficiente.
Cuando se utiliza una funcin
cuadrtica, la funcin objetivo es
convexa en , lo que implica que el mximo de J se alcanza en uno de los
vrtices del (Bazaraa y Shetty, 1979). La funcin es tambin convexa en u lo
que implica que si se alcanza un
ptimo, este es global.
5.2. Robustez y restricciones
Una forma de hacer un controlador
predictivo robusto es imponer que las
condiciones de estabilidad se
verifiquen para cualquier realizacin de
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
las restricciones. Las condiciones de
estabilidad (Mayne et al., 2000) en
control predictivo requieren en general
que la funcin objetivo contenga un
coste terminal y que el estado al final
del horizonte de control este incluido en
una regin terminal.
El control predictivo robusto consiste en
encontrar los movimientos de control
futuro minimizando la funcin objetivo y
forzando al estado terminal alcanzar la
regin terminal para todos los valores
posibles de las incertidumbres; esto es,
(19)
T
u
Ntx
tVxrRu
txJmin
Donde el conjunto terminal T se define
usualmente como un poliedro
TTT rxRx : . Las restricciones tVxrRu corresponden a las
restricciones de operacin. El vector r
depende de forma afn de las
incertidumbres Rrrei 0.,.; . El
vector de predicciones se puede
escribir como:
txfGuGx xu (20)
Tomando las filas correspondientes a
Ntx y sustituyendo en las restricciones de regin terminal,
TxNNuNT rtxfgugR (21)
Donde uNg , Ng , and xNf son las ultimas
n filas de uG , G , and xF
respectivamente, con xn dim .
La parte izquierda de las desigualdades
(21) dependen de forma afn del vector
de incertidumbre . El problema (19) resulta un problema Qp o Lp
(dependiendo de la funcin objetivo)
con un nmero infinito de restricciones.
Como las restricciones son afines, si las
restricciones se cumplen en los vrtices
del poliedro se cumplen para todos los
puntos en su interior, por lo que el
nmero infinito de restricciones se
transforma en un nmero finito (aunque
muy grande). El problema se puede
expresar como,
(22)
(23)
TxNNuNT
i
rtxfgugR
tVxRrRu 0
Donde es el conjunto finito de puntos extremos (vrtices) de .
5.3. Predicciones en Bucle Cerrado
Al resolver el problema min-max la
solucin tiene que satisfacer las
restricciones para todos los valores
posibles de las incertidumbres. En
muchos casos estas condiciones
plantean problemas de no-factibilidad
porque el tamao de la banda de las
predicciones crece de tal forma que es
imposible satisfacer las restricciones.
Esta forma de operar no tiene en
cuenta hasta sus ltimas consecuencias
el concepto de horizonte deslizante. La
secuencia de control
11, Ntututu se calcula para todo el horizonte sin ninguna
informacin sobre las incertidumbres.
Sin embargo en la realidad cuando
haya que calcular jtu el controlador ya tiene informacin sobre
las incertidumbres hasta ese instante de
tiempo.
txJu
min
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
El problema es muy difcil de resolver,
una forma que permite una solucin en
ciertos casos es utilizando Programacin
Dinmica. Considrese el sistema
descrito por: ttutxftx ,,1 y el problema:
(24)
J
Nttuttu 11maxminmaxmin
La idea fundamental de la
Programacin Dinmica es resolver el
problema (24) desde el corchete ms
interior hacia el exterior. Es decir desde
el problema 1NtJ definido por: (25)
1,1min 1
1
NtuNtxJ Nt
Ntu
Con
1max1,11 NtNtuNtxJ Nt
NtxFNtuNtxL 1,1 .
Note que NtxF mide el mrito de la ltima posicin y de esta forma se
evita entrar en un bucle infinito.
Supngase que se puede resolver el
problema (25) explcitamente, i.e.,
determinando 11
NtxJ Nt como
una funcin de 1 Ntx al final. A partir de este coste se podra obtener
22
NtxJ Nt y se puede llegar a:
(26)
tutxJtxJ ttu
t ,min
Con
tutxLtutxJt
t ,max,
ttutxfJ jt ,,
El control predictivo min-max en el
bucle cerrado consiste en calcular los
movimientos de control tu minimizando tutxJt , . El factor clave de la Programacin Dinmica es
encontrar la funcin jtxJ jt
.
Se ha podido demostrar (Bemporad et
al., 2003) que si el sistema es lineal
tEtutBtxtAtx 1 , con el vector incertidumbre
TTT ttt , y la funcin coste de un paso
pp
jtRujtQxjtujtxL ,
con el coste terminal
pNt
NtPxNtxJ , la solucin es
afn a trozos y se puede encontrar
utilizando programacin paramtrica.
Otra estrategia utilizada es aproximar la
funcin jtxJt en una rejilla de
puntos como se dugiere en (Lee y Yu,
1997). La idea es calcular
11
NtxJ Nt en todos los puntos
de la rejilla en el primer paso para en un
segundo paso calcular la funcin
22
NtxJ Nt utilizando una
interpolacin de 11
NtxJ Nt
cuando
2,2,21 NtNtuNtxfNtx
no coinciden con uno de los puntos de
la rejilla.
Una forma de reducir la banda de
incertidumbre de la prediccin es
utilizar una realimentacin lineal
(Bemporad, 1998), (Chisci et al., 2001)
del vector de estado antes de aplicar el
control predictivo. Es decir, hacer:
(27)
kttktKxktu |
Donde K es una realimentacin que
estabiliza al sistema y la variable auxiliar
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
t es la referencia para el bucle interno y la variable manipulable para
el controlador predictivo. De esta forma
se consigue disminuir el tamao de la
banda de incertidumbre de la
prediccin.
6. CONTROL PREDICTIVO Y
SISTEMASHBRIDOS
En el rea de control automtico
existen dos tipos de modelos que son
ampliamente utilizados.
El primer tipo de modelos es llamado
sistemas dinmicos continuos, y se basa
fundamentalmente en la utilizacin de
ecuaciones diferenciales como medio
de representacin.
Este tipo de modelos tiene una larga
historia en la teora de sistemas, y
constituye una de las herramientas ms
verstiles y poderosas de que se
dispone actualmente. El controlador
ms utilizado en la industria para este
tipo de sistemas es el PID.
El segundo tipo de modelos es llamado
sistema a eventos discretos, y se basa
en la utilizacin de autmatas o
lenguajes como medio de
representacin. Este ltimo tipo de
modelos tiene una historia mucho ms
reciente, ligada al estudio matemtico
de sistemas lgicos y computarizados.
Los controladores utilizados en la
automatizacin de estos sistemas son
los PLC con formalismos como el
diagrama escalera o el GRAFCET.
Estos dos tipos de modelos pueden
representar aspectos independientes
de un mismo proceso, sin embargo,
debido a la fuerte interaccin existente
hoy en da entre sistemas continuos y
computadores de control, el estudio de
modelos que incluyan explcitamente
ambos tipos de comportamientos se ha
hecho necesario, y ha dado
surgimiento a un rea de trabajo
relativamente nueva llamada Sistemas
Dinmicos Hbridos o simplemente
Sistemas Hbridos.
Ejemplo:
Una de las tcnicas de modelamiento
ms utilizada en sistemas hbridos es la
llamada Sistemas Lineales a Trazos
(Piecewise Linear Systems - PWA) y las
tcnicas de modelamiento en
programacin con variables enteras
mixtas (Mixed Logical Dynamical MLD systems).
6.1 Sistemas Dinmicos con variables lgicas.
Este sistema se describe por:
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
Donde u son las variables de entrada, x
las variables de estado, y las variables
de salida, las variables binarias y z las variables que representan la
interaccin entre variables continuas y
variables binarias. Las variables u, x, y
estn compuestas por una parte
continua y otra discreta.
La construccin de un modelo en
programacin con variables enteras
requiere dos pasos, nosotros suponemos
que se dispone de un modelo bsico
expresado como proposiciones
enlazadas con operadores bolanos:
1. Cada proposicin simple, es
relacionada con una variable
binaria. Por ejemplo,
a) L1 L2 L1 OR L2
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
b) L1 L2
L1 AND
L2
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
2. Cada proposicin es representada
en forma de restricciones. Por ejemplo:
a) L1+L2 1 b) L1+L2 2
6.2 Control Predictivo de Sistemas MLD
El problema de control predictivo
basados en modelos MLD se puede
formular como:
Donde , , , y son matrices de
peso de dimensiones apropiadas y
todas las seales se predicen con la
informacin disponible hasta el instante
t en la forma usual del control
predictivo. Los vectores x, u, , z, , ,
y son los vectores de estados
futuros predichos, movimientos de
control, variables lgicas auxiliares,
variables reales auxiliares, y sus
referencias futuras respectivamente.
6.3 Sistemas afines a trozos
Una forma de modelar este sistema es
definir todas las posibles combinaciones
de las variables discretas, cada una de
ellas representa un modelo continuo del
sistema que ser vlido mientras no se
cambie de combinacin, y definir la
forma en que a partir de una
combinacin se puede pasar a otra.
Esto puede ser representado como:
Cada modelo continuo del proceso,
ms la respectiva combinacin de
variables discretas asociada, es
llamado un modo de operacin del
sistema.
Una forma de representar este sistema
en ecuaciones matemticas,
asumiendo que los modelos continuos
de cada modo de operacin pueden
ser lineales, es como se muestra a
continuacin.
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
Donde es una particin
polidrica del espacio de estado-
entrada. Cada est dada por:
Dnde: x(t), u(t), y(t) denotan los
vectores de estados, de las entradas y
salida, respectivamente.
Cada subsistema est definido por la
7-tupla (Ai ,Bi ,Ci , f i , g i Ri ,ri ), i={1,2,, s} denominado componente del
sistema PWA.
Los sistemas PWA tienen la ventaja de
permitir aproximar sistemas no lineales
con un grado de precisin arbitrario y el
principal problema de esta
identificacin es que su mejora tiene
que ser lograda introduciendo un alto
nmero de pequeas regiones.
6.4 Control Predictivo de Sistemas PWA
Asumiendo que todo el estado est
disponible (en caso contrario, un
estimador del estado ser necesario), la
formulacin del control predictivo es:
Donde J representa un ndice de
comportamiento que penaliza el error
de seguimiento de la salida predicha
del sistema y(t+i) en el instante (t+i)
conocida la del instante t con respecto
a la referencia w(t+i) en el instante (t+i)
y penaliza el esfuerzo de control
relacionado con el cuadrado de la
variable manipulada u(t+i) en el
instante (t+i). Se incluyen constantes y
como pesos relativos.
7. METODOS RAPIDOS PARA
IMPLEMENTAR CONTROLADORES
PREDICTIVOS
Una de las desventajas de los
controladores predictivos es que
requieren, en algunos casos, tiempos de
clculo demasiado grandes para
aplicaciones de tiempo real. Esto ocurre
por ejemplo en el caso de presencia de
restricciones, cambios en los
parmetros del proceso, control
predictivo robusto o control predictivo
no lineal. Han aparecido algoritmos en
la literatura que permiten la
implementacin fcil de controladores
predictivos.
Tal es el caso de la estructura descrita
por el mtodo de la curva de reaccin
o la utilizacin de redes neuronales
para aproximar controladores
predictivos no lineales.
Recientemente se ha demostrado que
un controlador predictivo se puede
expresar como un programa
multiparamtrico cuya solucin resulta
en un controlador que es afn a trozos
en el espacio de estado. La idea es
simple y fue sugerida por primera vez en
(Za_riou, 1990): el ptimo de un
problema QP se alcanza en un
conjunto de restricciones activas (el
conjunto puede ser vaco) y para todos
los puntos del espacio que tengan el
mismo conjunto de restricciones activas,
la solucin es afn.
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
8. MPC NO LINEAL
Los procesos industriales son no lineales,
pero aun as, la mayora de las
aplicaciones del MPC estn basadas en
el uso de modelos lineales.
Existen dos importantes razones para
ello: por un lado, la identificacin de un
modelo lineal a partir de datos de
proceso es relativamente sencilla y por
otro, los modelos lineales proporcionan
buenos resultados cuando la planta
opera a las cercanas del punto de
operacin.
Sin embargo, la respuesta dinmica de
los controladores lineales que resultan
es inaceptable cuando se aplican a
procesos que son no lineales con
distinto grado de severidad. Aunque el
nmero de aplicaciones de Nonlinear
Model Predictive Control (NMPC) es aun
limitada, su potencial es realmente
grande.
En esta seccin se muestra los
desarrollos ms recientes tanto tericos
como prcticos de NMPC. Ambos
aspectos son importantes ya que hay
temas tericos tales como modelados o
estabilidad que poseen tanta
importancia como aquellos de ndole
prctica como identificacin o
complejidad computacional. Los temas
ms relevantes en este campo son el
desarrollo de modelos que sean
capaces de capturar la dinmica no
lineal de proceso y la obtencin de una
solucin factible en tiempo real al
problema de la minimizacin.
Gran parte del xito del MPC se ha
debido a la facilidad con que se
pueden obtener modelos de
convolucion (impulso o escaln) o
funciones de transferencias de bajo
orden. Los modelos no lineales son ms
difciles de construir, bien por
correlaciones de datos de entrada-
salida o bien por el uso de primeros
principios a partir de ecuaciones de
balance de masa y energa.
Hay tres tipos de modelos que se usan
en las formulaciones de NMPC:
Modelos empricos, que se obtienen de
datos reales y pueden tomar la forma
de modelos de entrada-salida o
modelos no lineales en el espacio de
estados.
Modelos fundamentales, que provienen
de ecuaciones de balance. Las
ecuaciones se obtienen por el
conocimiento del proceso, aplicando
balance de masa, energa y momento.
La prediccin se hace como una
simulacin de las ecuaciones no
lineales que describen la dinmica del
proceso. Para procesos industriales
complejos, este tipo de modelos es
difcil y costoso de construir, ya que
necesita conocimiento muy experto.
Modelos de caja gris, que se desarrollan
combinando el enfoque emprico y
fundamental, haciendo uso de las
ventajas de cada tipo de modelo. Este
enfoque hibrido se ve enriquecido con
datos empricos.
El otro asunto crucial en NMPC es la
solucin del problema. Requiere la
consideracin de un problema no lineal
no convexo (NLP) que da lugar a una
serie de dificultades computacionales
relacionadas con el coste y la fiabilidad
de la resolucin del problema NLP en
lnea.
Normalmente el problema se resuelve
haciendo uso de la programacin
cuadrtica secuencial. El mtodo debe
garantizar convergencia rpida y debe
tratar problemas de mal
acondicionamiento y no linealidad
extremas.
En los ltimos aos ha aparecido una
serie de formulaciones que pretenden
evitar los problemas asociados a la
optimizacin no convexa. Estas
formulaciones deben abordar la
estabilidad y la factibilidad de la
-
CONTROL PREDICTIVO: PASADO, PRESENTE Y FUTURO
solucin que debe calcularse durante
el periodo de muestreo. Algunas de
estas formulaciones son como MPC
lineal extendido, modelos locales,
NMPC subptimo, uso de horizontes
cortos, descomposicin de la
secuencia de control, linealizacin por
realimentacin o NMPC con redes
neuronales.
9. ESTABILIDAD
La solucin eficiente del problema del
control ptimo es importante para
cualquier aplicacin a procesos reales,
pero la estabilidad del bucle cerrado es
tambin de crucial importancia.
Incluso en el caso de que el algoritmo
de optimizacin encuentre una
solucin, esto no garantiza la
estabilidad del bucle cerrado.
Este problema ha sido abordado desde
punto de vista, dando lugar a una serie
de contribuciones que siempre analizan
el problema del regulado